Theorem halfcld 12591

Description: Closure of half of a number (frequently used special case). (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
2timesd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)

Assertion

Ref	Expression
halfcld	⊢ (𝜑 → (𝐴 / 2) ∈ ℂ)

Proof of Theorem halfcld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2timesd.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
2		halfcl 12572	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴 / 2) ∈ ℂ)
3	1, 2	syl 18	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 / 2) ∈ ℂ)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∈ wcel 2145  (class class class)co 7420  ℂcc 11198   / cdiv 11973  2c2 12397

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2733  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7751  ax-resscn 11257  ax-1cn 11258  ax-icn 11259  ax-addcl 11260  ax-addrcl 11261  ax-mulcl 11262  ax-mulrcl 11263  ax-mulcom 11264  ax-addass 11265  ax-mulass 11266  ax-distr 11267  ax-i2m1 11268  ax-1ne0 11269  ax-1rid 11270  ax-rnegex 11271  ax-rrecex 11272  ax-cnre 11273  ax-pre-lttri 11274  ax-pre-lttrn 11275  ax-pre-ltadd 11276  ax-pre-mulgt0 11277

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3063  df-ral 3078  df-rex 3088  df-rmo 3366  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3453  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-we 5606  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-riota 7377  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-om 7878  df-2nd 8002  df-frecs 8299  df-wrecs 8330  df-recs 8379  df-rdg 8418  df-er 8717  df-en 8974  df-dom 8975  df-sdom 8976  df-pnf 11345  df-mnf 11346  df-xr 11347  df-ltxr 11348  df-le 11349  df-sub 11543  df-neg 11544  df-div 11974  df-nn 12336  df-2 12405

This theorem is used by:  xp1d2m1eqxm1d2  12600  zeo  12785  zesq  14370  faclbnd2  14435  crre  15281  ef4p  16281  cosf  16293  efi4p  16305  sinhval  16322  addsin  16338  zob  16529  nn0ob  16554  flodddiv4t2lthalf  16588  4sqlem10  17125  lhop1lem  26333  chordthmlem  27160  chordthmlem2  27161  chordthmlem3  27162  chordthmlem4  27163  chordthmlem5  27164  dcubic2  27172  dcubic1  27173  dcubic  27174  mcubic  27175  cubic  27177  dquartlem1  27179  dquart  27181  quart1cl  27182  quart1lem  27183  quart1  27184  quartlem3  27187  quartlem4  27188  quart  27189  lgsquad2lem2  27712  lgsquad2  27713  logdivsum  27860  mulog2sumlem2  27862  mulog2sumlem3  27863  vmalogdivsum2  27865  selberg34r  27898  pntlemr  27929  lt2addrd  33342  constrresqrtcl  34409  logdivsqrle  35279  qdiff  38248  sin2h  38533  cos2h  38534  tan2h  38535  itg2addnclem  38589  lcmineqlem23  43101  aks4d1p1p2  43120  oddfl  46293  suplesup  46350  coseq0  46873  sinaover2ne0  46877  wallispilem4  47077  wallispi  47079  stirlinglem1  47083  stirlinglem4  47086  stirlinglem7  47089  stirlinglem15  47097  dirker2re  47101  dirkerdenne0  47102  dirkerper  47105  dirkertrigeqlem2  47108  dirkertrigeqlem3  47109  dirkeritg  47111  dirkercncflem1  47112  dirkercncflem2  47113  dirkercncflem4  47115  fourierdlem43  47159  fourierdlem44  47160  fourierdlem56  47171  fourierdlem58  47173  fourierdlem62  47177  fourierdlem68  47183  fourierdlem72  47187  fourierdlem76  47191  fourierdlem79  47194  fourierdlem80  47195  fourierdlem103  47218  fourierdlem104  47219  fourierdlem112  47227  dignn0flhalflem1  49726