MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  sadcaddlem Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem sadcaddlem 16395
Description: Lemma for sadcadd 16396. (Contributed by Mario Carneiro, 8-Sep-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
sadval.a (πœ‘ β†’ 𝐴 βŠ† β„•0)
sadval.b (πœ‘ β†’ 𝐡 βŠ† β„•0)
sadval.c 𝐢 = seq0((𝑐 ∈ 2o, π‘š ∈ β„•0 ↦ if(cadd(π‘š ∈ 𝐴, π‘š ∈ 𝐡, βˆ… ∈ 𝑐), 1o, βˆ…)), (𝑛 ∈ β„•0 ↦ if(𝑛 = 0, βˆ…, (𝑛 βˆ’ 1))))
sadcp1.n (πœ‘ β†’ 𝑁 ∈ β„•0)
sadcadd.k 𝐾 = β—‘(bits β†Ύ β„•0)
sadcaddlem.1 (πœ‘ β†’ (βˆ… ∈ (πΆβ€˜π‘) ↔ (2↑𝑁) ≀ ((πΎβ€˜(𝐴 ∩ (0..^𝑁))) + (πΎβ€˜(𝐡 ∩ (0..^𝑁))))))
Assertion
Ref Expression
sadcaddlem (πœ‘ β†’ (βˆ… ∈ (πΆβ€˜(𝑁 + 1)) ↔ (2↑(𝑁 + 1)) ≀ ((πΎβ€˜(𝐴 ∩ (0..^(𝑁 + 1)))) + (πΎβ€˜(𝐡 ∩ (0..^(𝑁 + 1)))))))
Distinct variable groups:   π‘š,𝑐,𝑛   𝐴,𝑐,π‘š   𝐡,𝑐,π‘š   𝑛,𝑁
Allowed substitution hints:   πœ‘(π‘š,𝑛,𝑐)   𝐴(𝑛)   𝐡(𝑛)   𝐢(π‘š,𝑛,𝑐)   𝐾(π‘š,𝑛,𝑐)   𝑁(π‘š,𝑐)
Proof of Theorem sadcaddlem
StepHypRef Expression
1 cad1 1619 . . . . 5 (βˆ… ∈ (πΆβ€˜π‘) β†’ (cadd(𝑁 ∈ 𝐴, 𝑁 ∈ 𝐡, βˆ… ∈ (πΆβ€˜π‘)) ↔ (𝑁 ∈ 𝐴 ∨ 𝑁 ∈ 𝐡)))
21adantl 483 . . . 4 ((πœ‘ ∧ βˆ… ∈ (πΆβ€˜π‘)) β†’ (cadd(𝑁 ∈ 𝐴, 𝑁 ∈ 𝐡, βˆ… ∈ (πΆβ€˜π‘)) ↔ (𝑁 ∈ 𝐴 ∨ 𝑁 ∈ 𝐡)))
3 2nn 12282 . . . . . . . . . . 11 2 ∈ β„•
43a1i 11 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ 2 ∈ β„•)
5 sadcp1.n . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ 𝑁 ∈ β„•0)
64, 5nnexpcld 14205 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (2↑𝑁) ∈ β„•)
76nnred 12224 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (2↑𝑁) ∈ ℝ)
87ad2antrr 725 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ βˆ… ∈ (πΆβ€˜π‘)) ∧ (𝑁 ∈ 𝐴 ∨ 𝑁 ∈ 𝐡)) β†’ (2↑𝑁) ∈ ℝ)
9 inss1 4228 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐴 ∩ (0..^𝑁)) βŠ† 𝐴
10 sadval.a . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ 𝐴 βŠ† β„•0)
119, 10sstrid 3993 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ (𝐴 ∩ (0..^𝑁)) βŠ† β„•0)
12 fzofi 13936 . . . . . . . . . . . . . 14 (0..^𝑁) ∈ Fin
1312a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ (0..^𝑁) ∈ Fin)
14 inss2 4229 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐴 ∩ (0..^𝑁)) βŠ† (0..^𝑁)
15 ssfi 9170 . . . . . . . . . . . . 13 (((0..^𝑁) ∈ Fin ∧ (𝐴 ∩ (0..^𝑁)) βŠ† (0..^𝑁)) β†’ (𝐴 ∩ (0..^𝑁)) ∈ Fin)
1613, 14, 15sylancl 587 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ (𝐴 ∩ (0..^𝑁)) ∈ Fin)
17 elfpw 9351 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴 ∩ (0..^𝑁)) ∈ (𝒫 β„•0 ∩ Fin) ↔ ((𝐴 ∩ (0..^𝑁)) βŠ† β„•0 ∧ (𝐴 ∩ (0..^𝑁)) ∈ Fin))
1811, 16, 17sylanbrc 584 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ (𝐴 ∩ (0..^𝑁)) ∈ (𝒫 β„•0 ∩ Fin))
19 bitsf1o 16383 . . . . . . . . . . . . . . 15 (bits β†Ύ β„•0):β„•0–1-1-ontoβ†’(𝒫 β„•0 ∩ Fin)
20 f1ocnv 6843 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((bits β†Ύ β„•0):β„•0–1-1-ontoβ†’(𝒫 β„•0 ∩ Fin) β†’ β—‘(bits β†Ύ β„•0):(𝒫 β„•0 ∩ Fin)–1-1-ontoβ†’β„•0)
2119, 20ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . 14 β—‘(bits β†Ύ β„•0):(𝒫 β„•0 ∩ Fin)–1-1-ontoβ†’β„•0
22 sadcadd.k . . . . . . . . . . . . . . 15 𝐾 = β—‘(bits β†Ύ β„•0)
23 f1oeq1 6819 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝐾 = β—‘(bits β†Ύ β„•0) β†’ (𝐾:(𝒫 β„•0 ∩ Fin)–1-1-ontoβ†’β„•0 ↔ β—‘(bits β†Ύ β„•0):(𝒫 β„•0 ∩ Fin)–1-1-ontoβ†’β„•0))
2422, 23ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐾:(𝒫 β„•0 ∩ Fin)–1-1-ontoβ†’β„•0 ↔ β—‘(bits β†Ύ β„•0):(𝒫 β„•0 ∩ Fin)–1-1-ontoβ†’β„•0)
2521, 24mpbir 230 . . . . . . . . . . . . 13 𝐾:(𝒫 β„•0 ∩ Fin)–1-1-ontoβ†’β„•0
26 f1of 6831 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐾:(𝒫 β„•0 ∩ Fin)–1-1-ontoβ†’β„•0 β†’ 𝐾:(𝒫 β„•0 ∩ Fin)βŸΆβ„•0)
2725, 26ax-mp 5 . . . . . . . . . . . 12 𝐾:(𝒫 β„•0 ∩ Fin)βŸΆβ„•0
2827ffvelcdmi 7083 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 ∩ (0..^𝑁)) ∈ (𝒫 β„•0 ∩ Fin) β†’ (πΎβ€˜(𝐴 ∩ (0..^𝑁))) ∈ β„•0)
2918, 28syl 17 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ (πΎβ€˜(𝐴 ∩ (0..^𝑁))) ∈ β„•0)
30 inss1 4228 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐡 ∩ (0..^𝑁)) βŠ† 𝐡
31 sadval.b . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ 𝐡 βŠ† β„•0)
3230, 31sstrid 3993 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ (𝐡 ∩ (0..^𝑁)) βŠ† β„•0)
33 inss2 4229 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐡 ∩ (0..^𝑁)) βŠ† (0..^𝑁)
34 ssfi 9170 . . . . . . . . . . . . 13 (((0..^𝑁) ∈ Fin ∧ (𝐡 ∩ (0..^𝑁)) βŠ† (0..^𝑁)) β†’ (𝐡 ∩ (0..^𝑁)) ∈ Fin)
3513, 33, 34sylancl 587 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ (𝐡 ∩ (0..^𝑁)) ∈ Fin)
36 elfpw 9351 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐡 ∩ (0..^𝑁)) ∈ (𝒫 β„•0 ∩ Fin) ↔ ((𝐡 ∩ (0..^𝑁)) βŠ† β„•0 ∧ (𝐡 ∩ (0..^𝑁)) ∈ Fin))
3732, 35, 36sylanbrc 584 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ (𝐡 ∩ (0..^𝑁)) ∈ (𝒫 β„•0 ∩ Fin))
3827ffvelcdmi 7083 . . . . . . . . . . 11 ((𝐡 ∩ (0..^𝑁)) ∈ (𝒫 β„•0 ∩ Fin) β†’ (πΎβ€˜(𝐡 ∩ (0..^𝑁))) ∈ β„•0)
3937, 38syl 17 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ (πΎβ€˜(𝐡 ∩ (0..^𝑁))) ∈ β„•0)
4029, 39nn0addcld 12533 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ ((πΎβ€˜(𝐴 ∩ (0..^𝑁))) + (πΎβ€˜(𝐡 ∩ (0..^𝑁)))) ∈ β„•0)
4140nn0red 12530 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ ((πΎβ€˜(𝐴 ∩ (0..^𝑁))) + (πΎβ€˜(𝐡 ∩ (0..^𝑁)))) ∈ ℝ)
4241ad2antrr 725 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ βˆ… ∈ (πΆβ€˜π‘)) ∧ (𝑁 ∈ 𝐴 ∨ 𝑁 ∈ 𝐡)) β†’ ((πΎβ€˜(𝐴 ∩ (0..^𝑁))) + (πΎβ€˜(𝐡 ∩ (0..^𝑁)))) ∈ ℝ)
43 2nn0 12486 . . . . . . . . . . . . 13 2 ∈ β„•0
4443a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ 𝑁 ∈ 𝐴) β†’ 2 ∈ β„•0)
455adantr 482 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ 𝑁 ∈ 𝐴) β†’ 𝑁 ∈ β„•0)
4644, 45nn0expcld 14206 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ 𝑁 ∈ 𝐴) β†’ (2↑𝑁) ∈ β„•0)
47 0nn0 12484 . . . . . . . . . . . 12 0 ∈ β„•0
4847a1i 11 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ Β¬ 𝑁 ∈ 𝐴) β†’ 0 ∈ β„•0)
4946, 48ifclda 4563 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ if(𝑁 ∈ 𝐴, (2↑𝑁), 0) ∈ β„•0)
5043a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ 𝑁 ∈ 𝐡) β†’ 2 ∈ β„•0)
515adantr 482 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ 𝑁 ∈ 𝐡) β†’ 𝑁 ∈ β„•0)
5250, 51nn0expcld 14206 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ 𝑁 ∈ 𝐡) β†’ (2↑𝑁) ∈ β„•0)
5347a1i 11 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ Β¬ 𝑁 ∈ 𝐡) β†’ 0 ∈ β„•0)
5452, 53ifclda 4563 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ if(𝑁 ∈ 𝐡, (2↑𝑁), 0) ∈ β„•0)
5549, 54nn0addcld 12533 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (if(𝑁 ∈ 𝐴, (2↑𝑁), 0) + if(𝑁 ∈ 𝐡, (2↑𝑁), 0)) ∈ β„•0)
5655nn0red 12530 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (if(𝑁 ∈ 𝐴, (2↑𝑁), 0) + if(𝑁 ∈ 𝐡, (2↑𝑁), 0)) ∈ ℝ)
5756ad2antrr 725 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ βˆ… ∈ (πΆβ€˜π‘)) ∧ (𝑁 ∈ 𝐴 ∨ 𝑁 ∈ 𝐡)) β†’ (if(𝑁 ∈ 𝐴, (2↑𝑁), 0) + if(𝑁 ∈ 𝐡, (2↑𝑁), 0)) ∈ ℝ)
58 sadcaddlem.1 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (βˆ… ∈ (πΆβ€˜π‘) ↔ (2↑𝑁) ≀ ((πΎβ€˜(𝐴 ∩ (0..^𝑁))) + (πΎβ€˜(𝐡 ∩ (0..^𝑁))))))
5958biimpa 478 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ βˆ… ∈ (πΆβ€˜π‘)) β†’ (2↑𝑁) ≀ ((πΎβ€˜(𝐴 ∩ (0..^𝑁))) + (πΎβ€˜(𝐡 ∩ (0..^𝑁)))))
6059adantr 482 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ βˆ… ∈ (πΆβ€˜π‘)) ∧ (𝑁 ∈ 𝐴 ∨ 𝑁 ∈ 𝐡)) β†’ (2↑𝑁) ≀ ((πΎβ€˜(𝐴 ∩ (0..^𝑁))) + (πΎβ€˜(𝐡 ∩ (0..^𝑁)))))
616nnnn0d 12529 . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ (2↑𝑁) ∈ β„•0)
62 ifcl 4573 . . . . . . . . . . . . 13 (((2↑𝑁) ∈ β„•0 ∧ 0 ∈ β„•0) β†’ if(𝑁 ∈ 𝐡, (2↑𝑁), 0) ∈ β„•0)
6361, 47, 62sylancl 587 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ if(𝑁 ∈ 𝐡, (2↑𝑁), 0) ∈ β„•0)
6463nn0ge0d 12532 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ 0 ≀ if(𝑁 ∈ 𝐡, (2↑𝑁), 0))
657adantr 482 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ 𝑁 ∈ 𝐡) β†’ (2↑𝑁) ∈ ℝ)
66 0red 11214 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ Β¬ 𝑁 ∈ 𝐡) β†’ 0 ∈ ℝ)
6765, 66ifclda 4563 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ if(𝑁 ∈ 𝐡, (2↑𝑁), 0) ∈ ℝ)
687, 67addge01d 11799 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ (0 ≀ if(𝑁 ∈ 𝐡, (2↑𝑁), 0) ↔ (2↑𝑁) ≀ ((2↑𝑁) + if(𝑁 ∈ 𝐡, (2↑𝑁), 0))))
6964, 68mpbid 231 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ (2↑𝑁) ≀ ((2↑𝑁) + if(𝑁 ∈ 𝐡, (2↑𝑁), 0)))
7069ad2antrr 725 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ βˆ… ∈ (πΆβ€˜π‘)) ∧ 𝑁 ∈ 𝐴) β†’ (2↑𝑁) ≀ ((2↑𝑁) + if(𝑁 ∈ 𝐡, (2↑𝑁), 0)))
71 iftrue 4534 . . . . . . . . . . 11 (𝑁 ∈ 𝐴 β†’ if(𝑁 ∈ 𝐴, (2↑𝑁), 0) = (2↑𝑁))
7271adantl 483 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ βˆ… ∈ (πΆβ€˜π‘)) ∧ 𝑁 ∈ 𝐴) β†’ if(𝑁 ∈ 𝐴, (2↑𝑁), 0) = (2↑𝑁))
7372oveq1d 7421 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ βˆ… ∈ (πΆβ€˜π‘)) ∧ 𝑁 ∈ 𝐴) β†’ (if(𝑁 ∈ 𝐴, (2↑𝑁), 0) + if(𝑁 ∈ 𝐡, (2↑𝑁), 0)) = ((2↑𝑁) + if(𝑁 ∈ 𝐡, (2↑𝑁), 0)))
7470, 73breqtrrd 5176 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ βˆ… ∈ (πΆβ€˜π‘)) ∧ 𝑁 ∈ 𝐴) β†’ (2↑𝑁) ≀ (if(𝑁 ∈ 𝐴, (2↑𝑁), 0) + if(𝑁 ∈ 𝐡, (2↑𝑁), 0)))
75 ifcl 4573 . . . . . . . . . . . . 13 (((2↑𝑁) ∈ β„•0 ∧ 0 ∈ β„•0) β†’ if(𝑁 ∈ 𝐴, (2↑𝑁), 0) ∈ β„•0)
7661, 47, 75sylancl 587 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ if(𝑁 ∈ 𝐴, (2↑𝑁), 0) ∈ β„•0)
7776nn0ge0d 12532 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ 0 ≀ if(𝑁 ∈ 𝐴, (2↑𝑁), 0))
787adantr 482 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ 𝑁 ∈ 𝐴) β†’ (2↑𝑁) ∈ ℝ)
79 0red 11214 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ Β¬ 𝑁 ∈ 𝐴) β†’ 0 ∈ ℝ)
8078, 79ifclda 4563 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ if(𝑁 ∈ 𝐴, (2↑𝑁), 0) ∈ ℝ)
817, 80addge02d 11800 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ (0 ≀ if(𝑁 ∈ 𝐴, (2↑𝑁), 0) ↔ (2↑𝑁) ≀ (if(𝑁 ∈ 𝐴, (2↑𝑁), 0) + (2↑𝑁))))
8277, 81mpbid 231 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ (2↑𝑁) ≀ (if(𝑁 ∈ 𝐴, (2↑𝑁), 0) + (2↑𝑁)))
8382ad2antrr 725 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ βˆ… ∈ (πΆβ€˜π‘)) ∧ 𝑁 ∈ 𝐡) β†’ (2↑𝑁) ≀ (if(𝑁 ∈ 𝐴, (2↑𝑁), 0) + (2↑𝑁)))
84 iftrue 4534 . . . . . . . . . . 11 (𝑁 ∈ 𝐡 β†’ if(𝑁 ∈ 𝐡, (2↑𝑁), 0) = (2↑𝑁))
8584adantl 483 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ βˆ… ∈ (πΆβ€˜π‘)) ∧ 𝑁 ∈ 𝐡) β†’ if(𝑁 ∈ 𝐡, (2↑𝑁), 0) = (2↑𝑁))
8685oveq2d 7422 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ βˆ… ∈ (πΆβ€˜π‘)) ∧ 𝑁 ∈ 𝐡) β†’ (if(𝑁 ∈ 𝐴, (2↑𝑁), 0) + if(𝑁 ∈ 𝐡, (2↑𝑁), 0)) = (if(𝑁 ∈ 𝐴, (2↑𝑁), 0) + (2↑𝑁)))
8783, 86breqtrrd 5176 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ βˆ… ∈ (πΆβ€˜π‘)) ∧ 𝑁 ∈ 𝐡) β†’ (2↑𝑁) ≀ (if(𝑁 ∈ 𝐴, (2↑𝑁), 0) + if(𝑁 ∈ 𝐡, (2↑𝑁), 0)))
8874, 87jaodan 957 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ βˆ… ∈ (πΆβ€˜π‘)) ∧ (𝑁 ∈ 𝐴 ∨ 𝑁 ∈ 𝐡)) β†’ (2↑𝑁) ≀ (if(𝑁 ∈ 𝐴, (2↑𝑁), 0) + if(𝑁 ∈ 𝐡, (2↑𝑁), 0)))
898, 8, 42, 57, 60, 88le2addd 11830 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ βˆ… ∈ (πΆβ€˜π‘)) ∧ (𝑁 ∈ 𝐴 ∨ 𝑁 ∈ 𝐡)) β†’ ((2↑𝑁) + (2↑𝑁)) ≀ (((πΎβ€˜(𝐴 ∩ (0..^𝑁))) + (πΎβ€˜(𝐡 ∩ (0..^𝑁)))) + (if(𝑁 ∈ 𝐴, (2↑𝑁), 0) + if(𝑁 ∈ 𝐡, (2↑𝑁), 0))))
9089ex 414 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ βˆ… ∈ (πΆβ€˜π‘)) β†’ ((𝑁 ∈ 𝐴 ∨ 𝑁 ∈ 𝐡) β†’ ((2↑𝑁) + (2↑𝑁)) ≀ (((πΎβ€˜(𝐴 ∩ (0..^𝑁))) + (πΎβ€˜(𝐡 ∩ (0..^𝑁)))) + (if(𝑁 ∈ 𝐴, (2↑𝑁), 0) + if(𝑁 ∈ 𝐡, (2↑𝑁), 0)))))
91 ioran 983 . . . . . 6 (Β¬ (𝑁 ∈ 𝐴 ∨ 𝑁 ∈ 𝐡) ↔ (Β¬ 𝑁 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑁 ∈ 𝐡))
92 iffalse 4537 . . . . . . . . . . . . . 14 (Β¬ 𝑁 ∈ 𝐴 β†’ if(𝑁 ∈ 𝐴, (2↑𝑁), 0) = 0)
9392ad2antrl 727 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ βˆ… ∈ (πΆβ€˜π‘)) ∧ (Β¬ 𝑁 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑁 ∈ 𝐡)) β†’ if(𝑁 ∈ 𝐴, (2↑𝑁), 0) = 0)
94 iffalse 4537 . . . . . . . . . . . . . 14 (Β¬ 𝑁 ∈ 𝐡 β†’ if(𝑁 ∈ 𝐡, (2↑𝑁), 0) = 0)
9594ad2antll 728 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ βˆ… ∈ (πΆβ€˜π‘)) ∧ (Β¬ 𝑁 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑁 ∈ 𝐡)) β†’ if(𝑁 ∈ 𝐡, (2↑𝑁), 0) = 0)
9693, 95oveq12d 7424 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ βˆ… ∈ (πΆβ€˜π‘)) ∧ (Β¬ 𝑁 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑁 ∈ 𝐡)) β†’ (if(𝑁 ∈ 𝐴, (2↑𝑁), 0) + if(𝑁 ∈ 𝐡, (2↑𝑁), 0)) = (0 + 0))
97 00id 11386 . . . . . . . . . . . 12 (0 + 0) = 0
9896, 97eqtrdi 2789 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ βˆ… ∈ (πΆβ€˜π‘)) ∧ (Β¬ 𝑁 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑁 ∈ 𝐡)) β†’ (if(𝑁 ∈ 𝐴, (2↑𝑁), 0) + if(𝑁 ∈ 𝐡, (2↑𝑁), 0)) = 0)
9998oveq2d 7422 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ βˆ… ∈ (πΆβ€˜π‘)) ∧ (Β¬ 𝑁 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑁 ∈ 𝐡)) β†’ (((πΎβ€˜(𝐴 ∩ (0..^𝑁))) + (πΎβ€˜(𝐡 ∩ (0..^𝑁)))) + (if(𝑁 ∈ 𝐴, (2↑𝑁), 0) + if(𝑁 ∈ 𝐡, (2↑𝑁), 0))) = (((πΎβ€˜(𝐴 ∩ (0..^𝑁))) + (πΎβ€˜(𝐡 ∩ (0..^𝑁)))) + 0))
10029nn0red 12530 . . . . . . . . . . . . . 14 (πœ‘ β†’ (πΎβ€˜(𝐴 ∩ (0..^𝑁))) ∈ ℝ)
101100ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ βˆ… ∈ (πΆβ€˜π‘)) ∧ (Β¬ 𝑁 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑁 ∈ 𝐡)) β†’ (πΎβ€˜(𝐴 ∩ (0..^𝑁))) ∈ ℝ)
10239nn0red 12530 . . . . . . . . . . . . . 14 (πœ‘ β†’ (πΎβ€˜(𝐡 ∩ (0..^𝑁))) ∈ ℝ)
103102ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ βˆ… ∈ (πΆβ€˜π‘)) ∧ (Β¬ 𝑁 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑁 ∈ 𝐡)) β†’ (πΎβ€˜(𝐡 ∩ (0..^𝑁))) ∈ ℝ)
104101, 103readdcld 11240 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ βˆ… ∈ (πΆβ€˜π‘)) ∧ (Β¬ 𝑁 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑁 ∈ 𝐡)) β†’ ((πΎβ€˜(𝐴 ∩ (0..^𝑁))) + (πΎβ€˜(𝐡 ∩ (0..^𝑁)))) ∈ ℝ)
105104recnd 11239 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ βˆ… ∈ (πΆβ€˜π‘)) ∧ (Β¬ 𝑁 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑁 ∈ 𝐡)) β†’ ((πΎβ€˜(𝐴 ∩ (0..^𝑁))) + (πΎβ€˜(𝐡 ∩ (0..^𝑁)))) ∈ β„‚)
106105addridd 11411 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ βˆ… ∈ (πΆβ€˜π‘)) ∧ (Β¬ 𝑁 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑁 ∈ 𝐡)) β†’ (((πΎβ€˜(𝐴 ∩ (0..^𝑁))) + (πΎβ€˜(𝐡 ∩ (0..^𝑁)))) + 0) = ((πΎβ€˜(𝐴 ∩ (0..^𝑁))) + (πΎβ€˜(𝐡 ∩ (0..^𝑁)))))
10799, 106eqtrd 2773 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ βˆ… ∈ (πΆβ€˜π‘)) ∧ (Β¬ 𝑁 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑁 ∈ 𝐡)) β†’ (((πΎβ€˜(𝐴 ∩ (0..^𝑁))) + (πΎβ€˜(𝐡 ∩ (0..^𝑁)))) + (if(𝑁 ∈ 𝐴, (2↑𝑁), 0) + if(𝑁 ∈ 𝐡, (2↑𝑁), 0))) = ((πΎβ€˜(𝐴 ∩ (0..^𝑁))) + (πΎβ€˜(𝐡 ∩ (0..^𝑁)))))
10822fveq1i 6890 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (πΎβ€˜(𝐴 ∩ (0..^𝑁))) = (β—‘(bits β†Ύ β„•0)β€˜(𝐴 ∩ (0..^𝑁)))
109108fveq2i 6892 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((bits β†Ύ β„•0)β€˜(πΎβ€˜(𝐴 ∩ (0..^𝑁)))) = ((bits β†Ύ β„•0)β€˜(β—‘(bits β†Ύ β„•0)β€˜(𝐴 ∩ (0..^𝑁))))
11029fvresd 6909 . . . . . . . . . . . . . . 15 (πœ‘ β†’ ((bits β†Ύ β„•0)β€˜(πΎβ€˜(𝐴 ∩ (0..^𝑁)))) = (bitsβ€˜(πΎβ€˜(𝐴 ∩ (0..^𝑁)))))
111 f1ocnvfv2 7272 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((bits β†Ύ β„•0):β„•0–1-1-ontoβ†’(𝒫 β„•0 ∩ Fin) ∧ (𝐴 ∩ (0..^𝑁)) ∈ (𝒫 β„•0 ∩ Fin)) β†’ ((bits β†Ύ β„•0)β€˜(β—‘(bits β†Ύ β„•0)β€˜(𝐴 ∩ (0..^𝑁)))) = (𝐴 ∩ (0..^𝑁)))
11219, 18, 111sylancr 588 . . . . . . . . . . . . . . 15 (πœ‘ β†’ ((bits β†Ύ β„•0)β€˜(β—‘(bits β†Ύ β„•0)β€˜(𝐴 ∩ (0..^𝑁)))) = (𝐴 ∩ (0..^𝑁)))
113109, 110, 1123eqtr3a 2797 . . . . . . . . . . . . . 14 (πœ‘ β†’ (bitsβ€˜(πΎβ€˜(𝐴 ∩ (0..^𝑁)))) = (𝐴 ∩ (0..^𝑁)))
114113, 14eqsstrdi 4036 . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ (bitsβ€˜(πΎβ€˜(𝐴 ∩ (0..^𝑁)))) βŠ† (0..^𝑁))
11529nn0zd 12581 . . . . . . . . . . . . . 14 (πœ‘ β†’ (πΎβ€˜(𝐴 ∩ (0..^𝑁))) ∈ β„€)
116 bitsfzo 16373 . . . . . . . . . . . . . 14 (((πΎβ€˜(𝐴 ∩ (0..^𝑁))) ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„•0) β†’ ((πΎβ€˜(𝐴 ∩ (0..^𝑁))) ∈ (0..^(2↑𝑁)) ↔ (bitsβ€˜(πΎβ€˜(𝐴 ∩ (0..^𝑁)))) βŠ† (0..^𝑁)))
117115, 5, 116syl2anc 585 . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ ((πΎβ€˜(𝐴 ∩ (0..^𝑁))) ∈ (0..^(2↑𝑁)) ↔ (bitsβ€˜(πΎβ€˜(𝐴 ∩ (0..^𝑁)))) βŠ† (0..^𝑁)))
118114, 117mpbird 257 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ (πΎβ€˜(𝐴 ∩ (0..^𝑁))) ∈ (0..^(2↑𝑁)))
119 elfzolt2 13638 . . . . . . . . . . . 12 ((πΎβ€˜(𝐴 ∩ (0..^𝑁))) ∈ (0..^(2↑𝑁)) β†’ (πΎβ€˜(𝐴 ∩ (0..^𝑁))) < (2↑𝑁))
120118, 119syl 17 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ (πΎβ€˜(𝐴 ∩ (0..^𝑁))) < (2↑𝑁))
12122fveq1i 6890 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (πΎβ€˜(𝐡 ∩ (0..^𝑁))) = (β—‘(bits β†Ύ β„•0)β€˜(𝐡 ∩ (0..^𝑁)))
122121fveq2i 6892 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((bits β†Ύ β„•0)β€˜(πΎβ€˜(𝐡 ∩ (0..^𝑁)))) = ((bits β†Ύ β„•0)β€˜(β—‘(bits β†Ύ β„•0)β€˜(𝐡 ∩ (0..^𝑁))))
12339fvresd 6909 . . . . . . . . . . . . . . 15 (πœ‘ β†’ ((bits β†Ύ β„•0)β€˜(πΎβ€˜(𝐡 ∩ (0..^𝑁)))) = (bitsβ€˜(πΎβ€˜(𝐡 ∩ (0..^𝑁)))))
124 f1ocnvfv2 7272 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((bits β†Ύ β„•0):β„•0–1-1-ontoβ†’(𝒫 β„•0 ∩ Fin) ∧ (𝐡 ∩ (0..^𝑁)) ∈ (𝒫 β„•0 ∩ Fin)) β†’ ((bits β†Ύ β„•0)β€˜(β—‘(bits β†Ύ β„•0)β€˜(𝐡 ∩ (0..^𝑁)))) = (𝐡 ∩ (0..^𝑁)))
12519, 37, 124sylancr 588 . . . . . . . . . . . . . . 15 (πœ‘ β†’ ((bits β†Ύ β„•0)β€˜(β—‘(bits β†Ύ β„•0)β€˜(𝐡 ∩ (0..^𝑁)))) = (𝐡 ∩ (0..^𝑁)))
126122, 123, 1253eqtr3a 2797 . . . . . . . . . . . . . 14 (πœ‘ β†’ (bitsβ€˜(πΎβ€˜(𝐡 ∩ (0..^𝑁)))) = (𝐡 ∩ (0..^𝑁)))
127126, 33eqsstrdi 4036 . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ (bitsβ€˜(πΎβ€˜(𝐡 ∩ (0..^𝑁)))) βŠ† (0..^𝑁))
12839nn0zd 12581 . . . . . . . . . . . . . 14 (πœ‘ β†’ (πΎβ€˜(𝐡 ∩ (0..^𝑁))) ∈ β„€)
129 bitsfzo 16373 . . . . . . . . . . . . . 14 (((πΎβ€˜(𝐡 ∩ (0..^𝑁))) ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„•0) β†’ ((πΎβ€˜(𝐡 ∩ (0..^𝑁))) ∈ (0..^(2↑𝑁)) ↔ (bitsβ€˜(πΎβ€˜(𝐡 ∩ (0..^𝑁)))) βŠ† (0..^𝑁)))
130128, 5, 129syl2anc 585 . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ ((πΎβ€˜(𝐡 ∩ (0..^𝑁))) ∈ (0..^(2↑𝑁)) ↔ (bitsβ€˜(πΎβ€˜(𝐡 ∩ (0..^𝑁)))) βŠ† (0..^𝑁)))
131127, 130mpbird 257 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ (πΎβ€˜(𝐡 ∩ (0..^𝑁))) ∈ (0..^(2↑𝑁)))
132 elfzolt2 13638 . . . . . . . . . . . 12 ((πΎβ€˜(𝐡 ∩ (0..^𝑁))) ∈ (0..^(2↑𝑁)) β†’ (πΎβ€˜(𝐡 ∩ (0..^𝑁))) < (2↑𝑁))
133131, 132syl 17 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ (πΎβ€˜(𝐡 ∩ (0..^𝑁))) < (2↑𝑁))
134100, 102, 7, 7, 120, 133lt2addd 11834 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ ((πΎβ€˜(𝐴 ∩ (0..^𝑁))) + (πΎβ€˜(𝐡 ∩ (0..^𝑁)))) < ((2↑𝑁) + (2↑𝑁)))
135134ad2antrr 725 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ βˆ… ∈ (πΆβ€˜π‘)) ∧ (Β¬ 𝑁 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑁 ∈ 𝐡)) β†’ ((πΎβ€˜(𝐴 ∩ (0..^𝑁))) + (πΎβ€˜(𝐡 ∩ (0..^𝑁)))) < ((2↑𝑁) + (2↑𝑁)))
136107, 135eqbrtrd 5170 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ βˆ… ∈ (πΆβ€˜π‘)) ∧ (Β¬ 𝑁 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑁 ∈ 𝐡)) β†’ (((πΎβ€˜(𝐴 ∩ (0..^𝑁))) + (πΎβ€˜(𝐡 ∩ (0..^𝑁)))) + (if(𝑁 ∈ 𝐴, (2↑𝑁), 0) + if(𝑁 ∈ 𝐡, (2↑𝑁), 0))) < ((2↑𝑁) + (2↑𝑁)))
13780ad2antrr 725 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ βˆ… ∈ (πΆβ€˜π‘)) ∧ (Β¬ 𝑁 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑁 ∈ 𝐡)) β†’ if(𝑁 ∈ 𝐴, (2↑𝑁), 0) ∈ ℝ)
13867ad2antrr 725 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ βˆ… ∈ (πΆβ€˜π‘)) ∧ (Β¬ 𝑁 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑁 ∈ 𝐡)) β†’ if(𝑁 ∈ 𝐡, (2↑𝑁), 0) ∈ ℝ)
139137, 138readdcld 11240 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ βˆ… ∈ (πΆβ€˜π‘)) ∧ (Β¬ 𝑁 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑁 ∈ 𝐡)) β†’ (if(𝑁 ∈ 𝐴, (2↑𝑁), 0) + if(𝑁 ∈ 𝐡, (2↑𝑁), 0)) ∈ ℝ)
140104, 139readdcld 11240 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ βˆ… ∈ (πΆβ€˜π‘)) ∧ (Β¬ 𝑁 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑁 ∈ 𝐡)) β†’ (((πΎβ€˜(𝐴 ∩ (0..^𝑁))) + (πΎβ€˜(𝐡 ∩ (0..^𝑁)))) + (if(𝑁 ∈ 𝐴, (2↑𝑁), 0) + if(𝑁 ∈ 𝐡, (2↑𝑁), 0))) ∈ ℝ)
1417ad2antrr 725 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ βˆ… ∈ (πΆβ€˜π‘)) ∧ (Β¬ 𝑁 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑁 ∈ 𝐡)) β†’ (2↑𝑁) ∈ ℝ)
142141, 141readdcld 11240 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ βˆ… ∈ (πΆβ€˜π‘)) ∧ (Β¬ 𝑁 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑁 ∈ 𝐡)) β†’ ((2↑𝑁) + (2↑𝑁)) ∈ ℝ)
143140, 142ltnled 11358 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ βˆ… ∈ (πΆβ€˜π‘)) ∧ (Β¬ 𝑁 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑁 ∈ 𝐡)) β†’ ((((πΎβ€˜(𝐴 ∩ (0..^𝑁))) + (πΎβ€˜(𝐡 ∩ (0..^𝑁)))) + (if(𝑁 ∈ 𝐴, (2↑𝑁), 0) + if(𝑁 ∈ 𝐡, (2↑𝑁), 0))) < ((2↑𝑁) + (2↑𝑁)) ↔ Β¬ ((2↑𝑁) + (2↑𝑁)) ≀ (((πΎβ€˜(𝐴 ∩ (0..^𝑁))) + (πΎβ€˜(𝐡 ∩ (0..^𝑁)))) + (if(𝑁 ∈ 𝐴, (2↑𝑁), 0) + if(𝑁 ∈ 𝐡, (2↑𝑁), 0)))))
144136, 143mpbid 231 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ βˆ… ∈ (πΆβ€˜π‘)) ∧ (Β¬ 𝑁 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑁 ∈ 𝐡)) β†’ Β¬ ((2↑𝑁) + (2↑𝑁)) ≀ (((πΎβ€˜(𝐴 ∩ (0..^𝑁))) + (πΎβ€˜(𝐡 ∩ (0..^𝑁)))) + (if(𝑁 ∈ 𝐴, (2↑𝑁), 0) + if(𝑁 ∈ 𝐡, (2↑𝑁), 0))))
145144ex 414 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ βˆ… ∈ (πΆβ€˜π‘)) β†’ ((Β¬ 𝑁 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑁 ∈ 𝐡) β†’ Β¬ ((2↑𝑁) + (2↑𝑁)) ≀ (((πΎβ€˜(𝐴 ∩ (0..^𝑁))) + (πΎβ€˜(𝐡 ∩ (0..^𝑁)))) + (if(𝑁 ∈ 𝐴, (2↑𝑁), 0) + if(𝑁 ∈ 𝐡, (2↑𝑁), 0)))))
14691, 145biimtrid 241 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ βˆ… ∈ (πΆβ€˜π‘)) β†’ (Β¬ (𝑁 ∈ 𝐴 ∨ 𝑁 ∈ 𝐡) β†’ Β¬ ((2↑𝑁) + (2↑𝑁)) ≀ (((πΎβ€˜(𝐴 ∩ (0..^𝑁))) + (πΎβ€˜(𝐡 ∩ (0..^𝑁)))) + (if(𝑁 ∈ 𝐴, (2↑𝑁), 0) + if(𝑁 ∈ 𝐡, (2↑𝑁), 0)))))
14790, 146impcon4bid 226 . . . 4 ((πœ‘ ∧ βˆ… ∈ (πΆβ€˜π‘)) β†’ ((𝑁 ∈ 𝐴 ∨ 𝑁 ∈ 𝐡) ↔ ((2↑𝑁) + (2↑𝑁)) ≀ (((πΎβ€˜(𝐴 ∩ (0..^𝑁))) + (πΎβ€˜(𝐡 ∩ (0..^𝑁)))) + (if(𝑁 ∈ 𝐴, (2↑𝑁), 0) + if(𝑁 ∈ 𝐡, (2↑𝑁), 0)))))
1482, 147bitrd 279 . . 3 ((πœ‘ ∧ βˆ… ∈ (πΆβ€˜π‘)) β†’ (cadd(𝑁 ∈ 𝐴, 𝑁 ∈ 𝐡, βˆ… ∈ (πΆβ€˜π‘)) ↔ ((2↑𝑁) + (2↑𝑁)) ≀ (((πΎβ€˜(𝐴 ∩ (0..^𝑁))) + (πΎβ€˜(𝐡 ∩ (0..^𝑁)))) + (if(𝑁 ∈ 𝐴, (2↑𝑁), 0) + if(𝑁 ∈ 𝐡, (2↑𝑁), 0)))))
149 cad0 1620 . . . . 5 (Β¬ βˆ… ∈ (πΆβ€˜π‘) β†’ (cadd(𝑁 ∈ 𝐴, 𝑁 ∈ 𝐡, βˆ… ∈ (πΆβ€˜π‘)) ↔ (𝑁 ∈ 𝐴 ∧ 𝑁 ∈ 𝐡)))
150149adantl 483 . . . 4 ((πœ‘ ∧ Β¬ βˆ… ∈ (πΆβ€˜π‘)) β†’ (cadd(𝑁 ∈ 𝐴, 𝑁 ∈ 𝐡, βˆ… ∈ (πΆβ€˜π‘)) ↔ (𝑁 ∈ 𝐴 ∧ 𝑁 ∈ 𝐡)))
15140nn0ge0d 12532 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 0 ≀ ((πΎβ€˜(𝐴 ∩ (0..^𝑁))) + (πΎβ€˜(𝐡 ∩ (0..^𝑁)))))
1527, 7readdcld 11240 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ ((2↑𝑁) + (2↑𝑁)) ∈ ℝ)
153152, 41addge02d 11800 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (0 ≀ ((πΎβ€˜(𝐴 ∩ (0..^𝑁))) + (πΎβ€˜(𝐡 ∩ (0..^𝑁)))) ↔ ((2↑𝑁) + (2↑𝑁)) ≀ (((πΎβ€˜(𝐴 ∩ (0..^𝑁))) + (πΎβ€˜(𝐡 ∩ (0..^𝑁)))) + ((2↑𝑁) + (2↑𝑁)))))
154151, 153mpbid 231 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ ((2↑𝑁) + (2↑𝑁)) ≀ (((πΎβ€˜(𝐴 ∩ (0..^𝑁))) + (πΎβ€˜(𝐡 ∩ (0..^𝑁)))) + ((2↑𝑁) + (2↑𝑁))))
155154ad2antrr 725 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ Β¬ βˆ… ∈ (πΆβ€˜π‘)) ∧ (𝑁 ∈ 𝐴 ∧ 𝑁 ∈ 𝐡)) β†’ ((2↑𝑁) + (2↑𝑁)) ≀ (((πΎβ€˜(𝐴 ∩ (0..^𝑁))) + (πΎβ€˜(𝐡 ∩ (0..^𝑁)))) + ((2↑𝑁) + (2↑𝑁))))
15671, 84oveqan12d 7425 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ 𝐴 ∧ 𝑁 ∈ 𝐡) β†’ (if(𝑁 ∈ 𝐴, (2↑𝑁), 0) + if(𝑁 ∈ 𝐡, (2↑𝑁), 0)) = ((2↑𝑁) + (2↑𝑁)))
157156adantl 483 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ Β¬ βˆ… ∈ (πΆβ€˜π‘)) ∧ (𝑁 ∈ 𝐴 ∧ 𝑁 ∈ 𝐡)) β†’ (if(𝑁 ∈ 𝐴, (2↑𝑁), 0) + if(𝑁 ∈ 𝐡, (2↑𝑁), 0)) = ((2↑𝑁) + (2↑𝑁)))
158157oveq2d 7422 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ Β¬ βˆ… ∈ (πΆβ€˜π‘)) ∧ (𝑁 ∈ 𝐴 ∧ 𝑁 ∈ 𝐡)) β†’ (((πΎβ€˜(𝐴 ∩ (0..^𝑁))) + (πΎβ€˜(𝐡 ∩ (0..^𝑁)))) + (if(𝑁 ∈ 𝐴, (2↑𝑁), 0) + if(𝑁 ∈ 𝐡, (2↑𝑁), 0))) = (((πΎβ€˜(𝐴 ∩ (0..^𝑁))) + (πΎβ€˜(𝐡 ∩ (0..^𝑁)))) + ((2↑𝑁) + (2↑𝑁))))
159155, 158breqtrrd 5176 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ Β¬ βˆ… ∈ (πΆβ€˜π‘)) ∧ (𝑁 ∈ 𝐴 ∧ 𝑁 ∈ 𝐡)) β†’ ((2↑𝑁) + (2↑𝑁)) ≀ (((πΎβ€˜(𝐴 ∩ (0..^𝑁))) + (πΎβ€˜(𝐡 ∩ (0..^𝑁)))) + (if(𝑁 ∈ 𝐴, (2↑𝑁), 0) + if(𝑁 ∈ 𝐡, (2↑𝑁), 0))))
160159ex 414 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ Β¬ βˆ… ∈ (πΆβ€˜π‘)) β†’ ((𝑁 ∈ 𝐴 ∧ 𝑁 ∈ 𝐡) β†’ ((2↑𝑁) + (2↑𝑁)) ≀ (((πΎβ€˜(𝐴 ∩ (0..^𝑁))) + (πΎβ€˜(𝐡 ∩ (0..^𝑁)))) + (if(𝑁 ∈ 𝐴, (2↑𝑁), 0) + if(𝑁 ∈ 𝐡, (2↑𝑁), 0)))))
161100adantr 482 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ Β¬ βˆ… ∈ (πΆβ€˜π‘)) β†’ (πΎβ€˜(𝐴 ∩ (0..^𝑁))) ∈ ℝ)
162102adantr 482 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ Β¬ βˆ… ∈ (πΆβ€˜π‘)) β†’ (πΎβ€˜(𝐡 ∩ (0..^𝑁))) ∈ ℝ)
163161, 162readdcld 11240 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ Β¬ βˆ… ∈ (πΆβ€˜π‘)) β†’ ((πΎβ€˜(𝐴 ∩ (0..^𝑁))) + (πΎβ€˜(𝐡 ∩ (0..^𝑁)))) ∈ ℝ)
1647adantr 482 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ Β¬ βˆ… ∈ (πΆβ€˜π‘)) β†’ (2↑𝑁) ∈ ℝ)
1657, 41lenltd 11357 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ ((2↑𝑁) ≀ ((πΎβ€˜(𝐴 ∩ (0..^𝑁))) + (πΎβ€˜(𝐡 ∩ (0..^𝑁)))) ↔ Β¬ ((πΎβ€˜(𝐴 ∩ (0..^𝑁))) + (πΎβ€˜(𝐡 ∩ (0..^𝑁)))) < (2↑𝑁)))
16658, 165bitrd 279 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ (βˆ… ∈ (πΆβ€˜π‘) ↔ Β¬ ((πΎβ€˜(𝐴 ∩ (0..^𝑁))) + (πΎβ€˜(𝐡 ∩ (0..^𝑁)))) < (2↑𝑁)))
167166con2bid 355 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ (((πΎβ€˜(𝐴 ∩ (0..^𝑁))) + (πΎβ€˜(𝐡 ∩ (0..^𝑁)))) < (2↑𝑁) ↔ Β¬ βˆ… ∈ (πΆβ€˜π‘)))
168167biimpar 479 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ Β¬ βˆ… ∈ (πΆβ€˜π‘)) β†’ ((πΎβ€˜(𝐴 ∩ (0..^𝑁))) + (πΎβ€˜(𝐡 ∩ (0..^𝑁)))) < (2↑𝑁))
169163, 164, 164, 168ltadd1dd 11822 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ Β¬ βˆ… ∈ (πΆβ€˜π‘)) β†’ (((πΎβ€˜(𝐴 ∩ (0..^𝑁))) + (πΎβ€˜(𝐡 ∩ (0..^𝑁)))) + (2↑𝑁)) < ((2↑𝑁) + (2↑𝑁)))
170163, 164readdcld 11240 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ Β¬ βˆ… ∈ (πΆβ€˜π‘)) β†’ (((πΎβ€˜(𝐴 ∩ (0..^𝑁))) + (πΎβ€˜(𝐡 ∩ (0..^𝑁)))) + (2↑𝑁)) ∈ ℝ)
171152adantr 482 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ Β¬ βˆ… ∈ (πΆβ€˜π‘)) β†’ ((2↑𝑁) + (2↑𝑁)) ∈ ℝ)
17241, 56readdcld 11240 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ (((πΎβ€˜(𝐴 ∩ (0..^𝑁))) + (πΎβ€˜(𝐡 ∩ (0..^𝑁)))) + (if(𝑁 ∈ 𝐴, (2↑𝑁), 0) + if(𝑁 ∈ 𝐡, (2↑𝑁), 0))) ∈ ℝ)
173172adantr 482 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ Β¬ βˆ… ∈ (πΆβ€˜π‘)) β†’ (((πΎβ€˜(𝐴 ∩ (0..^𝑁))) + (πΎβ€˜(𝐡 ∩ (0..^𝑁)))) + (if(𝑁 ∈ 𝐴, (2↑𝑁), 0) + if(𝑁 ∈ 𝐡, (2↑𝑁), 0))) ∈ ℝ)
174 ltletr 11303 . . . . . . . . 9 (((((πΎβ€˜(𝐴 ∩ (0..^𝑁))) + (πΎβ€˜(𝐡 ∩ (0..^𝑁)))) + (2↑𝑁)) ∈ ℝ ∧ ((2↑𝑁) + (2↑𝑁)) ∈ ℝ ∧ (((πΎβ€˜(𝐴 ∩ (0..^𝑁))) + (πΎβ€˜(𝐡 ∩ (0..^𝑁)))) + (if(𝑁 ∈ 𝐴, (2↑𝑁), 0) + if(𝑁 ∈ 𝐡, (2↑𝑁), 0))) ∈ ℝ) β†’ (((((πΎβ€˜(𝐴 ∩ (0..^𝑁))) + (πΎβ€˜(𝐡 ∩ (0..^𝑁)))) + (2↑𝑁)) < ((2↑𝑁) + (2↑𝑁)) ∧ ((2↑𝑁) + (2↑𝑁)) ≀ (((πΎβ€˜(𝐴 ∩ (0..^𝑁))) + (πΎβ€˜(𝐡 ∩ (0..^𝑁)))) + (if(𝑁 ∈ 𝐴, (2↑𝑁), 0) + if(𝑁 ∈ 𝐡, (2↑𝑁), 0)))) β†’ (((πΎβ€˜(𝐴 ∩ (0..^𝑁))) + (πΎβ€˜(𝐡 ∩ (0..^𝑁)))) + (2↑𝑁)) < (((πΎβ€˜(𝐴 ∩ (0..^𝑁))) + (πΎβ€˜(𝐡 ∩ (0..^𝑁)))) + (if(𝑁 ∈ 𝐴, (2↑𝑁), 0) + if(𝑁 ∈ 𝐡, (2↑𝑁), 0)))))
175170, 171, 173, 174syl3anc 1372 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ Β¬ βˆ… ∈ (πΆβ€˜π‘)) β†’ (((((πΎβ€˜(𝐴 ∩ (0..^𝑁))) + (πΎβ€˜(𝐡 ∩ (0..^𝑁)))) + (2↑𝑁)) < ((2↑𝑁) + (2↑𝑁)) ∧ ((2↑𝑁) + (2↑𝑁)) ≀ (((πΎβ€˜(𝐴 ∩ (0..^𝑁))) + (πΎβ€˜(𝐡 ∩ (0..^𝑁)))) + (if(𝑁 ∈ 𝐴, (2↑𝑁), 0) + if(𝑁 ∈ 𝐡, (2↑𝑁), 0)))) β†’ (((πΎβ€˜(𝐴 ∩ (0..^𝑁))) + (πΎβ€˜(𝐡 ∩ (0..^𝑁)))) + (2↑𝑁)) < (((πΎβ€˜(𝐴 ∩ (0..^𝑁))) + (πΎβ€˜(𝐡 ∩ (0..^𝑁)))) + (if(𝑁 ∈ 𝐴, (2↑𝑁), 0) + if(𝑁 ∈ 𝐡, (2↑𝑁), 0)))))
176169, 175mpand 694 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ Β¬ βˆ… ∈ (πΆβ€˜π‘)) β†’ (((2↑𝑁) + (2↑𝑁)) ≀ (((πΎβ€˜(𝐴 ∩ (0..^𝑁))) + (πΎβ€˜(𝐡 ∩ (0..^𝑁)))) + (if(𝑁 ∈ 𝐴, (2↑𝑁), 0) + if(𝑁 ∈ 𝐡, (2↑𝑁), 0))) β†’ (((πΎβ€˜(𝐴 ∩ (0..^𝑁))) + (πΎβ€˜(𝐡 ∩ (0..^𝑁)))) + (2↑𝑁)) < (((πΎβ€˜(𝐴 ∩ (0..^𝑁))) + (πΎβ€˜(𝐡 ∩ (0..^𝑁)))) + (if(𝑁 ∈ 𝐴, (2↑𝑁), 0) + if(𝑁 ∈ 𝐡, (2↑𝑁), 0)))))
17756adantr 482 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ Β¬ βˆ… ∈ (πΆβ€˜π‘)) β†’ (if(𝑁 ∈ 𝐴, (2↑𝑁), 0) + if(𝑁 ∈ 𝐡, (2↑𝑁), 0)) ∈ ℝ)
17841adantr 482 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ Β¬ βˆ… ∈ (πΆβ€˜π‘)) β†’ ((πΎβ€˜(𝐴 ∩ (0..^𝑁))) + (πΎβ€˜(𝐡 ∩ (0..^𝑁)))) ∈ ℝ)
179164, 177, 178ltadd2d 11367 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ Β¬ βˆ… ∈ (πΆβ€˜π‘)) β†’ ((2↑𝑁) < (if(𝑁 ∈ 𝐴, (2↑𝑁), 0) + if(𝑁 ∈ 𝐡, (2↑𝑁), 0)) ↔ (((πΎβ€˜(𝐴 ∩ (0..^𝑁))) + (πΎβ€˜(𝐡 ∩ (0..^𝑁)))) + (2↑𝑁)) < (((πΎβ€˜(𝐴 ∩ (0..^𝑁))) + (πΎβ€˜(𝐡 ∩ (0..^𝑁)))) + (if(𝑁 ∈ 𝐴, (2↑𝑁), 0) + if(𝑁 ∈ 𝐡, (2↑𝑁), 0)))))
180176, 179sylibrd 259 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ Β¬ βˆ… ∈ (πΆβ€˜π‘)) β†’ (((2↑𝑁) + (2↑𝑁)) ≀ (((πΎβ€˜(𝐴 ∩ (0..^𝑁))) + (πΎβ€˜(𝐡 ∩ (0..^𝑁)))) + (if(𝑁 ∈ 𝐴, (2↑𝑁), 0) + if(𝑁 ∈ 𝐡, (2↑𝑁), 0))) β†’ (2↑𝑁) < (if(𝑁 ∈ 𝐴, (2↑𝑁), 0) + if(𝑁 ∈ 𝐡, (2↑𝑁), 0))))
1817, 56ltnled 11358 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ ((2↑𝑁) < (if(𝑁 ∈ 𝐴, (2↑𝑁), 0) + if(𝑁 ∈ 𝐡, (2↑𝑁), 0)) ↔ Β¬ (if(𝑁 ∈ 𝐴, (2↑𝑁), 0) + if(𝑁 ∈ 𝐡, (2↑𝑁), 0)) ≀ (2↑𝑁)))
18263nn0cnd 12531 . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ if(𝑁 ∈ 𝐡, (2↑𝑁), 0) ∈ β„‚)
183182addlidd 11412 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ (0 + if(𝑁 ∈ 𝐡, (2↑𝑁), 0)) = if(𝑁 ∈ 𝐡, (2↑𝑁), 0))
1847leidd 11777 . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ (2↑𝑁) ≀ (2↑𝑁))
18561nn0ge0d 12532 . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ 0 ≀ (2↑𝑁))
186 breq1 5151 . . . . . . . . . . . . . 14 ((2↑𝑁) = if(𝑁 ∈ 𝐡, (2↑𝑁), 0) β†’ ((2↑𝑁) ≀ (2↑𝑁) ↔ if(𝑁 ∈ 𝐡, (2↑𝑁), 0) ≀ (2↑𝑁)))
187 breq1 5151 . . . . . . . . . . . . . 14 (0 = if(𝑁 ∈ 𝐡, (2↑𝑁), 0) β†’ (0 ≀ (2↑𝑁) ↔ if(𝑁 ∈ 𝐡, (2↑𝑁), 0) ≀ (2↑𝑁)))
188186, 187ifboth 4567 . . . . . . . . . . . . 13 (((2↑𝑁) ≀ (2↑𝑁) ∧ 0 ≀ (2↑𝑁)) β†’ if(𝑁 ∈ 𝐡, (2↑𝑁), 0) ≀ (2↑𝑁))
189184, 185, 188syl2anc 585 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ if(𝑁 ∈ 𝐡, (2↑𝑁), 0) ≀ (2↑𝑁))
190183, 189eqbrtrd 5170 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ (0 + if(𝑁 ∈ 𝐡, (2↑𝑁), 0)) ≀ (2↑𝑁))
19192oveq1d 7421 . . . . . . . . . . . 12 (Β¬ 𝑁 ∈ 𝐴 β†’ (if(𝑁 ∈ 𝐴, (2↑𝑁), 0) + if(𝑁 ∈ 𝐡, (2↑𝑁), 0)) = (0 + if(𝑁 ∈ 𝐡, (2↑𝑁), 0)))
192191breq1d 5158 . . . . . . . . . . 11 (Β¬ 𝑁 ∈ 𝐴 β†’ ((if(𝑁 ∈ 𝐴, (2↑𝑁), 0) + if(𝑁 ∈ 𝐡, (2↑𝑁), 0)) ≀ (2↑𝑁) ↔ (0 + if(𝑁 ∈ 𝐡, (2↑𝑁), 0)) ≀ (2↑𝑁)))
193190, 192syl5ibrcom 246 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ (Β¬ 𝑁 ∈ 𝐴 β†’ (if(𝑁 ∈ 𝐴, (2↑𝑁), 0) + if(𝑁 ∈ 𝐡, (2↑𝑁), 0)) ≀ (2↑𝑁)))
194193con1d 145 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (Β¬ (if(𝑁 ∈ 𝐴, (2↑𝑁), 0) + if(𝑁 ∈ 𝐡, (2↑𝑁), 0)) ≀ (2↑𝑁) β†’ 𝑁 ∈ 𝐴))
19576nn0cnd 12531 . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ if(𝑁 ∈ 𝐴, (2↑𝑁), 0) ∈ β„‚)
196195addridd 11411 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ (if(𝑁 ∈ 𝐴, (2↑𝑁), 0) + 0) = if(𝑁 ∈ 𝐴, (2↑𝑁), 0))
197 breq1 5151 . . . . . . . . . . . . . 14 ((2↑𝑁) = if(𝑁 ∈ 𝐴, (2↑𝑁), 0) β†’ ((2↑𝑁) ≀ (2↑𝑁) ↔ if(𝑁 ∈ 𝐴, (2↑𝑁), 0) ≀ (2↑𝑁)))
198 breq1 5151 . . . . . . . . . . . . . 14 (0 = if(𝑁 ∈ 𝐴, (2↑𝑁), 0) β†’ (0 ≀ (2↑𝑁) ↔ if(𝑁 ∈ 𝐴, (2↑𝑁), 0) ≀ (2↑𝑁)))
199197, 198ifboth 4567 . . . . . . . . . . . . 13 (((2↑𝑁) ≀ (2↑𝑁) ∧ 0 ≀ (2↑𝑁)) β†’ if(𝑁 ∈ 𝐴, (2↑𝑁), 0) ≀ (2↑𝑁))
200184, 185, 199syl2anc 585 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ if(𝑁 ∈ 𝐴, (2↑𝑁), 0) ≀ (2↑𝑁))
201196, 200eqbrtrd 5170 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ (if(𝑁 ∈ 𝐴, (2↑𝑁), 0) + 0) ≀ (2↑𝑁))
20294oveq2d 7422 . . . . . . . . . . . 12 (Β¬ 𝑁 ∈ 𝐡 β†’ (if(𝑁 ∈ 𝐴, (2↑𝑁), 0) + if(𝑁 ∈ 𝐡, (2↑𝑁), 0)) = (if(𝑁 ∈ 𝐴, (2↑𝑁), 0) + 0))
203202breq1d 5158 . . . . . . . . . . 11 (Β¬ 𝑁 ∈ 𝐡 β†’ ((if(𝑁 ∈ 𝐴, (2↑𝑁), 0) + if(𝑁 ∈ 𝐡, (2↑𝑁), 0)) ≀ (2↑𝑁) ↔ (if(𝑁 ∈ 𝐴, (2↑𝑁), 0) + 0) ≀ (2↑𝑁)))
204201, 203syl5ibrcom 246 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ (Β¬ 𝑁 ∈ 𝐡 β†’ (if(𝑁 ∈ 𝐴, (2↑𝑁), 0) + if(𝑁 ∈ 𝐡, (2↑𝑁), 0)) ≀ (2↑𝑁)))
205204con1d 145 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (Β¬ (if(𝑁 ∈ 𝐴, (2↑𝑁), 0) + if(𝑁 ∈ 𝐡, (2↑𝑁), 0)) ≀ (2↑𝑁) β†’ 𝑁 ∈ 𝐡))
206194, 205jcad 514 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (Β¬ (if(𝑁 ∈ 𝐴, (2↑𝑁), 0) + if(𝑁 ∈ 𝐡, (2↑𝑁), 0)) ≀ (2↑𝑁) β†’ (𝑁 ∈ 𝐴 ∧ 𝑁 ∈ 𝐡)))
207181, 206sylbid 239 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ ((2↑𝑁) < (if(𝑁 ∈ 𝐴, (2↑𝑁), 0) + if(𝑁 ∈ 𝐡, (2↑𝑁), 0)) β†’ (𝑁 ∈ 𝐴 ∧ 𝑁 ∈ 𝐡)))
208207adantr 482 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ Β¬ βˆ… ∈ (πΆβ€˜π‘)) β†’ ((2↑𝑁) < (if(𝑁 ∈ 𝐴, (2↑𝑁), 0) + if(𝑁 ∈ 𝐡, (2↑𝑁), 0)) β†’ (𝑁 ∈ 𝐴 ∧ 𝑁 ∈ 𝐡)))
209180, 208syld 47 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ Β¬ βˆ… ∈ (πΆβ€˜π‘)) β†’ (((2↑𝑁) + (2↑𝑁)) ≀ (((πΎβ€˜(𝐴 ∩ (0..^𝑁))) + (πΎβ€˜(𝐡 ∩ (0..^𝑁)))) + (if(𝑁 ∈ 𝐴, (2↑𝑁), 0) + if(𝑁 ∈ 𝐡, (2↑𝑁), 0))) β†’ (𝑁 ∈ 𝐴 ∧ 𝑁 ∈ 𝐡)))
210160, 209impbid 211 . . . 4 ((πœ‘ ∧ Β¬ βˆ… ∈ (πΆβ€˜π‘)) β†’ ((𝑁 ∈ 𝐴 ∧ 𝑁 ∈ 𝐡) ↔ ((2↑𝑁) + (2↑𝑁)) ≀ (((πΎβ€˜(𝐴 ∩ (0..^𝑁))) + (πΎβ€˜(𝐡 ∩ (0..^𝑁)))) + (if(𝑁 ∈ 𝐴, (2↑𝑁), 0) + if(𝑁 ∈ 𝐡, (2↑𝑁), 0)))))
211150, 210bitrd 279 . . 3 ((πœ‘ ∧ Β¬ βˆ… ∈ (πΆβ€˜π‘)) β†’ (cadd(𝑁 ∈ 𝐴, 𝑁 ∈ 𝐡, βˆ… ∈ (πΆβ€˜π‘)) ↔ ((2↑𝑁) + (2↑𝑁)) ≀ (((πΎβ€˜(𝐴 ∩ (0..^𝑁))) + (πΎβ€˜(𝐡 ∩ (0..^𝑁)))) + (if(𝑁 ∈ 𝐴, (2↑𝑁), 0) + if(𝑁 ∈ 𝐡, (2↑𝑁), 0)))))
212148, 211pm2.61dan 812 . 2 (πœ‘ β†’ (cadd(𝑁 ∈ 𝐴, 𝑁 ∈ 𝐡, βˆ… ∈ (πΆβ€˜π‘)) ↔ ((2↑𝑁) + (2↑𝑁)) ≀ (((πΎβ€˜(𝐴 ∩ (0..^𝑁))) + (πΎβ€˜(𝐡 ∩ (0..^𝑁)))) + (if(𝑁 ∈ 𝐴, (2↑𝑁), 0) + if(𝑁 ∈ 𝐡, (2↑𝑁), 0)))))
213 sadval.c . . 3 𝐢 = seq0((𝑐 ∈ 2o, π‘š ∈ β„•0 ↦ if(cadd(π‘š ∈ 𝐴, π‘š ∈ 𝐡, βˆ… ∈ 𝑐), 1o, βˆ…)), (𝑛 ∈ β„•0 ↦ if(𝑛 = 0, βˆ…, (𝑛 βˆ’ 1))))
21410, 31, 213, 5sadcp1 16393 . 2 (πœ‘ β†’ (βˆ… ∈ (πΆβ€˜(𝑁 + 1)) ↔ cadd(𝑁 ∈ 𝐴, 𝑁 ∈ 𝐡, βˆ… ∈ (πΆβ€˜π‘))))
215 2cnd 12287 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 2 ∈ β„‚)
216215, 5expp1d 14109 . . . 4 (πœ‘ β†’ (2↑(𝑁 + 1)) = ((2↑𝑁) Β· 2))
2176nncnd 12225 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (2↑𝑁) ∈ β„‚)
218217times2d 12453 . . . 4 (πœ‘ β†’ ((2↑𝑁) Β· 2) = ((2↑𝑁) + (2↑𝑁)))
219216, 218eqtrd 2773 . . 3 (πœ‘ β†’ (2↑(𝑁 + 1)) = ((2↑𝑁) + (2↑𝑁)))
22022bitsinvp1 16387 . . . . . 6 ((𝐴 βŠ† β„•0 ∧ 𝑁 ∈ β„•0) β†’ (πΎβ€˜(𝐴 ∩ (0..^(𝑁 + 1)))) = ((πΎβ€˜(𝐴 ∩ (0..^𝑁))) + if(𝑁 ∈ 𝐴, (2↑𝑁), 0)))
22110, 5, 220syl2anc 585 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (πΎβ€˜(𝐴 ∩ (0..^(𝑁 + 1)))) = ((πΎβ€˜(𝐴 ∩ (0..^𝑁))) + if(𝑁 ∈ 𝐴, (2↑𝑁), 0)))
22222bitsinvp1 16387 . . . . . 6 ((𝐡 βŠ† β„•0 ∧ 𝑁 ∈ β„•0) β†’ (πΎβ€˜(𝐡 ∩ (0..^(𝑁 + 1)))) = ((πΎβ€˜(𝐡 ∩ (0..^𝑁))) + if(𝑁 ∈ 𝐡, (2↑𝑁), 0)))
22331, 5, 222syl2anc 585 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (πΎβ€˜(𝐡 ∩ (0..^(𝑁 + 1)))) = ((πΎβ€˜(𝐡 ∩ (0..^𝑁))) + if(𝑁 ∈ 𝐡, (2↑𝑁), 0)))
224221, 223oveq12d 7424 . . . 4 (πœ‘ β†’ ((πΎβ€˜(𝐴 ∩ (0..^(𝑁 + 1)))) + (πΎβ€˜(𝐡 ∩ (0..^(𝑁 + 1))))) = (((πΎβ€˜(𝐴 ∩ (0..^𝑁))) + if(𝑁 ∈ 𝐴, (2↑𝑁), 0)) + ((πΎβ€˜(𝐡 ∩ (0..^𝑁))) + if(𝑁 ∈ 𝐡, (2↑𝑁), 0))))
22529nn0cnd 12531 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (πΎβ€˜(𝐴 ∩ (0..^𝑁))) ∈ β„‚)
22639nn0cnd 12531 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (πΎβ€˜(𝐡 ∩ (0..^𝑁))) ∈ β„‚)
227225, 195, 226, 182add4d 11439 . . . 4 (πœ‘ β†’ (((πΎβ€˜(𝐴 ∩ (0..^𝑁))) + if(𝑁 ∈ 𝐴, (2↑𝑁), 0)) + ((πΎβ€˜(𝐡 ∩ (0..^𝑁))) + if(𝑁 ∈ 𝐡, (2↑𝑁), 0))) = (((πΎβ€˜(𝐴 ∩ (0..^𝑁))) + (πΎβ€˜(𝐡 ∩ (0..^𝑁)))) + (if(𝑁 ∈ 𝐴, (2↑𝑁), 0) + if(𝑁 ∈ 𝐡, (2↑𝑁), 0))))
228224, 227eqtrd 2773 . . 3 (πœ‘ β†’ ((πΎβ€˜(𝐴 ∩ (0..^(𝑁 + 1)))) + (πΎβ€˜(𝐡 ∩ (0..^(𝑁 + 1))))) = (((πΎβ€˜(𝐴 ∩ (0..^𝑁))) + (πΎβ€˜(𝐡 ∩ (0..^𝑁)))) + (if(𝑁 ∈ 𝐴, (2↑𝑁), 0) + if(𝑁 ∈ 𝐡, (2↑𝑁), 0))))
229219, 228breq12d 5161 . 2 (πœ‘ β†’ ((2↑(𝑁 + 1)) ≀ ((πΎβ€˜(𝐴 ∩ (0..^(𝑁 + 1)))) + (πΎβ€˜(𝐡 ∩ (0..^(𝑁 + 1))))) ↔ ((2↑𝑁) + (2↑𝑁)) ≀ (((πΎβ€˜(𝐴 ∩ (0..^𝑁))) + (πΎβ€˜(𝐡 ∩ (0..^𝑁)))) + (if(𝑁 ∈ 𝐴, (2↑𝑁), 0) + if(𝑁 ∈ 𝐡, (2↑𝑁), 0)))))
230212, 214, 2293bitr4d 311 1 (πœ‘ β†’ (βˆ… ∈ (πΆβ€˜(𝑁 + 1)) ↔ (2↑(𝑁 + 1)) ≀ ((πΎβ€˜(𝐴 ∩ (0..^(𝑁 + 1)))) + (πΎβ€˜(𝐡 ∩ (0..^(𝑁 + 1)))))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   ∨ wo 846   = wceq 1542  caddwcad 1608   ∈ wcel 2107   ∩ cin 3947   βŠ† wss 3948  βˆ…c0 4322  ifcif 4528  π’« cpw 4602   class class class wbr 5148   ↦ cmpt 5231  β—‘ccnv 5675   β†Ύ cres 5678  βŸΆwf 6537  β€“1-1-ontoβ†’wf1o 6540  β€˜cfv 6541  (class class class)co 7406   ∈ cmpo 7408  1oc1o 8456  2oc2o 8457  Fincfn 8936  β„cr 11106  0cc0 11107  1c1 11108   + caddc 11110   Β· cmul 11112   < clt 11245   ≀ cle 11246   βˆ’ cmin 11441  β„•cn 12209  2c2 12264  β„•0cn0 12469  β„€cz 12555  ..^cfzo 13624  seqcseq 13963  β†‘cexp 14024  bitscbits 16357
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7722  ax-inf2 9633  ax-cnex 11163  ax-resscn 11164  ax-1cn 11165  ax-icn 11166  ax-addcl 11167  ax-addrcl 11168  ax-mulcl 11169  ax-mulrcl 11170  ax-mulcom 11171  ax-addass 11172  ax-mulass 11173  ax-distr 11174  ax-i2m1 11175  ax-1ne0 11176  ax-1rid 11177  ax-rnegex 11178  ax-rrecex 11179  ax-cnre 11180  ax-pre-lttri 11181  ax-pre-lttrn 11182  ax-pre-ltadd 11183  ax-pre-mulgt0 11184  ax-pre-sup 11185
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-xor 1511  df-tru 1545  df-fal 1555  df-cad 1609  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-int 4951  df-iun 4999  df-disj 5114  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-se 5632  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6298  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6493  df-fun 6543  df-fn 6544  df-f 6545  df-f1 6546  df-fo 6547  df-f1o 6548  df-fv 6549  df-isom 6550  df-riota 7362  df-ov 7409  df-oprab 7410  df-mpo 7411  df-om 7853  df-1st 7972  df-2nd 7973  df-frecs 8263  df-wrecs 8294  df-recs 8368  df-rdg 8407  df-1o 8463  df-2o 8464  df-oadd 8467  df-er 8700  df-map 8819  df-pm 8820  df-en 8937  df-dom 8938  df-sdom 8939  df-fin 8940  df-sup 9434  df-inf 9435  df-oi 9502  df-dju 9893  df-card 9931  df-pnf 11247  df-mnf 11248  df-xr 11249  df-ltxr 11250  df-le 11251  df-sub 11443  df-neg 11444  df-div 11869  df-nn 12210  df-2 12272  df-3 12273  df-n0 12470  df-xnn0 12542  df-z 12556  df-uz 12820  df-rp 12972  df-fz 13482  df-fzo 13625  df-fl 13754  df-mod 13832  df-seq 13964  df-exp 14025  df-hash 14288  df-cj 15043  df-re 15044  df-im 15045  df-sqrt 15179  df-abs 15180  df-clim 15429  df-sum 15630  df-dvds 16195  df-bits 16360
This theorem is referenced by:  sadcadd  16396
  Copyright terms: Public domain W3C validator