Theorem halfcld 12384

Description: Closure of half of a number (frequently used special case). (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
2timesd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)

Assertion

Ref	Expression
halfcld	⊢ (𝜑 → (𝐴 / 2) ∈ ℂ)

Proof of Theorem halfcld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2timesd.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
2		halfcl 12365	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴 / 2) ∈ ℂ)
3	1, 2	syl 17	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 / 2) ∈ ℂ)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2113  (class class class)co 7356  ℂcc 11022   / cdiv 11792  2c2 12198

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2182  ax-ext 2706  ax-sep 5239  ax-nul 5249  ax-pow 5308  ax-pr 5375  ax-un 7678  ax-resscn 11081  ax-1cn 11082  ax-icn 11083  ax-addcl 11084  ax-addrcl 11085  ax-mulcl 11086  ax-mulrcl 11087  ax-mulcom 11088  ax-addass 11089  ax-mulass 11090  ax-distr 11091  ax-i2m1 11092  ax-1ne0 11093  ax-1rid 11094  ax-rnegex 11095  ax-rrecex 11096  ax-cnre 11097  ax-pre-lttri 11098  ax-pre-lttrn 11099  ax-pre-ltadd 11100  ax-pre-mulgt0 11101

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2537  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2726  df-clel 2809  df-nfc 2883  df-ne 2931  df-nel 3035  df-ral 3050  df-rex 3059  df-rmo 3348  df-reu 3349  df-rab 3398  df-v 3440  df-sbc 3739  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4284  df-if 4478  df-pw 4554  df-sn 4579  df-pr 4581  df-op 4585  df-uni 4862  df-iun 4946  df-br 5097  df-opab 5159  df-mpt 5178  df-tr 5204  df-id 5517  df-eprel 5522  df-po 5530  df-so 5531  df-fr 5575  df-we 5577  df-xp 5628  df-rel 5629  df-cnv 5630  df-co 5631  df-dm 5632  df-rn 5633  df-res 5634  df-ima 5635  df-pred 6257  df-ord 6318  df-on 6319  df-lim 6320  df-suc 6321  df-iota 6446  df-fun 6492  df-fn 6493  df-f 6494  df-f1 6495  df-fo 6496  df-f1o 6497  df-fv 6498  df-riota 7313  df-ov 7359  df-oprab 7360  df-mpo 7361  df-om 7807  df-2nd 7932  df-frecs 8221  df-wrecs 8252  df-recs 8301  df-rdg 8339  df-er 8633  df-en 8882  df-dom 8883  df-sdom 8884  df-pnf 11166  df-mnf 11167  df-xr 11168  df-ltxr 11169  df-le 11170  df-sub 11364  df-neg 11365  df-div 11793  df-nn 12144  df-2 12206

This theorem is referenced by:  xp1d2m1eqxm1d2  12393  zeo  12576  zesq  14147  faclbnd2  14212  crre  15035  ef4p  16036  cosf  16048  efi4p  16060  sinhval  16077  addsin  16093  zob  16284  nn0ob  16309  flodddiv4t2lthalf  16343  4sqlem10  16873  lhop1lem  25972  chordthmlem  26796  chordthmlem2  26797  chordthmlem3  26798  chordthmlem4  26799  chordthmlem5  26800  dcubic2  26808  dcubic1  26809  dcubic  26810  mcubic  26811  cubic  26813  dquartlem1  26815  dquart  26817  quart1cl  26818  quart1lem  26819  quart1  26820  quartlem3  26823  quartlem4  26824  quart  26825  lgsquad2lem2  27350  lgsquad2  27351  logdivsum  27498  mulog2sumlem2  27500  mulog2sumlem3  27501  vmalogdivsum2  27503  selberg34r  27536  pntlemr  27567  lt2addrd  32779  constrresqrtcl  33883  logdivsqrle  34756  sin2h  37750  cos2h  37751  tan2h  37752  itg2addnclem  37811  lcmineqlem23  42244  aks4d1p1p2  42263  oddfl  45468  suplesup  45526  coseq0  46050  sinaover2ne0  46054  wallispilem4  46254  wallispi  46256  stirlinglem1  46260  stirlinglem4  46263  stirlinglem7  46266  stirlinglem15  46274  dirker2re  46278  dirkerdenne0  46279  dirkerper  46282  dirkertrigeqlem2  46285  dirkertrigeqlem3  46286  dirkeritg  46288  dirkercncflem1  46289  dirkercncflem2  46290  dirkercncflem4  46292  fourierdlem43  46336  fourierdlem44  46337  fourierdlem56  46348  fourierdlem58  46350  fourierdlem62  46354  fourierdlem68  46360  fourierdlem72  46364  fourierdlem76  46368  fourierdlem79  46371  fourierdlem80  46372  fourierdlem103  46395  fourierdlem104  46396  fourierdlem112  46404  dignn0flhalflem1  48803