MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  sadcaddlem Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem sadcaddlem 15386
Description: Lemma for sadcadd 15387. (Contributed by Mario Carneiro, 8-Sep-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
sadval.a (𝜑𝐴 ⊆ ℕ0)
sadval.b (𝜑𝐵 ⊆ ℕ0)
sadval.c 𝐶 = seq0((𝑐 ∈ 2𝑜, 𝑚 ∈ ℕ0 ↦ if(cadd(𝑚𝐴, 𝑚𝐵, ∅ ∈ 𝑐), 1𝑜, ∅)), (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑛 = 0, ∅, (𝑛 − 1))))
sadcp1.n (𝜑𝑁 ∈ ℕ0)
sadcadd.k 𝐾 = (bits ↾ ℕ0)
sadcaddlem.1 (𝜑 → (∅ ∈ (𝐶𝑁) ↔ (2↑𝑁) ≤ ((𝐾‘(𝐴 ∩ (0..^𝑁))) + (𝐾‘(𝐵 ∩ (0..^𝑁))))))
Assertion
Ref Expression
sadcaddlem (𝜑 → (∅ ∈ (𝐶‘(𝑁 + 1)) ↔ (2↑(𝑁 + 1)) ≤ ((𝐾‘(𝐴 ∩ (0..^(𝑁 + 1)))) + (𝐾‘(𝐵 ∩ (0..^(𝑁 + 1)))))))
Distinct variable groups:   𝑚,𝑐,𝑛   𝐴,𝑐,𝑚   𝐵,𝑐,𝑚   𝑛,𝑁
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑚,𝑛,𝑐)   𝐴(𝑛)   𝐵(𝑛)   𝐶(𝑚,𝑛,𝑐)   𝐾(𝑚,𝑛,𝑐)   𝑁(𝑚,𝑐)

Proof of Theorem sadcaddlem
StepHypRef Expression
1 cad1 1703 . . . . 5 (∅ ∈ (𝐶𝑁) → (cadd(𝑁𝐴, 𝑁𝐵, ∅ ∈ (𝐶𝑁)) ↔ (𝑁𝐴𝑁𝐵)))
21adantl 467 . . . 4 ((𝜑 ∧ ∅ ∈ (𝐶𝑁)) → (cadd(𝑁𝐴, 𝑁𝐵, ∅ ∈ (𝐶𝑁)) ↔ (𝑁𝐴𝑁𝐵)))
3 2nn 11391 . . . . . . . . . . 11 2 ∈ ℕ
43a1i 11 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → 2 ∈ ℕ)
5 sadcp1.n . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑁 ∈ ℕ0)
64, 5nnexpcld 13236 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (2↑𝑁) ∈ ℕ)
76nnred 11240 . . . . . . . 8 (𝜑 → (2↑𝑁) ∈ ℝ)
87ad2antrr 705 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ ∅ ∈ (𝐶𝑁)) ∧ (𝑁𝐴𝑁𝐵)) → (2↑𝑁) ∈ ℝ)
9 inss1 3981 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐴 ∩ (0..^𝑁)) ⊆ 𝐴
10 sadval.a . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝐴 ⊆ ℕ0)
119, 10syl5ss 3763 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝐴 ∩ (0..^𝑁)) ⊆ ℕ0)
12 fzofi 12980 . . . . . . . . . . . . . 14 (0..^𝑁) ∈ Fin
1312a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (0..^𝑁) ∈ Fin)
14 inss2 3982 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐴 ∩ (0..^𝑁)) ⊆ (0..^𝑁)
15 ssfi 8339 . . . . . . . . . . . . 13 (((0..^𝑁) ∈ Fin ∧ (𝐴 ∩ (0..^𝑁)) ⊆ (0..^𝑁)) → (𝐴 ∩ (0..^𝑁)) ∈ Fin)
1613, 14, 15sylancl 574 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝐴 ∩ (0..^𝑁)) ∈ Fin)
17 elfpw 8427 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴 ∩ (0..^𝑁)) ∈ (𝒫 ℕ0 ∩ Fin) ↔ ((𝐴 ∩ (0..^𝑁)) ⊆ ℕ0 ∧ (𝐴 ∩ (0..^𝑁)) ∈ Fin))
1811, 16, 17sylanbrc 572 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝐴 ∩ (0..^𝑁)) ∈ (𝒫 ℕ0 ∩ Fin))
19 bitsf1o 15374 . . . . . . . . . . . . . . 15 (bits ↾ ℕ0):ℕ01-1-onto→(𝒫 ℕ0 ∩ Fin)
20 f1ocnv 6291 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((bits ↾ ℕ0):ℕ01-1-onto→(𝒫 ℕ0 ∩ Fin) → (bits ↾ ℕ0):(𝒫 ℕ0 ∩ Fin)–1-1-onto→ℕ0)
2119, 20ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . 14 (bits ↾ ℕ0):(𝒫 ℕ0 ∩ Fin)–1-1-onto→ℕ0
22 sadcadd.k . . . . . . . . . . . . . . 15 𝐾 = (bits ↾ ℕ0)
23 f1oeq1 6269 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝐾 = (bits ↾ ℕ0) → (𝐾:(𝒫 ℕ0 ∩ Fin)–1-1-onto→ℕ0(bits ↾ ℕ0):(𝒫 ℕ0 ∩ Fin)–1-1-onto→ℕ0))
2422, 23ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐾:(𝒫 ℕ0 ∩ Fin)–1-1-onto→ℕ0(bits ↾ ℕ0):(𝒫 ℕ0 ∩ Fin)–1-1-onto→ℕ0)
2521, 24mpbir 221 . . . . . . . . . . . . 13 𝐾:(𝒫 ℕ0 ∩ Fin)–1-1-onto→ℕ0
26 f1of 6279 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐾:(𝒫 ℕ0 ∩ Fin)–1-1-onto→ℕ0𝐾:(𝒫 ℕ0 ∩ Fin)⟶ℕ0)
2725, 26ax-mp 5 . . . . . . . . . . . 12 𝐾:(𝒫 ℕ0 ∩ Fin)⟶ℕ0
2827ffvelrni 6503 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 ∩ (0..^𝑁)) ∈ (𝒫 ℕ0 ∩ Fin) → (𝐾‘(𝐴 ∩ (0..^𝑁))) ∈ ℕ0)
2918, 28syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝐾‘(𝐴 ∩ (0..^𝑁))) ∈ ℕ0)
30 inss1 3981 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐵 ∩ (0..^𝑁)) ⊆ 𝐵
31 sadval.b . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝐵 ⊆ ℕ0)
3230, 31syl5ss 3763 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝐵 ∩ (0..^𝑁)) ⊆ ℕ0)
33 inss2 3982 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐵 ∩ (0..^𝑁)) ⊆ (0..^𝑁)
34 ssfi 8339 . . . . . . . . . . . . 13 (((0..^𝑁) ∈ Fin ∧ (𝐵 ∩ (0..^𝑁)) ⊆ (0..^𝑁)) → (𝐵 ∩ (0..^𝑁)) ∈ Fin)
3513, 33, 34sylancl 574 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝐵 ∩ (0..^𝑁)) ∈ Fin)
36 elfpw 8427 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐵 ∩ (0..^𝑁)) ∈ (𝒫 ℕ0 ∩ Fin) ↔ ((𝐵 ∩ (0..^𝑁)) ⊆ ℕ0 ∧ (𝐵 ∩ (0..^𝑁)) ∈ Fin))
3732, 35, 36sylanbrc 572 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝐵 ∩ (0..^𝑁)) ∈ (𝒫 ℕ0 ∩ Fin))
3827ffvelrni 6503 . . . . . . . . . . 11 ((𝐵 ∩ (0..^𝑁)) ∈ (𝒫 ℕ0 ∩ Fin) → (𝐾‘(𝐵 ∩ (0..^𝑁))) ∈ ℕ0)
3937, 38syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝐾‘(𝐵 ∩ (0..^𝑁))) ∈ ℕ0)
4029, 39nn0addcld 11561 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((𝐾‘(𝐴 ∩ (0..^𝑁))) + (𝐾‘(𝐵 ∩ (0..^𝑁)))) ∈ ℕ0)
4140nn0red 11558 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((𝐾‘(𝐴 ∩ (0..^𝑁))) + (𝐾‘(𝐵 ∩ (0..^𝑁)))) ∈ ℝ)
4241ad2antrr 705 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ ∅ ∈ (𝐶𝑁)) ∧ (𝑁𝐴𝑁𝐵)) → ((𝐾‘(𝐴 ∩ (0..^𝑁))) + (𝐾‘(𝐵 ∩ (0..^𝑁)))) ∈ ℝ)
43 2nn0 11515 . . . . . . . . . . . . 13 2 ∈ ℕ0
4443a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑁𝐴) → 2 ∈ ℕ0)
455adantr 466 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑁𝐴) → 𝑁 ∈ ℕ0)
4644, 45nn0expcld 13237 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑁𝐴) → (2↑𝑁) ∈ ℕ0)
47 0nn0 11513 . . . . . . . . . . . 12 0 ∈ ℕ0
4847a1i 11 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ ¬ 𝑁𝐴) → 0 ∈ ℕ0)
4946, 48ifclda 4260 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → if(𝑁𝐴, (2↑𝑁), 0) ∈ ℕ0)
5043a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑁𝐵) → 2 ∈ ℕ0)
515adantr 466 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑁𝐵) → 𝑁 ∈ ℕ0)
5250, 51nn0expcld 13237 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑁𝐵) → (2↑𝑁) ∈ ℕ0)
5347a1i 11 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ ¬ 𝑁𝐵) → 0 ∈ ℕ0)
5452, 53ifclda 4260 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → if(𝑁𝐵, (2↑𝑁), 0) ∈ ℕ0)
5549, 54nn0addcld 11561 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (if(𝑁𝐴, (2↑𝑁), 0) + if(𝑁𝐵, (2↑𝑁), 0)) ∈ ℕ0)
5655nn0red 11558 . . . . . . . 8 (𝜑 → (if(𝑁𝐴, (2↑𝑁), 0) + if(𝑁𝐵, (2↑𝑁), 0)) ∈ ℝ)
5756ad2antrr 705 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ ∅ ∈ (𝐶𝑁)) ∧ (𝑁𝐴𝑁𝐵)) → (if(𝑁𝐴, (2↑𝑁), 0) + if(𝑁𝐵, (2↑𝑁), 0)) ∈ ℝ)
58 sadcaddlem.1 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (∅ ∈ (𝐶𝑁) ↔ (2↑𝑁) ≤ ((𝐾‘(𝐴 ∩ (0..^𝑁))) + (𝐾‘(𝐵 ∩ (0..^𝑁))))))
5958biimpa 462 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ ∅ ∈ (𝐶𝑁)) → (2↑𝑁) ≤ ((𝐾‘(𝐴 ∩ (0..^𝑁))) + (𝐾‘(𝐵 ∩ (0..^𝑁)))))
6059adantr 466 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ ∅ ∈ (𝐶𝑁)) ∧ (𝑁𝐴𝑁𝐵)) → (2↑𝑁) ≤ ((𝐾‘(𝐴 ∩ (0..^𝑁))) + (𝐾‘(𝐵 ∩ (0..^𝑁)))))
616nnnn0d 11557 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (2↑𝑁) ∈ ℕ0)
62 ifcl 4270 . . . . . . . . . . . . 13 (((2↑𝑁) ∈ ℕ0 ∧ 0 ∈ ℕ0) → if(𝑁𝐵, (2↑𝑁), 0) ∈ ℕ0)
6361, 47, 62sylancl 574 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → if(𝑁𝐵, (2↑𝑁), 0) ∈ ℕ0)
6463nn0ge0d 11560 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → 0 ≤ if(𝑁𝐵, (2↑𝑁), 0))
657adantr 466 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑁𝐵) → (2↑𝑁) ∈ ℝ)
66 0red 10246 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑 ∧ ¬ 𝑁𝐵) → 0 ∈ ℝ)
6765, 66ifclda 4260 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → if(𝑁𝐵, (2↑𝑁), 0) ∈ ℝ)
687, 67addge01d 10820 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (0 ≤ if(𝑁𝐵, (2↑𝑁), 0) ↔ (2↑𝑁) ≤ ((2↑𝑁) + if(𝑁𝐵, (2↑𝑁), 0))))
6964, 68mpbid 222 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (2↑𝑁) ≤ ((2↑𝑁) + if(𝑁𝐵, (2↑𝑁), 0)))
7069ad2antrr 705 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ ∅ ∈ (𝐶𝑁)) ∧ 𝑁𝐴) → (2↑𝑁) ≤ ((2↑𝑁) + if(𝑁𝐵, (2↑𝑁), 0)))
71 iftrue 4232 . . . . . . . . . . 11 (𝑁𝐴 → if(𝑁𝐴, (2↑𝑁), 0) = (2↑𝑁))
7271adantl 467 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ ∅ ∈ (𝐶𝑁)) ∧ 𝑁𝐴) → if(𝑁𝐴, (2↑𝑁), 0) = (2↑𝑁))
7372oveq1d 6810 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ ∅ ∈ (𝐶𝑁)) ∧ 𝑁𝐴) → (if(𝑁𝐴, (2↑𝑁), 0) + if(𝑁𝐵, (2↑𝑁), 0)) = ((2↑𝑁) + if(𝑁𝐵, (2↑𝑁), 0)))
7470, 73breqtrrd 4815 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ ∅ ∈ (𝐶𝑁)) ∧ 𝑁𝐴) → (2↑𝑁) ≤ (if(𝑁𝐴, (2↑𝑁), 0) + if(𝑁𝐵, (2↑𝑁), 0)))
75 ifcl 4270 . . . . . . . . . . . . 13 (((2↑𝑁) ∈ ℕ0 ∧ 0 ∈ ℕ0) → if(𝑁𝐴, (2↑𝑁), 0) ∈ ℕ0)
7661, 47, 75sylancl 574 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → if(𝑁𝐴, (2↑𝑁), 0) ∈ ℕ0)
7776nn0ge0d 11560 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → 0 ≤ if(𝑁𝐴, (2↑𝑁), 0))
787adantr 466 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑁𝐴) → (2↑𝑁) ∈ ℝ)
79 0red 10246 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑 ∧ ¬ 𝑁𝐴) → 0 ∈ ℝ)
8078, 79ifclda 4260 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → if(𝑁𝐴, (2↑𝑁), 0) ∈ ℝ)
817, 80addge02d 10821 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (0 ≤ if(𝑁𝐴, (2↑𝑁), 0) ↔ (2↑𝑁) ≤ (if(𝑁𝐴, (2↑𝑁), 0) + (2↑𝑁))))
8277, 81mpbid 222 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (2↑𝑁) ≤ (if(𝑁𝐴, (2↑𝑁), 0) + (2↑𝑁)))
8382ad2antrr 705 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ ∅ ∈ (𝐶𝑁)) ∧ 𝑁𝐵) → (2↑𝑁) ≤ (if(𝑁𝐴, (2↑𝑁), 0) + (2↑𝑁)))
84 iftrue 4232 . . . . . . . . . . 11 (𝑁𝐵 → if(𝑁𝐵, (2↑𝑁), 0) = (2↑𝑁))
8584adantl 467 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ ∅ ∈ (𝐶𝑁)) ∧ 𝑁𝐵) → if(𝑁𝐵, (2↑𝑁), 0) = (2↑𝑁))
8685oveq2d 6811 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ ∅ ∈ (𝐶𝑁)) ∧ 𝑁𝐵) → (if(𝑁𝐴, (2↑𝑁), 0) + if(𝑁𝐵, (2↑𝑁), 0)) = (if(𝑁𝐴, (2↑𝑁), 0) + (2↑𝑁)))
8783, 86breqtrrd 4815 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ ∅ ∈ (𝐶𝑁)) ∧ 𝑁𝐵) → (2↑𝑁) ≤ (if(𝑁𝐴, (2↑𝑁), 0) + if(𝑁𝐵, (2↑𝑁), 0)))
8874, 87jaodan 942 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ ∅ ∈ (𝐶𝑁)) ∧ (𝑁𝐴𝑁𝐵)) → (2↑𝑁) ≤ (if(𝑁𝐴, (2↑𝑁), 0) + if(𝑁𝐵, (2↑𝑁), 0)))
898, 8, 42, 57, 60, 88le2addd 10851 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ ∅ ∈ (𝐶𝑁)) ∧ (𝑁𝐴𝑁𝐵)) → ((2↑𝑁) + (2↑𝑁)) ≤ (((𝐾‘(𝐴 ∩ (0..^𝑁))) + (𝐾‘(𝐵 ∩ (0..^𝑁)))) + (if(𝑁𝐴, (2↑𝑁), 0) + if(𝑁𝐵, (2↑𝑁), 0))))
9089ex 397 . . . . 5 ((𝜑 ∧ ∅ ∈ (𝐶𝑁)) → ((𝑁𝐴𝑁𝐵) → ((2↑𝑁) + (2↑𝑁)) ≤ (((𝐾‘(𝐴 ∩ (0..^𝑁))) + (𝐾‘(𝐵 ∩ (0..^𝑁)))) + (if(𝑁𝐴, (2↑𝑁), 0) + if(𝑁𝐵, (2↑𝑁), 0)))))
91 ioran 968 . . . . . 6 (¬ (𝑁𝐴𝑁𝐵) ↔ (¬ 𝑁𝐴 ∧ ¬ 𝑁𝐵))
92 iffalse 4235 . . . . . . . . . . . . . 14 𝑁𝐴 → if(𝑁𝐴, (2↑𝑁), 0) = 0)
9392ad2antrl 707 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑 ∧ ∅ ∈ (𝐶𝑁)) ∧ (¬ 𝑁𝐴 ∧ ¬ 𝑁𝐵)) → if(𝑁𝐴, (2↑𝑁), 0) = 0)
94 iffalse 4235 . . . . . . . . . . . . . 14 𝑁𝐵 → if(𝑁𝐵, (2↑𝑁), 0) = 0)
9594ad2antll 708 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑 ∧ ∅ ∈ (𝐶𝑁)) ∧ (¬ 𝑁𝐴 ∧ ¬ 𝑁𝐵)) → if(𝑁𝐵, (2↑𝑁), 0) = 0)
9693, 95oveq12d 6813 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑 ∧ ∅ ∈ (𝐶𝑁)) ∧ (¬ 𝑁𝐴 ∧ ¬ 𝑁𝐵)) → (if(𝑁𝐴, (2↑𝑁), 0) + if(𝑁𝐵, (2↑𝑁), 0)) = (0 + 0))
97 00id 10416 . . . . . . . . . . . 12 (0 + 0) = 0
9896, 97syl6eq 2821 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ ∅ ∈ (𝐶𝑁)) ∧ (¬ 𝑁𝐴 ∧ ¬ 𝑁𝐵)) → (if(𝑁𝐴, (2↑𝑁), 0) + if(𝑁𝐵, (2↑𝑁), 0)) = 0)
9998oveq2d 6811 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ ∅ ∈ (𝐶𝑁)) ∧ (¬ 𝑁𝐴 ∧ ¬ 𝑁𝐵)) → (((𝐾‘(𝐴 ∩ (0..^𝑁))) + (𝐾‘(𝐵 ∩ (0..^𝑁)))) + (if(𝑁𝐴, (2↑𝑁), 0) + if(𝑁𝐵, (2↑𝑁), 0))) = (((𝐾‘(𝐴 ∩ (0..^𝑁))) + (𝐾‘(𝐵 ∩ (0..^𝑁)))) + 0))
10029nn0red 11558 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (𝐾‘(𝐴 ∩ (0..^𝑁))) ∈ ℝ)
101100ad2antrr 705 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑 ∧ ∅ ∈ (𝐶𝑁)) ∧ (¬ 𝑁𝐴 ∧ ¬ 𝑁𝐵)) → (𝐾‘(𝐴 ∩ (0..^𝑁))) ∈ ℝ)
10239nn0red 11558 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (𝐾‘(𝐵 ∩ (0..^𝑁))) ∈ ℝ)
103102ad2antrr 705 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑 ∧ ∅ ∈ (𝐶𝑁)) ∧ (¬ 𝑁𝐴 ∧ ¬ 𝑁𝐵)) → (𝐾‘(𝐵 ∩ (0..^𝑁))) ∈ ℝ)
104101, 103readdcld 10274 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑 ∧ ∅ ∈ (𝐶𝑁)) ∧ (¬ 𝑁𝐴 ∧ ¬ 𝑁𝐵)) → ((𝐾‘(𝐴 ∩ (0..^𝑁))) + (𝐾‘(𝐵 ∩ (0..^𝑁)))) ∈ ℝ)
105104recnd 10273 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ ∅ ∈ (𝐶𝑁)) ∧ (¬ 𝑁𝐴 ∧ ¬ 𝑁𝐵)) → ((𝐾‘(𝐴 ∩ (0..^𝑁))) + (𝐾‘(𝐵 ∩ (0..^𝑁)))) ∈ ℂ)
106105addid1d 10441 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ ∅ ∈ (𝐶𝑁)) ∧ (¬ 𝑁𝐴 ∧ ¬ 𝑁𝐵)) → (((𝐾‘(𝐴 ∩ (0..^𝑁))) + (𝐾‘(𝐵 ∩ (0..^𝑁)))) + 0) = ((𝐾‘(𝐴 ∩ (0..^𝑁))) + (𝐾‘(𝐵 ∩ (0..^𝑁)))))
10799, 106eqtrd 2805 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ ∅ ∈ (𝐶𝑁)) ∧ (¬ 𝑁𝐴 ∧ ¬ 𝑁𝐵)) → (((𝐾‘(𝐴 ∩ (0..^𝑁))) + (𝐾‘(𝐵 ∩ (0..^𝑁)))) + (if(𝑁𝐴, (2↑𝑁), 0) + if(𝑁𝐵, (2↑𝑁), 0))) = ((𝐾‘(𝐴 ∩ (0..^𝑁))) + (𝐾‘(𝐵 ∩ (0..^𝑁)))))
10822fveq1i 6334 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝐾‘(𝐴 ∩ (0..^𝑁))) = ((bits ↾ ℕ0)‘(𝐴 ∩ (0..^𝑁)))
109108fveq2i 6336 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((bits ↾ ℕ0)‘(𝐾‘(𝐴 ∩ (0..^𝑁)))) = ((bits ↾ ℕ0)‘((bits ↾ ℕ0)‘(𝐴 ∩ (0..^𝑁))))
110 fvres 6350 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐾‘(𝐴 ∩ (0..^𝑁))) ∈ ℕ0 → ((bits ↾ ℕ0)‘(𝐾‘(𝐴 ∩ (0..^𝑁)))) = (bits‘(𝐾‘(𝐴 ∩ (0..^𝑁)))))
11129, 110syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → ((bits ↾ ℕ0)‘(𝐾‘(𝐴 ∩ (0..^𝑁)))) = (bits‘(𝐾‘(𝐴 ∩ (0..^𝑁)))))
112 f1ocnvfv2 6678 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((bits ↾ ℕ0):ℕ01-1-onto→(𝒫 ℕ0 ∩ Fin) ∧ (𝐴 ∩ (0..^𝑁)) ∈ (𝒫 ℕ0 ∩ Fin)) → ((bits ↾ ℕ0)‘((bits ↾ ℕ0)‘(𝐴 ∩ (0..^𝑁)))) = (𝐴 ∩ (0..^𝑁)))
11319, 18, 112sylancr 575 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → ((bits ↾ ℕ0)‘((bits ↾ ℕ0)‘(𝐴 ∩ (0..^𝑁)))) = (𝐴 ∩ (0..^𝑁)))
114109, 111, 1133eqtr3a 2829 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (bits‘(𝐾‘(𝐴 ∩ (0..^𝑁)))) = (𝐴 ∩ (0..^𝑁)))
115114, 14syl6eqss 3804 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (bits‘(𝐾‘(𝐴 ∩ (0..^𝑁)))) ⊆ (0..^𝑁))
11629nn0zd 11686 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (𝐾‘(𝐴 ∩ (0..^𝑁))) ∈ ℤ)
117 bitsfzo 15364 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐾‘(𝐴 ∩ (0..^𝑁))) ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → ((𝐾‘(𝐴 ∩ (0..^𝑁))) ∈ (0..^(2↑𝑁)) ↔ (bits‘(𝐾‘(𝐴 ∩ (0..^𝑁)))) ⊆ (0..^𝑁)))
118116, 5, 117syl2anc 573 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → ((𝐾‘(𝐴 ∩ (0..^𝑁))) ∈ (0..^(2↑𝑁)) ↔ (bits‘(𝐾‘(𝐴 ∩ (0..^𝑁)))) ⊆ (0..^𝑁)))
119115, 118mpbird 247 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝐾‘(𝐴 ∩ (0..^𝑁))) ∈ (0..^(2↑𝑁)))
120 elfzolt2 12686 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐾‘(𝐴 ∩ (0..^𝑁))) ∈ (0..^(2↑𝑁)) → (𝐾‘(𝐴 ∩ (0..^𝑁))) < (2↑𝑁))
121119, 120syl 17 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝐾‘(𝐴 ∩ (0..^𝑁))) < (2↑𝑁))
12222fveq1i 6334 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝐾‘(𝐵 ∩ (0..^𝑁))) = ((bits ↾ ℕ0)‘(𝐵 ∩ (0..^𝑁)))
123122fveq2i 6336 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((bits ↾ ℕ0)‘(𝐾‘(𝐵 ∩ (0..^𝑁)))) = ((bits ↾ ℕ0)‘((bits ↾ ℕ0)‘(𝐵 ∩ (0..^𝑁))))
124 fvres 6350 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐾‘(𝐵 ∩ (0..^𝑁))) ∈ ℕ0 → ((bits ↾ ℕ0)‘(𝐾‘(𝐵 ∩ (0..^𝑁)))) = (bits‘(𝐾‘(𝐵 ∩ (0..^𝑁)))))
12539, 124syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → ((bits ↾ ℕ0)‘(𝐾‘(𝐵 ∩ (0..^𝑁)))) = (bits‘(𝐾‘(𝐵 ∩ (0..^𝑁)))))
126 f1ocnvfv2 6678 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((bits ↾ ℕ0):ℕ01-1-onto→(𝒫 ℕ0 ∩ Fin) ∧ (𝐵 ∩ (0..^𝑁)) ∈ (𝒫 ℕ0 ∩ Fin)) → ((bits ↾ ℕ0)‘((bits ↾ ℕ0)‘(𝐵 ∩ (0..^𝑁)))) = (𝐵 ∩ (0..^𝑁)))
12719, 37, 126sylancr 575 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → ((bits ↾ ℕ0)‘((bits ↾ ℕ0)‘(𝐵 ∩ (0..^𝑁)))) = (𝐵 ∩ (0..^𝑁)))
128123, 125, 1273eqtr3a 2829 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (bits‘(𝐾‘(𝐵 ∩ (0..^𝑁)))) = (𝐵 ∩ (0..^𝑁)))
129128, 33syl6eqss 3804 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (bits‘(𝐾‘(𝐵 ∩ (0..^𝑁)))) ⊆ (0..^𝑁))
13039nn0zd 11686 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (𝐾‘(𝐵 ∩ (0..^𝑁))) ∈ ℤ)
131 bitsfzo 15364 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐾‘(𝐵 ∩ (0..^𝑁))) ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → ((𝐾‘(𝐵 ∩ (0..^𝑁))) ∈ (0..^(2↑𝑁)) ↔ (bits‘(𝐾‘(𝐵 ∩ (0..^𝑁)))) ⊆ (0..^𝑁)))
132130, 5, 131syl2anc 573 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → ((𝐾‘(𝐵 ∩ (0..^𝑁))) ∈ (0..^(2↑𝑁)) ↔ (bits‘(𝐾‘(𝐵 ∩ (0..^𝑁)))) ⊆ (0..^𝑁)))
133129, 132mpbird 247 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝐾‘(𝐵 ∩ (0..^𝑁))) ∈ (0..^(2↑𝑁)))
134 elfzolt2 12686 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐾‘(𝐵 ∩ (0..^𝑁))) ∈ (0..^(2↑𝑁)) → (𝐾‘(𝐵 ∩ (0..^𝑁))) < (2↑𝑁))
135133, 134syl 17 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝐾‘(𝐵 ∩ (0..^𝑁))) < (2↑𝑁))
136100, 102, 7, 7, 121, 135lt2addd 10855 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((𝐾‘(𝐴 ∩ (0..^𝑁))) + (𝐾‘(𝐵 ∩ (0..^𝑁)))) < ((2↑𝑁) + (2↑𝑁)))
137136ad2antrr 705 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ ∅ ∈ (𝐶𝑁)) ∧ (¬ 𝑁𝐴 ∧ ¬ 𝑁𝐵)) → ((𝐾‘(𝐴 ∩ (0..^𝑁))) + (𝐾‘(𝐵 ∩ (0..^𝑁)))) < ((2↑𝑁) + (2↑𝑁)))
138107, 137eqbrtrd 4809 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ ∅ ∈ (𝐶𝑁)) ∧ (¬ 𝑁𝐴 ∧ ¬ 𝑁𝐵)) → (((𝐾‘(𝐴 ∩ (0..^𝑁))) + (𝐾‘(𝐵 ∩ (0..^𝑁)))) + (if(𝑁𝐴, (2↑𝑁), 0) + if(𝑁𝐵, (2↑𝑁), 0))) < ((2↑𝑁) + (2↑𝑁)))
13980ad2antrr 705 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ ∅ ∈ (𝐶𝑁)) ∧ (¬ 𝑁𝐴 ∧ ¬ 𝑁𝐵)) → if(𝑁𝐴, (2↑𝑁), 0) ∈ ℝ)
14067ad2antrr 705 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ ∅ ∈ (𝐶𝑁)) ∧ (¬ 𝑁𝐴 ∧ ¬ 𝑁𝐵)) → if(𝑁𝐵, (2↑𝑁), 0) ∈ ℝ)
141139, 140readdcld 10274 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ ∅ ∈ (𝐶𝑁)) ∧ (¬ 𝑁𝐴 ∧ ¬ 𝑁𝐵)) → (if(𝑁𝐴, (2↑𝑁), 0) + if(𝑁𝐵, (2↑𝑁), 0)) ∈ ℝ)
142104, 141readdcld 10274 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ ∅ ∈ (𝐶𝑁)) ∧ (¬ 𝑁𝐴 ∧ ¬ 𝑁𝐵)) → (((𝐾‘(𝐴 ∩ (0..^𝑁))) + (𝐾‘(𝐵 ∩ (0..^𝑁)))) + (if(𝑁𝐴, (2↑𝑁), 0) + if(𝑁𝐵, (2↑𝑁), 0))) ∈ ℝ)
1437ad2antrr 705 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ ∅ ∈ (𝐶𝑁)) ∧ (¬ 𝑁𝐴 ∧ ¬ 𝑁𝐵)) → (2↑𝑁) ∈ ℝ)
144143, 143readdcld 10274 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ ∅ ∈ (𝐶𝑁)) ∧ (¬ 𝑁𝐴 ∧ ¬ 𝑁𝐵)) → ((2↑𝑁) + (2↑𝑁)) ∈ ℝ)
145142, 144ltnled 10389 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ ∅ ∈ (𝐶𝑁)) ∧ (¬ 𝑁𝐴 ∧ ¬ 𝑁𝐵)) → ((((𝐾‘(𝐴 ∩ (0..^𝑁))) + (𝐾‘(𝐵 ∩ (0..^𝑁)))) + (if(𝑁𝐴, (2↑𝑁), 0) + if(𝑁𝐵, (2↑𝑁), 0))) < ((2↑𝑁) + (2↑𝑁)) ↔ ¬ ((2↑𝑁) + (2↑𝑁)) ≤ (((𝐾‘(𝐴 ∩ (0..^𝑁))) + (𝐾‘(𝐵 ∩ (0..^𝑁)))) + (if(𝑁𝐴, (2↑𝑁), 0) + if(𝑁𝐵, (2↑𝑁), 0)))))
146138, 145mpbid 222 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ ∅ ∈ (𝐶𝑁)) ∧ (¬ 𝑁𝐴 ∧ ¬ 𝑁𝐵)) → ¬ ((2↑𝑁) + (2↑𝑁)) ≤ (((𝐾‘(𝐴 ∩ (0..^𝑁))) + (𝐾‘(𝐵 ∩ (0..^𝑁)))) + (if(𝑁𝐴, (2↑𝑁), 0) + if(𝑁𝐵, (2↑𝑁), 0))))
147146ex 397 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ ∅ ∈ (𝐶𝑁)) → ((¬ 𝑁𝐴 ∧ ¬ 𝑁𝐵) → ¬ ((2↑𝑁) + (2↑𝑁)) ≤ (((𝐾‘(𝐴 ∩ (0..^𝑁))) + (𝐾‘(𝐵 ∩ (0..^𝑁)))) + (if(𝑁𝐴, (2↑𝑁), 0) + if(𝑁𝐵, (2↑𝑁), 0)))))
14891, 147syl5bi 232 . . . . 5 ((𝜑 ∧ ∅ ∈ (𝐶𝑁)) → (¬ (𝑁𝐴𝑁𝐵) → ¬ ((2↑𝑁) + (2↑𝑁)) ≤ (((𝐾‘(𝐴 ∩ (0..^𝑁))) + (𝐾‘(𝐵 ∩ (0..^𝑁)))) + (if(𝑁𝐴, (2↑𝑁), 0) + if(𝑁𝐵, (2↑𝑁), 0)))))
14990, 148impcon4bid 217 . . . 4 ((𝜑 ∧ ∅ ∈ (𝐶𝑁)) → ((𝑁𝐴𝑁𝐵) ↔ ((2↑𝑁) + (2↑𝑁)) ≤ (((𝐾‘(𝐴 ∩ (0..^𝑁))) + (𝐾‘(𝐵 ∩ (0..^𝑁)))) + (if(𝑁𝐴, (2↑𝑁), 0) + if(𝑁𝐵, (2↑𝑁), 0)))))
1502, 149bitrd 268 . . 3 ((𝜑 ∧ ∅ ∈ (𝐶𝑁)) → (cadd(𝑁𝐴, 𝑁𝐵, ∅ ∈ (𝐶𝑁)) ↔ ((2↑𝑁) + (2↑𝑁)) ≤ (((𝐾‘(𝐴 ∩ (0..^𝑁))) + (𝐾‘(𝐵 ∩ (0..^𝑁)))) + (if(𝑁𝐴, (2↑𝑁), 0) + if(𝑁𝐵, (2↑𝑁), 0)))))
151 cad0 1704 . . . . 5 (¬ ∅ ∈ (𝐶𝑁) → (cadd(𝑁𝐴, 𝑁𝐵, ∅ ∈ (𝐶𝑁)) ↔ (𝑁𝐴𝑁𝐵)))
152151adantl 467 . . . 4 ((𝜑 ∧ ¬ ∅ ∈ (𝐶𝑁)) → (cadd(𝑁𝐴, 𝑁𝐵, ∅ ∈ (𝐶𝑁)) ↔ (𝑁𝐴𝑁𝐵)))
15340nn0ge0d 11560 . . . . . . . . 9 (𝜑 → 0 ≤ ((𝐾‘(𝐴 ∩ (0..^𝑁))) + (𝐾‘(𝐵 ∩ (0..^𝑁)))))
1547, 7readdcld 10274 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((2↑𝑁) + (2↑𝑁)) ∈ ℝ)
155154, 41addge02d 10821 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (0 ≤ ((𝐾‘(𝐴 ∩ (0..^𝑁))) + (𝐾‘(𝐵 ∩ (0..^𝑁)))) ↔ ((2↑𝑁) + (2↑𝑁)) ≤ (((𝐾‘(𝐴 ∩ (0..^𝑁))) + (𝐾‘(𝐵 ∩ (0..^𝑁)))) + ((2↑𝑁) + (2↑𝑁)))))
156153, 155mpbid 222 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((2↑𝑁) + (2↑𝑁)) ≤ (((𝐾‘(𝐴 ∩ (0..^𝑁))) + (𝐾‘(𝐵 ∩ (0..^𝑁)))) + ((2↑𝑁) + (2↑𝑁))))
157156ad2antrr 705 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ ¬ ∅ ∈ (𝐶𝑁)) ∧ (𝑁𝐴𝑁𝐵)) → ((2↑𝑁) + (2↑𝑁)) ≤ (((𝐾‘(𝐴 ∩ (0..^𝑁))) + (𝐾‘(𝐵 ∩ (0..^𝑁)))) + ((2↑𝑁) + (2↑𝑁))))
15871, 84oveqan12d 6814 . . . . . . . . 9 ((𝑁𝐴𝑁𝐵) → (if(𝑁𝐴, (2↑𝑁), 0) + if(𝑁𝐵, (2↑𝑁), 0)) = ((2↑𝑁) + (2↑𝑁)))
159158adantl 467 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ ¬ ∅ ∈ (𝐶𝑁)) ∧ (𝑁𝐴𝑁𝐵)) → (if(𝑁𝐴, (2↑𝑁), 0) + if(𝑁𝐵, (2↑𝑁), 0)) = ((2↑𝑁) + (2↑𝑁)))
160159oveq2d 6811 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ ¬ ∅ ∈ (𝐶𝑁)) ∧ (𝑁𝐴𝑁𝐵)) → (((𝐾‘(𝐴 ∩ (0..^𝑁))) + (𝐾‘(𝐵 ∩ (0..^𝑁)))) + (if(𝑁𝐴, (2↑𝑁), 0) + if(𝑁𝐵, (2↑𝑁), 0))) = (((𝐾‘(𝐴 ∩ (0..^𝑁))) + (𝐾‘(𝐵 ∩ (0..^𝑁)))) + ((2↑𝑁) + (2↑𝑁))))
161157, 160breqtrrd 4815 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ ¬ ∅ ∈ (𝐶𝑁)) ∧ (𝑁𝐴𝑁𝐵)) → ((2↑𝑁) + (2↑𝑁)) ≤ (((𝐾‘(𝐴 ∩ (0..^𝑁))) + (𝐾‘(𝐵 ∩ (0..^𝑁)))) + (if(𝑁𝐴, (2↑𝑁), 0) + if(𝑁𝐵, (2↑𝑁), 0))))
162161ex 397 . . . . 5 ((𝜑 ∧ ¬ ∅ ∈ (𝐶𝑁)) → ((𝑁𝐴𝑁𝐵) → ((2↑𝑁) + (2↑𝑁)) ≤ (((𝐾‘(𝐴 ∩ (0..^𝑁))) + (𝐾‘(𝐵 ∩ (0..^𝑁)))) + (if(𝑁𝐴, (2↑𝑁), 0) + if(𝑁𝐵, (2↑𝑁), 0)))))
163100adantr 466 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ ¬ ∅ ∈ (𝐶𝑁)) → (𝐾‘(𝐴 ∩ (0..^𝑁))) ∈ ℝ)
164102adantr 466 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ ¬ ∅ ∈ (𝐶𝑁)) → (𝐾‘(𝐵 ∩ (0..^𝑁))) ∈ ℝ)
165163, 164readdcld 10274 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ ¬ ∅ ∈ (𝐶𝑁)) → ((𝐾‘(𝐴 ∩ (0..^𝑁))) + (𝐾‘(𝐵 ∩ (0..^𝑁)))) ∈ ℝ)
1667adantr 466 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ ¬ ∅ ∈ (𝐶𝑁)) → (2↑𝑁) ∈ ℝ)
1677, 41lenltd 10388 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ((2↑𝑁) ≤ ((𝐾‘(𝐴 ∩ (0..^𝑁))) + (𝐾‘(𝐵 ∩ (0..^𝑁)))) ↔ ¬ ((𝐾‘(𝐴 ∩ (0..^𝑁))) + (𝐾‘(𝐵 ∩ (0..^𝑁)))) < (2↑𝑁)))
16858, 167bitrd 268 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (∅ ∈ (𝐶𝑁) ↔ ¬ ((𝐾‘(𝐴 ∩ (0..^𝑁))) + (𝐾‘(𝐵 ∩ (0..^𝑁)))) < (2↑𝑁)))
169168con2bid 343 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (((𝐾‘(𝐴 ∩ (0..^𝑁))) + (𝐾‘(𝐵 ∩ (0..^𝑁)))) < (2↑𝑁) ↔ ¬ ∅ ∈ (𝐶𝑁)))
170169biimpar 463 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ ¬ ∅ ∈ (𝐶𝑁)) → ((𝐾‘(𝐴 ∩ (0..^𝑁))) + (𝐾‘(𝐵 ∩ (0..^𝑁)))) < (2↑𝑁))
171165, 166, 166, 170ltadd1dd 10843 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ ¬ ∅ ∈ (𝐶𝑁)) → (((𝐾‘(𝐴 ∩ (0..^𝑁))) + (𝐾‘(𝐵 ∩ (0..^𝑁)))) + (2↑𝑁)) < ((2↑𝑁) + (2↑𝑁)))
172165, 166readdcld 10274 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ ¬ ∅ ∈ (𝐶𝑁)) → (((𝐾‘(𝐴 ∩ (0..^𝑁))) + (𝐾‘(𝐵 ∩ (0..^𝑁)))) + (2↑𝑁)) ∈ ℝ)
173154adantr 466 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ ¬ ∅ ∈ (𝐶𝑁)) → ((2↑𝑁) + (2↑𝑁)) ∈ ℝ)
17441, 56readdcld 10274 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (((𝐾‘(𝐴 ∩ (0..^𝑁))) + (𝐾‘(𝐵 ∩ (0..^𝑁)))) + (if(𝑁𝐴, (2↑𝑁), 0) + if(𝑁𝐵, (2↑𝑁), 0))) ∈ ℝ)
175174adantr 466 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ ¬ ∅ ∈ (𝐶𝑁)) → (((𝐾‘(𝐴 ∩ (0..^𝑁))) + (𝐾‘(𝐵 ∩ (0..^𝑁)))) + (if(𝑁𝐴, (2↑𝑁), 0) + if(𝑁𝐵, (2↑𝑁), 0))) ∈ ℝ)
176 ltletr 10334 . . . . . . . . 9 (((((𝐾‘(𝐴 ∩ (0..^𝑁))) + (𝐾‘(𝐵 ∩ (0..^𝑁)))) + (2↑𝑁)) ∈ ℝ ∧ ((2↑𝑁) + (2↑𝑁)) ∈ ℝ ∧ (((𝐾‘(𝐴 ∩ (0..^𝑁))) + (𝐾‘(𝐵 ∩ (0..^𝑁)))) + (if(𝑁𝐴, (2↑𝑁), 0) + if(𝑁𝐵, (2↑𝑁), 0))) ∈ ℝ) → (((((𝐾‘(𝐴 ∩ (0..^𝑁))) + (𝐾‘(𝐵 ∩ (0..^𝑁)))) + (2↑𝑁)) < ((2↑𝑁) + (2↑𝑁)) ∧ ((2↑𝑁) + (2↑𝑁)) ≤ (((𝐾‘(𝐴 ∩ (0..^𝑁))) + (𝐾‘(𝐵 ∩ (0..^𝑁)))) + (if(𝑁𝐴, (2↑𝑁), 0) + if(𝑁𝐵, (2↑𝑁), 0)))) → (((𝐾‘(𝐴 ∩ (0..^𝑁))) + (𝐾‘(𝐵 ∩ (0..^𝑁)))) + (2↑𝑁)) < (((𝐾‘(𝐴 ∩ (0..^𝑁))) + (𝐾‘(𝐵 ∩ (0..^𝑁)))) + (if(𝑁𝐴, (2↑𝑁), 0) + if(𝑁𝐵, (2↑𝑁), 0)))))
177172, 173, 175, 176syl3anc 1476 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ ¬ ∅ ∈ (𝐶𝑁)) → (((((𝐾‘(𝐴 ∩ (0..^𝑁))) + (𝐾‘(𝐵 ∩ (0..^𝑁)))) + (2↑𝑁)) < ((2↑𝑁) + (2↑𝑁)) ∧ ((2↑𝑁) + (2↑𝑁)) ≤ (((𝐾‘(𝐴 ∩ (0..^𝑁))) + (𝐾‘(𝐵 ∩ (0..^𝑁)))) + (if(𝑁𝐴, (2↑𝑁), 0) + if(𝑁𝐵, (2↑𝑁), 0)))) → (((𝐾‘(𝐴 ∩ (0..^𝑁))) + (𝐾‘(𝐵 ∩ (0..^𝑁)))) + (2↑𝑁)) < (((𝐾‘(𝐴 ∩ (0..^𝑁))) + (𝐾‘(𝐵 ∩ (0..^𝑁)))) + (if(𝑁𝐴, (2↑𝑁), 0) + if(𝑁𝐵, (2↑𝑁), 0)))))
178171, 177mpand 675 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ ¬ ∅ ∈ (𝐶𝑁)) → (((2↑𝑁) + (2↑𝑁)) ≤ (((𝐾‘(𝐴 ∩ (0..^𝑁))) + (𝐾‘(𝐵 ∩ (0..^𝑁)))) + (if(𝑁𝐴, (2↑𝑁), 0) + if(𝑁𝐵, (2↑𝑁), 0))) → (((𝐾‘(𝐴 ∩ (0..^𝑁))) + (𝐾‘(𝐵 ∩ (0..^𝑁)))) + (2↑𝑁)) < (((𝐾‘(𝐴 ∩ (0..^𝑁))) + (𝐾‘(𝐵 ∩ (0..^𝑁)))) + (if(𝑁𝐴, (2↑𝑁), 0) + if(𝑁𝐵, (2↑𝑁), 0)))))
17956adantr 466 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ ¬ ∅ ∈ (𝐶𝑁)) → (if(𝑁𝐴, (2↑𝑁), 0) + if(𝑁𝐵, (2↑𝑁), 0)) ∈ ℝ)
18041adantr 466 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ ¬ ∅ ∈ (𝐶𝑁)) → ((𝐾‘(𝐴 ∩ (0..^𝑁))) + (𝐾‘(𝐵 ∩ (0..^𝑁)))) ∈ ℝ)
181166, 179, 180ltadd2d 10398 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ ¬ ∅ ∈ (𝐶𝑁)) → ((2↑𝑁) < (if(𝑁𝐴, (2↑𝑁), 0) + if(𝑁𝐵, (2↑𝑁), 0)) ↔ (((𝐾‘(𝐴 ∩ (0..^𝑁))) + (𝐾‘(𝐵 ∩ (0..^𝑁)))) + (2↑𝑁)) < (((𝐾‘(𝐴 ∩ (0..^𝑁))) + (𝐾‘(𝐵 ∩ (0..^𝑁)))) + (if(𝑁𝐴, (2↑𝑁), 0) + if(𝑁𝐵, (2↑𝑁), 0)))))
182178, 181sylibrd 249 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ ¬ ∅ ∈ (𝐶𝑁)) → (((2↑𝑁) + (2↑𝑁)) ≤ (((𝐾‘(𝐴 ∩ (0..^𝑁))) + (𝐾‘(𝐵 ∩ (0..^𝑁)))) + (if(𝑁𝐴, (2↑𝑁), 0) + if(𝑁𝐵, (2↑𝑁), 0))) → (2↑𝑁) < (if(𝑁𝐴, (2↑𝑁), 0) + if(𝑁𝐵, (2↑𝑁), 0))))
1837, 56ltnled 10389 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((2↑𝑁) < (if(𝑁𝐴, (2↑𝑁), 0) + if(𝑁𝐵, (2↑𝑁), 0)) ↔ ¬ (if(𝑁𝐴, (2↑𝑁), 0) + if(𝑁𝐵, (2↑𝑁), 0)) ≤ (2↑𝑁)))
18463nn0cnd 11559 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → if(𝑁𝐵, (2↑𝑁), 0) ∈ ℂ)
185184addid2d 10442 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (0 + if(𝑁𝐵, (2↑𝑁), 0)) = if(𝑁𝐵, (2↑𝑁), 0))
1867leidd 10799 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (2↑𝑁) ≤ (2↑𝑁))
18761nn0ge0d 11560 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → 0 ≤ (2↑𝑁))
188 breq1 4790 . . . . . . . . . . . . . 14 ((2↑𝑁) = if(𝑁𝐵, (2↑𝑁), 0) → ((2↑𝑁) ≤ (2↑𝑁) ↔ if(𝑁𝐵, (2↑𝑁), 0) ≤ (2↑𝑁)))
189 breq1 4790 . . . . . . . . . . . . . 14 (0 = if(𝑁𝐵, (2↑𝑁), 0) → (0 ≤ (2↑𝑁) ↔ if(𝑁𝐵, (2↑𝑁), 0) ≤ (2↑𝑁)))
190188, 189ifboth 4264 . . . . . . . . . . . . 13 (((2↑𝑁) ≤ (2↑𝑁) ∧ 0 ≤ (2↑𝑁)) → if(𝑁𝐵, (2↑𝑁), 0) ≤ (2↑𝑁))
191186, 187, 190syl2anc 573 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → if(𝑁𝐵, (2↑𝑁), 0) ≤ (2↑𝑁))
192185, 191eqbrtrd 4809 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (0 + if(𝑁𝐵, (2↑𝑁), 0)) ≤ (2↑𝑁))
19392oveq1d 6810 . . . . . . . . . . . 12 𝑁𝐴 → (if(𝑁𝐴, (2↑𝑁), 0) + if(𝑁𝐵, (2↑𝑁), 0)) = (0 + if(𝑁𝐵, (2↑𝑁), 0)))
194193breq1d 4797 . . . . . . . . . . 11 𝑁𝐴 → ((if(𝑁𝐴, (2↑𝑁), 0) + if(𝑁𝐵, (2↑𝑁), 0)) ≤ (2↑𝑁) ↔ (0 + if(𝑁𝐵, (2↑𝑁), 0)) ≤ (2↑𝑁)))
195192, 194syl5ibrcom 237 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (¬ 𝑁𝐴 → (if(𝑁𝐴, (2↑𝑁), 0) + if(𝑁𝐵, (2↑𝑁), 0)) ≤ (2↑𝑁)))
196195con1d 141 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (¬ (if(𝑁𝐴, (2↑𝑁), 0) + if(𝑁𝐵, (2↑𝑁), 0)) ≤ (2↑𝑁) → 𝑁𝐴))
19776nn0cnd 11559 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → if(𝑁𝐴, (2↑𝑁), 0) ∈ ℂ)
198197addid1d 10441 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (if(𝑁𝐴, (2↑𝑁), 0) + 0) = if(𝑁𝐴, (2↑𝑁), 0))
199 breq1 4790 . . . . . . . . . . . . . 14 ((2↑𝑁) = if(𝑁𝐴, (2↑𝑁), 0) → ((2↑𝑁) ≤ (2↑𝑁) ↔ if(𝑁𝐴, (2↑𝑁), 0) ≤ (2↑𝑁)))
200 breq1 4790 . . . . . . . . . . . . . 14 (0 = if(𝑁𝐴, (2↑𝑁), 0) → (0 ≤ (2↑𝑁) ↔ if(𝑁𝐴, (2↑𝑁), 0) ≤ (2↑𝑁)))
201199, 200ifboth 4264 . . . . . . . . . . . . 13 (((2↑𝑁) ≤ (2↑𝑁) ∧ 0 ≤ (2↑𝑁)) → if(𝑁𝐴, (2↑𝑁), 0) ≤ (2↑𝑁))
202186, 187, 201syl2anc 573 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → if(𝑁𝐴, (2↑𝑁), 0) ≤ (2↑𝑁))
203198, 202eqbrtrd 4809 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (if(𝑁𝐴, (2↑𝑁), 0) + 0) ≤ (2↑𝑁))
20494oveq2d 6811 . . . . . . . . . . . 12 𝑁𝐵 → (if(𝑁𝐴, (2↑𝑁), 0) + if(𝑁𝐵, (2↑𝑁), 0)) = (if(𝑁𝐴, (2↑𝑁), 0) + 0))
205204breq1d 4797 . . . . . . . . . . 11 𝑁𝐵 → ((if(𝑁𝐴, (2↑𝑁), 0) + if(𝑁𝐵, (2↑𝑁), 0)) ≤ (2↑𝑁) ↔ (if(𝑁𝐴, (2↑𝑁), 0) + 0) ≤ (2↑𝑁)))
206203, 205syl5ibrcom 237 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (¬ 𝑁𝐵 → (if(𝑁𝐴, (2↑𝑁), 0) + if(𝑁𝐵, (2↑𝑁), 0)) ≤ (2↑𝑁)))
207206con1d 141 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (¬ (if(𝑁𝐴, (2↑𝑁), 0) + if(𝑁𝐵, (2↑𝑁), 0)) ≤ (2↑𝑁) → 𝑁𝐵))
208196, 207jcad 502 . . . . . . . 8 (𝜑 → (¬ (if(𝑁𝐴, (2↑𝑁), 0) + if(𝑁𝐵, (2↑𝑁), 0)) ≤ (2↑𝑁) → (𝑁𝐴𝑁𝐵)))
209183, 208sylbid 230 . . . . . . 7 (𝜑 → ((2↑𝑁) < (if(𝑁𝐴, (2↑𝑁), 0) + if(𝑁𝐵, (2↑𝑁), 0)) → (𝑁𝐴𝑁𝐵)))
210209adantr 466 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ ¬ ∅ ∈ (𝐶𝑁)) → ((2↑𝑁) < (if(𝑁𝐴, (2↑𝑁), 0) + if(𝑁𝐵, (2↑𝑁), 0)) → (𝑁𝐴𝑁𝐵)))
211182, 210syld 47 . . . . 5 ((𝜑 ∧ ¬ ∅ ∈ (𝐶𝑁)) → (((2↑𝑁) + (2↑𝑁)) ≤ (((𝐾‘(𝐴 ∩ (0..^𝑁))) + (𝐾‘(𝐵 ∩ (0..^𝑁)))) + (if(𝑁𝐴, (2↑𝑁), 0) + if(𝑁𝐵, (2↑𝑁), 0))) → (𝑁𝐴𝑁𝐵)))
212162, 211impbid 202 . . . 4 ((𝜑 ∧ ¬ ∅ ∈ (𝐶𝑁)) → ((𝑁𝐴𝑁𝐵) ↔ ((2↑𝑁) + (2↑𝑁)) ≤ (((𝐾‘(𝐴 ∩ (0..^𝑁))) + (𝐾‘(𝐵 ∩ (0..^𝑁)))) + (if(𝑁𝐴, (2↑𝑁), 0) + if(𝑁𝐵, (2↑𝑁), 0)))))
213152, 212bitrd 268 . . 3 ((𝜑 ∧ ¬ ∅ ∈ (𝐶𝑁)) → (cadd(𝑁𝐴, 𝑁𝐵, ∅ ∈ (𝐶𝑁)) ↔ ((2↑𝑁) + (2↑𝑁)) ≤ (((𝐾‘(𝐴 ∩ (0..^𝑁))) + (𝐾‘(𝐵 ∩ (0..^𝑁)))) + (if(𝑁𝐴, (2↑𝑁), 0) + if(𝑁𝐵, (2↑𝑁), 0)))))
214150, 213pm2.61dan 814 . 2 (𝜑 → (cadd(𝑁𝐴, 𝑁𝐵, ∅ ∈ (𝐶𝑁)) ↔ ((2↑𝑁) + (2↑𝑁)) ≤ (((𝐾‘(𝐴 ∩ (0..^𝑁))) + (𝐾‘(𝐵 ∩ (0..^𝑁)))) + (if(𝑁𝐴, (2↑𝑁), 0) + if(𝑁𝐵, (2↑𝑁), 0)))))
215 sadval.c . . 3 𝐶 = seq0((𝑐 ∈ 2𝑜, 𝑚 ∈ ℕ0 ↦ if(cadd(𝑚𝐴, 𝑚𝐵, ∅ ∈ 𝑐), 1𝑜, ∅)), (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑛 = 0, ∅, (𝑛 − 1))))
21610, 31, 215, 5sadcp1 15384 . 2 (𝜑 → (∅ ∈ (𝐶‘(𝑁 + 1)) ↔ cadd(𝑁𝐴, 𝑁𝐵, ∅ ∈ (𝐶𝑁))))
217 2cnd 11298 . . . . 5 (𝜑 → 2 ∈ ℂ)
218217, 5expp1d 13215 . . . 4 (𝜑 → (2↑(𝑁 + 1)) = ((2↑𝑁) · 2))
2196nncnd 11241 . . . . 5 (𝜑 → (2↑𝑁) ∈ ℂ)
220219times2d 11482 . . . 4 (𝜑 → ((2↑𝑁) · 2) = ((2↑𝑁) + (2↑𝑁)))
221218, 220eqtrd 2805 . . 3 (𝜑 → (2↑(𝑁 + 1)) = ((2↑𝑁) + (2↑𝑁)))
22222bitsinvp1 15378 . . . . . 6 ((𝐴 ⊆ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐾‘(𝐴 ∩ (0..^(𝑁 + 1)))) = ((𝐾‘(𝐴 ∩ (0..^𝑁))) + if(𝑁𝐴, (2↑𝑁), 0)))
22310, 5, 222syl2anc 573 . . . . 5 (𝜑 → (𝐾‘(𝐴 ∩ (0..^(𝑁 + 1)))) = ((𝐾‘(𝐴 ∩ (0..^𝑁))) + if(𝑁𝐴, (2↑𝑁), 0)))
22422bitsinvp1 15378 . . . . . 6 ((𝐵 ⊆ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐾‘(𝐵 ∩ (0..^(𝑁 + 1)))) = ((𝐾‘(𝐵 ∩ (0..^𝑁))) + if(𝑁𝐵, (2↑𝑁), 0)))
22531, 5, 224syl2anc 573 . . . . 5 (𝜑 → (𝐾‘(𝐵 ∩ (0..^(𝑁 + 1)))) = ((𝐾‘(𝐵 ∩ (0..^𝑁))) + if(𝑁𝐵, (2↑𝑁), 0)))
226223, 225oveq12d 6813 . . . 4 (𝜑 → ((𝐾‘(𝐴 ∩ (0..^(𝑁 + 1)))) + (𝐾‘(𝐵 ∩ (0..^(𝑁 + 1))))) = (((𝐾‘(𝐴 ∩ (0..^𝑁))) + if(𝑁𝐴, (2↑𝑁), 0)) + ((𝐾‘(𝐵 ∩ (0..^𝑁))) + if(𝑁𝐵, (2↑𝑁), 0))))
22729nn0cnd 11559 . . . . 5 (𝜑 → (𝐾‘(𝐴 ∩ (0..^𝑁))) ∈ ℂ)
22839nn0cnd 11559 . . . . 5 (𝜑 → (𝐾‘(𝐵 ∩ (0..^𝑁))) ∈ ℂ)
229227, 197, 228, 184add4d 10469 . . . 4 (𝜑 → (((𝐾‘(𝐴 ∩ (0..^𝑁))) + if(𝑁𝐴, (2↑𝑁), 0)) + ((𝐾‘(𝐵 ∩ (0..^𝑁))) + if(𝑁𝐵, (2↑𝑁), 0))) = (((𝐾‘(𝐴 ∩ (0..^𝑁))) + (𝐾‘(𝐵 ∩ (0..^𝑁)))) + (if(𝑁𝐴, (2↑𝑁), 0) + if(𝑁𝐵, (2↑𝑁), 0))))
230226, 229eqtrd 2805 . . 3 (𝜑 → ((𝐾‘(𝐴 ∩ (0..^(𝑁 + 1)))) + (𝐾‘(𝐵 ∩ (0..^(𝑁 + 1))))) = (((𝐾‘(𝐴 ∩ (0..^𝑁))) + (𝐾‘(𝐵 ∩ (0..^𝑁)))) + (if(𝑁𝐴, (2↑𝑁), 0) + if(𝑁𝐵, (2↑𝑁), 0))))
231221, 230breq12d 4800 . 2 (𝜑 → ((2↑(𝑁 + 1)) ≤ ((𝐾‘(𝐴 ∩ (0..^(𝑁 + 1)))) + (𝐾‘(𝐵 ∩ (0..^(𝑁 + 1))))) ↔ ((2↑𝑁) + (2↑𝑁)) ≤ (((𝐾‘(𝐴 ∩ (0..^𝑁))) + (𝐾‘(𝐵 ∩ (0..^𝑁)))) + (if(𝑁𝐴, (2↑𝑁), 0) + if(𝑁𝐵, (2↑𝑁), 0)))))
232214, 216, 2313bitr4d 300 1 (𝜑 → (∅ ∈ (𝐶‘(𝑁 + 1)) ↔ (2↑(𝑁 + 1)) ≤ ((𝐾‘(𝐴 ∩ (0..^(𝑁 + 1)))) + (𝐾‘(𝐵 ∩ (0..^(𝑁 + 1)))))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 196  wa 382  wo 836   = wceq 1631  caddwcad 1693  wcel 2145  cin 3722  wss 3723  c0 4063  ifcif 4226  𝒫 cpw 4298   class class class wbr 4787  cmpt 4864  ccnv 5249  cres 5252  wf 6026  1-1-ontowf1o 6029  cfv 6030  (class class class)co 6795  cmpt2 6797  1𝑜c1o 7709  2𝑜c2o 7710  Fincfn 8112  cr 10140  0cc0 10141  1c1 10142   + caddc 10144   · cmul 10146   < clt 10279  cle 10280  cmin 10471  cn 11225  2c2 11275  0cn0 11498  cz 11583  ..^cfzo 12672  seqcseq 13007  cexp 13066  bitscbits 15348
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1870  ax-4 1885  ax-5 1991  ax-6 2057  ax-7 2093  ax-8 2147  ax-9 2154  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2203  ax-13 2408  ax-ext 2751  ax-rep 4905  ax-sep 4916  ax-nul 4924  ax-pow 4975  ax-pr 5035  ax-un 7099  ax-inf2 8705  ax-cnex 10197  ax-resscn 10198  ax-1cn 10199  ax-icn 10200  ax-addcl 10201  ax-addrcl 10202  ax-mulcl 10203  ax-mulrcl 10204  ax-mulcom 10205  ax-addass 10206  ax-mulass 10207  ax-distr 10208  ax-i2m1 10209  ax-1ne0 10210  ax-1rid 10211  ax-rnegex 10212  ax-rrecex 10213  ax-cnre 10214  ax-pre-lttri 10215  ax-pre-lttrn 10216  ax-pre-ltadd 10217  ax-pre-mulgt0 10218  ax-pre-sup 10219
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-xor 1613  df-tru 1634  df-fal 1637  df-cad 1694  df-ex 1853  df-nf 1858  df-sb 2050  df-eu 2622  df-mo 2623  df-clab 2758  df-cleq 2764  df-clel 2767  df-nfc 2902  df-ne 2944  df-nel 3047  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rmo 3069  df-rab 3070  df-v 3353  df-sbc 3588  df-csb 3683  df-dif 3726  df-un 3728  df-in 3730  df-ss 3737  df-pss 3739  df-nul 4064  df-if 4227  df-pw 4300  df-sn 4318  df-pr 4320  df-tp 4322  df-op 4324  df-uni 4576  df-int 4613  df-iun 4657  df-disj 4756  df-br 4788  df-opab 4848  df-mpt 4865  df-tr 4888  df-id 5158  df-eprel 5163  df-po 5171  df-so 5172  df-fr 5209  df-se 5210  df-we 5211  df-xp 5256  df-rel 5257  df-cnv 5258  df-co 5259  df-dm 5260  df-rn 5261  df-res 5262  df-ima 5263  df-pred 5822  df-ord 5868  df-on 5869  df-lim 5870  df-suc 5871  df-iota 5993  df-fun 6032  df-fn 6033  df-f 6034  df-f1 6035  df-fo 6036  df-f1o 6037  df-fv 6038  df-isom 6039  df-riota 6756  df-ov 6798  df-oprab 6799  df-mpt2 6800  df-om 7216  df-1st 7318  df-2nd 7319  df-wrecs 7562  df-recs 7624  df-rdg 7662  df-1o 7716  df-2o 7717  df-oadd 7720  df-er 7899  df-map 8014  df-pm 8015  df-en 8113  df-dom 8114  df-sdom 8115  df-fin 8116  df-sup 8507  df-inf 8508  df-oi 8574  df-card 8968  df-cda 9195  df-pnf 10281  df-mnf 10282  df-xr 10283  df-ltxr 10284  df-le 10285  df-sub 10473  df-neg 10474  df-div 10890  df-nn 11226  df-2 11284  df-3 11285  df-n0 11499  df-xnn0 11570  df-z 11584  df-uz 11893  df-rp 12035  df-fz 12533  df-fzo 12673  df-fl 12800  df-mod 12876  df-seq 13008  df-exp 13067  df-hash 13321  df-cj 14046  df-re 14047  df-im 14048  df-sqrt 14182  df-abs 14183  df-clim 14426  df-sum 14624  df-dvds 15189  df-bits 15351
This theorem is referenced by:  sadcadd  15387
  Copyright terms: Public domain W3C validator