Theorem halfcld 11881

Description: Closure of half of a number (frequently used special case). (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
2timesd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)

Assertion

Ref	Expression
halfcld	⊢ (𝜑 → (𝐴 / 2) ∈ ℂ)

Proof of Theorem halfcld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2timesd.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
2		halfcl 11861	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴 / 2) ∈ ℂ)
3	1, 2	syl 17	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 / 2) ∈ ℂ)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2110  (class class class)co 7155  ℂcc 10534   / cdiv 11296  2c2 11691

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1907  ax-6 1966  ax-7 2011  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2173  ax-ext 2793  ax-sep 5202  ax-nul 5209  ax-pow 5265  ax-pr 5329  ax-un 7460  ax-resscn 10593  ax-1cn 10594  ax-icn 10595  ax-addcl 10596  ax-addrcl 10597  ax-mulcl 10598  ax-mulrcl 10599  ax-mulcom 10600  ax-addass 10601  ax-mulass 10602  ax-distr 10603  ax-i2m1 10604  ax-1ne0 10605  ax-1rid 10606  ax-rnegex 10607  ax-rrecex 10608  ax-cnre 10609  ax-pre-lttri 10610  ax-pre-lttrn 10611  ax-pre-ltadd 10612  ax-pre-mulgt0 10613

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1536  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2066  df-mo 2618  df-eu 2650  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2893  df-nfc 2963  df-ne 3017  df-nel 3124  df-ral 3143  df-rex 3144  df-reu 3145  df-rmo 3146  df-rab 3147  df-v 3496  df-sbc 3772  df-csb 3883  df-dif 3938  df-un 3940  df-in 3942  df-ss 3951  df-nul 4291  df-if 4467  df-pw 4540  df-sn 4567  df-pr 4569  df-op 4573  df-uni 4838  df-br 5066  df-opab 5128  df-mpt 5146  df-id 5459  df-po 5473  df-so 5474  df-xp 5560  df-rel 5561  df-cnv 5562  df-co 5563  df-dm 5564  df-rn 5565  df-res 5566  df-ima 5567  df-iota 6313  df-fun 6356  df-fn 6357  df-f 6358  df-f1 6359  df-fo 6360  df-f1o 6361  df-fv 6362  df-riota 7113  df-ov 7158  df-oprab 7159  df-mpo 7160  df-er 8288  df-en 8509  df-dom 8510  df-sdom 8511  df-pnf 10676  df-mnf 10677  df-xr 10678  df-ltxr 10679  df-le 10680  df-sub 10871  df-neg 10872  df-div 11297  df-2 11699

This theorem is referenced by:  xp1d2m1eqxm1d2  11890  zeo  12067  zesq  13586  faclbnd2  13650  crre  14472  ef4p  15465  cosf  15477  efi4p  15489  sinhval  15506  addsin  15522  zob  15707  nn0ob  15734  flodddiv4t2lthalf  15766  4sqlem10  16282  lhop1lem  24609  chordthmlem  25409  chordthmlem2  25410  chordthmlem3  25411  chordthmlem4  25412  chordthmlem5  25413  dcubic2  25421  dcubic1  25422  dcubic  25423  mcubic  25424  cubic  25426  dquartlem1  25428  dquart  25430  quart1cl  25431  quart1lem  25432  quart1  25433  quartlem3  25436  quartlem4  25437  quart  25438  lgsquad2lem2  25960  lgsquad2  25961  logdivsum  26108  mulog2sumlem2  26110  mulog2sumlem3  26111  vmalogdivsum2  26113  selberg34r  26146  pntlemr  26177  lt2addrd  30474  logdivsqrle  31921  sin2h  34881  cos2h  34882  tan2h  34883  itg2addnclem  34942  oddfl  41541  suplesup  41605  coseq0  42143  sinaover2ne0  42147  wallispilem4  42352  wallispi  42354  stirlinglem1  42358  stirlinglem4  42361  stirlinglem7  42364  stirlinglem15  42372  dirker2re  42376  dirkerdenne0  42377  dirkerper  42380  dirkertrigeqlem2  42383  dirkertrigeqlem3  42384  dirkeritg  42386  dirkercncflem1  42387  dirkercncflem2  42388  dirkercncflem4  42390  fourierdlem43  42434  fourierdlem44  42435  fourierdlem56  42446  fourierdlem58  42448  fourierdlem62  42452  fourierdlem68  42458  fourierdlem72  42462  fourierdlem76  42466  fourierdlem79  42469  fourierdlem80  42470  fourierdlem103  42493  fourierdlem104  42494  fourierdlem112  42502  dignn0flhalflem1  44674