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Theorem climcndslem2 15796
Description: Lemma for climcnds 15797: bound the condensed series by the original series. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Jul-2014.) (Proof shortened by AV, 10-Jul-2022.)
Hypotheses
Ref Expression
climcnds.1 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ ℝ)
climcnds.2 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ 0 ≀ (πΉβ€˜π‘˜))
climcnds.3 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ (πΉβ€˜(π‘˜ + 1)) ≀ (πΉβ€˜π‘˜))
climcnds.4 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•0) β†’ (πΊβ€˜π‘›) = ((2↑𝑛) Β· (πΉβ€˜(2↑𝑛))))
Assertion
Ref Expression
climcndslem2 ((πœ‘ ∧ 𝑁 ∈ β„•) β†’ (seq1( + , 𝐺)β€˜π‘) ≀ (2 Β· (seq1( + , 𝐹)β€˜(2↑𝑁))))
Distinct variable groups:   π‘˜,𝑛,𝐹   π‘˜,𝐺,𝑛   πœ‘,π‘˜,𝑛
Allowed substitution hints:   𝑁(π‘˜,𝑛)

Proof of Theorem climcndslem2
Dummy variables 𝑗 π‘₯ are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fveq2 6892 . . . . 5 (π‘₯ = 1 β†’ (seq1( + , 𝐺)β€˜π‘₯) = (seq1( + , 𝐺)β€˜1))
2 oveq2 7417 . . . . . . . 8 (π‘₯ = 1 β†’ (2↑π‘₯) = (2↑1))
3 2cn 12287 . . . . . . . . 9 2 ∈ β„‚
4 exp1 14033 . . . . . . . . 9 (2 ∈ β„‚ β†’ (2↑1) = 2)
53, 4ax-mp 5 . . . . . . . 8 (2↑1) = 2
62, 5eqtrdi 2789 . . . . . . 7 (π‘₯ = 1 β†’ (2↑π‘₯) = 2)
76fveq2d 6896 . . . . . 6 (π‘₯ = 1 β†’ (seq1( + , 𝐹)β€˜(2↑π‘₯)) = (seq1( + , 𝐹)β€˜2))
87oveq2d 7425 . . . . 5 (π‘₯ = 1 β†’ (2 Β· (seq1( + , 𝐹)β€˜(2↑π‘₯))) = (2 Β· (seq1( + , 𝐹)β€˜2)))
91, 8breq12d 5162 . . . 4 (π‘₯ = 1 β†’ ((seq1( + , 𝐺)β€˜π‘₯) ≀ (2 Β· (seq1( + , 𝐹)β€˜(2↑π‘₯))) ↔ (seq1( + , 𝐺)β€˜1) ≀ (2 Β· (seq1( + , 𝐹)β€˜2))))
109imbi2d 341 . . 3 (π‘₯ = 1 β†’ ((πœ‘ β†’ (seq1( + , 𝐺)β€˜π‘₯) ≀ (2 Β· (seq1( + , 𝐹)β€˜(2↑π‘₯)))) ↔ (πœ‘ β†’ (seq1( + , 𝐺)β€˜1) ≀ (2 Β· (seq1( + , 𝐹)β€˜2)))))
11 fveq2 6892 . . . . 5 (π‘₯ = 𝑗 β†’ (seq1( + , 𝐺)β€˜π‘₯) = (seq1( + , 𝐺)β€˜π‘—))
12 oveq2 7417 . . . . . . 7 (π‘₯ = 𝑗 β†’ (2↑π‘₯) = (2↑𝑗))
1312fveq2d 6896 . . . . . 6 (π‘₯ = 𝑗 β†’ (seq1( + , 𝐹)β€˜(2↑π‘₯)) = (seq1( + , 𝐹)β€˜(2↑𝑗)))
1413oveq2d 7425 . . . . 5 (π‘₯ = 𝑗 β†’ (2 Β· (seq1( + , 𝐹)β€˜(2↑π‘₯))) = (2 Β· (seq1( + , 𝐹)β€˜(2↑𝑗))))
1511, 14breq12d 5162 . . . 4 (π‘₯ = 𝑗 β†’ ((seq1( + , 𝐺)β€˜π‘₯) ≀ (2 Β· (seq1( + , 𝐹)β€˜(2↑π‘₯))) ↔ (seq1( + , 𝐺)β€˜π‘—) ≀ (2 Β· (seq1( + , 𝐹)β€˜(2↑𝑗)))))
1615imbi2d 341 . . 3 (π‘₯ = 𝑗 β†’ ((πœ‘ β†’ (seq1( + , 𝐺)β€˜π‘₯) ≀ (2 Β· (seq1( + , 𝐹)β€˜(2↑π‘₯)))) ↔ (πœ‘ β†’ (seq1( + , 𝐺)β€˜π‘—) ≀ (2 Β· (seq1( + , 𝐹)β€˜(2↑𝑗))))))
17 fveq2 6892 . . . . 5 (π‘₯ = (𝑗 + 1) β†’ (seq1( + , 𝐺)β€˜π‘₯) = (seq1( + , 𝐺)β€˜(𝑗 + 1)))
18 oveq2 7417 . . . . . . 7 (π‘₯ = (𝑗 + 1) β†’ (2↑π‘₯) = (2↑(𝑗 + 1)))
1918fveq2d 6896 . . . . . 6 (π‘₯ = (𝑗 + 1) β†’ (seq1( + , 𝐹)β€˜(2↑π‘₯)) = (seq1( + , 𝐹)β€˜(2↑(𝑗 + 1))))
2019oveq2d 7425 . . . . 5 (π‘₯ = (𝑗 + 1) β†’ (2 Β· (seq1( + , 𝐹)β€˜(2↑π‘₯))) = (2 Β· (seq1( + , 𝐹)β€˜(2↑(𝑗 + 1)))))
2117, 20breq12d 5162 . . . 4 (π‘₯ = (𝑗 + 1) β†’ ((seq1( + , 𝐺)β€˜π‘₯) ≀ (2 Β· (seq1( + , 𝐹)β€˜(2↑π‘₯))) ↔ (seq1( + , 𝐺)β€˜(𝑗 + 1)) ≀ (2 Β· (seq1( + , 𝐹)β€˜(2↑(𝑗 + 1))))))
2221imbi2d 341 . . 3 (π‘₯ = (𝑗 + 1) β†’ ((πœ‘ β†’ (seq1( + , 𝐺)β€˜π‘₯) ≀ (2 Β· (seq1( + , 𝐹)β€˜(2↑π‘₯)))) ↔ (πœ‘ β†’ (seq1( + , 𝐺)β€˜(𝑗 + 1)) ≀ (2 Β· (seq1( + , 𝐹)β€˜(2↑(𝑗 + 1)))))))
23 fveq2 6892 . . . . 5 (π‘₯ = 𝑁 β†’ (seq1( + , 𝐺)β€˜π‘₯) = (seq1( + , 𝐺)β€˜π‘))
24 oveq2 7417 . . . . . . 7 (π‘₯ = 𝑁 β†’ (2↑π‘₯) = (2↑𝑁))
2524fveq2d 6896 . . . . . 6 (π‘₯ = 𝑁 β†’ (seq1( + , 𝐹)β€˜(2↑π‘₯)) = (seq1( + , 𝐹)β€˜(2↑𝑁)))
2625oveq2d 7425 . . . . 5 (π‘₯ = 𝑁 β†’ (2 Β· (seq1( + , 𝐹)β€˜(2↑π‘₯))) = (2 Β· (seq1( + , 𝐹)β€˜(2↑𝑁))))
2723, 26breq12d 5162 . . . 4 (π‘₯ = 𝑁 β†’ ((seq1( + , 𝐺)β€˜π‘₯) ≀ (2 Β· (seq1( + , 𝐹)β€˜(2↑π‘₯))) ↔ (seq1( + , 𝐺)β€˜π‘) ≀ (2 Β· (seq1( + , 𝐹)β€˜(2↑𝑁)))))
2827imbi2d 341 . . 3 (π‘₯ = 𝑁 β†’ ((πœ‘ β†’ (seq1( + , 𝐺)β€˜π‘₯) ≀ (2 Β· (seq1( + , 𝐹)β€˜(2↑π‘₯)))) ↔ (πœ‘ β†’ (seq1( + , 𝐺)β€˜π‘) ≀ (2 Β· (seq1( + , 𝐹)β€˜(2↑𝑁))))))
29 fveq2 6892 . . . . . . . 8 (π‘˜ = 1 β†’ (πΉβ€˜π‘˜) = (πΉβ€˜1))
3029breq2d 5161 . . . . . . 7 (π‘˜ = 1 β†’ (0 ≀ (πΉβ€˜π‘˜) ↔ 0 ≀ (πΉβ€˜1)))
31 climcnds.2 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ 0 ≀ (πΉβ€˜π‘˜))
3231ralrimiva 3147 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘˜ ∈ β„• 0 ≀ (πΉβ€˜π‘˜))
33 1nn 12223 . . . . . . . 8 1 ∈ β„•
3433a1i 11 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 1 ∈ β„•)
3530, 32, 34rspcdva 3614 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 0 ≀ (πΉβ€˜1))
36 fveq2 6892 . . . . . . . . 9 (π‘˜ = 2 β†’ (πΉβ€˜π‘˜) = (πΉβ€˜2))
3736eleq1d 2819 . . . . . . . 8 (π‘˜ = 2 β†’ ((πΉβ€˜π‘˜) ∈ ℝ ↔ (πΉβ€˜2) ∈ ℝ))
38 climcnds.1 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ ℝ)
3938ralrimiva 3147 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘˜ ∈ β„• (πΉβ€˜π‘˜) ∈ ℝ)
40 2nn 12285 . . . . . . . . 9 2 ∈ β„•
4140a1i 11 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 2 ∈ β„•)
4237, 39, 41rspcdva 3614 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (πΉβ€˜2) ∈ ℝ)
4329eleq1d 2819 . . . . . . . 8 (π‘˜ = 1 β†’ ((πΉβ€˜π‘˜) ∈ ℝ ↔ (πΉβ€˜1) ∈ ℝ))
4443, 39, 34rspcdva 3614 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (πΉβ€˜1) ∈ ℝ)
4542, 44addge02d 11803 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (0 ≀ (πΉβ€˜1) ↔ (πΉβ€˜2) ≀ ((πΉβ€˜1) + (πΉβ€˜2))))
4635, 45mpbid 231 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (πΉβ€˜2) ≀ ((πΉβ€˜1) + (πΉβ€˜2)))
4744, 42readdcld 11243 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ ((πΉβ€˜1) + (πΉβ€˜2)) ∈ ℝ)
4841nnrpd 13014 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 2 ∈ ℝ+)
4942, 47, 48lemul2d 13060 . . . . 5 (πœ‘ β†’ ((πΉβ€˜2) ≀ ((πΉβ€˜1) + (πΉβ€˜2)) ↔ (2 Β· (πΉβ€˜2)) ≀ (2 Β· ((πΉβ€˜1) + (πΉβ€˜2)))))
5046, 49mpbid 231 . . . 4 (πœ‘ β†’ (2 Β· (πΉβ€˜2)) ≀ (2 Β· ((πΉβ€˜1) + (πΉβ€˜2))))
51 1z 12592 . . . . 5 1 ∈ β„€
52 fveq2 6892 . . . . . . 7 (𝑛 = 1 β†’ (πΊβ€˜π‘›) = (πΊβ€˜1))
53 oveq2 7417 . . . . . . . . 9 (𝑛 = 1 β†’ (2↑𝑛) = (2↑1))
5453, 5eqtrdi 2789 . . . . . . . 8 (𝑛 = 1 β†’ (2↑𝑛) = 2)
5554fveq2d 6896 . . . . . . . 8 (𝑛 = 1 β†’ (πΉβ€˜(2↑𝑛)) = (πΉβ€˜2))
5654, 55oveq12d 7427 . . . . . . 7 (𝑛 = 1 β†’ ((2↑𝑛) Β· (πΉβ€˜(2↑𝑛))) = (2 Β· (πΉβ€˜2)))
5752, 56eqeq12d 2749 . . . . . 6 (𝑛 = 1 β†’ ((πΊβ€˜π‘›) = ((2↑𝑛) Β· (πΉβ€˜(2↑𝑛))) ↔ (πΊβ€˜1) = (2 Β· (πΉβ€˜2))))
58 climcnds.4 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•0) β†’ (πΊβ€˜π‘›) = ((2↑𝑛) Β· (πΉβ€˜(2↑𝑛))))
5958ralrimiva 3147 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘› ∈ β„•0 (πΊβ€˜π‘›) = ((2↑𝑛) Β· (πΉβ€˜(2↑𝑛))))
60 1nn0 12488 . . . . . . 7 1 ∈ β„•0
6160a1i 11 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 1 ∈ β„•0)
6257, 59, 61rspcdva 3614 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (πΊβ€˜1) = (2 Β· (πΉβ€˜2)))
6351, 62seq1i 13980 . . . 4 (πœ‘ β†’ (seq1( + , 𝐺)β€˜1) = (2 Β· (πΉβ€˜2)))
64 nnuz 12865 . . . . . 6 β„• = (β„€β‰₯β€˜1)
65 df-2 12275 . . . . . 6 2 = (1 + 1)
66 eqidd 2734 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (πΉβ€˜1) = (πΉβ€˜1))
6751, 66seq1i 13980 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (seq1( + , 𝐹)β€˜1) = (πΉβ€˜1))
68 eqidd 2734 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (πΉβ€˜2) = (πΉβ€˜2))
6964, 34, 65, 67, 68seqp1d 13983 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (seq1( + , 𝐹)β€˜2) = ((πΉβ€˜1) + (πΉβ€˜2)))
7069oveq2d 7425 . . . 4 (πœ‘ β†’ (2 Β· (seq1( + , 𝐹)β€˜2)) = (2 Β· ((πΉβ€˜1) + (πΉβ€˜2))))
7150, 63, 703brtr4d 5181 . . 3 (πœ‘ β†’ (seq1( + , 𝐺)β€˜1) ≀ (2 Β· (seq1( + , 𝐹)β€˜2)))
72 fveq2 6892 . . . . . . . . . . 11 (𝑛 = (𝑗 + 1) β†’ (πΊβ€˜π‘›) = (πΊβ€˜(𝑗 + 1)))
73 oveq2 7417 . . . . . . . . . . . 12 (𝑛 = (𝑗 + 1) β†’ (2↑𝑛) = (2↑(𝑗 + 1)))
7473fveq2d 6896 . . . . . . . . . . . 12 (𝑛 = (𝑗 + 1) β†’ (πΉβ€˜(2↑𝑛)) = (πΉβ€˜(2↑(𝑗 + 1))))
7573, 74oveq12d 7427 . . . . . . . . . . 11 (𝑛 = (𝑗 + 1) β†’ ((2↑𝑛) Β· (πΉβ€˜(2↑𝑛))) = ((2↑(𝑗 + 1)) Β· (πΉβ€˜(2↑(𝑗 + 1)))))
7672, 75eqeq12d 2749 . . . . . . . . . 10 (𝑛 = (𝑗 + 1) β†’ ((πΊβ€˜π‘›) = ((2↑𝑛) Β· (πΉβ€˜(2↑𝑛))) ↔ (πΊβ€˜(𝑗 + 1)) = ((2↑(𝑗 + 1)) Β· (πΉβ€˜(2↑(𝑗 + 1))))))
7759adantr 482 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ β„•) β†’ βˆ€π‘› ∈ β„•0 (πΊβ€˜π‘›) = ((2↑𝑛) Β· (πΉβ€˜(2↑𝑛))))
78 peano2nn 12224 . . . . . . . . . . . 12 (𝑗 ∈ β„• β†’ (𝑗 + 1) ∈ β„•)
7978adantl 483 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ β„•) β†’ (𝑗 + 1) ∈ β„•)
8079nnnn0d 12532 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ β„•) β†’ (𝑗 + 1) ∈ β„•0)
8176, 77, 80rspcdva 3614 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ β„•) β†’ (πΊβ€˜(𝑗 + 1)) = ((2↑(𝑗 + 1)) Β· (πΉβ€˜(2↑(𝑗 + 1)))))
82 nnnn0 12479 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑗 ∈ β„• β†’ 𝑗 ∈ β„•0)
8382adantl 483 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ β„•) β†’ 𝑗 ∈ β„•0)
84 expp1 14034 . . . . . . . . . . . 12 ((2 ∈ β„‚ ∧ 𝑗 ∈ β„•0) β†’ (2↑(𝑗 + 1)) = ((2↑𝑗) Β· 2))
853, 83, 84sylancr 588 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ β„•) β†’ (2↑(𝑗 + 1)) = ((2↑𝑗) Β· 2))
86 nnexpcl 14040 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((2 ∈ β„• ∧ 𝑗 ∈ β„•0) β†’ (2↑𝑗) ∈ β„•)
8740, 82, 86sylancr 588 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑗 ∈ β„• β†’ (2↑𝑗) ∈ β„•)
8887adantl 483 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ β„•) β†’ (2↑𝑗) ∈ β„•)
8988nncnd 12228 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ β„•) β†’ (2↑𝑗) ∈ β„‚)
90 mulcom 11196 . . . . . . . . . . . 12 (((2↑𝑗) ∈ β„‚ ∧ 2 ∈ β„‚) β†’ ((2↑𝑗) Β· 2) = (2 Β· (2↑𝑗)))
9189, 3, 90sylancl 587 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ β„•) β†’ ((2↑𝑗) Β· 2) = (2 Β· (2↑𝑗)))
9285, 91eqtrd 2773 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ β„•) β†’ (2↑(𝑗 + 1)) = (2 Β· (2↑𝑗)))
9392oveq1d 7424 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ β„•) β†’ ((2↑(𝑗 + 1)) Β· (πΉβ€˜(2↑(𝑗 + 1)))) = ((2 Β· (2↑𝑗)) Β· (πΉβ€˜(2↑(𝑗 + 1)))))
943a1i 11 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ β„•) β†’ 2 ∈ β„‚)
95 fveq2 6892 . . . . . . . . . . . . 13 (π‘˜ = (2↑(𝑗 + 1)) β†’ (πΉβ€˜π‘˜) = (πΉβ€˜(2↑(𝑗 + 1))))
9695eleq1d 2819 . . . . . . . . . . . 12 (π‘˜ = (2↑(𝑗 + 1)) β†’ ((πΉβ€˜π‘˜) ∈ ℝ ↔ (πΉβ€˜(2↑(𝑗 + 1))) ∈ ℝ))
9739adantr 482 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ β„•) β†’ βˆ€π‘˜ ∈ β„• (πΉβ€˜π‘˜) ∈ ℝ)
98 nnexpcl 14040 . . . . . . . . . . . . 13 ((2 ∈ β„• ∧ (𝑗 + 1) ∈ β„•0) β†’ (2↑(𝑗 + 1)) ∈ β„•)
9940, 80, 98sylancr 588 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ β„•) β†’ (2↑(𝑗 + 1)) ∈ β„•)
10096, 97, 99rspcdva 3614 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ β„•) β†’ (πΉβ€˜(2↑(𝑗 + 1))) ∈ ℝ)
101100recnd 11242 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ β„•) β†’ (πΉβ€˜(2↑(𝑗 + 1))) ∈ β„‚)
10294, 89, 101mulassd 11237 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ β„•) β†’ ((2 Β· (2↑𝑗)) Β· (πΉβ€˜(2↑(𝑗 + 1)))) = (2 Β· ((2↑𝑗) Β· (πΉβ€˜(2↑(𝑗 + 1))))))
10381, 93, 1023eqtrd 2777 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ β„•) β†’ (πΊβ€˜(𝑗 + 1)) = (2 Β· ((2↑𝑗) Β· (πΉβ€˜(2↑(𝑗 + 1))))))
10488nnnn0d 12532 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ β„•) β†’ (2↑𝑗) ∈ β„•0)
105 hashfz1 14306 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((2↑𝑗) ∈ β„•0 β†’ (β™―β€˜(1...(2↑𝑗))) = (2↑𝑗))
106104, 105syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ β„•) β†’ (β™―β€˜(1...(2↑𝑗))) = (2↑𝑗))
107106, 89eqeltrd 2834 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ β„•) β†’ (β™―β€˜(1...(2↑𝑗))) ∈ β„‚)
108 fzfid 13938 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ β„•) β†’ (((2↑𝑗) + 1)...(2↑(𝑗 + 1))) ∈ Fin)
109 hashcl 14316 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((2↑𝑗) + 1)...(2↑(𝑗 + 1))) ∈ Fin β†’ (β™―β€˜(((2↑𝑗) + 1)...(2↑(𝑗 + 1)))) ∈ β„•0)
110108, 109syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ β„•) β†’ (β™―β€˜(((2↑𝑗) + 1)...(2↑(𝑗 + 1)))) ∈ β„•0)
111110nn0cnd 12534 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ β„•) β†’ (β™―β€˜(((2↑𝑗) + 1)...(2↑(𝑗 + 1)))) ∈ β„‚)
112 simpr 486 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ β„•) β†’ 𝑗 ∈ β„•)
113112nnzd 12585 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ β„•) β†’ 𝑗 ∈ β„€)
114 uzid 12837 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑗 ∈ β„€ β†’ 𝑗 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—))
115 peano2uz 12885 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑗 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—) β†’ (𝑗 + 1) ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—))
116 2re 12286 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 2 ∈ ℝ
117 1le2 12421 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 1 ≀ 2
118 leexp2a 14137 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((2 ∈ ℝ ∧ 1 ≀ 2 ∧ (𝑗 + 1) ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)) β†’ (2↑𝑗) ≀ (2↑(𝑗 + 1)))
119116, 117, 118mp3an12 1452 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑗 + 1) ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—) β†’ (2↑𝑗) ≀ (2↑(𝑗 + 1)))
120113, 114, 115, 1194syl 19 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ β„•) β†’ (2↑𝑗) ≀ (2↑(𝑗 + 1)))
12188, 64eleqtrdi 2844 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ β„•) β†’ (2↑𝑗) ∈ (β„€β‰₯β€˜1))
12299nnzd 12585 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ β„•) β†’ (2↑(𝑗 + 1)) ∈ β„€)
123 elfz5 13493 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((2↑𝑗) ∈ (β„€β‰₯β€˜1) ∧ (2↑(𝑗 + 1)) ∈ β„€) β†’ ((2↑𝑗) ∈ (1...(2↑(𝑗 + 1))) ↔ (2↑𝑗) ≀ (2↑(𝑗 + 1))))
124121, 122, 123syl2anc 585 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ β„•) β†’ ((2↑𝑗) ∈ (1...(2↑(𝑗 + 1))) ↔ (2↑𝑗) ≀ (2↑(𝑗 + 1))))
125120, 124mpbird 257 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ β„•) β†’ (2↑𝑗) ∈ (1...(2↑(𝑗 + 1))))
126 fzsplit 13527 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((2↑𝑗) ∈ (1...(2↑(𝑗 + 1))) β†’ (1...(2↑(𝑗 + 1))) = ((1...(2↑𝑗)) βˆͺ (((2↑𝑗) + 1)...(2↑(𝑗 + 1)))))
127125, 126syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ β„•) β†’ (1...(2↑(𝑗 + 1))) = ((1...(2↑𝑗)) βˆͺ (((2↑𝑗) + 1)...(2↑(𝑗 + 1)))))
128127fveq2d 6896 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ β„•) β†’ (β™―β€˜(1...(2↑(𝑗 + 1)))) = (β™―β€˜((1...(2↑𝑗)) βˆͺ (((2↑𝑗) + 1)...(2↑(𝑗 + 1))))))
12989times2d 12456 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ β„•) β†’ ((2↑𝑗) Β· 2) = ((2↑𝑗) + (2↑𝑗)))
13085, 129eqtrd 2773 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ β„•) β†’ (2↑(𝑗 + 1)) = ((2↑𝑗) + (2↑𝑗)))
13199nnnn0d 12532 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ β„•) β†’ (2↑(𝑗 + 1)) ∈ β„•0)
132 hashfz1 14306 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((2↑(𝑗 + 1)) ∈ β„•0 β†’ (β™―β€˜(1...(2↑(𝑗 + 1)))) = (2↑(𝑗 + 1)))
133131, 132syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ β„•) β†’ (β™―β€˜(1...(2↑(𝑗 + 1)))) = (2↑(𝑗 + 1)))
134106oveq1d 7424 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ β„•) β†’ ((β™―β€˜(1...(2↑𝑗))) + (2↑𝑗)) = ((2↑𝑗) + (2↑𝑗)))
135130, 133, 1343eqtr4d 2783 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ β„•) β†’ (β™―β€˜(1...(2↑(𝑗 + 1)))) = ((β™―β€˜(1...(2↑𝑗))) + (2↑𝑗)))
136 fzfid 13938 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ β„•) β†’ (1...(2↑𝑗)) ∈ Fin)
13788nnred 12227 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ β„•) β†’ (2↑𝑗) ∈ ℝ)
138137ltp1d 12144 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ β„•) β†’ (2↑𝑗) < ((2↑𝑗) + 1))
139 fzdisj 13528 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((2↑𝑗) < ((2↑𝑗) + 1) β†’ ((1...(2↑𝑗)) ∩ (((2↑𝑗) + 1)...(2↑(𝑗 + 1)))) = βˆ…)
140138, 139syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ β„•) β†’ ((1...(2↑𝑗)) ∩ (((2↑𝑗) + 1)...(2↑(𝑗 + 1)))) = βˆ…)
141 hashun 14342 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((1...(2↑𝑗)) ∈ Fin ∧ (((2↑𝑗) + 1)...(2↑(𝑗 + 1))) ∈ Fin ∧ ((1...(2↑𝑗)) ∩ (((2↑𝑗) + 1)...(2↑(𝑗 + 1)))) = βˆ…) β†’ (β™―β€˜((1...(2↑𝑗)) βˆͺ (((2↑𝑗) + 1)...(2↑(𝑗 + 1))))) = ((β™―β€˜(1...(2↑𝑗))) + (β™―β€˜(((2↑𝑗) + 1)...(2↑(𝑗 + 1))))))
142136, 108, 140, 141syl3anc 1372 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ β„•) β†’ (β™―β€˜((1...(2↑𝑗)) βˆͺ (((2↑𝑗) + 1)...(2↑(𝑗 + 1))))) = ((β™―β€˜(1...(2↑𝑗))) + (β™―β€˜(((2↑𝑗) + 1)...(2↑(𝑗 + 1))))))
143128, 135, 1423eqtr3d 2781 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ β„•) β†’ ((β™―β€˜(1...(2↑𝑗))) + (2↑𝑗)) = ((β™―β€˜(1...(2↑𝑗))) + (β™―β€˜(((2↑𝑗) + 1)...(2↑(𝑗 + 1))))))
144107, 89, 111, 143addcanad 11419 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ β„•) β†’ (2↑𝑗) = (β™―β€˜(((2↑𝑗) + 1)...(2↑(𝑗 + 1)))))
145144oveq1d 7424 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ β„•) β†’ ((2↑𝑗) Β· (πΉβ€˜(2↑(𝑗 + 1)))) = ((β™―β€˜(((2↑𝑗) + 1)...(2↑(𝑗 + 1)))) Β· (πΉβ€˜(2↑(𝑗 + 1)))))
146 fsumconst 15736 . . . . . . . . . . . 12 (((((2↑𝑗) + 1)...(2↑(𝑗 + 1))) ∈ Fin ∧ (πΉβ€˜(2↑(𝑗 + 1))) ∈ β„‚) β†’ Ξ£π‘˜ ∈ (((2↑𝑗) + 1)...(2↑(𝑗 + 1)))(πΉβ€˜(2↑(𝑗 + 1))) = ((β™―β€˜(((2↑𝑗) + 1)...(2↑(𝑗 + 1)))) Β· (πΉβ€˜(2↑(𝑗 + 1)))))
147108, 101, 146syl2anc 585 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ β„•) β†’ Ξ£π‘˜ ∈ (((2↑𝑗) + 1)...(2↑(𝑗 + 1)))(πΉβ€˜(2↑(𝑗 + 1))) = ((β™―β€˜(((2↑𝑗) + 1)...(2↑(𝑗 + 1)))) Β· (πΉβ€˜(2↑(𝑗 + 1)))))
148145, 147eqtr4d 2776 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ β„•) β†’ ((2↑𝑗) Β· (πΉβ€˜(2↑(𝑗 + 1)))) = Ξ£π‘˜ ∈ (((2↑𝑗) + 1)...(2↑(𝑗 + 1)))(πΉβ€˜(2↑(𝑗 + 1))))
149100adantr 482 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ β„•) ∧ π‘˜ ∈ (((2↑𝑗) + 1)...(2↑(𝑗 + 1)))) β†’ (πΉβ€˜(2↑(𝑗 + 1))) ∈ ℝ)
150 simpl 484 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ β„•) β†’ πœ‘)
151 peano2nn 12224 . . . . . . . . . . . . . 14 ((2↑𝑗) ∈ β„• β†’ ((2↑𝑗) + 1) ∈ β„•)
15288, 151syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ β„•) β†’ ((2↑𝑗) + 1) ∈ β„•)
153 elfzuz 13497 . . . . . . . . . . . . 13 (π‘˜ ∈ (((2↑𝑗) + 1)...(2↑(𝑗 + 1))) β†’ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜((2↑𝑗) + 1)))
154 eluznn 12902 . . . . . . . . . . . . 13 ((((2↑𝑗) + 1) ∈ β„• ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜((2↑𝑗) + 1))) β†’ π‘˜ ∈ β„•)
155152, 153, 154syl2an 597 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ β„•) ∧ π‘˜ ∈ (((2↑𝑗) + 1)...(2↑(𝑗 + 1)))) β†’ π‘˜ ∈ β„•)
156150, 155, 38syl2an2r 684 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ β„•) ∧ π‘˜ ∈ (((2↑𝑗) + 1)...(2↑(𝑗 + 1)))) β†’ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ ℝ)
157 elfzuz3 13498 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑛 ∈ (((2↑𝑗) + 1)...(2↑(𝑗 + 1))) β†’ (2↑(𝑗 + 1)) ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘›))
158157adantl 483 . . . . . . . . . . . . . 14 (((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ β„•) ∧ 𝑛 ∈ (((2↑𝑗) + 1)...(2↑(𝑗 + 1)))) β†’ (2↑(𝑗 + 1)) ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘›))
159 simplll 774 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ β„•) ∧ 𝑛 ∈ (((2↑𝑗) + 1)...(2↑(𝑗 + 1)))) ∧ π‘˜ ∈ (𝑛...(2↑(𝑗 + 1)))) β†’ πœ‘)
160 elfzuz 13497 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑛 ∈ (((2↑𝑗) + 1)...(2↑(𝑗 + 1))) β†’ 𝑛 ∈ (β„€β‰₯β€˜((2↑𝑗) + 1)))
161 eluznn 12902 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((2↑𝑗) + 1) ∈ β„• ∧ 𝑛 ∈ (β„€β‰₯β€˜((2↑𝑗) + 1))) β†’ 𝑛 ∈ β„•)
162152, 160, 161syl2an 597 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ β„•) ∧ 𝑛 ∈ (((2↑𝑗) + 1)...(2↑(𝑗 + 1)))) β†’ 𝑛 ∈ β„•)
163 elfzuz 13497 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (π‘˜ ∈ (𝑛...(2↑(𝑗 + 1))) β†’ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘›))
164 eluznn 12902 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑛 ∈ β„• ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘›)) β†’ π‘˜ ∈ β„•)
165162, 163, 164syl2an 597 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ β„•) ∧ 𝑛 ∈ (((2↑𝑗) + 1)...(2↑(𝑗 + 1)))) ∧ π‘˜ ∈ (𝑛...(2↑(𝑗 + 1)))) β†’ π‘˜ ∈ β„•)
166159, 165, 38syl2anc 585 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ β„•) ∧ 𝑛 ∈ (((2↑𝑗) + 1)...(2↑(𝑗 + 1)))) ∧ π‘˜ ∈ (𝑛...(2↑(𝑗 + 1)))) β†’ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ ℝ)
167 simplll 774 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ β„•) ∧ 𝑛 ∈ (((2↑𝑗) + 1)...(2↑(𝑗 + 1)))) ∧ π‘˜ ∈ (𝑛...((2↑(𝑗 + 1)) βˆ’ 1))) β†’ πœ‘)
168 elfzuz 13497 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (π‘˜ ∈ (𝑛...((2↑(𝑗 + 1)) βˆ’ 1)) β†’ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘›))
169162, 168, 164syl2an 597 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ β„•) ∧ 𝑛 ∈ (((2↑𝑗) + 1)...(2↑(𝑗 + 1)))) ∧ π‘˜ ∈ (𝑛...((2↑(𝑗 + 1)) βˆ’ 1))) β†’ π‘˜ ∈ β„•)
170 climcnds.3 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ (πΉβ€˜(π‘˜ + 1)) ≀ (πΉβ€˜π‘˜))
171167, 169, 170syl2anc 585 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ β„•) ∧ 𝑛 ∈ (((2↑𝑗) + 1)...(2↑(𝑗 + 1)))) ∧ π‘˜ ∈ (𝑛...((2↑(𝑗 + 1)) βˆ’ 1))) β†’ (πΉβ€˜(π‘˜ + 1)) ≀ (πΉβ€˜π‘˜))
172158, 166, 171monoord2 13999 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ β„•) ∧ 𝑛 ∈ (((2↑𝑗) + 1)...(2↑(𝑗 + 1)))) β†’ (πΉβ€˜(2↑(𝑗 + 1))) ≀ (πΉβ€˜π‘›))
173172ralrimiva 3147 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ β„•) β†’ βˆ€π‘› ∈ (((2↑𝑗) + 1)...(2↑(𝑗 + 1)))(πΉβ€˜(2↑(𝑗 + 1))) ≀ (πΉβ€˜π‘›))
174 fveq2 6892 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑛 = π‘˜ β†’ (πΉβ€˜π‘›) = (πΉβ€˜π‘˜))
175174breq2d 5161 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑛 = π‘˜ β†’ ((πΉβ€˜(2↑(𝑗 + 1))) ≀ (πΉβ€˜π‘›) ↔ (πΉβ€˜(2↑(𝑗 + 1))) ≀ (πΉβ€˜π‘˜)))
176175rspccva 3612 . . . . . . . . . . . 12 ((βˆ€π‘› ∈ (((2↑𝑗) + 1)...(2↑(𝑗 + 1)))(πΉβ€˜(2↑(𝑗 + 1))) ≀ (πΉβ€˜π‘›) ∧ π‘˜ ∈ (((2↑𝑗) + 1)...(2↑(𝑗 + 1)))) β†’ (πΉβ€˜(2↑(𝑗 + 1))) ≀ (πΉβ€˜π‘˜))
177173, 176sylan 581 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ β„•) ∧ π‘˜ ∈ (((2↑𝑗) + 1)...(2↑(𝑗 + 1)))) β†’ (πΉβ€˜(2↑(𝑗 + 1))) ≀ (πΉβ€˜π‘˜))
178108, 149, 156, 177fsumle 15745 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ β„•) β†’ Ξ£π‘˜ ∈ (((2↑𝑗) + 1)...(2↑(𝑗 + 1)))(πΉβ€˜(2↑(𝑗 + 1))) ≀ Ξ£π‘˜ ∈ (((2↑𝑗) + 1)...(2↑(𝑗 + 1)))(πΉβ€˜π‘˜))
179148, 178eqbrtrd 5171 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ β„•) β†’ ((2↑𝑗) Β· (πΉβ€˜(2↑(𝑗 + 1)))) ≀ Ξ£π‘˜ ∈ (((2↑𝑗) + 1)...(2↑(𝑗 + 1)))(πΉβ€˜π‘˜))
180137, 100remulcld 11244 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ β„•) β†’ ((2↑𝑗) Β· (πΉβ€˜(2↑(𝑗 + 1)))) ∈ ℝ)
181108, 156fsumrecl 15680 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ β„•) β†’ Ξ£π‘˜ ∈ (((2↑𝑗) + 1)...(2↑(𝑗 + 1)))(πΉβ€˜π‘˜) ∈ ℝ)
182 2rp 12979 . . . . . . . . . . 11 2 ∈ ℝ+
183182a1i 11 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ β„•) β†’ 2 ∈ ℝ+)
184180, 181, 183lemul2d 13060 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ β„•) β†’ (((2↑𝑗) Β· (πΉβ€˜(2↑(𝑗 + 1)))) ≀ Ξ£π‘˜ ∈ (((2↑𝑗) + 1)...(2↑(𝑗 + 1)))(πΉβ€˜π‘˜) ↔ (2 Β· ((2↑𝑗) Β· (πΉβ€˜(2↑(𝑗 + 1))))) ≀ (2 Β· Ξ£π‘˜ ∈ (((2↑𝑗) + 1)...(2↑(𝑗 + 1)))(πΉβ€˜π‘˜))))
185179, 184mpbid 231 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ β„•) β†’ (2 Β· ((2↑𝑗) Β· (πΉβ€˜(2↑(𝑗 + 1))))) ≀ (2 Β· Ξ£π‘˜ ∈ (((2↑𝑗) + 1)...(2↑(𝑗 + 1)))(πΉβ€˜π‘˜)))
186103, 185eqbrtrd 5171 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ β„•) β†’ (πΊβ€˜(𝑗 + 1)) ≀ (2 Β· Ξ£π‘˜ ∈ (((2↑𝑗) + 1)...(2↑(𝑗 + 1)))(πΉβ€˜π‘˜)))
187 1zzd 12593 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ 1 ∈ β„€)
188 nnnn0 12479 . . . . . . . . . . 11 (𝑛 ∈ β„• β†’ 𝑛 ∈ β„•0)
189 simpr 486 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•0) β†’ 𝑛 ∈ β„•0)
190 nnexpcl 14040 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((2 ∈ β„• ∧ 𝑛 ∈ β„•0) β†’ (2↑𝑛) ∈ β„•)
19140, 189, 190sylancr 588 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•0) β†’ (2↑𝑛) ∈ β„•)
192191nnred 12227 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•0) β†’ (2↑𝑛) ∈ ℝ)
193 fveq2 6892 . . . . . . . . . . . . . . 15 (π‘˜ = (2↑𝑛) β†’ (πΉβ€˜π‘˜) = (πΉβ€˜(2↑𝑛)))
194193eleq1d 2819 . . . . . . . . . . . . . 14 (π‘˜ = (2↑𝑛) β†’ ((πΉβ€˜π‘˜) ∈ ℝ ↔ (πΉβ€˜(2↑𝑛)) ∈ ℝ))
19539adantr 482 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•0) β†’ βˆ€π‘˜ ∈ β„• (πΉβ€˜π‘˜) ∈ ℝ)
196194, 195, 191rspcdva 3614 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•0) β†’ (πΉβ€˜(2↑𝑛)) ∈ ℝ)
197192, 196remulcld 11244 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•0) β†’ ((2↑𝑛) Β· (πΉβ€˜(2↑𝑛))) ∈ ℝ)
19858, 197eqeltrd 2834 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•0) β†’ (πΊβ€˜π‘›) ∈ ℝ)
199188, 198sylan2 594 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ (πΊβ€˜π‘›) ∈ ℝ)
20064, 187, 199serfre 13997 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ seq1( + , 𝐺):β„•βŸΆβ„)
201200ffvelcdmda 7087 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ β„•) β†’ (seq1( + , 𝐺)β€˜π‘—) ∈ ℝ)
20272eleq1d 2819 . . . . . . . . 9 (𝑛 = (𝑗 + 1) β†’ ((πΊβ€˜π‘›) ∈ ℝ ↔ (πΊβ€˜(𝑗 + 1)) ∈ ℝ))
203199ralrimiva 3147 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘› ∈ β„• (πΊβ€˜π‘›) ∈ ℝ)
204203adantr 482 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ β„•) β†’ βˆ€π‘› ∈ β„• (πΊβ€˜π‘›) ∈ ℝ)
205202, 204, 79rspcdva 3614 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ β„•) β†’ (πΊβ€˜(𝑗 + 1)) ∈ ℝ)
20664, 187, 38serfre 13997 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ seq1( + , 𝐹):β„•βŸΆβ„)
207 ffvelcdm 7084 . . . . . . . . . 10 ((seq1( + , 𝐹):β„•βŸΆβ„ ∧ (2↑𝑗) ∈ β„•) β†’ (seq1( + , 𝐹)β€˜(2↑𝑗)) ∈ ℝ)
208206, 87, 207syl2an 597 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ β„•) β†’ (seq1( + , 𝐹)β€˜(2↑𝑗)) ∈ ℝ)
209 remulcl 11195 . . . . . . . . 9 ((2 ∈ ℝ ∧ (seq1( + , 𝐹)β€˜(2↑𝑗)) ∈ ℝ) β†’ (2 Β· (seq1( + , 𝐹)β€˜(2↑𝑗))) ∈ ℝ)
210116, 208, 209sylancr 588 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ β„•) β†’ (2 Β· (seq1( + , 𝐹)β€˜(2↑𝑗))) ∈ ℝ)
211 remulcl 11195 . . . . . . . . 9 ((2 ∈ ℝ ∧ Ξ£π‘˜ ∈ (((2↑𝑗) + 1)...(2↑(𝑗 + 1)))(πΉβ€˜π‘˜) ∈ ℝ) β†’ (2 Β· Ξ£π‘˜ ∈ (((2↑𝑗) + 1)...(2↑(𝑗 + 1)))(πΉβ€˜π‘˜)) ∈ ℝ)
212116, 181, 211sylancr 588 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ β„•) β†’ (2 Β· Ξ£π‘˜ ∈ (((2↑𝑗) + 1)...(2↑(𝑗 + 1)))(πΉβ€˜π‘˜)) ∈ ℝ)
213 le2add 11696 . . . . . . . 8 ((((seq1( + , 𝐺)β€˜π‘—) ∈ ℝ ∧ (πΊβ€˜(𝑗 + 1)) ∈ ℝ) ∧ ((2 Β· (seq1( + , 𝐹)β€˜(2↑𝑗))) ∈ ℝ ∧ (2 Β· Ξ£π‘˜ ∈ (((2↑𝑗) + 1)...(2↑(𝑗 + 1)))(πΉβ€˜π‘˜)) ∈ ℝ)) β†’ (((seq1( + , 𝐺)β€˜π‘—) ≀ (2 Β· (seq1( + , 𝐹)β€˜(2↑𝑗))) ∧ (πΊβ€˜(𝑗 + 1)) ≀ (2 Β· Ξ£π‘˜ ∈ (((2↑𝑗) + 1)...(2↑(𝑗 + 1)))(πΉβ€˜π‘˜))) β†’ ((seq1( + , 𝐺)β€˜π‘—) + (πΊβ€˜(𝑗 + 1))) ≀ ((2 Β· (seq1( + , 𝐹)β€˜(2↑𝑗))) + (2 Β· Ξ£π‘˜ ∈ (((2↑𝑗) + 1)...(2↑(𝑗 + 1)))(πΉβ€˜π‘˜)))))
214201, 205, 210, 212, 213syl22anc 838 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ β„•) β†’ (((seq1( + , 𝐺)β€˜π‘—) ≀ (2 Β· (seq1( + , 𝐹)β€˜(2↑𝑗))) ∧ (πΊβ€˜(𝑗 + 1)) ≀ (2 Β· Ξ£π‘˜ ∈ (((2↑𝑗) + 1)...(2↑(𝑗 + 1)))(πΉβ€˜π‘˜))) β†’ ((seq1( + , 𝐺)β€˜π‘—) + (πΊβ€˜(𝑗 + 1))) ≀ ((2 Β· (seq1( + , 𝐹)β€˜(2↑𝑗))) + (2 Β· Ξ£π‘˜ ∈ (((2↑𝑗) + 1)...(2↑(𝑗 + 1)))(πΉβ€˜π‘˜)))))
215186, 214mpan2d 693 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ β„•) β†’ ((seq1( + , 𝐺)β€˜π‘—) ≀ (2 Β· (seq1( + , 𝐹)β€˜(2↑𝑗))) β†’ ((seq1( + , 𝐺)β€˜π‘—) + (πΊβ€˜(𝑗 + 1))) ≀ ((2 Β· (seq1( + , 𝐹)β€˜(2↑𝑗))) + (2 Β· Ξ£π‘˜ ∈ (((2↑𝑗) + 1)...(2↑(𝑗 + 1)))(πΉβ€˜π‘˜)))))
216112, 64eleqtrdi 2844 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ β„•) β†’ 𝑗 ∈ (β„€β‰₯β€˜1))
217 seqp1 13981 . . . . . . . 8 (𝑗 ∈ (β„€β‰₯β€˜1) β†’ (seq1( + , 𝐺)β€˜(𝑗 + 1)) = ((seq1( + , 𝐺)β€˜π‘—) + (πΊβ€˜(𝑗 + 1))))
218216, 217syl 17 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ β„•) β†’ (seq1( + , 𝐺)β€˜(𝑗 + 1)) = ((seq1( + , 𝐺)β€˜π‘—) + (πΊβ€˜(𝑗 + 1))))
219 fzfid 13938 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ β„•) β†’ (1...(2↑(𝑗 + 1))) ∈ Fin)
220 elfznn 13530 . . . . . . . . . . . 12 (π‘˜ ∈ (1...(2↑(𝑗 + 1))) β†’ π‘˜ ∈ β„•)
22138recnd 11242 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ β„‚)
222150, 220, 221syl2an 597 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ β„•) ∧ π‘˜ ∈ (1...(2↑(𝑗 + 1)))) β†’ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ β„‚)
223140, 127, 219, 222fsumsplit 15687 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ β„•) β†’ Ξ£π‘˜ ∈ (1...(2↑(𝑗 + 1)))(πΉβ€˜π‘˜) = (Ξ£π‘˜ ∈ (1...(2↑𝑗))(πΉβ€˜π‘˜) + Ξ£π‘˜ ∈ (((2↑𝑗) + 1)...(2↑(𝑗 + 1)))(πΉβ€˜π‘˜)))
224 eqidd 2734 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ β„•) ∧ π‘˜ ∈ (1...(2↑(𝑗 + 1)))) β†’ (πΉβ€˜π‘˜) = (πΉβ€˜π‘˜))
22599, 64eleqtrdi 2844 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ β„•) β†’ (2↑(𝑗 + 1)) ∈ (β„€β‰₯β€˜1))
226224, 225, 222fsumser 15676 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ β„•) β†’ Ξ£π‘˜ ∈ (1...(2↑(𝑗 + 1)))(πΉβ€˜π‘˜) = (seq1( + , 𝐹)β€˜(2↑(𝑗 + 1))))
227 eqidd 2734 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ β„•) ∧ π‘˜ ∈ (1...(2↑𝑗))) β†’ (πΉβ€˜π‘˜) = (πΉβ€˜π‘˜))
228 elfznn 13530 . . . . . . . . . . . . 13 (π‘˜ ∈ (1...(2↑𝑗)) β†’ π‘˜ ∈ β„•)
229150, 228, 221syl2an 597 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ β„•) ∧ π‘˜ ∈ (1...(2↑𝑗))) β†’ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ β„‚)
230227, 121, 229fsumser 15676 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ β„•) β†’ Ξ£π‘˜ ∈ (1...(2↑𝑗))(πΉβ€˜π‘˜) = (seq1( + , 𝐹)β€˜(2↑𝑗)))
231230oveq1d 7424 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ β„•) β†’ (Ξ£π‘˜ ∈ (1...(2↑𝑗))(πΉβ€˜π‘˜) + Ξ£π‘˜ ∈ (((2↑𝑗) + 1)...(2↑(𝑗 + 1)))(πΉβ€˜π‘˜)) = ((seq1( + , 𝐹)β€˜(2↑𝑗)) + Ξ£π‘˜ ∈ (((2↑𝑗) + 1)...(2↑(𝑗 + 1)))(πΉβ€˜π‘˜)))
232223, 226, 2313eqtr3d 2781 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ β„•) β†’ (seq1( + , 𝐹)β€˜(2↑(𝑗 + 1))) = ((seq1( + , 𝐹)β€˜(2↑𝑗)) + Ξ£π‘˜ ∈ (((2↑𝑗) + 1)...(2↑(𝑗 + 1)))(πΉβ€˜π‘˜)))
233232oveq2d 7425 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ β„•) β†’ (2 Β· (seq1( + , 𝐹)β€˜(2↑(𝑗 + 1)))) = (2 Β· ((seq1( + , 𝐹)β€˜(2↑𝑗)) + Ξ£π‘˜ ∈ (((2↑𝑗) + 1)...(2↑(𝑗 + 1)))(πΉβ€˜π‘˜))))
234208recnd 11242 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ β„•) β†’ (seq1( + , 𝐹)β€˜(2↑𝑗)) ∈ β„‚)
235181recnd 11242 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ β„•) β†’ Ξ£π‘˜ ∈ (((2↑𝑗) + 1)...(2↑(𝑗 + 1)))(πΉβ€˜π‘˜) ∈ β„‚)
23694, 234, 235adddid 11238 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ β„•) β†’ (2 Β· ((seq1( + , 𝐹)β€˜(2↑𝑗)) + Ξ£π‘˜ ∈ (((2↑𝑗) + 1)...(2↑(𝑗 + 1)))(πΉβ€˜π‘˜))) = ((2 Β· (seq1( + , 𝐹)β€˜(2↑𝑗))) + (2 Β· Ξ£π‘˜ ∈ (((2↑𝑗) + 1)...(2↑(𝑗 + 1)))(πΉβ€˜π‘˜))))
237233, 236eqtrd 2773 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ β„•) β†’ (2 Β· (seq1( + , 𝐹)β€˜(2↑(𝑗 + 1)))) = ((2 Β· (seq1( + , 𝐹)β€˜(2↑𝑗))) + (2 Β· Ξ£π‘˜ ∈ (((2↑𝑗) + 1)...(2↑(𝑗 + 1)))(πΉβ€˜π‘˜))))
238218, 237breq12d 5162 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ β„•) β†’ ((seq1( + , 𝐺)β€˜(𝑗 + 1)) ≀ (2 Β· (seq1( + , 𝐹)β€˜(2↑(𝑗 + 1)))) ↔ ((seq1( + , 𝐺)β€˜π‘—) + (πΊβ€˜(𝑗 + 1))) ≀ ((2 Β· (seq1( + , 𝐹)β€˜(2↑𝑗))) + (2 Β· Ξ£π‘˜ ∈ (((2↑𝑗) + 1)...(2↑(𝑗 + 1)))(πΉβ€˜π‘˜)))))
239215, 238sylibrd 259 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ β„•) β†’ ((seq1( + , 𝐺)β€˜π‘—) ≀ (2 Β· (seq1( + , 𝐹)β€˜(2↑𝑗))) β†’ (seq1( + , 𝐺)β€˜(𝑗 + 1)) ≀ (2 Β· (seq1( + , 𝐹)β€˜(2↑(𝑗 + 1))))))
240239expcom 415 . . . 4 (𝑗 ∈ β„• β†’ (πœ‘ β†’ ((seq1( + , 𝐺)β€˜π‘—) ≀ (2 Β· (seq1( + , 𝐹)β€˜(2↑𝑗))) β†’ (seq1( + , 𝐺)β€˜(𝑗 + 1)) ≀ (2 Β· (seq1( + , 𝐹)β€˜(2↑(𝑗 + 1)))))))
241240a2d 29 . . 3 (𝑗 ∈ β„• β†’ ((πœ‘ β†’ (seq1( + , 𝐺)β€˜π‘—) ≀ (2 Β· (seq1( + , 𝐹)β€˜(2↑𝑗)))) β†’ (πœ‘ β†’ (seq1( + , 𝐺)β€˜(𝑗 + 1)) ≀ (2 Β· (seq1( + , 𝐹)β€˜(2↑(𝑗 + 1)))))))
24210, 16, 22, 28, 71, 241nnind 12230 . 2 (𝑁 ∈ β„• β†’ (πœ‘ β†’ (seq1( + , 𝐺)β€˜π‘) ≀ (2 Β· (seq1( + , 𝐹)β€˜(2↑𝑁)))))
243242impcom 409 1 ((πœ‘ ∧ 𝑁 ∈ β„•) β†’ (seq1( + , 𝐺)β€˜π‘) ≀ (2 Β· (seq1( + , 𝐹)β€˜(2↑𝑁))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  βˆ€wral 3062   βˆͺ cun 3947   ∩ cin 3948  βˆ…c0 4323   class class class wbr 5149  βŸΆwf 6540  β€˜cfv 6544  (class class class)co 7409  Fincfn 8939  β„‚cc 11108  β„cr 11109  0cc0 11110  1c1 11111   + caddc 11113   Β· cmul 11115   < clt 11248   ≀ cle 11249   βˆ’ cmin 11444  β„•cn 12212  2c2 12267  β„•0cn0 12472  β„€cz 12558  β„€β‰₯cuz 12822  β„+crp 12974  ...cfz 13484  seqcseq 13966  β†‘cexp 14027  β™―chash 14290  Ξ£csu 15632
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725  ax-inf2 9636  ax-cnex 11166  ax-resscn 11167  ax-1cn 11168  ax-icn 11169  ax-addcl 11170  ax-addrcl 11171  ax-mulcl 11172  ax-mulrcl 11173  ax-mulcom 11174  ax-addass 11175  ax-mulass 11176  ax-distr 11177  ax-i2m1 11178  ax-1ne0 11179  ax-1rid 11180  ax-rnegex 11181  ax-rrecex 11182  ax-cnre 11183  ax-pre-lttri 11184  ax-pre-lttrn 11185  ax-pre-ltadd 11186  ax-pre-mulgt0 11187  ax-pre-sup 11188
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-int 4952  df-iun 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-se 5633  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-isom 6553  df-riota 7365  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-om 7856  df-1st 7975  df-2nd 7976  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8371  df-rdg 8410  df-1o 8466  df-oadd 8470  df-er 8703  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-fin 8943  df-sup 9437  df-oi 9505  df-dju 9896  df-card 9934  df-pnf 11250  df-mnf 11251  df-xr 11252  df-ltxr 11253  df-le 11254  df-sub 11446  df-neg 11447  df-div 11872  df-nn 12213  df-2 12275  df-3 12276  df-n0 12473  df-z 12559  df-uz 12823  df-rp 12975  df-ico 13330  df-fz 13485  df-fzo 13628  df-seq 13967  df-exp 14028  df-hash 14291  df-cj 15046  df-re 15047  df-im 15048  df-sqrt 15182  df-abs 15183  df-clim 15432  df-sum 15633
This theorem is referenced by:  climcnds  15797
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