Theorem halfcld 12369

Description: Closure of half of a number (frequently used special case). (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
2timesd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)

Assertion

Ref	Expression
halfcld	⊢ (𝜑 → (𝐴 / 2) ∈ ℂ)

Proof of Theorem halfcld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2timesd.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
2		halfcl 12350	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴 / 2) ∈ ℂ)
3	1, 2	syl 17	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 / 2) ∈ ℂ)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2109  (class class class)co 7349  ℂcc 11007   / cdiv 11777  2c2 12183

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5235  ax-nul 5245  ax-pow 5304  ax-pr 5371  ax-un 7671  ax-resscn 11066  ax-1cn 11067  ax-icn 11068  ax-addcl 11069  ax-addrcl 11070  ax-mulcl 11071  ax-mulrcl 11072  ax-mulcom 11073  ax-addass 11074  ax-mulass 11075  ax-distr 11076  ax-i2m1 11077  ax-1ne0 11078  ax-1rid 11079  ax-rnegex 11080  ax-rrecex 11081  ax-cnre 11082  ax-pre-lttri 11083  ax-pre-lttrn 11084  ax-pre-ltadd 11085  ax-pre-mulgt0 11086

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3343  df-reu 3344  df-rab 3395  df-v 3438  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-pss 3923  df-nul 4285  df-if 4477  df-pw 4553  df-sn 4578  df-pr 4580  df-op 4584  df-uni 4859  df-iun 4943  df-br 5093  df-opab 5155  df-mpt 5174  df-tr 5200  df-id 5514  df-eprel 5519  df-po 5527  df-so 5528  df-fr 5572  df-we 5574  df-xp 5625  df-rel 5626  df-cnv 5627  df-co 5628  df-dm 5629  df-rn 5630  df-res 5631  df-ima 5632  df-pred 6249  df-ord 6310  df-on 6311  df-lim 6312  df-suc 6313  df-iota 6438  df-fun 6484  df-fn 6485  df-f 6486  df-f1 6487  df-fo 6488  df-f1o 6489  df-fv 6490  df-riota 7306  df-ov 7352  df-oprab 7353  df-mpo 7354  df-om 7800  df-2nd 7925  df-frecs 8214  df-wrecs 8245  df-recs 8294  df-rdg 8332  df-er 8625  df-en 8873  df-dom 8874  df-sdom 8875  df-pnf 11151  df-mnf 11152  df-xr 11153  df-ltxr 11154  df-le 11155  df-sub 11349  df-neg 11350  df-div 11778  df-nn 12129  df-2 12191

This theorem is referenced by:  xp1d2m1eqxm1d2  12378  zeo  12562  zesq  14133  faclbnd2  14198  crre  15021  ef4p  16022  cosf  16034  efi4p  16046  sinhval  16063  addsin  16079  zob  16270  nn0ob  16295  flodddiv4t2lthalf  16329  4sqlem10  16859  lhop1lem  25916  chordthmlem  26740  chordthmlem2  26741  chordthmlem3  26742  chordthmlem4  26743  chordthmlem5  26744  dcubic2  26752  dcubic1  26753  dcubic  26754  mcubic  26755  cubic  26757  dquartlem1  26759  dquart  26761  quart1cl  26762  quart1lem  26763  quart1  26764  quartlem3  26767  quartlem4  26768  quart  26769  lgsquad2lem2  27294  lgsquad2  27295  logdivsum  27442  mulog2sumlem2  27444  mulog2sumlem3  27445  vmalogdivsum2  27447  selberg34r  27480  pntlemr  27511  lt2addrd  32694  constrresqrtcl  33744  logdivsqrle  34618  sin2h  37594  cos2h  37595  tan2h  37596  itg2addnclem  37655  lcmineqlem23  42028  aks4d1p1p2  42047  oddfl  45264  suplesup  45323  coseq0  45849  sinaover2ne0  45853  wallispilem4  46053  wallispi  46055  stirlinglem1  46059  stirlinglem4  46062  stirlinglem7  46065  stirlinglem15  46073  dirker2re  46077  dirkerdenne0  46078  dirkerper  46081  dirkertrigeqlem2  46084  dirkertrigeqlem3  46085  dirkeritg  46087  dirkercncflem1  46088  dirkercncflem2  46089  dirkercncflem4  46091  fourierdlem43  46135  fourierdlem44  46136  fourierdlem56  46147  fourierdlem58  46149  fourierdlem62  46153  fourierdlem68  46159  fourierdlem72  46163  fourierdlem76  46167  fourierdlem79  46170  fourierdlem80  46171  fourierdlem103  46194  fourierdlem104  46195  fourierdlem112  46203  dignn0flhalflem1  48604