Theorem halfcld 12508

Description: Closure of half of a number (frequently used special case). (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
2timesd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)

Assertion

Ref	Expression
halfcld	⊢ (𝜑 → (𝐴 / 2) ∈ ℂ)

Proof of Theorem halfcld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2timesd.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
2		halfcl 12488	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴 / 2) ∈ ℂ)
3	1, 2	syl 17	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 / 2) ∈ ℂ)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2105  (class class class)co 7430  ℂcc 11150   / cdiv 11917  2c2 12318

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1791  ax-4 1805  ax-5 1907  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2138  ax-11 2154  ax-12 2174  ax-ext 2705  ax-sep 5301  ax-nul 5311  ax-pow 5370  ax-pr 5437  ax-un 7753  ax-resscn 11209  ax-1cn 11210  ax-icn 11211  ax-addcl 11212  ax-addrcl 11213  ax-mulcl 11214  ax-mulrcl 11215  ax-mulcom 11216  ax-addass 11217  ax-mulass 11218  ax-distr 11219  ax-i2m1 11220  ax-1ne0 11221  ax-1rid 11222  ax-rnegex 11223  ax-rrecex 11224  ax-cnre 11225  ax-pre-lttri 11226  ax-pre-lttrn 11227  ax-pre-ltadd 11228  ax-pre-mulgt0 11229

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1539  df-fal 1549  df-ex 1776  df-nf 1780  df-sb 2062  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2726  df-clel 2813  df-nfc 2889  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3433  df-v 3479  df-sbc 3791  df-csb 3908  df-dif 3965  df-un 3967  df-in 3969  df-ss 3979  df-nul 4339  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-op 4637  df-uni 4912  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-id 5582  df-po 5596  df-so 5597  df-xp 5694  df-rel 5695  df-cnv 5696  df-co 5697  df-dm 5698  df-rn 5699  df-res 5700  df-ima 5701  df-iota 6515  df-fun 6564  df-fn 6565  df-f 6566  df-f1 6567  df-fo 6568  df-f1o 6569  df-fv 6570  df-riota 7387  df-ov 7433  df-oprab 7434  df-mpo 7435  df-er 8743  df-en 8984  df-dom 8985  df-sdom 8986  df-pnf 11294  df-mnf 11295  df-xr 11296  df-ltxr 11297  df-le 11298  df-sub 11491  df-neg 11492  df-div 11918  df-2 12326

This theorem is referenced by:  xp1d2m1eqxm1d2  12517  zeo  12701  zesq  14261  faclbnd2  14326  crre  15149  ef4p  16145  cosf  16157  efi4p  16169  sinhval  16186  addsin  16202  zob  16392  nn0ob  16417  flodddiv4t2lthalf  16451  4sqlem10  16980  lhop1lem  26066  chordthmlem  26889  chordthmlem2  26890  chordthmlem3  26891  chordthmlem4  26892  chordthmlem5  26893  dcubic2  26901  dcubic1  26902  dcubic  26903  mcubic  26904  cubic  26906  dquartlem1  26908  dquart  26910  quart1cl  26911  quart1lem  26912  quart1  26913  quartlem3  26916  quartlem4  26917  quart  26918  lgsquad2lem2  27443  lgsquad2  27444  logdivsum  27591  mulog2sumlem2  27593  mulog2sumlem3  27594  vmalogdivsum2  27596  selberg34r  27629  pntlemr  27660  lt2addrd  32761  logdivsqrle  34643  sin2h  37596  cos2h  37597  tan2h  37598  itg2addnclem  37657  lcmineqlem23  42032  aks4d1p1p2  42051  oddfl  45227  suplesup  45288  coseq0  45819  sinaover2ne0  45823  wallispilem4  46023  wallispi  46025  stirlinglem1  46029  stirlinglem4  46032  stirlinglem7  46035  stirlinglem15  46043  dirker2re  46047  dirkerdenne0  46048  dirkerper  46051  dirkertrigeqlem2  46054  dirkertrigeqlem3  46055  dirkeritg  46057  dirkercncflem1  46058  dirkercncflem2  46059  dirkercncflem4  46061  fourierdlem43  46105  fourierdlem44  46106  fourierdlem56  46117  fourierdlem58  46119  fourierdlem62  46123  fourierdlem68  46129  fourierdlem72  46133  fourierdlem76  46137  fourierdlem79  46140  fourierdlem80  46141  fourierdlem103  46164  fourierdlem104  46165  fourierdlem112  46173  dignn0flhalflem1  48464