Theorem halfcld 12493

Description: Closure of half of a number (frequently used special case). (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
2timesd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)

Assertion

Ref	Expression
halfcld	⊢ (𝜑 → (𝐴 / 2) ∈ ℂ)

Proof of Theorem halfcld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2timesd.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
2		halfcl 12474	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴 / 2) ∈ ℂ)
3	1, 2	syl 18	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 / 2) ∈ ℂ)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∈ wcel 2143  (class class class)co 7410  ℂcc 11102   / cdiv 11875  2c2 12299

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1825  ax-4 1839  ax-5 1940  ax-6 1997  ax-7 2038  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-sep 5257  ax-nul 5269  ax-pow 5336  ax-pr 5404  ax-un 7732  ax-resscn 11161  ax-1cn 11162  ax-icn 11163  ax-addcl 11164  ax-addrcl 11165  ax-mulcl 11166  ax-mulrcl 11167  ax-mulcom 11168  ax-addass 11169  ax-mulass 11170  ax-distr 11171  ax-i2m1 11172  ax-1ne0 11173  ax-1rid 11174  ax-rnegex 11175  ax-rrecex 11176  ax-cnre 11177  ax-pre-lttri 11178  ax-pre-lttrn 11179  ax-pre-ltadd 11180  ax-pre-mulgt0 11181

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1810  df-nf 1814  df-sb 2097  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3457  df-sbc 3745  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-pss 3925  df-nul 4287  df-if 4488  df-pw 4564  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-uni 4873  df-iun 4958  df-br 5110  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-tr 5219  df-id 5556  df-eprel 5561  df-po 5569  df-so 5570  df-fr 5614  df-we 5616  df-xp 5667  df-rel 5668  df-cnv 5669  df-co 5670  df-dm 5671  df-rn 5672  df-res 5673  df-ima 5674  df-pred 6302  df-ord 6363  df-on 6364  df-lim 6365  df-suc 6366  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7367  df-ov 7413  df-oprab 7414  df-mpo 7415  df-om 7859  df-2nd 7983  df-frecs 8274  df-wrecs 8305  df-recs 8354  df-rdg 8393  df-er 8690  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-pnf 11249  df-mnf 11250  df-xr 11251  df-ltxr 11252  df-le 11253  df-sub 11447  df-neg 11448  df-div 11876  df-nn 12238  df-2 12307

This theorem is used by:  xp1d2m1eqxm1d2  12502  zeo  12686  zesq  14267  faclbnd2  14332  crre  15170  ef4p  16173  cosf  16185  efi4p  16197  sinhval  16214  addsin  16230  zob  16421  nn0ob  16446  flodddiv4t2lthalf  16480  4sqlem10  17011  lhop1lem  26181  chordthmlem  27006  chordthmlem2  27007  chordthmlem3  27008  chordthmlem4  27009  chordthmlem5  27010  dcubic2  27018  dcubic1  27019  dcubic  27020  mcubic  27021  cubic  27023  dquartlem1  27025  dquart  27027  quart1cl  27028  quart1lem  27029  quart1  27030  quartlem3  27033  quartlem4  27034  quart  27035  lgsquad2lem2  27558  lgsquad2  27559  logdivsum  27706  mulog2sumlem2  27708  mulog2sumlem3  27709  vmalogdivsum2  27711  selberg34r  27744  pntlemr  27775  lt2addrd  33104  constrresqrtcl  34176  logdivsqrle  35046  qdiff  37999  sin2h  38289  cos2h  38290  tan2h  38291  itg2addnclem  38350  lcmineqlem23  42846  aks4d1p1p2  42865  oddfl  46025  suplesup  46083  coseq0  46606  sinaover2ne0  46610  wallispilem4  46810  wallispi  46812  stirlinglem1  46816  stirlinglem4  46819  stirlinglem7  46822  stirlinglem15  46830  dirker2re  46834  dirkerdenne0  46835  dirkerper  46838  dirkertrigeqlem2  46841  dirkertrigeqlem3  46842  dirkeritg  46844  dirkercncflem1  46845  dirkercncflem2  46846  dirkercncflem4  46848  fourierdlem43  46892  fourierdlem44  46893  fourierdlem56  46904  fourierdlem58  46906  fourierdlem62  46910  fourierdlem68  46916  fourierdlem72  46920  fourierdlem76  46924  fourierdlem79  46927  fourierdlem80  46928  fourierdlem103  46951  fourierdlem104  46952  fourierdlem112  46960  dignn0flhalflem1  49423