MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  chordthmlem4 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem chordthmlem4 26741
Description: If P is on the segment AB and M is the midpoint of AB, then PA ยท PB = BM 2 โˆ’ PM 2 . If all lengths are reexpressed as fractions of AB, this reduces to the identity ๐‘‹ ยท (1 โˆ’ ๐‘‹) = (1 / 2) 2 โˆ’ ((1 / 2) โˆ’ ๐‘‹) 2 . (Contributed by David Moews, 28-Feb-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
chordthmlem4.A (๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ โ„‚)
chordthmlem4.B (๐œ‘ โ†’ ๐ต โˆˆ โ„‚)
chordthmlem4.X (๐œ‘ โ†’ ๐‘‹ โˆˆ (0[,]1))
chordthmlem4.M (๐œ‘ โ†’ ๐‘€ = ((๐ด + ๐ต) / 2))
chordthmlem4.P (๐œ‘ โ†’ ๐‘ƒ = ((๐‘‹ ยท ๐ด) + ((1 โˆ’ ๐‘‹) ยท ๐ต)))
Assertion
Ref Expression
chordthmlem4 (๐œ‘ โ†’ ((absโ€˜(๐‘ƒ โˆ’ ๐ด)) ยท (absโ€˜(๐‘ƒ โˆ’ ๐ต))) = (((absโ€˜(๐ต โˆ’ ๐‘€))โ†‘2) โˆ’ ((absโ€˜(๐‘ƒ โˆ’ ๐‘€))โ†‘2)))

Proof of Theorem chordthmlem4
StepHypRef Expression
1 1red 11231 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ 1 โˆˆ โ„)
2 unitssre 13494 . . . . . . . . 9 (0[,]1) โІ โ„
3 chordthmlem4.X . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ ๐‘‹ โˆˆ (0[,]1))
42, 3sselid 3976 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ ๐‘‹ โˆˆ โ„)
51, 4resubcld 11658 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ (1 โˆ’ ๐‘‹) โˆˆ โ„)
65recnd 11258 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ (1 โˆ’ ๐‘‹) โˆˆ โ„‚)
76abscld 15401 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ (absโ€˜(1 โˆ’ ๐‘‹)) โˆˆ โ„)
87recnd 11258 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ (absโ€˜(1 โˆ’ ๐‘‹)) โˆˆ โ„‚)
9 chordthmlem4.B . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ ๐ต โˆˆ โ„‚)
10 chordthmlem4.A . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ โ„‚)
119, 10subcld 11587 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ (๐ต โˆ’ ๐ด) โˆˆ โ„‚)
1211abscld 15401 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ (absโ€˜(๐ต โˆ’ ๐ด)) โˆˆ โ„)
1312recnd 11258 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ (absโ€˜(๐ต โˆ’ ๐ด)) โˆˆ โ„‚)
144recnd 11258 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ ๐‘‹ โˆˆ โ„‚)
1514abscld 15401 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ (absโ€˜๐‘‹) โˆˆ โ„)
1615recnd 11258 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ (absโ€˜๐‘‹) โˆˆ โ„‚)
178, 13, 16, 13mul4d 11442 . . 3 (๐œ‘ โ†’ (((absโ€˜(1 โˆ’ ๐‘‹)) ยท (absโ€˜(๐ต โˆ’ ๐ด))) ยท ((absโ€˜๐‘‹) ยท (absโ€˜(๐ต โˆ’ ๐ด)))) = (((absโ€˜(1 โˆ’ ๐‘‹)) ยท (absโ€˜๐‘‹)) ยท ((absโ€˜(๐ต โˆ’ ๐ด)) ยท (absโ€˜(๐ต โˆ’ ๐ด)))))
18 chordthmlem4.P . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ƒ = ((๐‘‹ ยท ๐ด) + ((1 โˆ’ ๐‘‹) ยท ๐ต)))
1914, 10mulcld 11250 . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ (๐‘‹ ยท ๐ด) โˆˆ โ„‚)
206, 9mulcld 11250 . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ ((1 โˆ’ ๐‘‹) ยท ๐ต) โˆˆ โ„‚)
2119, 20addcld 11249 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ ((๐‘‹ ยท ๐ด) + ((1 โˆ’ ๐‘‹) ยท ๐ต)) โˆˆ โ„‚)
2218, 21eqeltrd 2828 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ƒ โˆˆ โ„‚)
2310, 22, 9, 14affineequiv2 26730 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ (๐‘ƒ = ((๐‘‹ ยท ๐ด) + ((1 โˆ’ ๐‘‹) ยท ๐ต)) โ†” (๐‘ƒ โˆ’ ๐ด) = ((1 โˆ’ ๐‘‹) ยท (๐ต โˆ’ ๐ด))))
2418, 23mpbid 231 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ (๐‘ƒ โˆ’ ๐ด) = ((1 โˆ’ ๐‘‹) ยท (๐ต โˆ’ ๐ด)))
2524fveq2d 6895 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ (absโ€˜(๐‘ƒ โˆ’ ๐ด)) = (absโ€˜((1 โˆ’ ๐‘‹) ยท (๐ต โˆ’ ๐ด))))
266, 11absmuld 15419 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ (absโ€˜((1 โˆ’ ๐‘‹) ยท (๐ต โˆ’ ๐ด))) = ((absโ€˜(1 โˆ’ ๐‘‹)) ยท (absโ€˜(๐ต โˆ’ ๐ด))))
2725, 26eqtrd 2767 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ (absโ€˜(๐‘ƒ โˆ’ ๐ด)) = ((absโ€˜(1 โˆ’ ๐‘‹)) ยท (absโ€˜(๐ต โˆ’ ๐ด))))
2822, 9abssubd 15418 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ (absโ€˜(๐‘ƒ โˆ’ ๐ต)) = (absโ€˜(๐ต โˆ’ ๐‘ƒ)))
2910, 22, 9, 14affineequiv 26729 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ (๐‘ƒ = ((๐‘‹ ยท ๐ด) + ((1 โˆ’ ๐‘‹) ยท ๐ต)) โ†” (๐ต โˆ’ ๐‘ƒ) = (๐‘‹ ยท (๐ต โˆ’ ๐ด))))
3018, 29mpbid 231 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ (๐ต โˆ’ ๐‘ƒ) = (๐‘‹ ยท (๐ต โˆ’ ๐ด)))
3130fveq2d 6895 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ (absโ€˜(๐ต โˆ’ ๐‘ƒ)) = (absโ€˜(๐‘‹ ยท (๐ต โˆ’ ๐ด))))
3214, 11absmuld 15419 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ (absโ€˜(๐‘‹ ยท (๐ต โˆ’ ๐ด))) = ((absโ€˜๐‘‹) ยท (absโ€˜(๐ต โˆ’ ๐ด))))
3328, 31, 323eqtrd 2771 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ (absโ€˜(๐‘ƒ โˆ’ ๐ต)) = ((absโ€˜๐‘‹) ยท (absโ€˜(๐ต โˆ’ ๐ด))))
3427, 33oveq12d 7432 . . 3 (๐œ‘ โ†’ ((absโ€˜(๐‘ƒ โˆ’ ๐ด)) ยท (absโ€˜(๐‘ƒ โˆ’ ๐ต))) = (((absโ€˜(1 โˆ’ ๐‘‹)) ยท (absโ€˜(๐ต โˆ’ ๐ด))) ยท ((absโ€˜๐‘‹) ยท (absโ€˜(๐ต โˆ’ ๐ด)))))
3513sqvald 14125 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ ((absโ€˜(๐ต โˆ’ ๐ด))โ†‘2) = ((absโ€˜(๐ต โˆ’ ๐ด)) ยท (absโ€˜(๐ต โˆ’ ๐ด))))
3635oveq2d 7430 . . 3 (๐œ‘ โ†’ (((absโ€˜(1 โˆ’ ๐‘‹)) ยท (absโ€˜๐‘‹)) ยท ((absโ€˜(๐ต โˆ’ ๐ด))โ†‘2)) = (((absโ€˜(1 โˆ’ ๐‘‹)) ยท (absโ€˜๐‘‹)) ยท ((absโ€˜(๐ต โˆ’ ๐ด)) ยท (absโ€˜(๐ต โˆ’ ๐ด)))))
3717, 34, 363eqtr4d 2777 . 2 (๐œ‘ โ†’ ((absโ€˜(๐‘ƒ โˆ’ ๐ด)) ยท (absโ€˜(๐‘ƒ โˆ’ ๐ต))) = (((absโ€˜(1 โˆ’ ๐‘‹)) ยท (absโ€˜๐‘‹)) ยท ((absโ€˜(๐ต โˆ’ ๐ด))โ†‘2)))
381recnd 11258 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ 1 โˆˆ โ„‚)
3938halfcld 12473 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ (1 / 2) โˆˆ โ„‚)
4039sqcld 14126 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ ((1 / 2)โ†‘2) โˆˆ โ„‚)
411rehalfcld 12475 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ (1 / 2) โˆˆ โ„)
4241, 4resubcld 11658 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ ((1 / 2) โˆ’ ๐‘‹) โˆˆ โ„)
4342recnd 11258 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ ((1 / 2) โˆ’ ๐‘‹) โˆˆ โ„‚)
4443abscld 15401 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ (absโ€˜((1 / 2) โˆ’ ๐‘‹)) โˆˆ โ„)
4544recnd 11258 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ (absโ€˜((1 / 2) โˆ’ ๐‘‹)) โˆˆ โ„‚)
4645sqcld 14126 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ ((absโ€˜((1 / 2) โˆ’ ๐‘‹))โ†‘2) โˆˆ โ„‚)
4713sqcld 14126 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ ((absโ€˜(๐ต โˆ’ ๐ด))โ†‘2) โˆˆ โ„‚)
4840, 46, 47subdird 11687 . . 3 (๐œ‘ โ†’ ((((1 / 2)โ†‘2) โˆ’ ((absโ€˜((1 / 2) โˆ’ ๐‘‹))โ†‘2)) ยท ((absโ€˜(๐ต โˆ’ ๐ด))โ†‘2)) = ((((1 / 2)โ†‘2) ยท ((absโ€˜(๐ต โˆ’ ๐ด))โ†‘2)) โˆ’ (((absโ€˜((1 / 2) โˆ’ ๐‘‹))โ†‘2) ยท ((absโ€˜(๐ต โˆ’ ๐ด))โ†‘2))))
49 subsq 14191 . . . . . . 7 (((1 / 2) โˆˆ โ„‚ โˆง ((1 / 2) โˆ’ ๐‘‹) โˆˆ โ„‚) โ†’ (((1 / 2)โ†‘2) โˆ’ (((1 / 2) โˆ’ ๐‘‹)โ†‘2)) = (((1 / 2) + ((1 / 2) โˆ’ ๐‘‹)) ยท ((1 / 2) โˆ’ ((1 / 2) โˆ’ ๐‘‹))))
5039, 43, 49syl2anc 583 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ (((1 / 2)โ†‘2) โˆ’ (((1 / 2) โˆ’ ๐‘‹)โ†‘2)) = (((1 / 2) + ((1 / 2) โˆ’ ๐‘‹)) ยท ((1 / 2) โˆ’ ((1 / 2) โˆ’ ๐‘‹))))
5139, 39, 14addsubassd 11607 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ (((1 / 2) + (1 / 2)) โˆ’ ๐‘‹) = ((1 / 2) + ((1 / 2) โˆ’ ๐‘‹)))
52382halvesd 12474 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ ((1 / 2) + (1 / 2)) = 1)
5352oveq1d 7429 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ (((1 / 2) + (1 / 2)) โˆ’ ๐‘‹) = (1 โˆ’ ๐‘‹))
5451, 53eqtr3d 2769 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ ((1 / 2) + ((1 / 2) โˆ’ ๐‘‹)) = (1 โˆ’ ๐‘‹))
5539, 14nncand 11592 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ ((1 / 2) โˆ’ ((1 / 2) โˆ’ ๐‘‹)) = ๐‘‹)
5654, 55oveq12d 7432 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ (((1 / 2) + ((1 / 2) โˆ’ ๐‘‹)) ยท ((1 / 2) โˆ’ ((1 / 2) โˆ’ ๐‘‹))) = ((1 โˆ’ ๐‘‹) ยท ๐‘‹))
5750, 56eqtr2d 2768 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ ((1 โˆ’ ๐‘‹) ยท ๐‘‹) = (((1 / 2)โ†‘2) โˆ’ (((1 / 2) โˆ’ ๐‘‹)โ†‘2)))
58 elicc01 13461 . . . . . . . . 9 (๐‘‹ โˆˆ (0[,]1) โ†” (๐‘‹ โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐‘‹ โˆง ๐‘‹ โ‰ค 1))
593, 58sylib 217 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ (๐‘‹ โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐‘‹ โˆง ๐‘‹ โ‰ค 1))
6059simp3d 1142 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ ๐‘‹ โ‰ค 1)
614, 1, 60abssubge0d 15396 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ (absโ€˜(1 โˆ’ ๐‘‹)) = (1 โˆ’ ๐‘‹))
6259simp2d 1141 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ 0 โ‰ค ๐‘‹)
634, 62absidd 15387 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ (absโ€˜๐‘‹) = ๐‘‹)
6461, 63oveq12d 7432 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ ((absโ€˜(1 โˆ’ ๐‘‹)) ยท (absโ€˜๐‘‹)) = ((1 โˆ’ ๐‘‹) ยท ๐‘‹))
65 absresq 15267 . . . . . . 7 (((1 / 2) โˆ’ ๐‘‹) โˆˆ โ„ โ†’ ((absโ€˜((1 / 2) โˆ’ ๐‘‹))โ†‘2) = (((1 / 2) โˆ’ ๐‘‹)โ†‘2))
6642, 65syl 17 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ ((absโ€˜((1 / 2) โˆ’ ๐‘‹))โ†‘2) = (((1 / 2) โˆ’ ๐‘‹)โ†‘2))
6766oveq2d 7430 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ (((1 / 2)โ†‘2) โˆ’ ((absโ€˜((1 / 2) โˆ’ ๐‘‹))โ†‘2)) = (((1 / 2)โ†‘2) โˆ’ (((1 / 2) โˆ’ ๐‘‹)โ†‘2)))
6857, 64, 673eqtr4d 2777 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ ((absโ€˜(1 โˆ’ ๐‘‹)) ยท (absโ€˜๐‘‹)) = (((1 / 2)โ†‘2) โˆ’ ((absโ€˜((1 / 2) โˆ’ ๐‘‹))โ†‘2)))
6968oveq1d 7429 . . 3 (๐œ‘ โ†’ (((absโ€˜(1 โˆ’ ๐‘‹)) ยท (absโ€˜๐‘‹)) ยท ((absโ€˜(๐ต โˆ’ ๐ด))โ†‘2)) = ((((1 / 2)โ†‘2) โˆ’ ((absโ€˜((1 / 2) โˆ’ ๐‘‹))โ†‘2)) ยท ((absโ€˜(๐ต โˆ’ ๐ด))โ†‘2)))
70 2cnd 12306 . . . . . . . . . . . . 13 (๐œ‘ โ†’ 2 โˆˆ โ„‚)
71 2ne0 12332 . . . . . . . . . . . . . 14 2 โ‰  0
7271a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 (๐œ‘ โ†’ 2 โ‰  0)
739, 70, 72divcan4d 12012 . . . . . . . . . . . 12 (๐œ‘ โ†’ ((๐ต ยท 2) / 2) = ๐ต)
749times2d 12472 . . . . . . . . . . . . 13 (๐œ‘ โ†’ (๐ต ยท 2) = (๐ต + ๐ต))
7574oveq1d 7429 . . . . . . . . . . . 12 (๐œ‘ โ†’ ((๐ต ยท 2) / 2) = ((๐ต + ๐ต) / 2))
7673, 75eqtr3d 2769 . . . . . . . . . . 11 (๐œ‘ โ†’ ๐ต = ((๐ต + ๐ต) / 2))
77 chordthmlem4.M . . . . . . . . . . 11 (๐œ‘ โ†’ ๐‘€ = ((๐ด + ๐ต) / 2))
7876, 77oveq12d 7432 . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ (๐ต โˆ’ ๐‘€) = (((๐ต + ๐ต) / 2) โˆ’ ((๐ด + ๐ต) / 2)))
799, 9addcld 11249 . . . . . . . . . . 11 (๐œ‘ โ†’ (๐ต + ๐ต) โˆˆ โ„‚)
8010, 9addcld 11249 . . . . . . . . . . 11 (๐œ‘ โ†’ (๐ด + ๐ต) โˆˆ โ„‚)
8179, 80, 70, 72divsubdird 12045 . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ (((๐ต + ๐ต) โˆ’ (๐ด + ๐ต)) / 2) = (((๐ต + ๐ต) / 2) โˆ’ ((๐ด + ๐ต) / 2)))
829, 10, 9pnpcan2d 11625 . . . . . . . . . . 11 (๐œ‘ โ†’ ((๐ต + ๐ต) โˆ’ (๐ด + ๐ต)) = (๐ต โˆ’ ๐ด))
8382oveq1d 7429 . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ (((๐ต + ๐ต) โˆ’ (๐ด + ๐ต)) / 2) = ((๐ต โˆ’ ๐ด) / 2))
8478, 81, 833eqtr2d 2773 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ (๐ต โˆ’ ๐‘€) = ((๐ต โˆ’ ๐ด) / 2))
8511, 70, 72divrec2d 12010 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ ((๐ต โˆ’ ๐ด) / 2) = ((1 / 2) ยท (๐ต โˆ’ ๐ด)))
8684, 85eqtrd 2767 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ (๐ต โˆ’ ๐‘€) = ((1 / 2) ยท (๐ต โˆ’ ๐ด)))
8786fveq2d 6895 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ (absโ€˜(๐ต โˆ’ ๐‘€)) = (absโ€˜((1 / 2) ยท (๐ต โˆ’ ๐ด))))
8839, 11absmuld 15419 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ (absโ€˜((1 / 2) ยท (๐ต โˆ’ ๐ด))) = ((absโ€˜(1 / 2)) ยท (absโ€˜(๐ต โˆ’ ๐ด))))
89 0red 11233 . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ 0 โˆˆ โ„)
90 halfgt0 12444 . . . . . . . . . . 11 0 < (1 / 2)
9190a1i 11 . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ 0 < (1 / 2))
9289, 41, 91ltled 11378 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ 0 โ‰ค (1 / 2))
9341, 92absidd 15387 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ (absโ€˜(1 / 2)) = (1 / 2))
9493oveq1d 7429 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ ((absโ€˜(1 / 2)) ยท (absโ€˜(๐ต โˆ’ ๐ด))) = ((1 / 2) ยท (absโ€˜(๐ต โˆ’ ๐ด))))
9587, 88, 943eqtrd 2771 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ (absโ€˜(๐ต โˆ’ ๐‘€)) = ((1 / 2) ยท (absโ€˜(๐ต โˆ’ ๐ด))))
9695oveq1d 7429 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ ((absโ€˜(๐ต โˆ’ ๐‘€))โ†‘2) = (((1 / 2) ยท (absโ€˜(๐ต โˆ’ ๐ด)))โ†‘2))
9739, 13sqmuld 14140 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ (((1 / 2) ยท (absโ€˜(๐ต โˆ’ ๐ด)))โ†‘2) = (((1 / 2)โ†‘2) ยท ((absโ€˜(๐ต โˆ’ ๐ด))โ†‘2)))
9896, 97eqtrd 2767 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ ((absโ€˜(๐ต โˆ’ ๐‘€))โ†‘2) = (((1 / 2)โ†‘2) ยท ((absโ€˜(๐ต โˆ’ ๐ด))โ†‘2)))
9939, 14, 11subdird 11687 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ (((1 / 2) โˆ’ ๐‘‹) ยท (๐ต โˆ’ ๐ด)) = (((1 / 2) ยท (๐ต โˆ’ ๐ด)) โˆ’ (๐‘‹ ยท (๐ต โˆ’ ๐ด))))
10086, 30oveq12d 7432 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ ((๐ต โˆ’ ๐‘€) โˆ’ (๐ต โˆ’ ๐‘ƒ)) = (((1 / 2) ยท (๐ต โˆ’ ๐ด)) โˆ’ (๐‘‹ ยท (๐ต โˆ’ ๐ด))))
10180halfcld 12473 . . . . . . . . . . 11 (๐œ‘ โ†’ ((๐ด + ๐ต) / 2) โˆˆ โ„‚)
10277, 101eqeltrd 2828 . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ ๐‘€ โˆˆ โ„‚)
1039, 102, 22nnncan1d 11621 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ ((๐ต โˆ’ ๐‘€) โˆ’ (๐ต โˆ’ ๐‘ƒ)) = (๐‘ƒ โˆ’ ๐‘€))
10499, 100, 1033eqtr2rd 2774 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ (๐‘ƒ โˆ’ ๐‘€) = (((1 / 2) โˆ’ ๐‘‹) ยท (๐ต โˆ’ ๐ด)))
105104fveq2d 6895 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ (absโ€˜(๐‘ƒ โˆ’ ๐‘€)) = (absโ€˜(((1 / 2) โˆ’ ๐‘‹) ยท (๐ต โˆ’ ๐ด))))
10643, 11absmuld 15419 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ (absโ€˜(((1 / 2) โˆ’ ๐‘‹) ยท (๐ต โˆ’ ๐ด))) = ((absโ€˜((1 / 2) โˆ’ ๐‘‹)) ยท (absโ€˜(๐ต โˆ’ ๐ด))))
107105, 106eqtrd 2767 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ (absโ€˜(๐‘ƒ โˆ’ ๐‘€)) = ((absโ€˜((1 / 2) โˆ’ ๐‘‹)) ยท (absโ€˜(๐ต โˆ’ ๐ด))))
108107oveq1d 7429 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ ((absโ€˜(๐‘ƒ โˆ’ ๐‘€))โ†‘2) = (((absโ€˜((1 / 2) โˆ’ ๐‘‹)) ยท (absโ€˜(๐ต โˆ’ ๐ด)))โ†‘2))
10945, 13sqmuld 14140 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ (((absโ€˜((1 / 2) โˆ’ ๐‘‹)) ยท (absโ€˜(๐ต โˆ’ ๐ด)))โ†‘2) = (((absโ€˜((1 / 2) โˆ’ ๐‘‹))โ†‘2) ยท ((absโ€˜(๐ต โˆ’ ๐ด))โ†‘2)))
110108, 109eqtrd 2767 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ ((absโ€˜(๐‘ƒ โˆ’ ๐‘€))โ†‘2) = (((absโ€˜((1 / 2) โˆ’ ๐‘‹))โ†‘2) ยท ((absโ€˜(๐ต โˆ’ ๐ด))โ†‘2)))
11198, 110oveq12d 7432 . . 3 (๐œ‘ โ†’ (((absโ€˜(๐ต โˆ’ ๐‘€))โ†‘2) โˆ’ ((absโ€˜(๐‘ƒ โˆ’ ๐‘€))โ†‘2)) = ((((1 / 2)โ†‘2) ยท ((absโ€˜(๐ต โˆ’ ๐ด))โ†‘2)) โˆ’ (((absโ€˜((1 / 2) โˆ’ ๐‘‹))โ†‘2) ยท ((absโ€˜(๐ต โˆ’ ๐ด))โ†‘2))))
11248, 69, 1113eqtr4rd 2778 . 2 (๐œ‘ โ†’ (((absโ€˜(๐ต โˆ’ ๐‘€))โ†‘2) โˆ’ ((absโ€˜(๐‘ƒ โˆ’ ๐‘€))โ†‘2)) = (((absโ€˜(1 โˆ’ ๐‘‹)) ยท (absโ€˜๐‘‹)) ยท ((absโ€˜(๐ต โˆ’ ๐ด))โ†‘2)))
11337, 112eqtr4d 2770 1 (๐œ‘ โ†’ ((absโ€˜(๐‘ƒ โˆ’ ๐ด)) ยท (absโ€˜(๐‘ƒ โˆ’ ๐ต))) = (((absโ€˜(๐ต โˆ’ ๐‘€))โ†‘2) โˆ’ ((absโ€˜(๐‘ƒ โˆ’ ๐‘€))โ†‘2)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โˆง w3a 1085   = wceq 1534   โˆˆ wcel 2099   โ‰  wne 2935   class class class wbr 5142  โ€˜cfv 6542  (class class class)co 7414  โ„‚cc 11122  โ„cr 11123  0cc0 11124  1c1 11125   + caddc 11127   ยท cmul 11129   < clt 11264   โ‰ค cle 11265   โˆ’ cmin 11460   / cdiv 11887  2c2 12283  [,]cicc 13345  โ†‘cexp 14044  abscabs 15199
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2164  ax-ext 2698  ax-sep 5293  ax-nul 5300  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7732  ax-cnex 11180  ax-resscn 11181  ax-1cn 11182  ax-icn 11183  ax-addcl 11184  ax-addrcl 11185  ax-mulcl 11186  ax-mulrcl 11187  ax-mulcom 11188  ax-addass 11189  ax-mulass 11190  ax-distr 11191  ax-i2m1 11192  ax-1ne0 11193  ax-1rid 11194  ax-rnegex 11195  ax-rrecex 11196  ax-cnre 11197  ax-pre-lttri 11198  ax-pre-lttrn 11199  ax-pre-ltadd 11200  ax-pre-mulgt0 11201  ax-pre-sup 11202
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2705  df-cleq 2719  df-clel 2805  df-nfc 2880  df-ne 2936  df-nel 3042  df-ral 3057  df-rex 3066  df-rmo 3371  df-reu 3372  df-rab 3428  df-v 3471  df-sbc 3775  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-pss 3963  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4904  df-iun 4993  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-riota 7370  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-om 7863  df-2nd 7986  df-frecs 8278  df-wrecs 8309  df-recs 8383  df-rdg 8422  df-er 8716  df-en 8954  df-dom 8955  df-sdom 8956  df-sup 9451  df-pnf 11266  df-mnf 11267  df-xr 11268  df-ltxr 11269  df-le 11270  df-sub 11462  df-neg 11463  df-div 11888  df-nn 12229  df-2 12291  df-3 12292  df-n0 12489  df-z 12575  df-uz 12839  df-rp 12993  df-icc 13349  df-seq 13985  df-exp 14045  df-cj 15064  df-re 15065  df-im 15066  df-sqrt 15200  df-abs 15201
This theorem is referenced by:  chordthmlem5  26742
  Copyright terms: Public domain W3C validator