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Theorem climcndslem1 15198
Description: Lemma for climcnds 15200: bound the original series by the condensed series. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Jul-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
climcnds.1 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → (𝐹𝑘) ∈ ℝ)
climcnds.2 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → 0 ≤ (𝐹𝑘))
climcnds.3 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → (𝐹‘(𝑘 + 1)) ≤ (𝐹𝑘))
climcnds.4 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ0) → (𝐺𝑛) = ((2↑𝑛) · (𝐹‘(2↑𝑛))))
Assertion
Ref Expression
climcndslem1 ((𝜑𝑁 ∈ ℕ0) → (seq1( + , 𝐹)‘((2↑(𝑁 + 1)) − 1)) ≤ (seq0( + , 𝐺)‘𝑁))
Distinct variable groups:   𝑘,𝑛,𝐹   𝑘,𝐺,𝑛   𝜑,𝑘,𝑛
Allowed substitution hints:   𝑁(𝑘,𝑛)

Proof of Theorem climcndslem1
Dummy variables 𝑗 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 oveq1 7157 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 = 0 → (𝑥 + 1) = (0 + 1))
2 0p1e1 11753 . . . . . . . . . . 11 (0 + 1) = 1
31, 2syl6eq 2872 . . . . . . . . . 10 (𝑥 = 0 → (𝑥 + 1) = 1)
43oveq2d 7166 . . . . . . . . 9 (𝑥 = 0 → (2↑(𝑥 + 1)) = (2↑1))
5 2cn 11706 . . . . . . . . . . 11 2 ∈ ℂ
6 exp1 13429 . . . . . . . . . . 11 (2 ∈ ℂ → (2↑1) = 2)
75, 6ax-mp 5 . . . . . . . . . 10 (2↑1) = 2
8 df-2 11694 . . . . . . . . . 10 2 = (1 + 1)
97, 8eqtri 2844 . . . . . . . . 9 (2↑1) = (1 + 1)
104, 9syl6eq 2872 . . . . . . . 8 (𝑥 = 0 → (2↑(𝑥 + 1)) = (1 + 1))
1110oveq1d 7165 . . . . . . 7 (𝑥 = 0 → ((2↑(𝑥 + 1)) − 1) = ((1 + 1) − 1))
12 ax-1cn 10589 . . . . . . . 8 1 ∈ ℂ
1312, 12pncan3oi 10896 . . . . . . 7 ((1 + 1) − 1) = 1
1411, 13syl6eq 2872 . . . . . 6 (𝑥 = 0 → ((2↑(𝑥 + 1)) − 1) = 1)
1514fveq2d 6669 . . . . 5 (𝑥 = 0 → (seq1( + , 𝐹)‘((2↑(𝑥 + 1)) − 1)) = (seq1( + , 𝐹)‘1))
16 fveq2 6665 . . . . 5 (𝑥 = 0 → (seq0( + , 𝐺)‘𝑥) = (seq0( + , 𝐺)‘0))
1715, 16breq12d 5072 . . . 4 (𝑥 = 0 → ((seq1( + , 𝐹)‘((2↑(𝑥 + 1)) − 1)) ≤ (seq0( + , 𝐺)‘𝑥) ↔ (seq1( + , 𝐹)‘1) ≤ (seq0( + , 𝐺)‘0)))
1817imbi2d 343 . . 3 (𝑥 = 0 → ((𝜑 → (seq1( + , 𝐹)‘((2↑(𝑥 + 1)) − 1)) ≤ (seq0( + , 𝐺)‘𝑥)) ↔ (𝜑 → (seq1( + , 𝐹)‘1) ≤ (seq0( + , 𝐺)‘0))))
19 oveq1 7157 . . . . . . 7 (𝑥 = 𝑗 → (𝑥 + 1) = (𝑗 + 1))
2019oveq2d 7166 . . . . . 6 (𝑥 = 𝑗 → (2↑(𝑥 + 1)) = (2↑(𝑗 + 1)))
2120fvoveq1d 7172 . . . . 5 (𝑥 = 𝑗 → (seq1( + , 𝐹)‘((2↑(𝑥 + 1)) − 1)) = (seq1( + , 𝐹)‘((2↑(𝑗 + 1)) − 1)))
22 fveq2 6665 . . . . 5 (𝑥 = 𝑗 → (seq0( + , 𝐺)‘𝑥) = (seq0( + , 𝐺)‘𝑗))
2321, 22breq12d 5072 . . . 4 (𝑥 = 𝑗 → ((seq1( + , 𝐹)‘((2↑(𝑥 + 1)) − 1)) ≤ (seq0( + , 𝐺)‘𝑥) ↔ (seq1( + , 𝐹)‘((2↑(𝑗 + 1)) − 1)) ≤ (seq0( + , 𝐺)‘𝑗)))
2423imbi2d 343 . . 3 (𝑥 = 𝑗 → ((𝜑 → (seq1( + , 𝐹)‘((2↑(𝑥 + 1)) − 1)) ≤ (seq0( + , 𝐺)‘𝑥)) ↔ (𝜑 → (seq1( + , 𝐹)‘((2↑(𝑗 + 1)) − 1)) ≤ (seq0( + , 𝐺)‘𝑗))))
25 oveq1 7157 . . . . . . 7 (𝑥 = (𝑗 + 1) → (𝑥 + 1) = ((𝑗 + 1) + 1))
2625oveq2d 7166 . . . . . 6 (𝑥 = (𝑗 + 1) → (2↑(𝑥 + 1)) = (2↑((𝑗 + 1) + 1)))
2726fvoveq1d 7172 . . . . 5 (𝑥 = (𝑗 + 1) → (seq1( + , 𝐹)‘((2↑(𝑥 + 1)) − 1)) = (seq1( + , 𝐹)‘((2↑((𝑗 + 1) + 1)) − 1)))
28 fveq2 6665 . . . . 5 (𝑥 = (𝑗 + 1) → (seq0( + , 𝐺)‘𝑥) = (seq0( + , 𝐺)‘(𝑗 + 1)))
2927, 28breq12d 5072 . . . 4 (𝑥 = (𝑗 + 1) → ((seq1( + , 𝐹)‘((2↑(𝑥 + 1)) − 1)) ≤ (seq0( + , 𝐺)‘𝑥) ↔ (seq1( + , 𝐹)‘((2↑((𝑗 + 1) + 1)) − 1)) ≤ (seq0( + , 𝐺)‘(𝑗 + 1))))
3029imbi2d 343 . . 3 (𝑥 = (𝑗 + 1) → ((𝜑 → (seq1( + , 𝐹)‘((2↑(𝑥 + 1)) − 1)) ≤ (seq0( + , 𝐺)‘𝑥)) ↔ (𝜑 → (seq1( + , 𝐹)‘((2↑((𝑗 + 1) + 1)) − 1)) ≤ (seq0( + , 𝐺)‘(𝑗 + 1)))))
31 oveq1 7157 . . . . . . 7 (𝑥 = 𝑁 → (𝑥 + 1) = (𝑁 + 1))
3231oveq2d 7166 . . . . . 6 (𝑥 = 𝑁 → (2↑(𝑥 + 1)) = (2↑(𝑁 + 1)))
3332fvoveq1d 7172 . . . . 5 (𝑥 = 𝑁 → (seq1( + , 𝐹)‘((2↑(𝑥 + 1)) − 1)) = (seq1( + , 𝐹)‘((2↑(𝑁 + 1)) − 1)))
34 fveq2 6665 . . . . 5 (𝑥 = 𝑁 → (seq0( + , 𝐺)‘𝑥) = (seq0( + , 𝐺)‘𝑁))
3533, 34breq12d 5072 . . . 4 (𝑥 = 𝑁 → ((seq1( + , 𝐹)‘((2↑(𝑥 + 1)) − 1)) ≤ (seq0( + , 𝐺)‘𝑥) ↔ (seq1( + , 𝐹)‘((2↑(𝑁 + 1)) − 1)) ≤ (seq0( + , 𝐺)‘𝑁)))
3635imbi2d 343 . . 3 (𝑥 = 𝑁 → ((𝜑 → (seq1( + , 𝐹)‘((2↑(𝑥 + 1)) − 1)) ≤ (seq0( + , 𝐺)‘𝑥)) ↔ (𝜑 → (seq1( + , 𝐹)‘((2↑(𝑁 + 1)) − 1)) ≤ (seq0( + , 𝐺)‘𝑁))))
37 fveq2 6665 . . . . . . . 8 (𝑘 = 1 → (𝐹𝑘) = (𝐹‘1))
3837eleq1d 2897 . . . . . . 7 (𝑘 = 1 → ((𝐹𝑘) ∈ ℝ ↔ (𝐹‘1) ∈ ℝ))
39 climcnds.1 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → (𝐹𝑘) ∈ ℝ)
4039ralrimiva 3182 . . . . . . 7 (𝜑 → ∀𝑘 ∈ ℕ (𝐹𝑘) ∈ ℝ)
41 1nn 11643 . . . . . . . 8 1 ∈ ℕ
4241a1i 11 . . . . . . 7 (𝜑 → 1 ∈ ℕ)
4338, 40, 42rspcdva 3625 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐹‘1) ∈ ℝ)
4443leidd 11200 . . . . 5 (𝜑 → (𝐹‘1) ≤ (𝐹‘1))
4543recnd 10663 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐹‘1) ∈ ℂ)
4645mulid2d 10653 . . . . 5 (𝜑 → (1 · (𝐹‘1)) = (𝐹‘1))
4744, 46breqtrrd 5087 . . . 4 (𝜑 → (𝐹‘1) ≤ (1 · (𝐹‘1)))
48 1z 12006 . . . . 5 1 ∈ ℤ
49 eqidd 2822 . . . . 5 (𝜑 → (𝐹‘1) = (𝐹‘1))
5048, 49seq1i 13377 . . . 4 (𝜑 → (seq1( + , 𝐹)‘1) = (𝐹‘1))
51 0z 11986 . . . . 5 0 ∈ ℤ
52 fveq2 6665 . . . . . . 7 (𝑛 = 0 → (𝐺𝑛) = (𝐺‘0))
53 oveq2 7158 . . . . . . . . 9 (𝑛 = 0 → (2↑𝑛) = (2↑0))
54 exp0 13427 . . . . . . . . . 10 (2 ∈ ℂ → (2↑0) = 1)
555, 54ax-mp 5 . . . . . . . . 9 (2↑0) = 1
5653, 55syl6eq 2872 . . . . . . . 8 (𝑛 = 0 → (2↑𝑛) = 1)
5756fveq2d 6669 . . . . . . . 8 (𝑛 = 0 → (𝐹‘(2↑𝑛)) = (𝐹‘1))
5856, 57oveq12d 7168 . . . . . . 7 (𝑛 = 0 → ((2↑𝑛) · (𝐹‘(2↑𝑛))) = (1 · (𝐹‘1)))
5952, 58eqeq12d 2837 . . . . . 6 (𝑛 = 0 → ((𝐺𝑛) = ((2↑𝑛) · (𝐹‘(2↑𝑛))) ↔ (𝐺‘0) = (1 · (𝐹‘1))))
60 climcnds.4 . . . . . . 7 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ0) → (𝐺𝑛) = ((2↑𝑛) · (𝐹‘(2↑𝑛))))
6160ralrimiva 3182 . . . . . 6 (𝜑 → ∀𝑛 ∈ ℕ0 (𝐺𝑛) = ((2↑𝑛) · (𝐹‘(2↑𝑛))))
62 0nn0 11906 . . . . . . 7 0 ∈ ℕ0
6362a1i 11 . . . . . 6 (𝜑 → 0 ∈ ℕ0)
6459, 61, 63rspcdva 3625 . . . . 5 (𝜑 → (𝐺‘0) = (1 · (𝐹‘1)))
6551, 64seq1i 13377 . . . 4 (𝜑 → (seq0( + , 𝐺)‘0) = (1 · (𝐹‘1)))
6647, 50, 653brtr4d 5091 . . 3 (𝜑 → (seq1( + , 𝐹)‘1) ≤ (seq0( + , 𝐺)‘0))
67 fzfid 13335 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑗 ∈ ℕ0) → ((2↑(𝑗 + 1))...((2↑((𝑗 + 1) + 1)) − 1)) ∈ Fin)
68 simpl 485 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑗 ∈ ℕ0) → 𝜑)
69 2nn 11704 . . . . . . . . . . . 12 2 ∈ ℕ
70 peano2nn0 11931 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑗 ∈ ℕ0 → (𝑗 + 1) ∈ ℕ0)
7170adantl 484 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑗 ∈ ℕ0) → (𝑗 + 1) ∈ ℕ0)
72 nnexpcl 13436 . . . . . . . . . . . 12 ((2 ∈ ℕ ∧ (𝑗 + 1) ∈ ℕ0) → (2↑(𝑗 + 1)) ∈ ℕ)
7369, 71, 72sylancr 589 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑗 ∈ ℕ0) → (2↑(𝑗 + 1)) ∈ ℕ)
74 elfzuz 12898 . . . . . . . . . . 11 (𝑘 ∈ ((2↑(𝑗 + 1))...((2↑((𝑗 + 1) + 1)) − 1)) → 𝑘 ∈ (ℤ‘(2↑(𝑗 + 1))))
75 eluznn 12312 . . . . . . . . . . 11 (((2↑(𝑗 + 1)) ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (ℤ‘(2↑(𝑗 + 1)))) → 𝑘 ∈ ℕ)
7673, 74, 75syl2an 597 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑗 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ ((2↑(𝑗 + 1))...((2↑((𝑗 + 1) + 1)) − 1))) → 𝑘 ∈ ℕ)
7768, 76, 39syl2an2r 683 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑗 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ ((2↑(𝑗 + 1))...((2↑((𝑗 + 1) + 1)) − 1))) → (𝐹𝑘) ∈ ℝ)
78 fveq2 6665 . . . . . . . . . . . 12 (𝑘 = (2↑(𝑗 + 1)) → (𝐹𝑘) = (𝐹‘(2↑(𝑗 + 1))))
7978eleq1d 2897 . . . . . . . . . . 11 (𝑘 = (2↑(𝑗 + 1)) → ((𝐹𝑘) ∈ ℝ ↔ (𝐹‘(2↑(𝑗 + 1))) ∈ ℝ))
8040adantr 483 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑗 ∈ ℕ0) → ∀𝑘 ∈ ℕ (𝐹𝑘) ∈ ℝ)
8179, 80, 73rspcdva 3625 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑗 ∈ ℕ0) → (𝐹‘(2↑(𝑗 + 1))) ∈ ℝ)
8281adantr 483 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑗 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ ((2↑(𝑗 + 1))...((2↑((𝑗 + 1) + 1)) − 1))) → (𝐹‘(2↑(𝑗 + 1))) ∈ ℝ)
83 simpr 487 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑗 ∈ ℕ0) ∧ 𝑛 ∈ (ℤ‘(2↑(𝑗 + 1)))) → 𝑛 ∈ (ℤ‘(2↑(𝑗 + 1))))
84 simplll 773 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑𝑗 ∈ ℕ0) ∧ 𝑛 ∈ (ℤ‘(2↑(𝑗 + 1)))) ∧ 𝑘 ∈ ((2↑(𝑗 + 1))...𝑛)) → 𝜑)
8573adantr 483 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑗 ∈ ℕ0) ∧ 𝑛 ∈ (ℤ‘(2↑(𝑗 + 1)))) → (2↑(𝑗 + 1)) ∈ ℕ)
86 elfzuz 12898 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑘 ∈ ((2↑(𝑗 + 1))...𝑛) → 𝑘 ∈ (ℤ‘(2↑(𝑗 + 1))))
8785, 86, 75syl2an 597 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑𝑗 ∈ ℕ0) ∧ 𝑛 ∈ (ℤ‘(2↑(𝑗 + 1)))) ∧ 𝑘 ∈ ((2↑(𝑗 + 1))...𝑛)) → 𝑘 ∈ ℕ)
8884, 87, 39syl2anc 586 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑𝑗 ∈ ℕ0) ∧ 𝑛 ∈ (ℤ‘(2↑(𝑗 + 1)))) ∧ 𝑘 ∈ ((2↑(𝑗 + 1))...𝑛)) → (𝐹𝑘) ∈ ℝ)
89 simplll 773 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑𝑗 ∈ ℕ0) ∧ 𝑛 ∈ (ℤ‘(2↑(𝑗 + 1)))) ∧ 𝑘 ∈ ((2↑(𝑗 + 1))...(𝑛 − 1))) → 𝜑)
90 elfzuz 12898 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑘 ∈ ((2↑(𝑗 + 1))...(𝑛 − 1)) → 𝑘 ∈ (ℤ‘(2↑(𝑗 + 1))))
9185, 90, 75syl2an 597 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑𝑗 ∈ ℕ0) ∧ 𝑛 ∈ (ℤ‘(2↑(𝑗 + 1)))) ∧ 𝑘 ∈ ((2↑(𝑗 + 1))...(𝑛 − 1))) → 𝑘 ∈ ℕ)
92 climcnds.3 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → (𝐹‘(𝑘 + 1)) ≤ (𝐹𝑘))
9389, 91, 92syl2anc 586 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑𝑗 ∈ ℕ0) ∧ 𝑛 ∈ (ℤ‘(2↑(𝑗 + 1)))) ∧ 𝑘 ∈ ((2↑(𝑗 + 1))...(𝑛 − 1))) → (𝐹‘(𝑘 + 1)) ≤ (𝐹𝑘))
9483, 88, 93monoord2 13395 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑗 ∈ ℕ0) ∧ 𝑛 ∈ (ℤ‘(2↑(𝑗 + 1)))) → (𝐹𝑛) ≤ (𝐹‘(2↑(𝑗 + 1))))
9594ralrimiva 3182 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑗 ∈ ℕ0) → ∀𝑛 ∈ (ℤ‘(2↑(𝑗 + 1)))(𝐹𝑛) ≤ (𝐹‘(2↑(𝑗 + 1))))
96 fveq2 6665 . . . . . . . . . . . 12 (𝑛 = 𝑘 → (𝐹𝑛) = (𝐹𝑘))
9796breq1d 5069 . . . . . . . . . . 11 (𝑛 = 𝑘 → ((𝐹𝑛) ≤ (𝐹‘(2↑(𝑗 + 1))) ↔ (𝐹𝑘) ≤ (𝐹‘(2↑(𝑗 + 1)))))
9897rspccva 3622 . . . . . . . . . 10 ((∀𝑛 ∈ (ℤ‘(2↑(𝑗 + 1)))(𝐹𝑛) ≤ (𝐹‘(2↑(𝑗 + 1))) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ‘(2↑(𝑗 + 1)))) → (𝐹𝑘) ≤ (𝐹‘(2↑(𝑗 + 1))))
9995, 74, 98syl2an 597 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑗 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ ((2↑(𝑗 + 1))...((2↑((𝑗 + 1) + 1)) − 1))) → (𝐹𝑘) ≤ (𝐹‘(2↑(𝑗 + 1))))
10067, 77, 82, 99fsumle 15148 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑗 ∈ ℕ0) → Σ𝑘 ∈ ((2↑(𝑗 + 1))...((2↑((𝑗 + 1) + 1)) − 1))(𝐹𝑘) ≤ Σ𝑘 ∈ ((2↑(𝑗 + 1))...((2↑((𝑗 + 1) + 1)) − 1))(𝐹‘(2↑(𝑗 + 1))))
101 fzfid 13335 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑗 ∈ ℕ0) → (1...((2↑(𝑗 + 1)) − 1)) ∈ Fin)
102 hashcl 13711 . . . . . . . . . . . . 13 ((1...((2↑(𝑗 + 1)) − 1)) ∈ Fin → (♯‘(1...((2↑(𝑗 + 1)) − 1))) ∈ ℕ0)
103101, 102syl 17 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑗 ∈ ℕ0) → (♯‘(1...((2↑(𝑗 + 1)) − 1))) ∈ ℕ0)
104103nn0cnd 11951 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑗 ∈ ℕ0) → (♯‘(1...((2↑(𝑗 + 1)) − 1))) ∈ ℂ)
10573nnred 11647 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑗 ∈ ℕ0) → (2↑(𝑗 + 1)) ∈ ℝ)
106105recnd 10663 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑗 ∈ ℕ0) → (2↑(𝑗 + 1)) ∈ ℂ)
107 hashcl 13711 . . . . . . . . . . . . 13 (((2↑(𝑗 + 1))...((2↑((𝑗 + 1) + 1)) − 1)) ∈ Fin → (♯‘((2↑(𝑗 + 1))...((2↑((𝑗 + 1) + 1)) − 1))) ∈ ℕ0)
10867, 107syl 17 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑗 ∈ ℕ0) → (♯‘((2↑(𝑗 + 1))...((2↑((𝑗 + 1) + 1)) − 1))) ∈ ℕ0)
109108nn0cnd 11951 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑗 ∈ ℕ0) → (♯‘((2↑(𝑗 + 1))...((2↑((𝑗 + 1) + 1)) − 1))) ∈ ℂ)
110 2z 12008 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 2 ∈ ℤ
111 zexpcl 13438 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((2 ∈ ℤ ∧ (𝑗 + 1) ∈ ℕ0) → (2↑(𝑗 + 1)) ∈ ℤ)
112110, 71, 111sylancr 589 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑𝑗 ∈ ℕ0) → (2↑(𝑗 + 1)) ∈ ℤ)
113 2re 11705 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 2 ∈ ℝ
114 1le2 11840 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 1 ≤ 2
115 nn0p1nn 11930 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑗 ∈ ℕ0 → (𝑗 + 1) ∈ ℕ)
116115adantl 484 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝜑𝑗 ∈ ℕ0) → (𝑗 + 1) ∈ ℕ)
117 nnuz 12275 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ℕ = (ℤ‘1)
118116, 117eleqtrdi 2923 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝜑𝑗 ∈ ℕ0) → (𝑗 + 1) ∈ (ℤ‘1))
119 leexp2a 13530 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((2 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 2 ∧ (𝑗 + 1) ∈ (ℤ‘1)) → (2↑1) ≤ (2↑(𝑗 + 1)))
120113, 114, 118, 119mp3an12i 1461 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜑𝑗 ∈ ℕ0) → (2↑1) ≤ (2↑(𝑗 + 1)))
1217, 120eqbrtrrid 5095 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑𝑗 ∈ ℕ0) → 2 ≤ (2↑(𝑗 + 1)))
122110eluz1i 12245 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((2↑(𝑗 + 1)) ∈ (ℤ‘2) ↔ ((2↑(𝑗 + 1)) ∈ ℤ ∧ 2 ≤ (2↑(𝑗 + 1))))
123112, 121, 122sylanbrc 585 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝑗 ∈ ℕ0) → (2↑(𝑗 + 1)) ∈ (ℤ‘2))
124 uz2m1nn 12317 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((2↑(𝑗 + 1)) ∈ (ℤ‘2) → ((2↑(𝑗 + 1)) − 1) ∈ ℕ)
125123, 124syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑗 ∈ ℕ0) → ((2↑(𝑗 + 1)) − 1) ∈ ℕ)
126125, 117eleqtrdi 2923 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑗 ∈ ℕ0) → ((2↑(𝑗 + 1)) − 1) ∈ (ℤ‘1))
127 peano2zm 12019 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((2↑(𝑗 + 1)) ∈ ℤ → ((2↑(𝑗 + 1)) − 1) ∈ ℤ)
128112, 127syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑗 ∈ ℕ0) → ((2↑(𝑗 + 1)) − 1) ∈ ℤ)
129 peano2nn0 11931 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑗 + 1) ∈ ℕ0 → ((𝑗 + 1) + 1) ∈ ℕ0)
13071, 129syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑𝑗 ∈ ℕ0) → ((𝑗 + 1) + 1) ∈ ℕ0)
131 zexpcl 13438 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((2 ∈ ℤ ∧ ((𝑗 + 1) + 1) ∈ ℕ0) → (2↑((𝑗 + 1) + 1)) ∈ ℤ)
132110, 130, 131sylancr 589 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝑗 ∈ ℕ0) → (2↑((𝑗 + 1) + 1)) ∈ ℤ)
133 peano2zm 12019 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((2↑((𝑗 + 1) + 1)) ∈ ℤ → ((2↑((𝑗 + 1) + 1)) − 1) ∈ ℤ)
134132, 133syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑗 ∈ ℕ0) → ((2↑((𝑗 + 1) + 1)) − 1) ∈ ℤ)
135112zred 12081 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝑗 ∈ ℕ0) → (2↑(𝑗 + 1)) ∈ ℝ)
136132zred 12081 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝑗 ∈ ℕ0) → (2↑((𝑗 + 1) + 1)) ∈ ℝ)
137 1red 10636 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝑗 ∈ ℕ0) → 1 ∈ ℝ)
13871nn0zd 12079 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑𝑗 ∈ ℕ0) → (𝑗 + 1) ∈ ℤ)
139 uzid 12252 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑗 + 1) ∈ ℤ → (𝑗 + 1) ∈ (ℤ‘(𝑗 + 1)))
140 peano2uz 12295 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑗 + 1) ∈ (ℤ‘(𝑗 + 1)) → ((𝑗 + 1) + 1) ∈ (ℤ‘(𝑗 + 1)))
141 leexp2a 13530 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((2 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 2 ∧ ((𝑗 + 1) + 1) ∈ (ℤ‘(𝑗 + 1))) → (2↑(𝑗 + 1)) ≤ (2↑((𝑗 + 1) + 1)))
142113, 114, 141mp3an12 1447 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝑗 + 1) + 1) ∈ (ℤ‘(𝑗 + 1)) → (2↑(𝑗 + 1)) ≤ (2↑((𝑗 + 1) + 1)))
143138, 139, 140, 1424syl 19 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝑗 ∈ ℕ0) → (2↑(𝑗 + 1)) ≤ (2↑((𝑗 + 1) + 1)))
144135, 136, 137, 143lesub1dd 11250 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑗 ∈ ℕ0) → ((2↑(𝑗 + 1)) − 1) ≤ ((2↑((𝑗 + 1) + 1)) − 1))
145 eluz2 12243 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((2↑((𝑗 + 1) + 1)) − 1) ∈ (ℤ‘((2↑(𝑗 + 1)) − 1)) ↔ (((2↑(𝑗 + 1)) − 1) ∈ ℤ ∧ ((2↑((𝑗 + 1) + 1)) − 1) ∈ ℤ ∧ ((2↑(𝑗 + 1)) − 1) ≤ ((2↑((𝑗 + 1) + 1)) − 1)))
146128, 134, 144, 145syl3anbrc 1339 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑗 ∈ ℕ0) → ((2↑((𝑗 + 1) + 1)) − 1) ∈ (ℤ‘((2↑(𝑗 + 1)) − 1)))
147 elfzuzb 12896 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((2↑(𝑗 + 1)) − 1) ∈ (1...((2↑((𝑗 + 1) + 1)) − 1)) ↔ (((2↑(𝑗 + 1)) − 1) ∈ (ℤ‘1) ∧ ((2↑((𝑗 + 1) + 1)) − 1) ∈ (ℤ‘((2↑(𝑗 + 1)) − 1))))
148126, 146, 147sylanbrc 585 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑗 ∈ ℕ0) → ((2↑(𝑗 + 1)) − 1) ∈ (1...((2↑((𝑗 + 1) + 1)) − 1)))
149 fzsplit 12927 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((2↑(𝑗 + 1)) − 1) ∈ (1...((2↑((𝑗 + 1) + 1)) − 1)) → (1...((2↑((𝑗 + 1) + 1)) − 1)) = ((1...((2↑(𝑗 + 1)) − 1)) ∪ ((((2↑(𝑗 + 1)) − 1) + 1)...((2↑((𝑗 + 1) + 1)) − 1))))
150148, 149syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑗 ∈ ℕ0) → (1...((2↑((𝑗 + 1) + 1)) − 1)) = ((1...((2↑(𝑗 + 1)) − 1)) ∪ ((((2↑(𝑗 + 1)) − 1) + 1)...((2↑((𝑗 + 1) + 1)) − 1))))
151 npcan 10889 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((2↑(𝑗 + 1)) ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → (((2↑(𝑗 + 1)) − 1) + 1) = (2↑(𝑗 + 1)))
152106, 12, 151sylancl 588 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑗 ∈ ℕ0) → (((2↑(𝑗 + 1)) − 1) + 1) = (2↑(𝑗 + 1)))
153152oveq1d 7165 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑗 ∈ ℕ0) → ((((2↑(𝑗 + 1)) − 1) + 1)...((2↑((𝑗 + 1) + 1)) − 1)) = ((2↑(𝑗 + 1))...((2↑((𝑗 + 1) + 1)) − 1)))
154153uneq2d 4139 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑗 ∈ ℕ0) → ((1...((2↑(𝑗 + 1)) − 1)) ∪ ((((2↑(𝑗 + 1)) − 1) + 1)...((2↑((𝑗 + 1) + 1)) − 1))) = ((1...((2↑(𝑗 + 1)) − 1)) ∪ ((2↑(𝑗 + 1))...((2↑((𝑗 + 1) + 1)) − 1))))
155150, 154eqtrd 2856 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑗 ∈ ℕ0) → (1...((2↑((𝑗 + 1) + 1)) − 1)) = ((1...((2↑(𝑗 + 1)) − 1)) ∪ ((2↑(𝑗 + 1))...((2↑((𝑗 + 1) + 1)) − 1))))
156155fveq2d 6669 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑗 ∈ ℕ0) → (♯‘(1...((2↑((𝑗 + 1) + 1)) − 1))) = (♯‘((1...((2↑(𝑗 + 1)) − 1)) ∪ ((2↑(𝑗 + 1))...((2↑((𝑗 + 1) + 1)) − 1)))))
157 expp1 13430 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((2 ∈ ℂ ∧ (𝑗 + 1) ∈ ℕ0) → (2↑((𝑗 + 1) + 1)) = ((2↑(𝑗 + 1)) · 2))
1585, 71, 157sylancr 589 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑗 ∈ ℕ0) → (2↑((𝑗 + 1) + 1)) = ((2↑(𝑗 + 1)) · 2))
159106times2d 11875 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑗 ∈ ℕ0) → ((2↑(𝑗 + 1)) · 2) = ((2↑(𝑗 + 1)) + (2↑(𝑗 + 1))))
160158, 159eqtrd 2856 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑗 ∈ ℕ0) → (2↑((𝑗 + 1) + 1)) = ((2↑(𝑗 + 1)) + (2↑(𝑗 + 1))))
161160oveq1d 7165 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑗 ∈ ℕ0) → ((2↑((𝑗 + 1) + 1)) − 1) = (((2↑(𝑗 + 1)) + (2↑(𝑗 + 1))) − 1))
162 1cnd 10630 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑗 ∈ ℕ0) → 1 ∈ ℂ)
163106, 106, 162addsubd 11012 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑗 ∈ ℕ0) → (((2↑(𝑗 + 1)) + (2↑(𝑗 + 1))) − 1) = (((2↑(𝑗 + 1)) − 1) + (2↑(𝑗 + 1))))
164161, 163eqtrd 2856 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑗 ∈ ℕ0) → ((2↑((𝑗 + 1) + 1)) − 1) = (((2↑(𝑗 + 1)) − 1) + (2↑(𝑗 + 1))))
165 uztrn 12255 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((2↑((𝑗 + 1) + 1)) − 1) ∈ (ℤ‘((2↑(𝑗 + 1)) − 1)) ∧ ((2↑(𝑗 + 1)) − 1) ∈ (ℤ‘1)) → ((2↑((𝑗 + 1) + 1)) − 1) ∈ (ℤ‘1))
166146, 126, 165syl2anc 586 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑗 ∈ ℕ0) → ((2↑((𝑗 + 1) + 1)) − 1) ∈ (ℤ‘1))
167166, 117eleqtrrdi 2924 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑗 ∈ ℕ0) → ((2↑((𝑗 + 1) + 1)) − 1) ∈ ℕ)
168167nnnn0d 11949 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑗 ∈ ℕ0) → ((2↑((𝑗 + 1) + 1)) − 1) ∈ ℕ0)
169 hashfz1 13700 . . . . . . . . . . . . . 14 (((2↑((𝑗 + 1) + 1)) − 1) ∈ ℕ0 → (♯‘(1...((2↑((𝑗 + 1) + 1)) − 1))) = ((2↑((𝑗 + 1) + 1)) − 1))
170168, 169syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑗 ∈ ℕ0) → (♯‘(1...((2↑((𝑗 + 1) + 1)) − 1))) = ((2↑((𝑗 + 1) + 1)) − 1))
171125nnnn0d 11949 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑗 ∈ ℕ0) → ((2↑(𝑗 + 1)) − 1) ∈ ℕ0)
172 hashfz1 13700 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((2↑(𝑗 + 1)) − 1) ∈ ℕ0 → (♯‘(1...((2↑(𝑗 + 1)) − 1))) = ((2↑(𝑗 + 1)) − 1))
173171, 172syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑗 ∈ ℕ0) → (♯‘(1...((2↑(𝑗 + 1)) − 1))) = ((2↑(𝑗 + 1)) − 1))
174173oveq1d 7165 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑗 ∈ ℕ0) → ((♯‘(1...((2↑(𝑗 + 1)) − 1))) + (2↑(𝑗 + 1))) = (((2↑(𝑗 + 1)) − 1) + (2↑(𝑗 + 1))))
175164, 170, 1743eqtr4d 2866 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑗 ∈ ℕ0) → (♯‘(1...((2↑((𝑗 + 1) + 1)) − 1))) = ((♯‘(1...((2↑(𝑗 + 1)) − 1))) + (2↑(𝑗 + 1))))
176105ltm1d 11566 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑗 ∈ ℕ0) → ((2↑(𝑗 + 1)) − 1) < (2↑(𝑗 + 1)))
177 fzdisj 12928 . . . . . . . . . . . . . 14 (((2↑(𝑗 + 1)) − 1) < (2↑(𝑗 + 1)) → ((1...((2↑(𝑗 + 1)) − 1)) ∩ ((2↑(𝑗 + 1))...((2↑((𝑗 + 1) + 1)) − 1))) = ∅)
178176, 177syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑗 ∈ ℕ0) → ((1...((2↑(𝑗 + 1)) − 1)) ∩ ((2↑(𝑗 + 1))...((2↑((𝑗 + 1) + 1)) − 1))) = ∅)
179 hashun 13737 . . . . . . . . . . . . 13 (((1...((2↑(𝑗 + 1)) − 1)) ∈ Fin ∧ ((2↑(𝑗 + 1))...((2↑((𝑗 + 1) + 1)) − 1)) ∈ Fin ∧ ((1...((2↑(𝑗 + 1)) − 1)) ∩ ((2↑(𝑗 + 1))...((2↑((𝑗 + 1) + 1)) − 1))) = ∅) → (♯‘((1...((2↑(𝑗 + 1)) − 1)) ∪ ((2↑(𝑗 + 1))...((2↑((𝑗 + 1) + 1)) − 1)))) = ((♯‘(1...((2↑(𝑗 + 1)) − 1))) + (♯‘((2↑(𝑗 + 1))...((2↑((𝑗 + 1) + 1)) − 1)))))
180101, 67, 178, 179syl3anc 1367 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑗 ∈ ℕ0) → (♯‘((1...((2↑(𝑗 + 1)) − 1)) ∪ ((2↑(𝑗 + 1))...((2↑((𝑗 + 1) + 1)) − 1)))) = ((♯‘(1...((2↑(𝑗 + 1)) − 1))) + (♯‘((2↑(𝑗 + 1))...((2↑((𝑗 + 1) + 1)) − 1)))))
181156, 175, 1803eqtr3d 2864 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑗 ∈ ℕ0) → ((♯‘(1...((2↑(𝑗 + 1)) − 1))) + (2↑(𝑗 + 1))) = ((♯‘(1...((2↑(𝑗 + 1)) − 1))) + (♯‘((2↑(𝑗 + 1))...((2↑((𝑗 + 1) + 1)) − 1)))))
182104, 106, 109, 181addcanad 10839 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑗 ∈ ℕ0) → (2↑(𝑗 + 1)) = (♯‘((2↑(𝑗 + 1))...((2↑((𝑗 + 1) + 1)) − 1))))
183182oveq1d 7165 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑗 ∈ ℕ0) → ((2↑(𝑗 + 1)) · (𝐹‘(2↑(𝑗 + 1)))) = ((♯‘((2↑(𝑗 + 1))...((2↑((𝑗 + 1) + 1)) − 1))) · (𝐹‘(2↑(𝑗 + 1)))))
184 fveq2 6665 . . . . . . . . . . 11 (𝑛 = (𝑗 + 1) → (𝐺𝑛) = (𝐺‘(𝑗 + 1)))
185 oveq2 7158 . . . . . . . . . . . 12 (𝑛 = (𝑗 + 1) → (2↑𝑛) = (2↑(𝑗 + 1)))
186185fveq2d 6669 . . . . . . . . . . . 12 (𝑛 = (𝑗 + 1) → (𝐹‘(2↑𝑛)) = (𝐹‘(2↑(𝑗 + 1))))
187185, 186oveq12d 7168 . . . . . . . . . . 11 (𝑛 = (𝑗 + 1) → ((2↑𝑛) · (𝐹‘(2↑𝑛))) = ((2↑(𝑗 + 1)) · (𝐹‘(2↑(𝑗 + 1)))))
188184, 187eqeq12d 2837 . . . . . . . . . 10 (𝑛 = (𝑗 + 1) → ((𝐺𝑛) = ((2↑𝑛) · (𝐹‘(2↑𝑛))) ↔ (𝐺‘(𝑗 + 1)) = ((2↑(𝑗 + 1)) · (𝐹‘(2↑(𝑗 + 1))))))
18961adantr 483 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑗 ∈ ℕ0) → ∀𝑛 ∈ ℕ0 (𝐺𝑛) = ((2↑𝑛) · (𝐹‘(2↑𝑛))))
190188, 189, 71rspcdva 3625 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑗 ∈ ℕ0) → (𝐺‘(𝑗 + 1)) = ((2↑(𝑗 + 1)) · (𝐹‘(2↑(𝑗 + 1)))))
19181recnd 10663 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑗 ∈ ℕ0) → (𝐹‘(2↑(𝑗 + 1))) ∈ ℂ)
192 fsumconst 15139 . . . . . . . . . 10 ((((2↑(𝑗 + 1))...((2↑((𝑗 + 1) + 1)) − 1)) ∈ Fin ∧ (𝐹‘(2↑(𝑗 + 1))) ∈ ℂ) → Σ𝑘 ∈ ((2↑(𝑗 + 1))...((2↑((𝑗 + 1) + 1)) − 1))(𝐹‘(2↑(𝑗 + 1))) = ((♯‘((2↑(𝑗 + 1))...((2↑((𝑗 + 1) + 1)) − 1))) · (𝐹‘(2↑(𝑗 + 1)))))
19367, 191, 192syl2anc 586 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑗 ∈ ℕ0) → Σ𝑘 ∈ ((2↑(𝑗 + 1))...((2↑((𝑗 + 1) + 1)) − 1))(𝐹‘(2↑(𝑗 + 1))) = ((♯‘((2↑(𝑗 + 1))...((2↑((𝑗 + 1) + 1)) − 1))) · (𝐹‘(2↑(𝑗 + 1)))))
194183, 190, 1933eqtr4d 2866 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑗 ∈ ℕ0) → (𝐺‘(𝑗 + 1)) = Σ𝑘 ∈ ((2↑(𝑗 + 1))...((2↑((𝑗 + 1) + 1)) − 1))(𝐹‘(2↑(𝑗 + 1))))
195100, 194breqtrrd 5087 . . . . . . 7 ((𝜑𝑗 ∈ ℕ0) → Σ𝑘 ∈ ((2↑(𝑗 + 1))...((2↑((𝑗 + 1) + 1)) − 1))(𝐹𝑘) ≤ (𝐺‘(𝑗 + 1)))
196 elfznn 12930 . . . . . . . . . 10 (𝑘 ∈ (1...((2↑(𝑗 + 1)) − 1)) → 𝑘 ∈ ℕ)
19768, 196, 39syl2an 597 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑗 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ (1...((2↑(𝑗 + 1)) − 1))) → (𝐹𝑘) ∈ ℝ)
198101, 197fsumrecl 15085 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑗 ∈ ℕ0) → Σ𝑘 ∈ (1...((2↑(𝑗 + 1)) − 1))(𝐹𝑘) ∈ ℝ)
19967, 77fsumrecl 15085 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑗 ∈ ℕ0) → Σ𝑘 ∈ ((2↑(𝑗 + 1))...((2↑((𝑗 + 1) + 1)) − 1))(𝐹𝑘) ∈ ℝ)
200 nn0uz 12274 . . . . . . . . . 10 0 = (ℤ‘0)
201 0zd 11987 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → 0 ∈ ℤ)
202 simpr 487 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ0) → 𝑛 ∈ ℕ0)
203 nnexpcl 13436 . . . . . . . . . . . . . 14 ((2 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → (2↑𝑛) ∈ ℕ)
20469, 202, 203sylancr 589 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ0) → (2↑𝑛) ∈ ℕ)
205204nnred 11647 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ0) → (2↑𝑛) ∈ ℝ)
206 fveq2 6665 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑘 = (2↑𝑛) → (𝐹𝑘) = (𝐹‘(2↑𝑛)))
207206eleq1d 2897 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑘 = (2↑𝑛) → ((𝐹𝑘) ∈ ℝ ↔ (𝐹‘(2↑𝑛)) ∈ ℝ))
20840adantr 483 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ0) → ∀𝑘 ∈ ℕ (𝐹𝑘) ∈ ℝ)
209207, 208, 204rspcdva 3625 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ0) → (𝐹‘(2↑𝑛)) ∈ ℝ)
210205, 209remulcld 10665 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ0) → ((2↑𝑛) · (𝐹‘(2↑𝑛))) ∈ ℝ)
21160, 210eqeltrd 2913 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ0) → (𝐺𝑛) ∈ ℝ)
212200, 201, 211serfre 13393 . . . . . . . . 9 (𝜑 → seq0( + , 𝐺):ℕ0⟶ℝ)
213212ffvelrnda 6846 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑗 ∈ ℕ0) → (seq0( + , 𝐺)‘𝑗) ∈ ℝ)
214135, 81remulcld 10665 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑗 ∈ ℕ0) → ((2↑(𝑗 + 1)) · (𝐹‘(2↑(𝑗 + 1)))) ∈ ℝ)
215190, 214eqeltrd 2913 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑗 ∈ ℕ0) → (𝐺‘(𝑗 + 1)) ∈ ℝ)
216 le2add 11116 . . . . . . . 8 (((Σ𝑘 ∈ (1...((2↑(𝑗 + 1)) − 1))(𝐹𝑘) ∈ ℝ ∧ Σ𝑘 ∈ ((2↑(𝑗 + 1))...((2↑((𝑗 + 1) + 1)) − 1))(𝐹𝑘) ∈ ℝ) ∧ ((seq0( + , 𝐺)‘𝑗) ∈ ℝ ∧ (𝐺‘(𝑗 + 1)) ∈ ℝ)) → ((Σ𝑘 ∈ (1...((2↑(𝑗 + 1)) − 1))(𝐹𝑘) ≤ (seq0( + , 𝐺)‘𝑗) ∧ Σ𝑘 ∈ ((2↑(𝑗 + 1))...((2↑((𝑗 + 1) + 1)) − 1))(𝐹𝑘) ≤ (𝐺‘(𝑗 + 1))) → (Σ𝑘 ∈ (1...((2↑(𝑗 + 1)) − 1))(𝐹𝑘) + Σ𝑘 ∈ ((2↑(𝑗 + 1))...((2↑((𝑗 + 1) + 1)) − 1))(𝐹𝑘)) ≤ ((seq0( + , 𝐺)‘𝑗) + (𝐺‘(𝑗 + 1)))))
217198, 199, 213, 215, 216syl22anc 836 . . . . . . 7 ((𝜑𝑗 ∈ ℕ0) → ((Σ𝑘 ∈ (1...((2↑(𝑗 + 1)) − 1))(𝐹𝑘) ≤ (seq0( + , 𝐺)‘𝑗) ∧ Σ𝑘 ∈ ((2↑(𝑗 + 1))...((2↑((𝑗 + 1) + 1)) − 1))(𝐹𝑘) ≤ (𝐺‘(𝑗 + 1))) → (Σ𝑘 ∈ (1...((2↑(𝑗 + 1)) − 1))(𝐹𝑘) + Σ𝑘 ∈ ((2↑(𝑗 + 1))...((2↑((𝑗 + 1) + 1)) − 1))(𝐹𝑘)) ≤ ((seq0( + , 𝐺)‘𝑗) + (𝐺‘(𝑗 + 1)))))
218195, 217mpan2d 692 . . . . . 6 ((𝜑𝑗 ∈ ℕ0) → (Σ𝑘 ∈ (1...((2↑(𝑗 + 1)) − 1))(𝐹𝑘) ≤ (seq0( + , 𝐺)‘𝑗) → (Σ𝑘 ∈ (1...((2↑(𝑗 + 1)) − 1))(𝐹𝑘) + Σ𝑘 ∈ ((2↑(𝑗 + 1))...((2↑((𝑗 + 1) + 1)) − 1))(𝐹𝑘)) ≤ ((seq0( + , 𝐺)‘𝑗) + (𝐺‘(𝑗 + 1)))))
219 eqidd 2822 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑗 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ (1...((2↑(𝑗 + 1)) − 1))) → (𝐹𝑘) = (𝐹𝑘))
22039recnd 10663 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → (𝐹𝑘) ∈ ℂ)
22168, 196, 220syl2an 597 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑗 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ (1...((2↑(𝑗 + 1)) − 1))) → (𝐹𝑘) ∈ ℂ)
222219, 126, 221fsumser 15081 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑗 ∈ ℕ0) → Σ𝑘 ∈ (1...((2↑(𝑗 + 1)) − 1))(𝐹𝑘) = (seq1( + , 𝐹)‘((2↑(𝑗 + 1)) − 1)))
223222eqcomd 2827 . . . . . . 7 ((𝜑𝑗 ∈ ℕ0) → (seq1( + , 𝐹)‘((2↑(𝑗 + 1)) − 1)) = Σ𝑘 ∈ (1...((2↑(𝑗 + 1)) − 1))(𝐹𝑘))
224223breq1d 5069 . . . . . 6 ((𝜑𝑗 ∈ ℕ0) → ((seq1( + , 𝐹)‘((2↑(𝑗 + 1)) − 1)) ≤ (seq0( + , 𝐺)‘𝑗) ↔ Σ𝑘 ∈ (1...((2↑(𝑗 + 1)) − 1))(𝐹𝑘) ≤ (seq0( + , 𝐺)‘𝑗)))
225 eqidd 2822 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑗 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ (1...((2↑((𝑗 + 1) + 1)) − 1))) → (𝐹𝑘) = (𝐹𝑘))
226 elfznn 12930 . . . . . . . . . 10 (𝑘 ∈ (1...((2↑((𝑗 + 1) + 1)) − 1)) → 𝑘 ∈ ℕ)
22768, 226, 220syl2an 597 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑗 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ (1...((2↑((𝑗 + 1) + 1)) − 1))) → (𝐹𝑘) ∈ ℂ)
228225, 166, 227fsumser 15081 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑗 ∈ ℕ0) → Σ𝑘 ∈ (1...((2↑((𝑗 + 1) + 1)) − 1))(𝐹𝑘) = (seq1( + , 𝐹)‘((2↑((𝑗 + 1) + 1)) − 1)))
229 fzfid 13335 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑗 ∈ ℕ0) → (1...((2↑((𝑗 + 1) + 1)) − 1)) ∈ Fin)
230178, 155, 229, 227fsumsplit 15091 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑗 ∈ ℕ0) → Σ𝑘 ∈ (1...((2↑((𝑗 + 1) + 1)) − 1))(𝐹𝑘) = (Σ𝑘 ∈ (1...((2↑(𝑗 + 1)) − 1))(𝐹𝑘) + Σ𝑘 ∈ ((2↑(𝑗 + 1))...((2↑((𝑗 + 1) + 1)) − 1))(𝐹𝑘)))
231228, 230eqtr3d 2858 . . . . . . 7 ((𝜑𝑗 ∈ ℕ0) → (seq1( + , 𝐹)‘((2↑((𝑗 + 1) + 1)) − 1)) = (Σ𝑘 ∈ (1...((2↑(𝑗 + 1)) − 1))(𝐹𝑘) + Σ𝑘 ∈ ((2↑(𝑗 + 1))...((2↑((𝑗 + 1) + 1)) − 1))(𝐹𝑘)))
232 simpr 487 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑗 ∈ ℕ0) → 𝑗 ∈ ℕ0)
233232, 200eleqtrdi 2923 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑗 ∈ ℕ0) → 𝑗 ∈ (ℤ‘0))
234 seqp1 13378 . . . . . . . 8 (𝑗 ∈ (ℤ‘0) → (seq0( + , 𝐺)‘(𝑗 + 1)) = ((seq0( + , 𝐺)‘𝑗) + (𝐺‘(𝑗 + 1))))
235233, 234syl 17 . . . . . . 7 ((𝜑𝑗 ∈ ℕ0) → (seq0( + , 𝐺)‘(𝑗 + 1)) = ((seq0( + , 𝐺)‘𝑗) + (𝐺‘(𝑗 + 1))))
236231, 235breq12d 5072 . . . . . 6 ((𝜑𝑗 ∈ ℕ0) → ((seq1( + , 𝐹)‘((2↑((𝑗 + 1) + 1)) − 1)) ≤ (seq0( + , 𝐺)‘(𝑗 + 1)) ↔ (Σ𝑘 ∈ (1...((2↑(𝑗 + 1)) − 1))(𝐹𝑘) + Σ𝑘 ∈ ((2↑(𝑗 + 1))...((2↑((𝑗 + 1) + 1)) − 1))(𝐹𝑘)) ≤ ((seq0( + , 𝐺)‘𝑗) + (𝐺‘(𝑗 + 1)))))
237218, 224, 2363imtr4d 296 . . . . 5 ((𝜑𝑗 ∈ ℕ0) → ((seq1( + , 𝐹)‘((2↑(𝑗 + 1)) − 1)) ≤ (seq0( + , 𝐺)‘𝑗) → (seq1( + , 𝐹)‘((2↑((𝑗 + 1) + 1)) − 1)) ≤ (seq0( + , 𝐺)‘(𝑗 + 1))))
238237expcom 416 . . . 4 (𝑗 ∈ ℕ0 → (𝜑 → ((seq1( + , 𝐹)‘((2↑(𝑗 + 1)) − 1)) ≤ (seq0( + , 𝐺)‘𝑗) → (seq1( + , 𝐹)‘((2↑((𝑗 + 1) + 1)) − 1)) ≤ (seq0( + , 𝐺)‘(𝑗 + 1)))))
239238a2d 29 . . 3 (𝑗 ∈ ℕ0 → ((𝜑 → (seq1( + , 𝐹)‘((2↑(𝑗 + 1)) − 1)) ≤ (seq0( + , 𝐺)‘𝑗)) → (𝜑 → (seq1( + , 𝐹)‘((2↑((𝑗 + 1) + 1)) − 1)) ≤ (seq0( + , 𝐺)‘(𝑗 + 1)))))
24018, 24, 30, 36, 66, 239nn0ind 12071 . 2 (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝜑 → (seq1( + , 𝐹)‘((2↑(𝑁 + 1)) − 1)) ≤ (seq0( + , 𝐺)‘𝑁)))
241240impcom 410 1 ((𝜑𝑁 ∈ ℕ0) → (seq1( + , 𝐹)‘((2↑(𝑁 + 1)) − 1)) ≤ (seq0( + , 𝐺)‘𝑁))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 398   = wceq 1533  wcel 2110  wral 3138  cun 3934  cin 3935  c0 4291   class class class wbr 5059  cfv 6350  (class class class)co 7150  Fincfn 8503  cc 10529  cr 10530  0cc0 10531  1c1 10532   + caddc 10534   · cmul 10536   < clt 10669  cle 10670  cmin 10864  cn 11632  2c2 11686  0cn0 11891  cz 11975  cuz 12237  ...cfz 12886  seqcseq 13363  cexp 13423  chash 13684  Σcsu 15036
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1907  ax-6 1966  ax-7 2011  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2156  ax-12 2172  ax-ext 2793  ax-rep 5183  ax-sep 5196  ax-nul 5203  ax-pow 5259  ax-pr 5322  ax-un 7455  ax-inf2 9098  ax-cnex 10587  ax-resscn 10588  ax-1cn 10589  ax-icn 10590  ax-addcl 10591  ax-addrcl 10592  ax-mulcl 10593  ax-mulrcl 10594  ax-mulcom 10595  ax-addass 10596  ax-mulass 10597  ax-distr 10598  ax-i2m1 10599  ax-1ne0 10600  ax-1rid 10601  ax-rnegex 10602  ax-rrecex 10603  ax-cnre 10604  ax-pre-lttri 10605  ax-pre-lttrn 10606  ax-pre-ltadd 10607  ax-pre-mulgt0 10608  ax-pre-sup 10609
This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2066  df-mo 2618  df-eu 2650  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2893  df-nfc 2963  df-ne 3017  df-nel 3124  df-ral 3143  df-rex 3144  df-reu 3145  df-rmo 3146  df-rab 3147  df-v 3497  df-sbc 3773  df-csb 3884  df-dif 3939  df-un 3941  df-in 3943  df-ss 3952  df-pss 3954  df-nul 4292  df-if 4468  df-pw 4541  df-sn 4562  df-pr 4564  df-tp 4566  df-op 4568  df-uni 4833  df-int 4870  df-iun 4914  df-br 5060  df-opab 5122  df-mpt 5140  df-tr 5166  df-id 5455  df-eprel 5460  df-po 5469  df-so 5470  df-fr 5509  df-se 5510  df-we 5511  df-xp 5556  df-rel 5557  df-cnv 5558  df-co 5559  df-dm 5560  df-rn 5561  df-res 5562  df-ima 5563  df-pred 6143  df-ord 6189  df-on 6190  df-lim 6191  df-suc 6192  df-iota 6309  df-fun 6352  df-fn 6353  df-f 6354  df-f1 6355  df-fo 6356  df-f1o 6357  df-fv 6358  df-isom 6359  df-riota 7108  df-ov 7153  df-oprab 7154  df-mpo 7155  df-om 7575  df-1st 7683  df-2nd 7684  df-wrecs 7941  df-recs 8002  df-rdg 8040  df-1o 8096  df-oadd 8100  df-er 8283  df-en 8504  df-dom 8505  df-sdom 8506  df-fin 8507  df-sup 8900  df-oi 8968  df-dju 9324  df-card 9362  df-pnf 10671  df-mnf 10672  df-xr 10673  df-ltxr 10674  df-le 10675  df-sub 10866  df-neg 10867  df-div 11292  df-nn 11633  df-2 11694  df-3 11695  df-n0 11892  df-z 11976  df-uz 12238  df-rp 12384  df-ico 12738  df-fz 12887  df-fzo 13028  df-seq 13364  df-exp 13424  df-hash 13685  df-cj 14452  df-re 14453  df-im 14454  df-sqrt 14588  df-abs 14589  df-clim 14839  df-sum 15037
This theorem is referenced by:  climcnds  15200
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