Theorem halfcld 12509

Description: Closure of half of a number (frequently used special case). (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
2timesd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)

Assertion

Ref	Expression
halfcld	⊢ (𝜑 → (𝐴 / 2) ∈ ℂ)

Proof of Theorem halfcld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2timesd.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
2		halfcl 12489	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴 / 2) ∈ ℂ)
3	1, 2	syl 17	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 / 2) ∈ ℂ)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2099  (class class class)co 7424  ℂcc 11156   / cdiv 11921  2c2 12319

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2697  ax-sep 5304  ax-nul 5311  ax-pow 5369  ax-pr 5433  ax-un 7746  ax-resscn 11215  ax-1cn 11216  ax-icn 11217  ax-addcl 11218  ax-addrcl 11219  ax-mulcl 11220  ax-mulrcl 11221  ax-mulcom 11222  ax-addass 11223  ax-mulass 11224  ax-distr 11225  ax-i2m1 11226  ax-1ne0 11227  ax-1rid 11228  ax-rnegex 11229  ax-rrecex 11230  ax-cnre 11231  ax-pre-lttri 11232  ax-pre-lttrn 11233  ax-pre-ltadd 11234  ax-pre-mulgt0 11235

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3464  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-nul 4326  df-if 4534  df-pw 4609  df-sn 4634  df-pr 4636  df-op 4640  df-uni 4914  df-br 5154  df-opab 5216  df-mpt 5237  df-id 5580  df-po 5594  df-so 5595  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-rn 5693  df-res 5694  df-ima 5695  df-iota 6506  df-fun 6556  df-fn 6557  df-f 6558  df-f1 6559  df-fo 6560  df-f1o 6561  df-fv 6562  df-riota 7380  df-ov 7427  df-oprab 7428  df-mpo 7429  df-er 8734  df-en 8975  df-dom 8976  df-sdom 8977  df-pnf 11300  df-mnf 11301  df-xr 11302  df-ltxr 11303  df-le 11304  df-sub 11496  df-neg 11497  df-div 11922  df-2 12327

This theorem is referenced by:  xp1d2m1eqxm1d2  12518  zeo  12700  zesq  14243  faclbnd2  14308  crre  15119  ef4p  16115  cosf  16127  efi4p  16139  sinhval  16156  addsin  16172  zob  16361  nn0ob  16386  flodddiv4t2lthalf  16418  4sqlem10  16949  lhop1lem  26037  chordthmlem  26860  chordthmlem2  26861  chordthmlem3  26862  chordthmlem4  26863  chordthmlem5  26864  dcubic2  26872  dcubic1  26873  dcubic  26874  mcubic  26875  cubic  26877  dquartlem1  26879  dquart  26881  quart1cl  26882  quart1lem  26883  quart1  26884  quartlem3  26887  quartlem4  26888  quart  26889  lgsquad2lem2  27414  lgsquad2  27415  logdivsum  27562  mulog2sumlem2  27564  mulog2sumlem3  27565  vmalogdivsum2  27567  selberg34r  27600  pntlemr  27631  lt2addrd  32655  logdivsqrle  34496  sin2h  37311  cos2h  37312  tan2h  37313  itg2addnclem  37372  lcmineqlem23  41750  aks4d1p1p2  41769  oddfl  44892  suplesup  44954  coseq0  45485  sinaover2ne0  45489  wallispilem4  45689  wallispi  45691  stirlinglem1  45695  stirlinglem4  45698  stirlinglem7  45701  stirlinglem15  45709  dirker2re  45713  dirkerdenne0  45714  dirkerper  45717  dirkertrigeqlem2  45720  dirkertrigeqlem3  45721  dirkeritg  45723  dirkercncflem1  45724  dirkercncflem2  45725  dirkercncflem4  45727  fourierdlem43  45771  fourierdlem44  45772  fourierdlem56  45783  fourierdlem58  45785  fourierdlem62  45789  fourierdlem68  45795  fourierdlem72  45799  fourierdlem76  45803  fourierdlem79  45806  fourierdlem80  45807  fourierdlem103  45830  fourierdlem104  45831  fourierdlem112  45839  dignn0flhalflem1  48003