Theorem halfcld 12489

Description: Closure of half of a number (frequently used special case). (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
2timesd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)

Assertion

Ref	Expression
halfcld	⊢ (𝜑 → (𝐴 / 2) ∈ ℂ)

Proof of Theorem halfcld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2timesd.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
2		halfcl 12470	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴 / 2) ∈ ℂ)
3	1, 2	syl 18	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 / 2) ∈ ℂ)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2149  (class class class)co 7411  ℂcc 11098   / cdiv 11871  2c2 12295

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1822  ax-4 1836  ax-5 1937  ax-6 1994  ax-7 2035  ax-8 2151  ax-9 2159  ax-10 2182  ax-11 2198  ax-12 2219  ax-ext 2741  ax-sep 5261  ax-nul 5271  ax-pow 5337  ax-pr 5405  ax-un 7733  ax-resscn 11157  ax-1cn 11158  ax-icn 11159  ax-addcl 11160  ax-addrcl 11161  ax-mulcl 11162  ax-mulrcl 11163  ax-mulcom 11164  ax-addass 11165  ax-mulass 11166  ax-distr 11167  ax-i2m1 11168  ax-1ne0 11169  ax-1rid 11170  ax-rnegex 11171  ax-rrecex 11172  ax-cnre 11173  ax-pre-lttri 11174  ax-pre-lttrn 11175  ax-pre-ltadd 11176  ax-pre-mulgt0 11177

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1570  df-fal 1580  df-ex 1807  df-nf 1811  df-sb 2098  df-mo 2573  df-eu 2603  df-clab 2748  df-cleq 2761  df-clel 2844  df-nfc 2918  df-ne 2965  df-nel 3071  df-ral 3086  df-rex 3096  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3424  df-v 3465  df-sbc 3754  df-csb 3862  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-pss 3933  df-nul 4295  df-if 4493  df-pw 4569  df-sn 4595  df-pr 4597  df-op 4601  df-uni 4877  df-iun 4962  df-br 5114  df-opab 5178  df-mpt 5197  df-tr 5223  df-id 5557  df-eprel 5562  df-po 5570  df-so 5571  df-fr 5615  df-we 5617  df-xp 5668  df-rel 5669  df-cnv 5670  df-co 5671  df-dm 5672  df-rn 5673  df-res 5674  df-ima 5675  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7368  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-om 7863  df-2nd 7987  df-frecs 8278  df-wrecs 8309  df-recs 8358  df-rdg 8397  df-er 8694  df-en 8944  df-dom 8945  df-sdom 8946  df-pnf 11245  df-mnf 11246  df-xr 11247  df-ltxr 11248  df-le 11249  df-sub 11443  df-neg 11444  df-div 11872  df-nn 12234  df-2 12303

This theorem is referenced by:  xp1d2m1eqxm1d2  12498  zeo  12682  zesq  14262  faclbnd2  14327  crre  15165  ef4p  16169  cosf  16181  efi4p  16193  sinhval  16210  addsin  16226  zob  16417  nn0ob  16442  flodddiv4t2lthalf  16476  4sqlem10  17007  lhop1lem  26141  chordthmlem  26963  chordthmlem2  26964  chordthmlem3  26965  chordthmlem4  26966  chordthmlem5  26967  dcubic2  26975  dcubic1  26976  dcubic  26977  mcubic  26978  cubic  26980  dquartlem1  26982  dquart  26984  quart1cl  26985  quart1lem  26986  quart1  26987  quartlem3  26990  quartlem4  26991  quart  26992  lgsquad2lem2  27515  lgsquad2  27516  logdivsum  27663  mulog2sumlem2  27665  mulog2sumlem3  27666  vmalogdivsum2  27668  selberg34r  27701  pntlemr  27732  lt2addrd  33036  constrresqrtcl  34112  logdivsqrle  34982  qdiff  37859  sin2h  38149  cos2h  38150  tan2h  38151  itg2addnclem  38210  lcmineqlem23  42708  aks4d1p1p2  42727  oddfl  45889  suplesup  45947  coseq0  46470  sinaover2ne0  46474  wallispilem4  46674  wallispi  46676  stirlinglem1  46680  stirlinglem4  46683  stirlinglem7  46686  stirlinglem15  46694  dirker2re  46698  dirkerdenne0  46699  dirkerper  46702  dirkertrigeqlem2  46705  dirkertrigeqlem3  46706  dirkeritg  46708  dirkercncflem1  46709  dirkercncflem2  46710  dirkercncflem4  46712  fourierdlem43  46756  fourierdlem44  46757  fourierdlem56  46768  fourierdlem58  46770  fourierdlem62  46774  fourierdlem68  46780  fourierdlem72  46784  fourierdlem76  46788  fourierdlem79  46791  fourierdlem80  46792  fourierdlem103  46815  fourierdlem104  46816  fourierdlem112  46824  dignn0flhalflem1  49280