Theorem halfcld 12461

Description: Closure of half of a number (frequently used special case). (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
2timesd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)

Assertion

Ref	Expression
halfcld	⊢ (𝜑 → (𝐴 / 2) ∈ ℂ)

Proof of Theorem halfcld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2timesd.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
2		halfcl 12441	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴 / 2) ∈ ℂ)
3	1, 2	syl 17	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 / 2) ∈ ℂ)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2104  (class class class)co 7411  ℂcc 11110   / cdiv 11875  2c2 12271

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1911  ax-6 1969  ax-7 2009  ax-8 2106  ax-9 2114  ax-10 2135  ax-11 2152  ax-12 2169  ax-ext 2701  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7727  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2532  df-eu 2561  df-clab 2708  df-cleq 2722  df-clel 2808  df-nfc 2883  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3374  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3474  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-id 5573  df-po 5587  df-so 5588  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-riota 7367  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-er 8705  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-div 11876  df-2 12279

This theorem is referenced by:  xp1d2m1eqxm1d2  12470  zeo  12652  zesq  14193  faclbnd2  14255  crre  15065  ef4p  16060  cosf  16072  efi4p  16084  sinhval  16101  addsin  16117  zob  16306  nn0ob  16331  flodddiv4t2lthalf  16363  4sqlem10  16884  lhop1lem  25765  chordthmlem  26573  chordthmlem2  26574  chordthmlem3  26575  chordthmlem4  26576  chordthmlem5  26577  dcubic2  26585  dcubic1  26586  dcubic  26587  mcubic  26588  cubic  26590  dquartlem1  26592  dquart  26594  quart1cl  26595  quart1lem  26596  quart1  26597  quartlem3  26600  quartlem4  26601  quart  26602  lgsquad2lem2  27124  lgsquad2  27125  logdivsum  27272  mulog2sumlem2  27274  mulog2sumlem3  27275  vmalogdivsum2  27277  selberg34r  27310  pntlemr  27341  lt2addrd  32231  logdivsqrle  33960  sin2h  36781  cos2h  36782  tan2h  36783  itg2addnclem  36842  lcmineqlem23  41222  aks4d1p1p2  41241  oddfl  44285  suplesup  44347  coseq0  44878  sinaover2ne0  44882  wallispilem4  45082  wallispi  45084  stirlinglem1  45088  stirlinglem4  45091  stirlinglem7  45094  stirlinglem15  45102  dirker2re  45106  dirkerdenne0  45107  dirkerper  45110  dirkertrigeqlem2  45113  dirkertrigeqlem3  45114  dirkeritg  45116  dirkercncflem1  45117  dirkercncflem2  45118  dirkercncflem4  45120  fourierdlem43  45164  fourierdlem44  45165  fourierdlem56  45176  fourierdlem58  45178  fourierdlem62  45182  fourierdlem68  45188  fourierdlem72  45192  fourierdlem76  45196  fourierdlem79  45199  fourierdlem80  45200  fourierdlem103  45223  fourierdlem104  45224  fourierdlem112  45232  dignn0flhalflem1  47388