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Theorem climcndslem1 15734
Description: Lemma for climcnds 15736: bound the original series by the condensed series. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Jul-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
climcnds.1 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → (𝐹𝑘) ∈ ℝ)
climcnds.2 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → 0 ≤ (𝐹𝑘))
climcnds.3 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → (𝐹‘(𝑘 + 1)) ≤ (𝐹𝑘))
climcnds.4 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ0) → (𝐺𝑛) = ((2↑𝑛) · (𝐹‘(2↑𝑛))))
Assertion
Ref Expression
climcndslem1 ((𝜑𝑁 ∈ ℕ0) → (seq1( + , 𝐹)‘((2↑(𝑁 + 1)) − 1)) ≤ (seq0( + , 𝐺)‘𝑁))
Distinct variable groups:   𝑘,𝑛,𝐹   𝑘,𝐺,𝑛   𝜑,𝑘,𝑛
Allowed substitution hints:   𝑁(𝑘,𝑛)

Proof of Theorem climcndslem1
Dummy variables 𝑗 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 oveq1 7364 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 = 0 → (𝑥 + 1) = (0 + 1))
2 0p1e1 12275 . . . . . . . . . . 11 (0 + 1) = 1
31, 2eqtrdi 2792 . . . . . . . . . 10 (𝑥 = 0 → (𝑥 + 1) = 1)
43oveq2d 7373 . . . . . . . . 9 (𝑥 = 0 → (2↑(𝑥 + 1)) = (2↑1))
5 2cn 12228 . . . . . . . . . . 11 2 ∈ ℂ
6 exp1 13973 . . . . . . . . . . 11 (2 ∈ ℂ → (2↑1) = 2)
75, 6ax-mp 5 . . . . . . . . . 10 (2↑1) = 2
8 df-2 12216 . . . . . . . . . 10 2 = (1 + 1)
97, 8eqtri 2764 . . . . . . . . 9 (2↑1) = (1 + 1)
104, 9eqtrdi 2792 . . . . . . . 8 (𝑥 = 0 → (2↑(𝑥 + 1)) = (1 + 1))
1110oveq1d 7372 . . . . . . 7 (𝑥 = 0 → ((2↑(𝑥 + 1)) − 1) = ((1 + 1) − 1))
12 ax-1cn 11109 . . . . . . . 8 1 ∈ ℂ
1312, 12pncan3oi 11417 . . . . . . 7 ((1 + 1) − 1) = 1
1411, 13eqtrdi 2792 . . . . . 6 (𝑥 = 0 → ((2↑(𝑥 + 1)) − 1) = 1)
1514fveq2d 6846 . . . . 5 (𝑥 = 0 → (seq1( + , 𝐹)‘((2↑(𝑥 + 1)) − 1)) = (seq1( + , 𝐹)‘1))
16 fveq2 6842 . . . . 5 (𝑥 = 0 → (seq0( + , 𝐺)‘𝑥) = (seq0( + , 𝐺)‘0))
1715, 16breq12d 5118 . . . 4 (𝑥 = 0 → ((seq1( + , 𝐹)‘((2↑(𝑥 + 1)) − 1)) ≤ (seq0( + , 𝐺)‘𝑥) ↔ (seq1( + , 𝐹)‘1) ≤ (seq0( + , 𝐺)‘0)))
1817imbi2d 340 . . 3 (𝑥 = 0 → ((𝜑 → (seq1( + , 𝐹)‘((2↑(𝑥 + 1)) − 1)) ≤ (seq0( + , 𝐺)‘𝑥)) ↔ (𝜑 → (seq1( + , 𝐹)‘1) ≤ (seq0( + , 𝐺)‘0))))
19 oveq1 7364 . . . . . . 7 (𝑥 = 𝑗 → (𝑥 + 1) = (𝑗 + 1))
2019oveq2d 7373 . . . . . 6 (𝑥 = 𝑗 → (2↑(𝑥 + 1)) = (2↑(𝑗 + 1)))
2120fvoveq1d 7379 . . . . 5 (𝑥 = 𝑗 → (seq1( + , 𝐹)‘((2↑(𝑥 + 1)) − 1)) = (seq1( + , 𝐹)‘((2↑(𝑗 + 1)) − 1)))
22 fveq2 6842 . . . . 5 (𝑥 = 𝑗 → (seq0( + , 𝐺)‘𝑥) = (seq0( + , 𝐺)‘𝑗))
2321, 22breq12d 5118 . . . 4 (𝑥 = 𝑗 → ((seq1( + , 𝐹)‘((2↑(𝑥 + 1)) − 1)) ≤ (seq0( + , 𝐺)‘𝑥) ↔ (seq1( + , 𝐹)‘((2↑(𝑗 + 1)) − 1)) ≤ (seq0( + , 𝐺)‘𝑗)))
2423imbi2d 340 . . 3 (𝑥 = 𝑗 → ((𝜑 → (seq1( + , 𝐹)‘((2↑(𝑥 + 1)) − 1)) ≤ (seq0( + , 𝐺)‘𝑥)) ↔ (𝜑 → (seq1( + , 𝐹)‘((2↑(𝑗 + 1)) − 1)) ≤ (seq0( + , 𝐺)‘𝑗))))
25 oveq1 7364 . . . . . . 7 (𝑥 = (𝑗 + 1) → (𝑥 + 1) = ((𝑗 + 1) + 1))
2625oveq2d 7373 . . . . . 6 (𝑥 = (𝑗 + 1) → (2↑(𝑥 + 1)) = (2↑((𝑗 + 1) + 1)))
2726fvoveq1d 7379 . . . . 5 (𝑥 = (𝑗 + 1) → (seq1( + , 𝐹)‘((2↑(𝑥 + 1)) − 1)) = (seq1( + , 𝐹)‘((2↑((𝑗 + 1) + 1)) − 1)))
28 fveq2 6842 . . . . 5 (𝑥 = (𝑗 + 1) → (seq0( + , 𝐺)‘𝑥) = (seq0( + , 𝐺)‘(𝑗 + 1)))
2927, 28breq12d 5118 . . . 4 (𝑥 = (𝑗 + 1) → ((seq1( + , 𝐹)‘((2↑(𝑥 + 1)) − 1)) ≤ (seq0( + , 𝐺)‘𝑥) ↔ (seq1( + , 𝐹)‘((2↑((𝑗 + 1) + 1)) − 1)) ≤ (seq0( + , 𝐺)‘(𝑗 + 1))))
3029imbi2d 340 . . 3 (𝑥 = (𝑗 + 1) → ((𝜑 → (seq1( + , 𝐹)‘((2↑(𝑥 + 1)) − 1)) ≤ (seq0( + , 𝐺)‘𝑥)) ↔ (𝜑 → (seq1( + , 𝐹)‘((2↑((𝑗 + 1) + 1)) − 1)) ≤ (seq0( + , 𝐺)‘(𝑗 + 1)))))
31 oveq1 7364 . . . . . . 7 (𝑥 = 𝑁 → (𝑥 + 1) = (𝑁 + 1))
3231oveq2d 7373 . . . . . 6 (𝑥 = 𝑁 → (2↑(𝑥 + 1)) = (2↑(𝑁 + 1)))
3332fvoveq1d 7379 . . . . 5 (𝑥 = 𝑁 → (seq1( + , 𝐹)‘((2↑(𝑥 + 1)) − 1)) = (seq1( + , 𝐹)‘((2↑(𝑁 + 1)) − 1)))
34 fveq2 6842 . . . . 5 (𝑥 = 𝑁 → (seq0( + , 𝐺)‘𝑥) = (seq0( + , 𝐺)‘𝑁))
3533, 34breq12d 5118 . . . 4 (𝑥 = 𝑁 → ((seq1( + , 𝐹)‘((2↑(𝑥 + 1)) − 1)) ≤ (seq0( + , 𝐺)‘𝑥) ↔ (seq1( + , 𝐹)‘((2↑(𝑁 + 1)) − 1)) ≤ (seq0( + , 𝐺)‘𝑁)))
3635imbi2d 340 . . 3 (𝑥 = 𝑁 → ((𝜑 → (seq1( + , 𝐹)‘((2↑(𝑥 + 1)) − 1)) ≤ (seq0( + , 𝐺)‘𝑥)) ↔ (𝜑 → (seq1( + , 𝐹)‘((2↑(𝑁 + 1)) − 1)) ≤ (seq0( + , 𝐺)‘𝑁))))
37 fveq2 6842 . . . . . . . 8 (𝑘 = 1 → (𝐹𝑘) = (𝐹‘1))
3837eleq1d 2822 . . . . . . 7 (𝑘 = 1 → ((𝐹𝑘) ∈ ℝ ↔ (𝐹‘1) ∈ ℝ))
39 climcnds.1 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → (𝐹𝑘) ∈ ℝ)
4039ralrimiva 3143 . . . . . . 7 (𝜑 → ∀𝑘 ∈ ℕ (𝐹𝑘) ∈ ℝ)
41 1nn 12164 . . . . . . . 8 1 ∈ ℕ
4241a1i 11 . . . . . . 7 (𝜑 → 1 ∈ ℕ)
4338, 40, 42rspcdva 3582 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐹‘1) ∈ ℝ)
4443leidd 11721 . . . . 5 (𝜑 → (𝐹‘1) ≤ (𝐹‘1))
4543recnd 11183 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐹‘1) ∈ ℂ)
4645mulid2d 11173 . . . . 5 (𝜑 → (1 · (𝐹‘1)) = (𝐹‘1))
4744, 46breqtrrd 5133 . . . 4 (𝜑 → (𝐹‘1) ≤ (1 · (𝐹‘1)))
48 1z 12533 . . . . 5 1 ∈ ℤ
49 eqidd 2737 . . . . 5 (𝜑 → (𝐹‘1) = (𝐹‘1))
5048, 49seq1i 13920 . . . 4 (𝜑 → (seq1( + , 𝐹)‘1) = (𝐹‘1))
51 0z 12510 . . . . 5 0 ∈ ℤ
52 fveq2 6842 . . . . . . 7 (𝑛 = 0 → (𝐺𝑛) = (𝐺‘0))
53 oveq2 7365 . . . . . . . . 9 (𝑛 = 0 → (2↑𝑛) = (2↑0))
54 exp0 13971 . . . . . . . . . 10 (2 ∈ ℂ → (2↑0) = 1)
555, 54ax-mp 5 . . . . . . . . 9 (2↑0) = 1
5653, 55eqtrdi 2792 . . . . . . . 8 (𝑛 = 0 → (2↑𝑛) = 1)
5756fveq2d 6846 . . . . . . . 8 (𝑛 = 0 → (𝐹‘(2↑𝑛)) = (𝐹‘1))
5856, 57oveq12d 7375 . . . . . . 7 (𝑛 = 0 → ((2↑𝑛) · (𝐹‘(2↑𝑛))) = (1 · (𝐹‘1)))
5952, 58eqeq12d 2752 . . . . . 6 (𝑛 = 0 → ((𝐺𝑛) = ((2↑𝑛) · (𝐹‘(2↑𝑛))) ↔ (𝐺‘0) = (1 · (𝐹‘1))))
60 climcnds.4 . . . . . . 7 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ0) → (𝐺𝑛) = ((2↑𝑛) · (𝐹‘(2↑𝑛))))
6160ralrimiva 3143 . . . . . 6 (𝜑 → ∀𝑛 ∈ ℕ0 (𝐺𝑛) = ((2↑𝑛) · (𝐹‘(2↑𝑛))))
62 0nn0 12428 . . . . . . 7 0 ∈ ℕ0
6362a1i 11 . . . . . 6 (𝜑 → 0 ∈ ℕ0)
6459, 61, 63rspcdva 3582 . . . . 5 (𝜑 → (𝐺‘0) = (1 · (𝐹‘1)))
6551, 64seq1i 13920 . . . 4 (𝜑 → (seq0( + , 𝐺)‘0) = (1 · (𝐹‘1)))
6647, 50, 653brtr4d 5137 . . 3 (𝜑 → (seq1( + , 𝐹)‘1) ≤ (seq0( + , 𝐺)‘0))
67 fzfid 13878 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑗 ∈ ℕ0) → ((2↑(𝑗 + 1))...((2↑((𝑗 + 1) + 1)) − 1)) ∈ Fin)
68 simpl 483 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑗 ∈ ℕ0) → 𝜑)
69 2nn 12226 . . . . . . . . . . . 12 2 ∈ ℕ
70 peano2nn0 12453 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑗 ∈ ℕ0 → (𝑗 + 1) ∈ ℕ0)
7170adantl 482 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑗 ∈ ℕ0) → (𝑗 + 1) ∈ ℕ0)
72 nnexpcl 13980 . . . . . . . . . . . 12 ((2 ∈ ℕ ∧ (𝑗 + 1) ∈ ℕ0) → (2↑(𝑗 + 1)) ∈ ℕ)
7369, 71, 72sylancr 587 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑗 ∈ ℕ0) → (2↑(𝑗 + 1)) ∈ ℕ)
74 elfzuz 13437 . . . . . . . . . . 11 (𝑘 ∈ ((2↑(𝑗 + 1))...((2↑((𝑗 + 1) + 1)) − 1)) → 𝑘 ∈ (ℤ‘(2↑(𝑗 + 1))))
75 eluznn 12843 . . . . . . . . . . 11 (((2↑(𝑗 + 1)) ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (ℤ‘(2↑(𝑗 + 1)))) → 𝑘 ∈ ℕ)
7673, 74, 75syl2an 596 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑗 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ ((2↑(𝑗 + 1))...((2↑((𝑗 + 1) + 1)) − 1))) → 𝑘 ∈ ℕ)
7768, 76, 39syl2an2r 683 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑗 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ ((2↑(𝑗 + 1))...((2↑((𝑗 + 1) + 1)) − 1))) → (𝐹𝑘) ∈ ℝ)
78 fveq2 6842 . . . . . . . . . . . 12 (𝑘 = (2↑(𝑗 + 1)) → (𝐹𝑘) = (𝐹‘(2↑(𝑗 + 1))))
7978eleq1d 2822 . . . . . . . . . . 11 (𝑘 = (2↑(𝑗 + 1)) → ((𝐹𝑘) ∈ ℝ ↔ (𝐹‘(2↑(𝑗 + 1))) ∈ ℝ))
8040adantr 481 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑗 ∈ ℕ0) → ∀𝑘 ∈ ℕ (𝐹𝑘) ∈ ℝ)
8179, 80, 73rspcdva 3582 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑗 ∈ ℕ0) → (𝐹‘(2↑(𝑗 + 1))) ∈ ℝ)
8281adantr 481 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑗 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ ((2↑(𝑗 + 1))...((2↑((𝑗 + 1) + 1)) − 1))) → (𝐹‘(2↑(𝑗 + 1))) ∈ ℝ)
83 simpr 485 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑗 ∈ ℕ0) ∧ 𝑛 ∈ (ℤ‘(2↑(𝑗 + 1)))) → 𝑛 ∈ (ℤ‘(2↑(𝑗 + 1))))
84 simplll 773 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑𝑗 ∈ ℕ0) ∧ 𝑛 ∈ (ℤ‘(2↑(𝑗 + 1)))) ∧ 𝑘 ∈ ((2↑(𝑗 + 1))...𝑛)) → 𝜑)
8573adantr 481 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑗 ∈ ℕ0) ∧ 𝑛 ∈ (ℤ‘(2↑(𝑗 + 1)))) → (2↑(𝑗 + 1)) ∈ ℕ)
86 elfzuz 13437 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑘 ∈ ((2↑(𝑗 + 1))...𝑛) → 𝑘 ∈ (ℤ‘(2↑(𝑗 + 1))))
8785, 86, 75syl2an 596 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑𝑗 ∈ ℕ0) ∧ 𝑛 ∈ (ℤ‘(2↑(𝑗 + 1)))) ∧ 𝑘 ∈ ((2↑(𝑗 + 1))...𝑛)) → 𝑘 ∈ ℕ)
8884, 87, 39syl2anc 584 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑𝑗 ∈ ℕ0) ∧ 𝑛 ∈ (ℤ‘(2↑(𝑗 + 1)))) ∧ 𝑘 ∈ ((2↑(𝑗 + 1))...𝑛)) → (𝐹𝑘) ∈ ℝ)
89 simplll 773 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑𝑗 ∈ ℕ0) ∧ 𝑛 ∈ (ℤ‘(2↑(𝑗 + 1)))) ∧ 𝑘 ∈ ((2↑(𝑗 + 1))...(𝑛 − 1))) → 𝜑)
90 elfzuz 13437 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑘 ∈ ((2↑(𝑗 + 1))...(𝑛 − 1)) → 𝑘 ∈ (ℤ‘(2↑(𝑗 + 1))))
9185, 90, 75syl2an 596 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑𝑗 ∈ ℕ0) ∧ 𝑛 ∈ (ℤ‘(2↑(𝑗 + 1)))) ∧ 𝑘 ∈ ((2↑(𝑗 + 1))...(𝑛 − 1))) → 𝑘 ∈ ℕ)
92 climcnds.3 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → (𝐹‘(𝑘 + 1)) ≤ (𝐹𝑘))
9389, 91, 92syl2anc 584 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑𝑗 ∈ ℕ0) ∧ 𝑛 ∈ (ℤ‘(2↑(𝑗 + 1)))) ∧ 𝑘 ∈ ((2↑(𝑗 + 1))...(𝑛 − 1))) → (𝐹‘(𝑘 + 1)) ≤ (𝐹𝑘))
9483, 88, 93monoord2 13939 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑗 ∈ ℕ0) ∧ 𝑛 ∈ (ℤ‘(2↑(𝑗 + 1)))) → (𝐹𝑛) ≤ (𝐹‘(2↑(𝑗 + 1))))
9594ralrimiva 3143 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑗 ∈ ℕ0) → ∀𝑛 ∈ (ℤ‘(2↑(𝑗 + 1)))(𝐹𝑛) ≤ (𝐹‘(2↑(𝑗 + 1))))
96 fveq2 6842 . . . . . . . . . . . 12 (𝑛 = 𝑘 → (𝐹𝑛) = (𝐹𝑘))
9796breq1d 5115 . . . . . . . . . . 11 (𝑛 = 𝑘 → ((𝐹𝑛) ≤ (𝐹‘(2↑(𝑗 + 1))) ↔ (𝐹𝑘) ≤ (𝐹‘(2↑(𝑗 + 1)))))
9897rspccva 3580 . . . . . . . . . 10 ((∀𝑛 ∈ (ℤ‘(2↑(𝑗 + 1)))(𝐹𝑛) ≤ (𝐹‘(2↑(𝑗 + 1))) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ‘(2↑(𝑗 + 1)))) → (𝐹𝑘) ≤ (𝐹‘(2↑(𝑗 + 1))))
9995, 74, 98syl2an 596 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑗 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ ((2↑(𝑗 + 1))...((2↑((𝑗 + 1) + 1)) − 1))) → (𝐹𝑘) ≤ (𝐹‘(2↑(𝑗 + 1))))
10067, 77, 82, 99fsumle 15684 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑗 ∈ ℕ0) → Σ𝑘 ∈ ((2↑(𝑗 + 1))...((2↑((𝑗 + 1) + 1)) − 1))(𝐹𝑘) ≤ Σ𝑘 ∈ ((2↑(𝑗 + 1))...((2↑((𝑗 + 1) + 1)) − 1))(𝐹‘(2↑(𝑗 + 1))))
101 fzfid 13878 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑗 ∈ ℕ0) → (1...((2↑(𝑗 + 1)) − 1)) ∈ Fin)
102 hashcl 14256 . . . . . . . . . . . . 13 ((1...((2↑(𝑗 + 1)) − 1)) ∈ Fin → (♯‘(1...((2↑(𝑗 + 1)) − 1))) ∈ ℕ0)
103101, 102syl 17 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑗 ∈ ℕ0) → (♯‘(1...((2↑(𝑗 + 1)) − 1))) ∈ ℕ0)
104103nn0cnd 12475 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑗 ∈ ℕ0) → (♯‘(1...((2↑(𝑗 + 1)) − 1))) ∈ ℂ)
10573nnred 12168 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑗 ∈ ℕ0) → (2↑(𝑗 + 1)) ∈ ℝ)
106105recnd 11183 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑗 ∈ ℕ0) → (2↑(𝑗 + 1)) ∈ ℂ)
107 hashcl 14256 . . . . . . . . . . . . 13 (((2↑(𝑗 + 1))...((2↑((𝑗 + 1) + 1)) − 1)) ∈ Fin → (♯‘((2↑(𝑗 + 1))...((2↑((𝑗 + 1) + 1)) − 1))) ∈ ℕ0)
10867, 107syl 17 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑗 ∈ ℕ0) → (♯‘((2↑(𝑗 + 1))...((2↑((𝑗 + 1) + 1)) − 1))) ∈ ℕ0)
109108nn0cnd 12475 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑗 ∈ ℕ0) → (♯‘((2↑(𝑗 + 1))...((2↑((𝑗 + 1) + 1)) − 1))) ∈ ℂ)
110 2z 12535 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 2 ∈ ℤ
111 zexpcl 13982 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((2 ∈ ℤ ∧ (𝑗 + 1) ∈ ℕ0) → (2↑(𝑗 + 1)) ∈ ℤ)
112110, 71, 111sylancr 587 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑𝑗 ∈ ℕ0) → (2↑(𝑗 + 1)) ∈ ℤ)
113 2re 12227 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 2 ∈ ℝ
114 1le2 12362 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 1 ≤ 2
115 nn0p1nn 12452 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑗 ∈ ℕ0 → (𝑗 + 1) ∈ ℕ)
116115adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝜑𝑗 ∈ ℕ0) → (𝑗 + 1) ∈ ℕ)
117 nnuz 12806 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ℕ = (ℤ‘1)
118116, 117eleqtrdi 2848 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝜑𝑗 ∈ ℕ0) → (𝑗 + 1) ∈ (ℤ‘1))
119 leexp2a 14077 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((2 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 2 ∧ (𝑗 + 1) ∈ (ℤ‘1)) → (2↑1) ≤ (2↑(𝑗 + 1)))
120113, 114, 118, 119mp3an12i 1465 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜑𝑗 ∈ ℕ0) → (2↑1) ≤ (2↑(𝑗 + 1)))
1217, 120eqbrtrrid 5141 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑𝑗 ∈ ℕ0) → 2 ≤ (2↑(𝑗 + 1)))
122110eluz1i 12771 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((2↑(𝑗 + 1)) ∈ (ℤ‘2) ↔ ((2↑(𝑗 + 1)) ∈ ℤ ∧ 2 ≤ (2↑(𝑗 + 1))))
123112, 121, 122sylanbrc 583 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝑗 ∈ ℕ0) → (2↑(𝑗 + 1)) ∈ (ℤ‘2))
124 uz2m1nn 12848 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((2↑(𝑗 + 1)) ∈ (ℤ‘2) → ((2↑(𝑗 + 1)) − 1) ∈ ℕ)
125123, 124syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑗 ∈ ℕ0) → ((2↑(𝑗 + 1)) − 1) ∈ ℕ)
126125, 117eleqtrdi 2848 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑗 ∈ ℕ0) → ((2↑(𝑗 + 1)) − 1) ∈ (ℤ‘1))
127 peano2zm 12546 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((2↑(𝑗 + 1)) ∈ ℤ → ((2↑(𝑗 + 1)) − 1) ∈ ℤ)
128112, 127syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑗 ∈ ℕ0) → ((2↑(𝑗 + 1)) − 1) ∈ ℤ)
129 peano2nn0 12453 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑗 + 1) ∈ ℕ0 → ((𝑗 + 1) + 1) ∈ ℕ0)
13071, 129syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑𝑗 ∈ ℕ0) → ((𝑗 + 1) + 1) ∈ ℕ0)
131 zexpcl 13982 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((2 ∈ ℤ ∧ ((𝑗 + 1) + 1) ∈ ℕ0) → (2↑((𝑗 + 1) + 1)) ∈ ℤ)
132110, 130, 131sylancr 587 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝑗 ∈ ℕ0) → (2↑((𝑗 + 1) + 1)) ∈ ℤ)
133 peano2zm 12546 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((2↑((𝑗 + 1) + 1)) ∈ ℤ → ((2↑((𝑗 + 1) + 1)) − 1) ∈ ℤ)
134132, 133syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑗 ∈ ℕ0) → ((2↑((𝑗 + 1) + 1)) − 1) ∈ ℤ)
135112zred 12607 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝑗 ∈ ℕ0) → (2↑(𝑗 + 1)) ∈ ℝ)
136132zred 12607 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝑗 ∈ ℕ0) → (2↑((𝑗 + 1) + 1)) ∈ ℝ)
137 1red 11156 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝑗 ∈ ℕ0) → 1 ∈ ℝ)
13871nn0zd 12525 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑𝑗 ∈ ℕ0) → (𝑗 + 1) ∈ ℤ)
139 uzid 12778 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑗 + 1) ∈ ℤ → (𝑗 + 1) ∈ (ℤ‘(𝑗 + 1)))
140 peano2uz 12826 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑗 + 1) ∈ (ℤ‘(𝑗 + 1)) → ((𝑗 + 1) + 1) ∈ (ℤ‘(𝑗 + 1)))
141 leexp2a 14077 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((2 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 2 ∧ ((𝑗 + 1) + 1) ∈ (ℤ‘(𝑗 + 1))) → (2↑(𝑗 + 1)) ≤ (2↑((𝑗 + 1) + 1)))
142113, 114, 141mp3an12 1451 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝑗 + 1) + 1) ∈ (ℤ‘(𝑗 + 1)) → (2↑(𝑗 + 1)) ≤ (2↑((𝑗 + 1) + 1)))
143138, 139, 140, 1424syl 19 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝑗 ∈ ℕ0) → (2↑(𝑗 + 1)) ≤ (2↑((𝑗 + 1) + 1)))
144135, 136, 137, 143lesub1dd 11771 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑗 ∈ ℕ0) → ((2↑(𝑗 + 1)) − 1) ≤ ((2↑((𝑗 + 1) + 1)) − 1))
145 eluz2 12769 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((2↑((𝑗 + 1) + 1)) − 1) ∈ (ℤ‘((2↑(𝑗 + 1)) − 1)) ↔ (((2↑(𝑗 + 1)) − 1) ∈ ℤ ∧ ((2↑((𝑗 + 1) + 1)) − 1) ∈ ℤ ∧ ((2↑(𝑗 + 1)) − 1) ≤ ((2↑((𝑗 + 1) + 1)) − 1)))
146128, 134, 144, 145syl3anbrc 1343 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑗 ∈ ℕ0) → ((2↑((𝑗 + 1) + 1)) − 1) ∈ (ℤ‘((2↑(𝑗 + 1)) − 1)))
147 elfzuzb 13435 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((2↑(𝑗 + 1)) − 1) ∈ (1...((2↑((𝑗 + 1) + 1)) − 1)) ↔ (((2↑(𝑗 + 1)) − 1) ∈ (ℤ‘1) ∧ ((2↑((𝑗 + 1) + 1)) − 1) ∈ (ℤ‘((2↑(𝑗 + 1)) − 1))))
148126, 146, 147sylanbrc 583 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑗 ∈ ℕ0) → ((2↑(𝑗 + 1)) − 1) ∈ (1...((2↑((𝑗 + 1) + 1)) − 1)))
149 fzsplit 13467 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((2↑(𝑗 + 1)) − 1) ∈ (1...((2↑((𝑗 + 1) + 1)) − 1)) → (1...((2↑((𝑗 + 1) + 1)) − 1)) = ((1...((2↑(𝑗 + 1)) − 1)) ∪ ((((2↑(𝑗 + 1)) − 1) + 1)...((2↑((𝑗 + 1) + 1)) − 1))))
150148, 149syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑗 ∈ ℕ0) → (1...((2↑((𝑗 + 1) + 1)) − 1)) = ((1...((2↑(𝑗 + 1)) − 1)) ∪ ((((2↑(𝑗 + 1)) − 1) + 1)...((2↑((𝑗 + 1) + 1)) − 1))))
151 npcan 11410 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((2↑(𝑗 + 1)) ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → (((2↑(𝑗 + 1)) − 1) + 1) = (2↑(𝑗 + 1)))
152106, 12, 151sylancl 586 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑗 ∈ ℕ0) → (((2↑(𝑗 + 1)) − 1) + 1) = (2↑(𝑗 + 1)))
153152oveq1d 7372 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑗 ∈ ℕ0) → ((((2↑(𝑗 + 1)) − 1) + 1)...((2↑((𝑗 + 1) + 1)) − 1)) = ((2↑(𝑗 + 1))...((2↑((𝑗 + 1) + 1)) − 1)))
154153uneq2d 4123 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑗 ∈ ℕ0) → ((1...((2↑(𝑗 + 1)) − 1)) ∪ ((((2↑(𝑗 + 1)) − 1) + 1)...((2↑((𝑗 + 1) + 1)) − 1))) = ((1...((2↑(𝑗 + 1)) − 1)) ∪ ((2↑(𝑗 + 1))...((2↑((𝑗 + 1) + 1)) − 1))))
155150, 154eqtrd 2776 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑗 ∈ ℕ0) → (1...((2↑((𝑗 + 1) + 1)) − 1)) = ((1...((2↑(𝑗 + 1)) − 1)) ∪ ((2↑(𝑗 + 1))...((2↑((𝑗 + 1) + 1)) − 1))))
156155fveq2d 6846 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑗 ∈ ℕ0) → (♯‘(1...((2↑((𝑗 + 1) + 1)) − 1))) = (♯‘((1...((2↑(𝑗 + 1)) − 1)) ∪ ((2↑(𝑗 + 1))...((2↑((𝑗 + 1) + 1)) − 1)))))
157 expp1 13974 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((2 ∈ ℂ ∧ (𝑗 + 1) ∈ ℕ0) → (2↑((𝑗 + 1) + 1)) = ((2↑(𝑗 + 1)) · 2))
1585, 71, 157sylancr 587 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑗 ∈ ℕ0) → (2↑((𝑗 + 1) + 1)) = ((2↑(𝑗 + 1)) · 2))
159106times2d 12397 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑗 ∈ ℕ0) → ((2↑(𝑗 + 1)) · 2) = ((2↑(𝑗 + 1)) + (2↑(𝑗 + 1))))
160158, 159eqtrd 2776 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑗 ∈ ℕ0) → (2↑((𝑗 + 1) + 1)) = ((2↑(𝑗 + 1)) + (2↑(𝑗 + 1))))
161160oveq1d 7372 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑗 ∈ ℕ0) → ((2↑((𝑗 + 1) + 1)) − 1) = (((2↑(𝑗 + 1)) + (2↑(𝑗 + 1))) − 1))
162 1cnd 11150 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑗 ∈ ℕ0) → 1 ∈ ℂ)
163106, 106, 162addsubd 11533 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑗 ∈ ℕ0) → (((2↑(𝑗 + 1)) + (2↑(𝑗 + 1))) − 1) = (((2↑(𝑗 + 1)) − 1) + (2↑(𝑗 + 1))))
164161, 163eqtrd 2776 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑗 ∈ ℕ0) → ((2↑((𝑗 + 1) + 1)) − 1) = (((2↑(𝑗 + 1)) − 1) + (2↑(𝑗 + 1))))
165 uztrn 12781 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((2↑((𝑗 + 1) + 1)) − 1) ∈ (ℤ‘((2↑(𝑗 + 1)) − 1)) ∧ ((2↑(𝑗 + 1)) − 1) ∈ (ℤ‘1)) → ((2↑((𝑗 + 1) + 1)) − 1) ∈ (ℤ‘1))
166146, 126, 165syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑗 ∈ ℕ0) → ((2↑((𝑗 + 1) + 1)) − 1) ∈ (ℤ‘1))
167166, 117eleqtrrdi 2849 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑗 ∈ ℕ0) → ((2↑((𝑗 + 1) + 1)) − 1) ∈ ℕ)
168167nnnn0d 12473 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑗 ∈ ℕ0) → ((2↑((𝑗 + 1) + 1)) − 1) ∈ ℕ0)
169 hashfz1 14246 . . . . . . . . . . . . . 14 (((2↑((𝑗 + 1) + 1)) − 1) ∈ ℕ0 → (♯‘(1...((2↑((𝑗 + 1) + 1)) − 1))) = ((2↑((𝑗 + 1) + 1)) − 1))
170168, 169syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑗 ∈ ℕ0) → (♯‘(1...((2↑((𝑗 + 1) + 1)) − 1))) = ((2↑((𝑗 + 1) + 1)) − 1))
171125nnnn0d 12473 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑗 ∈ ℕ0) → ((2↑(𝑗 + 1)) − 1) ∈ ℕ0)
172 hashfz1 14246 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((2↑(𝑗 + 1)) − 1) ∈ ℕ0 → (♯‘(1...((2↑(𝑗 + 1)) − 1))) = ((2↑(𝑗 + 1)) − 1))
173171, 172syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑗 ∈ ℕ0) → (♯‘(1...((2↑(𝑗 + 1)) − 1))) = ((2↑(𝑗 + 1)) − 1))
174173oveq1d 7372 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑗 ∈ ℕ0) → ((♯‘(1...((2↑(𝑗 + 1)) − 1))) + (2↑(𝑗 + 1))) = (((2↑(𝑗 + 1)) − 1) + (2↑(𝑗 + 1))))
175164, 170, 1743eqtr4d 2786 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑗 ∈ ℕ0) → (♯‘(1...((2↑((𝑗 + 1) + 1)) − 1))) = ((♯‘(1...((2↑(𝑗 + 1)) − 1))) + (2↑(𝑗 + 1))))
176105ltm1d 12087 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑗 ∈ ℕ0) → ((2↑(𝑗 + 1)) − 1) < (2↑(𝑗 + 1)))
177 fzdisj 13468 . . . . . . . . . . . . . 14 (((2↑(𝑗 + 1)) − 1) < (2↑(𝑗 + 1)) → ((1...((2↑(𝑗 + 1)) − 1)) ∩ ((2↑(𝑗 + 1))...((2↑((𝑗 + 1) + 1)) − 1))) = ∅)
178176, 177syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑗 ∈ ℕ0) → ((1...((2↑(𝑗 + 1)) − 1)) ∩ ((2↑(𝑗 + 1))...((2↑((𝑗 + 1) + 1)) − 1))) = ∅)
179 hashun 14282 . . . . . . . . . . . . 13 (((1...((2↑(𝑗 + 1)) − 1)) ∈ Fin ∧ ((2↑(𝑗 + 1))...((2↑((𝑗 + 1) + 1)) − 1)) ∈ Fin ∧ ((1...((2↑(𝑗 + 1)) − 1)) ∩ ((2↑(𝑗 + 1))...((2↑((𝑗 + 1) + 1)) − 1))) = ∅) → (♯‘((1...((2↑(𝑗 + 1)) − 1)) ∪ ((2↑(𝑗 + 1))...((2↑((𝑗 + 1) + 1)) − 1)))) = ((♯‘(1...((2↑(𝑗 + 1)) − 1))) + (♯‘((2↑(𝑗 + 1))...((2↑((𝑗 + 1) + 1)) − 1)))))
180101, 67, 178, 179syl3anc 1371 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑗 ∈ ℕ0) → (♯‘((1...((2↑(𝑗 + 1)) − 1)) ∪ ((2↑(𝑗 + 1))...((2↑((𝑗 + 1) + 1)) − 1)))) = ((♯‘(1...((2↑(𝑗 + 1)) − 1))) + (♯‘((2↑(𝑗 + 1))...((2↑((𝑗 + 1) + 1)) − 1)))))
181156, 175, 1803eqtr3d 2784 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑗 ∈ ℕ0) → ((♯‘(1...((2↑(𝑗 + 1)) − 1))) + (2↑(𝑗 + 1))) = ((♯‘(1...((2↑(𝑗 + 1)) − 1))) + (♯‘((2↑(𝑗 + 1))...((2↑((𝑗 + 1) + 1)) − 1)))))
182104, 106, 109, 181addcanad 11360 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑗 ∈ ℕ0) → (2↑(𝑗 + 1)) = (♯‘((2↑(𝑗 + 1))...((2↑((𝑗 + 1) + 1)) − 1))))
183182oveq1d 7372 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑗 ∈ ℕ0) → ((2↑(𝑗 + 1)) · (𝐹‘(2↑(𝑗 + 1)))) = ((♯‘((2↑(𝑗 + 1))...((2↑((𝑗 + 1) + 1)) − 1))) · (𝐹‘(2↑(𝑗 + 1)))))
184 fveq2 6842 . . . . . . . . . . 11 (𝑛 = (𝑗 + 1) → (𝐺𝑛) = (𝐺‘(𝑗 + 1)))
185 oveq2 7365 . . . . . . . . . . . 12 (𝑛 = (𝑗 + 1) → (2↑𝑛) = (2↑(𝑗 + 1)))
186185fveq2d 6846 . . . . . . . . . . . 12 (𝑛 = (𝑗 + 1) → (𝐹‘(2↑𝑛)) = (𝐹‘(2↑(𝑗 + 1))))
187185, 186oveq12d 7375 . . . . . . . . . . 11 (𝑛 = (𝑗 + 1) → ((2↑𝑛) · (𝐹‘(2↑𝑛))) = ((2↑(𝑗 + 1)) · (𝐹‘(2↑(𝑗 + 1)))))
188184, 187eqeq12d 2752 . . . . . . . . . 10 (𝑛 = (𝑗 + 1) → ((𝐺𝑛) = ((2↑𝑛) · (𝐹‘(2↑𝑛))) ↔ (𝐺‘(𝑗 + 1)) = ((2↑(𝑗 + 1)) · (𝐹‘(2↑(𝑗 + 1))))))
18961adantr 481 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑗 ∈ ℕ0) → ∀𝑛 ∈ ℕ0 (𝐺𝑛) = ((2↑𝑛) · (𝐹‘(2↑𝑛))))
190188, 189, 71rspcdva 3582 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑗 ∈ ℕ0) → (𝐺‘(𝑗 + 1)) = ((2↑(𝑗 + 1)) · (𝐹‘(2↑(𝑗 + 1)))))
19181recnd 11183 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑗 ∈ ℕ0) → (𝐹‘(2↑(𝑗 + 1))) ∈ ℂ)
192 fsumconst 15675 . . . . . . . . . 10 ((((2↑(𝑗 + 1))...((2↑((𝑗 + 1) + 1)) − 1)) ∈ Fin ∧ (𝐹‘(2↑(𝑗 + 1))) ∈ ℂ) → Σ𝑘 ∈ ((2↑(𝑗 + 1))...((2↑((𝑗 + 1) + 1)) − 1))(𝐹‘(2↑(𝑗 + 1))) = ((♯‘((2↑(𝑗 + 1))...((2↑((𝑗 + 1) + 1)) − 1))) · (𝐹‘(2↑(𝑗 + 1)))))
19367, 191, 192syl2anc 584 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑗 ∈ ℕ0) → Σ𝑘 ∈ ((2↑(𝑗 + 1))...((2↑((𝑗 + 1) + 1)) − 1))(𝐹‘(2↑(𝑗 + 1))) = ((♯‘((2↑(𝑗 + 1))...((2↑((𝑗 + 1) + 1)) − 1))) · (𝐹‘(2↑(𝑗 + 1)))))
194183, 190, 1933eqtr4d 2786 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑗 ∈ ℕ0) → (𝐺‘(𝑗 + 1)) = Σ𝑘 ∈ ((2↑(𝑗 + 1))...((2↑((𝑗 + 1) + 1)) − 1))(𝐹‘(2↑(𝑗 + 1))))
195100, 194breqtrrd 5133 . . . . . . 7 ((𝜑𝑗 ∈ ℕ0) → Σ𝑘 ∈ ((2↑(𝑗 + 1))...((2↑((𝑗 + 1) + 1)) − 1))(𝐹𝑘) ≤ (𝐺‘(𝑗 + 1)))
196 elfznn 13470 . . . . . . . . . 10 (𝑘 ∈ (1...((2↑(𝑗 + 1)) − 1)) → 𝑘 ∈ ℕ)
19768, 196, 39syl2an 596 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑗 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ (1...((2↑(𝑗 + 1)) − 1))) → (𝐹𝑘) ∈ ℝ)
198101, 197fsumrecl 15619 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑗 ∈ ℕ0) → Σ𝑘 ∈ (1...((2↑(𝑗 + 1)) − 1))(𝐹𝑘) ∈ ℝ)
19967, 77fsumrecl 15619 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑗 ∈ ℕ0) → Σ𝑘 ∈ ((2↑(𝑗 + 1))...((2↑((𝑗 + 1) + 1)) − 1))(𝐹𝑘) ∈ ℝ)
200 nn0uz 12805 . . . . . . . . . 10 0 = (ℤ‘0)
201 0zd 12511 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → 0 ∈ ℤ)
202 simpr 485 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ0) → 𝑛 ∈ ℕ0)
203 nnexpcl 13980 . . . . . . . . . . . . . 14 ((2 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → (2↑𝑛) ∈ ℕ)
20469, 202, 203sylancr 587 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ0) → (2↑𝑛) ∈ ℕ)
205204nnred 12168 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ0) → (2↑𝑛) ∈ ℝ)
206 fveq2 6842 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑘 = (2↑𝑛) → (𝐹𝑘) = (𝐹‘(2↑𝑛)))
207206eleq1d 2822 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑘 = (2↑𝑛) → ((𝐹𝑘) ∈ ℝ ↔ (𝐹‘(2↑𝑛)) ∈ ℝ))
20840adantr 481 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ0) → ∀𝑘 ∈ ℕ (𝐹𝑘) ∈ ℝ)
209207, 208, 204rspcdva 3582 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ0) → (𝐹‘(2↑𝑛)) ∈ ℝ)
210205, 209remulcld 11185 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ0) → ((2↑𝑛) · (𝐹‘(2↑𝑛))) ∈ ℝ)
21160, 210eqeltrd 2838 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ0) → (𝐺𝑛) ∈ ℝ)
212200, 201, 211serfre 13937 . . . . . . . . 9 (𝜑 → seq0( + , 𝐺):ℕ0⟶ℝ)
213212ffvelcdmda 7035 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑗 ∈ ℕ0) → (seq0( + , 𝐺)‘𝑗) ∈ ℝ)
214135, 81remulcld 11185 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑗 ∈ ℕ0) → ((2↑(𝑗 + 1)) · (𝐹‘(2↑(𝑗 + 1)))) ∈ ℝ)
215190, 214eqeltrd 2838 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑗 ∈ ℕ0) → (𝐺‘(𝑗 + 1)) ∈ ℝ)
216 le2add 11637 . . . . . . . 8 (((Σ𝑘 ∈ (1...((2↑(𝑗 + 1)) − 1))(𝐹𝑘) ∈ ℝ ∧ Σ𝑘 ∈ ((2↑(𝑗 + 1))...((2↑((𝑗 + 1) + 1)) − 1))(𝐹𝑘) ∈ ℝ) ∧ ((seq0( + , 𝐺)‘𝑗) ∈ ℝ ∧ (𝐺‘(𝑗 + 1)) ∈ ℝ)) → ((Σ𝑘 ∈ (1...((2↑(𝑗 + 1)) − 1))(𝐹𝑘) ≤ (seq0( + , 𝐺)‘𝑗) ∧ Σ𝑘 ∈ ((2↑(𝑗 + 1))...((2↑((𝑗 + 1) + 1)) − 1))(𝐹𝑘) ≤ (𝐺‘(𝑗 + 1))) → (Σ𝑘 ∈ (1...((2↑(𝑗 + 1)) − 1))(𝐹𝑘) + Σ𝑘 ∈ ((2↑(𝑗 + 1))...((2↑((𝑗 + 1) + 1)) − 1))(𝐹𝑘)) ≤ ((seq0( + , 𝐺)‘𝑗) + (𝐺‘(𝑗 + 1)))))
217198, 199, 213, 215, 216syl22anc 837 . . . . . . 7 ((𝜑𝑗 ∈ ℕ0) → ((Σ𝑘 ∈ (1...((2↑(𝑗 + 1)) − 1))(𝐹𝑘) ≤ (seq0( + , 𝐺)‘𝑗) ∧ Σ𝑘 ∈ ((2↑(𝑗 + 1))...((2↑((𝑗 + 1) + 1)) − 1))(𝐹𝑘) ≤ (𝐺‘(𝑗 + 1))) → (Σ𝑘 ∈ (1...((2↑(𝑗 + 1)) − 1))(𝐹𝑘) + Σ𝑘 ∈ ((2↑(𝑗 + 1))...((2↑((𝑗 + 1) + 1)) − 1))(𝐹𝑘)) ≤ ((seq0( + , 𝐺)‘𝑗) + (𝐺‘(𝑗 + 1)))))
218195, 217mpan2d 692 . . . . . 6 ((𝜑𝑗 ∈ ℕ0) → (Σ𝑘 ∈ (1...((2↑(𝑗 + 1)) − 1))(𝐹𝑘) ≤ (seq0( + , 𝐺)‘𝑗) → (Σ𝑘 ∈ (1...((2↑(𝑗 + 1)) − 1))(𝐹𝑘) + Σ𝑘 ∈ ((2↑(𝑗 + 1))...((2↑((𝑗 + 1) + 1)) − 1))(𝐹𝑘)) ≤ ((seq0( + , 𝐺)‘𝑗) + (𝐺‘(𝑗 + 1)))))
219 eqidd 2737 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑗 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ (1...((2↑(𝑗 + 1)) − 1))) → (𝐹𝑘) = (𝐹𝑘))
22039recnd 11183 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → (𝐹𝑘) ∈ ℂ)
22168, 196, 220syl2an 596 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑗 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ (1...((2↑(𝑗 + 1)) − 1))) → (𝐹𝑘) ∈ ℂ)
222219, 126, 221fsumser 15615 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑗 ∈ ℕ0) → Σ𝑘 ∈ (1...((2↑(𝑗 + 1)) − 1))(𝐹𝑘) = (seq1( + , 𝐹)‘((2↑(𝑗 + 1)) − 1)))
223222eqcomd 2742 . . . . . . 7 ((𝜑𝑗 ∈ ℕ0) → (seq1( + , 𝐹)‘((2↑(𝑗 + 1)) − 1)) = Σ𝑘 ∈ (1...((2↑(𝑗 + 1)) − 1))(𝐹𝑘))
224223breq1d 5115 . . . . . 6 ((𝜑𝑗 ∈ ℕ0) → ((seq1( + , 𝐹)‘((2↑(𝑗 + 1)) − 1)) ≤ (seq0( + , 𝐺)‘𝑗) ↔ Σ𝑘 ∈ (1...((2↑(𝑗 + 1)) − 1))(𝐹𝑘) ≤ (seq0( + , 𝐺)‘𝑗)))
225 eqidd 2737 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑗 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ (1...((2↑((𝑗 + 1) + 1)) − 1))) → (𝐹𝑘) = (𝐹𝑘))
226 elfznn 13470 . . . . . . . . . 10 (𝑘 ∈ (1...((2↑((𝑗 + 1) + 1)) − 1)) → 𝑘 ∈ ℕ)
22768, 226, 220syl2an 596 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑗 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ (1...((2↑((𝑗 + 1) + 1)) − 1))) → (𝐹𝑘) ∈ ℂ)
228225, 166, 227fsumser 15615 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑗 ∈ ℕ0) → Σ𝑘 ∈ (1...((2↑((𝑗 + 1) + 1)) − 1))(𝐹𝑘) = (seq1( + , 𝐹)‘((2↑((𝑗 + 1) + 1)) − 1)))
229 fzfid 13878 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑗 ∈ ℕ0) → (1...((2↑((𝑗 + 1) + 1)) − 1)) ∈ Fin)
230178, 155, 229, 227fsumsplit 15626 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑗 ∈ ℕ0) → Σ𝑘 ∈ (1...((2↑((𝑗 + 1) + 1)) − 1))(𝐹𝑘) = (Σ𝑘 ∈ (1...((2↑(𝑗 + 1)) − 1))(𝐹𝑘) + Σ𝑘 ∈ ((2↑(𝑗 + 1))...((2↑((𝑗 + 1) + 1)) − 1))(𝐹𝑘)))
231228, 230eqtr3d 2778 . . . . . . 7 ((𝜑𝑗 ∈ ℕ0) → (seq1( + , 𝐹)‘((2↑((𝑗 + 1) + 1)) − 1)) = (Σ𝑘 ∈ (1...((2↑(𝑗 + 1)) − 1))(𝐹𝑘) + Σ𝑘 ∈ ((2↑(𝑗 + 1))...((2↑((𝑗 + 1) + 1)) − 1))(𝐹𝑘)))
232 simpr 485 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑗 ∈ ℕ0) → 𝑗 ∈ ℕ0)
233232, 200eleqtrdi 2848 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑗 ∈ ℕ0) → 𝑗 ∈ (ℤ‘0))
234 seqp1 13921 . . . . . . . 8 (𝑗 ∈ (ℤ‘0) → (seq0( + , 𝐺)‘(𝑗 + 1)) = ((seq0( + , 𝐺)‘𝑗) + (𝐺‘(𝑗 + 1))))
235233, 234syl 17 . . . . . . 7 ((𝜑𝑗 ∈ ℕ0) → (seq0( + , 𝐺)‘(𝑗 + 1)) = ((seq0( + , 𝐺)‘𝑗) + (𝐺‘(𝑗 + 1))))
236231, 235breq12d 5118 . . . . . 6 ((𝜑𝑗 ∈ ℕ0) → ((seq1( + , 𝐹)‘((2↑((𝑗 + 1) + 1)) − 1)) ≤ (seq0( + , 𝐺)‘(𝑗 + 1)) ↔ (Σ𝑘 ∈ (1...((2↑(𝑗 + 1)) − 1))(𝐹𝑘) + Σ𝑘 ∈ ((2↑(𝑗 + 1))...((2↑((𝑗 + 1) + 1)) − 1))(𝐹𝑘)) ≤ ((seq0( + , 𝐺)‘𝑗) + (𝐺‘(𝑗 + 1)))))
237218, 224, 2363imtr4d 293 . . . . 5 ((𝜑𝑗 ∈ ℕ0) → ((seq1( + , 𝐹)‘((2↑(𝑗 + 1)) − 1)) ≤ (seq0( + , 𝐺)‘𝑗) → (seq1( + , 𝐹)‘((2↑((𝑗 + 1) + 1)) − 1)) ≤ (seq0( + , 𝐺)‘(𝑗 + 1))))
238237expcom 414 . . . 4 (𝑗 ∈ ℕ0 → (𝜑 → ((seq1( + , 𝐹)‘((2↑(𝑗 + 1)) − 1)) ≤ (seq0( + , 𝐺)‘𝑗) → (seq1( + , 𝐹)‘((2↑((𝑗 + 1) + 1)) − 1)) ≤ (seq0( + , 𝐺)‘(𝑗 + 1)))))
239238a2d 29 . . 3 (𝑗 ∈ ℕ0 → ((𝜑 → (seq1( + , 𝐹)‘((2↑(𝑗 + 1)) − 1)) ≤ (seq0( + , 𝐺)‘𝑗)) → (𝜑 → (seq1( + , 𝐹)‘((2↑((𝑗 + 1) + 1)) − 1)) ≤ (seq0( + , 𝐺)‘(𝑗 + 1)))))
24018, 24, 30, 36, 66, 239nn0ind 12598 . 2 (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝜑 → (seq1( + , 𝐹)‘((2↑(𝑁 + 1)) − 1)) ≤ (seq0( + , 𝐺)‘𝑁)))
241240impcom 408 1 ((𝜑𝑁 ∈ ℕ0) → (seq1( + , 𝐹)‘((2↑(𝑁 + 1)) − 1)) ≤ (seq0( + , 𝐺)‘𝑁))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 396   = wceq 1541  wcel 2106  wral 3064  cun 3908  cin 3909  c0 4282   class class class wbr 5105  cfv 6496  (class class class)co 7357  Fincfn 8883  cc 11049  cr 11050  0cc0 11051  1c1 11052   + caddc 11054   · cmul 11056   < clt 11189  cle 11190  cmin 11385  cn 12153  2c2 12208  0cn0 12413  cz 12499  cuz 12763  ...cfz 13424  seqcseq 13906  cexp 13967  chash 14230  Σcsu 15570
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-rep 5242  ax-sep 5256  ax-nul 5263  ax-pow 5320  ax-pr 5384  ax-un 7672  ax-inf2 9577  ax-cnex 11107  ax-resscn 11108  ax-1cn 11109  ax-icn 11110  ax-addcl 11111  ax-addrcl 11112  ax-mulcl 11113  ax-mulrcl 11114  ax-mulcom 11115  ax-addass 11116  ax-mulass 11117  ax-distr 11118  ax-i2m1 11119  ax-1ne0 11120  ax-1rid 11121  ax-rnegex 11122  ax-rrecex 11123  ax-cnre 11124  ax-pre-lttri 11125  ax-pre-lttrn 11126  ax-pre-ltadd 11127  ax-pre-mulgt0 11128  ax-pre-sup 11129
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3065  df-rex 3074  df-rmo 3353  df-reu 3354  df-rab 3408  df-v 3447  df-sbc 3740  df-csb 3856  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-pss 3929  df-nul 4283  df-if 4487  df-pw 4562  df-sn 4587  df-pr 4589  df-op 4593  df-uni 4866  df-int 4908  df-iun 4956  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5189  df-tr 5223  df-id 5531  df-eprel 5537  df-po 5545  df-so 5546  df-fr 5588  df-se 5589  df-we 5590  df-xp 5639  df-rel 5640  df-cnv 5641  df-co 5642  df-dm 5643  df-rn 5644  df-res 5645  df-ima 5646  df-pred 6253  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6498  df-fn 6499  df-f 6500  df-f1 6501  df-fo 6502  df-f1o 6503  df-fv 6504  df-isom 6505  df-riota 7313  df-ov 7360  df-oprab 7361  df-mpo 7362  df-om 7803  df-1st 7921  df-2nd 7922  df-frecs 8212  df-wrecs 8243  df-recs 8317  df-rdg 8356  df-1o 8412  df-oadd 8416  df-er 8648  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-fin 8887  df-sup 9378  df-oi 9446  df-dju 9837  df-card 9875  df-pnf 11191  df-mnf 11192  df-xr 11193  df-ltxr 11194  df-le 11195  df-sub 11387  df-neg 11388  df-div 11813  df-nn 12154  df-2 12216  df-3 12217  df-n0 12414  df-z 12500  df-uz 12764  df-rp 12916  df-ico 13270  df-fz 13425  df-fzo 13568  df-seq 13907  df-exp 13968  df-hash 14231  df-cj 14984  df-re 14985  df-im 14986  df-sqrt 15120  df-abs 15121  df-clim 15370  df-sum 15571
This theorem is referenced by:  climcnds  15736
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