Theorem halfcld 12538

Description: Closure of half of a number (frequently used special case). (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
2timesd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)

Assertion

Ref	Expression
halfcld	⊢ (𝜑 → (𝐴 / 2) ∈ ℂ)

Proof of Theorem halfcld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2timesd.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
2		halfcl 12518	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴 / 2) ∈ ℂ)
3	1, 2	syl 17	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 / 2) ∈ ℂ)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2108  (class class class)co 7448  ℂcc 11182   / cdiv 11947  2c2 12348

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2711  ax-sep 5317  ax-nul 5324  ax-pow 5383  ax-pr 5447  ax-un 7770  ax-resscn 11241  ax-1cn 11242  ax-icn 11243  ax-addcl 11244  ax-addrcl 11245  ax-mulcl 11246  ax-mulrcl 11247  ax-mulcom 11248  ax-addass 11249  ax-mulass 11250  ax-distr 11251  ax-i2m1 11252  ax-1ne0 11253  ax-1rid 11254  ax-rnegex 11255  ax-rrecex 11256  ax-cnre 11257  ax-pre-lttri 11258  ax-pre-lttrn 11259  ax-pre-ltadd 11260  ax-pre-mulgt0 11261

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2543  df-eu 2572  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2819  df-nfc 2895  df-ne 2947  df-nel 3053  df-ral 3068  df-rex 3077  df-rmo 3388  df-reu 3389  df-rab 3444  df-v 3490  df-sbc 3805  df-csb 3922  df-dif 3979  df-un 3981  df-in 3983  df-ss 3993  df-nul 4353  df-if 4549  df-pw 4624  df-sn 4649  df-pr 4651  df-op 4655  df-uni 4932  df-br 5167  df-opab 5229  df-mpt 5250  df-id 5593  df-po 5607  df-so 5608  df-xp 5706  df-rel 5707  df-cnv 5708  df-co 5709  df-dm 5710  df-rn 5711  df-res 5712  df-ima 5713  df-iota 6525  df-fun 6575  df-fn 6576  df-f 6577  df-f1 6578  df-fo 6579  df-f1o 6580  df-fv 6581  df-riota 7404  df-ov 7451  df-oprab 7452  df-mpo 7453  df-er 8763  df-en 9004  df-dom 9005  df-sdom 9006  df-pnf 11326  df-mnf 11327  df-xr 11328  df-ltxr 11329  df-le 11330  df-sub 11522  df-neg 11523  df-div 11948  df-2 12356

This theorem is referenced by:  xp1d2m1eqxm1d2  12547  zeo  12729  zesq  14275  faclbnd2  14340  crre  15163  ef4p  16161  cosf  16173  efi4p  16185  sinhval  16202  addsin  16218  zob  16407  nn0ob  16432  flodddiv4t2lthalf  16464  4sqlem10  16994  lhop1lem  26072  chordthmlem  26893  chordthmlem2  26894  chordthmlem3  26895  chordthmlem4  26896  chordthmlem5  26897  dcubic2  26905  dcubic1  26906  dcubic  26907  mcubic  26908  cubic  26910  dquartlem1  26912  dquart  26914  quart1cl  26915  quart1lem  26916  quart1  26917  quartlem3  26920  quartlem4  26921  quart  26922  lgsquad2lem2  27447  lgsquad2  27448  logdivsum  27595  mulog2sumlem2  27597  mulog2sumlem3  27598  vmalogdivsum2  27600  selberg34r  27633  pntlemr  27664  lt2addrd  32758  logdivsqrle  34627  sin2h  37570  cos2h  37571  tan2h  37572  itg2addnclem  37631  lcmineqlem23  42008  aks4d1p1p2  42027  oddfl  45192  suplesup  45254  coseq0  45785  sinaover2ne0  45789  wallispilem4  45989  wallispi  45991  stirlinglem1  45995  stirlinglem4  45998  stirlinglem7  46001  stirlinglem15  46009  dirker2re  46013  dirkerdenne0  46014  dirkerper  46017  dirkertrigeqlem2  46020  dirkertrigeqlem3  46021  dirkeritg  46023  dirkercncflem1  46024  dirkercncflem2  46025  dirkercncflem4  46027  fourierdlem43  46071  fourierdlem44  46072  fourierdlem56  46083  fourierdlem58  46085  fourierdlem62  46089  fourierdlem68  46095  fourierdlem72  46099  fourierdlem76  46103  fourierdlem79  46106  fourierdlem80  46107  fourierdlem103  46130  fourierdlem104  46131  fourierdlem112  46139  dignn0flhalflem1  48349