Theorem halfcld 12403

Description: Closure of half of a number (frequently used special case). (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
2timesd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)

Assertion

Ref	Expression
halfcld	⊢ (𝜑 → (𝐴 / 2) ∈ ℂ)

Proof of Theorem halfcld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2timesd.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
2		halfcl 12384	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴 / 2) ∈ ℂ)
3	1, 2	syl 17	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 / 2) ∈ ℂ)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2109  (class class class)co 7369  ℂcc 11042   / cdiv 11811  2c2 12217

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5246  ax-nul 5256  ax-pow 5315  ax-pr 5382  ax-un 7691  ax-resscn 11101  ax-1cn 11102  ax-icn 11103  ax-addcl 11104  ax-addrcl 11105  ax-mulcl 11106  ax-mulrcl 11107  ax-mulcom 11108  ax-addass 11109  ax-mulass 11110  ax-distr 11111  ax-i2m1 11112  ax-1ne0 11113  ax-1rid 11114  ax-rnegex 11115  ax-rrecex 11116  ax-cnre 11117  ax-pre-lttri 11118  ax-pre-lttrn 11119  ax-pre-ltadd 11120  ax-pre-mulgt0 11121

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3351  df-reu 3352  df-rab 3403  df-v 3446  df-sbc 3751  df-csb 3860  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3931  df-nul 4293  df-if 4485  df-pw 4561  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5103  df-opab 5165  df-mpt 5184  df-tr 5210  df-id 5526  df-eprel 5531  df-po 5539  df-so 5540  df-fr 5584  df-we 5586  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6262  df-ord 6323  df-on 6324  df-lim 6325  df-suc 6326  df-iota 6452  df-fun 6501  df-fn 6502  df-f 6503  df-f1 6504  df-fo 6505  df-f1o 6506  df-fv 6507  df-riota 7326  df-ov 7372  df-oprab 7373  df-mpo 7374  df-om 7823  df-2nd 7948  df-frecs 8237  df-wrecs 8268  df-recs 8317  df-rdg 8355  df-er 8648  df-en 8896  df-dom 8897  df-sdom 8898  df-pnf 11186  df-mnf 11187  df-xr 11188  df-ltxr 11189  df-le 11190  df-sub 11383  df-neg 11384  df-div 11812  df-nn 12163  df-2 12225

This theorem is referenced by:  xp1d2m1eqxm1d2  12412  zeo  12596  zesq  14167  faclbnd2  14232  crre  15056  ef4p  16057  cosf  16069  efi4p  16081  sinhval  16098  addsin  16114  zob  16305  nn0ob  16330  flodddiv4t2lthalf  16364  4sqlem10  16894  lhop1lem  25951  chordthmlem  26775  chordthmlem2  26776  chordthmlem3  26777  chordthmlem4  26778  chordthmlem5  26779  dcubic2  26787  dcubic1  26788  dcubic  26789  mcubic  26790  cubic  26792  dquartlem1  26794  dquart  26796  quart1cl  26797  quart1lem  26798  quart1  26799  quartlem3  26802  quartlem4  26803  quart  26804  lgsquad2lem2  27329  lgsquad2  27330  logdivsum  27477  mulog2sumlem2  27479  mulog2sumlem3  27480  vmalogdivsum2  27482  selberg34r  27515  pntlemr  27546  lt2addrd  32724  constrresqrtcl  33760  logdivsqrle  34634  sin2h  37597  cos2h  37598  tan2h  37599  itg2addnclem  37658  lcmineqlem23  42032  aks4d1p1p2  42051  oddfl  45269  suplesup  45328  coseq0  45855  sinaover2ne0  45859  wallispilem4  46059  wallispi  46061  stirlinglem1  46065  stirlinglem4  46068  stirlinglem7  46071  stirlinglem15  46079  dirker2re  46083  dirkerdenne0  46084  dirkerper  46087  dirkertrigeqlem2  46090  dirkertrigeqlem3  46091  dirkeritg  46093  dirkercncflem1  46094  dirkercncflem2  46095  dirkercncflem4  46097  fourierdlem43  46141  fourierdlem44  46142  fourierdlem56  46153  fourierdlem58  46155  fourierdlem62  46159  fourierdlem68  46165  fourierdlem72  46169  fourierdlem76  46173  fourierdlem79  46176  fourierdlem80  46177  fourierdlem103  46200  fourierdlem104  46201  fourierdlem112  46209  dignn0flhalflem1  48597