Theorem halfcld 12484

Description: Closure of half of a number (frequently used special case). (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
2timesd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)

Assertion

Ref	Expression
halfcld	⊢ (𝜑 → (𝐴 / 2) ∈ ℂ)

Proof of Theorem halfcld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2timesd.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
2		halfcl 12465	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴 / 2) ∈ ℂ)
3	1, 2	syl 18	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 / 2) ∈ ℂ)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2143  (class class class)co 7410  ℂcc 11093   / cdiv 11866  2c2 12290

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1825  ax-4 1839  ax-5 1940  ax-6 1997  ax-7 2038  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-sep 5257  ax-nul 5269  ax-pow 5336  ax-pr 5404  ax-un 7732  ax-resscn 11152  ax-1cn 11153  ax-icn 11154  ax-addcl 11155  ax-addrcl 11156  ax-mulcl 11157  ax-mulrcl 11158  ax-mulcom 11159  ax-addass 11160  ax-mulass 11161  ax-distr 11162  ax-i2m1 11163  ax-1ne0 11164  ax-1rid 11165  ax-rnegex 11166  ax-rrecex 11167  ax-cnre 11168  ax-pre-lttri 11169  ax-pre-lttrn 11170  ax-pre-ltadd 11171  ax-pre-mulgt0 11172

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1810  df-nf 1814  df-sb 2097  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3457  df-sbc 3745  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-pss 3925  df-nul 4287  df-if 4488  df-pw 4564  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-uni 4873  df-iun 4958  df-br 5110  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-tr 5219  df-id 5556  df-eprel 5561  df-po 5569  df-so 5570  df-fr 5614  df-we 5616  df-xp 5667  df-rel 5668  df-cnv 5669  df-co 5670  df-dm 5671  df-rn 5672  df-res 5673  df-ima 5674  df-pred 6302  df-ord 6363  df-on 6364  df-lim 6365  df-suc 6366  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7367  df-ov 7413  df-oprab 7414  df-mpo 7415  df-om 7859  df-2nd 7983  df-frecs 8274  df-wrecs 8305  df-recs 8354  df-rdg 8393  df-er 8690  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-pnf 11240  df-mnf 11241  df-xr 11242  df-ltxr 11243  df-le 11244  df-sub 11438  df-neg 11439  df-div 11867  df-nn 12229  df-2 12298

This theorem is referenced by:  xp1d2m1eqxm1d2  12493  zeo  12677  zesq  14258  faclbnd2  14323  crre  15161  ef4p  16164  cosf  16176  efi4p  16188  sinhval  16205  addsin  16221  zob  16412  nn0ob  16437  flodddiv4t2lthalf  16471  4sqlem10  17002  lhop1lem  26172  chordthmlem  26997  chordthmlem2  26998  chordthmlem3  26999  chordthmlem4  27000  chordthmlem5  27001  dcubic2  27009  dcubic1  27010  dcubic  27011  mcubic  27012  cubic  27014  dquartlem1  27016  dquart  27018  quart1cl  27019  quart1lem  27020  quart1  27021  quartlem3  27024  quartlem4  27025  quart  27026  lgsquad2lem2  27549  lgsquad2  27550  logdivsum  27697  mulog2sumlem2  27699  mulog2sumlem3  27700  vmalogdivsum2  27702  selberg34r  27735  pntlemr  27766  lt2addrd  33095  constrresqrtcl  34167  logdivsqrle  35037  qdiff  37991  sin2h  38281  cos2h  38282  tan2h  38283  itg2addnclem  38342  lcmineqlem23  42838  aks4d1p1p2  42857  oddfl  46017  suplesup  46075  coseq0  46598  sinaover2ne0  46602  wallispilem4  46802  wallispi  46804  stirlinglem1  46808  stirlinglem4  46811  stirlinglem7  46814  stirlinglem15  46822  dirker2re  46826  dirkerdenne0  46827  dirkerper  46830  dirkertrigeqlem2  46833  dirkertrigeqlem3  46834  dirkeritg  46836  dirkercncflem1  46837  dirkercncflem2  46838  dirkercncflem4  46840  fourierdlem43  46884  fourierdlem44  46885  fourierdlem56  46896  fourierdlem58  46898  fourierdlem62  46902  fourierdlem68  46908  fourierdlem72  46912  fourierdlem76  46916  fourierdlem79  46919  fourierdlem80  46920  fourierdlem103  46943  fourierdlem104  46944  fourierdlem112  46952  dignn0flhalflem1  49415