Theorem halfcld 12506

Description: Closure of half of a number (frequently used special case). (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
2timesd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)

Assertion

Ref	Expression
halfcld	⊢ (𝜑 → (𝐴 / 2) ∈ ℂ)

Proof of Theorem halfcld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2timesd.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
2		halfcl 12487	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴 / 2) ∈ ℂ)
3	1, 2	syl 18	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 / 2) ∈ ℂ)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∈ wcel 2146  (class class class)co 7419  ℂcc 11115   / cdiv 11888  2c2 12312

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2737  ax-sep 5259  ax-nul 5271  ax-pow 5338  ax-pr 5406  ax-un 7742  ax-resscn 11174  ax-1cn 11175  ax-icn 11176  ax-addcl 11177  ax-addrcl 11178  ax-mulcl 11179  ax-mulrcl 11180  ax-mulcom 11181  ax-addass 11182  ax-mulass 11183  ax-distr 11184  ax-i2m1 11185  ax-1ne0 11186  ax-1rid 11187  ax-rnegex 11188  ax-rrecex 11189  ax-cnre 11190  ax-pre-lttri 11191  ax-pre-lttrn 11192  ax-pre-ltadd 11193  ax-pre-mulgt0 11194

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-nel 3067  df-ral 3082  df-rex 3092  df-rmo 3371  df-reu 3372  df-rab 3419  df-v 3459  df-sbc 3747  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-pss 3926  df-nul 4287  df-if 4490  df-pw 4566  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4875  df-iun 4960  df-br 5112  df-opab 5176  df-mpt 5195  df-tr 5221  df-id 5558  df-eprel 5563  df-po 5571  df-so 5572  df-fr 5616  df-we 5618  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-pred 6306  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6496  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-riota 7376  df-ov 7422  df-oprab 7423  df-mpo 7424  df-om 7869  df-2nd 7993  df-frecs 8284  df-wrecs 8315  df-recs 8364  df-rdg 8403  df-er 8700  df-en 8950  df-dom 8951  df-sdom 8952  df-pnf 11262  df-mnf 11263  df-xr 11264  df-ltxr 11265  df-le 11266  df-sub 11460  df-neg 11461  df-div 11889  df-nn 12251  df-2 12320

This theorem is used by:  xp1d2m1eqxm1d2  12515  zeo  12700  zesq  14282  faclbnd2  14347  crre  15191  ef4p  16193  cosf  16205  efi4p  16217  sinhval  16234  addsin  16250  zob  16441  nn0ob  16466  flodddiv4t2lthalf  16500  4sqlem10  17031  lhop1lem  26225  chordthmlem  27050  chordthmlem2  27051  chordthmlem3  27052  chordthmlem4  27053  chordthmlem5  27054  dcubic2  27062  dcubic1  27063  dcubic  27064  mcubic  27065  cubic  27067  dquartlem1  27069  dquart  27071  quart1cl  27072  quart1lem  27073  quart1  27074  quartlem3  27077  quartlem4  27078  quart  27079  lgsquad2lem2  27602  lgsquad2  27603  logdivsum  27750  mulog2sumlem2  27752  mulog2sumlem3  27753  vmalogdivsum2  27755  selberg34r  27788  pntlemr  27819  lt2addrd  33167  constrresqrtcl  34233  logdivsqrle  35104  qdiff  38030  sin2h  38320  cos2h  38321  tan2h  38322  itg2addnclem  38381  lcmineqlem23  42878  aks4d1p1p2  42897  oddfl  46057  suplesup  46115  coseq0  46638  sinaover2ne0  46642  wallispilem4  46842  wallispi  46844  stirlinglem1  46848  stirlinglem4  46851  stirlinglem7  46854  stirlinglem15  46862  dirker2re  46866  dirkerdenne0  46867  dirkerper  46870  dirkertrigeqlem2  46873  dirkertrigeqlem3  46874  dirkeritg  46876  dirkercncflem1  46877  dirkercncflem2  46878  dirkercncflem4  46880  fourierdlem43  46924  fourierdlem44  46925  fourierdlem56  46936  fourierdlem58  46938  fourierdlem62  46942  fourierdlem68  46948  fourierdlem72  46952  fourierdlem76  46956  fourierdlem79  46959  fourierdlem80  46960  fourierdlem103  46983  fourierdlem104  46984  fourierdlem112  46992  dignn0flhalflem1  49454