Home | Metamath
Proof Explorer Theorem List (p. 125 of 468) | < Previous Next > |
Bad symbols? Try the
GIF version. |
||
Mirrors > Metamath Home Page > MPE Home Page > Theorem List Contents > Recent Proofs This page: Page List |
Color key: | Metamath Proof Explorer
(1-29329) |
Hilbert Space Explorer
(29330-30852) |
Users' Mathboxes
(30853-46765) |
Type | Label | Description |
---|---|---|
Statement | ||
Theorem | 1zzd 12401 | One is an integer, deduction form. (Contributed by David A. Wheeler, 6-Dec-2018.) |
โข (๐ โ 1 โ โค) | ||
Theorem | 2z 12402 | 2 is an integer. (Contributed by NM, 10-May-2004.) |
โข 2 โ โค | ||
Theorem | 3z 12403 | 3 is an integer. (Contributed by David A. Wheeler, 8-Dec-2018.) |
โข 3 โ โค | ||
Theorem | 4z 12404 | 4 is an integer. (Contributed by BJ, 26-Mar-2020.) |
โข 4 โ โค | ||
Theorem | znegcl 12405 | Closure law for negative integers. (Contributed by NM, 9-May-2004.) |
โข (๐ โ โค โ -๐ โ โค) | ||
Theorem | neg1z 12406 | -1 is an integer. (Contributed by David A. Wheeler, 5-Dec-2018.) |
โข -1 โ โค | ||
Theorem | znegclb 12407 | A complex number is an integer iff its negative is. (Contributed by Stefan O'Rear, 13-Sep-2014.) |
โข (๐ด โ โ โ (๐ด โ โค โ -๐ด โ โค)) | ||
Theorem | nn0negz 12408 | The negative of a nonnegative integer is an integer. (Contributed by NM, 9-May-2004.) |
โข (๐ โ โ0 โ -๐ โ โค) | ||
Theorem | nn0negzi 12409 | The negative of a nonnegative integer is an integer. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Feb-2014.) |
โข ๐ โ โ0 โ โข -๐ โ โค | ||
Theorem | zaddcl 12410 | Closure of addition of integers. (Contributed by NM, 9-May-2004.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 16-May-2014.) |
โข ((๐ โ โค โง ๐ โ โค) โ (๐ + ๐) โ โค) | ||
Theorem | peano2z 12411 | Second Peano postulate generalized to integers. (Contributed by NM, 13-Feb-2005.) |
โข (๐ โ โค โ (๐ + 1) โ โค) | ||
Theorem | zsubcl 12412 | Closure of subtraction of integers. (Contributed by NM, 11-May-2004.) |
โข ((๐ โ โค โง ๐ โ โค) โ (๐ โ ๐) โ โค) | ||
Theorem | peano2zm 12413 | "Reverse" second Peano postulate for integers. (Contributed by NM, 12-Sep-2005.) |
โข (๐ โ โค โ (๐ โ 1) โ โค) | ||
Theorem | zletr 12414 | Transitive law of ordering for integers. (Contributed by Alexander van der Vekens, 3-Apr-2018.) |
โข ((๐ฝ โ โค โง ๐พ โ โค โง ๐ฟ โ โค) โ ((๐ฝ โค ๐พ โง ๐พ โค ๐ฟ) โ ๐ฝ โค ๐ฟ)) | ||
Theorem | zrevaddcl 12415 | Reverse closure law for addition of integers. (Contributed by NM, 11-May-2004.) |
โข (๐ โ โค โ ((๐ โ โ โง (๐ + ๐) โ โค) โ ๐ โ โค)) | ||
Theorem | znnsub 12416 | The positive difference of unequal integers is a positive integer. (Generalization of nnsub 12067.) (Contributed by NM, 11-May-2004.) |
โข ((๐ โ โค โง ๐ โ โค) โ (๐ < ๐ โ (๐ โ ๐) โ โ)) | ||
Theorem | znn0sub 12417 | The nonnegative difference of integers is a nonnegative integer. (Generalization of nn0sub 12333.) (Contributed by NM, 14-Jul-2005.) |
โข ((๐ โ โค โง ๐ โ โค) โ (๐ โค ๐ โ (๐ โ ๐) โ โ0)) | ||
Theorem | nzadd 12418 | The sum of a real number not being an integer and an integer is not an integer. (Contributed by AV, 19-Jul-2021.) |
โข ((๐ด โ (โ โ โค) โง ๐ต โ โค) โ (๐ด + ๐ต) โ (โ โ โค)) | ||
Theorem | zmulcl 12419 | Closure of multiplication of integers. (Contributed by NM, 30-Jul-2004.) |
โข ((๐ โ โค โง ๐ โ โค) โ (๐ ยท ๐) โ โค) | ||
Theorem | zltp1le 12420 | Integer ordering relation. (Contributed by NM, 10-May-2004.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 16-May-2014.) |
โข ((๐ โ โค โง ๐ โ โค) โ (๐ < ๐ โ (๐ + 1) โค ๐)) | ||
Theorem | zleltp1 12421 | Integer ordering relation. (Contributed by NM, 10-May-2004.) |
โข ((๐ โ โค โง ๐ โ โค) โ (๐ โค ๐ โ ๐ < (๐ + 1))) | ||
Theorem | zlem1lt 12422 | Integer ordering relation. (Contributed by NM, 13-Nov-2004.) |
โข ((๐ โ โค โง ๐ โ โค) โ (๐ โค ๐ โ (๐ โ 1) < ๐)) | ||
Theorem | zltlem1 12423 | Integer ordering relation. (Contributed by NM, 13-Nov-2004.) |
โข ((๐ โ โค โง ๐ โ โค) โ (๐ < ๐ โ ๐ โค (๐ โ 1))) | ||
Theorem | zgt0ge1 12424 | An integer greater than 0 is greater than or equal to 1. (Contributed by AV, 14-Oct-2018.) |
โข (๐ โ โค โ (0 < ๐ โ 1 โค ๐)) | ||
Theorem | nnleltp1 12425 | Positive integer ordering relation. (Contributed by NM, 13-Aug-2001.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 16-May-2014.) |
โข ((๐ด โ โ โง ๐ต โ โ) โ (๐ด โค ๐ต โ ๐ด < (๐ต + 1))) | ||
Theorem | nnltp1le 12426 | Positive integer ordering relation. (Contributed by NM, 19-Aug-2001.) |
โข ((๐ด โ โ โง ๐ต โ โ) โ (๐ด < ๐ต โ (๐ด + 1) โค ๐ต)) | ||
Theorem | nnaddm1cl 12427 | Closure of addition of positive integers minus one. (Contributed by NM, 6-Aug-2003.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 16-May-2014.) |
โข ((๐ด โ โ โง ๐ต โ โ) โ ((๐ด + ๐ต) โ 1) โ โ) | ||
Theorem | nn0ltp1le 12428 | Nonnegative integer ordering relation. (Contributed by Raph Levien, 10-Dec-2002.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 16-May-2014.) |
โข ((๐ โ โ0 โง ๐ โ โ0) โ (๐ < ๐ โ (๐ + 1) โค ๐)) | ||
Theorem | nn0leltp1 12429 | Nonnegative integer ordering relation. (Contributed by Raph Levien, 10-Apr-2004.) |
โข ((๐ โ โ0 โง ๐ โ โ0) โ (๐ โค ๐ โ ๐ < (๐ + 1))) | ||
Theorem | nn0ltlem1 12430 | Nonnegative integer ordering relation. (Contributed by NM, 10-May-2004.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 16-May-2014.) |
โข ((๐ โ โ0 โง ๐ โ โ0) โ (๐ < ๐ โ ๐ โค (๐ โ 1))) | ||
Theorem | nn0sub2 12431 | Subtraction of nonnegative integers. (Contributed by NM, 4-Sep-2005.) |
โข ((๐ โ โ0 โง ๐ โ โ0 โง ๐ โค ๐) โ (๐ โ ๐) โ โ0) | ||
Theorem | nn0lt10b 12432 | A nonnegative integer less than 1 is 0. (Contributed by Paul Chapman, 22-Jun-2011.) (Proof shortened by OpenAI, 25-Mar-2020.) |
โข (๐ โ โ0 โ (๐ < 1 โ ๐ = 0)) | ||
Theorem | nn0lt2 12433 | A nonnegative integer less than 2 must be 0 or 1. (Contributed by Alexander van der Vekens, 16-Sep-2018.) |
โข ((๐ โ โ0 โง ๐ < 2) โ (๐ = 0 โจ ๐ = 1)) | ||
Theorem | nn0le2is012 12434 | A nonnegative integer which is less than or equal to 2 is either 0 or 1 or 2. (Contributed by AV, 16-Mar-2019.) |
โข ((๐ โ โ0 โง ๐ โค 2) โ (๐ = 0 โจ ๐ = 1 โจ ๐ = 2)) | ||
Theorem | nn0lem1lt 12435 | Nonnegative integer ordering relation. (Contributed by NM, 21-Jun-2005.) |
โข ((๐ โ โ0 โง ๐ โ โ0) โ (๐ โค ๐ โ (๐ โ 1) < ๐)) | ||
Theorem | nnlem1lt 12436 | Positive integer ordering relation. (Contributed by NM, 21-Jun-2005.) |
โข ((๐ โ โ โง ๐ โ โ) โ (๐ โค ๐ โ (๐ โ 1) < ๐)) | ||
Theorem | nnltlem1 12437 | Positive integer ordering relation. (Contributed by NM, 21-Jun-2005.) |
โข ((๐ โ โ โง ๐ โ โ) โ (๐ < ๐ โ ๐ โค (๐ โ 1))) | ||
Theorem | nnm1ge0 12438 | A positive integer decreased by 1 is greater than or equal to 0. (Contributed by AV, 30-Oct-2018.) |
โข (๐ โ โ โ 0 โค (๐ โ 1)) | ||
Theorem | nn0ge0div 12439 | Division of a nonnegative integer by a positive number is not negative. (Contributed by Alexander van der Vekens, 14-Apr-2018.) |
โข ((๐พ โ โ0 โง ๐ฟ โ โ) โ 0 โค (๐พ / ๐ฟ)) | ||
Theorem | zdiv 12440* | Two ways to express "๐ divides ๐. (Contributed by NM, 3-Oct-2008.) |
โข ((๐ โ โ โง ๐ โ โค) โ (โ๐ โ โค (๐ ยท ๐) = ๐ โ (๐ / ๐) โ โค)) | ||
Theorem | zdivadd 12441 | Property of divisibility: if ๐ท divides ๐ด and ๐ต then it divides ๐ด + ๐ต. (Contributed by NM, 3-Oct-2008.) |
โข (((๐ท โ โ โง ๐ด โ โค โง ๐ต โ โค) โง ((๐ด / ๐ท) โ โค โง (๐ต / ๐ท) โ โค)) โ ((๐ด + ๐ต) / ๐ท) โ โค) | ||
Theorem | zdivmul 12442 | Property of divisibility: if ๐ท divides ๐ด then it divides ๐ต ยท ๐ด. (Contributed by NM, 3-Oct-2008.) |
โข (((๐ท โ โ โง ๐ด โ โค โง ๐ต โ โค) โง (๐ด / ๐ท) โ โค) โ ((๐ต ยท ๐ด) / ๐ท) โ โค) | ||
Theorem | zextle 12443* | An extensionality-like property for integer ordering. (Contributed by NM, 29-Oct-2005.) |
โข ((๐ โ โค โง ๐ โ โค โง โ๐ โ โค (๐ โค ๐ โ ๐ โค ๐)) โ ๐ = ๐) | ||
Theorem | zextlt 12444* | An extensionality-like property for integer ordering. (Contributed by NM, 29-Oct-2005.) |
โข ((๐ โ โค โง ๐ โ โค โง โ๐ โ โค (๐ < ๐ โ ๐ < ๐)) โ ๐ = ๐) | ||
Theorem | recnz 12445 | The reciprocal of a number greater than 1 is not an integer. (Contributed by NM, 3-May-2005.) |
โข ((๐ด โ โ โง 1 < ๐ด) โ ยฌ (1 / ๐ด) โ โค) | ||
Theorem | btwnnz 12446 | A number between an integer and its successor is not an integer. (Contributed by NM, 3-May-2005.) |
โข ((๐ด โ โค โง ๐ด < ๐ต โง ๐ต < (๐ด + 1)) โ ยฌ ๐ต โ โค) | ||
Theorem | gtndiv 12447 | A larger number does not divide a smaller positive integer. (Contributed by NM, 3-May-2005.) |
โข ((๐ด โ โ โง ๐ต โ โ โง ๐ต < ๐ด) โ ยฌ (๐ต / ๐ด) โ โค) | ||
Theorem | halfnz 12448 | One-half is not an integer. (Contributed by NM, 31-Jul-2004.) |
โข ยฌ (1 / 2) โ โค | ||
Theorem | 3halfnz 12449 | Three halves is not an integer. (Contributed by AV, 2-Jun-2020.) |
โข ยฌ (3 / 2) โ โค | ||
Theorem | suprzcl 12450* | The supremum of a bounded-above set of integers is a member of the set. (Contributed by Paul Chapman, 21-Mar-2011.) (Revised by Mario Carneiro, 26-Jun-2015.) |
โข ((๐ด โ โค โง ๐ด โ โ โง โ๐ฅ โ โ โ๐ฆ โ ๐ด ๐ฆ โค ๐ฅ) โ sup(๐ด, โ, < ) โ ๐ด) | ||
Theorem | prime 12451* | Two ways to express "๐ด is a prime number (or 1)". See also isprm 16427. (Contributed by NM, 4-May-2005.) |
โข (๐ด โ โ โ (โ๐ฅ โ โ ((๐ด / ๐ฅ) โ โ โ (๐ฅ = 1 โจ ๐ฅ = ๐ด)) โ โ๐ฅ โ โ ((1 < ๐ฅ โง ๐ฅ โค ๐ด โง (๐ด / ๐ฅ) โ โ) โ ๐ฅ = ๐ด))) | ||
Theorem | msqznn 12452 | The square of a nonzero integer is a positive integer. (Contributed by NM, 2-Aug-2004.) |
โข ((๐ด โ โค โง ๐ด โ 0) โ (๐ด ยท ๐ด) โ โ) | ||
Theorem | zneo 12453 | No even integer equals an odd integer (i.e. no integer can be both even and odd). Exercise 10(a) of [Apostol] p. 28. (Contributed by NM, 31-Jul-2004.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 18-May-2014.) |
โข ((๐ด โ โค โง ๐ต โ โค) โ (2 ยท ๐ด) โ ((2 ยท ๐ต) + 1)) | ||
Theorem | nneo 12454 | A positive integer is even or odd but not both. (Contributed by NM, 1-Jan-2006.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 18-May-2014.) |
โข (๐ โ โ โ ((๐ / 2) โ โ โ ยฌ ((๐ + 1) / 2) โ โ)) | ||
Theorem | nneoi 12455 | A positive integer is even or odd but not both. (Contributed by NM, 20-Aug-2001.) |
โข ๐ โ โ โ โข ((๐ / 2) โ โ โ ยฌ ((๐ + 1) / 2) โ โ) | ||
Theorem | zeo 12456 | An integer is even or odd. (Contributed by NM, 1-Jan-2006.) |
โข (๐ โ โค โ ((๐ / 2) โ โค โจ ((๐ + 1) / 2) โ โค)) | ||
Theorem | zeo2 12457 | An integer is even or odd but not both. (Contributed by Mario Carneiro, 12-Sep-2015.) |
โข (๐ โ โค โ ((๐ / 2) โ โค โ ยฌ ((๐ + 1) / 2) โ โค)) | ||
Theorem | peano2uz2 12458* | Second Peano postulate for upper integers. (Contributed by NM, 3-Oct-2004.) |
โข ((๐ด โ โค โง ๐ต โ {๐ฅ โ โค โฃ ๐ด โค ๐ฅ}) โ (๐ต + 1) โ {๐ฅ โ โค โฃ ๐ด โค ๐ฅ}) | ||
Theorem | peano5uzi 12459* | Peano's inductive postulate for upper integers. (Contributed by NM, 6-Jul-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 3-May-2014.) |
โข ๐ โ โค โ โข ((๐ โ ๐ด โง โ๐ฅ โ ๐ด (๐ฅ + 1) โ ๐ด) โ {๐ โ โค โฃ ๐ โค ๐} โ ๐ด) | ||
Theorem | peano5uzti 12460* | Peano's inductive postulate for upper integers. (Contributed by NM, 6-Jul-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 25-Jul-2013.) |
โข (๐ โ โค โ ((๐ โ ๐ด โง โ๐ฅ โ ๐ด (๐ฅ + 1) โ ๐ด) โ {๐ โ โค โฃ ๐ โค ๐} โ ๐ด)) | ||
Theorem | dfuzi 12461* | An expression for the upper integers that start at ๐ that is analogous to dfnn2 12036 for positive integers. (Contributed by NM, 6-Jul-2005.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 3-May-2014.) |
โข ๐ โ โค โ โข {๐ง โ โค โฃ ๐ โค ๐ง} = โฉ {๐ฅ โฃ (๐ โ ๐ฅ โง โ๐ฆ โ ๐ฅ (๐ฆ + 1) โ ๐ฅ)} | ||
Theorem | uzind 12462* | Induction on the upper integers that start at ๐. The first four hypotheses give us the substitution instances we need; the last two are the basis and the induction step. (Contributed by NM, 5-Jul-2005.) |
โข (๐ = ๐ โ (๐ โ ๐)) & โข (๐ = ๐ โ (๐ โ ๐)) & โข (๐ = (๐ + 1) โ (๐ โ ๐)) & โข (๐ = ๐ โ (๐ โ ๐)) & โข (๐ โ โค โ ๐) & โข ((๐ โ โค โง ๐ โ โค โง ๐ โค ๐) โ (๐ โ ๐)) โ โข ((๐ โ โค โง ๐ โ โค โง ๐ โค ๐) โ ๐) | ||
Theorem | uzind2 12463* | Induction on the upper integers that start after an integer ๐. The first four hypotheses give us the substitution instances we need; the last two are the basis and the induction step. (Contributed by NM, 25-Jul-2005.) |
โข (๐ = (๐ + 1) โ (๐ โ ๐)) & โข (๐ = ๐ โ (๐ โ ๐)) & โข (๐ = (๐ + 1) โ (๐ โ ๐)) & โข (๐ = ๐ โ (๐ โ ๐)) & โข (๐ โ โค โ ๐) & โข ((๐ โ โค โง ๐ โ โค โง ๐ < ๐) โ (๐ โ ๐)) โ โข ((๐ โ โค โง ๐ โ โค โง ๐ < ๐) โ ๐) | ||
Theorem | uzind3 12464* | Induction on the upper integers that start at an integer ๐. The first four hypotheses give us the substitution instances we need, and the last two are the basis and the induction step. (Contributed by NM, 26-Jul-2005.) |
โข (๐ = ๐ โ (๐ โ ๐)) & โข (๐ = ๐ โ (๐ โ ๐)) & โข (๐ = (๐ + 1) โ (๐ โ ๐)) & โข (๐ = ๐ โ (๐ โ ๐)) & โข (๐ โ โค โ ๐) & โข ((๐ โ โค โง ๐ โ {๐ โ โค โฃ ๐ โค ๐}) โ (๐ โ ๐)) โ โข ((๐ โ โค โง ๐ โ {๐ โ โค โฃ ๐ โค ๐}) โ ๐) | ||
Theorem | nn0ind 12465* | Principle of Mathematical Induction (inference schema) on nonnegative integers. The first four hypotheses give us the substitution instances we need; the last two are the basis and the induction step. (Contributed by NM, 13-May-2004.) |
โข (๐ฅ = 0 โ (๐ โ ๐)) & โข (๐ฅ = ๐ฆ โ (๐ โ ๐)) & โข (๐ฅ = (๐ฆ + 1) โ (๐ โ ๐)) & โข (๐ฅ = ๐ด โ (๐ โ ๐)) & โข ๐ & โข (๐ฆ โ โ0 โ (๐ โ ๐)) โ โข (๐ด โ โ0 โ ๐) | ||
Theorem | nn0indALT 12466* | Principle of Mathematical Induction (inference schema) on nonnegative integers. The last four hypotheses give us the substitution instances we need; the first two are the basis and the induction step. Either nn0ind 12465 or nn0indALT 12466 may be used; see comment for nnind 12041. (Contributed by NM, 28-Nov-2005.) (New usage is discouraged.) (Proof modification is discouraged.) |
โข (๐ฆ โ โ0 โ (๐ โ ๐)) & โข ๐ & โข (๐ฅ = 0 โ (๐ โ ๐)) & โข (๐ฅ = ๐ฆ โ (๐ โ ๐)) & โข (๐ฅ = (๐ฆ + 1) โ (๐ โ ๐)) & โข (๐ฅ = ๐ด โ (๐ โ ๐)) โ โข (๐ด โ โ0 โ ๐) | ||
Theorem | nn0indd 12467* | Principle of Mathematical Induction (inference schema) on nonnegative integers, a deduction version. (Contributed by Thierry Arnoux, 23-Mar-2018.) |
โข (๐ฅ = 0 โ (๐ โ ๐)) & โข (๐ฅ = ๐ฆ โ (๐ โ ๐)) & โข (๐ฅ = (๐ฆ + 1) โ (๐ โ ๐)) & โข (๐ฅ = ๐ด โ (๐ โ ๐)) & โข (๐ โ ๐) & โข (((๐ โง ๐ฆ โ โ0) โง ๐) โ ๐) โ โข ((๐ โง ๐ด โ โ0) โ ๐) | ||
Theorem | fzind 12468* | Induction on the integers from ๐ to ๐ inclusive . The first four hypotheses give us the substitution instances we need; the last two are the basis and the induction step. (Contributed by Paul Chapman, 31-Mar-2011.) |
โข (๐ฅ = ๐ โ (๐ โ ๐)) & โข (๐ฅ = ๐ฆ โ (๐ โ ๐)) & โข (๐ฅ = (๐ฆ + 1) โ (๐ โ ๐)) & โข (๐ฅ = ๐พ โ (๐ โ ๐)) & โข ((๐ โ โค โง ๐ โ โค โง ๐ โค ๐) โ ๐) & โข (((๐ โ โค โง ๐ โ โค) โง (๐ฆ โ โค โง ๐ โค ๐ฆ โง ๐ฆ < ๐)) โ (๐ โ ๐)) โ โข (((๐ โ โค โง ๐ โ โค) โง (๐พ โ โค โง ๐ โค ๐พ โง ๐พ โค ๐)) โ ๐) | ||
Theorem | fnn0ind 12469* | Induction on the integers from 0 to ๐ inclusive. The first four hypotheses give us the substitution instances we need; the last two are the basis and the induction step. (Contributed by Paul Chapman, 31-Mar-2011.) |
โข (๐ฅ = 0 โ (๐ โ ๐)) & โข (๐ฅ = ๐ฆ โ (๐ โ ๐)) & โข (๐ฅ = (๐ฆ + 1) โ (๐ โ ๐)) & โข (๐ฅ = ๐พ โ (๐ โ ๐)) & โข (๐ โ โ0 โ ๐) & โข ((๐ โ โ0 โง ๐ฆ โ โ0 โง ๐ฆ < ๐) โ (๐ โ ๐)) โ โข ((๐ โ โ0 โง ๐พ โ โ0 โง ๐พ โค ๐) โ ๐) | ||
Theorem | nn0ind-raph 12470* | Principle of Mathematical Induction (inference schema) on nonnegative integers. The first four hypotheses give us the substitution instances we need; the last two are the basis and the induction step. Raph Levien remarks: "This seems a bit painful. I wonder if an explicit substitution version would be easier." (Contributed by Raph Levien, 10-Apr-2004.) |
โข (๐ฅ = 0 โ (๐ โ ๐)) & โข (๐ฅ = ๐ฆ โ (๐ โ ๐)) & โข (๐ฅ = (๐ฆ + 1) โ (๐ โ ๐)) & โข (๐ฅ = ๐ด โ (๐ โ ๐)) & โข ๐ & โข (๐ฆ โ โ0 โ (๐ โ ๐)) โ โข (๐ด โ โ0 โ ๐) | ||
Theorem | zindd 12471* | Principle of Mathematical Induction on all integers, deduction version. The first five hypotheses give the substitutions; the last three are the basis, the induction, and the extension to negative numbers. (Contributed by Paul Chapman, 17-Apr-2009.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 4-Jan-2017.) |
โข (๐ฅ = 0 โ (๐ โ ๐)) & โข (๐ฅ = ๐ฆ โ (๐ โ ๐)) & โข (๐ฅ = (๐ฆ + 1) โ (๐ โ ๐)) & โข (๐ฅ = -๐ฆ โ (๐ โ ๐)) & โข (๐ฅ = ๐ด โ (๐ โ ๐)) & โข (๐ โ ๐) & โข (๐ โ (๐ฆ โ โ0 โ (๐ โ ๐))) & โข (๐ โ (๐ฆ โ โ โ (๐ โ ๐))) โ โข (๐ โ (๐ด โ โค โ ๐)) | ||
Theorem | fzindd 12472* | Induction on the integers from M to N inclusive, a deduction version. (Contributed by metakunt, 12-May-2024.) |
โข (๐ฅ = ๐ โ (๐ โ ๐)) & โข (๐ฅ = ๐ฆ โ (๐ โ ๐)) & โข (๐ฅ = (๐ฆ + 1) โ (๐ โ ๐)) & โข (๐ฅ = ๐ด โ (๐ โ ๐)) & โข (๐ โ ๐) & โข ((๐ โง (๐ฆ โ โค โง ๐ โค ๐ฆ โง ๐ฆ < ๐) โง ๐) โ ๐) & โข (๐ โ ๐ โ โค) & โข (๐ โ ๐ โ โค) & โข (๐ โ ๐ โค ๐) โ โข ((๐ โง (๐ด โ โค โง ๐ โค ๐ด โง ๐ด โค ๐)) โ ๐) | ||
Theorem | btwnz 12473* | Any real number can be sandwiched between two integers. Exercise 2 of [Apostol] p. 28. (Contributed by NM, 10-Nov-2004.) |
โข (๐ด โ โ โ (โ๐ฅ โ โค ๐ฅ < ๐ด โง โ๐ฆ โ โค ๐ด < ๐ฆ)) | ||
Theorem | nn0zd 12474 | A positive integer is an integer. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.) |
โข (๐ โ ๐ด โ โ0) โ โข (๐ โ ๐ด โ โค) | ||
Theorem | nnzd 12475 | A nonnegative integer is an integer. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.) |
โข (๐ โ ๐ด โ โ) โ โข (๐ โ ๐ด โ โค) | ||
Theorem | zred 12476 | An integer is a real number. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.) |
โข (๐ โ ๐ด โ โค) โ โข (๐ โ ๐ด โ โ) | ||
Theorem | zcnd 12477 | An integer is a complex number. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.) |
โข (๐ โ ๐ด โ โค) โ โข (๐ โ ๐ด โ โ) | ||
Theorem | znegcld 12478 | Closure law for negative integers. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.) |
โข (๐ โ ๐ด โ โค) โ โข (๐ โ -๐ด โ โค) | ||
Theorem | peano2zd 12479 | Deduction from second Peano postulate generalized to integers. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.) |
โข (๐ โ ๐ด โ โค) โ โข (๐ โ (๐ด + 1) โ โค) | ||
Theorem | zaddcld 12480 | Closure of addition of integers. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.) |
โข (๐ โ ๐ด โ โค) & โข (๐ โ ๐ต โ โค) โ โข (๐ โ (๐ด + ๐ต) โ โค) | ||
Theorem | zsubcld 12481 | Closure of subtraction of integers. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.) |
โข (๐ โ ๐ด โ โค) & โข (๐ โ ๐ต โ โค) โ โข (๐ โ (๐ด โ ๐ต) โ โค) | ||
Theorem | zmulcld 12482 | Closure of multiplication of integers. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.) |
โข (๐ โ ๐ด โ โค) & โข (๐ โ ๐ต โ โค) โ โข (๐ โ (๐ด ยท ๐ต) โ โค) | ||
Theorem | znnn0nn 12483 | The negative of a negative integer, is a natural number. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.) |
โข ((๐ โ โค โง ยฌ ๐ โ โ0) โ -๐ โ โ) | ||
Theorem | zadd2cl 12484 | Increasing an integer by 2 results in an integer. (Contributed by Alexander van der Vekens, 16-Sep-2018.) |
โข (๐ โ โค โ (๐ + 2) โ โค) | ||
Theorem | zriotaneg 12485* | The negative of the unique integer such that ๐. (Contributed by AV, 1-Dec-2018.) |
โข (๐ฅ = -๐ฆ โ (๐ โ ๐)) โ โข (โ!๐ฅ โ โค ๐ โ (โฉ๐ฅ โ โค ๐) = -(โฉ๐ฆ โ โค ๐)) | ||
Theorem | suprfinzcl 12486 | The supremum of a nonempty finite set of integers is a member of the set. (Contributed by AV, 1-Oct-2019.) |
โข ((๐ด โ โค โง ๐ด โ โ โง ๐ด โ Fin) โ sup(๐ด, โ, < ) โ ๐ด) | ||
Syntax | cdc 12487 | Constant used for decimal constructor. |
class ;๐ด๐ต | ||
Definition | df-dec 12488 | Define the "decimal constructor", which is used to build up "decimal integers" or "numeric terms" in base 10. For example, (;;;1000 + ;;;2000) = ;;;3000 1kp2ke3k 28859. (Contributed by Mario Carneiro, 17-Apr-2015.) (Revised by AV, 1-Aug-2021.) |
โข ;๐ด๐ต = (((9 + 1) ยท ๐ด) + ๐ต) | ||
Theorem | 9p1e10 12489 | 9 + 1 = 10. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Apr-2015.) (Revised by Stanislas Polu, 7-Apr-2020.) (Revised by AV, 1-Aug-2021.) |
โข (9 + 1) = ;10 | ||
Theorem | dfdec10 12490 | Version of the definition of the "decimal constructor" using ;10 instead of the symbol 10. Of course, this statement cannot be used as definition, because it uses the "decimal constructor". (Contributed by AV, 1-Aug-2021.) |
โข ;๐ด๐ต = ((;10 ยท ๐ด) + ๐ต) | ||
Theorem | decex 12491 | A decimal number is a set. (Contributed by Mario Carneiro, 17-Apr-2015.) (Revised by AV, 6-Sep-2021.) |
โข ;๐ด๐ต โ V | ||
Theorem | deceq1 12492 | Equality theorem for the decimal constructor. (Contributed by Mario Carneiro, 17-Apr-2015.) (Revised by AV, 6-Sep-2021.) |
โข (๐ด = ๐ต โ ;๐ด๐ถ = ;๐ต๐ถ) | ||
Theorem | deceq2 12493 | Equality theorem for the decimal constructor. (Contributed by Mario Carneiro, 17-Apr-2015.) (Revised by AV, 6-Sep-2021.) |
โข (๐ด = ๐ต โ ;๐ถ๐ด = ;๐ถ๐ต) | ||
Theorem | deceq1i 12494 | Equality theorem for the decimal constructor. (Contributed by Mario Carneiro, 17-Apr-2015.) |
โข ๐ด = ๐ต โ โข ;๐ด๐ถ = ;๐ต๐ถ | ||
Theorem | deceq2i 12495 | Equality theorem for the decimal constructor. (Contributed by Mario Carneiro, 17-Apr-2015.) |
โข ๐ด = ๐ต โ โข ;๐ถ๐ด = ;๐ถ๐ต | ||
Theorem | deceq12i 12496 | Equality theorem for the decimal constructor. (Contributed by Mario Carneiro, 17-Apr-2015.) |
โข ๐ด = ๐ต & โข ๐ถ = ๐ท โ โข ;๐ด๐ถ = ;๐ต๐ท | ||
Theorem | numnncl 12497 | Closure for a numeral (with units place). (Contributed by Mario Carneiro, 18-Feb-2014.) |
โข ๐ โ โ0 & โข ๐ด โ โ0 & โข ๐ต โ โ โ โข ((๐ ยท ๐ด) + ๐ต) โ โ | ||
Theorem | num0u 12498 | Add a zero in the units place. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Feb-2014.) |
โข ๐ โ โ0 & โข ๐ด โ โ0 โ โข (๐ ยท ๐ด) = ((๐ ยท ๐ด) + 0) | ||
Theorem | num0h 12499 | Add a zero in the higher places. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Feb-2014.) |
โข ๐ โ โ0 & โข ๐ด โ โ0 โ โข ๐ด = ((๐ ยท 0) + ๐ด) | ||
Theorem | numcl 12500 | Closure for a decimal integer (with units place). (Contributed by Mario Carneiro, 18-Feb-2014.) |
โข ๐ โ โ0 & โข ๐ด โ โ0 & โข ๐ต โ โ0 โ โข ((๐ ยท ๐ด) + ๐ต) โ โ0 |
< Previous Next > |
Copyright terms: Public domain | < Previous Next > |