Theorem halfcld 12514

Description: Closure of half of a number (frequently used special case). (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
2timesd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)

Assertion

Ref	Expression
halfcld	⊢ (𝜑 → (𝐴 / 2) ∈ ℂ)

Proof of Theorem halfcld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2timesd.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
2		halfcl 12495	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴 / 2) ∈ ℂ)
3	1, 2	syl 18	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 / 2) ∈ ℂ)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∈ wcel 2145  (class class class)co 7414  ℂcc 11123   / cdiv 11896  2c2 12320

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-sep 5251  ax-nul 5263  ax-pow 5330  ax-pr 5398  ax-un 7737  ax-resscn 11182  ax-1cn 11183  ax-icn 11184  ax-addcl 11185  ax-addrcl 11186  ax-mulcl 11187  ax-mulrcl 11188  ax-mulcom 11189  ax-addass 11190  ax-mulass 11191  ax-distr 11192  ax-i2m1 11193  ax-1ne0 11194  ax-1rid 11195  ax-rnegex 11196  ax-rrecex 11197  ax-cnre 11198  ax-pre-lttri 11199  ax-pre-lttrn 11200  ax-pre-ltadd 11201  ax-pre-mulgt0 11202

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6299  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6489  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-riota 7371  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-om 7864  df-2nd 7988  df-frecs 8281  df-wrecs 8312  df-recs 8361  df-rdg 8400  df-er 8697  df-en 8954  df-dom 8955  df-sdom 8956  df-pnf 11270  df-mnf 11271  df-xr 11272  df-ltxr 11273  df-le 11274  df-sub 11468  df-neg 11469  df-div 11897  df-nn 12259  df-2 12328

This theorem is used by:  xp1d2m1eqxm1d2  12523  zeo  12708  zesq  14291  faclbnd2  14356  crre  15202  ef4p  16202  cosf  16214  efi4p  16226  sinhval  16243  addsin  16259  zob  16450  nn0ob  16475  flodddiv4t2lthalf  16509  4sqlem10  17040  lhop1lem  26241  chordthmlem  27070  chordthmlem2  27071  chordthmlem3  27072  chordthmlem4  27073  chordthmlem5  27074  dcubic2  27082  dcubic1  27083  dcubic  27084  mcubic  27085  cubic  27087  dquartlem1  27089  dquart  27091  quart1cl  27092  quart1lem  27093  quart1  27094  quartlem3  27097  quartlem4  27098  quart  27099  lgsquad2lem2  27622  lgsquad2  27623  logdivsum  27770  mulog2sumlem2  27772  mulog2sumlem3  27773  vmalogdivsum2  27775  selberg34r  27808  pntlemr  27839  lt2addrd  33222  constrresqrtcl  34288  logdivsqrle  35159  qdiff  38080  sin2h  38365  cos2h  38366  tan2h  38367  itg2addnclem  38421  lcmineqlem23  42918  aks4d1p1p2  42937  oddfl  46112  suplesup  46170  coseq0  46693  sinaover2ne0  46697  wallispilem4  46897  wallispi  46899  stirlinglem1  46903  stirlinglem4  46906  stirlinglem7  46909  stirlinglem15  46917  dirker2re  46921  dirkerdenne0  46922  dirkerper  46925  dirkertrigeqlem2  46928  dirkertrigeqlem3  46929  dirkeritg  46931  dirkercncflem1  46932  dirkercncflem2  46933  dirkercncflem4  46935  fourierdlem43  46979  fourierdlem44  46980  fourierdlem56  46991  fourierdlem58  46993  fourierdlem62  46997  fourierdlem68  47003  fourierdlem72  47007  fourierdlem76  47011  fourierdlem79  47014  fourierdlem80  47015  fourierdlem103  47038  fourierdlem104  47039  fourierdlem112  47047  dignn0flhalflem1  49546