Theorem halfcld 11736

Description: Closure of half of a number (frequently used special case). (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
2timesd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)

Assertion

Ref	Expression
halfcld	⊢ (𝜑 → (𝐴 / 2) ∈ ℂ)

Proof of Theorem halfcld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2timesd.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
2		halfcl 11716	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴 / 2) ∈ ℂ)
3	1, 2	syl 17	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 / 2) ∈ ℂ)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2083  (class class class)co 7023  ℂcc 10388   / cdiv 11151  2c2 11546

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1781  ax-4 1795  ax-5 1892  ax-6 1951  ax-7 1996  ax-8 2085  ax-9 2093  ax-10 2114  ax-11 2128  ax-12 2143  ax-13 2346  ax-ext 2771  ax-sep 5101  ax-nul 5108  ax-pow 5164  ax-pr 5228  ax-un 7326  ax-resscn 10447  ax-1cn 10448  ax-icn 10449  ax-addcl 10450  ax-addrcl 10451  ax-mulcl 10452  ax-mulrcl 10453  ax-mulcom 10454  ax-addass 10455  ax-mulass 10456  ax-distr 10457  ax-i2m1 10458  ax-1ne0 10459  ax-1rid 10460  ax-rnegex 10461  ax-rrecex 10462  ax-cnre 10463  ax-pre-lttri 10464  ax-pre-lttrn 10465  ax-pre-ltadd 10466  ax-pre-mulgt0 10467

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 843  df-3or 1081  df-3an 1082  df-tru 1528  df-ex 1766  df-nf 1770  df-sb 2045  df-mo 2578  df-eu 2614  df-clab 2778  df-cleq 2790  df-clel 2865  df-nfc 2937  df-ne 2987  df-nel 3093  df-ral 3112  df-rex 3113  df-reu 3114  df-rmo 3115  df-rab 3116  df-v 3442  df-sbc 3712  df-csb 3818  df-dif 3868  df-un 3870  df-in 3872  df-ss 3880  df-nul 4218  df-if 4388  df-pw 4461  df-sn 4479  df-pr 4481  df-op 4485  df-uni 4752  df-br 4969  df-opab 5031  df-mpt 5048  df-id 5355  df-po 5369  df-so 5370  df-xp 5456  df-rel 5457  df-cnv 5458  df-co 5459  df-dm 5460  df-rn 5461  df-res 5462  df-ima 5463  df-iota 6196  df-fun 6234  df-fn 6235  df-f 6236  df-f1 6237  df-fo 6238  df-f1o 6239  df-fv 6240  df-riota 6984  df-ov 7026  df-oprab 7027  df-mpo 7028  df-er 8146  df-en 8365  df-dom 8366  df-sdom 8367  df-pnf 10530  df-mnf 10531  df-xr 10532  df-ltxr 10533  df-le 10534  df-sub 10725  df-neg 10726  df-div 11152  df-2 11554

This theorem is referenced by:  xp1d2m1eqxm1d2  11745  zeo  11922  zesq  13441  faclbnd2  13505  crre  14311  ef4p  15303  cosf  15315  efi4p  15327  sinhval  15344  addsin  15360  zob  15545  nn0ob  15572  flodddiv4t2lthalf  15604  4sqlem10  16116  lhop1lem  24297  chordthmlem  25095  chordthmlem2  25096  chordthmlem3  25097  chordthmlem4  25098  chordthmlem5  25099  dcubic2  25107  dcubic1  25108  dcubic  25109  mcubic  25110  cubic  25112  dquartlem1  25114  dquart  25116  quart1cl  25117  quart1lem  25118  quart1  25119  quartlem3  25122  quartlem4  25123  quart  25124  lgsquad2lem2  25647  lgsquad2  25648  logdivsum  25795  mulog2sumlem2  25797  mulog2sumlem3  25798  vmalogdivsum2  25800  selberg34r  25833  pntlemr  25864  lt2addrd  30159  logdivsqrle  31534  sin2h  34434  cos2h  34435  tan2h  34436  itg2addnclem  34495  oddfl  41105  suplesup  41169  coseq0  41708  sinaover2ne0  41712  wallispilem4  41917  wallispi  41919  stirlinglem1  41923  stirlinglem4  41926  stirlinglem7  41929  stirlinglem15  41937  dirker2re  41941  dirkerdenne0  41942  dirkerper  41945  dirkertrigeqlem2  41948  dirkertrigeqlem3  41949  dirkeritg  41951  dirkercncflem1  41952  dirkercncflem2  41953  dirkercncflem4  41955  fourierdlem43  41999  fourierdlem44  42000  fourierdlem56  42011  fourierdlem58  42013  fourierdlem62  42017  fourierdlem68  42023  fourierdlem72  42027  fourierdlem76  42031  fourierdlem79  42034  fourierdlem80  42035  fourierdlem103  42058  fourierdlem104  42059  fourierdlem112  42067  dignn0flhalflem1  44178