Theorem halfcld 12495

Description: Closure of half of a number (frequently used special case). (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
2timesd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)

Assertion

Ref	Expression
halfcld	⊢ (𝜑 → (𝐴 / 2) ∈ ℂ)

Proof of Theorem halfcld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2timesd.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
2		halfcl 12475	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴 / 2) ∈ ℂ)
3	1, 2	syl 17	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 / 2) ∈ ℂ)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2098  (class class class)co 7426  ℂcc 11144   / cdiv 11909  2c2 12305

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2699  ax-sep 5303  ax-nul 5310  ax-pow 5369  ax-pr 5433  ax-un 7746  ax-resscn 11203  ax-1cn 11204  ax-icn 11205  ax-addcl 11206  ax-addrcl 11207  ax-mulcl 11208  ax-mulrcl 11209  ax-mulcom 11210  ax-addass 11211  ax-mulass 11212  ax-distr 11213  ax-i2m1 11214  ax-1ne0 11215  ax-1rid 11216  ax-rnegex 11217  ax-rrecex 11218  ax-cnre 11219  ax-pre-lttri 11220  ax-pre-lttrn 11221  ax-pre-ltadd 11222  ax-pre-mulgt0 11223

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3374  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3475  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-nul 4327  df-if 4533  df-pw 4608  df-sn 4633  df-pr 4635  df-op 4639  df-uni 4913  df-br 5153  df-opab 5215  df-mpt 5236  df-id 5580  df-po 5594  df-so 5595  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-rn 5693  df-res 5694  df-ima 5695  df-iota 6505  df-fun 6555  df-fn 6556  df-f 6557  df-f1 6558  df-fo 6559  df-f1o 6560  df-fv 6561  df-riota 7382  df-ov 7429  df-oprab 7430  df-mpo 7431  df-er 8731  df-en 8971  df-dom 8972  df-sdom 8973  df-pnf 11288  df-mnf 11289  df-xr 11290  df-ltxr 11291  df-le 11292  df-sub 11484  df-neg 11485  df-div 11910  df-2 12313

This theorem is referenced by:  xp1d2m1eqxm1d2  12504  zeo  12686  zesq  14228  faclbnd2  14290  crre  15101  ef4p  16097  cosf  16109  efi4p  16121  sinhval  16138  addsin  16154  zob  16343  nn0ob  16368  flodddiv4t2lthalf  16400  4sqlem10  16923  lhop1lem  25966  chordthmlem  26784  chordthmlem2  26785  chordthmlem3  26786  chordthmlem4  26787  chordthmlem5  26788  dcubic2  26796  dcubic1  26797  dcubic  26798  mcubic  26799  cubic  26801  dquartlem1  26803  dquart  26805  quart1cl  26806  quart1lem  26807  quart1  26808  quartlem3  26811  quartlem4  26812  quart  26813  lgsquad2lem2  27338  lgsquad2  27339  logdivsum  27486  mulog2sumlem2  27488  mulog2sumlem3  27489  vmalogdivsum2  27491  selberg34r  27524  pntlemr  27555  lt2addrd  32542  logdivsqrle  34315  sin2h  37116  cos2h  37117  tan2h  37118  itg2addnclem  37177  lcmineqlem23  41554  aks4d1p1p2  41573  oddfl  44688  suplesup  44750  coseq0  45281  sinaover2ne0  45285  wallispilem4  45485  wallispi  45487  stirlinglem1  45491  stirlinglem4  45494  stirlinglem7  45497  stirlinglem15  45505  dirker2re  45509  dirkerdenne0  45510  dirkerper  45513  dirkertrigeqlem2  45516  dirkertrigeqlem3  45517  dirkeritg  45519  dirkercncflem1  45520  dirkercncflem2  45521  dirkercncflem4  45523  fourierdlem43  45567  fourierdlem44  45568  fourierdlem56  45579  fourierdlem58  45581  fourierdlem62  45585  fourierdlem68  45591  fourierdlem72  45595  fourierdlem76  45599  fourierdlem79  45602  fourierdlem80  45603  fourierdlem103  45626  fourierdlem104  45627  fourierdlem112  45635  dignn0flhalflem1  47766