Theorem chordthmlem4 26185

Description: If P is on the segment AB and M is the midpoint of AB, then PA · PB = BM ² − PM ² . If all lengths are reexpressed as fractions of AB, this reduces to the identity 𝑋 · (1 − 𝑋) = (1 / 2) ² − ((1 / 2) − 𝑋) ² . (Contributed by David Moews, 28-Feb-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
chordthmlem4.A	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
chordthmlem4.B	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
chordthmlem4.X	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (0[,]1))
chordthmlem4.M	⊢ (𝜑 → 𝑀 = ((𝐴 + 𝐵) / 2))
chordthmlem4.P	⊢ (𝜑 → 𝑃 = ((𝑋 · 𝐴) + ((1 − 𝑋) · 𝐵)))

Assertion

Ref	Expression
chordthmlem4	⊢ (𝜑 → ((abs‘(𝑃 − 𝐴)) · (abs‘(𝑃 − 𝐵))) = (((abs‘(𝐵 − 𝑀))↑2) − ((abs‘(𝑃 − 𝑀))↑2)))

Proof of Theorem chordthmlem4

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1red 11156	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℝ)
2		unitssre 13416	. . . . . . . . 9 ⊢ (0[,]1) ⊆ ℝ
3		chordthmlem4.X	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (0[,]1))
4	2, 3	sselid 3942	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ℝ)
5	1, 4	resubcld 11583	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (1 − 𝑋) ∈ ℝ)
6	5	recnd 11183	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (1 − 𝑋) ∈ ℂ)
7	6	abscld 15321	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (abs‘(1 − 𝑋)) ∈ ℝ)
8	7	recnd 11183	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (abs‘(1 − 𝑋)) ∈ ℂ)
9		chordthmlem4.B	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
10		chordthmlem4.A	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
11	9, 10	subcld 11512	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐵 − 𝐴) ∈ ℂ)
12	11	abscld 15321	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (abs‘(𝐵 − 𝐴)) ∈ ℝ)
13	12	recnd 11183	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (abs‘(𝐵 − 𝐴)) ∈ ℂ)
14	4	recnd 11183	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ℂ)
15	14	abscld 15321	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (abs‘𝑋) ∈ ℝ)
16	15	recnd 11183	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (abs‘𝑋) ∈ ℂ)
17	8, 13, 16, 13	mul4d 11367	. . 3 ⊢ (𝜑 → (((abs‘(1 − 𝑋)) · (abs‘(𝐵 − 𝐴))) · ((abs‘𝑋) · (abs‘(𝐵 − 𝐴)))) = (((abs‘(1 − 𝑋)) · (abs‘𝑋)) · ((abs‘(𝐵 − 𝐴)) · (abs‘(𝐵 − 𝐴)))))
18		chordthmlem4.P	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑃 = ((𝑋 · 𝐴) + ((1 − 𝑋) · 𝐵)))
19	14, 10	mulcld 11175	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝑋 · 𝐴) ∈ ℂ)
20	6, 9	mulcld 11175	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ((1 − 𝑋) · 𝐵) ∈ ℂ)
21	19, 20	addcld 11174	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((𝑋 · 𝐴) + ((1 − 𝑋) · 𝐵)) ∈ ℂ)
22	18, 21	eqeltrd 2838	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ ℂ)
23	10, 22, 9, 14	affineequiv2 26174	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑃 = ((𝑋 · 𝐴) + ((1 − 𝑋) · 𝐵)) ↔ (𝑃 − 𝐴) = ((1 − 𝑋) · (𝐵 − 𝐴))))
24	18, 23	mpbid 231	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑃 − 𝐴) = ((1 − 𝑋) · (𝐵 − 𝐴)))
25	24	fveq2d 6846	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (abs‘(𝑃 − 𝐴)) = (abs‘((1 − 𝑋) · (𝐵 − 𝐴))))
26	6, 11	absmuld 15339	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (abs‘((1 − 𝑋) · (𝐵 − 𝐴))) = ((abs‘(1 − 𝑋)) · (abs‘(𝐵 − 𝐴))))
27	25, 26	eqtrd 2776	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (abs‘(𝑃 − 𝐴)) = ((abs‘(1 − 𝑋)) · (abs‘(𝐵 − 𝐴))))
28	22, 9	abssubd 15338	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (abs‘(𝑃 − 𝐵)) = (abs‘(𝐵 − 𝑃)))
29	10, 22, 9, 14	affineequiv 26173	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑃 = ((𝑋 · 𝐴) + ((1 − 𝑋) · 𝐵)) ↔ (𝐵 − 𝑃) = (𝑋 · (𝐵 − 𝐴))))
30	18, 29	mpbid 231	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐵 − 𝑃) = (𝑋 · (𝐵 − 𝐴)))
31	30	fveq2d 6846	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (abs‘(𝐵 − 𝑃)) = (abs‘(𝑋 · (𝐵 − 𝐴))))
32	14, 11	absmuld 15339	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (abs‘(𝑋 · (𝐵 − 𝐴))) = ((abs‘𝑋) · (abs‘(𝐵 − 𝐴))))
33	28, 31, 32	3eqtrd 2780	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (abs‘(𝑃 − 𝐵)) = ((abs‘𝑋) · (abs‘(𝐵 − 𝐴))))
34	27, 33	oveq12d 7375	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((abs‘(𝑃 − 𝐴)) · (abs‘(𝑃 − 𝐵))) = (((abs‘(1 − 𝑋)) · (abs‘(𝐵 − 𝐴))) · ((abs‘𝑋) · (abs‘(𝐵 − 𝐴)))))
35	13	sqvald 14048	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((abs‘(𝐵 − 𝐴))↑2) = ((abs‘(𝐵 − 𝐴)) · (abs‘(𝐵 − 𝐴))))
36	35	oveq2d 7373	. . 3 ⊢ (𝜑 → (((abs‘(1 − 𝑋)) · (abs‘𝑋)) · ((abs‘(𝐵 − 𝐴))↑2)) = (((abs‘(1 − 𝑋)) · (abs‘𝑋)) · ((abs‘(𝐵 − 𝐴)) · (abs‘(𝐵 − 𝐴)))))
37	17, 34, 36	3eqtr4d 2786	. 2 ⊢ (𝜑 → ((abs‘(𝑃 − 𝐴)) · (abs‘(𝑃 − 𝐵))) = (((abs‘(1 − 𝑋)) · (abs‘𝑋)) · ((abs‘(𝐵 − 𝐴))↑2)))
38	1	recnd 11183	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℂ)
39	38	halfcld 12398	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (1 / 2) ∈ ℂ)
40	39	sqcld 14049	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((1 / 2)↑2) ∈ ℂ)
41	1	rehalfcld 12400	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (1 / 2) ∈ ℝ)
42	41, 4	resubcld 11583	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((1 / 2) − 𝑋) ∈ ℝ)
43	42	recnd 11183	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((1 / 2) − 𝑋) ∈ ℂ)
44	43	abscld 15321	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (abs‘((1 / 2) − 𝑋)) ∈ ℝ)
45	44	recnd 11183	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (abs‘((1 / 2) − 𝑋)) ∈ ℂ)
46	45	sqcld 14049	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((abs‘((1 / 2) − 𝑋))↑2) ∈ ℂ)
47	13	sqcld 14049	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((abs‘(𝐵 − 𝐴))↑2) ∈ ℂ)
48	40, 46, 47	subdird 11612	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((((1 / 2)↑2) − ((abs‘((1 / 2) − 𝑋))↑2)) · ((abs‘(𝐵 − 𝐴))↑2)) = ((((1 / 2)↑2) · ((abs‘(𝐵 − 𝐴))↑2)) − (((abs‘((1 / 2) − 𝑋))↑2) · ((abs‘(𝐵 − 𝐴))↑2))))
49		subsq 14114	. . . . . . 7 ⊢ (((1 / 2) ∈ ℂ ∧ ((1 / 2) − 𝑋) ∈ ℂ) → (((1 / 2)↑2) − (((1 / 2) − 𝑋)↑2)) = (((1 / 2) + ((1 / 2) − 𝑋)) · ((1 / 2) − ((1 / 2) − 𝑋))))
50	39, 43, 49	syl2anc 584	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (((1 / 2)↑2) − (((1 / 2) − 𝑋)↑2)) = (((1 / 2) + ((1 / 2) − 𝑋)) · ((1 / 2) − ((1 / 2) − 𝑋))))
51	39, 39, 14	addsubassd 11532	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (((1 / 2) + (1 / 2)) − 𝑋) = ((1 / 2) + ((1 / 2) − 𝑋)))
52	38	2halvesd 12399	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((1 / 2) + (1 / 2)) = 1)
53	52	oveq1d 7372	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (((1 / 2) + (1 / 2)) − 𝑋) = (1 − 𝑋))
54	51, 53	eqtr3d 2778	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((1 / 2) + ((1 / 2) − 𝑋)) = (1 − 𝑋))
55	39, 14	nncand 11517	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((1 / 2) − ((1 / 2) − 𝑋)) = 𝑋)
56	54, 55	oveq12d 7375	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (((1 / 2) + ((1 / 2) − 𝑋)) · ((1 / 2) − ((1 / 2) − 𝑋))) = ((1 − 𝑋) · 𝑋))
57	50, 56	eqtr2d 2777	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((1 − 𝑋) · 𝑋) = (((1 / 2)↑2) − (((1 / 2) − 𝑋)↑2)))
58		elicc01 13383	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑋 ∈ (0[,]1) ↔ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑋 ∧ 𝑋 ≤ 1))
59	3, 58	sylib 217	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑋 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑋 ∧ 𝑋 ≤ 1))
60	59	simp3d 1144	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ≤ 1)
61	4, 1, 60	abssubge0d 15316	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (abs‘(1 − 𝑋)) = (1 − 𝑋))
62	59	simp2d 1143	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ 𝑋)
63	4, 62	absidd 15307	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (abs‘𝑋) = 𝑋)
64	61, 63	oveq12d 7375	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((abs‘(1 − 𝑋)) · (abs‘𝑋)) = ((1 − 𝑋) · 𝑋))
65		absresq 15187	. . . . . . 7 ⊢ (((1 / 2) − 𝑋) ∈ ℝ → ((abs‘((1 / 2) − 𝑋))↑2) = (((1 / 2) − 𝑋)↑2))
66	42, 65	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((abs‘((1 / 2) − 𝑋))↑2) = (((1 / 2) − 𝑋)↑2))
67	66	oveq2d 7373	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (((1 / 2)↑2) − ((abs‘((1 / 2) − 𝑋))↑2)) = (((1 / 2)↑2) − (((1 / 2) − 𝑋)↑2)))
68	57, 64, 67	3eqtr4d 2786	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((abs‘(1 − 𝑋)) · (abs‘𝑋)) = (((1 / 2)↑2) − ((abs‘((1 / 2) − 𝑋))↑2)))
69	68	oveq1d 7372	. . 3 ⊢ (𝜑 → (((abs‘(1 − 𝑋)) · (abs‘𝑋)) · ((abs‘(𝐵 − 𝐴))↑2)) = ((((1 / 2)↑2) − ((abs‘((1 / 2) − 𝑋))↑2)) · ((abs‘(𝐵 − 𝐴))↑2)))
70		2cnd 12231	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 2 ∈ ℂ)
71		2ne0 12257	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 2 ≠ 0
72	71	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 2 ≠ 0)
73	9, 70, 72	divcan4d 11937	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → ((𝐵 · 2) / 2) = 𝐵)
74	9	times2d 12397	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (𝐵 · 2) = (𝐵 + 𝐵))
75	74	oveq1d 7372	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → ((𝐵 · 2) / 2) = ((𝐵 + 𝐵) / 2))
76	73, 75	eqtr3d 2778	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐵 = ((𝐵 + 𝐵) / 2))
77		chordthmlem4.M	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑀 = ((𝐴 + 𝐵) / 2))
78	76, 77	oveq12d 7375	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝐵 − 𝑀) = (((𝐵 + 𝐵) / 2) − ((𝐴 + 𝐵) / 2)))
79	9, 9	addcld 11174	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝐵 + 𝐵) ∈ ℂ)
80	10, 9	addcld 11174	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝐴 + 𝐵) ∈ ℂ)
81	79, 80, 70, 72	divsubdird 11970	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (((𝐵 + 𝐵) − (𝐴 + 𝐵)) / 2) = (((𝐵 + 𝐵) / 2) − ((𝐴 + 𝐵) / 2)))
82	9, 10, 9	pnpcan2d 11550	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ((𝐵 + 𝐵) − (𝐴 + 𝐵)) = (𝐵 − 𝐴))
83	82	oveq1d 7372	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (((𝐵 + 𝐵) − (𝐴 + 𝐵)) / 2) = ((𝐵 − 𝐴) / 2))
84	78, 81, 83	3eqtr2d 2782	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝐵 − 𝑀) = ((𝐵 − 𝐴) / 2))
85	11, 70, 72	divrec2d 11935	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((𝐵 − 𝐴) / 2) = ((1 / 2) · (𝐵 − 𝐴)))
86	84, 85	eqtrd 2776	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐵 − 𝑀) = ((1 / 2) · (𝐵 − 𝐴)))
87	86	fveq2d 6846	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (abs‘(𝐵 − 𝑀)) = (abs‘((1 / 2) · (𝐵 − 𝐴))))
88	39, 11	absmuld 15339	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (abs‘((1 / 2) · (𝐵 − 𝐴))) = ((abs‘(1 / 2)) · (abs‘(𝐵 − 𝐴))))
89		0red 11158	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ ℝ)
90		halfgt0 12369	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 0 < (1 / 2)
91	90	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 0 < (1 / 2))
92	89, 41, 91	ltled 11303	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ (1 / 2))
93	41, 92	absidd 15307	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (abs‘(1 / 2)) = (1 / 2))
94	93	oveq1d 7372	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((abs‘(1 / 2)) · (abs‘(𝐵 − 𝐴))) = ((1 / 2) · (abs‘(𝐵 − 𝐴))))
95	87, 88, 94	3eqtrd 2780	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (abs‘(𝐵 − 𝑀)) = ((1 / 2) · (abs‘(𝐵 − 𝐴))))
96	95	oveq1d 7372	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((abs‘(𝐵 − 𝑀))↑2) = (((1 / 2) · (abs‘(𝐵 − 𝐴)))↑2))
97	39, 13	sqmuld 14063	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (((1 / 2) · (abs‘(𝐵 − 𝐴)))↑2) = (((1 / 2)↑2) · ((abs‘(𝐵 − 𝐴))↑2)))
98	96, 97	eqtrd 2776	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((abs‘(𝐵 − 𝑀))↑2) = (((1 / 2)↑2) · ((abs‘(𝐵 − 𝐴))↑2)))
99	39, 14, 11	subdird 11612	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (((1 / 2) − 𝑋) · (𝐵 − 𝐴)) = (((1 / 2) · (𝐵 − 𝐴)) − (𝑋 · (𝐵 − 𝐴))))
100	86, 30	oveq12d 7375	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((𝐵 − 𝑀) − (𝐵 − 𝑃)) = (((1 / 2) · (𝐵 − 𝐴)) − (𝑋 · (𝐵 − 𝐴))))
101	80	halfcld 12398	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 + 𝐵) / 2) ∈ ℂ)
102	77, 101	eqeltrd 2838	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℂ)
103	9, 102, 22	nnncan1d 11546	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((𝐵 − 𝑀) − (𝐵 − 𝑃)) = (𝑃 − 𝑀))
104	99, 100, 103	3eqtr2rd 2783	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑃 − 𝑀) = (((1 / 2) − 𝑋) · (𝐵 − 𝐴)))
105	104	fveq2d 6846	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (abs‘(𝑃 − 𝑀)) = (abs‘(((1 / 2) − 𝑋) · (𝐵 − 𝐴))))
106	43, 11	absmuld 15339	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (abs‘(((1 / 2) − 𝑋) · (𝐵 − 𝐴))) = ((abs‘((1 / 2) − 𝑋)) · (abs‘(𝐵 − 𝐴))))
107	105, 106	eqtrd 2776	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (abs‘(𝑃 − 𝑀)) = ((abs‘((1 / 2) − 𝑋)) · (abs‘(𝐵 − 𝐴))))
108	107	oveq1d 7372	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((abs‘(𝑃 − 𝑀))↑2) = (((abs‘((1 / 2) − 𝑋)) · (abs‘(𝐵 − 𝐴)))↑2))
109	45, 13	sqmuld 14063	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (((abs‘((1 / 2) − 𝑋)) · (abs‘(𝐵 − 𝐴)))↑2) = (((abs‘((1 / 2) − 𝑋))↑2) · ((abs‘(𝐵 − 𝐴))↑2)))
110	108, 109	eqtrd 2776	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((abs‘(𝑃 − 𝑀))↑2) = (((abs‘((1 / 2) − 𝑋))↑2) · ((abs‘(𝐵 − 𝐴))↑2)))
111	98, 110	oveq12d 7375	. . 3 ⊢ (𝜑 → (((abs‘(𝐵 − 𝑀))↑2) − ((abs‘(𝑃 − 𝑀))↑2)) = ((((1 / 2)↑2) · ((abs‘(𝐵 − 𝐴))↑2)) − (((abs‘((1 / 2) − 𝑋))↑2) · ((abs‘(𝐵 − 𝐴))↑2))))
112	48, 69, 111	3eqtr4rd 2787	. 2 ⊢ (𝜑 → (((abs‘(𝐵 − 𝑀))↑2) − ((abs‘(𝑃 − 𝑀))↑2)) = (((abs‘(1 − 𝑋)) · (abs‘𝑋)) · ((abs‘(𝐵 − 𝐴))↑2)))
113	37, 112	eqtr4d 2779	1 ⊢ (𝜑 → ((abs‘(𝑃 − 𝐴)) · (abs‘(𝑃 − 𝐵))) = (((abs‘(𝐵 − 𝑀))↑2) − ((abs‘(𝑃 − 𝑀))↑2)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ w3a 1087   = wceq 1541   ∈ wcel 2106   ≠ wne 2943   class class class wbr 5105  ‘cfv 6496  (class class class)co 7357  ℂcc 11049  ℝcr 11050  0cc0 11051  1c1 11052   + caddc 11054   · cmul 11056   < clt 11189   ≤ cle 11190   − cmin 11385   / cdiv 11812  2c2 12208  [,]cicc 13267  ↑cexp 13967  abscabs 15119

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-sep 5256  ax-nul 5263  ax-pow 5320  ax-pr 5384  ax-un 7672  ax-cnex 11107  ax-resscn 11108  ax-1cn 11109  ax-icn 11110  ax-addcl 11111  ax-addrcl 11112  ax-mulcl 11113  ax-mulrcl 11114  ax-mulcom 11115  ax-addass 11116  ax-mulass 11117  ax-distr 11118  ax-i2m1 11119  ax-1ne0 11120  ax-1rid 11121  ax-rnegex 11122  ax-rrecex 11123  ax-cnre 11124  ax-pre-lttri 11125  ax-pre-lttrn 11126  ax-pre-ltadd 11127  ax-pre-mulgt0 11128  ax-pre-sup 11129

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3065  df-rex 3074  df-rmo 3353  df-reu 3354  df-rab 3408  df-v 3447  df-sbc 3740  df-csb 3856  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-pss 3929  df-nul 4283  df-if 4487  df-pw 4562  df-sn 4587  df-pr 4589  df-op 4593  df-uni 4866  df-iun 4956  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5189  df-tr 5223  df-id 5531  df-eprel 5537  df-po 5545  df-so 5546  df-fr 5588  df-we 5590  df-xp 5639  df-rel 5640  df-cnv 5641  df-co 5642  df-dm 5643  df-rn 5644  df-res 5645  df-ima 5646  df-pred 6253  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6498  df-fn 6499  df-f 6500  df-f1 6501  df-fo 6502  df-f1o 6503  df-fv 6504  df-riota 7313  df-ov 7360  df-oprab 7361  df-mpo 7362  df-om 7803  df-2nd 7922  df-frecs 8212  df-wrecs 8243  df-recs 8317  df-rdg 8356  df-er 8648  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-sup 9378  df-pnf 11191  df-mnf 11192  df-xr 11193  df-ltxr 11194  df-le 11195  df-sub 11387  df-neg 11388  df-div 11813  df-nn 12154  df-2 12216  df-3 12217  df-n0 12414  df-z 12500  df-uz 12764  df-rp 12916  df-icc 13271  df-seq 13907  df-exp 13968  df-cj 14984  df-re 14985  df-im 14986  df-sqrt 15120  df-abs 15121

This theorem is referenced by:  chordthmlem5  26186