Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  chordthmlem4 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem chordthmlem4 25425
 Description: If P is on the segment AB and M is the midpoint of AB, then PA · PB = BM 2 − PM 2 . If all lengths are reexpressed as fractions of AB, this reduces to the identity 𝑋 · (1 − 𝑋) = (1 / 2) 2 − ((1 / 2) − 𝑋) 2 . (Contributed by David Moews, 28-Feb-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
chordthmlem4.A (𝜑𝐴 ∈ ℂ)
chordthmlem4.B (𝜑𝐵 ∈ ℂ)
chordthmlem4.X (𝜑𝑋 ∈ (0[,]1))
chordthmlem4.M (𝜑𝑀 = ((𝐴 + 𝐵) / 2))
chordthmlem4.P (𝜑𝑃 = ((𝑋 · 𝐴) + ((1 − 𝑋) · 𝐵)))
Assertion
Ref Expression
chordthmlem4 (𝜑 → ((abs‘(𝑃𝐴)) · (abs‘(𝑃𝐵))) = (((abs‘(𝐵𝑀))↑2) − ((abs‘(𝑃𝑀))↑2)))

Proof of Theorem chordthmlem4
StepHypRef Expression
1 1red 10635 . . . . . . . 8 (𝜑 → 1 ∈ ℝ)
2 unitssre 12881 . . . . . . . . 9 (0[,]1) ⊆ ℝ
3 chordthmlem4.X . . . . . . . . 9 (𝜑𝑋 ∈ (0[,]1))
42, 3sseldi 3916 . . . . . . . 8 (𝜑𝑋 ∈ ℝ)
51, 4resubcld 11061 . . . . . . 7 (𝜑 → (1 − 𝑋) ∈ ℝ)
65recnd 10662 . . . . . 6 (𝜑 → (1 − 𝑋) ∈ ℂ)
76abscld 14792 . . . . 5 (𝜑 → (abs‘(1 − 𝑋)) ∈ ℝ)
87recnd 10662 . . . 4 (𝜑 → (abs‘(1 − 𝑋)) ∈ ℂ)
9 chordthmlem4.B . . . . . . 7 (𝜑𝐵 ∈ ℂ)
10 chordthmlem4.A . . . . . . 7 (𝜑𝐴 ∈ ℂ)
119, 10subcld 10990 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐵𝐴) ∈ ℂ)
1211abscld 14792 . . . . 5 (𝜑 → (abs‘(𝐵𝐴)) ∈ ℝ)
1312recnd 10662 . . . 4 (𝜑 → (abs‘(𝐵𝐴)) ∈ ℂ)
144recnd 10662 . . . . . 6 (𝜑𝑋 ∈ ℂ)
1514abscld 14792 . . . . 5 (𝜑 → (abs‘𝑋) ∈ ℝ)
1615recnd 10662 . . . 4 (𝜑 → (abs‘𝑋) ∈ ℂ)
178, 13, 16, 13mul4d 10845 . . 3 (𝜑 → (((abs‘(1 − 𝑋)) · (abs‘(𝐵𝐴))) · ((abs‘𝑋) · (abs‘(𝐵𝐴)))) = (((abs‘(1 − 𝑋)) · (abs‘𝑋)) · ((abs‘(𝐵𝐴)) · (abs‘(𝐵𝐴)))))
18 chordthmlem4.P . . . . . . 7 (𝜑𝑃 = ((𝑋 · 𝐴) + ((1 − 𝑋) · 𝐵)))
1914, 10mulcld 10654 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑋 · 𝐴) ∈ ℂ)
206, 9mulcld 10654 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((1 − 𝑋) · 𝐵) ∈ ℂ)
2119, 20addcld 10653 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((𝑋 · 𝐴) + ((1 − 𝑋) · 𝐵)) ∈ ℂ)
2218, 21eqeltrd 2893 . . . . . . . 8 (𝜑𝑃 ∈ ℂ)
2310, 22, 9, 14affineequiv2 25414 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑃 = ((𝑋 · 𝐴) + ((1 − 𝑋) · 𝐵)) ↔ (𝑃𝐴) = ((1 − 𝑋) · (𝐵𝐴))))
2418, 23mpbid 235 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑃𝐴) = ((1 − 𝑋) · (𝐵𝐴)))
2524fveq2d 6653 . . . . 5 (𝜑 → (abs‘(𝑃𝐴)) = (abs‘((1 − 𝑋) · (𝐵𝐴))))
266, 11absmuld 14810 . . . . 5 (𝜑 → (abs‘((1 − 𝑋) · (𝐵𝐴))) = ((abs‘(1 − 𝑋)) · (abs‘(𝐵𝐴))))
2725, 26eqtrd 2836 . . . 4 (𝜑 → (abs‘(𝑃𝐴)) = ((abs‘(1 − 𝑋)) · (abs‘(𝐵𝐴))))
2822, 9abssubd 14809 . . . . 5 (𝜑 → (abs‘(𝑃𝐵)) = (abs‘(𝐵𝑃)))
2910, 22, 9, 14affineequiv 25413 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑃 = ((𝑋 · 𝐴) + ((1 − 𝑋) · 𝐵)) ↔ (𝐵𝑃) = (𝑋 · (𝐵𝐴))))
3018, 29mpbid 235 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐵𝑃) = (𝑋 · (𝐵𝐴)))
3130fveq2d 6653 . . . . 5 (𝜑 → (abs‘(𝐵𝑃)) = (abs‘(𝑋 · (𝐵𝐴))))
3214, 11absmuld 14810 . . . . 5 (𝜑 → (abs‘(𝑋 · (𝐵𝐴))) = ((abs‘𝑋) · (abs‘(𝐵𝐴))))
3328, 31, 323eqtrd 2840 . . . 4 (𝜑 → (abs‘(𝑃𝐵)) = ((abs‘𝑋) · (abs‘(𝐵𝐴))))
3427, 33oveq12d 7157 . . 3 (𝜑 → ((abs‘(𝑃𝐴)) · (abs‘(𝑃𝐵))) = (((abs‘(1 − 𝑋)) · (abs‘(𝐵𝐴))) · ((abs‘𝑋) · (abs‘(𝐵𝐴)))))
3513sqvald 13507 . . . 4 (𝜑 → ((abs‘(𝐵𝐴))↑2) = ((abs‘(𝐵𝐴)) · (abs‘(𝐵𝐴))))
3635oveq2d 7155 . . 3 (𝜑 → (((abs‘(1 − 𝑋)) · (abs‘𝑋)) · ((abs‘(𝐵𝐴))↑2)) = (((abs‘(1 − 𝑋)) · (abs‘𝑋)) · ((abs‘(𝐵𝐴)) · (abs‘(𝐵𝐴)))))
3717, 34, 363eqtr4d 2846 . 2 (𝜑 → ((abs‘(𝑃𝐴)) · (abs‘(𝑃𝐵))) = (((abs‘(1 − 𝑋)) · (abs‘𝑋)) · ((abs‘(𝐵𝐴))↑2)))
381recnd 10662 . . . . . 6 (𝜑 → 1 ∈ ℂ)
3938halfcld 11874 . . . . 5 (𝜑 → (1 / 2) ∈ ℂ)
4039sqcld 13508 . . . 4 (𝜑 → ((1 / 2)↑2) ∈ ℂ)
411rehalfcld 11876 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (1 / 2) ∈ ℝ)
4241, 4resubcld 11061 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((1 / 2) − 𝑋) ∈ ℝ)
4342recnd 10662 . . . . . . 7 (𝜑 → ((1 / 2) − 𝑋) ∈ ℂ)
4443abscld 14792 . . . . . 6 (𝜑 → (abs‘((1 / 2) − 𝑋)) ∈ ℝ)
4544recnd 10662 . . . . 5 (𝜑 → (abs‘((1 / 2) − 𝑋)) ∈ ℂ)
4645sqcld 13508 . . . 4 (𝜑 → ((abs‘((1 / 2) − 𝑋))↑2) ∈ ℂ)
4713sqcld 13508 . . . 4 (𝜑 → ((abs‘(𝐵𝐴))↑2) ∈ ℂ)
4840, 46, 47subdird 11090 . . 3 (𝜑 → ((((1 / 2)↑2) − ((abs‘((1 / 2) − 𝑋))↑2)) · ((abs‘(𝐵𝐴))↑2)) = ((((1 / 2)↑2) · ((abs‘(𝐵𝐴))↑2)) − (((abs‘((1 / 2) − 𝑋))↑2) · ((abs‘(𝐵𝐴))↑2))))
49 subsq 13572 . . . . . . 7 (((1 / 2) ∈ ℂ ∧ ((1 / 2) − 𝑋) ∈ ℂ) → (((1 / 2)↑2) − (((1 / 2) − 𝑋)↑2)) = (((1 / 2) + ((1 / 2) − 𝑋)) · ((1 / 2) − ((1 / 2) − 𝑋))))
5039, 43, 49syl2anc 587 . . . . . 6 (𝜑 → (((1 / 2)↑2) − (((1 / 2) − 𝑋)↑2)) = (((1 / 2) + ((1 / 2) − 𝑋)) · ((1 / 2) − ((1 / 2) − 𝑋))))
5139, 39, 14addsubassd 11010 . . . . . . . 8 (𝜑 → (((1 / 2) + (1 / 2)) − 𝑋) = ((1 / 2) + ((1 / 2) − 𝑋)))
52382halvesd 11875 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((1 / 2) + (1 / 2)) = 1)
5352oveq1d 7154 . . . . . . . 8 (𝜑 → (((1 / 2) + (1 / 2)) − 𝑋) = (1 − 𝑋))
5451, 53eqtr3d 2838 . . . . . . 7 (𝜑 → ((1 / 2) + ((1 / 2) − 𝑋)) = (1 − 𝑋))
5539, 14nncand 10995 . . . . . . 7 (𝜑 → ((1 / 2) − ((1 / 2) − 𝑋)) = 𝑋)
5654, 55oveq12d 7157 . . . . . 6 (𝜑 → (((1 / 2) + ((1 / 2) − 𝑋)) · ((1 / 2) − ((1 / 2) − 𝑋))) = ((1 − 𝑋) · 𝑋))
5750, 56eqtr2d 2837 . . . . 5 (𝜑 → ((1 − 𝑋) · 𝑋) = (((1 / 2)↑2) − (((1 / 2) − 𝑋)↑2)))
58 elicc01 12848 . . . . . . . . 9 (𝑋 ∈ (0[,]1) ↔ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑋𝑋 ≤ 1))
593, 58sylib 221 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑋 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑋𝑋 ≤ 1))
6059simp3d 1141 . . . . . . 7 (𝜑𝑋 ≤ 1)
614, 1, 60abssubge0d 14787 . . . . . 6 (𝜑 → (abs‘(1 − 𝑋)) = (1 − 𝑋))
6259simp2d 1140 . . . . . . 7 (𝜑 → 0 ≤ 𝑋)
634, 62absidd 14778 . . . . . 6 (𝜑 → (abs‘𝑋) = 𝑋)
6461, 63oveq12d 7157 . . . . 5 (𝜑 → ((abs‘(1 − 𝑋)) · (abs‘𝑋)) = ((1 − 𝑋) · 𝑋))
65 absresq 14658 . . . . . . 7 (((1 / 2) − 𝑋) ∈ ℝ → ((abs‘((1 / 2) − 𝑋))↑2) = (((1 / 2) − 𝑋)↑2))
6642, 65syl 17 . . . . . 6 (𝜑 → ((abs‘((1 / 2) − 𝑋))↑2) = (((1 / 2) − 𝑋)↑2))
6766oveq2d 7155 . . . . 5 (𝜑 → (((1 / 2)↑2) − ((abs‘((1 / 2) − 𝑋))↑2)) = (((1 / 2)↑2) − (((1 / 2) − 𝑋)↑2)))
6857, 64, 673eqtr4d 2846 . . . 4 (𝜑 → ((abs‘(1 − 𝑋)) · (abs‘𝑋)) = (((1 / 2)↑2) − ((abs‘((1 / 2) − 𝑋))↑2)))
6968oveq1d 7154 . . 3 (𝜑 → (((abs‘(1 − 𝑋)) · (abs‘𝑋)) · ((abs‘(𝐵𝐴))↑2)) = ((((1 / 2)↑2) − ((abs‘((1 / 2) − 𝑋))↑2)) · ((abs‘(𝐵𝐴))↑2)))
70 2cnd 11707 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → 2 ∈ ℂ)
71 2ne0 11733 . . . . . . . . . . . . . 14 2 ≠ 0
7271a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → 2 ≠ 0)
739, 70, 72divcan4d 11415 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ((𝐵 · 2) / 2) = 𝐵)
749times2d 11873 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (𝐵 · 2) = (𝐵 + 𝐵))
7574oveq1d 7154 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ((𝐵 · 2) / 2) = ((𝐵 + 𝐵) / 2))
7673, 75eqtr3d 2838 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐵 = ((𝐵 + 𝐵) / 2))
77 chordthmlem4.M . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝑀 = ((𝐴 + 𝐵) / 2))
7876, 77oveq12d 7157 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝐵𝑀) = (((𝐵 + 𝐵) / 2) − ((𝐴 + 𝐵) / 2)))
799, 9addcld 10653 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝐵 + 𝐵) ∈ ℂ)
8010, 9addcld 10653 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝐴 + 𝐵) ∈ ℂ)
8179, 80, 70, 72divsubdird 11448 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (((𝐵 + 𝐵) − (𝐴 + 𝐵)) / 2) = (((𝐵 + 𝐵) / 2) − ((𝐴 + 𝐵) / 2)))
829, 10, 9pnpcan2d 11028 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ((𝐵 + 𝐵) − (𝐴 + 𝐵)) = (𝐵𝐴))
8382oveq1d 7154 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (((𝐵 + 𝐵) − (𝐴 + 𝐵)) / 2) = ((𝐵𝐴) / 2))
8478, 81, 833eqtr2d 2842 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝐵𝑀) = ((𝐵𝐴) / 2))
8511, 70, 72divrec2d 11413 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((𝐵𝐴) / 2) = ((1 / 2) · (𝐵𝐴)))
8684, 85eqtrd 2836 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐵𝑀) = ((1 / 2) · (𝐵𝐴)))
8786fveq2d 6653 . . . . . . 7 (𝜑 → (abs‘(𝐵𝑀)) = (abs‘((1 / 2) · (𝐵𝐴))))
8839, 11absmuld 14810 . . . . . . 7 (𝜑 → (abs‘((1 / 2) · (𝐵𝐴))) = ((abs‘(1 / 2)) · (abs‘(𝐵𝐴))))
89 0red 10637 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → 0 ∈ ℝ)
90 halfgt0 11845 . . . . . . . . . . 11 0 < (1 / 2)
9190a1i 11 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → 0 < (1 / 2))
9289, 41, 91ltled 10781 . . . . . . . . 9 (𝜑 → 0 ≤ (1 / 2))
9341, 92absidd 14778 . . . . . . . 8 (𝜑 → (abs‘(1 / 2)) = (1 / 2))
9493oveq1d 7154 . . . . . . 7 (𝜑 → ((abs‘(1 / 2)) · (abs‘(𝐵𝐴))) = ((1 / 2) · (abs‘(𝐵𝐴))))
9587, 88, 943eqtrd 2840 . . . . . 6 (𝜑 → (abs‘(𝐵𝑀)) = ((1 / 2) · (abs‘(𝐵𝐴))))
9695oveq1d 7154 . . . . 5 (𝜑 → ((abs‘(𝐵𝑀))↑2) = (((1 / 2) · (abs‘(𝐵𝐴)))↑2))
9739, 13sqmuld 13522 . . . . 5 (𝜑 → (((1 / 2) · (abs‘(𝐵𝐴)))↑2) = (((1 / 2)↑2) · ((abs‘(𝐵𝐴))↑2)))
9896, 97eqtrd 2836 . . . 4 (𝜑 → ((abs‘(𝐵𝑀))↑2) = (((1 / 2)↑2) · ((abs‘(𝐵𝐴))↑2)))
9939, 14, 11subdird 11090 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (((1 / 2) − 𝑋) · (𝐵𝐴)) = (((1 / 2) · (𝐵𝐴)) − (𝑋 · (𝐵𝐴))))
10086, 30oveq12d 7157 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((𝐵𝑀) − (𝐵𝑃)) = (((1 / 2) · (𝐵𝐴)) − (𝑋 · (𝐵𝐴))))
10180halfcld 11874 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ((𝐴 + 𝐵) / 2) ∈ ℂ)
10277, 101eqeltrd 2893 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑀 ∈ ℂ)
1039, 102, 22nnncan1d 11024 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((𝐵𝑀) − (𝐵𝑃)) = (𝑃𝑀))
10499, 100, 1033eqtr2rd 2843 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑃𝑀) = (((1 / 2) − 𝑋) · (𝐵𝐴)))
105104fveq2d 6653 . . . . . . 7 (𝜑 → (abs‘(𝑃𝑀)) = (abs‘(((1 / 2) − 𝑋) · (𝐵𝐴))))
10643, 11absmuld 14810 . . . . . . 7 (𝜑 → (abs‘(((1 / 2) − 𝑋) · (𝐵𝐴))) = ((abs‘((1 / 2) − 𝑋)) · (abs‘(𝐵𝐴))))
107105, 106eqtrd 2836 . . . . . 6 (𝜑 → (abs‘(𝑃𝑀)) = ((abs‘((1 / 2) − 𝑋)) · (abs‘(𝐵𝐴))))
108107oveq1d 7154 . . . . 5 (𝜑 → ((abs‘(𝑃𝑀))↑2) = (((abs‘((1 / 2) − 𝑋)) · (abs‘(𝐵𝐴)))↑2))
10945, 13sqmuld 13522 . . . . 5 (𝜑 → (((abs‘((1 / 2) − 𝑋)) · (abs‘(𝐵𝐴)))↑2) = (((abs‘((1 / 2) − 𝑋))↑2) · ((abs‘(𝐵𝐴))↑2)))
110108, 109eqtrd 2836 . . . 4 (𝜑 → ((abs‘(𝑃𝑀))↑2) = (((abs‘((1 / 2) − 𝑋))↑2) · ((abs‘(𝐵𝐴))↑2)))
11198, 110oveq12d 7157 . . 3 (𝜑 → (((abs‘(𝐵𝑀))↑2) − ((abs‘(𝑃𝑀))↑2)) = ((((1 / 2)↑2) · ((abs‘(𝐵𝐴))↑2)) − (((abs‘((1 / 2) − 𝑋))↑2) · ((abs‘(𝐵𝐴))↑2))))
11248, 69, 1113eqtr4rd 2847 . 2 (𝜑 → (((abs‘(𝐵𝑀))↑2) − ((abs‘(𝑃𝑀))↑2)) = (((abs‘(1 − 𝑋)) · (abs‘𝑋)) · ((abs‘(𝐵𝐴))↑2)))
11337, 112eqtr4d 2839 1 (𝜑 → ((abs‘(𝑃𝐴)) · (abs‘(𝑃𝐵))) = (((abs‘(𝐵𝑀))↑2) − ((abs‘(𝑃𝑀))↑2)))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ w3a 1084   = wceq 1538   ∈ wcel 2112   ≠ wne 2990   class class class wbr 5033  ‘cfv 6328  (class class class)co 7139  ℂcc 10528  ℝcr 10529  0cc0 10530  1c1 10531   + caddc 10533   · cmul 10535   < clt 10668   ≤ cle 10669   − cmin 10863   / cdiv 11290  2c2 11684  [,]cicc 12733  ↑cexp 13429  abscabs 14589 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2114  ax-9 2122  ax-10 2143  ax-11 2159  ax-12 2176  ax-ext 2773  ax-sep 5170  ax-nul 5177  ax-pow 5234  ax-pr 5298  ax-un 7445  ax-cnex 10586  ax-resscn 10587  ax-1cn 10588  ax-icn 10589  ax-addcl 10590  ax-addrcl 10591  ax-mulcl 10592  ax-mulrcl 10593  ax-mulcom 10594  ax-addass 10595  ax-mulass 10596  ax-distr 10597  ax-i2m1 10598  ax-1ne0 10599  ax-1rid 10600  ax-rnegex 10601  ax-rrecex 10602  ax-cnre 10603  ax-pre-lttri 10604  ax-pre-lttrn 10605  ax-pre-ltadd 10606  ax-pre-mulgt0 10607  ax-pre-sup 10608 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2601  df-eu 2632  df-clab 2780  df-cleq 2794  df-clel 2873  df-nfc 2941  df-ne 2991  df-nel 3095  df-ral 3114  df-rex 3115  df-reu 3116  df-rmo 3117  df-rab 3118  df-v 3446  df-sbc 3724  df-csb 3832  df-dif 3887  df-un 3889  df-in 3891  df-ss 3901  df-pss 3903  df-nul 4247  df-if 4429  df-pw 4502  df-sn 4529  df-pr 4531  df-tp 4533  df-op 4535  df-uni 4804  df-iun 4886  df-br 5034  df-opab 5096  df-mpt 5114  df-tr 5140  df-id 5428  df-eprel 5433  df-po 5442  df-so 5443  df-fr 5482  df-we 5484  df-xp 5529  df-rel 5530  df-cnv 5531  df-co 5532  df-dm 5533  df-rn 5534  df-res 5535  df-ima 5536  df-pred 6120  df-ord 6166  df-on 6167  df-lim 6168  df-suc 6169  df-iota 6287  df-fun 6330  df-fn 6331  df-f 6332  df-f1 6333  df-fo 6334  df-f1o 6335  df-fv 6336  df-riota 7097  df-ov 7142  df-oprab 7143  df-mpo 7144  df-om 7565  df-2nd 7676  df-wrecs 7934  df-recs 7995  df-rdg 8033  df-er 8276  df-en 8497  df-dom 8498  df-sdom 8499  df-sup 8894  df-pnf 10670  df-mnf 10671  df-xr 10672  df-ltxr 10673  df-le 10674  df-sub 10865  df-neg 10866  df-div 11291  df-nn 11630  df-2 11692  df-3 11693  df-n0 11890  df-z 11974  df-uz 12236  df-rp 12382  df-icc 12737  df-seq 13369  df-exp 13430  df-cj 14454  df-re 14455  df-im 14456  df-sqrt 14590  df-abs 14591 This theorem is referenced by:  chordthmlem5  25426
 Copyright terms: Public domain W3C validator