MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  sadcaddlem Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem sadcaddlem 16016
Description: Lemma for sadcadd 16017. (Contributed by Mario Carneiro, 8-Sep-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
sadval.a (𝜑𝐴 ⊆ ℕ0)
sadval.b (𝜑𝐵 ⊆ ℕ0)
sadval.c 𝐶 = seq0((𝑐 ∈ 2o, 𝑚 ∈ ℕ0 ↦ if(cadd(𝑚𝐴, 𝑚𝐵, ∅ ∈ 𝑐), 1o, ∅)), (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑛 = 0, ∅, (𝑛 − 1))))
sadcp1.n (𝜑𝑁 ∈ ℕ0)
sadcadd.k 𝐾 = (bits ↾ ℕ0)
sadcaddlem.1 (𝜑 → (∅ ∈ (𝐶𝑁) ↔ (2↑𝑁) ≤ ((𝐾‘(𝐴 ∩ (0..^𝑁))) + (𝐾‘(𝐵 ∩ (0..^𝑁))))))
Assertion
Ref Expression
sadcaddlem (𝜑 → (∅ ∈ (𝐶‘(𝑁 + 1)) ↔ (2↑(𝑁 + 1)) ≤ ((𝐾‘(𝐴 ∩ (0..^(𝑁 + 1)))) + (𝐾‘(𝐵 ∩ (0..^(𝑁 + 1)))))))
Distinct variable groups:   𝑚,𝑐,𝑛   𝐴,𝑐,𝑚   𝐵,𝑐,𝑚   𝑛,𝑁
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑚,𝑛,𝑐)   𝐴(𝑛)   𝐵(𝑛)   𝐶(𝑚,𝑛,𝑐)   𝐾(𝑚,𝑛,𝑐)   𝑁(𝑚,𝑐)

Proof of Theorem sadcaddlem
StepHypRef Expression
1 cad1 1624 . . . . 5 (∅ ∈ (𝐶𝑁) → (cadd(𝑁𝐴, 𝑁𝐵, ∅ ∈ (𝐶𝑁)) ↔ (𝑁𝐴𝑁𝐵)))
21adantl 485 . . . 4 ((𝜑 ∧ ∅ ∈ (𝐶𝑁)) → (cadd(𝑁𝐴, 𝑁𝐵, ∅ ∈ (𝐶𝑁)) ↔ (𝑁𝐴𝑁𝐵)))
3 2nn 11903 . . . . . . . . . . 11 2 ∈ ℕ
43a1i 11 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → 2 ∈ ℕ)
5 sadcp1.n . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑁 ∈ ℕ0)
64, 5nnexpcld 13812 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (2↑𝑁) ∈ ℕ)
76nnred 11845 . . . . . . . 8 (𝜑 → (2↑𝑁) ∈ ℝ)
87ad2antrr 726 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ ∅ ∈ (𝐶𝑁)) ∧ (𝑁𝐴𝑁𝐵)) → (2↑𝑁) ∈ ℝ)
9 inss1 4143 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐴 ∩ (0..^𝑁)) ⊆ 𝐴
10 sadval.a . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝐴 ⊆ ℕ0)
119, 10sstrid 3912 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝐴 ∩ (0..^𝑁)) ⊆ ℕ0)
12 fzofi 13547 . . . . . . . . . . . . . 14 (0..^𝑁) ∈ Fin
1312a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (0..^𝑁) ∈ Fin)
14 inss2 4144 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐴 ∩ (0..^𝑁)) ⊆ (0..^𝑁)
15 ssfi 8851 . . . . . . . . . . . . 13 (((0..^𝑁) ∈ Fin ∧ (𝐴 ∩ (0..^𝑁)) ⊆ (0..^𝑁)) → (𝐴 ∩ (0..^𝑁)) ∈ Fin)
1613, 14, 15sylancl 589 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝐴 ∩ (0..^𝑁)) ∈ Fin)
17 elfpw 8978 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴 ∩ (0..^𝑁)) ∈ (𝒫 ℕ0 ∩ Fin) ↔ ((𝐴 ∩ (0..^𝑁)) ⊆ ℕ0 ∧ (𝐴 ∩ (0..^𝑁)) ∈ Fin))
1811, 16, 17sylanbrc 586 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝐴 ∩ (0..^𝑁)) ∈ (𝒫 ℕ0 ∩ Fin))
19 bitsf1o 16004 . . . . . . . . . . . . . . 15 (bits ↾ ℕ0):ℕ01-1-onto→(𝒫 ℕ0 ∩ Fin)
20 f1ocnv 6673 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((bits ↾ ℕ0):ℕ01-1-onto→(𝒫 ℕ0 ∩ Fin) → (bits ↾ ℕ0):(𝒫 ℕ0 ∩ Fin)–1-1-onto→ℕ0)
2119, 20ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . 14 (bits ↾ ℕ0):(𝒫 ℕ0 ∩ Fin)–1-1-onto→ℕ0
22 sadcadd.k . . . . . . . . . . . . . . 15 𝐾 = (bits ↾ ℕ0)
23 f1oeq1 6649 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝐾 = (bits ↾ ℕ0) → (𝐾:(𝒫 ℕ0 ∩ Fin)–1-1-onto→ℕ0(bits ↾ ℕ0):(𝒫 ℕ0 ∩ Fin)–1-1-onto→ℕ0))
2422, 23ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐾:(𝒫 ℕ0 ∩ Fin)–1-1-onto→ℕ0(bits ↾ ℕ0):(𝒫 ℕ0 ∩ Fin)–1-1-onto→ℕ0)
2521, 24mpbir 234 . . . . . . . . . . . . 13 𝐾:(𝒫 ℕ0 ∩ Fin)–1-1-onto→ℕ0
26 f1of 6661 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐾:(𝒫 ℕ0 ∩ Fin)–1-1-onto→ℕ0𝐾:(𝒫 ℕ0 ∩ Fin)⟶ℕ0)
2725, 26ax-mp 5 . . . . . . . . . . . 12 𝐾:(𝒫 ℕ0 ∩ Fin)⟶ℕ0
2827ffvelrni 6903 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 ∩ (0..^𝑁)) ∈ (𝒫 ℕ0 ∩ Fin) → (𝐾‘(𝐴 ∩ (0..^𝑁))) ∈ ℕ0)
2918, 28syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝐾‘(𝐴 ∩ (0..^𝑁))) ∈ ℕ0)
30 inss1 4143 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐵 ∩ (0..^𝑁)) ⊆ 𝐵
31 sadval.b . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝐵 ⊆ ℕ0)
3230, 31sstrid 3912 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝐵 ∩ (0..^𝑁)) ⊆ ℕ0)
33 inss2 4144 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐵 ∩ (0..^𝑁)) ⊆ (0..^𝑁)
34 ssfi 8851 . . . . . . . . . . . . 13 (((0..^𝑁) ∈ Fin ∧ (𝐵 ∩ (0..^𝑁)) ⊆ (0..^𝑁)) → (𝐵 ∩ (0..^𝑁)) ∈ Fin)
3513, 33, 34sylancl 589 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝐵 ∩ (0..^𝑁)) ∈ Fin)
36 elfpw 8978 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐵 ∩ (0..^𝑁)) ∈ (𝒫 ℕ0 ∩ Fin) ↔ ((𝐵 ∩ (0..^𝑁)) ⊆ ℕ0 ∧ (𝐵 ∩ (0..^𝑁)) ∈ Fin))
3732, 35, 36sylanbrc 586 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝐵 ∩ (0..^𝑁)) ∈ (𝒫 ℕ0 ∩ Fin))
3827ffvelrni 6903 . . . . . . . . . . 11 ((𝐵 ∩ (0..^𝑁)) ∈ (𝒫 ℕ0 ∩ Fin) → (𝐾‘(𝐵 ∩ (0..^𝑁))) ∈ ℕ0)
3937, 38syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝐾‘(𝐵 ∩ (0..^𝑁))) ∈ ℕ0)
4029, 39nn0addcld 12154 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((𝐾‘(𝐴 ∩ (0..^𝑁))) + (𝐾‘(𝐵 ∩ (0..^𝑁)))) ∈ ℕ0)
4140nn0red 12151 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((𝐾‘(𝐴 ∩ (0..^𝑁))) + (𝐾‘(𝐵 ∩ (0..^𝑁)))) ∈ ℝ)
4241ad2antrr 726 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ ∅ ∈ (𝐶𝑁)) ∧ (𝑁𝐴𝑁𝐵)) → ((𝐾‘(𝐴 ∩ (0..^𝑁))) + (𝐾‘(𝐵 ∩ (0..^𝑁)))) ∈ ℝ)
43 2nn0 12107 . . . . . . . . . . . . 13 2 ∈ ℕ0
4443a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑁𝐴) → 2 ∈ ℕ0)
455adantr 484 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑁𝐴) → 𝑁 ∈ ℕ0)
4644, 45nn0expcld 13813 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑁𝐴) → (2↑𝑁) ∈ ℕ0)
47 0nn0 12105 . . . . . . . . . . . 12 0 ∈ ℕ0
4847a1i 11 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ ¬ 𝑁𝐴) → 0 ∈ ℕ0)
4946, 48ifclda 4474 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → if(𝑁𝐴, (2↑𝑁), 0) ∈ ℕ0)
5043a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑁𝐵) → 2 ∈ ℕ0)
515adantr 484 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑁𝐵) → 𝑁 ∈ ℕ0)
5250, 51nn0expcld 13813 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑁𝐵) → (2↑𝑁) ∈ ℕ0)
5347a1i 11 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ ¬ 𝑁𝐵) → 0 ∈ ℕ0)
5452, 53ifclda 4474 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → if(𝑁𝐵, (2↑𝑁), 0) ∈ ℕ0)
5549, 54nn0addcld 12154 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (if(𝑁𝐴, (2↑𝑁), 0) + if(𝑁𝐵, (2↑𝑁), 0)) ∈ ℕ0)
5655nn0red 12151 . . . . . . . 8 (𝜑 → (if(𝑁𝐴, (2↑𝑁), 0) + if(𝑁𝐵, (2↑𝑁), 0)) ∈ ℝ)
5756ad2antrr 726 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ ∅ ∈ (𝐶𝑁)) ∧ (𝑁𝐴𝑁𝐵)) → (if(𝑁𝐴, (2↑𝑁), 0) + if(𝑁𝐵, (2↑𝑁), 0)) ∈ ℝ)
58 sadcaddlem.1 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (∅ ∈ (𝐶𝑁) ↔ (2↑𝑁) ≤ ((𝐾‘(𝐴 ∩ (0..^𝑁))) + (𝐾‘(𝐵 ∩ (0..^𝑁))))))
5958biimpa 480 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ ∅ ∈ (𝐶𝑁)) → (2↑𝑁) ≤ ((𝐾‘(𝐴 ∩ (0..^𝑁))) + (𝐾‘(𝐵 ∩ (0..^𝑁)))))
6059adantr 484 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ ∅ ∈ (𝐶𝑁)) ∧ (𝑁𝐴𝑁𝐵)) → (2↑𝑁) ≤ ((𝐾‘(𝐴 ∩ (0..^𝑁))) + (𝐾‘(𝐵 ∩ (0..^𝑁)))))
616nnnn0d 12150 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (2↑𝑁) ∈ ℕ0)
62 ifcl 4484 . . . . . . . . . . . . 13 (((2↑𝑁) ∈ ℕ0 ∧ 0 ∈ ℕ0) → if(𝑁𝐵, (2↑𝑁), 0) ∈ ℕ0)
6361, 47, 62sylancl 589 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → if(𝑁𝐵, (2↑𝑁), 0) ∈ ℕ0)
6463nn0ge0d 12153 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → 0 ≤ if(𝑁𝐵, (2↑𝑁), 0))
657adantr 484 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑁𝐵) → (2↑𝑁) ∈ ℝ)
66 0red 10836 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑 ∧ ¬ 𝑁𝐵) → 0 ∈ ℝ)
6765, 66ifclda 4474 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → if(𝑁𝐵, (2↑𝑁), 0) ∈ ℝ)
687, 67addge01d 11420 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (0 ≤ if(𝑁𝐵, (2↑𝑁), 0) ↔ (2↑𝑁) ≤ ((2↑𝑁) + if(𝑁𝐵, (2↑𝑁), 0))))
6964, 68mpbid 235 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (2↑𝑁) ≤ ((2↑𝑁) + if(𝑁𝐵, (2↑𝑁), 0)))
7069ad2antrr 726 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ ∅ ∈ (𝐶𝑁)) ∧ 𝑁𝐴) → (2↑𝑁) ≤ ((2↑𝑁) + if(𝑁𝐵, (2↑𝑁), 0)))
71 iftrue 4445 . . . . . . . . . . 11 (𝑁𝐴 → if(𝑁𝐴, (2↑𝑁), 0) = (2↑𝑁))
7271adantl 485 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ ∅ ∈ (𝐶𝑁)) ∧ 𝑁𝐴) → if(𝑁𝐴, (2↑𝑁), 0) = (2↑𝑁))
7372oveq1d 7228 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ ∅ ∈ (𝐶𝑁)) ∧ 𝑁𝐴) → (if(𝑁𝐴, (2↑𝑁), 0) + if(𝑁𝐵, (2↑𝑁), 0)) = ((2↑𝑁) + if(𝑁𝐵, (2↑𝑁), 0)))
7470, 73breqtrrd 5081 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ ∅ ∈ (𝐶𝑁)) ∧ 𝑁𝐴) → (2↑𝑁) ≤ (if(𝑁𝐴, (2↑𝑁), 0) + if(𝑁𝐵, (2↑𝑁), 0)))
75 ifcl 4484 . . . . . . . . . . . . 13 (((2↑𝑁) ∈ ℕ0 ∧ 0 ∈ ℕ0) → if(𝑁𝐴, (2↑𝑁), 0) ∈ ℕ0)
7661, 47, 75sylancl 589 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → if(𝑁𝐴, (2↑𝑁), 0) ∈ ℕ0)
7776nn0ge0d 12153 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → 0 ≤ if(𝑁𝐴, (2↑𝑁), 0))
787adantr 484 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑁𝐴) → (2↑𝑁) ∈ ℝ)
79 0red 10836 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑 ∧ ¬ 𝑁𝐴) → 0 ∈ ℝ)
8078, 79ifclda 4474 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → if(𝑁𝐴, (2↑𝑁), 0) ∈ ℝ)
817, 80addge02d 11421 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (0 ≤ if(𝑁𝐴, (2↑𝑁), 0) ↔ (2↑𝑁) ≤ (if(𝑁𝐴, (2↑𝑁), 0) + (2↑𝑁))))
8277, 81mpbid 235 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (2↑𝑁) ≤ (if(𝑁𝐴, (2↑𝑁), 0) + (2↑𝑁)))
8382ad2antrr 726 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ ∅ ∈ (𝐶𝑁)) ∧ 𝑁𝐵) → (2↑𝑁) ≤ (if(𝑁𝐴, (2↑𝑁), 0) + (2↑𝑁)))
84 iftrue 4445 . . . . . . . . . . 11 (𝑁𝐵 → if(𝑁𝐵, (2↑𝑁), 0) = (2↑𝑁))
8584adantl 485 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ ∅ ∈ (𝐶𝑁)) ∧ 𝑁𝐵) → if(𝑁𝐵, (2↑𝑁), 0) = (2↑𝑁))
8685oveq2d 7229 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ ∅ ∈ (𝐶𝑁)) ∧ 𝑁𝐵) → (if(𝑁𝐴, (2↑𝑁), 0) + if(𝑁𝐵, (2↑𝑁), 0)) = (if(𝑁𝐴, (2↑𝑁), 0) + (2↑𝑁)))
8783, 86breqtrrd 5081 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ ∅ ∈ (𝐶𝑁)) ∧ 𝑁𝐵) → (2↑𝑁) ≤ (if(𝑁𝐴, (2↑𝑁), 0) + if(𝑁𝐵, (2↑𝑁), 0)))
8874, 87jaodan 958 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ ∅ ∈ (𝐶𝑁)) ∧ (𝑁𝐴𝑁𝐵)) → (2↑𝑁) ≤ (if(𝑁𝐴, (2↑𝑁), 0) + if(𝑁𝐵, (2↑𝑁), 0)))
898, 8, 42, 57, 60, 88le2addd 11451 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ ∅ ∈ (𝐶𝑁)) ∧ (𝑁𝐴𝑁𝐵)) → ((2↑𝑁) + (2↑𝑁)) ≤ (((𝐾‘(𝐴 ∩ (0..^𝑁))) + (𝐾‘(𝐵 ∩ (0..^𝑁)))) + (if(𝑁𝐴, (2↑𝑁), 0) + if(𝑁𝐵, (2↑𝑁), 0))))
9089ex 416 . . . . 5 ((𝜑 ∧ ∅ ∈ (𝐶𝑁)) → ((𝑁𝐴𝑁𝐵) → ((2↑𝑁) + (2↑𝑁)) ≤ (((𝐾‘(𝐴 ∩ (0..^𝑁))) + (𝐾‘(𝐵 ∩ (0..^𝑁)))) + (if(𝑁𝐴, (2↑𝑁), 0) + if(𝑁𝐵, (2↑𝑁), 0)))))
91 ioran 984 . . . . . 6 (¬ (𝑁𝐴𝑁𝐵) ↔ (¬ 𝑁𝐴 ∧ ¬ 𝑁𝐵))
92 iffalse 4448 . . . . . . . . . . . . . 14 𝑁𝐴 → if(𝑁𝐴, (2↑𝑁), 0) = 0)
9392ad2antrl 728 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑 ∧ ∅ ∈ (𝐶𝑁)) ∧ (¬ 𝑁𝐴 ∧ ¬ 𝑁𝐵)) → if(𝑁𝐴, (2↑𝑁), 0) = 0)
94 iffalse 4448 . . . . . . . . . . . . . 14 𝑁𝐵 → if(𝑁𝐵, (2↑𝑁), 0) = 0)
9594ad2antll 729 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑 ∧ ∅ ∈ (𝐶𝑁)) ∧ (¬ 𝑁𝐴 ∧ ¬ 𝑁𝐵)) → if(𝑁𝐵, (2↑𝑁), 0) = 0)
9693, 95oveq12d 7231 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑 ∧ ∅ ∈ (𝐶𝑁)) ∧ (¬ 𝑁𝐴 ∧ ¬ 𝑁𝐵)) → (if(𝑁𝐴, (2↑𝑁), 0) + if(𝑁𝐵, (2↑𝑁), 0)) = (0 + 0))
97 00id 11007 . . . . . . . . . . . 12 (0 + 0) = 0
9896, 97eqtrdi 2794 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ ∅ ∈ (𝐶𝑁)) ∧ (¬ 𝑁𝐴 ∧ ¬ 𝑁𝐵)) → (if(𝑁𝐴, (2↑𝑁), 0) + if(𝑁𝐵, (2↑𝑁), 0)) = 0)
9998oveq2d 7229 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ ∅ ∈ (𝐶𝑁)) ∧ (¬ 𝑁𝐴 ∧ ¬ 𝑁𝐵)) → (((𝐾‘(𝐴 ∩ (0..^𝑁))) + (𝐾‘(𝐵 ∩ (0..^𝑁)))) + (if(𝑁𝐴, (2↑𝑁), 0) + if(𝑁𝐵, (2↑𝑁), 0))) = (((𝐾‘(𝐴 ∩ (0..^𝑁))) + (𝐾‘(𝐵 ∩ (0..^𝑁)))) + 0))
10029nn0red 12151 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (𝐾‘(𝐴 ∩ (0..^𝑁))) ∈ ℝ)
101100ad2antrr 726 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑 ∧ ∅ ∈ (𝐶𝑁)) ∧ (¬ 𝑁𝐴 ∧ ¬ 𝑁𝐵)) → (𝐾‘(𝐴 ∩ (0..^𝑁))) ∈ ℝ)
10239nn0red 12151 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (𝐾‘(𝐵 ∩ (0..^𝑁))) ∈ ℝ)
103102ad2antrr 726 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑 ∧ ∅ ∈ (𝐶𝑁)) ∧ (¬ 𝑁𝐴 ∧ ¬ 𝑁𝐵)) → (𝐾‘(𝐵 ∩ (0..^𝑁))) ∈ ℝ)
104101, 103readdcld 10862 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑 ∧ ∅ ∈ (𝐶𝑁)) ∧ (¬ 𝑁𝐴 ∧ ¬ 𝑁𝐵)) → ((𝐾‘(𝐴 ∩ (0..^𝑁))) + (𝐾‘(𝐵 ∩ (0..^𝑁)))) ∈ ℝ)
105104recnd 10861 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ ∅ ∈ (𝐶𝑁)) ∧ (¬ 𝑁𝐴 ∧ ¬ 𝑁𝐵)) → ((𝐾‘(𝐴 ∩ (0..^𝑁))) + (𝐾‘(𝐵 ∩ (0..^𝑁)))) ∈ ℂ)
106105addid1d 11032 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ ∅ ∈ (𝐶𝑁)) ∧ (¬ 𝑁𝐴 ∧ ¬ 𝑁𝐵)) → (((𝐾‘(𝐴 ∩ (0..^𝑁))) + (𝐾‘(𝐵 ∩ (0..^𝑁)))) + 0) = ((𝐾‘(𝐴 ∩ (0..^𝑁))) + (𝐾‘(𝐵 ∩ (0..^𝑁)))))
10799, 106eqtrd 2777 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ ∅ ∈ (𝐶𝑁)) ∧ (¬ 𝑁𝐴 ∧ ¬ 𝑁𝐵)) → (((𝐾‘(𝐴 ∩ (0..^𝑁))) + (𝐾‘(𝐵 ∩ (0..^𝑁)))) + (if(𝑁𝐴, (2↑𝑁), 0) + if(𝑁𝐵, (2↑𝑁), 0))) = ((𝐾‘(𝐴 ∩ (0..^𝑁))) + (𝐾‘(𝐵 ∩ (0..^𝑁)))))
10822fveq1i 6718 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝐾‘(𝐴 ∩ (0..^𝑁))) = ((bits ↾ ℕ0)‘(𝐴 ∩ (0..^𝑁)))
109108fveq2i 6720 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((bits ↾ ℕ0)‘(𝐾‘(𝐴 ∩ (0..^𝑁)))) = ((bits ↾ ℕ0)‘((bits ↾ ℕ0)‘(𝐴 ∩ (0..^𝑁))))
11029fvresd 6737 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → ((bits ↾ ℕ0)‘(𝐾‘(𝐴 ∩ (0..^𝑁)))) = (bits‘(𝐾‘(𝐴 ∩ (0..^𝑁)))))
111 f1ocnvfv2 7088 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((bits ↾ ℕ0):ℕ01-1-onto→(𝒫 ℕ0 ∩ Fin) ∧ (𝐴 ∩ (0..^𝑁)) ∈ (𝒫 ℕ0 ∩ Fin)) → ((bits ↾ ℕ0)‘((bits ↾ ℕ0)‘(𝐴 ∩ (0..^𝑁)))) = (𝐴 ∩ (0..^𝑁)))
11219, 18, 111sylancr 590 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → ((bits ↾ ℕ0)‘((bits ↾ ℕ0)‘(𝐴 ∩ (0..^𝑁)))) = (𝐴 ∩ (0..^𝑁)))
113109, 110, 1123eqtr3a 2802 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (bits‘(𝐾‘(𝐴 ∩ (0..^𝑁)))) = (𝐴 ∩ (0..^𝑁)))
114113, 14eqsstrdi 3955 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (bits‘(𝐾‘(𝐴 ∩ (0..^𝑁)))) ⊆ (0..^𝑁))
11529nn0zd 12280 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (𝐾‘(𝐴 ∩ (0..^𝑁))) ∈ ℤ)
116 bitsfzo 15994 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐾‘(𝐴 ∩ (0..^𝑁))) ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → ((𝐾‘(𝐴 ∩ (0..^𝑁))) ∈ (0..^(2↑𝑁)) ↔ (bits‘(𝐾‘(𝐴 ∩ (0..^𝑁)))) ⊆ (0..^𝑁)))
117115, 5, 116syl2anc 587 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → ((𝐾‘(𝐴 ∩ (0..^𝑁))) ∈ (0..^(2↑𝑁)) ↔ (bits‘(𝐾‘(𝐴 ∩ (0..^𝑁)))) ⊆ (0..^𝑁)))
118114, 117mpbird 260 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝐾‘(𝐴 ∩ (0..^𝑁))) ∈ (0..^(2↑𝑁)))
119 elfzolt2 13252 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐾‘(𝐴 ∩ (0..^𝑁))) ∈ (0..^(2↑𝑁)) → (𝐾‘(𝐴 ∩ (0..^𝑁))) < (2↑𝑁))
120118, 119syl 17 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝐾‘(𝐴 ∩ (0..^𝑁))) < (2↑𝑁))
12122fveq1i 6718 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝐾‘(𝐵 ∩ (0..^𝑁))) = ((bits ↾ ℕ0)‘(𝐵 ∩ (0..^𝑁)))
122121fveq2i 6720 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((bits ↾ ℕ0)‘(𝐾‘(𝐵 ∩ (0..^𝑁)))) = ((bits ↾ ℕ0)‘((bits ↾ ℕ0)‘(𝐵 ∩ (0..^𝑁))))
12339fvresd 6737 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → ((bits ↾ ℕ0)‘(𝐾‘(𝐵 ∩ (0..^𝑁)))) = (bits‘(𝐾‘(𝐵 ∩ (0..^𝑁)))))
124 f1ocnvfv2 7088 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((bits ↾ ℕ0):ℕ01-1-onto→(𝒫 ℕ0 ∩ Fin) ∧ (𝐵 ∩ (0..^𝑁)) ∈ (𝒫 ℕ0 ∩ Fin)) → ((bits ↾ ℕ0)‘((bits ↾ ℕ0)‘(𝐵 ∩ (0..^𝑁)))) = (𝐵 ∩ (0..^𝑁)))
12519, 37, 124sylancr 590 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → ((bits ↾ ℕ0)‘((bits ↾ ℕ0)‘(𝐵 ∩ (0..^𝑁)))) = (𝐵 ∩ (0..^𝑁)))
126122, 123, 1253eqtr3a 2802 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (bits‘(𝐾‘(𝐵 ∩ (0..^𝑁)))) = (𝐵 ∩ (0..^𝑁)))
127126, 33eqsstrdi 3955 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (bits‘(𝐾‘(𝐵 ∩ (0..^𝑁)))) ⊆ (0..^𝑁))
12839nn0zd 12280 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (𝐾‘(𝐵 ∩ (0..^𝑁))) ∈ ℤ)
129 bitsfzo 15994 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐾‘(𝐵 ∩ (0..^𝑁))) ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → ((𝐾‘(𝐵 ∩ (0..^𝑁))) ∈ (0..^(2↑𝑁)) ↔ (bits‘(𝐾‘(𝐵 ∩ (0..^𝑁)))) ⊆ (0..^𝑁)))
130128, 5, 129syl2anc 587 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → ((𝐾‘(𝐵 ∩ (0..^𝑁))) ∈ (0..^(2↑𝑁)) ↔ (bits‘(𝐾‘(𝐵 ∩ (0..^𝑁)))) ⊆ (0..^𝑁)))
131127, 130mpbird 260 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝐾‘(𝐵 ∩ (0..^𝑁))) ∈ (0..^(2↑𝑁)))
132 elfzolt2 13252 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐾‘(𝐵 ∩ (0..^𝑁))) ∈ (0..^(2↑𝑁)) → (𝐾‘(𝐵 ∩ (0..^𝑁))) < (2↑𝑁))
133131, 132syl 17 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝐾‘(𝐵 ∩ (0..^𝑁))) < (2↑𝑁))
134100, 102, 7, 7, 120, 133lt2addd 11455 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((𝐾‘(𝐴 ∩ (0..^𝑁))) + (𝐾‘(𝐵 ∩ (0..^𝑁)))) < ((2↑𝑁) + (2↑𝑁)))
135134ad2antrr 726 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ ∅ ∈ (𝐶𝑁)) ∧ (¬ 𝑁𝐴 ∧ ¬ 𝑁𝐵)) → ((𝐾‘(𝐴 ∩ (0..^𝑁))) + (𝐾‘(𝐵 ∩ (0..^𝑁)))) < ((2↑𝑁) + (2↑𝑁)))
136107, 135eqbrtrd 5075 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ ∅ ∈ (𝐶𝑁)) ∧ (¬ 𝑁𝐴 ∧ ¬ 𝑁𝐵)) → (((𝐾‘(𝐴 ∩ (0..^𝑁))) + (𝐾‘(𝐵 ∩ (0..^𝑁)))) + (if(𝑁𝐴, (2↑𝑁), 0) + if(𝑁𝐵, (2↑𝑁), 0))) < ((2↑𝑁) + (2↑𝑁)))
13780ad2antrr 726 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ ∅ ∈ (𝐶𝑁)) ∧ (¬ 𝑁𝐴 ∧ ¬ 𝑁𝐵)) → if(𝑁𝐴, (2↑𝑁), 0) ∈ ℝ)
13867ad2antrr 726 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ ∅ ∈ (𝐶𝑁)) ∧ (¬ 𝑁𝐴 ∧ ¬ 𝑁𝐵)) → if(𝑁𝐵, (2↑𝑁), 0) ∈ ℝ)
139137, 138readdcld 10862 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ ∅ ∈ (𝐶𝑁)) ∧ (¬ 𝑁𝐴 ∧ ¬ 𝑁𝐵)) → (if(𝑁𝐴, (2↑𝑁), 0) + if(𝑁𝐵, (2↑𝑁), 0)) ∈ ℝ)
140104, 139readdcld 10862 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ ∅ ∈ (𝐶𝑁)) ∧ (¬ 𝑁𝐴 ∧ ¬ 𝑁𝐵)) → (((𝐾‘(𝐴 ∩ (0..^𝑁))) + (𝐾‘(𝐵 ∩ (0..^𝑁)))) + (if(𝑁𝐴, (2↑𝑁), 0) + if(𝑁𝐵, (2↑𝑁), 0))) ∈ ℝ)
1417ad2antrr 726 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ ∅ ∈ (𝐶𝑁)) ∧ (¬ 𝑁𝐴 ∧ ¬ 𝑁𝐵)) → (2↑𝑁) ∈ ℝ)
142141, 141readdcld 10862 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ ∅ ∈ (𝐶𝑁)) ∧ (¬ 𝑁𝐴 ∧ ¬ 𝑁𝐵)) → ((2↑𝑁) + (2↑𝑁)) ∈ ℝ)
143140, 142ltnled 10979 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ ∅ ∈ (𝐶𝑁)) ∧ (¬ 𝑁𝐴 ∧ ¬ 𝑁𝐵)) → ((((𝐾‘(𝐴 ∩ (0..^𝑁))) + (𝐾‘(𝐵 ∩ (0..^𝑁)))) + (if(𝑁𝐴, (2↑𝑁), 0) + if(𝑁𝐵, (2↑𝑁), 0))) < ((2↑𝑁) + (2↑𝑁)) ↔ ¬ ((2↑𝑁) + (2↑𝑁)) ≤ (((𝐾‘(𝐴 ∩ (0..^𝑁))) + (𝐾‘(𝐵 ∩ (0..^𝑁)))) + (if(𝑁𝐴, (2↑𝑁), 0) + if(𝑁𝐵, (2↑𝑁), 0)))))
144136, 143mpbid 235 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ ∅ ∈ (𝐶𝑁)) ∧ (¬ 𝑁𝐴 ∧ ¬ 𝑁𝐵)) → ¬ ((2↑𝑁) + (2↑𝑁)) ≤ (((𝐾‘(𝐴 ∩ (0..^𝑁))) + (𝐾‘(𝐵 ∩ (0..^𝑁)))) + (if(𝑁𝐴, (2↑𝑁), 0) + if(𝑁𝐵, (2↑𝑁), 0))))
145144ex 416 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ ∅ ∈ (𝐶𝑁)) → ((¬ 𝑁𝐴 ∧ ¬ 𝑁𝐵) → ¬ ((2↑𝑁) + (2↑𝑁)) ≤ (((𝐾‘(𝐴 ∩ (0..^𝑁))) + (𝐾‘(𝐵 ∩ (0..^𝑁)))) + (if(𝑁𝐴, (2↑𝑁), 0) + if(𝑁𝐵, (2↑𝑁), 0)))))
14691, 145syl5bi 245 . . . . 5 ((𝜑 ∧ ∅ ∈ (𝐶𝑁)) → (¬ (𝑁𝐴𝑁𝐵) → ¬ ((2↑𝑁) + (2↑𝑁)) ≤ (((𝐾‘(𝐴 ∩ (0..^𝑁))) + (𝐾‘(𝐵 ∩ (0..^𝑁)))) + (if(𝑁𝐴, (2↑𝑁), 0) + if(𝑁𝐵, (2↑𝑁), 0)))))
14790, 146impcon4bid 230 . . . 4 ((𝜑 ∧ ∅ ∈ (𝐶𝑁)) → ((𝑁𝐴𝑁𝐵) ↔ ((2↑𝑁) + (2↑𝑁)) ≤ (((𝐾‘(𝐴 ∩ (0..^𝑁))) + (𝐾‘(𝐵 ∩ (0..^𝑁)))) + (if(𝑁𝐴, (2↑𝑁), 0) + if(𝑁𝐵, (2↑𝑁), 0)))))
1482, 147bitrd 282 . . 3 ((𝜑 ∧ ∅ ∈ (𝐶𝑁)) → (cadd(𝑁𝐴, 𝑁𝐵, ∅ ∈ (𝐶𝑁)) ↔ ((2↑𝑁) + (2↑𝑁)) ≤ (((𝐾‘(𝐴 ∩ (0..^𝑁))) + (𝐾‘(𝐵 ∩ (0..^𝑁)))) + (if(𝑁𝐴, (2↑𝑁), 0) + if(𝑁𝐵, (2↑𝑁), 0)))))
149 cad0 1625 . . . . 5 (¬ ∅ ∈ (𝐶𝑁) → (cadd(𝑁𝐴, 𝑁𝐵, ∅ ∈ (𝐶𝑁)) ↔ (𝑁𝐴𝑁𝐵)))
150149adantl 485 . . . 4 ((𝜑 ∧ ¬ ∅ ∈ (𝐶𝑁)) → (cadd(𝑁𝐴, 𝑁𝐵, ∅ ∈ (𝐶𝑁)) ↔ (𝑁𝐴𝑁𝐵)))
15140nn0ge0d 12153 . . . . . . . . 9 (𝜑 → 0 ≤ ((𝐾‘(𝐴 ∩ (0..^𝑁))) + (𝐾‘(𝐵 ∩ (0..^𝑁)))))
1527, 7readdcld 10862 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((2↑𝑁) + (2↑𝑁)) ∈ ℝ)
153152, 41addge02d 11421 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (0 ≤ ((𝐾‘(𝐴 ∩ (0..^𝑁))) + (𝐾‘(𝐵 ∩ (0..^𝑁)))) ↔ ((2↑𝑁) + (2↑𝑁)) ≤ (((𝐾‘(𝐴 ∩ (0..^𝑁))) + (𝐾‘(𝐵 ∩ (0..^𝑁)))) + ((2↑𝑁) + (2↑𝑁)))))
154151, 153mpbid 235 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((2↑𝑁) + (2↑𝑁)) ≤ (((𝐾‘(𝐴 ∩ (0..^𝑁))) + (𝐾‘(𝐵 ∩ (0..^𝑁)))) + ((2↑𝑁) + (2↑𝑁))))
155154ad2antrr 726 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ ¬ ∅ ∈ (𝐶𝑁)) ∧ (𝑁𝐴𝑁𝐵)) → ((2↑𝑁) + (2↑𝑁)) ≤ (((𝐾‘(𝐴 ∩ (0..^𝑁))) + (𝐾‘(𝐵 ∩ (0..^𝑁)))) + ((2↑𝑁) + (2↑𝑁))))
15671, 84oveqan12d 7232 . . . . . . . . 9 ((𝑁𝐴𝑁𝐵) → (if(𝑁𝐴, (2↑𝑁), 0) + if(𝑁𝐵, (2↑𝑁), 0)) = ((2↑𝑁) + (2↑𝑁)))
157156adantl 485 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ ¬ ∅ ∈ (𝐶𝑁)) ∧ (𝑁𝐴𝑁𝐵)) → (if(𝑁𝐴, (2↑𝑁), 0) + if(𝑁𝐵, (2↑𝑁), 0)) = ((2↑𝑁) + (2↑𝑁)))
158157oveq2d 7229 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ ¬ ∅ ∈ (𝐶𝑁)) ∧ (𝑁𝐴𝑁𝐵)) → (((𝐾‘(𝐴 ∩ (0..^𝑁))) + (𝐾‘(𝐵 ∩ (0..^𝑁)))) + (if(𝑁𝐴, (2↑𝑁), 0) + if(𝑁𝐵, (2↑𝑁), 0))) = (((𝐾‘(𝐴 ∩ (0..^𝑁))) + (𝐾‘(𝐵 ∩ (0..^𝑁)))) + ((2↑𝑁) + (2↑𝑁))))
159155, 158breqtrrd 5081 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ ¬ ∅ ∈ (𝐶𝑁)) ∧ (𝑁𝐴𝑁𝐵)) → ((2↑𝑁) + (2↑𝑁)) ≤ (((𝐾‘(𝐴 ∩ (0..^𝑁))) + (𝐾‘(𝐵 ∩ (0..^𝑁)))) + (if(𝑁𝐴, (2↑𝑁), 0) + if(𝑁𝐵, (2↑𝑁), 0))))
160159ex 416 . . . . 5 ((𝜑 ∧ ¬ ∅ ∈ (𝐶𝑁)) → ((𝑁𝐴𝑁𝐵) → ((2↑𝑁) + (2↑𝑁)) ≤ (((𝐾‘(𝐴 ∩ (0..^𝑁))) + (𝐾‘(𝐵 ∩ (0..^𝑁)))) + (if(𝑁𝐴, (2↑𝑁), 0) + if(𝑁𝐵, (2↑𝑁), 0)))))
161100adantr 484 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ ¬ ∅ ∈ (𝐶𝑁)) → (𝐾‘(𝐴 ∩ (0..^𝑁))) ∈ ℝ)
162102adantr 484 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ ¬ ∅ ∈ (𝐶𝑁)) → (𝐾‘(𝐵 ∩ (0..^𝑁))) ∈ ℝ)
163161, 162readdcld 10862 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ ¬ ∅ ∈ (𝐶𝑁)) → ((𝐾‘(𝐴 ∩ (0..^𝑁))) + (𝐾‘(𝐵 ∩ (0..^𝑁)))) ∈ ℝ)
1647adantr 484 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ ¬ ∅ ∈ (𝐶𝑁)) → (2↑𝑁) ∈ ℝ)
1657, 41lenltd 10978 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ((2↑𝑁) ≤ ((𝐾‘(𝐴 ∩ (0..^𝑁))) + (𝐾‘(𝐵 ∩ (0..^𝑁)))) ↔ ¬ ((𝐾‘(𝐴 ∩ (0..^𝑁))) + (𝐾‘(𝐵 ∩ (0..^𝑁)))) < (2↑𝑁)))
16658, 165bitrd 282 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (∅ ∈ (𝐶𝑁) ↔ ¬ ((𝐾‘(𝐴 ∩ (0..^𝑁))) + (𝐾‘(𝐵 ∩ (0..^𝑁)))) < (2↑𝑁)))
167166con2bid 358 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (((𝐾‘(𝐴 ∩ (0..^𝑁))) + (𝐾‘(𝐵 ∩ (0..^𝑁)))) < (2↑𝑁) ↔ ¬ ∅ ∈ (𝐶𝑁)))
168167biimpar 481 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ ¬ ∅ ∈ (𝐶𝑁)) → ((𝐾‘(𝐴 ∩ (0..^𝑁))) + (𝐾‘(𝐵 ∩ (0..^𝑁)))) < (2↑𝑁))
169163, 164, 164, 168ltadd1dd 11443 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ ¬ ∅ ∈ (𝐶𝑁)) → (((𝐾‘(𝐴 ∩ (0..^𝑁))) + (𝐾‘(𝐵 ∩ (0..^𝑁)))) + (2↑𝑁)) < ((2↑𝑁) + (2↑𝑁)))
170163, 164readdcld 10862 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ ¬ ∅ ∈ (𝐶𝑁)) → (((𝐾‘(𝐴 ∩ (0..^𝑁))) + (𝐾‘(𝐵 ∩ (0..^𝑁)))) + (2↑𝑁)) ∈ ℝ)
171152adantr 484 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ ¬ ∅ ∈ (𝐶𝑁)) → ((2↑𝑁) + (2↑𝑁)) ∈ ℝ)
17241, 56readdcld 10862 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (((𝐾‘(𝐴 ∩ (0..^𝑁))) + (𝐾‘(𝐵 ∩ (0..^𝑁)))) + (if(𝑁𝐴, (2↑𝑁), 0) + if(𝑁𝐵, (2↑𝑁), 0))) ∈ ℝ)
173172adantr 484 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ ¬ ∅ ∈ (𝐶𝑁)) → (((𝐾‘(𝐴 ∩ (0..^𝑁))) + (𝐾‘(𝐵 ∩ (0..^𝑁)))) + (if(𝑁𝐴, (2↑𝑁), 0) + if(𝑁𝐵, (2↑𝑁), 0))) ∈ ℝ)
174 ltletr 10924 . . . . . . . . 9 (((((𝐾‘(𝐴 ∩ (0..^𝑁))) + (𝐾‘(𝐵 ∩ (0..^𝑁)))) + (2↑𝑁)) ∈ ℝ ∧ ((2↑𝑁) + (2↑𝑁)) ∈ ℝ ∧ (((𝐾‘(𝐴 ∩ (0..^𝑁))) + (𝐾‘(𝐵 ∩ (0..^𝑁)))) + (if(𝑁𝐴, (2↑𝑁), 0) + if(𝑁𝐵, (2↑𝑁), 0))) ∈ ℝ) → (((((𝐾‘(𝐴 ∩ (0..^𝑁))) + (𝐾‘(𝐵 ∩ (0..^𝑁)))) + (2↑𝑁)) < ((2↑𝑁) + (2↑𝑁)) ∧ ((2↑𝑁) + (2↑𝑁)) ≤ (((𝐾‘(𝐴 ∩ (0..^𝑁))) + (𝐾‘(𝐵 ∩ (0..^𝑁)))) + (if(𝑁𝐴, (2↑𝑁), 0) + if(𝑁𝐵, (2↑𝑁), 0)))) → (((𝐾‘(𝐴 ∩ (0..^𝑁))) + (𝐾‘(𝐵 ∩ (0..^𝑁)))) + (2↑𝑁)) < (((𝐾‘(𝐴 ∩ (0..^𝑁))) + (𝐾‘(𝐵 ∩ (0..^𝑁)))) + (if(𝑁𝐴, (2↑𝑁), 0) + if(𝑁𝐵, (2↑𝑁), 0)))))
175170, 171, 173, 174syl3anc 1373 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ ¬ ∅ ∈ (𝐶𝑁)) → (((((𝐾‘(𝐴 ∩ (0..^𝑁))) + (𝐾‘(𝐵 ∩ (0..^𝑁)))) + (2↑𝑁)) < ((2↑𝑁) + (2↑𝑁)) ∧ ((2↑𝑁) + (2↑𝑁)) ≤ (((𝐾‘(𝐴 ∩ (0..^𝑁))) + (𝐾‘(𝐵 ∩ (0..^𝑁)))) + (if(𝑁𝐴, (2↑𝑁), 0) + if(𝑁𝐵, (2↑𝑁), 0)))) → (((𝐾‘(𝐴 ∩ (0..^𝑁))) + (𝐾‘(𝐵 ∩ (0..^𝑁)))) + (2↑𝑁)) < (((𝐾‘(𝐴 ∩ (0..^𝑁))) + (𝐾‘(𝐵 ∩ (0..^𝑁)))) + (if(𝑁𝐴, (2↑𝑁), 0) + if(𝑁𝐵, (2↑𝑁), 0)))))
176169, 175mpand 695 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ ¬ ∅ ∈ (𝐶𝑁)) → (((2↑𝑁) + (2↑𝑁)) ≤ (((𝐾‘(𝐴 ∩ (0..^𝑁))) + (𝐾‘(𝐵 ∩ (0..^𝑁)))) + (if(𝑁𝐴, (2↑𝑁), 0) + if(𝑁𝐵, (2↑𝑁), 0))) → (((𝐾‘(𝐴 ∩ (0..^𝑁))) + (𝐾‘(𝐵 ∩ (0..^𝑁)))) + (2↑𝑁)) < (((𝐾‘(𝐴 ∩ (0..^𝑁))) + (𝐾‘(𝐵 ∩ (0..^𝑁)))) + (if(𝑁𝐴, (2↑𝑁), 0) + if(𝑁𝐵, (2↑𝑁), 0)))))
17756adantr 484 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ ¬ ∅ ∈ (𝐶𝑁)) → (if(𝑁𝐴, (2↑𝑁), 0) + if(𝑁𝐵, (2↑𝑁), 0)) ∈ ℝ)
17841adantr 484 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ ¬ ∅ ∈ (𝐶𝑁)) → ((𝐾‘(𝐴 ∩ (0..^𝑁))) + (𝐾‘(𝐵 ∩ (0..^𝑁)))) ∈ ℝ)
179164, 177, 178ltadd2d 10988 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ ¬ ∅ ∈ (𝐶𝑁)) → ((2↑𝑁) < (if(𝑁𝐴, (2↑𝑁), 0) + if(𝑁𝐵, (2↑𝑁), 0)) ↔ (((𝐾‘(𝐴 ∩ (0..^𝑁))) + (𝐾‘(𝐵 ∩ (0..^𝑁)))) + (2↑𝑁)) < (((𝐾‘(𝐴 ∩ (0..^𝑁))) + (𝐾‘(𝐵 ∩ (0..^𝑁)))) + (if(𝑁𝐴, (2↑𝑁), 0) + if(𝑁𝐵, (2↑𝑁), 0)))))
180176, 179sylibrd 262 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ ¬ ∅ ∈ (𝐶𝑁)) → (((2↑𝑁) + (2↑𝑁)) ≤ (((𝐾‘(𝐴 ∩ (0..^𝑁))) + (𝐾‘(𝐵 ∩ (0..^𝑁)))) + (if(𝑁𝐴, (2↑𝑁), 0) + if(𝑁𝐵, (2↑𝑁), 0))) → (2↑𝑁) < (if(𝑁𝐴, (2↑𝑁), 0) + if(𝑁𝐵, (2↑𝑁), 0))))
1817, 56ltnled 10979 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((2↑𝑁) < (if(𝑁𝐴, (2↑𝑁), 0) + if(𝑁𝐵, (2↑𝑁), 0)) ↔ ¬ (if(𝑁𝐴, (2↑𝑁), 0) + if(𝑁𝐵, (2↑𝑁), 0)) ≤ (2↑𝑁)))
18263nn0cnd 12152 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → if(𝑁𝐵, (2↑𝑁), 0) ∈ ℂ)
183182addid2d 11033 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (0 + if(𝑁𝐵, (2↑𝑁), 0)) = if(𝑁𝐵, (2↑𝑁), 0))
1847leidd 11398 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (2↑𝑁) ≤ (2↑𝑁))
18561nn0ge0d 12153 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → 0 ≤ (2↑𝑁))
186 breq1 5056 . . . . . . . . . . . . . 14 ((2↑𝑁) = if(𝑁𝐵, (2↑𝑁), 0) → ((2↑𝑁) ≤ (2↑𝑁) ↔ if(𝑁𝐵, (2↑𝑁), 0) ≤ (2↑𝑁)))
187 breq1 5056 . . . . . . . . . . . . . 14 (0 = if(𝑁𝐵, (2↑𝑁), 0) → (0 ≤ (2↑𝑁) ↔ if(𝑁𝐵, (2↑𝑁), 0) ≤ (2↑𝑁)))
188186, 187ifboth 4478 . . . . . . . . . . . . 13 (((2↑𝑁) ≤ (2↑𝑁) ∧ 0 ≤ (2↑𝑁)) → if(𝑁𝐵, (2↑𝑁), 0) ≤ (2↑𝑁))
189184, 185, 188syl2anc 587 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → if(𝑁𝐵, (2↑𝑁), 0) ≤ (2↑𝑁))
190183, 189eqbrtrd 5075 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (0 + if(𝑁𝐵, (2↑𝑁), 0)) ≤ (2↑𝑁))
19192oveq1d 7228 . . . . . . . . . . . 12 𝑁𝐴 → (if(𝑁𝐴, (2↑𝑁), 0) + if(𝑁𝐵, (2↑𝑁), 0)) = (0 + if(𝑁𝐵, (2↑𝑁), 0)))
192191breq1d 5063 . . . . . . . . . . 11 𝑁𝐴 → ((if(𝑁𝐴, (2↑𝑁), 0) + if(𝑁𝐵, (2↑𝑁), 0)) ≤ (2↑𝑁) ↔ (0 + if(𝑁𝐵, (2↑𝑁), 0)) ≤ (2↑𝑁)))
193190, 192syl5ibrcom 250 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (¬ 𝑁𝐴 → (if(𝑁𝐴, (2↑𝑁), 0) + if(𝑁𝐵, (2↑𝑁), 0)) ≤ (2↑𝑁)))
194193con1d 147 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (¬ (if(𝑁𝐴, (2↑𝑁), 0) + if(𝑁𝐵, (2↑𝑁), 0)) ≤ (2↑𝑁) → 𝑁𝐴))
19576nn0cnd 12152 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → if(𝑁𝐴, (2↑𝑁), 0) ∈ ℂ)
196195addid1d 11032 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (if(𝑁𝐴, (2↑𝑁), 0) + 0) = if(𝑁𝐴, (2↑𝑁), 0))
197 breq1 5056 . . . . . . . . . . . . . 14 ((2↑𝑁) = if(𝑁𝐴, (2↑𝑁), 0) → ((2↑𝑁) ≤ (2↑𝑁) ↔ if(𝑁𝐴, (2↑𝑁), 0) ≤ (2↑𝑁)))
198 breq1 5056 . . . . . . . . . . . . . 14 (0 = if(𝑁𝐴, (2↑𝑁), 0) → (0 ≤ (2↑𝑁) ↔ if(𝑁𝐴, (2↑𝑁), 0) ≤ (2↑𝑁)))
199197, 198ifboth 4478 . . . . . . . . . . . . 13 (((2↑𝑁) ≤ (2↑𝑁) ∧ 0 ≤ (2↑𝑁)) → if(𝑁𝐴, (2↑𝑁), 0) ≤ (2↑𝑁))
200184, 185, 199syl2anc 587 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → if(𝑁𝐴, (2↑𝑁), 0) ≤ (2↑𝑁))
201196, 200eqbrtrd 5075 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (if(𝑁𝐴, (2↑𝑁), 0) + 0) ≤ (2↑𝑁))
20294oveq2d 7229 . . . . . . . . . . . 12 𝑁𝐵 → (if(𝑁𝐴, (2↑𝑁), 0) + if(𝑁𝐵, (2↑𝑁), 0)) = (if(𝑁𝐴, (2↑𝑁), 0) + 0))
203202breq1d 5063 . . . . . . . . . . 11 𝑁𝐵 → ((if(𝑁𝐴, (2↑𝑁), 0) + if(𝑁𝐵, (2↑𝑁), 0)) ≤ (2↑𝑁) ↔ (if(𝑁𝐴, (2↑𝑁), 0) + 0) ≤ (2↑𝑁)))
204201, 203syl5ibrcom 250 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (¬ 𝑁𝐵 → (if(𝑁𝐴, (2↑𝑁), 0) + if(𝑁𝐵, (2↑𝑁), 0)) ≤ (2↑𝑁)))
205204con1d 147 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (¬ (if(𝑁𝐴, (2↑𝑁), 0) + if(𝑁𝐵, (2↑𝑁), 0)) ≤ (2↑𝑁) → 𝑁𝐵))
206194, 205jcad 516 . . . . . . . 8 (𝜑 → (¬ (if(𝑁𝐴, (2↑𝑁), 0) + if(𝑁𝐵, (2↑𝑁), 0)) ≤ (2↑𝑁) → (𝑁𝐴𝑁𝐵)))
207181, 206sylbid 243 . . . . . . 7 (𝜑 → ((2↑𝑁) < (if(𝑁𝐴, (2↑𝑁), 0) + if(𝑁𝐵, (2↑𝑁), 0)) → (𝑁𝐴𝑁𝐵)))
208207adantr 484 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ ¬ ∅ ∈ (𝐶𝑁)) → ((2↑𝑁) < (if(𝑁𝐴, (2↑𝑁), 0) + if(𝑁𝐵, (2↑𝑁), 0)) → (𝑁𝐴𝑁𝐵)))
209180, 208syld 47 . . . . 5 ((𝜑 ∧ ¬ ∅ ∈ (𝐶𝑁)) → (((2↑𝑁) + (2↑𝑁)) ≤ (((𝐾‘(𝐴 ∩ (0..^𝑁))) + (𝐾‘(𝐵 ∩ (0..^𝑁)))) + (if(𝑁𝐴, (2↑𝑁), 0) + if(𝑁𝐵, (2↑𝑁), 0))) → (𝑁𝐴𝑁𝐵)))
210160, 209impbid 215 . . . 4 ((𝜑 ∧ ¬ ∅ ∈ (𝐶𝑁)) → ((𝑁𝐴𝑁𝐵) ↔ ((2↑𝑁) + (2↑𝑁)) ≤ (((𝐾‘(𝐴 ∩ (0..^𝑁))) + (𝐾‘(𝐵 ∩ (0..^𝑁)))) + (if(𝑁𝐴, (2↑𝑁), 0) + if(𝑁𝐵, (2↑𝑁), 0)))))
211150, 210bitrd 282 . . 3 ((𝜑 ∧ ¬ ∅ ∈ (𝐶𝑁)) → (cadd(𝑁𝐴, 𝑁𝐵, ∅ ∈ (𝐶𝑁)) ↔ ((2↑𝑁) + (2↑𝑁)) ≤ (((𝐾‘(𝐴 ∩ (0..^𝑁))) + (𝐾‘(𝐵 ∩ (0..^𝑁)))) + (if(𝑁𝐴, (2↑𝑁), 0) + if(𝑁𝐵, (2↑𝑁), 0)))))
212148, 211pm2.61dan 813 . 2 (𝜑 → (cadd(𝑁𝐴, 𝑁𝐵, ∅ ∈ (𝐶𝑁)) ↔ ((2↑𝑁) + (2↑𝑁)) ≤ (((𝐾‘(𝐴 ∩ (0..^𝑁))) + (𝐾‘(𝐵 ∩ (0..^𝑁)))) + (if(𝑁𝐴, (2↑𝑁), 0) + if(𝑁𝐵, (2↑𝑁), 0)))))
213 sadval.c . . 3 𝐶 = seq0((𝑐 ∈ 2o, 𝑚 ∈ ℕ0 ↦ if(cadd(𝑚𝐴, 𝑚𝐵, ∅ ∈ 𝑐), 1o, ∅)), (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑛 = 0, ∅, (𝑛 − 1))))
21410, 31, 213, 5sadcp1 16014 . 2 (𝜑 → (∅ ∈ (𝐶‘(𝑁 + 1)) ↔ cadd(𝑁𝐴, 𝑁𝐵, ∅ ∈ (𝐶𝑁))))
215 2cnd 11908 . . . . 5 (𝜑 → 2 ∈ ℂ)
216215, 5expp1d 13717 . . . 4 (𝜑 → (2↑(𝑁 + 1)) = ((2↑𝑁) · 2))
2176nncnd 11846 . . . . 5 (𝜑 → (2↑𝑁) ∈ ℂ)
218217times2d 12074 . . . 4 (𝜑 → ((2↑𝑁) · 2) = ((2↑𝑁) + (2↑𝑁)))
219216, 218eqtrd 2777 . . 3 (𝜑 → (2↑(𝑁 + 1)) = ((2↑𝑁) + (2↑𝑁)))
22022bitsinvp1 16008 . . . . . 6 ((𝐴 ⊆ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐾‘(𝐴 ∩ (0..^(𝑁 + 1)))) = ((𝐾‘(𝐴 ∩ (0..^𝑁))) + if(𝑁𝐴, (2↑𝑁), 0)))
22110, 5, 220syl2anc 587 . . . . 5 (𝜑 → (𝐾‘(𝐴 ∩ (0..^(𝑁 + 1)))) = ((𝐾‘(𝐴 ∩ (0..^𝑁))) + if(𝑁𝐴, (2↑𝑁), 0)))
22222bitsinvp1 16008 . . . . . 6 ((𝐵 ⊆ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐾‘(𝐵 ∩ (0..^(𝑁 + 1)))) = ((𝐾‘(𝐵 ∩ (0..^𝑁))) + if(𝑁𝐵, (2↑𝑁), 0)))
22331, 5, 222syl2anc 587 . . . . 5 (𝜑 → (𝐾‘(𝐵 ∩ (0..^(𝑁 + 1)))) = ((𝐾‘(𝐵 ∩ (0..^𝑁))) + if(𝑁𝐵, (2↑𝑁), 0)))
224221, 223oveq12d 7231 . . . 4 (𝜑 → ((𝐾‘(𝐴 ∩ (0..^(𝑁 + 1)))) + (𝐾‘(𝐵 ∩ (0..^(𝑁 + 1))))) = (((𝐾‘(𝐴 ∩ (0..^𝑁))) + if(𝑁𝐴, (2↑𝑁), 0)) + ((𝐾‘(𝐵 ∩ (0..^𝑁))) + if(𝑁𝐵, (2↑𝑁), 0))))
22529nn0cnd 12152 . . . . 5 (𝜑 → (𝐾‘(𝐴 ∩ (0..^𝑁))) ∈ ℂ)
22639nn0cnd 12152 . . . . 5 (𝜑 → (𝐾‘(𝐵 ∩ (0..^𝑁))) ∈ ℂ)
227225, 195, 226, 182add4d 11060 . . . 4 (𝜑 → (((𝐾‘(𝐴 ∩ (0..^𝑁))) + if(𝑁𝐴, (2↑𝑁), 0)) + ((𝐾‘(𝐵 ∩ (0..^𝑁))) + if(𝑁𝐵, (2↑𝑁), 0))) = (((𝐾‘(𝐴 ∩ (0..^𝑁))) + (𝐾‘(𝐵 ∩ (0..^𝑁)))) + (if(𝑁𝐴, (2↑𝑁), 0) + if(𝑁𝐵, (2↑𝑁), 0))))
228224, 227eqtrd 2777 . . 3 (𝜑 → ((𝐾‘(𝐴 ∩ (0..^(𝑁 + 1)))) + (𝐾‘(𝐵 ∩ (0..^(𝑁 + 1))))) = (((𝐾‘(𝐴 ∩ (0..^𝑁))) + (𝐾‘(𝐵 ∩ (0..^𝑁)))) + (if(𝑁𝐴, (2↑𝑁), 0) + if(𝑁𝐵, (2↑𝑁), 0))))
229219, 228breq12d 5066 . 2 (𝜑 → ((2↑(𝑁 + 1)) ≤ ((𝐾‘(𝐴 ∩ (0..^(𝑁 + 1)))) + (𝐾‘(𝐵 ∩ (0..^(𝑁 + 1))))) ↔ ((2↑𝑁) + (2↑𝑁)) ≤ (((𝐾‘(𝐴 ∩ (0..^𝑁))) + (𝐾‘(𝐵 ∩ (0..^𝑁)))) + (if(𝑁𝐴, (2↑𝑁), 0) + if(𝑁𝐵, (2↑𝑁), 0)))))
230212, 214, 2293bitr4d 314 1 (𝜑 → (∅ ∈ (𝐶‘(𝑁 + 1)) ↔ (2↑(𝑁 + 1)) ≤ ((𝐾‘(𝐴 ∩ (0..^(𝑁 + 1)))) + (𝐾‘(𝐵 ∩ (0..^(𝑁 + 1)))))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 209  wa 399  wo 847   = wceq 1543  caddwcad 1613  wcel 2110  cin 3865  wss 3866  c0 4237  ifcif 4439  𝒫 cpw 4513   class class class wbr 5053  cmpt 5135  ccnv 5550  cres 5553  wf 6376  1-1-ontowf1o 6379  cfv 6380  (class class class)co 7213  cmpo 7215  1oc1o 8195  2oc2o 8196  Fincfn 8626  cr 10728  0cc0 10729  1c1 10730   + caddc 10732   · cmul 10734   < clt 10867  cle 10868  cmin 11062  cn 11830  2c2 11885  0cn0 12090  cz 12176  ..^cfzo 13238  seqcseq 13574  cexp 13635  bitscbits 15978
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1803  ax-4 1817  ax-5 1918  ax-6 1976  ax-7 2016  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2708  ax-rep 5179  ax-sep 5192  ax-nul 5199  ax-pow 5258  ax-pr 5322  ax-un 7523  ax-inf2 9256  ax-cnex 10785  ax-resscn 10786  ax-1cn 10787  ax-icn 10788  ax-addcl 10789  ax-addrcl 10790  ax-mulcl 10791  ax-mulrcl 10792  ax-mulcom 10793  ax-addass 10794  ax-mulass 10795  ax-distr 10796  ax-i2m1 10797  ax-1ne0 10798  ax-1rid 10799  ax-rnegex 10800  ax-rrecex 10801  ax-cnre 10802  ax-pre-lttri 10803  ax-pre-lttrn 10804  ax-pre-ltadd 10805  ax-pre-mulgt0 10806  ax-pre-sup 10807
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 848  df-3or 1090  df-3an 1091  df-xor 1508  df-tru 1546  df-fal 1556  df-cad 1614  df-ex 1788  df-nf 1792  df-sb 2071  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rmo 3069  df-rab 3070  df-v 3410  df-sbc 3695  df-csb 3812  df-dif 3869  df-un 3871  df-in 3873  df-ss 3883  df-pss 3885  df-nul 4238  df-if 4440  df-pw 4515  df-sn 4542  df-pr 4544  df-tp 4546  df-op 4548  df-uni 4820  df-int 4860  df-iun 4906  df-disj 5019  df-br 5054  df-opab 5116  df-mpt 5136  df-tr 5162  df-id 5455  df-eprel 5460  df-po 5468  df-so 5469  df-fr 5509  df-se 5510  df-we 5511  df-xp 5557  df-rel 5558  df-cnv 5559  df-co 5560  df-dm 5561  df-rn 5562  df-res 5563  df-ima 5564  df-pred 6160  df-ord 6216  df-on 6217  df-lim 6218  df-suc 6219  df-iota 6338  df-fun 6382  df-fn 6383  df-f 6384  df-f1 6385  df-fo 6386  df-f1o 6387  df-fv 6388  df-isom 6389  df-riota 7170  df-ov 7216  df-oprab 7217  df-mpo 7218  df-om 7645  df-1st 7761  df-2nd 7762  df-wrecs 8047  df-recs 8108  df-rdg 8146  df-1o 8202  df-2o 8203  df-oadd 8206  df-er 8391  df-map 8510  df-pm 8511  df-en 8627  df-dom 8628  df-sdom 8629  df-fin 8630  df-sup 9058  df-inf 9059  df-oi 9126  df-dju 9517  df-card 9555  df-pnf 10869  df-mnf 10870  df-xr 10871  df-ltxr 10872  df-le 10873  df-sub 11064  df-neg 11065  df-div 11490  df-nn 11831  df-2 11893  df-3 11894  df-n0 12091  df-xnn0 12163  df-z 12177  df-uz 12439  df-rp 12587  df-fz 13096  df-fzo 13239  df-fl 13367  df-mod 13443  df-seq 13575  df-exp 13636  df-hash 13897  df-cj 14662  df-re 14663  df-im 14664  df-sqrt 14798  df-abs 14799  df-clim 15049  df-sum 15250  df-dvds 15816  df-bits 15981
This theorem is referenced by:  sadcadd  16017
  Copyright terms: Public domain W3C validator