Theorem halfcld 12148

Description: Closure of half of a number (frequently used special case). (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
2timesd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)

Assertion

Ref	Expression
halfcld	⊢ (𝜑 → (𝐴 / 2) ∈ ℂ)

Proof of Theorem halfcld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2timesd.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
2		halfcl 12128	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴 / 2) ∈ ℂ)
3	1, 2	syl 17	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 / 2) ∈ ℂ)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2108  (class class class)co 7255  ℂcc 10800   / cdiv 11562  2c2 11958

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1799  ax-4 1813  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2156  ax-12 2173  ax-ext 2709  ax-sep 5218  ax-nul 5225  ax-pow 5283  ax-pr 5347  ax-un 7566  ax-resscn 10859  ax-1cn 10860  ax-icn 10861  ax-addcl 10862  ax-addrcl 10863  ax-mulcl 10864  ax-mulrcl 10865  ax-mulcom 10866  ax-addass 10867  ax-mulass 10868  ax-distr 10869  ax-i2m1 10870  ax-1ne0 10871  ax-1rid 10872  ax-rnegex 10873  ax-rrecex 10874  ax-cnre 10875  ax-pre-lttri 10876  ax-pre-lttrn 10877  ax-pre-ltadd 10878  ax-pre-mulgt0 10879

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1784  df-nf 1788  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2817  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-nel 3049  df-ral 3068  df-rex 3069  df-reu 3070  df-rmo 3071  df-rab 3072  df-v 3424  df-sbc 3712  df-csb 3829  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-nul 4254  df-if 4457  df-pw 4532  df-sn 4559  df-pr 4561  df-op 4565  df-uni 4837  df-br 5071  df-opab 5133  df-mpt 5154  df-id 5480  df-po 5494  df-so 5495  df-xp 5586  df-rel 5587  df-cnv 5588  df-co 5589  df-dm 5590  df-rn 5591  df-res 5592  df-ima 5593  df-iota 6376  df-fun 6420  df-fn 6421  df-f 6422  df-f1 6423  df-fo 6424  df-f1o 6425  df-fv 6426  df-riota 7212  df-ov 7258  df-oprab 7259  df-mpo 7260  df-er 8456  df-en 8692  df-dom 8693  df-sdom 8694  df-pnf 10942  df-mnf 10943  df-xr 10944  df-ltxr 10945  df-le 10946  df-sub 11137  df-neg 11138  df-div 11563  df-2 11966

This theorem is referenced by:  xp1d2m1eqxm1d2  12157  zeo  12336  zesq  13869  faclbnd2  13933  crre  14753  ef4p  15750  cosf  15762  efi4p  15774  sinhval  15791  addsin  15807  zob  15996  nn0ob  16021  flodddiv4t2lthalf  16053  4sqlem10  16576  lhop1lem  25082  chordthmlem  25887  chordthmlem2  25888  chordthmlem3  25889  chordthmlem4  25890  chordthmlem5  25891  dcubic2  25899  dcubic1  25900  dcubic  25901  mcubic  25902  cubic  25904  dquartlem1  25906  dquart  25908  quart1cl  25909  quart1lem  25910  quart1  25911  quartlem3  25914  quartlem4  25915  quart  25916  lgsquad2lem2  26438  lgsquad2  26439  logdivsum  26586  mulog2sumlem2  26588  mulog2sumlem3  26589  vmalogdivsum2  26591  selberg34r  26624  pntlemr  26655  lt2addrd  30976  logdivsqrle  32530  sin2h  35694  cos2h  35695  tan2h  35696  itg2addnclem  35755  lcmineqlem23  39987  aks4d1p1p2  40006  oddfl  42705  suplesup  42768  coseq0  43295  sinaover2ne0  43299  wallispilem4  43499  wallispi  43501  stirlinglem1  43505  stirlinglem4  43508  stirlinglem7  43511  stirlinglem15  43519  dirker2re  43523  dirkerdenne0  43524  dirkerper  43527  dirkertrigeqlem2  43530  dirkertrigeqlem3  43531  dirkeritg  43533  dirkercncflem1  43534  dirkercncflem2  43535  dirkercncflem4  43537  fourierdlem43  43581  fourierdlem44  43582  fourierdlem56  43593  fourierdlem58  43595  fourierdlem62  43599  fourierdlem68  43605  fourierdlem72  43609  fourierdlem76  43613  fourierdlem79  43616  fourierdlem80  43617  fourierdlem103  43640  fourierdlem104  43641  fourierdlem112  43649  dignn0flhalflem1  45849