Theorem halfcld 12218

Description: Closure of half of a number (frequently used special case). (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
2timesd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)

Assertion

Ref	Expression
halfcld	⊢ (𝜑 → (𝐴 / 2) ∈ ℂ)

Proof of Theorem halfcld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2timesd.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
2		halfcl 12198	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴 / 2) ∈ ℂ)
3	1, 2	syl 17	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 / 2) ∈ ℂ)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2106  (class class class)co 7275  ℂcc 10869   / cdiv 11632  2c2 12028

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-sep 5223  ax-nul 5230  ax-pow 5288  ax-pr 5352  ax-un 7588  ax-resscn 10928  ax-1cn 10929  ax-icn 10930  ax-addcl 10931  ax-addrcl 10932  ax-mulcl 10933  ax-mulrcl 10934  ax-mulcom 10935  ax-addass 10936  ax-mulass 10937  ax-distr 10938  ax-i2m1 10939  ax-1ne0 10940  ax-1rid 10941  ax-rnegex 10942  ax-rrecex 10943  ax-cnre 10944  ax-pre-lttri 10945  ax-pre-lttrn 10946  ax-pre-ltadd 10947  ax-pre-mulgt0 10948

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3069  df-rex 3070  df-rmo 3071  df-reu 3072  df-rab 3073  df-v 3434  df-sbc 3717  df-csb 3833  df-dif 3890  df-un 3892  df-in 3894  df-ss 3904  df-nul 4257  df-if 4460  df-pw 4535  df-sn 4562  df-pr 4564  df-op 4568  df-uni 4840  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5158  df-id 5489  df-po 5503  df-so 5504  df-xp 5595  df-rel 5596  df-cnv 5597  df-co 5598  df-dm 5599  df-rn 5600  df-res 5601  df-ima 5602  df-iota 6391  df-fun 6435  df-fn 6436  df-f 6437  df-f1 6438  df-fo 6439  df-f1o 6440  df-fv 6441  df-riota 7232  df-ov 7278  df-oprab 7279  df-mpo 7280  df-er 8498  df-en 8734  df-dom 8735  df-sdom 8736  df-pnf 11011  df-mnf 11012  df-xr 11013  df-ltxr 11014  df-le 11015  df-sub 11207  df-neg 11208  df-div 11633  df-2 12036

This theorem is referenced by:  xp1d2m1eqxm1d2  12227  zeo  12406  zesq  13941  faclbnd2  14005  crre  14825  ef4p  15822  cosf  15834  efi4p  15846  sinhval  15863  addsin  15879  zob  16068  nn0ob  16093  flodddiv4t2lthalf  16125  4sqlem10  16648  lhop1lem  25177  chordthmlem  25982  chordthmlem2  25983  chordthmlem3  25984  chordthmlem4  25985  chordthmlem5  25986  dcubic2  25994  dcubic1  25995  dcubic  25996  mcubic  25997  cubic  25999  dquartlem1  26001  dquart  26003  quart1cl  26004  quart1lem  26005  quart1  26006  quartlem3  26009  quartlem4  26010  quart  26011  lgsquad2lem2  26533  lgsquad2  26534  logdivsum  26681  mulog2sumlem2  26683  mulog2sumlem3  26684  vmalogdivsum2  26686  selberg34r  26719  pntlemr  26750  lt2addrd  31074  logdivsqrle  32630  sin2h  35767  cos2h  35768  tan2h  35769  itg2addnclem  35828  lcmineqlem23  40059  aks4d1p1p2  40078  oddfl  42816  suplesup  42878  coseq0  43405  sinaover2ne0  43409  wallispilem4  43609  wallispi  43611  stirlinglem1  43615  stirlinglem4  43618  stirlinglem7  43621  stirlinglem15  43629  dirker2re  43633  dirkerdenne0  43634  dirkerper  43637  dirkertrigeqlem2  43640  dirkertrigeqlem3  43641  dirkeritg  43643  dirkercncflem1  43644  dirkercncflem2  43645  dirkercncflem4  43647  fourierdlem43  43691  fourierdlem44  43692  fourierdlem56  43703  fourierdlem58  43705  fourierdlem62  43709  fourierdlem68  43715  fourierdlem72  43719  fourierdlem76  43723  fourierdlem79  43726  fourierdlem80  43727  fourierdlem103  43750  fourierdlem104  43751  fourierdlem112  43759  dignn0flhalflem1  45961