Theorem halfcld 12511

Description: Closure of half of a number (frequently used special case). (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
2timesd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)

Assertion

Ref	Expression
halfcld	⊢ (𝜑 → (𝐴 / 2) ∈ ℂ)

Proof of Theorem halfcld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2timesd.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
2		halfcl 12491	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴 / 2) ∈ ℂ)
3	1, 2	syl 17	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 / 2) ∈ ℂ)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2108  (class class class)co 7431  ℂcc 11153   / cdiv 11920  2c2 12321

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-id 5578  df-po 5592  df-so 5593  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-er 8745  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-div 11921  df-2 12329

This theorem is referenced by:  xp1d2m1eqxm1d2  12520  zeo  12704  zesq  14265  faclbnd2  14330  crre  15153  ef4p  16149  cosf  16161  efi4p  16173  sinhval  16190  addsin  16206  zob  16396  nn0ob  16421  flodddiv4t2lthalf  16455  4sqlem10  16985  lhop1lem  26052  chordthmlem  26875  chordthmlem2  26876  chordthmlem3  26877  chordthmlem4  26878  chordthmlem5  26879  dcubic2  26887  dcubic1  26888  dcubic  26889  mcubic  26890  cubic  26892  dquartlem1  26894  dquart  26896  quart1cl  26897  quart1lem  26898  quart1  26899  quartlem3  26902  quartlem4  26903  quart  26904  lgsquad2lem2  27429  lgsquad2  27430  logdivsum  27577  mulog2sumlem2  27579  mulog2sumlem3  27580  vmalogdivsum2  27582  selberg34r  27615  pntlemr  27646  lt2addrd  32755  logdivsqrle  34665  sin2h  37617  cos2h  37618  tan2h  37619  itg2addnclem  37678  lcmineqlem23  42052  aks4d1p1p2  42071  oddfl  45289  suplesup  45350  coseq0  45879  sinaover2ne0  45883  wallispilem4  46083  wallispi  46085  stirlinglem1  46089  stirlinglem4  46092  stirlinglem7  46095  stirlinglem15  46103  dirker2re  46107  dirkerdenne0  46108  dirkerper  46111  dirkertrigeqlem2  46114  dirkertrigeqlem3  46115  dirkeritg  46117  dirkercncflem1  46118  dirkercncflem2  46119  dirkercncflem4  46121  fourierdlem43  46165  fourierdlem44  46166  fourierdlem56  46177  fourierdlem58  46179  fourierdlem62  46183  fourierdlem68  46189  fourierdlem72  46193  fourierdlem76  46197  fourierdlem79  46200  fourierdlem80  46201  fourierdlem103  46224  fourierdlem104  46225  fourierdlem112  46233  dignn0flhalflem1  48536