Theorem halfcld 12486

Description: Closure of half of a number (frequently used special case). (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
2timesd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)

Assertion

Ref	Expression
halfcld	⊢ (𝜑 → (𝐴 / 2) ∈ ℂ)

Proof of Theorem halfcld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2timesd.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
2		halfcl 12467	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴 / 2) ∈ ℂ)
3	1, 2	syl 17	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 / 2) ∈ ℂ)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2108  (class class class)co 7405  ℂcc 11127   / cdiv 11894  2c2 12295

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2707  ax-sep 5266  ax-nul 5276  ax-pow 5335  ax-pr 5402  ax-un 7729  ax-resscn 11186  ax-1cn 11187  ax-icn 11188  ax-addcl 11189  ax-addrcl 11190  ax-mulcl 11191  ax-mulrcl 11192  ax-mulcom 11193  ax-addass 11194  ax-mulass 11195  ax-distr 11196  ax-i2m1 11197  ax-1ne0 11198  ax-1rid 11199  ax-rnegex 11200  ax-rrecex 11201  ax-cnre 11202  ax-pre-lttri 11203  ax-pre-lttrn 11204  ax-pre-ltadd 11205  ax-pre-mulgt0 11206

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2727  df-clel 2809  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3359  df-reu 3360  df-rab 3416  df-v 3461  df-sbc 3766  df-csb 3875  df-dif 3929  df-un 3931  df-in 3933  df-ss 3943  df-pss 3946  df-nul 4309  df-if 4501  df-pw 4577  df-sn 4602  df-pr 4604  df-op 4608  df-uni 4884  df-iun 4969  df-br 5120  df-opab 5182  df-mpt 5202  df-tr 5230  df-id 5548  df-eprel 5553  df-po 5561  df-so 5562  df-fr 5606  df-we 5608  df-xp 5660  df-rel 5661  df-cnv 5662  df-co 5663  df-dm 5664  df-rn 5665  df-res 5666  df-ima 5667  df-pred 6290  df-ord 6355  df-on 6356  df-lim 6357  df-suc 6358  df-iota 6484  df-fun 6533  df-fn 6534  df-f 6535  df-f1 6536  df-fo 6537  df-f1o 6538  df-fv 6539  df-riota 7362  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7862  df-2nd 7989  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8385  df-rdg 8424  df-er 8719  df-en 8960  df-dom 8961  df-sdom 8962  df-pnf 11271  df-mnf 11272  df-xr 11273  df-ltxr 11274  df-le 11275  df-sub 11468  df-neg 11469  df-div 11895  df-nn 12241  df-2 12303

This theorem is referenced by:  xp1d2m1eqxm1d2  12495  zeo  12679  zesq  14244  faclbnd2  14309  crre  15133  ef4p  16131  cosf  16143  efi4p  16155  sinhval  16172  addsin  16188  zob  16378  nn0ob  16403  flodddiv4t2lthalf  16437  4sqlem10  16967  lhop1lem  25970  chordthmlem  26794  chordthmlem2  26795  chordthmlem3  26796  chordthmlem4  26797  chordthmlem5  26798  dcubic2  26806  dcubic1  26807  dcubic  26808  mcubic  26809  cubic  26811  dquartlem1  26813  dquart  26815  quart1cl  26816  quart1lem  26817  quart1  26818  quartlem3  26821  quartlem4  26822  quart  26823  lgsquad2lem2  27348  lgsquad2  27349  logdivsum  27496  mulog2sumlem2  27498  mulog2sumlem3  27499  vmalogdivsum2  27501  selberg34r  27534  pntlemr  27565  lt2addrd  32728  constrresqrtcl  33811  logdivsqrle  34682  sin2h  37634  cos2h  37635  tan2h  37636  itg2addnclem  37695  lcmineqlem23  42064  aks4d1p1p2  42083  oddfl  45306  suplesup  45366  coseq0  45893  sinaover2ne0  45897  wallispilem4  46097  wallispi  46099  stirlinglem1  46103  stirlinglem4  46106  stirlinglem7  46109  stirlinglem15  46117  dirker2re  46121  dirkerdenne0  46122  dirkerper  46125  dirkertrigeqlem2  46128  dirkertrigeqlem3  46129  dirkeritg  46131  dirkercncflem1  46132  dirkercncflem2  46133  dirkercncflem4  46135  fourierdlem43  46179  fourierdlem44  46180  fourierdlem56  46191  fourierdlem58  46193  fourierdlem62  46197  fourierdlem68  46203  fourierdlem72  46207  fourierdlem76  46211  fourierdlem79  46214  fourierdlem80  46215  fourierdlem103  46238  fourierdlem104  46239  fourierdlem112  46247  dignn0flhalflem1  48595