Theorem halfcld 12416

Description: Closure of half of a number (frequently used special case). (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
2timesd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)

Assertion

Ref	Expression
halfcld	⊢ (𝜑 → (𝐴 / 2) ∈ ℂ)

Proof of Theorem halfcld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2timesd.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
2		halfcl 12397	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴 / 2) ∈ ℂ)
3	1, 2	syl 17	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 / 2) ∈ ℂ)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2114  (class class class)co 7361  ℂcc 11030   / cdiv 11801  2c2 12230

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pow 5303  ax-pr 5371  ax-un 7683  ax-resscn 11089  ax-1cn 11090  ax-icn 11091  ax-addcl 11092  ax-addrcl 11093  ax-mulcl 11094  ax-mulrcl 11095  ax-mulcom 11096  ax-addass 11097  ax-mulass 11098  ax-distr 11099  ax-i2m1 11100  ax-1ne0 11101  ax-1rid 11102  ax-rnegex 11103  ax-rrecex 11104  ax-cnre 11105  ax-pre-lttri 11106  ax-pre-lttrn 11107  ax-pre-ltadd 11108  ax-pre-mulgt0 11109

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3343  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-op 4575  df-uni 4852  df-iun 4936  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5520  df-eprel 5525  df-po 5533  df-so 5534  df-fr 5578  df-we 5580  df-xp 5631  df-rel 5632  df-cnv 5633  df-co 5634  df-dm 5635  df-rn 5636  df-res 5637  df-ima 5638  df-pred 6260  df-ord 6321  df-on 6322  df-lim 6323  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6495  df-fn 6496  df-f 6497  df-f1 6498  df-fo 6499  df-f1o 6500  df-fv 6501  df-riota 7318  df-ov 7364  df-oprab 7365  df-mpo 7366  df-om 7812  df-2nd 7937  df-frecs 8225  df-wrecs 8256  df-recs 8305  df-rdg 8343  df-er 8637  df-en 8888  df-dom 8889  df-sdom 8890  df-pnf 11175  df-mnf 11176  df-xr 11177  df-ltxr 11178  df-le 11179  df-sub 11373  df-neg 11374  df-div 11802  df-nn 12169  df-2 12238

This theorem is referenced by:  xp1d2m1eqxm1d2  12425  zeo  12609  zesq  14182  faclbnd2  14247  crre  15070  ef4p  16074  cosf  16086  efi4p  16098  sinhval  16115  addsin  16131  zob  16322  nn0ob  16347  flodddiv4t2lthalf  16381  4sqlem10  16912  lhop1lem  25993  chordthmlem  26812  chordthmlem2  26813  chordthmlem3  26814  chordthmlem4  26815  chordthmlem5  26816  dcubic2  26824  dcubic1  26825  dcubic  26826  mcubic  26827  cubic  26829  dquartlem1  26831  dquart  26833  quart1cl  26834  quart1lem  26835  quart1  26836  quartlem3  26839  quartlem4  26840  quart  26841  lgsquad2lem2  27365  lgsquad2  27366  logdivsum  27513  mulog2sumlem2  27515  mulog2sumlem3  27516  vmalogdivsum2  27518  selberg34r  27551  pntlemr  27582  lt2addrd  32841  constrresqrtcl  33940  logdivsqrle  34813  sin2h  37948  cos2h  37949  tan2h  37950  itg2addnclem  38009  lcmineqlem23  42507  aks4d1p1p2  42526  oddfl  45732  suplesup  45790  coseq0  46313  sinaover2ne0  46317  wallispilem4  46517  wallispi  46519  stirlinglem1  46523  stirlinglem4  46526  stirlinglem7  46529  stirlinglem15  46537  dirker2re  46541  dirkerdenne0  46542  dirkerper  46545  dirkertrigeqlem2  46548  dirkertrigeqlem3  46549  dirkeritg  46551  dirkercncflem1  46552  dirkercncflem2  46553  dirkercncflem4  46555  fourierdlem43  46599  fourierdlem44  46600  fourierdlem56  46611  fourierdlem58  46613  fourierdlem62  46617  fourierdlem68  46623  fourierdlem72  46627  fourierdlem76  46631  fourierdlem79  46634  fourierdlem80  46635  fourierdlem103  46658  fourierdlem104  46659  fourierdlem112  46667  dignn0flhalflem1  49106