Theorem halfcld 12466

Description: Closure of half of a number (frequently used special case). (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
2timesd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)

Assertion

Ref	Expression
halfcld	⊢ (𝜑 → (𝐴 / 2) ∈ ℂ)

Proof of Theorem halfcld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2timesd.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
2		halfcl 12447	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴 / 2) ∈ ℂ)
3	1, 2	syl 17	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 / 2) ∈ ℂ)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2142  (class class class)co 7396  ℂcc 11071   / cdiv 11844  2c2 12272

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1815  ax-4 1829  ax-5 1930  ax-6 1987  ax-7 2028  ax-8 2144  ax-9 2152  ax-10 2175  ax-11 2191  ax-12 2212  ax-ext 2734  ax-sep 5246  ax-nul 5256  ax-pow 5322  ax-pr 5390  ax-un 7718  ax-resscn 11130  ax-1cn 11131  ax-icn 11132  ax-addcl 11133  ax-addrcl 11134  ax-mulcl 11135  ax-mulrcl 11136  ax-mulcom 11137  ax-addass 11138  ax-mulass 11139  ax-distr 11140  ax-i2m1 11141  ax-1ne0 11142  ax-1rid 11143  ax-rnegex 11144  ax-rrecex 11145  ax-cnre 11146  ax-pre-lttri 11147  ax-pre-lttrn 11148  ax-pre-ltadd 11149  ax-pre-mulgt0 11150

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3or 1099  df-3an 1100  df-tru 1563  df-fal 1573  df-ex 1800  df-nf 1804  df-sb 2091  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3367  df-reu 3368  df-rab 3415  df-v 3456  df-sbc 3745  df-csb 3853  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-pss 3924  df-nul 4286  df-if 4481  df-pw 4557  df-sn 4583  df-pr 4585  df-op 4589  df-uni 4866  df-iun 4951  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-tr 5208  df-id 5542  df-eprel 5547  df-po 5555  df-so 5556  df-fr 5600  df-we 5602  df-xp 5653  df-rel 5654  df-cnv 5655  df-co 5656  df-dm 5657  df-rn 5658  df-res 5659  df-ima 5660  df-pred 6288  df-ord 6349  df-on 6350  df-lim 6351  df-suc 6352  df-iota 6477  df-fun 6523  df-fn 6524  df-f 6525  df-f1 6526  df-fo 6527  df-f1o 6528  df-fv 6529  df-riota 7353  df-ov 7399  df-oprab 7400  df-mpo 7401  df-om 7847  df-2nd 7971  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8342  df-rdg 8381  df-er 8678  df-en 8928  df-dom 8929  df-sdom 8930  df-pnf 11218  df-mnf 11219  df-xr 11220  df-ltxr 11221  df-le 11222  df-sub 11416  df-neg 11417  df-div 11845  df-nn 12211  df-2 12280

This theorem is referenced by:  xp1d2m1eqxm1d2  12475  zeo  12659  zesq  14239  faclbnd2  14304  crre  15141  ef4p  16145  cosf  16157  efi4p  16169  sinhval  16186  addsin  16202  zob  16393  nn0ob  16418  flodddiv4t2lthalf  16452  4sqlem10  16983  lhop1lem  26075  chordthmlem  26897  chordthmlem2  26898  chordthmlem3  26899  chordthmlem4  26900  chordthmlem5  26901  dcubic2  26909  dcubic1  26910  dcubic  26911  mcubic  26912  cubic  26914  dquartlem1  26916  dquart  26918  quart1cl  26919  quart1lem  26920  quart1  26921  quartlem3  26924  quartlem4  26925  quart  26926  lgsquad2lem2  27449  lgsquad2  27450  logdivsum  27597  mulog2sumlem2  27599  mulog2sumlem3  27600  vmalogdivsum2  27602  selberg34r  27635  pntlemr  27666  lt2addrd  32952  constrresqrtcl  34074  logdivsqrle  34944  qdiff  37819  sin2h  38109  cos2h  38110  tan2h  38111  itg2addnclem  38170  lcmineqlem23  42668  aks4d1p1p2  42687  oddfl  45857  suplesup  45915  coseq0  46438  sinaover2ne0  46442  wallispilem4  46642  wallispi  46644  stirlinglem1  46648  stirlinglem4  46651  stirlinglem7  46654  stirlinglem15  46662  dirker2re  46666  dirkerdenne0  46667  dirkerper  46670  dirkertrigeqlem2  46673  dirkertrigeqlem3  46674  dirkeritg  46676  dirkercncflem1  46677  dirkercncflem2  46678  dirkercncflem4  46680  fourierdlem43  46724  fourierdlem44  46725  fourierdlem56  46736  fourierdlem58  46738  fourierdlem62  46742  fourierdlem68  46748  fourierdlem72  46752  fourierdlem76  46756  fourierdlem79  46759  fourierdlem80  46760  fourierdlem103  46783  fourierdlem104  46784  fourierdlem112  46792  dignn0flhalflem1  49237