Theorem halfcld 12413

Description: Closure of half of a number (frequently used special case). (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
2timesd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)

Assertion

Ref	Expression
halfcld	⊢ (𝜑 → (𝐴 / 2) ∈ ℂ)

Proof of Theorem halfcld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2timesd.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
2		halfcl 12394	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴 / 2) ∈ ℂ)
3	1, 2	syl 17	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 / 2) ∈ ℂ)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2119  (class class class)co 7356  ℂcc 11027   / cdiv 11798  2c2 12227

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1974  ax-7 2015  ax-8 2121  ax-9 2129  ax-10 2152  ax-11 2168  ax-12 2189  ax-ext 2711  ax-sep 5218  ax-nul 5228  ax-pow 5294  ax-pr 5362  ax-un 7678  ax-resscn 11086  ax-1cn 11087  ax-icn 11088  ax-addcl 11089  ax-addrcl 11090  ax-mulcl 11091  ax-mulrcl 11092  ax-mulcom 11093  ax-addass 11094  ax-mulass 11095  ax-distr 11096  ax-i2m1 11097  ax-1ne0 11098  ax-1rid 11099  ax-rnegex 11100  ax-rrecex 11101  ax-cnre 11102  ax-pre-lttri 11103  ax-pre-lttrn 11104  ax-pre-ltadd 11105  ax-pre-mulgt0 11106

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 854  df-3or 1093  df-3an 1094  df-tru 1550  df-fal 1560  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2074  df-mo 2543  df-eu 2573  df-clab 2718  df-cleq 2731  df-clel 2814  df-nfc 2888  df-ne 2935  df-nel 3039  df-ral 3054  df-rex 3064  df-rmo 3344  df-reu 3345  df-rab 3392  df-v 3433  df-sbc 3724  df-csb 3832  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3903  df-nul 4262  df-if 4455  df-pw 4531  df-sn 4556  df-pr 4558  df-op 4562  df-uni 4839  df-iun 4923  df-br 5073  df-opab 5135  df-mpt 5154  df-tr 5180  df-id 5513  df-eprel 5518  df-po 5526  df-so 5527  df-fr 5571  df-we 5573  df-xp 5624  df-rel 5625  df-cnv 5626  df-co 5627  df-dm 5628  df-rn 5629  df-res 5630  df-ima 5631  df-pred 6252  df-ord 6313  df-on 6314  df-lim 6315  df-suc 6316  df-iota 6441  df-fun 6487  df-fn 6488  df-f 6489  df-f1 6490  df-fo 6491  df-f1o 6492  df-fv 6493  df-riota 7313  df-ov 7359  df-oprab 7360  df-mpo 7361  df-om 7807  df-2nd 7932  df-frecs 8221  df-wrecs 8252  df-recs 8301  df-rdg 8339  df-er 8633  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-pnf 11172  df-mnf 11173  df-xr 11174  df-ltxr 11175  df-le 11176  df-sub 11370  df-neg 11371  df-div 11799  df-nn 12166  df-2 12235

This theorem is referenced by:  xp1d2m1eqxm1d2  12422  zeo  12606  zesq  14179  faclbnd2  14244  crre  15067  ef4p  16071  cosf  16083  efi4p  16095  sinhval  16112  addsin  16128  zob  16319  nn0ob  16344  flodddiv4t2lthalf  16378  4sqlem10  16909  lhop1lem  25998  chordthmlem  26814  chordthmlem2  26815  chordthmlem3  26816  chordthmlem4  26817  chordthmlem5  26818  dcubic2  26826  dcubic1  26827  dcubic  26828  mcubic  26829  cubic  26831  dquartlem1  26833  dquart  26835  quart1cl  26836  quart1lem  26837  quart1  26838  quartlem3  26841  quartlem4  26842  quart  26843  lgsquad2lem2  27366  lgsquad2  27367  logdivsum  27514  mulog2sumlem2  27516  mulog2sumlem3  27517  vmalogdivsum2  27519  selberg34r  27552  pntlemr  27583  lt2addrd  32842  constrresqrtcl  33961  logdivsqrle  34834  qdiff  37687  sin2h  37977  cos2h  37978  tan2h  37979  itg2addnclem  38038  lcmineqlem23  42536  aks4d1p1p2  42555  oddfl  45726  suplesup  45784  coseq0  46307  sinaover2ne0  46311  wallispilem4  46511  wallispi  46513  stirlinglem1  46517  stirlinglem4  46520  stirlinglem7  46523  stirlinglem15  46531  dirker2re  46535  dirkerdenne0  46536  dirkerper  46539  dirkertrigeqlem2  46542  dirkertrigeqlem3  46543  dirkeritg  46545  dirkercncflem1  46546  dirkercncflem2  46547  dirkercncflem4  46549  fourierdlem43  46593  fourierdlem44  46594  fourierdlem56  46605  fourierdlem58  46607  fourierdlem62  46611  fourierdlem68  46617  fourierdlem72  46621  fourierdlem76  46625  fourierdlem79  46628  fourierdlem80  46629  fourierdlem103  46652  fourierdlem104  46653  fourierdlem112  46661  dignn0flhalflem1  49106