Theorem halfcld 12422

Description: Closure of half of a number (frequently used special case). (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
2timesd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)

Assertion

Ref	Expression
halfcld	⊢ (𝜑 → (𝐴 / 2) ∈ ℂ)

Proof of Theorem halfcld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2timesd.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
2		halfcl 12403	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴 / 2) ∈ ℂ)
3	1, 2	syl 17	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 / 2) ∈ ℂ)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2114  (class class class)co 7367  ℂcc 11036   / cdiv 11807  2c2 12236

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2708  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5307  ax-pr 5375  ax-un 7689  ax-resscn 11095  ax-1cn 11096  ax-icn 11097  ax-addcl 11098  ax-addrcl 11099  ax-mulcl 11100  ax-mulrcl 11101  ax-mulcom 11102  ax-addass 11103  ax-mulass 11104  ax-distr 11105  ax-i2m1 11106  ax-1ne0 11107  ax-1rid 11108  ax-rnegex 11109  ax-rrecex 11110  ax-cnre 11111  ax-pre-lttri 11112  ax-pre-lttrn 11113  ax-pre-ltadd 11114  ax-pre-mulgt0 11115

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3062  df-rmo 3342  df-reu 3343  df-rab 3390  df-v 3431  df-sbc 3729  df-csb 3838  df-dif 3892  df-un 3894  df-in 3896  df-ss 3906  df-pss 3909  df-nul 4274  df-if 4467  df-pw 4543  df-sn 4568  df-pr 4570  df-op 4574  df-uni 4851  df-iun 4935  df-br 5086  df-opab 5148  df-mpt 5167  df-tr 5193  df-id 5526  df-eprel 5531  df-po 5539  df-so 5540  df-fr 5584  df-we 5586  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6265  df-ord 6326  df-on 6327  df-lim 6328  df-suc 6329  df-iota 6454  df-fun 6500  df-fn 6501  df-f 6502  df-f1 6503  df-fo 6504  df-f1o 6505  df-fv 6506  df-riota 7324  df-ov 7370  df-oprab 7371  df-mpo 7372  df-om 7818  df-2nd 7943  df-frecs 8231  df-wrecs 8262  df-recs 8311  df-rdg 8349  df-er 8643  df-en 8894  df-dom 8895  df-sdom 8896  df-pnf 11181  df-mnf 11182  df-xr 11183  df-ltxr 11184  df-le 11185  df-sub 11379  df-neg 11380  df-div 11808  df-nn 12175  df-2 12244

This theorem is referenced by:  xp1d2m1eqxm1d2  12431  zeo  12615  zesq  14188  faclbnd2  14253  crre  15076  ef4p  16080  cosf  16092  efi4p  16104  sinhval  16121  addsin  16137  zob  16328  nn0ob  16353  flodddiv4t2lthalf  16387  4sqlem10  16918  lhop1lem  25980  chordthmlem  26796  chordthmlem2  26797  chordthmlem3  26798  chordthmlem4  26799  chordthmlem5  26800  dcubic2  26808  dcubic1  26809  dcubic  26810  mcubic  26811  cubic  26813  dquartlem1  26815  dquart  26817  quart1cl  26818  quart1lem  26819  quart1  26820  quartlem3  26823  quartlem4  26824  quart  26825  lgsquad2lem2  27348  lgsquad2  27349  logdivsum  27496  mulog2sumlem2  27498  mulog2sumlem3  27499  vmalogdivsum2  27501  selberg34r  27534  pntlemr  27565  lt2addrd  32823  constrresqrtcl  33921  logdivsqrle  34794  qdiff  37641  sin2h  37931  cos2h  37932  tan2h  37933  itg2addnclem  37992  lcmineqlem23  42490  aks4d1p1p2  42509  oddfl  45711  suplesup  45769  coseq0  46292  sinaover2ne0  46296  wallispilem4  46496  wallispi  46498  stirlinglem1  46502  stirlinglem4  46505  stirlinglem7  46508  stirlinglem15  46516  dirker2re  46520  dirkerdenne0  46521  dirkerper  46524  dirkertrigeqlem2  46527  dirkertrigeqlem3  46528  dirkeritg  46530  dirkercncflem1  46531  dirkercncflem2  46532  dirkercncflem4  46534  fourierdlem43  46578  fourierdlem44  46579  fourierdlem56  46590  fourierdlem58  46592  fourierdlem62  46596  fourierdlem68  46602  fourierdlem72  46606  fourierdlem76  46610  fourierdlem79  46613  fourierdlem80  46614  fourierdlem103  46637  fourierdlem104  46638  fourierdlem112  46646  dignn0flhalflem1  49091