Theorem halfcld 12458

Description: Closure of half of a number (frequently used special case). (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
2timesd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)

Assertion

Ref	Expression
halfcld	⊢ (𝜑 → (𝐴 / 2) ∈ ℂ)

Proof of Theorem halfcld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2timesd.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
2		halfcl 12438	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴 / 2) ∈ ℂ)
3	1, 2	syl 17	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 / 2) ∈ ℂ)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2098  (class class class)co 7404  ℂcc 11107   / cdiv 11872  2c2 12268

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7721  ax-resscn 11166  ax-1cn 11167  ax-icn 11168  ax-addcl 11169  ax-addrcl 11170  ax-mulcl 11171  ax-mulrcl 11172  ax-mulcom 11173  ax-addass 11174  ax-mulass 11175  ax-distr 11176  ax-i2m1 11177  ax-1ne0 11178  ax-1rid 11179  ax-rnegex 11180  ax-rrecex 11181  ax-cnre 11182  ax-pre-lttri 11183  ax-pre-lttrn 11184  ax-pre-ltadd 11185  ax-pre-mulgt0 11186

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-id 5567  df-po 5581  df-so 5582  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-iota 6488  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7360  df-ov 7407  df-oprab 7408  df-mpo 7409  df-er 8702  df-en 8939  df-dom 8940  df-sdom 8941  df-pnf 11251  df-mnf 11252  df-xr 11253  df-ltxr 11254  df-le 11255  df-sub 11447  df-neg 11448  df-div 11873  df-2 12276

This theorem is referenced by:  xp1d2m1eqxm1d2  12467  zeo  12649  zesq  14191  faclbnd2  14253  crre  15064  ef4p  16060  cosf  16072  efi4p  16084  sinhval  16101  addsin  16117  zob  16306  nn0ob  16331  flodddiv4t2lthalf  16363  4sqlem10  16886  lhop1lem  25896  chordthmlem  26714  chordthmlem2  26715  chordthmlem3  26716  chordthmlem4  26717  chordthmlem5  26718  dcubic2  26726  dcubic1  26727  dcubic  26728  mcubic  26729  cubic  26731  dquartlem1  26733  dquart  26735  quart1cl  26736  quart1lem  26737  quart1  26738  quartlem3  26741  quartlem4  26742  quart  26743  lgsquad2lem2  27268  lgsquad2  27269  logdivsum  27416  mulog2sumlem2  27418  mulog2sumlem3  27419  vmalogdivsum2  27421  selberg34r  27454  pntlemr  27485  lt2addrd  32468  logdivsqrle  34190  sin2h  36990  cos2h  36991  tan2h  36992  itg2addnclem  37051  lcmineqlem23  41431  aks4d1p1p2  41450  oddfl  44541  suplesup  44603  coseq0  45134  sinaover2ne0  45138  wallispilem4  45338  wallispi  45340  stirlinglem1  45344  stirlinglem4  45347  stirlinglem7  45350  stirlinglem15  45358  dirker2re  45362  dirkerdenne0  45363  dirkerper  45366  dirkertrigeqlem2  45369  dirkertrigeqlem3  45370  dirkeritg  45372  dirkercncflem1  45373  dirkercncflem2  45374  dirkercncflem4  45376  fourierdlem43  45420  fourierdlem44  45421  fourierdlem56  45432  fourierdlem58  45434  fourierdlem62  45438  fourierdlem68  45444  fourierdlem72  45448  fourierdlem76  45452  fourierdlem79  45455  fourierdlem80  45456  fourierdlem103  45479  fourierdlem104  45480  fourierdlem112  45488  dignn0flhalflem1  47558