MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  sadcaddlem Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem sadcaddlem 16395
Description: Lemma for sadcadd 16396. (Contributed by Mario Carneiro, 8-Sep-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
sadval.a (πœ‘ β†’ 𝐴 βŠ† β„•0)
sadval.b (πœ‘ β†’ 𝐡 βŠ† β„•0)
sadval.c 𝐢 = seq0((𝑐 ∈ 2o, π‘š ∈ β„•0 ↦ if(cadd(π‘š ∈ 𝐴, π‘š ∈ 𝐡, βˆ… ∈ 𝑐), 1o, βˆ…)), (𝑛 ∈ β„•0 ↦ if(𝑛 = 0, βˆ…, (𝑛 βˆ’ 1))))
sadcp1.n (πœ‘ β†’ 𝑁 ∈ β„•0)
sadcadd.k 𝐾 = β—‘(bits β†Ύ β„•0)
sadcaddlem.1 (πœ‘ β†’ (βˆ… ∈ (πΆβ€˜π‘) ↔ (2↑𝑁) ≀ ((πΎβ€˜(𝐴 ∩ (0..^𝑁))) + (πΎβ€˜(𝐡 ∩ (0..^𝑁))))))
Assertion
Ref Expression
sadcaddlem (πœ‘ β†’ (βˆ… ∈ (πΆβ€˜(𝑁 + 1)) ↔ (2↑(𝑁 + 1)) ≀ ((πΎβ€˜(𝐴 ∩ (0..^(𝑁 + 1)))) + (πΎβ€˜(𝐡 ∩ (0..^(𝑁 + 1)))))))
Distinct variable groups:   π‘š,𝑐,𝑛   𝐴,𝑐,π‘š   𝐡,𝑐,π‘š   𝑛,𝑁
Allowed substitution hints:   πœ‘(π‘š,𝑛,𝑐)   𝐴(𝑛)   𝐡(𝑛)   𝐢(π‘š,𝑛,𝑐)   𝐾(π‘š,𝑛,𝑐)   𝑁(π‘š,𝑐)
Proof of Theorem sadcaddlem
StepHypRef Expression
1 cad1 1610 . . . . 5 (βˆ… ∈ (πΆβ€˜π‘) β†’ (cadd(𝑁 ∈ 𝐴, 𝑁 ∈ 𝐡, βˆ… ∈ (πΆβ€˜π‘)) ↔ (𝑁 ∈ 𝐴 ∨ 𝑁 ∈ 𝐡)))
21adantl 481 . . . 4 ((πœ‘ ∧ βˆ… ∈ (πΆβ€˜π‘)) β†’ (cadd(𝑁 ∈ 𝐴, 𝑁 ∈ 𝐡, βˆ… ∈ (πΆβ€˜π‘)) ↔ (𝑁 ∈ 𝐴 ∨ 𝑁 ∈ 𝐡)))
3 2nn 12282 . . . . . . . . . . 11 2 ∈ β„•
43a1i 11 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ 2 ∈ β„•)
5 sadcp1.n . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ 𝑁 ∈ β„•0)
64, 5nnexpcld 14205 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (2↑𝑁) ∈ β„•)
76nnred 12224 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (2↑𝑁) ∈ ℝ)
87ad2antrr 723 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ βˆ… ∈ (πΆβ€˜π‘)) ∧ (𝑁 ∈ 𝐴 ∨ 𝑁 ∈ 𝐡)) β†’ (2↑𝑁) ∈ ℝ)
9 inss1 4220 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐴 ∩ (0..^𝑁)) βŠ† 𝐴
10 sadval.a . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ 𝐴 βŠ† β„•0)
119, 10sstrid 3985 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ (𝐴 ∩ (0..^𝑁)) βŠ† β„•0)
12 fzofi 13936 . . . . . . . . . . . . . 14 (0..^𝑁) ∈ Fin
1312a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ (0..^𝑁) ∈ Fin)
14 inss2 4221 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐴 ∩ (0..^𝑁)) βŠ† (0..^𝑁)
15 ssfi 9169 . . . . . . . . . . . . 13 (((0..^𝑁) ∈ Fin ∧ (𝐴 ∩ (0..^𝑁)) βŠ† (0..^𝑁)) β†’ (𝐴 ∩ (0..^𝑁)) ∈ Fin)
1613, 14, 15sylancl 585 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ (𝐴 ∩ (0..^𝑁)) ∈ Fin)
17 elfpw 9350 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴 ∩ (0..^𝑁)) ∈ (𝒫 β„•0 ∩ Fin) ↔ ((𝐴 ∩ (0..^𝑁)) βŠ† β„•0 ∧ (𝐴 ∩ (0..^𝑁)) ∈ Fin))
1811, 16, 17sylanbrc 582 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ (𝐴 ∩ (0..^𝑁)) ∈ (𝒫 β„•0 ∩ Fin))
19 bitsf1o 16383 . . . . . . . . . . . . . . 15 (bits β†Ύ β„•0):β„•0–1-1-ontoβ†’(𝒫 β„•0 ∩ Fin)
20 f1ocnv 6835 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((bits β†Ύ β„•0):β„•0–1-1-ontoβ†’(𝒫 β„•0 ∩ Fin) β†’ β—‘(bits β†Ύ β„•0):(𝒫 β„•0 ∩ Fin)–1-1-ontoβ†’β„•0)
2119, 20ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . 14 β—‘(bits β†Ύ β„•0):(𝒫 β„•0 ∩ Fin)–1-1-ontoβ†’β„•0
22 sadcadd.k . . . . . . . . . . . . . . 15 𝐾 = β—‘(bits β†Ύ β„•0)
23 f1oeq1 6811 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝐾 = β—‘(bits β†Ύ β„•0) β†’ (𝐾:(𝒫 β„•0 ∩ Fin)–1-1-ontoβ†’β„•0 ↔ β—‘(bits β†Ύ β„•0):(𝒫 β„•0 ∩ Fin)–1-1-ontoβ†’β„•0))
2422, 23ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐾:(𝒫 β„•0 ∩ Fin)–1-1-ontoβ†’β„•0 ↔ β—‘(bits β†Ύ β„•0):(𝒫 β„•0 ∩ Fin)–1-1-ontoβ†’β„•0)
2521, 24mpbir 230 . . . . . . . . . . . . 13 𝐾:(𝒫 β„•0 ∩ Fin)–1-1-ontoβ†’β„•0
26 f1of 6823 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐾:(𝒫 β„•0 ∩ Fin)–1-1-ontoβ†’β„•0 β†’ 𝐾:(𝒫 β„•0 ∩ Fin)βŸΆβ„•0)
2725, 26ax-mp 5 . . . . . . . . . . . 12 𝐾:(𝒫 β„•0 ∩ Fin)βŸΆβ„•0
2827ffvelcdmi 7075 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 ∩ (0..^𝑁)) ∈ (𝒫 β„•0 ∩ Fin) β†’ (πΎβ€˜(𝐴 ∩ (0..^𝑁))) ∈ β„•0)
2918, 28syl 17 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ (πΎβ€˜(𝐴 ∩ (0..^𝑁))) ∈ β„•0)
30 inss1 4220 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐡 ∩ (0..^𝑁)) βŠ† 𝐡
31 sadval.b . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ 𝐡 βŠ† β„•0)
3230, 31sstrid 3985 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ (𝐡 ∩ (0..^𝑁)) βŠ† β„•0)
33 inss2 4221 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐡 ∩ (0..^𝑁)) βŠ† (0..^𝑁)
34 ssfi 9169 . . . . . . . . . . . . 13 (((0..^𝑁) ∈ Fin ∧ (𝐡 ∩ (0..^𝑁)) βŠ† (0..^𝑁)) β†’ (𝐡 ∩ (0..^𝑁)) ∈ Fin)
3513, 33, 34sylancl 585 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ (𝐡 ∩ (0..^𝑁)) ∈ Fin)
36 elfpw 9350 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐡 ∩ (0..^𝑁)) ∈ (𝒫 β„•0 ∩ Fin) ↔ ((𝐡 ∩ (0..^𝑁)) βŠ† β„•0 ∧ (𝐡 ∩ (0..^𝑁)) ∈ Fin))
3732, 35, 36sylanbrc 582 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ (𝐡 ∩ (0..^𝑁)) ∈ (𝒫 β„•0 ∩ Fin))
3827ffvelcdmi 7075 . . . . . . . . . . 11 ((𝐡 ∩ (0..^𝑁)) ∈ (𝒫 β„•0 ∩ Fin) β†’ (πΎβ€˜(𝐡 ∩ (0..^𝑁))) ∈ β„•0)
3937, 38syl 17 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ (πΎβ€˜(𝐡 ∩ (0..^𝑁))) ∈ β„•0)
4029, 39nn0addcld 12533 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ ((πΎβ€˜(𝐴 ∩ (0..^𝑁))) + (πΎβ€˜(𝐡 ∩ (0..^𝑁)))) ∈ β„•0)
4140nn0red 12530 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ ((πΎβ€˜(𝐴 ∩ (0..^𝑁))) + (πΎβ€˜(𝐡 ∩ (0..^𝑁)))) ∈ ℝ)
4241ad2antrr 723 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ βˆ… ∈ (πΆβ€˜π‘)) ∧ (𝑁 ∈ 𝐴 ∨ 𝑁 ∈ 𝐡)) β†’ ((πΎβ€˜(𝐴 ∩ (0..^𝑁))) + (πΎβ€˜(𝐡 ∩ (0..^𝑁)))) ∈ ℝ)
43 2nn0 12486 . . . . . . . . . . . . 13 2 ∈ β„•0
4443a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ 𝑁 ∈ 𝐴) β†’ 2 ∈ β„•0)
455adantr 480 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ 𝑁 ∈ 𝐴) β†’ 𝑁 ∈ β„•0)
4644, 45nn0expcld 14206 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ 𝑁 ∈ 𝐴) β†’ (2↑𝑁) ∈ β„•0)
47 0nn0 12484 . . . . . . . . . . . 12 0 ∈ β„•0
4847a1i 11 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ Β¬ 𝑁 ∈ 𝐴) β†’ 0 ∈ β„•0)
4946, 48ifclda 4555 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ if(𝑁 ∈ 𝐴, (2↑𝑁), 0) ∈ β„•0)
5043a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ 𝑁 ∈ 𝐡) β†’ 2 ∈ β„•0)
515adantr 480 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ 𝑁 ∈ 𝐡) β†’ 𝑁 ∈ β„•0)
5250, 51nn0expcld 14206 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ 𝑁 ∈ 𝐡) β†’ (2↑𝑁) ∈ β„•0)
5347a1i 11 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ Β¬ 𝑁 ∈ 𝐡) β†’ 0 ∈ β„•0)
5452, 53ifclda 4555 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ if(𝑁 ∈ 𝐡, (2↑𝑁), 0) ∈ β„•0)
5549, 54nn0addcld 12533 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (if(𝑁 ∈ 𝐴, (2↑𝑁), 0) + if(𝑁 ∈ 𝐡, (2↑𝑁), 0)) ∈ β„•0)
5655nn0red 12530 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (if(𝑁 ∈ 𝐴, (2↑𝑁), 0) + if(𝑁 ∈ 𝐡, (2↑𝑁), 0)) ∈ ℝ)
5756ad2antrr 723 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ βˆ… ∈ (πΆβ€˜π‘)) ∧ (𝑁 ∈ 𝐴 ∨ 𝑁 ∈ 𝐡)) β†’ (if(𝑁 ∈ 𝐴, (2↑𝑁), 0) + if(𝑁 ∈ 𝐡, (2↑𝑁), 0)) ∈ ℝ)
58 sadcaddlem.1 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (βˆ… ∈ (πΆβ€˜π‘) ↔ (2↑𝑁) ≀ ((πΎβ€˜(𝐴 ∩ (0..^𝑁))) + (πΎβ€˜(𝐡 ∩ (0..^𝑁))))))
5958biimpa 476 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ βˆ… ∈ (πΆβ€˜π‘)) β†’ (2↑𝑁) ≀ ((πΎβ€˜(𝐴 ∩ (0..^𝑁))) + (πΎβ€˜(𝐡 ∩ (0..^𝑁)))))
6059adantr 480 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ βˆ… ∈ (πΆβ€˜π‘)) ∧ (𝑁 ∈ 𝐴 ∨ 𝑁 ∈ 𝐡)) β†’ (2↑𝑁) ≀ ((πΎβ€˜(𝐴 ∩ (0..^𝑁))) + (πΎβ€˜(𝐡 ∩ (0..^𝑁)))))
616nnnn0d 12529 . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ (2↑𝑁) ∈ β„•0)
62 ifcl 4565 . . . . . . . . . . . . 13 (((2↑𝑁) ∈ β„•0 ∧ 0 ∈ β„•0) β†’ if(𝑁 ∈ 𝐡, (2↑𝑁), 0) ∈ β„•0)
6361, 47, 62sylancl 585 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ if(𝑁 ∈ 𝐡, (2↑𝑁), 0) ∈ β„•0)
6463nn0ge0d 12532 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ 0 ≀ if(𝑁 ∈ 𝐡, (2↑𝑁), 0))
657adantr 480 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ 𝑁 ∈ 𝐡) β†’ (2↑𝑁) ∈ ℝ)
66 0red 11214 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ Β¬ 𝑁 ∈ 𝐡) β†’ 0 ∈ ℝ)
6765, 66ifclda 4555 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ if(𝑁 ∈ 𝐡, (2↑𝑁), 0) ∈ ℝ)
687, 67addge01d 11799 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ (0 ≀ if(𝑁 ∈ 𝐡, (2↑𝑁), 0) ↔ (2↑𝑁) ≀ ((2↑𝑁) + if(𝑁 ∈ 𝐡, (2↑𝑁), 0))))
6964, 68mpbid 231 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ (2↑𝑁) ≀ ((2↑𝑁) + if(𝑁 ∈ 𝐡, (2↑𝑁), 0)))
7069ad2antrr 723 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ βˆ… ∈ (πΆβ€˜π‘)) ∧ 𝑁 ∈ 𝐴) β†’ (2↑𝑁) ≀ ((2↑𝑁) + if(𝑁 ∈ 𝐡, (2↑𝑁), 0)))
71 iftrue 4526 . . . . . . . . . . 11 (𝑁 ∈ 𝐴 β†’ if(𝑁 ∈ 𝐴, (2↑𝑁), 0) = (2↑𝑁))
7271adantl 481 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ βˆ… ∈ (πΆβ€˜π‘)) ∧ 𝑁 ∈ 𝐴) β†’ if(𝑁 ∈ 𝐴, (2↑𝑁), 0) = (2↑𝑁))
7372oveq1d 7416 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ βˆ… ∈ (πΆβ€˜π‘)) ∧ 𝑁 ∈ 𝐴) β†’ (if(𝑁 ∈ 𝐴, (2↑𝑁), 0) + if(𝑁 ∈ 𝐡, (2↑𝑁), 0)) = ((2↑𝑁) + if(𝑁 ∈ 𝐡, (2↑𝑁), 0)))
7470, 73breqtrrd 5166 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ βˆ… ∈ (πΆβ€˜π‘)) ∧ 𝑁 ∈ 𝐴) β†’ (2↑𝑁) ≀ (if(𝑁 ∈ 𝐴, (2↑𝑁), 0) + if(𝑁 ∈ 𝐡, (2↑𝑁), 0)))
75 ifcl 4565 . . . . . . . . . . . . 13 (((2↑𝑁) ∈ β„•0 ∧ 0 ∈ β„•0) β†’ if(𝑁 ∈ 𝐴, (2↑𝑁), 0) ∈ β„•0)
7661, 47, 75sylancl 585 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ if(𝑁 ∈ 𝐴, (2↑𝑁), 0) ∈ β„•0)
7776nn0ge0d 12532 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ 0 ≀ if(𝑁 ∈ 𝐴, (2↑𝑁), 0))
787adantr 480 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ 𝑁 ∈ 𝐴) β†’ (2↑𝑁) ∈ ℝ)
79 0red 11214 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ Β¬ 𝑁 ∈ 𝐴) β†’ 0 ∈ ℝ)
8078, 79ifclda 4555 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ if(𝑁 ∈ 𝐴, (2↑𝑁), 0) ∈ ℝ)
817, 80addge02d 11800 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ (0 ≀ if(𝑁 ∈ 𝐴, (2↑𝑁), 0) ↔ (2↑𝑁) ≀ (if(𝑁 ∈ 𝐴, (2↑𝑁), 0) + (2↑𝑁))))
8277, 81mpbid 231 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ (2↑𝑁) ≀ (if(𝑁 ∈ 𝐴, (2↑𝑁), 0) + (2↑𝑁)))
8382ad2antrr 723 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ βˆ… ∈ (πΆβ€˜π‘)) ∧ 𝑁 ∈ 𝐡) β†’ (2↑𝑁) ≀ (if(𝑁 ∈ 𝐴, (2↑𝑁), 0) + (2↑𝑁)))
84 iftrue 4526 . . . . . . . . . . 11 (𝑁 ∈ 𝐡 β†’ if(𝑁 ∈ 𝐡, (2↑𝑁), 0) = (2↑𝑁))
8584adantl 481 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ βˆ… ∈ (πΆβ€˜π‘)) ∧ 𝑁 ∈ 𝐡) β†’ if(𝑁 ∈ 𝐡, (2↑𝑁), 0) = (2↑𝑁))
8685oveq2d 7417 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ βˆ… ∈ (πΆβ€˜π‘)) ∧ 𝑁 ∈ 𝐡) β†’ (if(𝑁 ∈ 𝐴, (2↑𝑁), 0) + if(𝑁 ∈ 𝐡, (2↑𝑁), 0)) = (if(𝑁 ∈ 𝐴, (2↑𝑁), 0) + (2↑𝑁)))
8783, 86breqtrrd 5166 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ βˆ… ∈ (πΆβ€˜π‘)) ∧ 𝑁 ∈ 𝐡) β†’ (2↑𝑁) ≀ (if(𝑁 ∈ 𝐴, (2↑𝑁), 0) + if(𝑁 ∈ 𝐡, (2↑𝑁), 0)))
8874, 87jaodan 954 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ βˆ… ∈ (πΆβ€˜π‘)) ∧ (𝑁 ∈ 𝐴 ∨ 𝑁 ∈ 𝐡)) β†’ (2↑𝑁) ≀ (if(𝑁 ∈ 𝐴, (2↑𝑁), 0) + if(𝑁 ∈ 𝐡, (2↑𝑁), 0)))
898, 8, 42, 57, 60, 88le2addd 11830 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ βˆ… ∈ (πΆβ€˜π‘)) ∧ (𝑁 ∈ 𝐴 ∨ 𝑁 ∈ 𝐡)) β†’ ((2↑𝑁) + (2↑𝑁)) ≀ (((πΎβ€˜(𝐴 ∩ (0..^𝑁))) + (πΎβ€˜(𝐡 ∩ (0..^𝑁)))) + (if(𝑁 ∈ 𝐴, (2↑𝑁), 0) + if(𝑁 ∈ 𝐡, (2↑𝑁), 0))))
9089ex 412 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ βˆ… ∈ (πΆβ€˜π‘)) β†’ ((𝑁 ∈ 𝐴 ∨ 𝑁 ∈ 𝐡) β†’ ((2↑𝑁) + (2↑𝑁)) ≀ (((πΎβ€˜(𝐴 ∩ (0..^𝑁))) + (πΎβ€˜(𝐡 ∩ (0..^𝑁)))) + (if(𝑁 ∈ 𝐴, (2↑𝑁), 0) + if(𝑁 ∈ 𝐡, (2↑𝑁), 0)))))
91 ioran 980 . . . . . 6 (Β¬ (𝑁 ∈ 𝐴 ∨ 𝑁 ∈ 𝐡) ↔ (Β¬ 𝑁 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑁 ∈ 𝐡))
92 iffalse 4529 . . . . . . . . . . . . . 14 (Β¬ 𝑁 ∈ 𝐴 β†’ if(𝑁 ∈ 𝐴, (2↑𝑁), 0) = 0)
9392ad2antrl 725 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ βˆ… ∈ (πΆβ€˜π‘)) ∧ (Β¬ 𝑁 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑁 ∈ 𝐡)) β†’ if(𝑁 ∈ 𝐴, (2↑𝑁), 0) = 0)
94 iffalse 4529 . . . . . . . . . . . . . 14 (Β¬ 𝑁 ∈ 𝐡 β†’ if(𝑁 ∈ 𝐡, (2↑𝑁), 0) = 0)
9594ad2antll 726 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ βˆ… ∈ (πΆβ€˜π‘)) ∧ (Β¬ 𝑁 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑁 ∈ 𝐡)) β†’ if(𝑁 ∈ 𝐡, (2↑𝑁), 0) = 0)
9693, 95oveq12d 7419 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ βˆ… ∈ (πΆβ€˜π‘)) ∧ (Β¬ 𝑁 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑁 ∈ 𝐡)) β†’ (if(𝑁 ∈ 𝐴, (2↑𝑁), 0) + if(𝑁 ∈ 𝐡, (2↑𝑁), 0)) = (0 + 0))
97 00id 11386 . . . . . . . . . . . 12 (0 + 0) = 0
9896, 97eqtrdi 2780 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ βˆ… ∈ (πΆβ€˜π‘)) ∧ (Β¬ 𝑁 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑁 ∈ 𝐡)) β†’ (if(𝑁 ∈ 𝐴, (2↑𝑁), 0) + if(𝑁 ∈ 𝐡, (2↑𝑁), 0)) = 0)
9998oveq2d 7417 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ βˆ… ∈ (πΆβ€˜π‘)) ∧ (Β¬ 𝑁 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑁 ∈ 𝐡)) β†’ (((πΎβ€˜(𝐴 ∩ (0..^𝑁))) + (πΎβ€˜(𝐡 ∩ (0..^𝑁)))) + (if(𝑁 ∈ 𝐴, (2↑𝑁), 0) + if(𝑁 ∈ 𝐡, (2↑𝑁), 0))) = (((πΎβ€˜(𝐴 ∩ (0..^𝑁))) + (πΎβ€˜(𝐡 ∩ (0..^𝑁)))) + 0))
10029nn0red 12530 . . . . . . . . . . . . . 14 (πœ‘ β†’ (πΎβ€˜(𝐴 ∩ (0..^𝑁))) ∈ ℝ)
101100ad2antrr 723 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ βˆ… ∈ (πΆβ€˜π‘)) ∧ (Β¬ 𝑁 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑁 ∈ 𝐡)) β†’ (πΎβ€˜(𝐴 ∩ (0..^𝑁))) ∈ ℝ)
10239nn0red 12530 . . . . . . . . . . . . . 14 (πœ‘ β†’ (πΎβ€˜(𝐡 ∩ (0..^𝑁))) ∈ ℝ)
103102ad2antrr 723 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ βˆ… ∈ (πΆβ€˜π‘)) ∧ (Β¬ 𝑁 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑁 ∈ 𝐡)) β†’ (πΎβ€˜(𝐡 ∩ (0..^𝑁))) ∈ ℝ)
104101, 103readdcld 11240 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ βˆ… ∈ (πΆβ€˜π‘)) ∧ (Β¬ 𝑁 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑁 ∈ 𝐡)) β†’ ((πΎβ€˜(𝐴 ∩ (0..^𝑁))) + (πΎβ€˜(𝐡 ∩ (0..^𝑁)))) ∈ ℝ)
105104recnd 11239 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ βˆ… ∈ (πΆβ€˜π‘)) ∧ (Β¬ 𝑁 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑁 ∈ 𝐡)) β†’ ((πΎβ€˜(𝐴 ∩ (0..^𝑁))) + (πΎβ€˜(𝐡 ∩ (0..^𝑁)))) ∈ β„‚)
106105addridd 11411 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ βˆ… ∈ (πΆβ€˜π‘)) ∧ (Β¬ 𝑁 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑁 ∈ 𝐡)) β†’ (((πΎβ€˜(𝐴 ∩ (0..^𝑁))) + (πΎβ€˜(𝐡 ∩ (0..^𝑁)))) + 0) = ((πΎβ€˜(𝐴 ∩ (0..^𝑁))) + (πΎβ€˜(𝐡 ∩ (0..^𝑁)))))
10799, 106eqtrd 2764 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ βˆ… ∈ (πΆβ€˜π‘)) ∧ (Β¬ 𝑁 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑁 ∈ 𝐡)) β†’ (((πΎβ€˜(𝐴 ∩ (0..^𝑁))) + (πΎβ€˜(𝐡 ∩ (0..^𝑁)))) + (if(𝑁 ∈ 𝐴, (2↑𝑁), 0) + if(𝑁 ∈ 𝐡, (2↑𝑁), 0))) = ((πΎβ€˜(𝐴 ∩ (0..^𝑁))) + (πΎβ€˜(𝐡 ∩ (0..^𝑁)))))
10822fveq1i 6882 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (πΎβ€˜(𝐴 ∩ (0..^𝑁))) = (β—‘(bits β†Ύ β„•0)β€˜(𝐴 ∩ (0..^𝑁)))
109108fveq2i 6884 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((bits β†Ύ β„•0)β€˜(πΎβ€˜(𝐴 ∩ (0..^𝑁)))) = ((bits β†Ύ β„•0)β€˜(β—‘(bits β†Ύ β„•0)β€˜(𝐴 ∩ (0..^𝑁))))
11029fvresd 6901 . . . . . . . . . . . . . . 15 (πœ‘ β†’ ((bits β†Ύ β„•0)β€˜(πΎβ€˜(𝐴 ∩ (0..^𝑁)))) = (bitsβ€˜(πΎβ€˜(𝐴 ∩ (0..^𝑁)))))
111 f1ocnvfv2 7267 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((bits β†Ύ β„•0):β„•0–1-1-ontoβ†’(𝒫 β„•0 ∩ Fin) ∧ (𝐴 ∩ (0..^𝑁)) ∈ (𝒫 β„•0 ∩ Fin)) β†’ ((bits β†Ύ β„•0)β€˜(β—‘(bits β†Ύ β„•0)β€˜(𝐴 ∩ (0..^𝑁)))) = (𝐴 ∩ (0..^𝑁)))
11219, 18, 111sylancr 586 . . . . . . . . . . . . . . 15 (πœ‘ β†’ ((bits β†Ύ β„•0)β€˜(β—‘(bits β†Ύ β„•0)β€˜(𝐴 ∩ (0..^𝑁)))) = (𝐴 ∩ (0..^𝑁)))
113109, 110, 1123eqtr3a 2788 . . . . . . . . . . . . . 14 (πœ‘ β†’ (bitsβ€˜(πΎβ€˜(𝐴 ∩ (0..^𝑁)))) = (𝐴 ∩ (0..^𝑁)))
114113, 14eqsstrdi 4028 . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ (bitsβ€˜(πΎβ€˜(𝐴 ∩ (0..^𝑁)))) βŠ† (0..^𝑁))
11529nn0zd 12581 . . . . . . . . . . . . . 14 (πœ‘ β†’ (πΎβ€˜(𝐴 ∩ (0..^𝑁))) ∈ β„€)
116 bitsfzo 16373 . . . . . . . . . . . . . 14 (((πΎβ€˜(𝐴 ∩ (0..^𝑁))) ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„•0) β†’ ((πΎβ€˜(𝐴 ∩ (0..^𝑁))) ∈ (0..^(2↑𝑁)) ↔ (bitsβ€˜(πΎβ€˜(𝐴 ∩ (0..^𝑁)))) βŠ† (0..^𝑁)))
117115, 5, 116syl2anc 583 . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ ((πΎβ€˜(𝐴 ∩ (0..^𝑁))) ∈ (0..^(2↑𝑁)) ↔ (bitsβ€˜(πΎβ€˜(𝐴 ∩ (0..^𝑁)))) βŠ† (0..^𝑁)))
118114, 117mpbird 257 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ (πΎβ€˜(𝐴 ∩ (0..^𝑁))) ∈ (0..^(2↑𝑁)))
119 elfzolt2 13638 . . . . . . . . . . . 12 ((πΎβ€˜(𝐴 ∩ (0..^𝑁))) ∈ (0..^(2↑𝑁)) β†’ (πΎβ€˜(𝐴 ∩ (0..^𝑁))) < (2↑𝑁))
120118, 119syl 17 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ (πΎβ€˜(𝐴 ∩ (0..^𝑁))) < (2↑𝑁))
12122fveq1i 6882 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (πΎβ€˜(𝐡 ∩ (0..^𝑁))) = (β—‘(bits β†Ύ β„•0)β€˜(𝐡 ∩ (0..^𝑁)))
122121fveq2i 6884 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((bits β†Ύ β„•0)β€˜(πΎβ€˜(𝐡 ∩ (0..^𝑁)))) = ((bits β†Ύ β„•0)β€˜(β—‘(bits β†Ύ β„•0)β€˜(𝐡 ∩ (0..^𝑁))))
12339fvresd 6901 . . . . . . . . . . . . . . 15 (πœ‘ β†’ ((bits β†Ύ β„•0)β€˜(πΎβ€˜(𝐡 ∩ (0..^𝑁)))) = (bitsβ€˜(πΎβ€˜(𝐡 ∩ (0..^𝑁)))))
124 f1ocnvfv2 7267 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((bits β†Ύ β„•0):β„•0–1-1-ontoβ†’(𝒫 β„•0 ∩ Fin) ∧ (𝐡 ∩ (0..^𝑁)) ∈ (𝒫 β„•0 ∩ Fin)) β†’ ((bits β†Ύ β„•0)β€˜(β—‘(bits β†Ύ β„•0)β€˜(𝐡 ∩ (0..^𝑁)))) = (𝐡 ∩ (0..^𝑁)))
12519, 37, 124sylancr 586 . . . . . . . . . . . . . . 15 (πœ‘ β†’ ((bits β†Ύ β„•0)β€˜(β—‘(bits β†Ύ β„•0)β€˜(𝐡 ∩ (0..^𝑁)))) = (𝐡 ∩ (0..^𝑁)))
126122, 123, 1253eqtr3a 2788 . . . . . . . . . . . . . 14 (πœ‘ β†’ (bitsβ€˜(πΎβ€˜(𝐡 ∩ (0..^𝑁)))) = (𝐡 ∩ (0..^𝑁)))
127126, 33eqsstrdi 4028 . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ (bitsβ€˜(πΎβ€˜(𝐡 ∩ (0..^𝑁)))) βŠ† (0..^𝑁))
12839nn0zd 12581 . . . . . . . . . . . . . 14 (πœ‘ β†’ (πΎβ€˜(𝐡 ∩ (0..^𝑁))) ∈ β„€)
129 bitsfzo 16373 . . . . . . . . . . . . . 14 (((πΎβ€˜(𝐡 ∩ (0..^𝑁))) ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„•0) β†’ ((πΎβ€˜(𝐡 ∩ (0..^𝑁))) ∈ (0..^(2↑𝑁)) ↔ (bitsβ€˜(πΎβ€˜(𝐡 ∩ (0..^𝑁)))) βŠ† (0..^𝑁)))
130128, 5, 129syl2anc 583 . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ ((πΎβ€˜(𝐡 ∩ (0..^𝑁))) ∈ (0..^(2↑𝑁)) ↔ (bitsβ€˜(πΎβ€˜(𝐡 ∩ (0..^𝑁)))) βŠ† (0..^𝑁)))
131127, 130mpbird 257 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ (πΎβ€˜(𝐡 ∩ (0..^𝑁))) ∈ (0..^(2↑𝑁)))
132 elfzolt2 13638 . . . . . . . . . . . 12 ((πΎβ€˜(𝐡 ∩ (0..^𝑁))) ∈ (0..^(2↑𝑁)) β†’ (πΎβ€˜(𝐡 ∩ (0..^𝑁))) < (2↑𝑁))
133131, 132syl 17 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ (πΎβ€˜(𝐡 ∩ (0..^𝑁))) < (2↑𝑁))
134100, 102, 7, 7, 120, 133lt2addd 11834 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ ((πΎβ€˜(𝐴 ∩ (0..^𝑁))) + (πΎβ€˜(𝐡 ∩ (0..^𝑁)))) < ((2↑𝑁) + (2↑𝑁)))
135134ad2antrr 723 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ βˆ… ∈ (πΆβ€˜π‘)) ∧ (Β¬ 𝑁 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑁 ∈ 𝐡)) β†’ ((πΎβ€˜(𝐴 ∩ (0..^𝑁))) + (πΎβ€˜(𝐡 ∩ (0..^𝑁)))) < ((2↑𝑁) + (2↑𝑁)))
136107, 135eqbrtrd 5160 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ βˆ… ∈ (πΆβ€˜π‘)) ∧ (Β¬ 𝑁 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑁 ∈ 𝐡)) β†’ (((πΎβ€˜(𝐴 ∩ (0..^𝑁))) + (πΎβ€˜(𝐡 ∩ (0..^𝑁)))) + (if(𝑁 ∈ 𝐴, (2↑𝑁), 0) + if(𝑁 ∈ 𝐡, (2↑𝑁), 0))) < ((2↑𝑁) + (2↑𝑁)))
13780ad2antrr 723 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ βˆ… ∈ (πΆβ€˜π‘)) ∧ (Β¬ 𝑁 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑁 ∈ 𝐡)) β†’ if(𝑁 ∈ 𝐴, (2↑𝑁), 0) ∈ ℝ)
13867ad2antrr 723 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ βˆ… ∈ (πΆβ€˜π‘)) ∧ (Β¬ 𝑁 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑁 ∈ 𝐡)) β†’ if(𝑁 ∈ 𝐡, (2↑𝑁), 0) ∈ ℝ)
139137, 138readdcld 11240 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ βˆ… ∈ (πΆβ€˜π‘)) ∧ (Β¬ 𝑁 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑁 ∈ 𝐡)) β†’ (if(𝑁 ∈ 𝐴, (2↑𝑁), 0) + if(𝑁 ∈ 𝐡, (2↑𝑁), 0)) ∈ ℝ)
140104, 139readdcld 11240 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ βˆ… ∈ (πΆβ€˜π‘)) ∧ (Β¬ 𝑁 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑁 ∈ 𝐡)) β†’ (((πΎβ€˜(𝐴 ∩ (0..^𝑁))) + (πΎβ€˜(𝐡 ∩ (0..^𝑁)))) + (if(𝑁 ∈ 𝐴, (2↑𝑁), 0) + if(𝑁 ∈ 𝐡, (2↑𝑁), 0))) ∈ ℝ)
1417ad2antrr 723 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ βˆ… ∈ (πΆβ€˜π‘)) ∧ (Β¬ 𝑁 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑁 ∈ 𝐡)) β†’ (2↑𝑁) ∈ ℝ)
142141, 141readdcld 11240 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ βˆ… ∈ (πΆβ€˜π‘)) ∧ (Β¬ 𝑁 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑁 ∈ 𝐡)) β†’ ((2↑𝑁) + (2↑𝑁)) ∈ ℝ)
143140, 142ltnled 11358 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ βˆ… ∈ (πΆβ€˜π‘)) ∧ (Β¬ 𝑁 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑁 ∈ 𝐡)) β†’ ((((πΎβ€˜(𝐴 ∩ (0..^𝑁))) + (πΎβ€˜(𝐡 ∩ (0..^𝑁)))) + (if(𝑁 ∈ 𝐴, (2↑𝑁), 0) + if(𝑁 ∈ 𝐡, (2↑𝑁), 0))) < ((2↑𝑁) + (2↑𝑁)) ↔ Β¬ ((2↑𝑁) + (2↑𝑁)) ≀ (((πΎβ€˜(𝐴 ∩ (0..^𝑁))) + (πΎβ€˜(𝐡 ∩ (0..^𝑁)))) + (if(𝑁 ∈ 𝐴, (2↑𝑁), 0) + if(𝑁 ∈ 𝐡, (2↑𝑁), 0)))))
144136, 143mpbid 231 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ βˆ… ∈ (πΆβ€˜π‘)) ∧ (Β¬ 𝑁 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑁 ∈ 𝐡)) β†’ Β¬ ((2↑𝑁) + (2↑𝑁)) ≀ (((πΎβ€˜(𝐴 ∩ (0..^𝑁))) + (πΎβ€˜(𝐡 ∩ (0..^𝑁)))) + (if(𝑁 ∈ 𝐴, (2↑𝑁), 0) + if(𝑁 ∈ 𝐡, (2↑𝑁), 0))))
145144ex 412 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ βˆ… ∈ (πΆβ€˜π‘)) β†’ ((Β¬ 𝑁 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑁 ∈ 𝐡) β†’ Β¬ ((2↑𝑁) + (2↑𝑁)) ≀ (((πΎβ€˜(𝐴 ∩ (0..^𝑁))) + (πΎβ€˜(𝐡 ∩ (0..^𝑁)))) + (if(𝑁 ∈ 𝐴, (2↑𝑁), 0) + if(𝑁 ∈ 𝐡, (2↑𝑁), 0)))))
14691, 145biimtrid 241 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ βˆ… ∈ (πΆβ€˜π‘)) β†’ (Β¬ (𝑁 ∈ 𝐴 ∨ 𝑁 ∈ 𝐡) β†’ Β¬ ((2↑𝑁) + (2↑𝑁)) ≀ (((πΎβ€˜(𝐴 ∩ (0..^𝑁))) + (πΎβ€˜(𝐡 ∩ (0..^𝑁)))) + (if(𝑁 ∈ 𝐴, (2↑𝑁), 0) + if(𝑁 ∈ 𝐡, (2↑𝑁), 0)))))
14790, 146impcon4bid 226 . . . 4 ((πœ‘ ∧ βˆ… ∈ (πΆβ€˜π‘)) β†’ ((𝑁 ∈ 𝐴 ∨ 𝑁 ∈ 𝐡) ↔ ((2↑𝑁) + (2↑𝑁)) ≀ (((πΎβ€˜(𝐴 ∩ (0..^𝑁))) + (πΎβ€˜(𝐡 ∩ (0..^𝑁)))) + (if(𝑁 ∈ 𝐴, (2↑𝑁), 0) + if(𝑁 ∈ 𝐡, (2↑𝑁), 0)))))
1482, 147bitrd 279 . . 3 ((πœ‘ ∧ βˆ… ∈ (πΆβ€˜π‘)) β†’ (cadd(𝑁 ∈ 𝐴, 𝑁 ∈ 𝐡, βˆ… ∈ (πΆβ€˜π‘)) ↔ ((2↑𝑁) + (2↑𝑁)) ≀ (((πΎβ€˜(𝐴 ∩ (0..^𝑁))) + (πΎβ€˜(𝐡 ∩ (0..^𝑁)))) + (if(𝑁 ∈ 𝐴, (2↑𝑁), 0) + if(𝑁 ∈ 𝐡, (2↑𝑁), 0)))))
149 cad0 1611 . . . . 5 (Β¬ βˆ… ∈ (πΆβ€˜π‘) β†’ (cadd(𝑁 ∈ 𝐴, 𝑁 ∈ 𝐡, βˆ… ∈ (πΆβ€˜π‘)) ↔ (𝑁 ∈ 𝐴 ∧ 𝑁 ∈ 𝐡)))
150149adantl 481 . . . 4 ((πœ‘ ∧ Β¬ βˆ… ∈ (πΆβ€˜π‘)) β†’ (cadd(𝑁 ∈ 𝐴, 𝑁 ∈ 𝐡, βˆ… ∈ (πΆβ€˜π‘)) ↔ (𝑁 ∈ 𝐴 ∧ 𝑁 ∈ 𝐡)))
15140nn0ge0d 12532 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 0 ≀ ((πΎβ€˜(𝐴 ∩ (0..^𝑁))) + (πΎβ€˜(𝐡 ∩ (0..^𝑁)))))
1527, 7readdcld 11240 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ ((2↑𝑁) + (2↑𝑁)) ∈ ℝ)
153152, 41addge02d 11800 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (0 ≀ ((πΎβ€˜(𝐴 ∩ (0..^𝑁))) + (πΎβ€˜(𝐡 ∩ (0..^𝑁)))) ↔ ((2↑𝑁) + (2↑𝑁)) ≀ (((πΎβ€˜(𝐴 ∩ (0..^𝑁))) + (πΎβ€˜(𝐡 ∩ (0..^𝑁)))) + ((2↑𝑁) + (2↑𝑁)))))
154151, 153mpbid 231 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ ((2↑𝑁) + (2↑𝑁)) ≀ (((πΎβ€˜(𝐴 ∩ (0..^𝑁))) + (πΎβ€˜(𝐡 ∩ (0..^𝑁)))) + ((2↑𝑁) + (2↑𝑁))))
155154ad2antrr 723 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ Β¬ βˆ… ∈ (πΆβ€˜π‘)) ∧ (𝑁 ∈ 𝐴 ∧ 𝑁 ∈ 𝐡)) β†’ ((2↑𝑁) + (2↑𝑁)) ≀ (((πΎβ€˜(𝐴 ∩ (0..^𝑁))) + (πΎβ€˜(𝐡 ∩ (0..^𝑁)))) + ((2↑𝑁) + (2↑𝑁))))
15671, 84oveqan12d 7420 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ 𝐴 ∧ 𝑁 ∈ 𝐡) β†’ (if(𝑁 ∈ 𝐴, (2↑𝑁), 0) + if(𝑁 ∈ 𝐡, (2↑𝑁), 0)) = ((2↑𝑁) + (2↑𝑁)))
157156adantl 481 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ Β¬ βˆ… ∈ (πΆβ€˜π‘)) ∧ (𝑁 ∈ 𝐴 ∧ 𝑁 ∈ 𝐡)) β†’ (if(𝑁 ∈ 𝐴, (2↑𝑁), 0) + if(𝑁 ∈ 𝐡, (2↑𝑁), 0)) = ((2↑𝑁) + (2↑𝑁)))
158157oveq2d 7417 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ Β¬ βˆ… ∈ (πΆβ€˜π‘)) ∧ (𝑁 ∈ 𝐴 ∧ 𝑁 ∈ 𝐡)) β†’ (((πΎβ€˜(𝐴 ∩ (0..^𝑁))) + (πΎβ€˜(𝐡 ∩ (0..^𝑁)))) + (if(𝑁 ∈ 𝐴, (2↑𝑁), 0) + if(𝑁 ∈ 𝐡, (2↑𝑁), 0))) = (((πΎβ€˜(𝐴 ∩ (0..^𝑁))) + (πΎβ€˜(𝐡 ∩ (0..^𝑁)))) + ((2↑𝑁) + (2↑𝑁))))
159155, 158breqtrrd 5166 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ Β¬ βˆ… ∈ (πΆβ€˜π‘)) ∧ (𝑁 ∈ 𝐴 ∧ 𝑁 ∈ 𝐡)) β†’ ((2↑𝑁) + (2↑𝑁)) ≀ (((πΎβ€˜(𝐴 ∩ (0..^𝑁))) + (πΎβ€˜(𝐡 ∩ (0..^𝑁)))) + (if(𝑁 ∈ 𝐴, (2↑𝑁), 0) + if(𝑁 ∈ 𝐡, (2↑𝑁), 0))))
160159ex 412 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ Β¬ βˆ… ∈ (πΆβ€˜π‘)) β†’ ((𝑁 ∈ 𝐴 ∧ 𝑁 ∈ 𝐡) β†’ ((2↑𝑁) + (2↑𝑁)) ≀ (((πΎβ€˜(𝐴 ∩ (0..^𝑁))) + (πΎβ€˜(𝐡 ∩ (0..^𝑁)))) + (if(𝑁 ∈ 𝐴, (2↑𝑁), 0) + if(𝑁 ∈ 𝐡, (2↑𝑁), 0)))))
161100adantr 480 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ Β¬ βˆ… ∈ (πΆβ€˜π‘)) β†’ (πΎβ€˜(𝐴 ∩ (0..^𝑁))) ∈ ℝ)
162102adantr 480 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ Β¬ βˆ… ∈ (πΆβ€˜π‘)) β†’ (πΎβ€˜(𝐡 ∩ (0..^𝑁))) ∈ ℝ)
163161, 162readdcld 11240 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ Β¬ βˆ… ∈ (πΆβ€˜π‘)) β†’ ((πΎβ€˜(𝐴 ∩ (0..^𝑁))) + (πΎβ€˜(𝐡 ∩ (0..^𝑁)))) ∈ ℝ)
1647adantr 480 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ Β¬ βˆ… ∈ (πΆβ€˜π‘)) β†’ (2↑𝑁) ∈ ℝ)
1657, 41lenltd 11357 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ ((2↑𝑁) ≀ ((πΎβ€˜(𝐴 ∩ (0..^𝑁))) + (πΎβ€˜(𝐡 ∩ (0..^𝑁)))) ↔ Β¬ ((πΎβ€˜(𝐴 ∩ (0..^𝑁))) + (πΎβ€˜(𝐡 ∩ (0..^𝑁)))) < (2↑𝑁)))
16658, 165bitrd 279 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ (βˆ… ∈ (πΆβ€˜π‘) ↔ Β¬ ((πΎβ€˜(𝐴 ∩ (0..^𝑁))) + (πΎβ€˜(𝐡 ∩ (0..^𝑁)))) < (2↑𝑁)))
167166con2bid 354 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ (((πΎβ€˜(𝐴 ∩ (0..^𝑁))) + (πΎβ€˜(𝐡 ∩ (0..^𝑁)))) < (2↑𝑁) ↔ Β¬ βˆ… ∈ (πΆβ€˜π‘)))
168167biimpar 477 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ Β¬ βˆ… ∈ (πΆβ€˜π‘)) β†’ ((πΎβ€˜(𝐴 ∩ (0..^𝑁))) + (πΎβ€˜(𝐡 ∩ (0..^𝑁)))) < (2↑𝑁))
169163, 164, 164, 168ltadd1dd 11822 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ Β¬ βˆ… ∈ (πΆβ€˜π‘)) β†’ (((πΎβ€˜(𝐴 ∩ (0..^𝑁))) + (πΎβ€˜(𝐡 ∩ (0..^𝑁)))) + (2↑𝑁)) < ((2↑𝑁) + (2↑𝑁)))
170163, 164readdcld 11240 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ Β¬ βˆ… ∈ (πΆβ€˜π‘)) β†’ (((πΎβ€˜(𝐴 ∩ (0..^𝑁))) + (πΎβ€˜(𝐡 ∩ (0..^𝑁)))) + (2↑𝑁)) ∈ ℝ)
171152adantr 480 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ Β¬ βˆ… ∈ (πΆβ€˜π‘)) β†’ ((2↑𝑁) + (2↑𝑁)) ∈ ℝ)
17241, 56readdcld 11240 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ (((πΎβ€˜(𝐴 ∩ (0..^𝑁))) + (πΎβ€˜(𝐡 ∩ (0..^𝑁)))) + (if(𝑁 ∈ 𝐴, (2↑𝑁), 0) + if(𝑁 ∈ 𝐡, (2↑𝑁), 0))) ∈ ℝ)
173172adantr 480 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ Β¬ βˆ… ∈ (πΆβ€˜π‘)) β†’ (((πΎβ€˜(𝐴 ∩ (0..^𝑁))) + (πΎβ€˜(𝐡 ∩ (0..^𝑁)))) + (if(𝑁 ∈ 𝐴, (2↑𝑁), 0) + if(𝑁 ∈ 𝐡, (2↑𝑁), 0))) ∈ ℝ)
174 ltletr 11303 . . . . . . . . 9 (((((πΎβ€˜(𝐴 ∩ (0..^𝑁))) + (πΎβ€˜(𝐡 ∩ (0..^𝑁)))) + (2↑𝑁)) ∈ ℝ ∧ ((2↑𝑁) + (2↑𝑁)) ∈ ℝ ∧ (((πΎβ€˜(𝐴 ∩ (0..^𝑁))) + (πΎβ€˜(𝐡 ∩ (0..^𝑁)))) + (if(𝑁 ∈ 𝐴, (2↑𝑁), 0) + if(𝑁 ∈ 𝐡, (2↑𝑁), 0))) ∈ ℝ) β†’ (((((πΎβ€˜(𝐴 ∩ (0..^𝑁))) + (πΎβ€˜(𝐡 ∩ (0..^𝑁)))) + (2↑𝑁)) < ((2↑𝑁) + (2↑𝑁)) ∧ ((2↑𝑁) + (2↑𝑁)) ≀ (((πΎβ€˜(𝐴 ∩ (0..^𝑁))) + (πΎβ€˜(𝐡 ∩ (0..^𝑁)))) + (if(𝑁 ∈ 𝐴, (2↑𝑁), 0) + if(𝑁 ∈ 𝐡, (2↑𝑁), 0)))) β†’ (((πΎβ€˜(𝐴 ∩ (0..^𝑁))) + (πΎβ€˜(𝐡 ∩ (0..^𝑁)))) + (2↑𝑁)) < (((πΎβ€˜(𝐴 ∩ (0..^𝑁))) + (πΎβ€˜(𝐡 ∩ (0..^𝑁)))) + (if(𝑁 ∈ 𝐴, (2↑𝑁), 0) + if(𝑁 ∈ 𝐡, (2↑𝑁), 0)))))
175170, 171, 173, 174syl3anc 1368 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ Β¬ βˆ… ∈ (πΆβ€˜π‘)) β†’ (((((πΎβ€˜(𝐴 ∩ (0..^𝑁))) + (πΎβ€˜(𝐡 ∩ (0..^𝑁)))) + (2↑𝑁)) < ((2↑𝑁) + (2↑𝑁)) ∧ ((2↑𝑁) + (2↑𝑁)) ≀ (((πΎβ€˜(𝐴 ∩ (0..^𝑁))) + (πΎβ€˜(𝐡 ∩ (0..^𝑁)))) + (if(𝑁 ∈ 𝐴, (2↑𝑁), 0) + if(𝑁 ∈ 𝐡, (2↑𝑁), 0)))) β†’ (((πΎβ€˜(𝐴 ∩ (0..^𝑁))) + (πΎβ€˜(𝐡 ∩ (0..^𝑁)))) + (2↑𝑁)) < (((πΎβ€˜(𝐴 ∩ (0..^𝑁))) + (πΎβ€˜(𝐡 ∩ (0..^𝑁)))) + (if(𝑁 ∈ 𝐴, (2↑𝑁), 0) + if(𝑁 ∈ 𝐡, (2↑𝑁), 0)))))
176169, 175mpand 692 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ Β¬ βˆ… ∈ (πΆβ€˜π‘)) β†’ (((2↑𝑁) + (2↑𝑁)) ≀ (((πΎβ€˜(𝐴 ∩ (0..^𝑁))) + (πΎβ€˜(𝐡 ∩ (0..^𝑁)))) + (if(𝑁 ∈ 𝐴, (2↑𝑁), 0) + if(𝑁 ∈ 𝐡, (2↑𝑁), 0))) β†’ (((πΎβ€˜(𝐴 ∩ (0..^𝑁))) + (πΎβ€˜(𝐡 ∩ (0..^𝑁)))) + (2↑𝑁)) < (((πΎβ€˜(𝐴 ∩ (0..^𝑁))) + (πΎβ€˜(𝐡 ∩ (0..^𝑁)))) + (if(𝑁 ∈ 𝐴, (2↑𝑁), 0) + if(𝑁 ∈ 𝐡, (2↑𝑁), 0)))))
17756adantr 480 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ Β¬ βˆ… ∈ (πΆβ€˜π‘)) β†’ (if(𝑁 ∈ 𝐴, (2↑𝑁), 0) + if(𝑁 ∈ 𝐡, (2↑𝑁), 0)) ∈ ℝ)
17841adantr 480 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ Β¬ βˆ… ∈ (πΆβ€˜π‘)) β†’ ((πΎβ€˜(𝐴 ∩ (0..^𝑁))) + (πΎβ€˜(𝐡 ∩ (0..^𝑁)))) ∈ ℝ)
179164, 177, 178ltadd2d 11367 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ Β¬ βˆ… ∈ (πΆβ€˜π‘)) β†’ ((2↑𝑁) < (if(𝑁 ∈ 𝐴, (2↑𝑁), 0) + if(𝑁 ∈ 𝐡, (2↑𝑁), 0)) ↔ (((πΎβ€˜(𝐴 ∩ (0..^𝑁))) + (πΎβ€˜(𝐡 ∩ (0..^𝑁)))) + (2↑𝑁)) < (((πΎβ€˜(𝐴 ∩ (0..^𝑁))) + (πΎβ€˜(𝐡 ∩ (0..^𝑁)))) + (if(𝑁 ∈ 𝐴, (2↑𝑁), 0) + if(𝑁 ∈ 𝐡, (2↑𝑁), 0)))))
180176, 179sylibrd 259 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ Β¬ βˆ… ∈ (πΆβ€˜π‘)) β†’ (((2↑𝑁) + (2↑𝑁)) ≀ (((πΎβ€˜(𝐴 ∩ (0..^𝑁))) + (πΎβ€˜(𝐡 ∩ (0..^𝑁)))) + (if(𝑁 ∈ 𝐴, (2↑𝑁), 0) + if(𝑁 ∈ 𝐡, (2↑𝑁), 0))) β†’ (2↑𝑁) < (if(𝑁 ∈ 𝐴, (2↑𝑁), 0) + if(𝑁 ∈ 𝐡, (2↑𝑁), 0))))
1817, 56ltnled 11358 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ ((2↑𝑁) < (if(𝑁 ∈ 𝐴, (2↑𝑁), 0) + if(𝑁 ∈ 𝐡, (2↑𝑁), 0)) ↔ Β¬ (if(𝑁 ∈ 𝐴, (2↑𝑁), 0) + if(𝑁 ∈ 𝐡, (2↑𝑁), 0)) ≀ (2↑𝑁)))
18263nn0cnd 12531 . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ if(𝑁 ∈ 𝐡, (2↑𝑁), 0) ∈ β„‚)
183182addlidd 11412 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ (0 + if(𝑁 ∈ 𝐡, (2↑𝑁), 0)) = if(𝑁 ∈ 𝐡, (2↑𝑁), 0))
1847leidd 11777 . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ (2↑𝑁) ≀ (2↑𝑁))
18561nn0ge0d 12532 . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ 0 ≀ (2↑𝑁))
186 breq1 5141 . . . . . . . . . . . . . 14 ((2↑𝑁) = if(𝑁 ∈ 𝐡, (2↑𝑁), 0) β†’ ((2↑𝑁) ≀ (2↑𝑁) ↔ if(𝑁 ∈ 𝐡, (2↑𝑁), 0) ≀ (2↑𝑁)))
187 breq1 5141 . . . . . . . . . . . . . 14 (0 = if(𝑁 ∈ 𝐡, (2↑𝑁), 0) β†’ (0 ≀ (2↑𝑁) ↔ if(𝑁 ∈ 𝐡, (2↑𝑁), 0) ≀ (2↑𝑁)))
188186, 187ifboth 4559 . . . . . . . . . . . . 13 (((2↑𝑁) ≀ (2↑𝑁) ∧ 0 ≀ (2↑𝑁)) β†’ if(𝑁 ∈ 𝐡, (2↑𝑁), 0) ≀ (2↑𝑁))
189184, 185, 188syl2anc 583 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ if(𝑁 ∈ 𝐡, (2↑𝑁), 0) ≀ (2↑𝑁))
190183, 189eqbrtrd 5160 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ (0 + if(𝑁 ∈ 𝐡, (2↑𝑁), 0)) ≀ (2↑𝑁))
19192oveq1d 7416 . . . . . . . . . . . 12 (Β¬ 𝑁 ∈ 𝐴 β†’ (if(𝑁 ∈ 𝐴, (2↑𝑁), 0) + if(𝑁 ∈ 𝐡, (2↑𝑁), 0)) = (0 + if(𝑁 ∈ 𝐡, (2↑𝑁), 0)))
192191breq1d 5148 . . . . . . . . . . 11 (Β¬ 𝑁 ∈ 𝐴 β†’ ((if(𝑁 ∈ 𝐴, (2↑𝑁), 0) + if(𝑁 ∈ 𝐡, (2↑𝑁), 0)) ≀ (2↑𝑁) ↔ (0 + if(𝑁 ∈ 𝐡, (2↑𝑁), 0)) ≀ (2↑𝑁)))
193190, 192syl5ibrcom 246 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ (Β¬ 𝑁 ∈ 𝐴 β†’ (if(𝑁 ∈ 𝐴, (2↑𝑁), 0) + if(𝑁 ∈ 𝐡, (2↑𝑁), 0)) ≀ (2↑𝑁)))
194193con1d 145 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (Β¬ (if(𝑁 ∈ 𝐴, (2↑𝑁), 0) + if(𝑁 ∈ 𝐡, (2↑𝑁), 0)) ≀ (2↑𝑁) β†’ 𝑁 ∈ 𝐴))
19576nn0cnd 12531 . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ if(𝑁 ∈ 𝐴, (2↑𝑁), 0) ∈ β„‚)
196195addridd 11411 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ (if(𝑁 ∈ 𝐴, (2↑𝑁), 0) + 0) = if(𝑁 ∈ 𝐴, (2↑𝑁), 0))
197 breq1 5141 . . . . . . . . . . . . . 14 ((2↑𝑁) = if(𝑁 ∈ 𝐴, (2↑𝑁), 0) β†’ ((2↑𝑁) ≀ (2↑𝑁) ↔ if(𝑁 ∈ 𝐴, (2↑𝑁), 0) ≀ (2↑𝑁)))
198 breq1 5141 . . . . . . . . . . . . . 14 (0 = if(𝑁 ∈ 𝐴, (2↑𝑁), 0) β†’ (0 ≀ (2↑𝑁) ↔ if(𝑁 ∈ 𝐴, (2↑𝑁), 0) ≀ (2↑𝑁)))
199197, 198ifboth 4559 . . . . . . . . . . . . 13 (((2↑𝑁) ≀ (2↑𝑁) ∧ 0 ≀ (2↑𝑁)) β†’ if(𝑁 ∈ 𝐴, (2↑𝑁), 0) ≀ (2↑𝑁))
200184, 185, 199syl2anc 583 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ if(𝑁 ∈ 𝐴, (2↑𝑁), 0) ≀ (2↑𝑁))
201196, 200eqbrtrd 5160 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ (if(𝑁 ∈ 𝐴, (2↑𝑁), 0) + 0) ≀ (2↑𝑁))
20294oveq2d 7417 . . . . . . . . . . . 12 (Β¬ 𝑁 ∈ 𝐡 β†’ (if(𝑁 ∈ 𝐴, (2↑𝑁), 0) + if(𝑁 ∈ 𝐡, (2↑𝑁), 0)) = (if(𝑁 ∈ 𝐴, (2↑𝑁), 0) + 0))
203202breq1d 5148 . . . . . . . . . . 11 (Β¬ 𝑁 ∈ 𝐡 β†’ ((if(𝑁 ∈ 𝐴, (2↑𝑁), 0) + if(𝑁 ∈ 𝐡, (2↑𝑁), 0)) ≀ (2↑𝑁) ↔ (if(𝑁 ∈ 𝐴, (2↑𝑁), 0) + 0) ≀ (2↑𝑁)))
204201, 203syl5ibrcom 246 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ (Β¬ 𝑁 ∈ 𝐡 β†’ (if(𝑁 ∈ 𝐴, (2↑𝑁), 0) + if(𝑁 ∈ 𝐡, (2↑𝑁), 0)) ≀ (2↑𝑁)))
205204con1d 145 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (Β¬ (if(𝑁 ∈ 𝐴, (2↑𝑁), 0) + if(𝑁 ∈ 𝐡, (2↑𝑁), 0)) ≀ (2↑𝑁) β†’ 𝑁 ∈ 𝐡))
206194, 205jcad 512 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (Β¬ (if(𝑁 ∈ 𝐴, (2↑𝑁), 0) + if(𝑁 ∈ 𝐡, (2↑𝑁), 0)) ≀ (2↑𝑁) β†’ (𝑁 ∈ 𝐴 ∧ 𝑁 ∈ 𝐡)))
207181, 206sylbid 239 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ ((2↑𝑁) < (if(𝑁 ∈ 𝐴, (2↑𝑁), 0) + if(𝑁 ∈ 𝐡, (2↑𝑁), 0)) β†’ (𝑁 ∈ 𝐴 ∧ 𝑁 ∈ 𝐡)))
208207adantr 480 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ Β¬ βˆ… ∈ (πΆβ€˜π‘)) β†’ ((2↑𝑁) < (if(𝑁 ∈ 𝐴, (2↑𝑁), 0) + if(𝑁 ∈ 𝐡, (2↑𝑁), 0)) β†’ (𝑁 ∈ 𝐴 ∧ 𝑁 ∈ 𝐡)))
209180, 208syld 47 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ Β¬ βˆ… ∈ (πΆβ€˜π‘)) β†’ (((2↑𝑁) + (2↑𝑁)) ≀ (((πΎβ€˜(𝐴 ∩ (0..^𝑁))) + (πΎβ€˜(𝐡 ∩ (0..^𝑁)))) + (if(𝑁 ∈ 𝐴, (2↑𝑁), 0) + if(𝑁 ∈ 𝐡, (2↑𝑁), 0))) β†’ (𝑁 ∈ 𝐴 ∧ 𝑁 ∈ 𝐡)))
210160, 209impbid 211 . . . 4 ((πœ‘ ∧ Β¬ βˆ… ∈ (πΆβ€˜π‘)) β†’ ((𝑁 ∈ 𝐴 ∧ 𝑁 ∈ 𝐡) ↔ ((2↑𝑁) + (2↑𝑁)) ≀ (((πΎβ€˜(𝐴 ∩ (0..^𝑁))) + (πΎβ€˜(𝐡 ∩ (0..^𝑁)))) + (if(𝑁 ∈ 𝐴, (2↑𝑁), 0) + if(𝑁 ∈ 𝐡, (2↑𝑁), 0)))))
211150, 210bitrd 279 . . 3 ((πœ‘ ∧ Β¬ βˆ… ∈ (πΆβ€˜π‘)) β†’ (cadd(𝑁 ∈ 𝐴, 𝑁 ∈ 𝐡, βˆ… ∈ (πΆβ€˜π‘)) ↔ ((2↑𝑁) + (2↑𝑁)) ≀ (((πΎβ€˜(𝐴 ∩ (0..^𝑁))) + (πΎβ€˜(𝐡 ∩ (0..^𝑁)))) + (if(𝑁 ∈ 𝐴, (2↑𝑁), 0) + if(𝑁 ∈ 𝐡, (2↑𝑁), 0)))))
212148, 211pm2.61dan 810 . 2 (πœ‘ β†’ (cadd(𝑁 ∈ 𝐴, 𝑁 ∈ 𝐡, βˆ… ∈ (πΆβ€˜π‘)) ↔ ((2↑𝑁) + (2↑𝑁)) ≀ (((πΎβ€˜(𝐴 ∩ (0..^𝑁))) + (πΎβ€˜(𝐡 ∩ (0..^𝑁)))) + (if(𝑁 ∈ 𝐴, (2↑𝑁), 0) + if(𝑁 ∈ 𝐡, (2↑𝑁), 0)))))
213 sadval.c . . 3 𝐢 = seq0((𝑐 ∈ 2o, π‘š ∈ β„•0 ↦ if(cadd(π‘š ∈ 𝐴, π‘š ∈ 𝐡, βˆ… ∈ 𝑐), 1o, βˆ…)), (𝑛 ∈ β„•0 ↦ if(𝑛 = 0, βˆ…, (𝑛 βˆ’ 1))))
21410, 31, 213, 5sadcp1 16393 . 2 (πœ‘ β†’ (βˆ… ∈ (πΆβ€˜(𝑁 + 1)) ↔ cadd(𝑁 ∈ 𝐴, 𝑁 ∈ 𝐡, βˆ… ∈ (πΆβ€˜π‘))))
215 2cnd 12287 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 2 ∈ β„‚)
216215, 5expp1d 14109 . . . 4 (πœ‘ β†’ (2↑(𝑁 + 1)) = ((2↑𝑁) Β· 2))
2176nncnd 12225 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (2↑𝑁) ∈ β„‚)
218217times2d 12453 . . . 4 (πœ‘ β†’ ((2↑𝑁) Β· 2) = ((2↑𝑁) + (2↑𝑁)))
219216, 218eqtrd 2764 . . 3 (πœ‘ β†’ (2↑(𝑁 + 1)) = ((2↑𝑁) + (2↑𝑁)))
22022bitsinvp1 16387 . . . . . 6 ((𝐴 βŠ† β„•0 ∧ 𝑁 ∈ β„•0) β†’ (πΎβ€˜(𝐴 ∩ (0..^(𝑁 + 1)))) = ((πΎβ€˜(𝐴 ∩ (0..^𝑁))) + if(𝑁 ∈ 𝐴, (2↑𝑁), 0)))
22110, 5, 220syl2anc 583 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (πΎβ€˜(𝐴 ∩ (0..^(𝑁 + 1)))) = ((πΎβ€˜(𝐴 ∩ (0..^𝑁))) + if(𝑁 ∈ 𝐴, (2↑𝑁), 0)))
22222bitsinvp1 16387 . . . . . 6 ((𝐡 βŠ† β„•0 ∧ 𝑁 ∈ β„•0) β†’ (πΎβ€˜(𝐡 ∩ (0..^(𝑁 + 1)))) = ((πΎβ€˜(𝐡 ∩ (0..^𝑁))) + if(𝑁 ∈ 𝐡, (2↑𝑁), 0)))
22331, 5, 222syl2anc 583 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (πΎβ€˜(𝐡 ∩ (0..^(𝑁 + 1)))) = ((πΎβ€˜(𝐡 ∩ (0..^𝑁))) + if(𝑁 ∈ 𝐡, (2↑𝑁), 0)))
224221, 223oveq12d 7419 . . . 4 (πœ‘ β†’ ((πΎβ€˜(𝐴 ∩ (0..^(𝑁 + 1)))) + (πΎβ€˜(𝐡 ∩ (0..^(𝑁 + 1))))) = (((πΎβ€˜(𝐴 ∩ (0..^𝑁))) + if(𝑁 ∈ 𝐴, (2↑𝑁), 0)) + ((πΎβ€˜(𝐡 ∩ (0..^𝑁))) + if(𝑁 ∈ 𝐡, (2↑𝑁), 0))))
22529nn0cnd 12531 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (πΎβ€˜(𝐴 ∩ (0..^𝑁))) ∈ β„‚)
22639nn0cnd 12531 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (πΎβ€˜(𝐡 ∩ (0..^𝑁))) ∈ β„‚)
227225, 195, 226, 182add4d 11439 . . . 4 (πœ‘ β†’ (((πΎβ€˜(𝐴 ∩ (0..^𝑁))) + if(𝑁 ∈ 𝐴, (2↑𝑁), 0)) + ((πΎβ€˜(𝐡 ∩ (0..^𝑁))) + if(𝑁 ∈ 𝐡, (2↑𝑁), 0))) = (((πΎβ€˜(𝐴 ∩ (0..^𝑁))) + (πΎβ€˜(𝐡 ∩ (0..^𝑁)))) + (if(𝑁 ∈ 𝐴, (2↑𝑁), 0) + if(𝑁 ∈ 𝐡, (2↑𝑁), 0))))
228224, 227eqtrd 2764 . . 3 (πœ‘ β†’ ((πΎβ€˜(𝐴 ∩ (0..^(𝑁 + 1)))) + (πΎβ€˜(𝐡 ∩ (0..^(𝑁 + 1))))) = (((πΎβ€˜(𝐴 ∩ (0..^𝑁))) + (πΎβ€˜(𝐡 ∩ (0..^𝑁)))) + (if(𝑁 ∈ 𝐴, (2↑𝑁), 0) + if(𝑁 ∈ 𝐡, (2↑𝑁), 0))))
229219, 228breq12d 5151 . 2 (πœ‘ β†’ ((2↑(𝑁 + 1)) ≀ ((πΎβ€˜(𝐴 ∩ (0..^(𝑁 + 1)))) + (πΎβ€˜(𝐡 ∩ (0..^(𝑁 + 1))))) ↔ ((2↑𝑁) + (2↑𝑁)) ≀ (((πΎβ€˜(𝐴 ∩ (0..^𝑁))) + (πΎβ€˜(𝐡 ∩ (0..^𝑁)))) + (if(𝑁 ∈ 𝐴, (2↑𝑁), 0) + if(𝑁 ∈ 𝐡, (2↑𝑁), 0)))))
230212, 214, 2293bitr4d 311 1 (πœ‘ β†’ (βˆ… ∈ (πΆβ€˜(𝑁 + 1)) ↔ (2↑(𝑁 + 1)) ≀ ((πΎβ€˜(𝐴 ∩ (0..^(𝑁 + 1)))) + (πΎβ€˜(𝐡 ∩ (0..^(𝑁 + 1)))))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   ∨ wo 844   = wceq 1533  caddwcad 1599   ∈ wcel 2098   ∩ cin 3939   βŠ† wss 3940  βˆ…c0 4314  ifcif 4520  π’« cpw 4594   class class class wbr 5138   ↦ cmpt 5221  β—‘ccnv 5665   β†Ύ cres 5668  βŸΆwf 6529  β€“1-1-ontoβ†’wf1o 6532  β€˜cfv 6533  (class class class)co 7401   ∈ cmpo 7403  1oc1o 8454  2oc2o 8455  Fincfn 8935  β„cr 11105  0cc0 11106  1c1 11107   + caddc 11109   Β· cmul 11111   < clt 11245   ≀ cle 11246   βˆ’ cmin 11441  β„•cn 12209  2c2 12264  β„•0cn0 12469  β„€cz 12555  ..^cfzo 13624  seqcseq 13963  β†‘cexp 14024  bitscbits 16357
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2695  ax-rep 5275  ax-sep 5289  ax-nul 5296  ax-pow 5353  ax-pr 5417  ax-un 7718  ax-inf2 9632  ax-cnex 11162  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182  ax-pre-mulgt0 11183  ax-pre-sup 11184
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-xor 1505  df-tru 1536  df-fal 1546  df-cad 1600  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2526  df-eu 2555  df-clab 2702  df-cleq 2716  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2933  df-nel 3039  df-ral 3054  df-rex 3063  df-rmo 3368  df-reu 3369  df-rab 3425  df-v 3468  df-sbc 3770  df-csb 3886  df-dif 3943  df-un 3945  df-in 3947  df-ss 3957  df-pss 3959  df-nul 4315  df-if 4521  df-pw 4596  df-sn 4621  df-pr 4623  df-op 4627  df-uni 4900  df-int 4941  df-iun 4989  df-disj 5104  df-br 5139  df-opab 5201  df-mpt 5222  df-tr 5256  df-id 5564  df-eprel 5570  df-po 5578  df-so 5579  df-fr 5621  df-se 5622  df-we 5623  df-xp 5672  df-rel 5673  df-cnv 5674  df-co 5675  df-dm 5676  df-rn 5677  df-res 5678  df-ima 5679  df-pred 6290  df-ord 6357  df-on 6358  df-lim 6359  df-suc 6360  df-iota 6485  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-isom 6542  df-riota 7357  df-ov 7404  df-oprab 7405  df-mpo 7406  df-om 7849  df-1st 7968  df-2nd 7969  df-frecs 8261  df-wrecs 8292  df-recs 8366  df-rdg 8405  df-1o 8461  df-2o 8462  df-oadd 8465  df-er 8699  df-map 8818  df-pm 8819  df-en 8936  df-dom 8937  df-sdom 8938  df-fin 8939  df-sup 9433  df-inf 9434  df-oi 9501  df-dju 9892  df-card 9930  df-pnf 11247  df-mnf 11248  df-xr 11249  df-ltxr 11250  df-le 11251  df-sub 11443  df-neg 11444  df-div 11869  df-nn 12210  df-2 12272  df-3 12273  df-n0 12470  df-xnn0 12542  df-z 12556  df-uz 12820  df-rp 12972  df-fz 13482  df-fzo 13625  df-fl 13754  df-mod 13832  df-seq 13964  df-exp 14025  df-hash 14288  df-cj 15043  df-re 15044  df-im 15045  df-sqrt 15179  df-abs 15180  df-clim 15429  df-sum 15630  df-dvds 16195  df-bits 16360
This theorem is referenced by:  sadcadd  16396
  Copyright terms: Public domain W3C validator