MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  chordthmlem4 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem chordthmlem4 26201
Description: If P is on the segment AB and M is the midpoint of AB, then PA ยท PB = BM 2 โˆ’ PM 2 . If all lengths are reexpressed as fractions of AB, this reduces to the identity ๐‘‹ ยท (1 โˆ’ ๐‘‹) = (1 / 2) 2 โˆ’ ((1 / 2) โˆ’ ๐‘‹) 2 . (Contributed by David Moews, 28-Feb-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
chordthmlem4.A (๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ โ„‚)
chordthmlem4.B (๐œ‘ โ†’ ๐ต โˆˆ โ„‚)
chordthmlem4.X (๐œ‘ โ†’ ๐‘‹ โˆˆ (0[,]1))
chordthmlem4.M (๐œ‘ โ†’ ๐‘€ = ((๐ด + ๐ต) / 2))
chordthmlem4.P (๐œ‘ โ†’ ๐‘ƒ = ((๐‘‹ ยท ๐ด) + ((1 โˆ’ ๐‘‹) ยท ๐ต)))
Assertion
Ref Expression
chordthmlem4 (๐œ‘ โ†’ ((absโ€˜(๐‘ƒ โˆ’ ๐ด)) ยท (absโ€˜(๐‘ƒ โˆ’ ๐ต))) = (((absโ€˜(๐ต โˆ’ ๐‘€))โ†‘2) โˆ’ ((absโ€˜(๐‘ƒ โˆ’ ๐‘€))โ†‘2)))

Proof of Theorem chordthmlem4
StepHypRef Expression
1 1red 11163 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ 1 โˆˆ โ„)
2 unitssre 13423 . . . . . . . . 9 (0[,]1) โŠ† โ„
3 chordthmlem4.X . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ ๐‘‹ โˆˆ (0[,]1))
42, 3sselid 3947 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ ๐‘‹ โˆˆ โ„)
51, 4resubcld 11590 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ (1 โˆ’ ๐‘‹) โˆˆ โ„)
65recnd 11190 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ (1 โˆ’ ๐‘‹) โˆˆ โ„‚)
76abscld 15328 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ (absโ€˜(1 โˆ’ ๐‘‹)) โˆˆ โ„)
87recnd 11190 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ (absโ€˜(1 โˆ’ ๐‘‹)) โˆˆ โ„‚)
9 chordthmlem4.B . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ ๐ต โˆˆ โ„‚)
10 chordthmlem4.A . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ โ„‚)
119, 10subcld 11519 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ (๐ต โˆ’ ๐ด) โˆˆ โ„‚)
1211abscld 15328 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ (absโ€˜(๐ต โˆ’ ๐ด)) โˆˆ โ„)
1312recnd 11190 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ (absโ€˜(๐ต โˆ’ ๐ด)) โˆˆ โ„‚)
144recnd 11190 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ ๐‘‹ โˆˆ โ„‚)
1514abscld 15328 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ (absโ€˜๐‘‹) โˆˆ โ„)
1615recnd 11190 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ (absโ€˜๐‘‹) โˆˆ โ„‚)
178, 13, 16, 13mul4d 11374 . . 3 (๐œ‘ โ†’ (((absโ€˜(1 โˆ’ ๐‘‹)) ยท (absโ€˜(๐ต โˆ’ ๐ด))) ยท ((absโ€˜๐‘‹) ยท (absโ€˜(๐ต โˆ’ ๐ด)))) = (((absโ€˜(1 โˆ’ ๐‘‹)) ยท (absโ€˜๐‘‹)) ยท ((absโ€˜(๐ต โˆ’ ๐ด)) ยท (absโ€˜(๐ต โˆ’ ๐ด)))))
18 chordthmlem4.P . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ƒ = ((๐‘‹ ยท ๐ด) + ((1 โˆ’ ๐‘‹) ยท ๐ต)))
1914, 10mulcld 11182 . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ (๐‘‹ ยท ๐ด) โˆˆ โ„‚)
206, 9mulcld 11182 . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ ((1 โˆ’ ๐‘‹) ยท ๐ต) โˆˆ โ„‚)
2119, 20addcld 11181 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ ((๐‘‹ ยท ๐ด) + ((1 โˆ’ ๐‘‹) ยท ๐ต)) โˆˆ โ„‚)
2218, 21eqeltrd 2838 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ƒ โˆˆ โ„‚)
2310, 22, 9, 14affineequiv2 26190 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ (๐‘ƒ = ((๐‘‹ ยท ๐ด) + ((1 โˆ’ ๐‘‹) ยท ๐ต)) โ†” (๐‘ƒ โˆ’ ๐ด) = ((1 โˆ’ ๐‘‹) ยท (๐ต โˆ’ ๐ด))))
2418, 23mpbid 231 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ (๐‘ƒ โˆ’ ๐ด) = ((1 โˆ’ ๐‘‹) ยท (๐ต โˆ’ ๐ด)))
2524fveq2d 6851 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ (absโ€˜(๐‘ƒ โˆ’ ๐ด)) = (absโ€˜((1 โˆ’ ๐‘‹) ยท (๐ต โˆ’ ๐ด))))
266, 11absmuld 15346 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ (absโ€˜((1 โˆ’ ๐‘‹) ยท (๐ต โˆ’ ๐ด))) = ((absโ€˜(1 โˆ’ ๐‘‹)) ยท (absโ€˜(๐ต โˆ’ ๐ด))))
2725, 26eqtrd 2777 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ (absโ€˜(๐‘ƒ โˆ’ ๐ด)) = ((absโ€˜(1 โˆ’ ๐‘‹)) ยท (absโ€˜(๐ต โˆ’ ๐ด))))
2822, 9abssubd 15345 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ (absโ€˜(๐‘ƒ โˆ’ ๐ต)) = (absโ€˜(๐ต โˆ’ ๐‘ƒ)))
2910, 22, 9, 14affineequiv 26189 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ (๐‘ƒ = ((๐‘‹ ยท ๐ด) + ((1 โˆ’ ๐‘‹) ยท ๐ต)) โ†” (๐ต โˆ’ ๐‘ƒ) = (๐‘‹ ยท (๐ต โˆ’ ๐ด))))
3018, 29mpbid 231 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ (๐ต โˆ’ ๐‘ƒ) = (๐‘‹ ยท (๐ต โˆ’ ๐ด)))
3130fveq2d 6851 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ (absโ€˜(๐ต โˆ’ ๐‘ƒ)) = (absโ€˜(๐‘‹ ยท (๐ต โˆ’ ๐ด))))
3214, 11absmuld 15346 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ (absโ€˜(๐‘‹ ยท (๐ต โˆ’ ๐ด))) = ((absโ€˜๐‘‹) ยท (absโ€˜(๐ต โˆ’ ๐ด))))
3328, 31, 323eqtrd 2781 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ (absโ€˜(๐‘ƒ โˆ’ ๐ต)) = ((absโ€˜๐‘‹) ยท (absโ€˜(๐ต โˆ’ ๐ด))))
3427, 33oveq12d 7380 . . 3 (๐œ‘ โ†’ ((absโ€˜(๐‘ƒ โˆ’ ๐ด)) ยท (absโ€˜(๐‘ƒ โˆ’ ๐ต))) = (((absโ€˜(1 โˆ’ ๐‘‹)) ยท (absโ€˜(๐ต โˆ’ ๐ด))) ยท ((absโ€˜๐‘‹) ยท (absโ€˜(๐ต โˆ’ ๐ด)))))
3513sqvald 14055 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ ((absโ€˜(๐ต โˆ’ ๐ด))โ†‘2) = ((absโ€˜(๐ต โˆ’ ๐ด)) ยท (absโ€˜(๐ต โˆ’ ๐ด))))
3635oveq2d 7378 . . 3 (๐œ‘ โ†’ (((absโ€˜(1 โˆ’ ๐‘‹)) ยท (absโ€˜๐‘‹)) ยท ((absโ€˜(๐ต โˆ’ ๐ด))โ†‘2)) = (((absโ€˜(1 โˆ’ ๐‘‹)) ยท (absโ€˜๐‘‹)) ยท ((absโ€˜(๐ต โˆ’ ๐ด)) ยท (absโ€˜(๐ต โˆ’ ๐ด)))))
3717, 34, 363eqtr4d 2787 . 2 (๐œ‘ โ†’ ((absโ€˜(๐‘ƒ โˆ’ ๐ด)) ยท (absโ€˜(๐‘ƒ โˆ’ ๐ต))) = (((absโ€˜(1 โˆ’ ๐‘‹)) ยท (absโ€˜๐‘‹)) ยท ((absโ€˜(๐ต โˆ’ ๐ด))โ†‘2)))
381recnd 11190 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ 1 โˆˆ โ„‚)
3938halfcld 12405 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ (1 / 2) โˆˆ โ„‚)
4039sqcld 14056 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ ((1 / 2)โ†‘2) โˆˆ โ„‚)
411rehalfcld 12407 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ (1 / 2) โˆˆ โ„)
4241, 4resubcld 11590 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ ((1 / 2) โˆ’ ๐‘‹) โˆˆ โ„)
4342recnd 11190 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ ((1 / 2) โˆ’ ๐‘‹) โˆˆ โ„‚)
4443abscld 15328 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ (absโ€˜((1 / 2) โˆ’ ๐‘‹)) โˆˆ โ„)
4544recnd 11190 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ (absโ€˜((1 / 2) โˆ’ ๐‘‹)) โˆˆ โ„‚)
4645sqcld 14056 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ ((absโ€˜((1 / 2) โˆ’ ๐‘‹))โ†‘2) โˆˆ โ„‚)
4713sqcld 14056 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ ((absโ€˜(๐ต โˆ’ ๐ด))โ†‘2) โˆˆ โ„‚)
4840, 46, 47subdird 11619 . . 3 (๐œ‘ โ†’ ((((1 / 2)โ†‘2) โˆ’ ((absโ€˜((1 / 2) โˆ’ ๐‘‹))โ†‘2)) ยท ((absโ€˜(๐ต โˆ’ ๐ด))โ†‘2)) = ((((1 / 2)โ†‘2) ยท ((absโ€˜(๐ต โˆ’ ๐ด))โ†‘2)) โˆ’ (((absโ€˜((1 / 2) โˆ’ ๐‘‹))โ†‘2) ยท ((absโ€˜(๐ต โˆ’ ๐ด))โ†‘2))))
49 subsq 14121 . . . . . . 7 (((1 / 2) โˆˆ โ„‚ โˆง ((1 / 2) โˆ’ ๐‘‹) โˆˆ โ„‚) โ†’ (((1 / 2)โ†‘2) โˆ’ (((1 / 2) โˆ’ ๐‘‹)โ†‘2)) = (((1 / 2) + ((1 / 2) โˆ’ ๐‘‹)) ยท ((1 / 2) โˆ’ ((1 / 2) โˆ’ ๐‘‹))))
5039, 43, 49syl2anc 585 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ (((1 / 2)โ†‘2) โˆ’ (((1 / 2) โˆ’ ๐‘‹)โ†‘2)) = (((1 / 2) + ((1 / 2) โˆ’ ๐‘‹)) ยท ((1 / 2) โˆ’ ((1 / 2) โˆ’ ๐‘‹))))
5139, 39, 14addsubassd 11539 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ (((1 / 2) + (1 / 2)) โˆ’ ๐‘‹) = ((1 / 2) + ((1 / 2) โˆ’ ๐‘‹)))
52382halvesd 12406 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ ((1 / 2) + (1 / 2)) = 1)
5352oveq1d 7377 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ (((1 / 2) + (1 / 2)) โˆ’ ๐‘‹) = (1 โˆ’ ๐‘‹))
5451, 53eqtr3d 2779 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ ((1 / 2) + ((1 / 2) โˆ’ ๐‘‹)) = (1 โˆ’ ๐‘‹))
5539, 14nncand 11524 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ ((1 / 2) โˆ’ ((1 / 2) โˆ’ ๐‘‹)) = ๐‘‹)
5654, 55oveq12d 7380 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ (((1 / 2) + ((1 / 2) โˆ’ ๐‘‹)) ยท ((1 / 2) โˆ’ ((1 / 2) โˆ’ ๐‘‹))) = ((1 โˆ’ ๐‘‹) ยท ๐‘‹))
5750, 56eqtr2d 2778 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ ((1 โˆ’ ๐‘‹) ยท ๐‘‹) = (((1 / 2)โ†‘2) โˆ’ (((1 / 2) โˆ’ ๐‘‹)โ†‘2)))
58 elicc01 13390 . . . . . . . . 9 (๐‘‹ โˆˆ (0[,]1) โ†” (๐‘‹ โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐‘‹ โˆง ๐‘‹ โ‰ค 1))
593, 58sylib 217 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ (๐‘‹ โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐‘‹ โˆง ๐‘‹ โ‰ค 1))
6059simp3d 1145 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ ๐‘‹ โ‰ค 1)
614, 1, 60abssubge0d 15323 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ (absโ€˜(1 โˆ’ ๐‘‹)) = (1 โˆ’ ๐‘‹))
6259simp2d 1144 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ 0 โ‰ค ๐‘‹)
634, 62absidd 15314 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ (absโ€˜๐‘‹) = ๐‘‹)
6461, 63oveq12d 7380 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ ((absโ€˜(1 โˆ’ ๐‘‹)) ยท (absโ€˜๐‘‹)) = ((1 โˆ’ ๐‘‹) ยท ๐‘‹))
65 absresq 15194 . . . . . . 7 (((1 / 2) โˆ’ ๐‘‹) โˆˆ โ„ โ†’ ((absโ€˜((1 / 2) โˆ’ ๐‘‹))โ†‘2) = (((1 / 2) โˆ’ ๐‘‹)โ†‘2))
6642, 65syl 17 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ ((absโ€˜((1 / 2) โˆ’ ๐‘‹))โ†‘2) = (((1 / 2) โˆ’ ๐‘‹)โ†‘2))
6766oveq2d 7378 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ (((1 / 2)โ†‘2) โˆ’ ((absโ€˜((1 / 2) โˆ’ ๐‘‹))โ†‘2)) = (((1 / 2)โ†‘2) โˆ’ (((1 / 2) โˆ’ ๐‘‹)โ†‘2)))
6857, 64, 673eqtr4d 2787 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ ((absโ€˜(1 โˆ’ ๐‘‹)) ยท (absโ€˜๐‘‹)) = (((1 / 2)โ†‘2) โˆ’ ((absโ€˜((1 / 2) โˆ’ ๐‘‹))โ†‘2)))
6968oveq1d 7377 . . 3 (๐œ‘ โ†’ (((absโ€˜(1 โˆ’ ๐‘‹)) ยท (absโ€˜๐‘‹)) ยท ((absโ€˜(๐ต โˆ’ ๐ด))โ†‘2)) = ((((1 / 2)โ†‘2) โˆ’ ((absโ€˜((1 / 2) โˆ’ ๐‘‹))โ†‘2)) ยท ((absโ€˜(๐ต โˆ’ ๐ด))โ†‘2)))
70 2cnd 12238 . . . . . . . . . . . . 13 (๐œ‘ โ†’ 2 โˆˆ โ„‚)
71 2ne0 12264 . . . . . . . . . . . . . 14 2 โ‰  0
7271a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 (๐œ‘ โ†’ 2 โ‰  0)
739, 70, 72divcan4d 11944 . . . . . . . . . . . 12 (๐œ‘ โ†’ ((๐ต ยท 2) / 2) = ๐ต)
749times2d 12404 . . . . . . . . . . . . 13 (๐œ‘ โ†’ (๐ต ยท 2) = (๐ต + ๐ต))
7574oveq1d 7377 . . . . . . . . . . . 12 (๐œ‘ โ†’ ((๐ต ยท 2) / 2) = ((๐ต + ๐ต) / 2))
7673, 75eqtr3d 2779 . . . . . . . . . . 11 (๐œ‘ โ†’ ๐ต = ((๐ต + ๐ต) / 2))
77 chordthmlem4.M . . . . . . . . . . 11 (๐œ‘ โ†’ ๐‘€ = ((๐ด + ๐ต) / 2))
7876, 77oveq12d 7380 . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ (๐ต โˆ’ ๐‘€) = (((๐ต + ๐ต) / 2) โˆ’ ((๐ด + ๐ต) / 2)))
799, 9addcld 11181 . . . . . . . . . . 11 (๐œ‘ โ†’ (๐ต + ๐ต) โˆˆ โ„‚)
8010, 9addcld 11181 . . . . . . . . . . 11 (๐œ‘ โ†’ (๐ด + ๐ต) โˆˆ โ„‚)
8179, 80, 70, 72divsubdird 11977 . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ (((๐ต + ๐ต) โˆ’ (๐ด + ๐ต)) / 2) = (((๐ต + ๐ต) / 2) โˆ’ ((๐ด + ๐ต) / 2)))
829, 10, 9pnpcan2d 11557 . . . . . . . . . . 11 (๐œ‘ โ†’ ((๐ต + ๐ต) โˆ’ (๐ด + ๐ต)) = (๐ต โˆ’ ๐ด))
8382oveq1d 7377 . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ (((๐ต + ๐ต) โˆ’ (๐ด + ๐ต)) / 2) = ((๐ต โˆ’ ๐ด) / 2))
8478, 81, 833eqtr2d 2783 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ (๐ต โˆ’ ๐‘€) = ((๐ต โˆ’ ๐ด) / 2))
8511, 70, 72divrec2d 11942 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ ((๐ต โˆ’ ๐ด) / 2) = ((1 / 2) ยท (๐ต โˆ’ ๐ด)))
8684, 85eqtrd 2777 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ (๐ต โˆ’ ๐‘€) = ((1 / 2) ยท (๐ต โˆ’ ๐ด)))
8786fveq2d 6851 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ (absโ€˜(๐ต โˆ’ ๐‘€)) = (absโ€˜((1 / 2) ยท (๐ต โˆ’ ๐ด))))
8839, 11absmuld 15346 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ (absโ€˜((1 / 2) ยท (๐ต โˆ’ ๐ด))) = ((absโ€˜(1 / 2)) ยท (absโ€˜(๐ต โˆ’ ๐ด))))
89 0red 11165 . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ 0 โˆˆ โ„)
90 halfgt0 12376 . . . . . . . . . . 11 0 < (1 / 2)
9190a1i 11 . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ 0 < (1 / 2))
9289, 41, 91ltled 11310 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ 0 โ‰ค (1 / 2))
9341, 92absidd 15314 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ (absโ€˜(1 / 2)) = (1 / 2))
9493oveq1d 7377 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ ((absโ€˜(1 / 2)) ยท (absโ€˜(๐ต โˆ’ ๐ด))) = ((1 / 2) ยท (absโ€˜(๐ต โˆ’ ๐ด))))
9587, 88, 943eqtrd 2781 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ (absโ€˜(๐ต โˆ’ ๐‘€)) = ((1 / 2) ยท (absโ€˜(๐ต โˆ’ ๐ด))))
9695oveq1d 7377 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ ((absโ€˜(๐ต โˆ’ ๐‘€))โ†‘2) = (((1 / 2) ยท (absโ€˜(๐ต โˆ’ ๐ด)))โ†‘2))
9739, 13sqmuld 14070 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ (((1 / 2) ยท (absโ€˜(๐ต โˆ’ ๐ด)))โ†‘2) = (((1 / 2)โ†‘2) ยท ((absโ€˜(๐ต โˆ’ ๐ด))โ†‘2)))
9896, 97eqtrd 2777 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ ((absโ€˜(๐ต โˆ’ ๐‘€))โ†‘2) = (((1 / 2)โ†‘2) ยท ((absโ€˜(๐ต โˆ’ ๐ด))โ†‘2)))
9939, 14, 11subdird 11619 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ (((1 / 2) โˆ’ ๐‘‹) ยท (๐ต โˆ’ ๐ด)) = (((1 / 2) ยท (๐ต โˆ’ ๐ด)) โˆ’ (๐‘‹ ยท (๐ต โˆ’ ๐ด))))
10086, 30oveq12d 7380 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ ((๐ต โˆ’ ๐‘€) โˆ’ (๐ต โˆ’ ๐‘ƒ)) = (((1 / 2) ยท (๐ต โˆ’ ๐ด)) โˆ’ (๐‘‹ ยท (๐ต โˆ’ ๐ด))))
10180halfcld 12405 . . . . . . . . . . 11 (๐œ‘ โ†’ ((๐ด + ๐ต) / 2) โˆˆ โ„‚)
10277, 101eqeltrd 2838 . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ ๐‘€ โˆˆ โ„‚)
1039, 102, 22nnncan1d 11553 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ ((๐ต โˆ’ ๐‘€) โˆ’ (๐ต โˆ’ ๐‘ƒ)) = (๐‘ƒ โˆ’ ๐‘€))
10499, 100, 1033eqtr2rd 2784 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ (๐‘ƒ โˆ’ ๐‘€) = (((1 / 2) โˆ’ ๐‘‹) ยท (๐ต โˆ’ ๐ด)))
105104fveq2d 6851 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ (absโ€˜(๐‘ƒ โˆ’ ๐‘€)) = (absโ€˜(((1 / 2) โˆ’ ๐‘‹) ยท (๐ต โˆ’ ๐ด))))
10643, 11absmuld 15346 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ (absโ€˜(((1 / 2) โˆ’ ๐‘‹) ยท (๐ต โˆ’ ๐ด))) = ((absโ€˜((1 / 2) โˆ’ ๐‘‹)) ยท (absโ€˜(๐ต โˆ’ ๐ด))))
107105, 106eqtrd 2777 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ (absโ€˜(๐‘ƒ โˆ’ ๐‘€)) = ((absโ€˜((1 / 2) โˆ’ ๐‘‹)) ยท (absโ€˜(๐ต โˆ’ ๐ด))))
108107oveq1d 7377 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ ((absโ€˜(๐‘ƒ โˆ’ ๐‘€))โ†‘2) = (((absโ€˜((1 / 2) โˆ’ ๐‘‹)) ยท (absโ€˜(๐ต โˆ’ ๐ด)))โ†‘2))
10945, 13sqmuld 14070 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ (((absโ€˜((1 / 2) โˆ’ ๐‘‹)) ยท (absโ€˜(๐ต โˆ’ ๐ด)))โ†‘2) = (((absโ€˜((1 / 2) โˆ’ ๐‘‹))โ†‘2) ยท ((absโ€˜(๐ต โˆ’ ๐ด))โ†‘2)))
110108, 109eqtrd 2777 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ ((absโ€˜(๐‘ƒ โˆ’ ๐‘€))โ†‘2) = (((absโ€˜((1 / 2) โˆ’ ๐‘‹))โ†‘2) ยท ((absโ€˜(๐ต โˆ’ ๐ด))โ†‘2)))
11198, 110oveq12d 7380 . . 3 (๐œ‘ โ†’ (((absโ€˜(๐ต โˆ’ ๐‘€))โ†‘2) โˆ’ ((absโ€˜(๐‘ƒ โˆ’ ๐‘€))โ†‘2)) = ((((1 / 2)โ†‘2) ยท ((absโ€˜(๐ต โˆ’ ๐ด))โ†‘2)) โˆ’ (((absโ€˜((1 / 2) โˆ’ ๐‘‹))โ†‘2) ยท ((absโ€˜(๐ต โˆ’ ๐ด))โ†‘2))))
11248, 69, 1113eqtr4rd 2788 . 2 (๐œ‘ โ†’ (((absโ€˜(๐ต โˆ’ ๐‘€))โ†‘2) โˆ’ ((absโ€˜(๐‘ƒ โˆ’ ๐‘€))โ†‘2)) = (((absโ€˜(1 โˆ’ ๐‘‹)) ยท (absโ€˜๐‘‹)) ยท ((absโ€˜(๐ต โˆ’ ๐ด))โ†‘2)))
11337, 112eqtr4d 2780 1 (๐œ‘ โ†’ ((absโ€˜(๐‘ƒ โˆ’ ๐ด)) ยท (absโ€˜(๐‘ƒ โˆ’ ๐ต))) = (((absโ€˜(๐ต โˆ’ ๐‘€))โ†‘2) โˆ’ ((absโ€˜(๐‘ƒ โˆ’ ๐‘€))โ†‘2)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โˆง w3a 1088   = wceq 1542   โˆˆ wcel 2107   โ‰  wne 2944   class class class wbr 5110  โ€˜cfv 6501  (class class class)co 7362  โ„‚cc 11056  โ„cr 11057  0cc0 11058  1c1 11059   + caddc 11061   ยท cmul 11063   < clt 11196   โ‰ค cle 11197   โˆ’ cmin 11392   / cdiv 11819  2c2 12215  [,]cicc 13274  โ†‘cexp 13974  abscabs 15126
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2708  ax-sep 5261  ax-nul 5268  ax-pow 5325  ax-pr 5389  ax-un 7677  ax-cnex 11114  ax-resscn 11115  ax-1cn 11116  ax-icn 11117  ax-addcl 11118  ax-addrcl 11119  ax-mulcl 11120  ax-mulrcl 11121  ax-mulcom 11122  ax-addass 11123  ax-mulass 11124  ax-distr 11125  ax-i2m1 11126  ax-1ne0 11127  ax-1rid 11128  ax-rnegex 11129  ax-rrecex 11130  ax-cnre 11131  ax-pre-lttri 11132  ax-pre-lttrn 11133  ax-pre-ltadd 11134  ax-pre-mulgt0 11135  ax-pre-sup 11136
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-nel 3051  df-ral 3066  df-rex 3075  df-rmo 3356  df-reu 3357  df-rab 3411  df-v 3450  df-sbc 3745  df-csb 3861  df-dif 3918  df-un 3920  df-in 3922  df-ss 3932  df-pss 3934  df-nul 4288  df-if 4492  df-pw 4567  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4871  df-iun 4961  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5194  df-tr 5228  df-id 5536  df-eprel 5542  df-po 5550  df-so 5551  df-fr 5593  df-we 5595  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-pred 6258  df-ord 6325  df-on 6326  df-lim 6327  df-suc 6328  df-iota 6453  df-fun 6503  df-fn 6504  df-f 6505  df-f1 6506  df-fo 6507  df-f1o 6508  df-fv 6509  df-riota 7318  df-ov 7365  df-oprab 7366  df-mpo 7367  df-om 7808  df-2nd 7927  df-frecs 8217  df-wrecs 8248  df-recs 8322  df-rdg 8361  df-er 8655  df-en 8891  df-dom 8892  df-sdom 8893  df-sup 9385  df-pnf 11198  df-mnf 11199  df-xr 11200  df-ltxr 11201  df-le 11202  df-sub 11394  df-neg 11395  df-div 11820  df-nn 12161  df-2 12223  df-3 12224  df-n0 12421  df-z 12507  df-uz 12771  df-rp 12923  df-icc 13278  df-seq 13914  df-exp 13975  df-cj 14991  df-re 14992  df-im 14993  df-sqrt 15127  df-abs 15128
This theorem is referenced by:  chordthmlem5  26202
  Copyright terms: Public domain W3C validator