Theorem halfcld 12398

Description: Closure of half of a number (frequently used special case). (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
2timesd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)

Assertion

Ref	Expression
halfcld	⊢ (𝜑 → (𝐴 / 2) ∈ ℂ)

Proof of Theorem halfcld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2timesd.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
2		halfcl 12379	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴 / 2) ∈ ℂ)
3	1, 2	syl 17	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 / 2) ∈ ℂ)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2114  (class class class)co 7368  ℂcc 11036   / cdiv 11806  2c2 12212

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5243  ax-nul 5253  ax-pow 5312  ax-pr 5379  ax-un 7690  ax-resscn 11095  ax-1cn 11096  ax-icn 11097  ax-addcl 11098  ax-addrcl 11099  ax-mulcl 11100  ax-mulrcl 11101  ax-mulcom 11102  ax-addass 11103  ax-mulass 11104  ax-distr 11105  ax-i2m1 11106  ax-1ne0 11107  ax-1rid 11108  ax-rnegex 11109  ax-rrecex 11110  ax-cnre 11111  ax-pre-lttri 11112  ax-pre-lttrn 11113  ax-pre-ltadd 11114  ax-pre-mulgt0 11115

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3402  df-v 3444  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-pss 3923  df-nul 4288  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4583  df-pr 4585  df-op 4589  df-uni 4866  df-iun 4950  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-tr 5208  df-id 5527  df-eprel 5532  df-po 5540  df-so 5541  df-fr 5585  df-we 5587  df-xp 5638  df-rel 5639  df-cnv 5640  df-co 5641  df-dm 5642  df-rn 5643  df-res 5644  df-ima 5645  df-pred 6267  df-ord 6328  df-on 6329  df-lim 6330  df-suc 6331  df-iota 6456  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-riota 7325  df-ov 7371  df-oprab 7372  df-mpo 7373  df-om 7819  df-2nd 7944  df-frecs 8233  df-wrecs 8264  df-recs 8313  df-rdg 8351  df-er 8645  df-en 8896  df-dom 8897  df-sdom 8898  df-pnf 11180  df-mnf 11181  df-xr 11182  df-ltxr 11183  df-le 11184  df-sub 11378  df-neg 11379  df-div 11807  df-nn 12158  df-2 12220

This theorem is referenced by:  xp1d2m1eqxm1d2  12407  zeo  12590  zesq  14161  faclbnd2  14226  crre  15049  ef4p  16050  cosf  16062  efi4p  16074  sinhval  16091  addsin  16107  zob  16298  nn0ob  16323  flodddiv4t2lthalf  16357  4sqlem10  16887  lhop1lem  25986  chordthmlem  26810  chordthmlem2  26811  chordthmlem3  26812  chordthmlem4  26813  chordthmlem5  26814  dcubic2  26822  dcubic1  26823  dcubic  26824  mcubic  26825  cubic  26827  dquartlem1  26829  dquart  26831  quart1cl  26832  quart1lem  26833  quart1  26834  quartlem3  26837  quartlem4  26838  quart  26839  lgsquad2lem2  27364  lgsquad2  27365  logdivsum  27512  mulog2sumlem2  27514  mulog2sumlem3  27515  vmalogdivsum2  27517  selberg34r  27550  pntlemr  27581  lt2addrd  32841  constrresqrtcl  33955  logdivsqrle  34828  sin2h  37861  cos2h  37862  tan2h  37863  itg2addnclem  37922  lcmineqlem23  42421  aks4d1p1p2  42440  oddfl  45640  suplesup  45698  coseq0  46222  sinaover2ne0  46226  wallispilem4  46426  wallispi  46428  stirlinglem1  46432  stirlinglem4  46435  stirlinglem7  46438  stirlinglem15  46446  dirker2re  46450  dirkerdenne0  46451  dirkerper  46454  dirkertrigeqlem2  46457  dirkertrigeqlem3  46458  dirkeritg  46460  dirkercncflem1  46461  dirkercncflem2  46462  dirkercncflem4  46464  fourierdlem43  46508  fourierdlem44  46509  fourierdlem56  46520  fourierdlem58  46522  fourierdlem62  46526  fourierdlem68  46532  fourierdlem72  46536  fourierdlem76  46540  fourierdlem79  46543  fourierdlem80  46544  fourierdlem103  46567  fourierdlem104  46568  fourierdlem112  46576  dignn0flhalflem1  48975