Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  nexple Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem nexple 33007
Description: A lower bound for an exponentiation. (Contributed by Thierry Arnoux, 19-Aug-2017.)
Assertion
Ref Expression
nexple ((๐ด โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง 2 โ‰ค ๐ต) โ†’ ๐ด โ‰ค (๐ตโ†‘๐ด))

Proof of Theorem nexple
Dummy variables ๐‘˜ ๐‘› are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpr 486 . . 3 (((๐ด โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง 2 โ‰ค ๐ต) โˆง ๐ด โˆˆ โ„•) โ†’ ๐ด โˆˆ โ„•)
2 simpl2 1193 . . 3 (((๐ด โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง 2 โ‰ค ๐ต) โˆง ๐ด โˆˆ โ„•) โ†’ ๐ต โˆˆ โ„)
3 simpl3 1194 . . 3 (((๐ด โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง 2 โ‰ค ๐ต) โˆง ๐ด โˆˆ โ„•) โ†’ 2 โ‰ค ๐ต)
4 id 22 . . . . . . 7 (๐‘˜ = 1 โ†’ ๐‘˜ = 1)
5 oveq2 7417 . . . . . . 7 (๐‘˜ = 1 โ†’ (๐ตโ†‘๐‘˜) = (๐ตโ†‘1))
64, 5breq12d 5162 . . . . . 6 (๐‘˜ = 1 โ†’ (๐‘˜ โ‰ค (๐ตโ†‘๐‘˜) โ†” 1 โ‰ค (๐ตโ†‘1)))
76imbi2d 341 . . . . 5 (๐‘˜ = 1 โ†’ (((๐ต โˆˆ โ„ โˆง 2 โ‰ค ๐ต) โ†’ ๐‘˜ โ‰ค (๐ตโ†‘๐‘˜)) โ†” ((๐ต โˆˆ โ„ โˆง 2 โ‰ค ๐ต) โ†’ 1 โ‰ค (๐ตโ†‘1))))
8 id 22 . . . . . . 7 (๐‘˜ = ๐‘› โ†’ ๐‘˜ = ๐‘›)
9 oveq2 7417 . . . . . . 7 (๐‘˜ = ๐‘› โ†’ (๐ตโ†‘๐‘˜) = (๐ตโ†‘๐‘›))
108, 9breq12d 5162 . . . . . 6 (๐‘˜ = ๐‘› โ†’ (๐‘˜ โ‰ค (๐ตโ†‘๐‘˜) โ†” ๐‘› โ‰ค (๐ตโ†‘๐‘›)))
1110imbi2d 341 . . . . 5 (๐‘˜ = ๐‘› โ†’ (((๐ต โˆˆ โ„ โˆง 2 โ‰ค ๐ต) โ†’ ๐‘˜ โ‰ค (๐ตโ†‘๐‘˜)) โ†” ((๐ต โˆˆ โ„ โˆง 2 โ‰ค ๐ต) โ†’ ๐‘› โ‰ค (๐ตโ†‘๐‘›))))
12 id 22 . . . . . . 7 (๐‘˜ = (๐‘› + 1) โ†’ ๐‘˜ = (๐‘› + 1))
13 oveq2 7417 . . . . . . 7 (๐‘˜ = (๐‘› + 1) โ†’ (๐ตโ†‘๐‘˜) = (๐ตโ†‘(๐‘› + 1)))
1412, 13breq12d 5162 . . . . . 6 (๐‘˜ = (๐‘› + 1) โ†’ (๐‘˜ โ‰ค (๐ตโ†‘๐‘˜) โ†” (๐‘› + 1) โ‰ค (๐ตโ†‘(๐‘› + 1))))
1514imbi2d 341 . . . . 5 (๐‘˜ = (๐‘› + 1) โ†’ (((๐ต โˆˆ โ„ โˆง 2 โ‰ค ๐ต) โ†’ ๐‘˜ โ‰ค (๐ตโ†‘๐‘˜)) โ†” ((๐ต โˆˆ โ„ โˆง 2 โ‰ค ๐ต) โ†’ (๐‘› + 1) โ‰ค (๐ตโ†‘(๐‘› + 1)))))
16 id 22 . . . . . . 7 (๐‘˜ = ๐ด โ†’ ๐‘˜ = ๐ด)
17 oveq2 7417 . . . . . . 7 (๐‘˜ = ๐ด โ†’ (๐ตโ†‘๐‘˜) = (๐ตโ†‘๐ด))
1816, 17breq12d 5162 . . . . . 6 (๐‘˜ = ๐ด โ†’ (๐‘˜ โ‰ค (๐ตโ†‘๐‘˜) โ†” ๐ด โ‰ค (๐ตโ†‘๐ด)))
1918imbi2d 341 . . . . 5 (๐‘˜ = ๐ด โ†’ (((๐ต โˆˆ โ„ โˆง 2 โ‰ค ๐ต) โ†’ ๐‘˜ โ‰ค (๐ตโ†‘๐‘˜)) โ†” ((๐ต โˆˆ โ„ โˆง 2 โ‰ค ๐ต) โ†’ ๐ด โ‰ค (๐ตโ†‘๐ด))))
20 simpl 484 . . . . . 6 ((๐ต โˆˆ โ„ โˆง 2 โ‰ค ๐ต) โ†’ ๐ต โˆˆ โ„)
21 1nn0 12488 . . . . . . 7 1 โˆˆ โ„•0
2221a1i 11 . . . . . 6 ((๐ต โˆˆ โ„ โˆง 2 โ‰ค ๐ต) โ†’ 1 โˆˆ โ„•0)
23 1red 11215 . . . . . . 7 ((๐ต โˆˆ โ„ โˆง 2 โ‰ค ๐ต) โ†’ 1 โˆˆ โ„)
24 2re 12286 . . . . . . . 8 2 โˆˆ โ„
2524a1i 11 . . . . . . 7 ((๐ต โˆˆ โ„ โˆง 2 โ‰ค ๐ต) โ†’ 2 โˆˆ โ„)
26 1le2 12421 . . . . . . . 8 1 โ‰ค 2
2726a1i 11 . . . . . . 7 ((๐ต โˆˆ โ„ โˆง 2 โ‰ค ๐ต) โ†’ 1 โ‰ค 2)
28 simpr 486 . . . . . . 7 ((๐ต โˆˆ โ„ โˆง 2 โ‰ค ๐ต) โ†’ 2 โ‰ค ๐ต)
2923, 25, 20, 27, 28letrd 11371 . . . . . 6 ((๐ต โˆˆ โ„ โˆง 2 โ‰ค ๐ต) โ†’ 1 โ‰ค ๐ต)
3020, 22, 29expge1d 14130 . . . . 5 ((๐ต โˆˆ โ„ โˆง 2 โ‰ค ๐ต) โ†’ 1 โ‰ค (๐ตโ†‘1))
31 simp1 1137 . . . . . . . . . . . 12 ((๐‘› โˆˆ โ„• โˆง (๐ต โˆˆ โ„ โˆง 2 โ‰ค ๐ต) โˆง ๐‘› โ‰ค (๐ตโ†‘๐‘›)) โ†’ ๐‘› โˆˆ โ„•)
3231nnnn0d 12532 . . . . . . . . . . 11 ((๐‘› โˆˆ โ„• โˆง (๐ต โˆˆ โ„ โˆง 2 โ‰ค ๐ต) โˆง ๐‘› โ‰ค (๐ตโ†‘๐‘›)) โ†’ ๐‘› โˆˆ โ„•0)
3332nn0red 12533 . . . . . . . . . 10 ((๐‘› โˆˆ โ„• โˆง (๐ต โˆˆ โ„ โˆง 2 โ‰ค ๐ต) โˆง ๐‘› โ‰ค (๐ตโ†‘๐‘›)) โ†’ ๐‘› โˆˆ โ„)
34 1red 11215 . . . . . . . . . 10 ((๐‘› โˆˆ โ„• โˆง (๐ต โˆˆ โ„ โˆง 2 โ‰ค ๐ต) โˆง ๐‘› โ‰ค (๐ตโ†‘๐‘›)) โ†’ 1 โˆˆ โ„)
3533, 34readdcld 11243 . . . . . . . . 9 ((๐‘› โˆˆ โ„• โˆง (๐ต โˆˆ โ„ โˆง 2 โ‰ค ๐ต) โˆง ๐‘› โ‰ค (๐ตโ†‘๐‘›)) โ†’ (๐‘› + 1) โˆˆ โ„)
36203ad2ant2 1135 . . . . . . . . . 10 ((๐‘› โˆˆ โ„• โˆง (๐ต โˆˆ โ„ โˆง 2 โ‰ค ๐ต) โˆง ๐‘› โ‰ค (๐ตโ†‘๐‘›)) โ†’ ๐ต โˆˆ โ„)
3733, 36remulcld 11244 . . . . . . . . 9 ((๐‘› โˆˆ โ„• โˆง (๐ต โˆˆ โ„ โˆง 2 โ‰ค ๐ต) โˆง ๐‘› โ‰ค (๐ตโ†‘๐‘›)) โ†’ (๐‘› ยท ๐ต) โˆˆ โ„)
3836, 32reexpcld 14128 . . . . . . . . . 10 ((๐‘› โˆˆ โ„• โˆง (๐ต โˆˆ โ„ โˆง 2 โ‰ค ๐ต) โˆง ๐‘› โ‰ค (๐ตโ†‘๐‘›)) โ†’ (๐ตโ†‘๐‘›) โˆˆ โ„)
3938, 36remulcld 11244 . . . . . . . . 9 ((๐‘› โˆˆ โ„• โˆง (๐ต โˆˆ โ„ โˆง 2 โ‰ค ๐ต) โˆง ๐‘› โ‰ค (๐ตโ†‘๐‘›)) โ†’ ((๐ตโ†‘๐‘›) ยท ๐ต) โˆˆ โ„)
4024a1i 11 . . . . . . . . . . 11 ((๐‘› โˆˆ โ„• โˆง (๐ต โˆˆ โ„ โˆง 2 โ‰ค ๐ต) โˆง ๐‘› โ‰ค (๐ตโ†‘๐‘›)) โ†’ 2 โˆˆ โ„)
4133, 40remulcld 11244 . . . . . . . . . 10 ((๐‘› โˆˆ โ„• โˆง (๐ต โˆˆ โ„ โˆง 2 โ‰ค ๐ต) โˆง ๐‘› โ‰ค (๐ตโ†‘๐‘›)) โ†’ (๐‘› ยท 2) โˆˆ โ„)
4231nnge1d 12260 . . . . . . . . . . . 12 ((๐‘› โˆˆ โ„• โˆง (๐ต โˆˆ โ„ โˆง 2 โ‰ค ๐ต) โˆง ๐‘› โ‰ค (๐ตโ†‘๐‘›)) โ†’ 1 โ‰ค ๐‘›)
4334, 33, 33, 42leadd2dd 11829 . . . . . . . . . . 11 ((๐‘› โˆˆ โ„• โˆง (๐ต โˆˆ โ„ โˆง 2 โ‰ค ๐ต) โˆง ๐‘› โ‰ค (๐ตโ†‘๐‘›)) โ†’ (๐‘› + 1) โ‰ค (๐‘› + ๐‘›))
4433recnd 11242 . . . . . . . . . . . 12 ((๐‘› โˆˆ โ„• โˆง (๐ต โˆˆ โ„ โˆง 2 โ‰ค ๐ต) โˆง ๐‘› โ‰ค (๐ตโ†‘๐‘›)) โ†’ ๐‘› โˆˆ โ„‚)
4544times2d 12456 . . . . . . . . . . 11 ((๐‘› โˆˆ โ„• โˆง (๐ต โˆˆ โ„ โˆง 2 โ‰ค ๐ต) โˆง ๐‘› โ‰ค (๐ตโ†‘๐‘›)) โ†’ (๐‘› ยท 2) = (๐‘› + ๐‘›))
4643, 45breqtrrd 5177 . . . . . . . . . 10 ((๐‘› โˆˆ โ„• โˆง (๐ต โˆˆ โ„ โˆง 2 โ‰ค ๐ต) โˆง ๐‘› โ‰ค (๐ตโ†‘๐‘›)) โ†’ (๐‘› + 1) โ‰ค (๐‘› ยท 2))
4732nn0ge0d 12535 . . . . . . . . . . 11 ((๐‘› โˆˆ โ„• โˆง (๐ต โˆˆ โ„ โˆง 2 โ‰ค ๐ต) โˆง ๐‘› โ‰ค (๐ตโ†‘๐‘›)) โ†’ 0 โ‰ค ๐‘›)
48 simp2r 1201 . . . . . . . . . . 11 ((๐‘› โˆˆ โ„• โˆง (๐ต โˆˆ โ„ โˆง 2 โ‰ค ๐ต) โˆง ๐‘› โ‰ค (๐ตโ†‘๐‘›)) โ†’ 2 โ‰ค ๐ต)
4940, 36, 33, 47, 48lemul2ad 12154 . . . . . . . . . 10 ((๐‘› โˆˆ โ„• โˆง (๐ต โˆˆ โ„ โˆง 2 โ‰ค ๐ต) โˆง ๐‘› โ‰ค (๐ตโ†‘๐‘›)) โ†’ (๐‘› ยท 2) โ‰ค (๐‘› ยท ๐ต))
5035, 41, 37, 46, 49letrd 11371 . . . . . . . . 9 ((๐‘› โˆˆ โ„• โˆง (๐ต โˆˆ โ„ โˆง 2 โ‰ค ๐ต) โˆง ๐‘› โ‰ค (๐ตโ†‘๐‘›)) โ†’ (๐‘› + 1) โ‰ค (๐‘› ยท ๐ต))
51 0red 11217 . . . . . . . . . . . 12 ((๐ต โˆˆ โ„ โˆง 2 โ‰ค ๐ต) โ†’ 0 โˆˆ โ„)
52 0le2 12314 . . . . . . . . . . . . 13 0 โ‰ค 2
5352a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 ((๐ต โˆˆ โ„ โˆง 2 โ‰ค ๐ต) โ†’ 0 โ‰ค 2)
5451, 25, 20, 53, 28letrd 11371 . . . . . . . . . . 11 ((๐ต โˆˆ โ„ โˆง 2 โ‰ค ๐ต) โ†’ 0 โ‰ค ๐ต)
55543ad2ant2 1135 . . . . . . . . . 10 ((๐‘› โˆˆ โ„• โˆง (๐ต โˆˆ โ„ โˆง 2 โ‰ค ๐ต) โˆง ๐‘› โ‰ค (๐ตโ†‘๐‘›)) โ†’ 0 โ‰ค ๐ต)
56 simp3 1139 . . . . . . . . . 10 ((๐‘› โˆˆ โ„• โˆง (๐ต โˆˆ โ„ โˆง 2 โ‰ค ๐ต) โˆง ๐‘› โ‰ค (๐ตโ†‘๐‘›)) โ†’ ๐‘› โ‰ค (๐ตโ†‘๐‘›))
5733, 38, 36, 55, 56lemul1ad 12153 . . . . . . . . 9 ((๐‘› โˆˆ โ„• โˆง (๐ต โˆˆ โ„ โˆง 2 โ‰ค ๐ต) โˆง ๐‘› โ‰ค (๐ตโ†‘๐‘›)) โ†’ (๐‘› ยท ๐ต) โ‰ค ((๐ตโ†‘๐‘›) ยท ๐ต))
5835, 37, 39, 50, 57letrd 11371 . . . . . . . 8 ((๐‘› โˆˆ โ„• โˆง (๐ต โˆˆ โ„ โˆง 2 โ‰ค ๐ต) โˆง ๐‘› โ‰ค (๐ตโ†‘๐‘›)) โ†’ (๐‘› + 1) โ‰ค ((๐ตโ†‘๐‘›) ยท ๐ต))
5936recnd 11242 . . . . . . . . 9 ((๐‘› โˆˆ โ„• โˆง (๐ต โˆˆ โ„ โˆง 2 โ‰ค ๐ต) โˆง ๐‘› โ‰ค (๐ตโ†‘๐‘›)) โ†’ ๐ต โˆˆ โ„‚)
6059, 32expp1d 14112 . . . . . . . 8 ((๐‘› โˆˆ โ„• โˆง (๐ต โˆˆ โ„ โˆง 2 โ‰ค ๐ต) โˆง ๐‘› โ‰ค (๐ตโ†‘๐‘›)) โ†’ (๐ตโ†‘(๐‘› + 1)) = ((๐ตโ†‘๐‘›) ยท ๐ต))
6158, 60breqtrrd 5177 . . . . . . 7 ((๐‘› โˆˆ โ„• โˆง (๐ต โˆˆ โ„ โˆง 2 โ‰ค ๐ต) โˆง ๐‘› โ‰ค (๐ตโ†‘๐‘›)) โ†’ (๐‘› + 1) โ‰ค (๐ตโ†‘(๐‘› + 1)))
62613exp 1120 . . . . . 6 (๐‘› โˆˆ โ„• โ†’ ((๐ต โˆˆ โ„ โˆง 2 โ‰ค ๐ต) โ†’ (๐‘› โ‰ค (๐ตโ†‘๐‘›) โ†’ (๐‘› + 1) โ‰ค (๐ตโ†‘(๐‘› + 1)))))
6362a2d 29 . . . . 5 (๐‘› โˆˆ โ„• โ†’ (((๐ต โˆˆ โ„ โˆง 2 โ‰ค ๐ต) โ†’ ๐‘› โ‰ค (๐ตโ†‘๐‘›)) โ†’ ((๐ต โˆˆ โ„ โˆง 2 โ‰ค ๐ต) โ†’ (๐‘› + 1) โ‰ค (๐ตโ†‘(๐‘› + 1)))))
647, 11, 15, 19, 30, 63nnind 12230 . . . 4 (๐ด โˆˆ โ„• โ†’ ((๐ต โˆˆ โ„ โˆง 2 โ‰ค ๐ต) โ†’ ๐ด โ‰ค (๐ตโ†‘๐ด)))
65643impib 1117 . . 3 ((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง 2 โ‰ค ๐ต) โ†’ ๐ด โ‰ค (๐ตโ†‘๐ด))
661, 2, 3, 65syl3anc 1372 . 2 (((๐ด โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง 2 โ‰ค ๐ต) โˆง ๐ด โˆˆ โ„•) โ†’ ๐ด โ‰ค (๐ตโ†‘๐ด))
67 0le1 11737 . . . 4 0 โ‰ค 1
6867a1i 11 . . 3 (((๐ด โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง 2 โ‰ค ๐ต) โˆง ๐ด = 0) โ†’ 0 โ‰ค 1)
69 simpr 486 . . 3 (((๐ด โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง 2 โ‰ค ๐ต) โˆง ๐ด = 0) โ†’ ๐ด = 0)
7069oveq2d 7425 . . . 4 (((๐ด โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง 2 โ‰ค ๐ต) โˆง ๐ด = 0) โ†’ (๐ตโ†‘๐ด) = (๐ตโ†‘0))
71 simpl2 1193 . . . . . 6 (((๐ด โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง 2 โ‰ค ๐ต) โˆง ๐ด = 0) โ†’ ๐ต โˆˆ โ„)
7271recnd 11242 . . . . 5 (((๐ด โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง 2 โ‰ค ๐ต) โˆง ๐ด = 0) โ†’ ๐ต โˆˆ โ„‚)
7372exp0d 14105 . . . 4 (((๐ด โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง 2 โ‰ค ๐ต) โˆง ๐ด = 0) โ†’ (๐ตโ†‘0) = 1)
7470, 73eqtrd 2773 . . 3 (((๐ด โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง 2 โ‰ค ๐ต) โˆง ๐ด = 0) โ†’ (๐ตโ†‘๐ด) = 1)
7568, 69, 743brtr4d 5181 . 2 (((๐ด โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง 2 โ‰ค ๐ต) โˆง ๐ด = 0) โ†’ ๐ด โ‰ค (๐ตโ†‘๐ด))
76 elnn0 12474 . . . 4 (๐ด โˆˆ โ„•0 โ†” (๐ด โˆˆ โ„• โˆจ ๐ด = 0))
7776biimpi 215 . . 3 (๐ด โˆˆ โ„•0 โ†’ (๐ด โˆˆ โ„• โˆจ ๐ด = 0))
78773ad2ant1 1134 . 2 ((๐ด โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง 2 โ‰ค ๐ต) โ†’ (๐ด โˆˆ โ„• โˆจ ๐ด = 0))
7966, 75, 78mpjaodan 958 1 ((๐ด โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง 2 โ‰ค ๐ต) โ†’ ๐ด โ‰ค (๐ตโ†‘๐ด))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โˆง wa 397   โˆจ wo 846   โˆง w3a 1088   = wceq 1542   โˆˆ wcel 2107   class class class wbr 5149  (class class class)co 7409  โ„cr 11109  0cc0 11110  1c1 11111   + caddc 11113   ยท cmul 11115   โ‰ค cle 11249  โ„•cn 12212  2c2 12267  โ„•0cn0 12472  โ†‘cexp 14027
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725  ax-cnex 11166  ax-resscn 11167  ax-1cn 11168  ax-icn 11169  ax-addcl 11170  ax-addrcl 11171  ax-mulcl 11172  ax-mulrcl 11173  ax-mulcom 11174  ax-addass 11175  ax-mulass 11176  ax-distr 11177  ax-i2m1 11178  ax-1ne0 11179  ax-1rid 11180  ax-rnegex 11181  ax-rrecex 11182  ax-cnre 11183  ax-pre-lttri 11184  ax-pre-lttrn 11185  ax-pre-ltadd 11186  ax-pre-mulgt0 11187
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-iun 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-riota 7365  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-om 7856  df-2nd 7976  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8371  df-rdg 8410  df-er 8703  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-pnf 11250  df-mnf 11251  df-xr 11252  df-ltxr 11253  df-le 11254  df-sub 11446  df-neg 11447  df-nn 12213  df-2 12275  df-n0 12473  df-z 12559  df-uz 12823  df-seq 13967  df-exp 14028
This theorem is referenced by:  oddpwdc  33353
  Copyright terms: Public domain W3C validator