Theorem halfcld 12386

Description: Closure of half of a number (frequently used special case). (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
2timesd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)

Assertion

Ref	Expression
halfcld	⊢ (𝜑 → (𝐴 / 2) ∈ ℂ)

Proof of Theorem halfcld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2timesd.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
2		halfcl 12367	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴 / 2) ∈ ℂ)
3	1, 2	syl 17	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 / 2) ∈ ℂ)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2113  (class class class)co 7358  ℂcc 11024   / cdiv 11794  2c2 12200

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2184  ax-ext 2708  ax-sep 5241  ax-nul 5251  ax-pow 5310  ax-pr 5377  ax-un 7680  ax-resscn 11083  ax-1cn 11084  ax-icn 11085  ax-addcl 11086  ax-addrcl 11087  ax-mulcl 11088  ax-mulrcl 11089  ax-mulcom 11090  ax-addass 11091  ax-mulass 11092  ax-distr 11093  ax-i2m1 11094  ax-1ne0 11095  ax-1rid 11096  ax-rnegex 11097  ax-rrecex 11098  ax-cnre 11099  ax-pre-lttri 11100  ax-pre-lttrn 11101  ax-pre-ltadd 11102  ax-pre-mulgt0 11103

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3350  df-reu 3351  df-rab 3400  df-v 3442  df-sbc 3741  df-csb 3850  df-dif 3904  df-un 3906  df-in 3908  df-ss 3918  df-pss 3921  df-nul 4286  df-if 4480  df-pw 4556  df-sn 4581  df-pr 4583  df-op 4587  df-uni 4864  df-iun 4948  df-br 5099  df-opab 5161  df-mpt 5180  df-tr 5206  df-id 5519  df-eprel 5524  df-po 5532  df-so 5533  df-fr 5577  df-we 5579  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-pred 6259  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-riota 7315  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-om 7809  df-2nd 7934  df-frecs 8223  df-wrecs 8254  df-recs 8303  df-rdg 8341  df-er 8635  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-pnf 11168  df-mnf 11169  df-xr 11170  df-ltxr 11171  df-le 11172  df-sub 11366  df-neg 11367  df-div 11795  df-nn 12146  df-2 12208

This theorem is referenced by:  xp1d2m1eqxm1d2  12395  zeo  12578  zesq  14149  faclbnd2  14214  crre  15037  ef4p  16038  cosf  16050  efi4p  16062  sinhval  16079  addsin  16095  zob  16286  nn0ob  16311  flodddiv4t2lthalf  16345  4sqlem10  16875  lhop1lem  25974  chordthmlem  26798  chordthmlem2  26799  chordthmlem3  26800  chordthmlem4  26801  chordthmlem5  26802  dcubic2  26810  dcubic1  26811  dcubic  26812  mcubic  26813  cubic  26815  dquartlem1  26817  dquart  26819  quart1cl  26820  quart1lem  26821  quart1  26822  quartlem3  26825  quartlem4  26826  quart  26827  lgsquad2lem2  27352  lgsquad2  27353  logdivsum  27500  mulog2sumlem2  27502  mulog2sumlem3  27503  vmalogdivsum2  27505  selberg34r  27538  pntlemr  27569  lt2addrd  32830  constrresqrtcl  33934  logdivsqrle  34807  sin2h  37811  cos2h  37812  tan2h  37813  itg2addnclem  37872  lcmineqlem23  42315  aks4d1p1p2  42334  oddfl  45536  suplesup  45594  coseq0  46118  sinaover2ne0  46122  wallispilem4  46322  wallispi  46324  stirlinglem1  46328  stirlinglem4  46331  stirlinglem7  46334  stirlinglem15  46342  dirker2re  46346  dirkerdenne0  46347  dirkerper  46350  dirkertrigeqlem2  46353  dirkertrigeqlem3  46354  dirkeritg  46356  dirkercncflem1  46357  dirkercncflem2  46358  dirkercncflem4  46360  fourierdlem43  46404  fourierdlem44  46405  fourierdlem56  46416  fourierdlem58  46418  fourierdlem62  46422  fourierdlem68  46428  fourierdlem72  46432  fourierdlem76  46436  fourierdlem79  46439  fourierdlem80  46440  fourierdlem103  46463  fourierdlem104  46464  fourierdlem112  46472  dignn0flhalflem1  48871