Theorem halfcld 12427

Description: Closure of half of a number (frequently used special case). (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
2timesd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)

Assertion

Ref	Expression
halfcld	⊢ (𝜑 → (𝐴 / 2) ∈ ℂ)

Proof of Theorem halfcld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2timesd.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
2		halfcl 12408	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴 / 2) ∈ ℂ)
3	1, 2	syl 17	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 / 2) ∈ ℂ)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2109  (class class class)co 7387  ℂcc 11066   / cdiv 11835  2c2 12241

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5251  ax-nul 5261  ax-pow 5320  ax-pr 5387  ax-un 7711  ax-resscn 11125  ax-1cn 11126  ax-icn 11127  ax-addcl 11128  ax-addrcl 11129  ax-mulcl 11130  ax-mulrcl 11131  ax-mulcom 11132  ax-addass 11133  ax-mulass 11134  ax-distr 11135  ax-i2m1 11136  ax-1ne0 11137  ax-1rid 11138  ax-rnegex 11139  ax-rrecex 11140  ax-cnre 11141  ax-pre-lttri 11142  ax-pre-lttrn 11143  ax-pre-ltadd 11144  ax-pre-mulgt0 11145

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3354  df-reu 3355  df-rab 3406  df-v 3449  df-sbc 3754  df-csb 3863  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-pss 3934  df-nul 4297  df-if 4489  df-pw 4565  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-uni 4872  df-iun 4957  df-br 5108  df-opab 5170  df-mpt 5189  df-tr 5215  df-id 5533  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5591  df-we 5593  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-pred 6274  df-ord 6335  df-on 6336  df-lim 6337  df-suc 6338  df-iota 6464  df-fun 6513  df-fn 6514  df-f 6515  df-f1 6516  df-fo 6517  df-f1o 6518  df-fv 6519  df-riota 7344  df-ov 7390  df-oprab 7391  df-mpo 7392  df-om 7843  df-2nd 7969  df-frecs 8260  df-wrecs 8291  df-recs 8340  df-rdg 8378  df-er 8671  df-en 8919  df-dom 8920  df-sdom 8921  df-pnf 11210  df-mnf 11211  df-xr 11212  df-ltxr 11213  df-le 11214  df-sub 11407  df-neg 11408  df-div 11836  df-nn 12187  df-2 12249

This theorem is referenced by:  xp1d2m1eqxm1d2  12436  zeo  12620  zesq  14191  faclbnd2  14256  crre  15080  ef4p  16081  cosf  16093  efi4p  16105  sinhval  16122  addsin  16138  zob  16329  nn0ob  16354  flodddiv4t2lthalf  16388  4sqlem10  16918  lhop1lem  25918  chordthmlem  26742  chordthmlem2  26743  chordthmlem3  26744  chordthmlem4  26745  chordthmlem5  26746  dcubic2  26754  dcubic1  26755  dcubic  26756  mcubic  26757  cubic  26759  dquartlem1  26761  dquart  26763  quart1cl  26764  quart1lem  26765  quart1  26766  quartlem3  26769  quartlem4  26770  quart  26771  lgsquad2lem2  27296  lgsquad2  27297  logdivsum  27444  mulog2sumlem2  27446  mulog2sumlem3  27447  vmalogdivsum2  27449  selberg34r  27482  pntlemr  27513  lt2addrd  32674  constrresqrtcl  33767  logdivsqrle  34641  sin2h  37604  cos2h  37605  tan2h  37606  itg2addnclem  37665  lcmineqlem23  42039  aks4d1p1p2  42058  oddfl  45276  suplesup  45335  coseq0  45862  sinaover2ne0  45866  wallispilem4  46066  wallispi  46068  stirlinglem1  46072  stirlinglem4  46075  stirlinglem7  46078  stirlinglem15  46086  dirker2re  46090  dirkerdenne0  46091  dirkerper  46094  dirkertrigeqlem2  46097  dirkertrigeqlem3  46098  dirkeritg  46100  dirkercncflem1  46101  dirkercncflem2  46102  dirkercncflem4  46104  fourierdlem43  46148  fourierdlem44  46149  fourierdlem56  46160  fourierdlem58  46162  fourierdlem62  46166  fourierdlem68  46172  fourierdlem72  46176  fourierdlem76  46180  fourierdlem79  46183  fourierdlem80  46184  fourierdlem103  46207  fourierdlem104  46208  fourierdlem112  46216  dignn0flhalflem1  48604