Theorem fltne 40481

Description: If a counterexample to FLT exists, its addends are not equal. (Contributed by SN, 1-Jun-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
fltne.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℕ)
fltne.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℕ)
fltne.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℕ)
fltne.n	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2))
fltne.1	⊢ (𝜑 → ((𝐴↑𝑁) + (𝐵↑𝑁)) = (𝐶↑𝑁))

Assertion

Ref	Expression
fltne	⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ 𝐵)

Proof of Theorem fltne

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2prm 16397	. . . . 5 ⊢ 2 ∈ ℙ
2		fltne.n	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2))
3		rtprmirr 40347	. . . . 5 ⊢ ((2 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2)) → (2↑𝑐(1 / 𝑁)) ∈ (ℝ ∖ ℚ))
4	1, 2, 3	sylancr 587	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (2↑𝑐(1 / 𝑁)) ∈ (ℝ ∖ ℚ))
5	4	eldifbd 3900	. . 3 ⊢ (𝜑 → ¬ (2↑𝑐(1 / 𝑁)) ∈ ℚ)
6		fltne.c	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℕ)
7	6	nnzd 12425	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℤ)
8		fltne.a	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℕ)
9		znq 12692	. . . . . 6 ⊢ ((𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℕ) → (𝐶 / 𝐴) ∈ ℚ)
10	7, 8, 9	syl2anc 584	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐶 / 𝐴) ∈ ℚ)
11		eleq1a 2834	. . . . 5 ⊢ ((𝐶 / 𝐴) ∈ ℚ → ((2↑𝑐(1 / 𝑁)) = (𝐶 / 𝐴) → (2↑𝑐(1 / 𝑁)) ∈ ℚ))
12	10, 11	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((2↑𝑐(1 / 𝑁)) = (𝐶 / 𝐴) → (2↑𝑐(1 / 𝑁)) ∈ ℚ))
13	12	necon3bd 2957	. . 3 ⊢ (𝜑 → (¬ (2↑𝑐(1 / 𝑁)) ∈ ℚ → (2↑𝑐(1 / 𝑁)) ≠ (𝐶 / 𝐴)))
14	5, 13	mpd 15	. 2 ⊢ (𝜑 → (2↑𝑐(1 / 𝑁)) ≠ (𝐶 / 𝐴))
15		2rp 12735	. . . . . 6 ⊢ 2 ∈ ℝ+
16	15	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 2 ∈ ℝ+)
17		eluz2nn 12624	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → 𝑁 ∈ ℕ)
18	2, 17	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)
19	18	nnrecred 12024	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (1 / 𝑁) ∈ ℝ)
20	16, 19	rpcxpcld 25887	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (2↑𝑐(1 / 𝑁)) ∈ ℝ+)
21	20	adantr 481	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 = 𝐵) → (2↑𝑐(1 / 𝑁)) ∈ ℝ+)
22	6	nnrpd 12770	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ+)
23	8	nnrpd 12770	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ+)
24	22, 23	rpdivcld 12789	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐶 / 𝐴) ∈ ℝ+)
25	24	adantr 481	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 = 𝐵) → (𝐶 / 𝐴) ∈ ℝ+)
26	18	adantr 481	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 = 𝐵) → 𝑁 ∈ ℕ)
27	18	nnnn0d 12293	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)
28	8, 27	nnexpcld 13960	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐴↑𝑁) ∈ ℕ)
29	28	adantr 481	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 = 𝐵) → (𝐴↑𝑁) ∈ ℕ)
30	29	nncnd 11989	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 = 𝐵) → (𝐴↑𝑁) ∈ ℂ)
31		2cnd 12051	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 = 𝐵) → 2 ∈ ℂ)
32	29	nnne0d 12023	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 = 𝐵) → (𝐴↑𝑁) ≠ 0)
33	28	nncnd 11989	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐴↑𝑁) ∈ ℂ)
34	33	times2d 12217	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((𝐴↑𝑁) · 2) = ((𝐴↑𝑁) + (𝐴↑𝑁)))
35	34	adantr 481	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 = 𝐵) → ((𝐴↑𝑁) · 2) = ((𝐴↑𝑁) + (𝐴↑𝑁)))
36		simpr 485	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 = 𝐵) → 𝐴 = 𝐵)
37	36	oveq1d 7290	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 = 𝐵) → (𝐴↑𝑁) = (𝐵↑𝑁))
38	37	oveq2d 7291	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 = 𝐵) → ((𝐴↑𝑁) + (𝐴↑𝑁)) = ((𝐴↑𝑁) + (𝐵↑𝑁)))
39		fltne.1	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((𝐴↑𝑁) + (𝐵↑𝑁)) = (𝐶↑𝑁))
40	39	adantr 481	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 = 𝐵) → ((𝐴↑𝑁) + (𝐵↑𝑁)) = (𝐶↑𝑁))
41	35, 38, 40	3eqtrd 2782	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 = 𝐵) → ((𝐴↑𝑁) · 2) = (𝐶↑𝑁))
42	30, 31, 32, 41	mvllmuld 11807	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 = 𝐵) → 2 = ((𝐶↑𝑁) / (𝐴↑𝑁)))
43		2cn 12048	. . . . . 6 ⊢ 2 ∈ ℂ
44		cxproot 25845	. . . . . 6 ⊢ ((2 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((2↑𝑐(1 / 𝑁))↑𝑁) = 2)
45	43, 18, 44	sylancr 587	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((2↑𝑐(1 / 𝑁))↑𝑁) = 2)
46	45	adantr 481	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 = 𝐵) → ((2↑𝑐(1 / 𝑁))↑𝑁) = 2)
47	6	nncnd 11989	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ)
48	8	nncnd 11989	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
49	8	nnne0d 12023	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ 0)
50	47, 48, 49, 27	expdivd 13878	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝐶 / 𝐴)↑𝑁) = ((𝐶↑𝑁) / (𝐴↑𝑁)))
51	50	adantr 481	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 = 𝐵) → ((𝐶 / 𝐴)↑𝑁) = ((𝐶↑𝑁) / (𝐴↑𝑁)))
52	42, 46, 51	3eqtr4d 2788	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 = 𝐵) → ((2↑𝑐(1 / 𝑁))↑𝑁) = ((𝐶 / 𝐴)↑𝑁))
53	21, 25, 26, 52	exp11nnd 40324	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 = 𝐵) → (2↑𝑐(1 / 𝑁)) = (𝐶 / 𝐴))
54	14, 53	mteqand 3048	1 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ 𝐵)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 396   = wceq 1539   ∈ wcel 2106   ≠ wne 2943   ∖ cdif 3884  ‘cfv 6433  (class class class)co 7275  ℂcc 10869  ℝcr 10870  1c1 10872   + caddc 10874   · cmul 10876   / cdiv 11632  ℕcn 11973  2c2 12028  ℤcz 12319  ℤ_≥cuz 12582  ℚcq 12688  ℝ⁺crp 12730  ↑cexp 13782  ℙcprime 16376  ↑_𝑐ccxp 25711

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-rep 5209  ax-sep 5223  ax-nul 5230  ax-pow 5288  ax-pr 5352  ax-un 7588  ax-inf2 9399  ax-cnex 10927  ax-resscn 10928  ax-1cn 10929  ax-icn 10930  ax-addcl 10931  ax-addrcl 10932  ax-mulcl 10933  ax-mulrcl 10934  ax-mulcom 10935  ax-addass 10936  ax-mulass 10937  ax-distr 10938  ax-i2m1 10939  ax-1ne0 10940  ax-1rid 10941  ax-rnegex 10942  ax-rrecex 10943  ax-cnre 10944  ax-pre-lttri 10945  ax-pre-lttrn 10946  ax-pre-ltadd 10947  ax-pre-mulgt0 10948  ax-pre-sup 10949  ax-addf 10950  ax-mulf 10951

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3069  df-rex 3070  df-rmo 3071  df-reu 3072  df-rab 3073  df-v 3434  df-sbc 3717  df-csb 3833  df-dif 3890  df-un 3892  df-in 3894  df-ss 3904  df-pss 3906  df-nul 4257  df-if 4460  df-pw 4535  df-sn 4562  df-pr 4564  df-tp 4566  df-op 4568  df-uni 4840  df-int 4880  df-iun 4926  df-iin 4927  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5158  df-tr 5192  df-id 5489  df-eprel 5495  df-po 5503  df-so 5504  df-fr 5544  df-se 5545  df-we 5546  df-xp 5595  df-rel 5596  df-cnv 5597  df-co 5598  df-dm 5599  df-rn 5600  df-res 5601  df-ima 5602  df-pred 6202  df-ord 6269  df-on 6270  df-lim 6271  df-suc 6272  df-iota 6391  df-fun 6435  df-fn 6436  df-f 6437  df-f1 6438  df-fo 6439  df-f1o 6440  df-fv 6441  df-isom 6442  df-riota 7232  df-ov 7278  df-oprab 7279  df-mpo 7280  df-of 7533  df-om 7713  df-1st 7831  df-2nd 7832  df-supp 7978  df-frecs 8097  df-wrecs 8128  df-recs 8202  df-rdg 8241  df-1o 8297  df-2o 8298  df-er 8498  df-map 8617  df-pm 8618  df-ixp 8686  df-en 8734  df-dom 8735  df-sdom 8736  df-fin 8737  df-fsupp 9129  df-fi 9170  df-sup 9201  df-inf 9202  df-oi 9269  df-card 9697  df-pnf 11011  df-mnf 11012  df-xr 11013  df-ltxr 11014  df-le 11015  df-sub 11207  df-neg 11208  df-div 11633  df-nn 11974  df-2 12036  df-3 12037  df-4 12038  df-5 12039  df-6 12040  df-7 12041  df-8 12042  df-9 12043  df-n0 12234  df-z 12320  df-dec 12438  df-uz 12583  df-q 12689  df-rp 12731  df-xneg 12848  df-xadd 12849  df-xmul 12850  df-ioo 13083  df-ioc 13084  df-ico 13085  df-icc 13086  df-fz 13240  df-fzo 13383  df-fl 13512  df-mod 13590  df-seq 13722  df-exp 13783  df-fac 13988  df-bc 14017  df-hash 14045  df-shft 14778  df-cj 14810  df-re 14811  df-im 14812  df-sqrt 14946  df-abs 14947  df-limsup 15180  df-clim 15197  df-rlim 15198  df-sum 15398  df-ef 15777  df-sin 15779  df-cos 15780  df-pi 15782  df-dvds 15964  df-gcd 16202  df-prm 16377  df-numer 16439  df-denom 16440  df-struct 16848  df-sets 16865  df-slot 16883  df-ndx 16895  df-base 16913  df-ress 16942  df-plusg 16975  df-mulr 16976  df-starv 16977  df-sca 16978  df-vsca 16979  df-ip 16980  df-tset 16981  df-ple 16982  df-ds 16984  df-unif 16985  df-hom 16986  df-cco 16987  df-rest 17133  df-topn 17134  df-0g 17152  df-gsum 17153  df-topgen 17154  df-pt 17155  df-prds 17158  df-xrs 17213  df-qtop 17218  df-imas 17219  df-xps 17221  df-mre 17295  df-mrc 17296  df-acs 17298  df-mgm 18326  df-sgrp 18375  df-mnd 18386  df-submnd 18431  df-mulg 18701  df-cntz 18923  df-cmn 19388  df-psmet 20589  df-xmet 20590  df-met 20591  df-bl 20592  df-mopn 20593  df-fbas 20594  df-fg 20595  df-cnfld 20598  df-top 22043  df-topon 22060  df-topsp 22082  df-bases 22096  df-cld 22170  df-ntr 22171  df-cls 22172  df-nei 22249  df-lp 22287  df-perf 22288  df-cn 22378  df-cnp 22379  df-haus 22466  df-tx 22713  df-hmeo 22906  df-fil 22997  df-fm 23089  df-flim 23090  df-flf 23091  df-xms 23473  df-ms 23474  df-tms 23475  df-cncf 24041  df-limc 25030  df-dv 25031  df-log 25712  df-cxp 25713

This theorem is referenced by: (None)