Theorem halfcld 12631

Description: Closure of half of a number (frequently used special case). (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
2timesd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)

Assertion

Ref	Expression
halfcld	⊢ (𝜑 → (𝐴 / 2) ∈ ℂ)

Proof of Theorem halfcld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2timesd.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
2		halfcl 12612	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴 / 2) ∈ ℂ)
3	1, 2	syl 18	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 / 2) ∈ ℂ)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∈ wcel 2147  (class class class)co 7451  ℂcc 11237   / cdiv 12013  2c2 12437

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-sep 5255  ax-nul 5266  ax-pow 5334  ax-pr 5398  ax-un 7783  ax-resscn 11296  ax-1cn 11297  ax-icn 11298  ax-addcl 11299  ax-addrcl 11300  ax-mulcl 11301  ax-mulrcl 11302  ax-mulcom 11303  ax-addass 11304  ax-mulass 11305  ax-distr 11306  ax-i2m1 11307  ax-1ne0 11308  ax-1rid 11309  ax-rnegex 11310  ax-rrecex 11311  ax-cnre 11312  ax-pre-lttri 11313  ax-pre-lttrn 11314  ax-pre-ltadd 11315  ax-pre-mulgt0 11316

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4841  df-uni 4873  df-iun 4958  df-br 5109  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-tr 5219  df-id 5553  df-eprel 5558  df-po 5566  df-so 5567  df-fr 5611  df-we 5613  df-xp 5664  df-rel 5665  df-cnv 5666  df-co 5667  df-dm 5668  df-rn 5669  df-res 5670  df-ima 5671  df-pred 6330  df-ord 6391  df-on 6392  df-lim 6393  df-suc 6394  df-iota 6520  df-fun 6568  df-fn 6569  df-f 6570  df-f1 6571  df-fo 6572  df-f1o 6573  df-fv 6574  df-riota 7408  df-ov 7454  df-oprab 7455  df-mpo 7456  df-om 7912  df-2nd 8036  df-frecs 8337  df-wrecs 8368  df-recs 8417  df-rdg 8456  df-er 8755  df-en 9012  df-dom 9013  df-sdom 9014  df-pnf 11384  df-mnf 11385  df-xr 11386  df-ltxr 11387  df-le 11388  df-sub 11582  df-neg 11583  df-div 12014  df-nn 12376  df-2 12445

This theorem is used by:  xp1d2m1eqxm1d2  12640  zeo  12825  zesq  14411  faclbnd2  14476  crre  15324  ef4p  16325  cosf  16337  efi4p  16349  sinhval  16366  addsin  16382  zob  16573  nn0ob  16598  flodddiv4t2lthalf  16632  4sqlem10  17169  lhop1lem  26388  chordthmlem  27217  chordthmlem2  27218  chordthmlem3  27219  chordthmlem4  27220  chordthmlem5  27221  dcubic2  27229  dcubic1  27230  dcubic  27231  mcubic  27232  cubic  27234  dquartlem1  27236  dquart  27238  quart1cl  27239  quart1lem  27240  quart1  27241  quartlem3  27244  quartlem4  27245  quart  27246  lgsquad2lem2  27769  lgsquad2  27770  logdivsum  27917  mulog2sumlem2  27919  mulog2sumlem3  27920  vmalogdivsum2  27922  selberg34r  27955  pntlemr  27986  lt2addrd  33438  constrresqrtcl  34520  logdivsqrle  35390  qdiff  38516  sin2h  38801  cos2h  38802  tan2h  38803  itg2addnclem  38857  lcmineqlem23  43367  aks4d1p1p2  43386  oddfl  46567  suplesup  46624  coseq0  47147  sinaover2ne0  47151  wallispilem4  47351  wallispi  47353  stirlinglem1  47357  stirlinglem4  47360  stirlinglem7  47363  stirlinglem15  47371  dirker2re  47375  dirkerdenne0  47376  dirkerper  47379  dirkertrigeqlem2  47382  dirkertrigeqlem3  47383  dirkeritg  47385  dirkercncflem1  47386  dirkercncflem2  47387  dirkercncflem4  47389  fourierdlem43  47433  fourierdlem44  47434  fourierdlem56  47445  fourierdlem58  47447  fourierdlem62  47451  fourierdlem68  47457  fourierdlem72  47461  fourierdlem76  47465  fourierdlem79  47468  fourierdlem80  47469  fourierdlem103  47492  fourierdlem104  47493  fourierdlem112  47501  dignn0flhalflem1  50058