MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  climcndslem2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem climcndslem2 15742
Description: Lemma for climcnds 15743: bound the condensed series by the original series. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Jul-2014.) (Proof shortened by AV, 10-Jul-2022.)
Hypotheses
Ref Expression
climcnds.1 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ ℝ)
climcnds.2 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ 0 ≀ (πΉβ€˜π‘˜))
climcnds.3 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ (πΉβ€˜(π‘˜ + 1)) ≀ (πΉβ€˜π‘˜))
climcnds.4 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•0) β†’ (πΊβ€˜π‘›) = ((2↑𝑛) Β· (πΉβ€˜(2↑𝑛))))
Assertion
Ref Expression
climcndslem2 ((πœ‘ ∧ 𝑁 ∈ β„•) β†’ (seq1( + , 𝐺)β€˜π‘) ≀ (2 Β· (seq1( + , 𝐹)β€˜(2↑𝑁))))
Distinct variable groups:   π‘˜,𝑛,𝐹   π‘˜,𝐺,𝑛   πœ‘,π‘˜,𝑛
Allowed substitution hints:   𝑁(π‘˜,𝑛)

Proof of Theorem climcndslem2
Dummy variables 𝑗 π‘₯ are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fveq2 6847 . . . . 5 (π‘₯ = 1 β†’ (seq1( + , 𝐺)β€˜π‘₯) = (seq1( + , 𝐺)β€˜1))
2 oveq2 7370 . . . . . . . 8 (π‘₯ = 1 β†’ (2↑π‘₯) = (2↑1))
3 2cn 12235 . . . . . . . . 9 2 ∈ β„‚
4 exp1 13980 . . . . . . . . 9 (2 ∈ β„‚ β†’ (2↑1) = 2)
53, 4ax-mp 5 . . . . . . . 8 (2↑1) = 2
62, 5eqtrdi 2793 . . . . . . 7 (π‘₯ = 1 β†’ (2↑π‘₯) = 2)
76fveq2d 6851 . . . . . 6 (π‘₯ = 1 β†’ (seq1( + , 𝐹)β€˜(2↑π‘₯)) = (seq1( + , 𝐹)β€˜2))
87oveq2d 7378 . . . . 5 (π‘₯ = 1 β†’ (2 Β· (seq1( + , 𝐹)β€˜(2↑π‘₯))) = (2 Β· (seq1( + , 𝐹)β€˜2)))
91, 8breq12d 5123 . . . 4 (π‘₯ = 1 β†’ ((seq1( + , 𝐺)β€˜π‘₯) ≀ (2 Β· (seq1( + , 𝐹)β€˜(2↑π‘₯))) ↔ (seq1( + , 𝐺)β€˜1) ≀ (2 Β· (seq1( + , 𝐹)β€˜2))))
109imbi2d 341 . . 3 (π‘₯ = 1 β†’ ((πœ‘ β†’ (seq1( + , 𝐺)β€˜π‘₯) ≀ (2 Β· (seq1( + , 𝐹)β€˜(2↑π‘₯)))) ↔ (πœ‘ β†’ (seq1( + , 𝐺)β€˜1) ≀ (2 Β· (seq1( + , 𝐹)β€˜2)))))
11 fveq2 6847 . . . . 5 (π‘₯ = 𝑗 β†’ (seq1( + , 𝐺)β€˜π‘₯) = (seq1( + , 𝐺)β€˜π‘—))
12 oveq2 7370 . . . . . . 7 (π‘₯ = 𝑗 β†’ (2↑π‘₯) = (2↑𝑗))
1312fveq2d 6851 . . . . . 6 (π‘₯ = 𝑗 β†’ (seq1( + , 𝐹)β€˜(2↑π‘₯)) = (seq1( + , 𝐹)β€˜(2↑𝑗)))
1413oveq2d 7378 . . . . 5 (π‘₯ = 𝑗 β†’ (2 Β· (seq1( + , 𝐹)β€˜(2↑π‘₯))) = (2 Β· (seq1( + , 𝐹)β€˜(2↑𝑗))))
1511, 14breq12d 5123 . . . 4 (π‘₯ = 𝑗 β†’ ((seq1( + , 𝐺)β€˜π‘₯) ≀ (2 Β· (seq1( + , 𝐹)β€˜(2↑π‘₯))) ↔ (seq1( + , 𝐺)β€˜π‘—) ≀ (2 Β· (seq1( + , 𝐹)β€˜(2↑𝑗)))))
1615imbi2d 341 . . 3 (π‘₯ = 𝑗 β†’ ((πœ‘ β†’ (seq1( + , 𝐺)β€˜π‘₯) ≀ (2 Β· (seq1( + , 𝐹)β€˜(2↑π‘₯)))) ↔ (πœ‘ β†’ (seq1( + , 𝐺)β€˜π‘—) ≀ (2 Β· (seq1( + , 𝐹)β€˜(2↑𝑗))))))
17 fveq2 6847 . . . . 5 (π‘₯ = (𝑗 + 1) β†’ (seq1( + , 𝐺)β€˜π‘₯) = (seq1( + , 𝐺)β€˜(𝑗 + 1)))
18 oveq2 7370 . . . . . . 7 (π‘₯ = (𝑗 + 1) β†’ (2↑π‘₯) = (2↑(𝑗 + 1)))
1918fveq2d 6851 . . . . . 6 (π‘₯ = (𝑗 + 1) β†’ (seq1( + , 𝐹)β€˜(2↑π‘₯)) = (seq1( + , 𝐹)β€˜(2↑(𝑗 + 1))))
2019oveq2d 7378 . . . . 5 (π‘₯ = (𝑗 + 1) β†’ (2 Β· (seq1( + , 𝐹)β€˜(2↑π‘₯))) = (2 Β· (seq1( + , 𝐹)β€˜(2↑(𝑗 + 1)))))
2117, 20breq12d 5123 . . . 4 (π‘₯ = (𝑗 + 1) β†’ ((seq1( + , 𝐺)β€˜π‘₯) ≀ (2 Β· (seq1( + , 𝐹)β€˜(2↑π‘₯))) ↔ (seq1( + , 𝐺)β€˜(𝑗 + 1)) ≀ (2 Β· (seq1( + , 𝐹)β€˜(2↑(𝑗 + 1))))))
2221imbi2d 341 . . 3 (π‘₯ = (𝑗 + 1) β†’ ((πœ‘ β†’ (seq1( + , 𝐺)β€˜π‘₯) ≀ (2 Β· (seq1( + , 𝐹)β€˜(2↑π‘₯)))) ↔ (πœ‘ β†’ (seq1( + , 𝐺)β€˜(𝑗 + 1)) ≀ (2 Β· (seq1( + , 𝐹)β€˜(2↑(𝑗 + 1)))))))
23 fveq2 6847 . . . . 5 (π‘₯ = 𝑁 β†’ (seq1( + , 𝐺)β€˜π‘₯) = (seq1( + , 𝐺)β€˜π‘))
24 oveq2 7370 . . . . . . 7 (π‘₯ = 𝑁 β†’ (2↑π‘₯) = (2↑𝑁))
2524fveq2d 6851 . . . . . 6 (π‘₯ = 𝑁 β†’ (seq1( + , 𝐹)β€˜(2↑π‘₯)) = (seq1( + , 𝐹)β€˜(2↑𝑁)))
2625oveq2d 7378 . . . . 5 (π‘₯ = 𝑁 β†’ (2 Β· (seq1( + , 𝐹)β€˜(2↑π‘₯))) = (2 Β· (seq1( + , 𝐹)β€˜(2↑𝑁))))
2723, 26breq12d 5123 . . . 4 (π‘₯ = 𝑁 β†’ ((seq1( + , 𝐺)β€˜π‘₯) ≀ (2 Β· (seq1( + , 𝐹)β€˜(2↑π‘₯))) ↔ (seq1( + , 𝐺)β€˜π‘) ≀ (2 Β· (seq1( + , 𝐹)β€˜(2↑𝑁)))))
2827imbi2d 341 . . 3 (π‘₯ = 𝑁 β†’ ((πœ‘ β†’ (seq1( + , 𝐺)β€˜π‘₯) ≀ (2 Β· (seq1( + , 𝐹)β€˜(2↑π‘₯)))) ↔ (πœ‘ β†’ (seq1( + , 𝐺)β€˜π‘) ≀ (2 Β· (seq1( + , 𝐹)β€˜(2↑𝑁))))))
29 fveq2 6847 . . . . . . . 8 (π‘˜ = 1 β†’ (πΉβ€˜π‘˜) = (πΉβ€˜1))
3029breq2d 5122 . . . . . . 7 (π‘˜ = 1 β†’ (0 ≀ (πΉβ€˜π‘˜) ↔ 0 ≀ (πΉβ€˜1)))
31 climcnds.2 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ 0 ≀ (πΉβ€˜π‘˜))
3231ralrimiva 3144 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘˜ ∈ β„• 0 ≀ (πΉβ€˜π‘˜))
33 1nn 12171 . . . . . . . 8 1 ∈ β„•
3433a1i 11 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 1 ∈ β„•)
3530, 32, 34rspcdva 3585 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 0 ≀ (πΉβ€˜1))
36 fveq2 6847 . . . . . . . . 9 (π‘˜ = 2 β†’ (πΉβ€˜π‘˜) = (πΉβ€˜2))
3736eleq1d 2823 . . . . . . . 8 (π‘˜ = 2 β†’ ((πΉβ€˜π‘˜) ∈ ℝ ↔ (πΉβ€˜2) ∈ ℝ))
38 climcnds.1 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ ℝ)
3938ralrimiva 3144 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘˜ ∈ β„• (πΉβ€˜π‘˜) ∈ ℝ)
40 2nn 12233 . . . . . . . . 9 2 ∈ β„•
4140a1i 11 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 2 ∈ β„•)
4237, 39, 41rspcdva 3585 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (πΉβ€˜2) ∈ ℝ)
4329eleq1d 2823 . . . . . . . 8 (π‘˜ = 1 β†’ ((πΉβ€˜π‘˜) ∈ ℝ ↔ (πΉβ€˜1) ∈ ℝ))
4443, 39, 34rspcdva 3585 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (πΉβ€˜1) ∈ ℝ)
4542, 44addge02d 11751 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (0 ≀ (πΉβ€˜1) ↔ (πΉβ€˜2) ≀ ((πΉβ€˜1) + (πΉβ€˜2))))
4635, 45mpbid 231 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (πΉβ€˜2) ≀ ((πΉβ€˜1) + (πΉβ€˜2)))
4744, 42readdcld 11191 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ ((πΉβ€˜1) + (πΉβ€˜2)) ∈ ℝ)
4841nnrpd 12962 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 2 ∈ ℝ+)
4942, 47, 48lemul2d 13008 . . . . 5 (πœ‘ β†’ ((πΉβ€˜2) ≀ ((πΉβ€˜1) + (πΉβ€˜2)) ↔ (2 Β· (πΉβ€˜2)) ≀ (2 Β· ((πΉβ€˜1) + (πΉβ€˜2)))))
5046, 49mpbid 231 . . . 4 (πœ‘ β†’ (2 Β· (πΉβ€˜2)) ≀ (2 Β· ((πΉβ€˜1) + (πΉβ€˜2))))
51 1z 12540 . . . . 5 1 ∈ β„€
52 fveq2 6847 . . . . . . 7 (𝑛 = 1 β†’ (πΊβ€˜π‘›) = (πΊβ€˜1))
53 oveq2 7370 . . . . . . . . 9 (𝑛 = 1 β†’ (2↑𝑛) = (2↑1))
5453, 5eqtrdi 2793 . . . . . . . 8 (𝑛 = 1 β†’ (2↑𝑛) = 2)
5554fveq2d 6851 . . . . . . . 8 (𝑛 = 1 β†’ (πΉβ€˜(2↑𝑛)) = (πΉβ€˜2))
5654, 55oveq12d 7380 . . . . . . 7 (𝑛 = 1 β†’ ((2↑𝑛) Β· (πΉβ€˜(2↑𝑛))) = (2 Β· (πΉβ€˜2)))
5752, 56eqeq12d 2753 . . . . . 6 (𝑛 = 1 β†’ ((πΊβ€˜π‘›) = ((2↑𝑛) Β· (πΉβ€˜(2↑𝑛))) ↔ (πΊβ€˜1) = (2 Β· (πΉβ€˜2))))
58 climcnds.4 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•0) β†’ (πΊβ€˜π‘›) = ((2↑𝑛) Β· (πΉβ€˜(2↑𝑛))))
5958ralrimiva 3144 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘› ∈ β„•0 (πΊβ€˜π‘›) = ((2↑𝑛) Β· (πΉβ€˜(2↑𝑛))))
60 1nn0 12436 . . . . . . 7 1 ∈ β„•0
6160a1i 11 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 1 ∈ β„•0)
6257, 59, 61rspcdva 3585 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (πΊβ€˜1) = (2 Β· (πΉβ€˜2)))
6351, 62seq1i 13927 . . . 4 (πœ‘ β†’ (seq1( + , 𝐺)β€˜1) = (2 Β· (πΉβ€˜2)))
64 nnuz 12813 . . . . . 6 β„• = (β„€β‰₯β€˜1)
65 df-2 12223 . . . . . 6 2 = (1 + 1)
66 eqidd 2738 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (πΉβ€˜1) = (πΉβ€˜1))
6751, 66seq1i 13927 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (seq1( + , 𝐹)β€˜1) = (πΉβ€˜1))
68 eqidd 2738 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (πΉβ€˜2) = (πΉβ€˜2))
6964, 34, 65, 67, 68seqp1d 13930 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (seq1( + , 𝐹)β€˜2) = ((πΉβ€˜1) + (πΉβ€˜2)))
7069oveq2d 7378 . . . 4 (πœ‘ β†’ (2 Β· (seq1( + , 𝐹)β€˜2)) = (2 Β· ((πΉβ€˜1) + (πΉβ€˜2))))
7150, 63, 703brtr4d 5142 . . 3 (πœ‘ β†’ (seq1( + , 𝐺)β€˜1) ≀ (2 Β· (seq1( + , 𝐹)β€˜2)))
72 fveq2 6847 . . . . . . . . . . 11 (𝑛 = (𝑗 + 1) β†’ (πΊβ€˜π‘›) = (πΊβ€˜(𝑗 + 1)))
73 oveq2 7370 . . . . . . . . . . . 12 (𝑛 = (𝑗 + 1) β†’ (2↑𝑛) = (2↑(𝑗 + 1)))
7473fveq2d 6851 . . . . . . . . . . . 12 (𝑛 = (𝑗 + 1) β†’ (πΉβ€˜(2↑𝑛)) = (πΉβ€˜(2↑(𝑗 + 1))))
7573, 74oveq12d 7380 . . . . . . . . . . 11 (𝑛 = (𝑗 + 1) β†’ ((2↑𝑛) Β· (πΉβ€˜(2↑𝑛))) = ((2↑(𝑗 + 1)) Β· (πΉβ€˜(2↑(𝑗 + 1)))))
7672, 75eqeq12d 2753 . . . . . . . . . 10 (𝑛 = (𝑗 + 1) β†’ ((πΊβ€˜π‘›) = ((2↑𝑛) Β· (πΉβ€˜(2↑𝑛))) ↔ (πΊβ€˜(𝑗 + 1)) = ((2↑(𝑗 + 1)) Β· (πΉβ€˜(2↑(𝑗 + 1))))))
7759adantr 482 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ β„•) β†’ βˆ€π‘› ∈ β„•0 (πΊβ€˜π‘›) = ((2↑𝑛) Β· (πΉβ€˜(2↑𝑛))))
78 peano2nn 12172 . . . . . . . . . . . 12 (𝑗 ∈ β„• β†’ (𝑗 + 1) ∈ β„•)
7978adantl 483 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ β„•) β†’ (𝑗 + 1) ∈ β„•)
8079nnnn0d 12480 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ β„•) β†’ (𝑗 + 1) ∈ β„•0)
8176, 77, 80rspcdva 3585 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ β„•) β†’ (πΊβ€˜(𝑗 + 1)) = ((2↑(𝑗 + 1)) Β· (πΉβ€˜(2↑(𝑗 + 1)))))
82 nnnn0 12427 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑗 ∈ β„• β†’ 𝑗 ∈ β„•0)
8382adantl 483 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ β„•) β†’ 𝑗 ∈ β„•0)
84 expp1 13981 . . . . . . . . . . . 12 ((2 ∈ β„‚ ∧ 𝑗 ∈ β„•0) β†’ (2↑(𝑗 + 1)) = ((2↑𝑗) Β· 2))
853, 83, 84sylancr 588 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ β„•) β†’ (2↑(𝑗 + 1)) = ((2↑𝑗) Β· 2))
86 nnexpcl 13987 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((2 ∈ β„• ∧ 𝑗 ∈ β„•0) β†’ (2↑𝑗) ∈ β„•)
8740, 82, 86sylancr 588 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑗 ∈ β„• β†’ (2↑𝑗) ∈ β„•)
8887adantl 483 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ β„•) β†’ (2↑𝑗) ∈ β„•)
8988nncnd 12176 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ β„•) β†’ (2↑𝑗) ∈ β„‚)
90 mulcom 11144 . . . . . . . . . . . 12 (((2↑𝑗) ∈ β„‚ ∧ 2 ∈ β„‚) β†’ ((2↑𝑗) Β· 2) = (2 Β· (2↑𝑗)))
9189, 3, 90sylancl 587 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ β„•) β†’ ((2↑𝑗) Β· 2) = (2 Β· (2↑𝑗)))
9285, 91eqtrd 2777 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ β„•) β†’ (2↑(𝑗 + 1)) = (2 Β· (2↑𝑗)))
9392oveq1d 7377 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ β„•) β†’ ((2↑(𝑗 + 1)) Β· (πΉβ€˜(2↑(𝑗 + 1)))) = ((2 Β· (2↑𝑗)) Β· (πΉβ€˜(2↑(𝑗 + 1)))))
943a1i 11 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ β„•) β†’ 2 ∈ β„‚)
95 fveq2 6847 . . . . . . . . . . . . 13 (π‘˜ = (2↑(𝑗 + 1)) β†’ (πΉβ€˜π‘˜) = (πΉβ€˜(2↑(𝑗 + 1))))
9695eleq1d 2823 . . . . . . . . . . . 12 (π‘˜ = (2↑(𝑗 + 1)) β†’ ((πΉβ€˜π‘˜) ∈ ℝ ↔ (πΉβ€˜(2↑(𝑗 + 1))) ∈ ℝ))
9739adantr 482 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ β„•) β†’ βˆ€π‘˜ ∈ β„• (πΉβ€˜π‘˜) ∈ ℝ)
98 nnexpcl 13987 . . . . . . . . . . . . 13 ((2 ∈ β„• ∧ (𝑗 + 1) ∈ β„•0) β†’ (2↑(𝑗 + 1)) ∈ β„•)
9940, 80, 98sylancr 588 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ β„•) β†’ (2↑(𝑗 + 1)) ∈ β„•)
10096, 97, 99rspcdva 3585 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ β„•) β†’ (πΉβ€˜(2↑(𝑗 + 1))) ∈ ℝ)
101100recnd 11190 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ β„•) β†’ (πΉβ€˜(2↑(𝑗 + 1))) ∈ β„‚)
10294, 89, 101mulassd 11185 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ β„•) β†’ ((2 Β· (2↑𝑗)) Β· (πΉβ€˜(2↑(𝑗 + 1)))) = (2 Β· ((2↑𝑗) Β· (πΉβ€˜(2↑(𝑗 + 1))))))
10381, 93, 1023eqtrd 2781 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ β„•) β†’ (πΊβ€˜(𝑗 + 1)) = (2 Β· ((2↑𝑗) Β· (πΉβ€˜(2↑(𝑗 + 1))))))
10488nnnn0d 12480 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ β„•) β†’ (2↑𝑗) ∈ β„•0)
105 hashfz1 14253 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((2↑𝑗) ∈ β„•0 β†’ (β™―β€˜(1...(2↑𝑗))) = (2↑𝑗))
106104, 105syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ β„•) β†’ (β™―β€˜(1...(2↑𝑗))) = (2↑𝑗))
107106, 89eqeltrd 2838 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ β„•) β†’ (β™―β€˜(1...(2↑𝑗))) ∈ β„‚)
108 fzfid 13885 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ β„•) β†’ (((2↑𝑗) + 1)...(2↑(𝑗 + 1))) ∈ Fin)
109 hashcl 14263 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((2↑𝑗) + 1)...(2↑(𝑗 + 1))) ∈ Fin β†’ (β™―β€˜(((2↑𝑗) + 1)...(2↑(𝑗 + 1)))) ∈ β„•0)
110108, 109syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ β„•) β†’ (β™―β€˜(((2↑𝑗) + 1)...(2↑(𝑗 + 1)))) ∈ β„•0)
111110nn0cnd 12482 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ β„•) β†’ (β™―β€˜(((2↑𝑗) + 1)...(2↑(𝑗 + 1)))) ∈ β„‚)
112 simpr 486 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ β„•) β†’ 𝑗 ∈ β„•)
113112nnzd 12533 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ β„•) β†’ 𝑗 ∈ β„€)
114 uzid 12785 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑗 ∈ β„€ β†’ 𝑗 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—))
115 peano2uz 12833 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑗 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—) β†’ (𝑗 + 1) ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—))
116 2re 12234 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 2 ∈ ℝ
117 1le2 12369 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 1 ≀ 2
118 leexp2a 14084 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((2 ∈ ℝ ∧ 1 ≀ 2 ∧ (𝑗 + 1) ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)) β†’ (2↑𝑗) ≀ (2↑(𝑗 + 1)))
119116, 117, 118mp3an12 1452 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑗 + 1) ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—) β†’ (2↑𝑗) ≀ (2↑(𝑗 + 1)))
120113, 114, 115, 1194syl 19 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ β„•) β†’ (2↑𝑗) ≀ (2↑(𝑗 + 1)))
12188, 64eleqtrdi 2848 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ β„•) β†’ (2↑𝑗) ∈ (β„€β‰₯β€˜1))
12299nnzd 12533 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ β„•) β†’ (2↑(𝑗 + 1)) ∈ β„€)
123 elfz5 13440 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((2↑𝑗) ∈ (β„€β‰₯β€˜1) ∧ (2↑(𝑗 + 1)) ∈ β„€) β†’ ((2↑𝑗) ∈ (1...(2↑(𝑗 + 1))) ↔ (2↑𝑗) ≀ (2↑(𝑗 + 1))))
124121, 122, 123syl2anc 585 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ β„•) β†’ ((2↑𝑗) ∈ (1...(2↑(𝑗 + 1))) ↔ (2↑𝑗) ≀ (2↑(𝑗 + 1))))
125120, 124mpbird 257 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ β„•) β†’ (2↑𝑗) ∈ (1...(2↑(𝑗 + 1))))
126 fzsplit 13474 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((2↑𝑗) ∈ (1...(2↑(𝑗 + 1))) β†’ (1...(2↑(𝑗 + 1))) = ((1...(2↑𝑗)) βˆͺ (((2↑𝑗) + 1)...(2↑(𝑗 + 1)))))
127125, 126syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ β„•) β†’ (1...(2↑(𝑗 + 1))) = ((1...(2↑𝑗)) βˆͺ (((2↑𝑗) + 1)...(2↑(𝑗 + 1)))))
128127fveq2d 6851 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ β„•) β†’ (β™―β€˜(1...(2↑(𝑗 + 1)))) = (β™―β€˜((1...(2↑𝑗)) βˆͺ (((2↑𝑗) + 1)...(2↑(𝑗 + 1))))))
12989times2d 12404 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ β„•) β†’ ((2↑𝑗) Β· 2) = ((2↑𝑗) + (2↑𝑗)))
13085, 129eqtrd 2777 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ β„•) β†’ (2↑(𝑗 + 1)) = ((2↑𝑗) + (2↑𝑗)))
13199nnnn0d 12480 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ β„•) β†’ (2↑(𝑗 + 1)) ∈ β„•0)
132 hashfz1 14253 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((2↑(𝑗 + 1)) ∈ β„•0 β†’ (β™―β€˜(1...(2↑(𝑗 + 1)))) = (2↑(𝑗 + 1)))
133131, 132syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ β„•) β†’ (β™―β€˜(1...(2↑(𝑗 + 1)))) = (2↑(𝑗 + 1)))
134106oveq1d 7377 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ β„•) β†’ ((β™―β€˜(1...(2↑𝑗))) + (2↑𝑗)) = ((2↑𝑗) + (2↑𝑗)))
135130, 133, 1343eqtr4d 2787 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ β„•) β†’ (β™―β€˜(1...(2↑(𝑗 + 1)))) = ((β™―β€˜(1...(2↑𝑗))) + (2↑𝑗)))
136 fzfid 13885 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ β„•) β†’ (1...(2↑𝑗)) ∈ Fin)
13788nnred 12175 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ β„•) β†’ (2↑𝑗) ∈ ℝ)
138137ltp1d 12092 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ β„•) β†’ (2↑𝑗) < ((2↑𝑗) + 1))
139 fzdisj 13475 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((2↑𝑗) < ((2↑𝑗) + 1) β†’ ((1...(2↑𝑗)) ∩ (((2↑𝑗) + 1)...(2↑(𝑗 + 1)))) = βˆ…)
140138, 139syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ β„•) β†’ ((1...(2↑𝑗)) ∩ (((2↑𝑗) + 1)...(2↑(𝑗 + 1)))) = βˆ…)
141 hashun 14289 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((1...(2↑𝑗)) ∈ Fin ∧ (((2↑𝑗) + 1)...(2↑(𝑗 + 1))) ∈ Fin ∧ ((1...(2↑𝑗)) ∩ (((2↑𝑗) + 1)...(2↑(𝑗 + 1)))) = βˆ…) β†’ (β™―β€˜((1...(2↑𝑗)) βˆͺ (((2↑𝑗) + 1)...(2↑(𝑗 + 1))))) = ((β™―β€˜(1...(2↑𝑗))) + (β™―β€˜(((2↑𝑗) + 1)...(2↑(𝑗 + 1))))))
142136, 108, 140, 141syl3anc 1372 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ β„•) β†’ (β™―β€˜((1...(2↑𝑗)) βˆͺ (((2↑𝑗) + 1)...(2↑(𝑗 + 1))))) = ((β™―β€˜(1...(2↑𝑗))) + (β™―β€˜(((2↑𝑗) + 1)...(2↑(𝑗 + 1))))))
143128, 135, 1423eqtr3d 2785 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ β„•) β†’ ((β™―β€˜(1...(2↑𝑗))) + (2↑𝑗)) = ((β™―β€˜(1...(2↑𝑗))) + (β™―β€˜(((2↑𝑗) + 1)...(2↑(𝑗 + 1))))))
144107, 89, 111, 143addcanad 11367 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ β„•) β†’ (2↑𝑗) = (β™―β€˜(((2↑𝑗) + 1)...(2↑(𝑗 + 1)))))
145144oveq1d 7377 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ β„•) β†’ ((2↑𝑗) Β· (πΉβ€˜(2↑(𝑗 + 1)))) = ((β™―β€˜(((2↑𝑗) + 1)...(2↑(𝑗 + 1)))) Β· (πΉβ€˜(2↑(𝑗 + 1)))))
146 fsumconst 15682 . . . . . . . . . . . 12 (((((2↑𝑗) + 1)...(2↑(𝑗 + 1))) ∈ Fin ∧ (πΉβ€˜(2↑(𝑗 + 1))) ∈ β„‚) β†’ Ξ£π‘˜ ∈ (((2↑𝑗) + 1)...(2↑(𝑗 + 1)))(πΉβ€˜(2↑(𝑗 + 1))) = ((β™―β€˜(((2↑𝑗) + 1)...(2↑(𝑗 + 1)))) Β· (πΉβ€˜(2↑(𝑗 + 1)))))
147108, 101, 146syl2anc 585 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ β„•) β†’ Ξ£π‘˜ ∈ (((2↑𝑗) + 1)...(2↑(𝑗 + 1)))(πΉβ€˜(2↑(𝑗 + 1))) = ((β™―β€˜(((2↑𝑗) + 1)...(2↑(𝑗 + 1)))) Β· (πΉβ€˜(2↑(𝑗 + 1)))))
148145, 147eqtr4d 2780 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ β„•) β†’ ((2↑𝑗) Β· (πΉβ€˜(2↑(𝑗 + 1)))) = Ξ£π‘˜ ∈ (((2↑𝑗) + 1)...(2↑(𝑗 + 1)))(πΉβ€˜(2↑(𝑗 + 1))))
149100adantr 482 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ β„•) ∧ π‘˜ ∈ (((2↑𝑗) + 1)...(2↑(𝑗 + 1)))) β†’ (πΉβ€˜(2↑(𝑗 + 1))) ∈ ℝ)
150 simpl 484 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ β„•) β†’ πœ‘)
151 peano2nn 12172 . . . . . . . . . . . . . 14 ((2↑𝑗) ∈ β„• β†’ ((2↑𝑗) + 1) ∈ β„•)
15288, 151syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ β„•) β†’ ((2↑𝑗) + 1) ∈ β„•)
153 elfzuz 13444 . . . . . . . . . . . . 13 (π‘˜ ∈ (((2↑𝑗) + 1)...(2↑(𝑗 + 1))) β†’ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜((2↑𝑗) + 1)))
154 eluznn 12850 . . . . . . . . . . . . 13 ((((2↑𝑗) + 1) ∈ β„• ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜((2↑𝑗) + 1))) β†’ π‘˜ ∈ β„•)
155152, 153, 154syl2an 597 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ β„•) ∧ π‘˜ ∈ (((2↑𝑗) + 1)...(2↑(𝑗 + 1)))) β†’ π‘˜ ∈ β„•)
156150, 155, 38syl2an2r 684 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ β„•) ∧ π‘˜ ∈ (((2↑𝑗) + 1)...(2↑(𝑗 + 1)))) β†’ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ ℝ)
157 elfzuz3 13445 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑛 ∈ (((2↑𝑗) + 1)...(2↑(𝑗 + 1))) β†’ (2↑(𝑗 + 1)) ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘›))
158157adantl 483 . . . . . . . . . . . . . 14 (((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ β„•) ∧ 𝑛 ∈ (((2↑𝑗) + 1)...(2↑(𝑗 + 1)))) β†’ (2↑(𝑗 + 1)) ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘›))
159 simplll 774 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ β„•) ∧ 𝑛 ∈ (((2↑𝑗) + 1)...(2↑(𝑗 + 1)))) ∧ π‘˜ ∈ (𝑛...(2↑(𝑗 + 1)))) β†’ πœ‘)
160 elfzuz 13444 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑛 ∈ (((2↑𝑗) + 1)...(2↑(𝑗 + 1))) β†’ 𝑛 ∈ (β„€β‰₯β€˜((2↑𝑗) + 1)))
161 eluznn 12850 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((2↑𝑗) + 1) ∈ β„• ∧ 𝑛 ∈ (β„€β‰₯β€˜((2↑𝑗) + 1))) β†’ 𝑛 ∈ β„•)
162152, 160, 161syl2an 597 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ β„•) ∧ 𝑛 ∈ (((2↑𝑗) + 1)...(2↑(𝑗 + 1)))) β†’ 𝑛 ∈ β„•)
163 elfzuz 13444 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (π‘˜ ∈ (𝑛...(2↑(𝑗 + 1))) β†’ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘›))
164 eluznn 12850 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑛 ∈ β„• ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘›)) β†’ π‘˜ ∈ β„•)
165162, 163, 164syl2an 597 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ β„•) ∧ 𝑛 ∈ (((2↑𝑗) + 1)...(2↑(𝑗 + 1)))) ∧ π‘˜ ∈ (𝑛...(2↑(𝑗 + 1)))) β†’ π‘˜ ∈ β„•)
166159, 165, 38syl2anc 585 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ β„•) ∧ 𝑛 ∈ (((2↑𝑗) + 1)...(2↑(𝑗 + 1)))) ∧ π‘˜ ∈ (𝑛...(2↑(𝑗 + 1)))) β†’ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ ℝ)
167 simplll 774 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ β„•) ∧ 𝑛 ∈ (((2↑𝑗) + 1)...(2↑(𝑗 + 1)))) ∧ π‘˜ ∈ (𝑛...((2↑(𝑗 + 1)) βˆ’ 1))) β†’ πœ‘)
168 elfzuz 13444 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (π‘˜ ∈ (𝑛...((2↑(𝑗 + 1)) βˆ’ 1)) β†’ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘›))
169162, 168, 164syl2an 597 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ β„•) ∧ 𝑛 ∈ (((2↑𝑗) + 1)...(2↑(𝑗 + 1)))) ∧ π‘˜ ∈ (𝑛...((2↑(𝑗 + 1)) βˆ’ 1))) β†’ π‘˜ ∈ β„•)
170 climcnds.3 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ (πΉβ€˜(π‘˜ + 1)) ≀ (πΉβ€˜π‘˜))
171167, 169, 170syl2anc 585 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ β„•) ∧ 𝑛 ∈ (((2↑𝑗) + 1)...(2↑(𝑗 + 1)))) ∧ π‘˜ ∈ (𝑛...((2↑(𝑗 + 1)) βˆ’ 1))) β†’ (πΉβ€˜(π‘˜ + 1)) ≀ (πΉβ€˜π‘˜))
172158, 166, 171monoord2 13946 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ β„•) ∧ 𝑛 ∈ (((2↑𝑗) + 1)...(2↑(𝑗 + 1)))) β†’ (πΉβ€˜(2↑(𝑗 + 1))) ≀ (πΉβ€˜π‘›))
173172ralrimiva 3144 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ β„•) β†’ βˆ€π‘› ∈ (((2↑𝑗) + 1)...(2↑(𝑗 + 1)))(πΉβ€˜(2↑(𝑗 + 1))) ≀ (πΉβ€˜π‘›))
174 fveq2 6847 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑛 = π‘˜ β†’ (πΉβ€˜π‘›) = (πΉβ€˜π‘˜))
175174breq2d 5122 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑛 = π‘˜ β†’ ((πΉβ€˜(2↑(𝑗 + 1))) ≀ (πΉβ€˜π‘›) ↔ (πΉβ€˜(2↑(𝑗 + 1))) ≀ (πΉβ€˜π‘˜)))
176175rspccva 3583 . . . . . . . . . . . 12 ((βˆ€π‘› ∈ (((2↑𝑗) + 1)...(2↑(𝑗 + 1)))(πΉβ€˜(2↑(𝑗 + 1))) ≀ (πΉβ€˜π‘›) ∧ π‘˜ ∈ (((2↑𝑗) + 1)...(2↑(𝑗 + 1)))) β†’ (πΉβ€˜(2↑(𝑗 + 1))) ≀ (πΉβ€˜π‘˜))
177173, 176sylan 581 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ β„•) ∧ π‘˜ ∈ (((2↑𝑗) + 1)...(2↑(𝑗 + 1)))) β†’ (πΉβ€˜(2↑(𝑗 + 1))) ≀ (πΉβ€˜π‘˜))
178108, 149, 156, 177fsumle 15691 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ β„•) β†’ Ξ£π‘˜ ∈ (((2↑𝑗) + 1)...(2↑(𝑗 + 1)))(πΉβ€˜(2↑(𝑗 + 1))) ≀ Ξ£π‘˜ ∈ (((2↑𝑗) + 1)...(2↑(𝑗 + 1)))(πΉβ€˜π‘˜))
179148, 178eqbrtrd 5132 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ β„•) β†’ ((2↑𝑗) Β· (πΉβ€˜(2↑(𝑗 + 1)))) ≀ Ξ£π‘˜ ∈ (((2↑𝑗) + 1)...(2↑(𝑗 + 1)))(πΉβ€˜π‘˜))
180137, 100remulcld 11192 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ β„•) β†’ ((2↑𝑗) Β· (πΉβ€˜(2↑(𝑗 + 1)))) ∈ ℝ)
181108, 156fsumrecl 15626 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ β„•) β†’ Ξ£π‘˜ ∈ (((2↑𝑗) + 1)...(2↑(𝑗 + 1)))(πΉβ€˜π‘˜) ∈ ℝ)
182 2rp 12927 . . . . . . . . . . 11 2 ∈ ℝ+
183182a1i 11 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ β„•) β†’ 2 ∈ ℝ+)
184180, 181, 183lemul2d 13008 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ β„•) β†’ (((2↑𝑗) Β· (πΉβ€˜(2↑(𝑗 + 1)))) ≀ Ξ£π‘˜ ∈ (((2↑𝑗) + 1)...(2↑(𝑗 + 1)))(πΉβ€˜π‘˜) ↔ (2 Β· ((2↑𝑗) Β· (πΉβ€˜(2↑(𝑗 + 1))))) ≀ (2 Β· Ξ£π‘˜ ∈ (((2↑𝑗) + 1)...(2↑(𝑗 + 1)))(πΉβ€˜π‘˜))))
185179, 184mpbid 231 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ β„•) β†’ (2 Β· ((2↑𝑗) Β· (πΉβ€˜(2↑(𝑗 + 1))))) ≀ (2 Β· Ξ£π‘˜ ∈ (((2↑𝑗) + 1)...(2↑(𝑗 + 1)))(πΉβ€˜π‘˜)))
186103, 185eqbrtrd 5132 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ β„•) β†’ (πΊβ€˜(𝑗 + 1)) ≀ (2 Β· Ξ£π‘˜ ∈ (((2↑𝑗) + 1)...(2↑(𝑗 + 1)))(πΉβ€˜π‘˜)))
187 1zzd 12541 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ 1 ∈ β„€)
188 nnnn0 12427 . . . . . . . . . . 11 (𝑛 ∈ β„• β†’ 𝑛 ∈ β„•0)
189 simpr 486 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•0) β†’ 𝑛 ∈ β„•0)
190 nnexpcl 13987 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((2 ∈ β„• ∧ 𝑛 ∈ β„•0) β†’ (2↑𝑛) ∈ β„•)
19140, 189, 190sylancr 588 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•0) β†’ (2↑𝑛) ∈ β„•)
192191nnred 12175 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•0) β†’ (2↑𝑛) ∈ ℝ)
193 fveq2 6847 . . . . . . . . . . . . . . 15 (π‘˜ = (2↑𝑛) β†’ (πΉβ€˜π‘˜) = (πΉβ€˜(2↑𝑛)))
194193eleq1d 2823 . . . . . . . . . . . . . 14 (π‘˜ = (2↑𝑛) β†’ ((πΉβ€˜π‘˜) ∈ ℝ ↔ (πΉβ€˜(2↑𝑛)) ∈ ℝ))
19539adantr 482 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•0) β†’ βˆ€π‘˜ ∈ β„• (πΉβ€˜π‘˜) ∈ ℝ)
196194, 195, 191rspcdva 3585 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•0) β†’ (πΉβ€˜(2↑𝑛)) ∈ ℝ)
197192, 196remulcld 11192 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•0) β†’ ((2↑𝑛) Β· (πΉβ€˜(2↑𝑛))) ∈ ℝ)
19858, 197eqeltrd 2838 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•0) β†’ (πΊβ€˜π‘›) ∈ ℝ)
199188, 198sylan2 594 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ (πΊβ€˜π‘›) ∈ ℝ)
20064, 187, 199serfre 13944 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ seq1( + , 𝐺):β„•βŸΆβ„)
201200ffvelcdmda 7040 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ β„•) β†’ (seq1( + , 𝐺)β€˜π‘—) ∈ ℝ)
20272eleq1d 2823 . . . . . . . . 9 (𝑛 = (𝑗 + 1) β†’ ((πΊβ€˜π‘›) ∈ ℝ ↔ (πΊβ€˜(𝑗 + 1)) ∈ ℝ))
203199ralrimiva 3144 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘› ∈ β„• (πΊβ€˜π‘›) ∈ ℝ)
204203adantr 482 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ β„•) β†’ βˆ€π‘› ∈ β„• (πΊβ€˜π‘›) ∈ ℝ)
205202, 204, 79rspcdva 3585 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ β„•) β†’ (πΊβ€˜(𝑗 + 1)) ∈ ℝ)
20664, 187, 38serfre 13944 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ seq1( + , 𝐹):β„•βŸΆβ„)
207 ffvelcdm 7037 . . . . . . . . . 10 ((seq1( + , 𝐹):β„•βŸΆβ„ ∧ (2↑𝑗) ∈ β„•) β†’ (seq1( + , 𝐹)β€˜(2↑𝑗)) ∈ ℝ)
208206, 87, 207syl2an 597 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ β„•) β†’ (seq1( + , 𝐹)β€˜(2↑𝑗)) ∈ ℝ)
209 remulcl 11143 . . . . . . . . 9 ((2 ∈ ℝ ∧ (seq1( + , 𝐹)β€˜(2↑𝑗)) ∈ ℝ) β†’ (2 Β· (seq1( + , 𝐹)β€˜(2↑𝑗))) ∈ ℝ)
210116, 208, 209sylancr 588 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ β„•) β†’ (2 Β· (seq1( + , 𝐹)β€˜(2↑𝑗))) ∈ ℝ)
211 remulcl 11143 . . . . . . . . 9 ((2 ∈ ℝ ∧ Ξ£π‘˜ ∈ (((2↑𝑗) + 1)...(2↑(𝑗 + 1)))(πΉβ€˜π‘˜) ∈ ℝ) β†’ (2 Β· Ξ£π‘˜ ∈ (((2↑𝑗) + 1)...(2↑(𝑗 + 1)))(πΉβ€˜π‘˜)) ∈ ℝ)
212116, 181, 211sylancr 588 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ β„•) β†’ (2 Β· Ξ£π‘˜ ∈ (((2↑𝑗) + 1)...(2↑(𝑗 + 1)))(πΉβ€˜π‘˜)) ∈ ℝ)
213 le2add 11644 . . . . . . . 8 ((((seq1( + , 𝐺)β€˜π‘—) ∈ ℝ ∧ (πΊβ€˜(𝑗 + 1)) ∈ ℝ) ∧ ((2 Β· (seq1( + , 𝐹)β€˜(2↑𝑗))) ∈ ℝ ∧ (2 Β· Ξ£π‘˜ ∈ (((2↑𝑗) + 1)...(2↑(𝑗 + 1)))(πΉβ€˜π‘˜)) ∈ ℝ)) β†’ (((seq1( + , 𝐺)β€˜π‘—) ≀ (2 Β· (seq1( + , 𝐹)β€˜(2↑𝑗))) ∧ (πΊβ€˜(𝑗 + 1)) ≀ (2 Β· Ξ£π‘˜ ∈ (((2↑𝑗) + 1)...(2↑(𝑗 + 1)))(πΉβ€˜π‘˜))) β†’ ((seq1( + , 𝐺)β€˜π‘—) + (πΊβ€˜(𝑗 + 1))) ≀ ((2 Β· (seq1( + , 𝐹)β€˜(2↑𝑗))) + (2 Β· Ξ£π‘˜ ∈ (((2↑𝑗) + 1)...(2↑(𝑗 + 1)))(πΉβ€˜π‘˜)))))
214201, 205, 210, 212, 213syl22anc 838 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ β„•) β†’ (((seq1( + , 𝐺)β€˜π‘—) ≀ (2 Β· (seq1( + , 𝐹)β€˜(2↑𝑗))) ∧ (πΊβ€˜(𝑗 + 1)) ≀ (2 Β· Ξ£π‘˜ ∈ (((2↑𝑗) + 1)...(2↑(𝑗 + 1)))(πΉβ€˜π‘˜))) β†’ ((seq1( + , 𝐺)β€˜π‘—) + (πΊβ€˜(𝑗 + 1))) ≀ ((2 Β· (seq1( + , 𝐹)β€˜(2↑𝑗))) + (2 Β· Ξ£π‘˜ ∈ (((2↑𝑗) + 1)...(2↑(𝑗 + 1)))(πΉβ€˜π‘˜)))))
215186, 214mpan2d 693 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ β„•) β†’ ((seq1( + , 𝐺)β€˜π‘—) ≀ (2 Β· (seq1( + , 𝐹)β€˜(2↑𝑗))) β†’ ((seq1( + , 𝐺)β€˜π‘—) + (πΊβ€˜(𝑗 + 1))) ≀ ((2 Β· (seq1( + , 𝐹)β€˜(2↑𝑗))) + (2 Β· Ξ£π‘˜ ∈ (((2↑𝑗) + 1)...(2↑(𝑗 + 1)))(πΉβ€˜π‘˜)))))
216112, 64eleqtrdi 2848 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ β„•) β†’ 𝑗 ∈ (β„€β‰₯β€˜1))
217 seqp1 13928 . . . . . . . 8 (𝑗 ∈ (β„€β‰₯β€˜1) β†’ (seq1( + , 𝐺)β€˜(𝑗 + 1)) = ((seq1( + , 𝐺)β€˜π‘—) + (πΊβ€˜(𝑗 + 1))))
218216, 217syl 17 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ β„•) β†’ (seq1( + , 𝐺)β€˜(𝑗 + 1)) = ((seq1( + , 𝐺)β€˜π‘—) + (πΊβ€˜(𝑗 + 1))))
219 fzfid 13885 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ β„•) β†’ (1...(2↑(𝑗 + 1))) ∈ Fin)
220 elfznn 13477 . . . . . . . . . . . 12 (π‘˜ ∈ (1...(2↑(𝑗 + 1))) β†’ π‘˜ ∈ β„•)
22138recnd 11190 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ β„‚)
222150, 220, 221syl2an 597 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ β„•) ∧ π‘˜ ∈ (1...(2↑(𝑗 + 1)))) β†’ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ β„‚)
223140, 127, 219, 222fsumsplit 15633 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ β„•) β†’ Ξ£π‘˜ ∈ (1...(2↑(𝑗 + 1)))(πΉβ€˜π‘˜) = (Ξ£π‘˜ ∈ (1...(2↑𝑗))(πΉβ€˜π‘˜) + Ξ£π‘˜ ∈ (((2↑𝑗) + 1)...(2↑(𝑗 + 1)))(πΉβ€˜π‘˜)))
224 eqidd 2738 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ β„•) ∧ π‘˜ ∈ (1...(2↑(𝑗 + 1)))) β†’ (πΉβ€˜π‘˜) = (πΉβ€˜π‘˜))
22599, 64eleqtrdi 2848 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ β„•) β†’ (2↑(𝑗 + 1)) ∈ (β„€β‰₯β€˜1))
226224, 225, 222fsumser 15622 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ β„•) β†’ Ξ£π‘˜ ∈ (1...(2↑(𝑗 + 1)))(πΉβ€˜π‘˜) = (seq1( + , 𝐹)β€˜(2↑(𝑗 + 1))))
227 eqidd 2738 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ β„•) ∧ π‘˜ ∈ (1...(2↑𝑗))) β†’ (πΉβ€˜π‘˜) = (πΉβ€˜π‘˜))
228 elfznn 13477 . . . . . . . . . . . . 13 (π‘˜ ∈ (1...(2↑𝑗)) β†’ π‘˜ ∈ β„•)
229150, 228, 221syl2an 597 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ β„•) ∧ π‘˜ ∈ (1...(2↑𝑗))) β†’ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ β„‚)
230227, 121, 229fsumser 15622 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ β„•) β†’ Ξ£π‘˜ ∈ (1...(2↑𝑗))(πΉβ€˜π‘˜) = (seq1( + , 𝐹)β€˜(2↑𝑗)))
231230oveq1d 7377 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ β„•) β†’ (Ξ£π‘˜ ∈ (1...(2↑𝑗))(πΉβ€˜π‘˜) + Ξ£π‘˜ ∈ (((2↑𝑗) + 1)...(2↑(𝑗 + 1)))(πΉβ€˜π‘˜)) = ((seq1( + , 𝐹)β€˜(2↑𝑗)) + Ξ£π‘˜ ∈ (((2↑𝑗) + 1)...(2↑(𝑗 + 1)))(πΉβ€˜π‘˜)))
232223, 226, 2313eqtr3d 2785 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ β„•) β†’ (seq1( + , 𝐹)β€˜(2↑(𝑗 + 1))) = ((seq1( + , 𝐹)β€˜(2↑𝑗)) + Ξ£π‘˜ ∈ (((2↑𝑗) + 1)...(2↑(𝑗 + 1)))(πΉβ€˜π‘˜)))
233232oveq2d 7378 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ β„•) β†’ (2 Β· (seq1( + , 𝐹)β€˜(2↑(𝑗 + 1)))) = (2 Β· ((seq1( + , 𝐹)β€˜(2↑𝑗)) + Ξ£π‘˜ ∈ (((2↑𝑗) + 1)...(2↑(𝑗 + 1)))(πΉβ€˜π‘˜))))
234208recnd 11190 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ β„•) β†’ (seq1( + , 𝐹)β€˜(2↑𝑗)) ∈ β„‚)
235181recnd 11190 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ β„•) β†’ Ξ£π‘˜ ∈ (((2↑𝑗) + 1)...(2↑(𝑗 + 1)))(πΉβ€˜π‘˜) ∈ β„‚)
23694, 234, 235adddid 11186 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ β„•) β†’ (2 Β· ((seq1( + , 𝐹)β€˜(2↑𝑗)) + Ξ£π‘˜ ∈ (((2↑𝑗) + 1)...(2↑(𝑗 + 1)))(πΉβ€˜π‘˜))) = ((2 Β· (seq1( + , 𝐹)β€˜(2↑𝑗))) + (2 Β· Ξ£π‘˜ ∈ (((2↑𝑗) + 1)...(2↑(𝑗 + 1)))(πΉβ€˜π‘˜))))
237233, 236eqtrd 2777 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ β„•) β†’ (2 Β· (seq1( + , 𝐹)β€˜(2↑(𝑗 + 1)))) = ((2 Β· (seq1( + , 𝐹)β€˜(2↑𝑗))) + (2 Β· Ξ£π‘˜ ∈ (((2↑𝑗) + 1)...(2↑(𝑗 + 1)))(πΉβ€˜π‘˜))))
238218, 237breq12d 5123 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ β„•) β†’ ((seq1( + , 𝐺)β€˜(𝑗 + 1)) ≀ (2 Β· (seq1( + , 𝐹)β€˜(2↑(𝑗 + 1)))) ↔ ((seq1( + , 𝐺)β€˜π‘—) + (πΊβ€˜(𝑗 + 1))) ≀ ((2 Β· (seq1( + , 𝐹)β€˜(2↑𝑗))) + (2 Β· Ξ£π‘˜ ∈ (((2↑𝑗) + 1)...(2↑(𝑗 + 1)))(πΉβ€˜π‘˜)))))
239215, 238sylibrd 259 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ β„•) β†’ ((seq1( + , 𝐺)β€˜π‘—) ≀ (2 Β· (seq1( + , 𝐹)β€˜(2↑𝑗))) β†’ (seq1( + , 𝐺)β€˜(𝑗 + 1)) ≀ (2 Β· (seq1( + , 𝐹)β€˜(2↑(𝑗 + 1))))))
240239expcom 415 . . . 4 (𝑗 ∈ β„• β†’ (πœ‘ β†’ ((seq1( + , 𝐺)β€˜π‘—) ≀ (2 Β· (seq1( + , 𝐹)β€˜(2↑𝑗))) β†’ (seq1( + , 𝐺)β€˜(𝑗 + 1)) ≀ (2 Β· (seq1( + , 𝐹)β€˜(2↑(𝑗 + 1)))))))
241240a2d 29 . . 3 (𝑗 ∈ β„• β†’ ((πœ‘ β†’ (seq1( + , 𝐺)β€˜π‘—) ≀ (2 Β· (seq1( + , 𝐹)β€˜(2↑𝑗)))) β†’ (πœ‘ β†’ (seq1( + , 𝐺)β€˜(𝑗 + 1)) ≀ (2 Β· (seq1( + , 𝐹)β€˜(2↑(𝑗 + 1)))))))
24210, 16, 22, 28, 71, 241nnind 12178 . 2 (𝑁 ∈ β„• β†’ (πœ‘ β†’ (seq1( + , 𝐺)β€˜π‘) ≀ (2 Β· (seq1( + , 𝐹)β€˜(2↑𝑁)))))
243242impcom 409 1 ((πœ‘ ∧ 𝑁 ∈ β„•) β†’ (seq1( + , 𝐺)β€˜π‘) ≀ (2 Β· (seq1( + , 𝐹)β€˜(2↑𝑁))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  βˆ€wral 3065   βˆͺ cun 3913   ∩ cin 3914  βˆ…c0 4287   class class class wbr 5110  βŸΆwf 6497  β€˜cfv 6501  (class class class)co 7362  Fincfn 8890  β„‚cc 11056  β„cr 11057  0cc0 11058  1c1 11059   + caddc 11061   Β· cmul 11063   < clt 11196   ≀ cle 11197   βˆ’ cmin 11392  β„•cn 12160  2c2 12215  β„•0cn0 12420  β„€cz 12506  β„€β‰₯cuz 12770  β„+crp 12922  ...cfz 13431  seqcseq 13913  β†‘cexp 13974  β™―chash 14237  Ξ£csu 15577
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2708  ax-rep 5247  ax-sep 5261  ax-nul 5268  ax-pow 5325  ax-pr 5389  ax-un 7677  ax-inf2 9584  ax-cnex 11114  ax-resscn 11115  ax-1cn 11116  ax-icn 11117  ax-addcl 11118  ax-addrcl 11119  ax-mulcl 11120  ax-mulrcl 11121  ax-mulcom 11122  ax-addass 11123  ax-mulass 11124  ax-distr 11125  ax-i2m1 11126  ax-1ne0 11127  ax-1rid 11128  ax-rnegex 11129  ax-rrecex 11130  ax-cnre 11131  ax-pre-lttri 11132  ax-pre-lttrn 11133  ax-pre-ltadd 11134  ax-pre-mulgt0 11135  ax-pre-sup 11136
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-nel 3051  df-ral 3066  df-rex 3075  df-rmo 3356  df-reu 3357  df-rab 3411  df-v 3450  df-sbc 3745  df-csb 3861  df-dif 3918  df-un 3920  df-in 3922  df-ss 3932  df-pss 3934  df-nul 4288  df-if 4492  df-pw 4567  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4871  df-int 4913  df-iun 4961  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5194  df-tr 5228  df-id 5536  df-eprel 5542  df-po 5550  df-so 5551  df-fr 5593  df-se 5594  df-we 5595  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-pred 6258  df-ord 6325  df-on 6326  df-lim 6327  df-suc 6328  df-iota 6453  df-fun 6503  df-fn 6504  df-f 6505  df-f1 6506  df-fo 6507  df-f1o 6508  df-fv 6509  df-isom 6510  df-riota 7318  df-ov 7365  df-oprab 7366  df-mpo 7367  df-om 7808  df-1st 7926  df-2nd 7927  df-frecs 8217  df-wrecs 8248  df-recs 8322  df-rdg 8361  df-1o 8417  df-oadd 8421  df-er 8655  df-en 8891  df-dom 8892  df-sdom 8893  df-fin 8894  df-sup 9385  df-oi 9453  df-dju 9844  df-card 9882  df-pnf 11198  df-mnf 11199  df-xr 11200  df-ltxr 11201  df-le 11202  df-sub 11394  df-neg 11395  df-div 11820  df-nn 12161  df-2 12223  df-3 12224  df-n0 12421  df-z 12507  df-uz 12771  df-rp 12923  df-ico 13277  df-fz 13432  df-fzo 13575  df-seq 13914  df-exp 13975  df-hash 14238  df-cj 14991  df-re 14992  df-im 14993  df-sqrt 15127  df-abs 15128  df-clim 15377  df-sum 15578
This theorem is referenced by:  climcnds  15743
  Copyright terms: Public domain W3C validator