Theorem halfcld 12372

Description: Closure of half of a number (frequently used special case). (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
2timesd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)

Assertion

Ref	Expression
halfcld	⊢ (𝜑 → (𝐴 / 2) ∈ ℂ)

Proof of Theorem halfcld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2timesd.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
2		halfcl 12353	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴 / 2) ∈ ℂ)
3	1, 2	syl 17	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 / 2) ∈ ℂ)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2111  (class class class)co 7352  ℂcc 11010   / cdiv 11780  2c2 12186

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-sep 5236  ax-nul 5246  ax-pow 5305  ax-pr 5372  ax-un 7674  ax-resscn 11069  ax-1cn 11070  ax-icn 11071  ax-addcl 11072  ax-addrcl 11073  ax-mulcl 11074  ax-mulrcl 11075  ax-mulcom 11076  ax-addass 11077  ax-mulass 11078  ax-distr 11079  ax-i2m1 11080  ax-1ne0 11081  ax-1rid 11082  ax-rnegex 11083  ax-rrecex 11084  ax-cnre 11085  ax-pre-lttri 11086  ax-pre-lttrn 11087  ax-pre-ltadd 11088  ax-pre-mulgt0 11089

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2929  df-nel 3033  df-ral 3048  df-rex 3057  df-rmo 3346  df-reu 3347  df-rab 3396  df-v 3438  df-sbc 3737  df-csb 3846  df-dif 3900  df-un 3902  df-in 3904  df-ss 3914  df-pss 3917  df-nul 4283  df-if 4475  df-pw 4551  df-sn 4576  df-pr 4578  df-op 4582  df-uni 4859  df-iun 4943  df-br 5094  df-opab 5156  df-mpt 5175  df-tr 5201  df-id 5514  df-eprel 5519  df-po 5527  df-so 5528  df-fr 5572  df-we 5574  df-xp 5625  df-rel 5626  df-cnv 5627  df-co 5628  df-dm 5629  df-rn 5630  df-res 5631  df-ima 5632  df-pred 6254  df-ord 6315  df-on 6316  df-lim 6317  df-suc 6318  df-iota 6443  df-fun 6489  df-fn 6490  df-f 6491  df-f1 6492  df-fo 6493  df-f1o 6494  df-fv 6495  df-riota 7309  df-ov 7355  df-oprab 7356  df-mpo 7357  df-om 7803  df-2nd 7928  df-frecs 8217  df-wrecs 8248  df-recs 8297  df-rdg 8335  df-er 8628  df-en 8876  df-dom 8877  df-sdom 8878  df-pnf 11154  df-mnf 11155  df-xr 11156  df-ltxr 11157  df-le 11158  df-sub 11352  df-neg 11353  df-div 11781  df-nn 12132  df-2 12194

This theorem is referenced by:  xp1d2m1eqxm1d2  12381  zeo  12565  zesq  14139  faclbnd2  14204  crre  15027  ef4p  16028  cosf  16040  efi4p  16052  sinhval  16069  addsin  16085  zob  16276  nn0ob  16301  flodddiv4t2lthalf  16335  4sqlem10  16865  lhop1lem  25951  chordthmlem  26775  chordthmlem2  26776  chordthmlem3  26777  chordthmlem4  26778  chordthmlem5  26779  dcubic2  26787  dcubic1  26788  dcubic  26789  mcubic  26790  cubic  26792  dquartlem1  26794  dquart  26796  quart1cl  26797  quart1lem  26798  quart1  26799  quartlem3  26802  quartlem4  26803  quart  26804  lgsquad2lem2  27329  lgsquad2  27330  logdivsum  27477  mulog2sumlem2  27479  mulog2sumlem3  27480  vmalogdivsum2  27482  selberg34r  27515  pntlemr  27546  lt2addrd  32741  constrresqrtcl  33797  logdivsqrle  34670  sin2h  37656  cos2h  37657  tan2h  37658  itg2addnclem  37717  lcmineqlem23  42150  aks4d1p1p2  42169  oddfl  45384  suplesup  45443  coseq0  45967  sinaover2ne0  45971  wallispilem4  46171  wallispi  46173  stirlinglem1  46177  stirlinglem4  46180  stirlinglem7  46183  stirlinglem15  46191  dirker2re  46195  dirkerdenne0  46196  dirkerper  46199  dirkertrigeqlem2  46202  dirkertrigeqlem3  46203  dirkeritg  46205  dirkercncflem1  46206  dirkercncflem2  46207  dirkercncflem4  46209  fourierdlem43  46253  fourierdlem44  46254  fourierdlem56  46265  fourierdlem58  46267  fourierdlem62  46271  fourierdlem68  46277  fourierdlem72  46281  fourierdlem76  46285  fourierdlem79  46288  fourierdlem80  46289  fourierdlem103  46312  fourierdlem104  46313  fourierdlem112  46321  dignn0flhalflem1  48721