MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  chordthmlem4 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem chordthmlem4 26185
Description: If P is on the segment AB and M is the midpoint of AB, then PA · PB = BM 2 PM 2 . If all lengths are reexpressed as fractions of AB, this reduces to the identity 𝑋 · (1 − 𝑋) = (1 / 2) 2 − ((1 / 2) − 𝑋) 2 . (Contributed by David Moews, 28-Feb-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
chordthmlem4.A (𝜑𝐴 ∈ ℂ)
chordthmlem4.B (𝜑𝐵 ∈ ℂ)
chordthmlem4.X (𝜑𝑋 ∈ (0[,]1))
chordthmlem4.M (𝜑𝑀 = ((𝐴 + 𝐵) / 2))
chordthmlem4.P (𝜑𝑃 = ((𝑋 · 𝐴) + ((1 − 𝑋) · 𝐵)))
Assertion
Ref Expression
chordthmlem4 (𝜑 → ((abs‘(𝑃𝐴)) · (abs‘(𝑃𝐵))) = (((abs‘(𝐵𝑀))↑2) − ((abs‘(𝑃𝑀))↑2)))

Proof of Theorem chordthmlem4
StepHypRef Expression
1 1red 11156 . . . . . . . 8 (𝜑 → 1 ∈ ℝ)
2 unitssre 13416 . . . . . . . . 9 (0[,]1) ⊆ ℝ
3 chordthmlem4.X . . . . . . . . 9 (𝜑𝑋 ∈ (0[,]1))
42, 3sselid 3942 . . . . . . . 8 (𝜑𝑋 ∈ ℝ)
51, 4resubcld 11583 . . . . . . 7 (𝜑 → (1 − 𝑋) ∈ ℝ)
65recnd 11183 . . . . . 6 (𝜑 → (1 − 𝑋) ∈ ℂ)
76abscld 15321 . . . . 5 (𝜑 → (abs‘(1 − 𝑋)) ∈ ℝ)
87recnd 11183 . . . 4 (𝜑 → (abs‘(1 − 𝑋)) ∈ ℂ)
9 chordthmlem4.B . . . . . . 7 (𝜑𝐵 ∈ ℂ)
10 chordthmlem4.A . . . . . . 7 (𝜑𝐴 ∈ ℂ)
119, 10subcld 11512 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐵𝐴) ∈ ℂ)
1211abscld 15321 . . . . 5 (𝜑 → (abs‘(𝐵𝐴)) ∈ ℝ)
1312recnd 11183 . . . 4 (𝜑 → (abs‘(𝐵𝐴)) ∈ ℂ)
144recnd 11183 . . . . . 6 (𝜑𝑋 ∈ ℂ)
1514abscld 15321 . . . . 5 (𝜑 → (abs‘𝑋) ∈ ℝ)
1615recnd 11183 . . . 4 (𝜑 → (abs‘𝑋) ∈ ℂ)
178, 13, 16, 13mul4d 11367 . . 3 (𝜑 → (((abs‘(1 − 𝑋)) · (abs‘(𝐵𝐴))) · ((abs‘𝑋) · (abs‘(𝐵𝐴)))) = (((abs‘(1 − 𝑋)) · (abs‘𝑋)) · ((abs‘(𝐵𝐴)) · (abs‘(𝐵𝐴)))))
18 chordthmlem4.P . . . . . . 7 (𝜑𝑃 = ((𝑋 · 𝐴) + ((1 − 𝑋) · 𝐵)))
1914, 10mulcld 11175 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑋 · 𝐴) ∈ ℂ)
206, 9mulcld 11175 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((1 − 𝑋) · 𝐵) ∈ ℂ)
2119, 20addcld 11174 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((𝑋 · 𝐴) + ((1 − 𝑋) · 𝐵)) ∈ ℂ)
2218, 21eqeltrd 2838 . . . . . . . 8 (𝜑𝑃 ∈ ℂ)
2310, 22, 9, 14affineequiv2 26174 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑃 = ((𝑋 · 𝐴) + ((1 − 𝑋) · 𝐵)) ↔ (𝑃𝐴) = ((1 − 𝑋) · (𝐵𝐴))))
2418, 23mpbid 231 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑃𝐴) = ((1 − 𝑋) · (𝐵𝐴)))
2524fveq2d 6846 . . . . 5 (𝜑 → (abs‘(𝑃𝐴)) = (abs‘((1 − 𝑋) · (𝐵𝐴))))
266, 11absmuld 15339 . . . . 5 (𝜑 → (abs‘((1 − 𝑋) · (𝐵𝐴))) = ((abs‘(1 − 𝑋)) · (abs‘(𝐵𝐴))))
2725, 26eqtrd 2776 . . . 4 (𝜑 → (abs‘(𝑃𝐴)) = ((abs‘(1 − 𝑋)) · (abs‘(𝐵𝐴))))
2822, 9abssubd 15338 . . . . 5 (𝜑 → (abs‘(𝑃𝐵)) = (abs‘(𝐵𝑃)))
2910, 22, 9, 14affineequiv 26173 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑃 = ((𝑋 · 𝐴) + ((1 − 𝑋) · 𝐵)) ↔ (𝐵𝑃) = (𝑋 · (𝐵𝐴))))
3018, 29mpbid 231 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐵𝑃) = (𝑋 · (𝐵𝐴)))
3130fveq2d 6846 . . . . 5 (𝜑 → (abs‘(𝐵𝑃)) = (abs‘(𝑋 · (𝐵𝐴))))
3214, 11absmuld 15339 . . . . 5 (𝜑 → (abs‘(𝑋 · (𝐵𝐴))) = ((abs‘𝑋) · (abs‘(𝐵𝐴))))
3328, 31, 323eqtrd 2780 . . . 4 (𝜑 → (abs‘(𝑃𝐵)) = ((abs‘𝑋) · (abs‘(𝐵𝐴))))
3427, 33oveq12d 7375 . . 3 (𝜑 → ((abs‘(𝑃𝐴)) · (abs‘(𝑃𝐵))) = (((abs‘(1 − 𝑋)) · (abs‘(𝐵𝐴))) · ((abs‘𝑋) · (abs‘(𝐵𝐴)))))
3513sqvald 14048 . . . 4 (𝜑 → ((abs‘(𝐵𝐴))↑2) = ((abs‘(𝐵𝐴)) · (abs‘(𝐵𝐴))))
3635oveq2d 7373 . . 3 (𝜑 → (((abs‘(1 − 𝑋)) · (abs‘𝑋)) · ((abs‘(𝐵𝐴))↑2)) = (((abs‘(1 − 𝑋)) · (abs‘𝑋)) · ((abs‘(𝐵𝐴)) · (abs‘(𝐵𝐴)))))
3717, 34, 363eqtr4d 2786 . 2 (𝜑 → ((abs‘(𝑃𝐴)) · (abs‘(𝑃𝐵))) = (((abs‘(1 − 𝑋)) · (abs‘𝑋)) · ((abs‘(𝐵𝐴))↑2)))
381recnd 11183 . . . . . 6 (𝜑 → 1 ∈ ℂ)
3938halfcld 12398 . . . . 5 (𝜑 → (1 / 2) ∈ ℂ)
4039sqcld 14049 . . . 4 (𝜑 → ((1 / 2)↑2) ∈ ℂ)
411rehalfcld 12400 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (1 / 2) ∈ ℝ)
4241, 4resubcld 11583 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((1 / 2) − 𝑋) ∈ ℝ)
4342recnd 11183 . . . . . . 7 (𝜑 → ((1 / 2) − 𝑋) ∈ ℂ)
4443abscld 15321 . . . . . 6 (𝜑 → (abs‘((1 / 2) − 𝑋)) ∈ ℝ)
4544recnd 11183 . . . . 5 (𝜑 → (abs‘((1 / 2) − 𝑋)) ∈ ℂ)
4645sqcld 14049 . . . 4 (𝜑 → ((abs‘((1 / 2) − 𝑋))↑2) ∈ ℂ)
4713sqcld 14049 . . . 4 (𝜑 → ((abs‘(𝐵𝐴))↑2) ∈ ℂ)
4840, 46, 47subdird 11612 . . 3 (𝜑 → ((((1 / 2)↑2) − ((abs‘((1 / 2) − 𝑋))↑2)) · ((abs‘(𝐵𝐴))↑2)) = ((((1 / 2)↑2) · ((abs‘(𝐵𝐴))↑2)) − (((abs‘((1 / 2) − 𝑋))↑2) · ((abs‘(𝐵𝐴))↑2))))
49 subsq 14114 . . . . . . 7 (((1 / 2) ∈ ℂ ∧ ((1 / 2) − 𝑋) ∈ ℂ) → (((1 / 2)↑2) − (((1 / 2) − 𝑋)↑2)) = (((1 / 2) + ((1 / 2) − 𝑋)) · ((1 / 2) − ((1 / 2) − 𝑋))))
5039, 43, 49syl2anc 584 . . . . . 6 (𝜑 → (((1 / 2)↑2) − (((1 / 2) − 𝑋)↑2)) = (((1 / 2) + ((1 / 2) − 𝑋)) · ((1 / 2) − ((1 / 2) − 𝑋))))
5139, 39, 14addsubassd 11532 . . . . . . . 8 (𝜑 → (((1 / 2) + (1 / 2)) − 𝑋) = ((1 / 2) + ((1 / 2) − 𝑋)))
52382halvesd 12399 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((1 / 2) + (1 / 2)) = 1)
5352oveq1d 7372 . . . . . . . 8 (𝜑 → (((1 / 2) + (1 / 2)) − 𝑋) = (1 − 𝑋))
5451, 53eqtr3d 2778 . . . . . . 7 (𝜑 → ((1 / 2) + ((1 / 2) − 𝑋)) = (1 − 𝑋))
5539, 14nncand 11517 . . . . . . 7 (𝜑 → ((1 / 2) − ((1 / 2) − 𝑋)) = 𝑋)
5654, 55oveq12d 7375 . . . . . 6 (𝜑 → (((1 / 2) + ((1 / 2) − 𝑋)) · ((1 / 2) − ((1 / 2) − 𝑋))) = ((1 − 𝑋) · 𝑋))
5750, 56eqtr2d 2777 . . . . 5 (𝜑 → ((1 − 𝑋) · 𝑋) = (((1 / 2)↑2) − (((1 / 2) − 𝑋)↑2)))
58 elicc01 13383 . . . . . . . . 9 (𝑋 ∈ (0[,]1) ↔ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑋𝑋 ≤ 1))
593, 58sylib 217 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑋 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑋𝑋 ≤ 1))
6059simp3d 1144 . . . . . . 7 (𝜑𝑋 ≤ 1)
614, 1, 60abssubge0d 15316 . . . . . 6 (𝜑 → (abs‘(1 − 𝑋)) = (1 − 𝑋))
6259simp2d 1143 . . . . . . 7 (𝜑 → 0 ≤ 𝑋)
634, 62absidd 15307 . . . . . 6 (𝜑 → (abs‘𝑋) = 𝑋)
6461, 63oveq12d 7375 . . . . 5 (𝜑 → ((abs‘(1 − 𝑋)) · (abs‘𝑋)) = ((1 − 𝑋) · 𝑋))
65 absresq 15187 . . . . . . 7 (((1 / 2) − 𝑋) ∈ ℝ → ((abs‘((1 / 2) − 𝑋))↑2) = (((1 / 2) − 𝑋)↑2))
6642, 65syl 17 . . . . . 6 (𝜑 → ((abs‘((1 / 2) − 𝑋))↑2) = (((1 / 2) − 𝑋)↑2))
6766oveq2d 7373 . . . . 5 (𝜑 → (((1 / 2)↑2) − ((abs‘((1 / 2) − 𝑋))↑2)) = (((1 / 2)↑2) − (((1 / 2) − 𝑋)↑2)))
6857, 64, 673eqtr4d 2786 . . . 4 (𝜑 → ((abs‘(1 − 𝑋)) · (abs‘𝑋)) = (((1 / 2)↑2) − ((abs‘((1 / 2) − 𝑋))↑2)))
6968oveq1d 7372 . . 3 (𝜑 → (((abs‘(1 − 𝑋)) · (abs‘𝑋)) · ((abs‘(𝐵𝐴))↑2)) = ((((1 / 2)↑2) − ((abs‘((1 / 2) − 𝑋))↑2)) · ((abs‘(𝐵𝐴))↑2)))
70 2cnd 12231 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → 2 ∈ ℂ)
71 2ne0 12257 . . . . . . . . . . . . . 14 2 ≠ 0
7271a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → 2 ≠ 0)
739, 70, 72divcan4d 11937 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ((𝐵 · 2) / 2) = 𝐵)
749times2d 12397 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (𝐵 · 2) = (𝐵 + 𝐵))
7574oveq1d 7372 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ((𝐵 · 2) / 2) = ((𝐵 + 𝐵) / 2))
7673, 75eqtr3d 2778 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐵 = ((𝐵 + 𝐵) / 2))
77 chordthmlem4.M . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝑀 = ((𝐴 + 𝐵) / 2))
7876, 77oveq12d 7375 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝐵𝑀) = (((𝐵 + 𝐵) / 2) − ((𝐴 + 𝐵) / 2)))
799, 9addcld 11174 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝐵 + 𝐵) ∈ ℂ)
8010, 9addcld 11174 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝐴 + 𝐵) ∈ ℂ)
8179, 80, 70, 72divsubdird 11970 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (((𝐵 + 𝐵) − (𝐴 + 𝐵)) / 2) = (((𝐵 + 𝐵) / 2) − ((𝐴 + 𝐵) / 2)))
829, 10, 9pnpcan2d 11550 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ((𝐵 + 𝐵) − (𝐴 + 𝐵)) = (𝐵𝐴))
8382oveq1d 7372 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (((𝐵 + 𝐵) − (𝐴 + 𝐵)) / 2) = ((𝐵𝐴) / 2))
8478, 81, 833eqtr2d 2782 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝐵𝑀) = ((𝐵𝐴) / 2))
8511, 70, 72divrec2d 11935 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((𝐵𝐴) / 2) = ((1 / 2) · (𝐵𝐴)))
8684, 85eqtrd 2776 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐵𝑀) = ((1 / 2) · (𝐵𝐴)))
8786fveq2d 6846 . . . . . . 7 (𝜑 → (abs‘(𝐵𝑀)) = (abs‘((1 / 2) · (𝐵𝐴))))
8839, 11absmuld 15339 . . . . . . 7 (𝜑 → (abs‘((1 / 2) · (𝐵𝐴))) = ((abs‘(1 / 2)) · (abs‘(𝐵𝐴))))
89 0red 11158 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → 0 ∈ ℝ)
90 halfgt0 12369 . . . . . . . . . . 11 0 < (1 / 2)
9190a1i 11 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → 0 < (1 / 2))
9289, 41, 91ltled 11303 . . . . . . . . 9 (𝜑 → 0 ≤ (1 / 2))
9341, 92absidd 15307 . . . . . . . 8 (𝜑 → (abs‘(1 / 2)) = (1 / 2))
9493oveq1d 7372 . . . . . . 7 (𝜑 → ((abs‘(1 / 2)) · (abs‘(𝐵𝐴))) = ((1 / 2) · (abs‘(𝐵𝐴))))
9587, 88, 943eqtrd 2780 . . . . . 6 (𝜑 → (abs‘(𝐵𝑀)) = ((1 / 2) · (abs‘(𝐵𝐴))))
9695oveq1d 7372 . . . . 5 (𝜑 → ((abs‘(𝐵𝑀))↑2) = (((1 / 2) · (abs‘(𝐵𝐴)))↑2))
9739, 13sqmuld 14063 . . . . 5 (𝜑 → (((1 / 2) · (abs‘(𝐵𝐴)))↑2) = (((1 / 2)↑2) · ((abs‘(𝐵𝐴))↑2)))
9896, 97eqtrd 2776 . . . 4 (𝜑 → ((abs‘(𝐵𝑀))↑2) = (((1 / 2)↑2) · ((abs‘(𝐵𝐴))↑2)))
9939, 14, 11subdird 11612 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (((1 / 2) − 𝑋) · (𝐵𝐴)) = (((1 / 2) · (𝐵𝐴)) − (𝑋 · (𝐵𝐴))))
10086, 30oveq12d 7375 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((𝐵𝑀) − (𝐵𝑃)) = (((1 / 2) · (𝐵𝐴)) − (𝑋 · (𝐵𝐴))))
10180halfcld 12398 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ((𝐴 + 𝐵) / 2) ∈ ℂ)
10277, 101eqeltrd 2838 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑀 ∈ ℂ)
1039, 102, 22nnncan1d 11546 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((𝐵𝑀) − (𝐵𝑃)) = (𝑃𝑀))
10499, 100, 1033eqtr2rd 2783 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑃𝑀) = (((1 / 2) − 𝑋) · (𝐵𝐴)))
105104fveq2d 6846 . . . . . . 7 (𝜑 → (abs‘(𝑃𝑀)) = (abs‘(((1 / 2) − 𝑋) · (𝐵𝐴))))
10643, 11absmuld 15339 . . . . . . 7 (𝜑 → (abs‘(((1 / 2) − 𝑋) · (𝐵𝐴))) = ((abs‘((1 / 2) − 𝑋)) · (abs‘(𝐵𝐴))))
107105, 106eqtrd 2776 . . . . . 6 (𝜑 → (abs‘(𝑃𝑀)) = ((abs‘((1 / 2) − 𝑋)) · (abs‘(𝐵𝐴))))
108107oveq1d 7372 . . . . 5 (𝜑 → ((abs‘(𝑃𝑀))↑2) = (((abs‘((1 / 2) − 𝑋)) · (abs‘(𝐵𝐴)))↑2))
10945, 13sqmuld 14063 . . . . 5 (𝜑 → (((abs‘((1 / 2) − 𝑋)) · (abs‘(𝐵𝐴)))↑2) = (((abs‘((1 / 2) − 𝑋))↑2) · ((abs‘(𝐵𝐴))↑2)))
110108, 109eqtrd 2776 . . . 4 (𝜑 → ((abs‘(𝑃𝑀))↑2) = (((abs‘((1 / 2) − 𝑋))↑2) · ((abs‘(𝐵𝐴))↑2)))
11198, 110oveq12d 7375 . . 3 (𝜑 → (((abs‘(𝐵𝑀))↑2) − ((abs‘(𝑃𝑀))↑2)) = ((((1 / 2)↑2) · ((abs‘(𝐵𝐴))↑2)) − (((abs‘((1 / 2) − 𝑋))↑2) · ((abs‘(𝐵𝐴))↑2))))
11248, 69, 1113eqtr4rd 2787 . 2 (𝜑 → (((abs‘(𝐵𝑀))↑2) − ((abs‘(𝑃𝑀))↑2)) = (((abs‘(1 − 𝑋)) · (abs‘𝑋)) · ((abs‘(𝐵𝐴))↑2)))
11337, 112eqtr4d 2779 1 (𝜑 → ((abs‘(𝑃𝐴)) · (abs‘(𝑃𝐵))) = (((abs‘(𝐵𝑀))↑2) − ((abs‘(𝑃𝑀))↑2)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  w3a 1087   = wceq 1541  wcel 2106  wne 2943   class class class wbr 5105  cfv 6496  (class class class)co 7357  cc 11049  cr 11050  0cc0 11051  1c1 11052   + caddc 11054   · cmul 11056   < clt 11189  cle 11190  cmin 11385   / cdiv 11812  2c2 12208  [,]cicc 13267  cexp 13967  abscabs 15119
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-sep 5256  ax-nul 5263  ax-pow 5320  ax-pr 5384  ax-un 7672  ax-cnex 11107  ax-resscn 11108  ax-1cn 11109  ax-icn 11110  ax-addcl 11111  ax-addrcl 11112  ax-mulcl 11113  ax-mulrcl 11114  ax-mulcom 11115  ax-addass 11116  ax-mulass 11117  ax-distr 11118  ax-i2m1 11119  ax-1ne0 11120  ax-1rid 11121  ax-rnegex 11122  ax-rrecex 11123  ax-cnre 11124  ax-pre-lttri 11125  ax-pre-lttrn 11126  ax-pre-ltadd 11127  ax-pre-mulgt0 11128  ax-pre-sup 11129
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3065  df-rex 3074  df-rmo 3353  df-reu 3354  df-rab 3408  df-v 3447  df-sbc 3740  df-csb 3856  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-pss 3929  df-nul 4283  df-if 4487  df-pw 4562  df-sn 4587  df-pr 4589  df-op 4593  df-uni 4866  df-iun 4956  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5189  df-tr 5223  df-id 5531  df-eprel 5537  df-po 5545  df-so 5546  df-fr 5588  df-we 5590  df-xp 5639  df-rel 5640  df-cnv 5641  df-co 5642  df-dm 5643  df-rn 5644  df-res 5645  df-ima 5646  df-pred 6253  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6498  df-fn 6499  df-f 6500  df-f1 6501  df-fo 6502  df-f1o 6503  df-fv 6504  df-riota 7313  df-ov 7360  df-oprab 7361  df-mpo 7362  df-om 7803  df-2nd 7922  df-frecs 8212  df-wrecs 8243  df-recs 8317  df-rdg 8356  df-er 8648  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-sup 9378  df-pnf 11191  df-mnf 11192  df-xr 11193  df-ltxr 11194  df-le 11195  df-sub 11387  df-neg 11388  df-div 11813  df-nn 12154  df-2 12216  df-3 12217  df-n0 12414  df-z 12500  df-uz 12764  df-rp 12916  df-icc 13271  df-seq 13907  df-exp 13968  df-cj 14984  df-re 14985  df-im 14986  df-sqrt 15120  df-abs 15121
This theorem is referenced by:  chordthmlem5  26186
  Copyright terms: Public domain W3C validator