MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  halfcld Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem halfcld 12399
Description: Closure of half of a number (frequently used special case). (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)
Hypothesis
Ref Expression
2timesd.1 (𝜑𝐴 ∈ ℂ)
Assertion
Ref Expression
halfcld (𝜑 → (𝐴 / 2) ∈ ℂ)

Proof of Theorem halfcld
StepHypRef Expression
1 2timesd.1 . 2 (𝜑𝐴 ∈ ℂ)
2 halfcl 12379 . 2 (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴 / 2) ∈ ℂ)
31, 2syl 17 1 (𝜑 → (𝐴 / 2) ∈ ℂ)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wcel 2107  (class class class)co 7358  cc 11050   / cdiv 11813  2c2 12209
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2708  ax-sep 5257  ax-nul 5264  ax-pow 5321  ax-pr 5385  ax-un 7673  ax-resscn 11109  ax-1cn 11110  ax-icn 11111  ax-addcl 11112  ax-addrcl 11113  ax-mulcl 11114  ax-mulrcl 11115  ax-mulcom 11116  ax-addass 11117  ax-mulass 11118  ax-distr 11119  ax-i2m1 11120  ax-1ne0 11121  ax-1rid 11122  ax-rnegex 11123  ax-rrecex 11124  ax-cnre 11125  ax-pre-lttri 11126  ax-pre-lttrn 11127  ax-pre-ltadd 11128  ax-pre-mulgt0 11129
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-nel 3051  df-ral 3066  df-rex 3075  df-rmo 3354  df-reu 3355  df-rab 3409  df-v 3448  df-sbc 3741  df-csb 3857  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-nul 4284  df-if 4488  df-pw 4563  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4867  df-br 5107  df-opab 5169  df-mpt 5190  df-id 5532  df-po 5546  df-so 5547  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-rn 5645  df-res 5646  df-ima 5647  df-iota 6449  df-fun 6499  df-fn 6500  df-f 6501  df-f1 6502  df-fo 6503  df-f1o 6504  df-fv 6505  df-riota 7314  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-er 8649  df-en 8885  df-dom 8886  df-sdom 8887  df-pnf 11192  df-mnf 11193  df-xr 11194  df-ltxr 11195  df-le 11196  df-sub 11388  df-neg 11389  df-div 11814  df-2 12217
This theorem is referenced by:  xp1d2m1eqxm1d2  12408  zeo  12590  zesq  14130  faclbnd2  14192  crre  15000  ef4p  15996  cosf  16008  efi4p  16020  sinhval  16037  addsin  16053  zob  16242  nn0ob  16267  flodddiv4t2lthalf  16299  4sqlem10  16820  lhop1lem  25380  chordthmlem  26185  chordthmlem2  26186  chordthmlem3  26187  chordthmlem4  26188  chordthmlem5  26189  dcubic2  26197  dcubic1  26198  dcubic  26199  mcubic  26200  cubic  26202  dquartlem1  26204  dquart  26206  quart1cl  26207  quart1lem  26208  quart1  26209  quartlem3  26212  quartlem4  26213  quart  26214  lgsquad2lem2  26736  lgsquad2  26737  logdivsum  26884  mulog2sumlem2  26886  mulog2sumlem3  26887  vmalogdivsum2  26889  selberg34r  26922  pntlemr  26953  lt2addrd  31659  logdivsqrle  33266  sin2h  36071  cos2h  36072  tan2h  36073  itg2addnclem  36132  lcmineqlem23  40511  aks4d1p1p2  40530  oddfl  43518  suplesup  43580  coseq0  44112  sinaover2ne0  44116  wallispilem4  44316  wallispi  44318  stirlinglem1  44322  stirlinglem4  44325  stirlinglem7  44328  stirlinglem15  44336  dirker2re  44340  dirkerdenne0  44341  dirkerper  44344  dirkertrigeqlem2  44347  dirkertrigeqlem3  44348  dirkeritg  44350  dirkercncflem1  44351  dirkercncflem2  44352  dirkercncflem4  44354  fourierdlem43  44398  fourierdlem44  44399  fourierdlem56  44410  fourierdlem58  44412  fourierdlem62  44416  fourierdlem68  44422  fourierdlem72  44426  fourierdlem76  44430  fourierdlem79  44433  fourierdlem80  44434  fourierdlem103  44457  fourierdlem104  44458  fourierdlem112  44466  dignn0flhalflem1  46708
  Copyright terms: Public domain W3C validator