Theorem halfcld 12601

Description: Closure of half of a number (frequently used special case). (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
2timesd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)

Assertion

Ref	Expression
halfcld	⊢ (𝜑 → (𝐴 / 2) ∈ ℂ)

Proof of Theorem halfcld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2timesd.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
2		halfcl 12582	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴 / 2) ∈ ℂ)
3	1, 2	syl 18	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 / 2) ∈ ℂ)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∈ wcel 2146  (class class class)co 7427  ℂcc 11208   / cdiv 11983  2c2 12407

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1944  ax-6 2001  ax-7 2042  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2196  ax-12 2215  ax-ext 2735  ax-sep 5251  ax-nul 5262  ax-pow 5330  ax-pr 5394  ax-un 7758  ax-resscn 11267  ax-1cn 11268  ax-icn 11269  ax-addcl 11270  ax-addrcl 11271  ax-mulcl 11272  ax-mulrcl 11273  ax-mulcom 11274  ax-addass 11275  ax-mulass 11276  ax-distr 11277  ax-i2m1 11278  ax-1ne0 11279  ax-1rid 11280  ax-rnegex 11281  ax-rrecex 11282  ax-cnre 11283  ax-pre-lttri 11284  ax-pre-lttrn 11285  ax-pre-ltadd 11286  ax-pre-mulgt0 11287

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2101  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rmo 3368  df-reu 3369  df-rab 3416  df-v 3455  df-sbc 3742  df-csb 3851  df-ss 3900  df-pss 4016  df-dif 4049  df-in 4093  df-un 4153  df-nul 4281  df-if 4485  df-pw 4561  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4838  df-uni 4870  df-iun 4955  df-br 5106  df-opab 5170  df-mpt 5189  df-tr 5215  df-id 5549  df-eprel 5554  df-po 5562  df-so 5563  df-fr 5607  df-we 5609  df-xp 5660  df-rel 5661  df-cnv 5662  df-co 5663  df-dm 5664  df-rn 5665  df-res 5666  df-ima 5667  df-pred 6310  df-ord 6371  df-on 6372  df-lim 6373  df-suc 6374  df-iota 6500  df-fun 6548  df-fn 6549  df-f 6550  df-f1 6551  df-fo 6552  df-f1o 6553  df-fv 6554  df-riota 7384  df-ov 7430  df-oprab 7431  df-mpo 7432  df-om 7885  df-2nd 8009  df-frecs 8310  df-wrecs 8341  df-recs 8390  df-rdg 8429  df-er 8728  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-pnf 11355  df-mnf 11356  df-xr 11357  df-ltxr 11358  df-le 11359  df-sub 11553  df-neg 11554  df-div 11984  df-nn 12346  df-2 12415

This theorem is used by:  xp1d2m1eqxm1d2  12610  zeo  12795  zesq  14380  faclbnd2  14445  crre  15293  ef4p  16293  cosf  16305  efi4p  16317  sinhval  16334  addsin  16350  zob  16541  nn0ob  16566  flodddiv4t2lthalf  16600  4sqlem10  17137  lhop1lem  26345  chordthmlem  27172  chordthmlem2  27173  chordthmlem3  27174  chordthmlem4  27175  chordthmlem5  27176  dcubic2  27184  dcubic1  27185  dcubic  27186  mcubic  27187  cubic  27189  dquartlem1  27191  dquart  27193  quart1cl  27194  quart1lem  27195  quart1  27196  quartlem3  27199  quartlem4  27200  quart  27201  lgsquad2lem2  27724  lgsquad2  27725  logdivsum  27872  mulog2sumlem2  27874  mulog2sumlem3  27875  vmalogdivsum2  27877  selberg34r  27910  pntlemr  27941  lt2addrd  33395  constrresqrtcl  34462  logdivsqrle  35332  qdiff  38388  sin2h  38673  cos2h  38674  tan2h  38675  itg2addnclem  38729  lcmineqlem23  43241  aks4d1p1p2  43260  oddfl  46433  suplesup  46490  coseq0  47013  sinaover2ne0  47017  wallispilem4  47217  wallispi  47219  stirlinglem1  47223  stirlinglem4  47226  stirlinglem7  47229  stirlinglem15  47237  dirker2re  47241  dirkerdenne0  47242  dirkerper  47245  dirkertrigeqlem2  47248  dirkertrigeqlem3  47249  dirkeritg  47251  dirkercncflem1  47252  dirkercncflem2  47253  dirkercncflem4  47255  fourierdlem43  47299  fourierdlem44  47300  fourierdlem56  47311  fourierdlem58  47313  fourierdlem62  47317  fourierdlem68  47323  fourierdlem72  47327  fourierdlem76  47331  fourierdlem79  47334  fourierdlem80  47335  fourierdlem103  47358  fourierdlem104  47359  fourierdlem112  47367  dignn0flhalflem1  49866