Theorem fltne 42614

Description: If a counterexample to FLT exists, its addends are not equal. (Contributed by SN, 1-Jun-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
fltne.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℕ)
fltne.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℕ)
fltne.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℕ)
fltne.n	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2))
fltne.1	⊢ (𝜑 → ((𝐴↑𝑁) + (𝐵↑𝑁)) = (𝐶↑𝑁))

Assertion

Ref	Expression
fltne	⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ 𝐵)

Proof of Theorem fltne

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2prm 16709	. . . . 5 ⊢ 2 ∈ ℙ
2		fltne.n	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2))
3		rtprmirr 26720	. . . . 5 ⊢ ((2 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2)) → (2↑𝑐(1 / 𝑁)) ∈ (ℝ ∖ ℚ))
4	1, 2, 3	sylancr 587	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (2↑𝑐(1 / 𝑁)) ∈ (ℝ ∖ ℚ))
5	4	eldifbd 3939	. . 3 ⊢ (𝜑 → ¬ (2↑𝑐(1 / 𝑁)) ∈ ℚ)
6		fltne.c	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℕ)
7	6	nnzd 12613	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℤ)
8		fltne.a	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℕ)
9		znq 12966	. . . . . 6 ⊢ ((𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℕ) → (𝐶 / 𝐴) ∈ ℚ)
10	7, 8, 9	syl2anc 584	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐶 / 𝐴) ∈ ℚ)
11		eleq1a 2829	. . . . 5 ⊢ ((𝐶 / 𝐴) ∈ ℚ → ((2↑𝑐(1 / 𝑁)) = (𝐶 / 𝐴) → (2↑𝑐(1 / 𝑁)) ∈ ℚ))
12	10, 11	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((2↑𝑐(1 / 𝑁)) = (𝐶 / 𝐴) → (2↑𝑐(1 / 𝑁)) ∈ ℚ))
13	12	necon3bd 2946	. . 3 ⊢ (𝜑 → (¬ (2↑𝑐(1 / 𝑁)) ∈ ℚ → (2↑𝑐(1 / 𝑁)) ≠ (𝐶 / 𝐴)))
14	5, 13	mpd 15	. 2 ⊢ (𝜑 → (2↑𝑐(1 / 𝑁)) ≠ (𝐶 / 𝐴))
15		2rp 13011	. . . . . 6 ⊢ 2 ∈ ℝ+
16	15	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 2 ∈ ℝ+)
17		eluz2nn 12896	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → 𝑁 ∈ ℕ)
18	2, 17	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)
19	18	nnrecred 12289	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (1 / 𝑁) ∈ ℝ)
20	16, 19	rpcxpcld 26692	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (2↑𝑐(1 / 𝑁)) ∈ ℝ+)
21	20	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 = 𝐵) → (2↑𝑐(1 / 𝑁)) ∈ ℝ+)
22	6	nnrpd 13047	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ+)
23	8	nnrpd 13047	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ+)
24	22, 23	rpdivcld 13066	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐶 / 𝐴) ∈ ℝ+)
25	24	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 = 𝐵) → (𝐶 / 𝐴) ∈ ℝ+)
26	18	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 = 𝐵) → 𝑁 ∈ ℕ)
27	18	nnnn0d 12560	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)
28	8, 27	nnexpcld 14261	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐴↑𝑁) ∈ ℕ)
29	28	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 = 𝐵) → (𝐴↑𝑁) ∈ ℕ)
30	29	nncnd 12254	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 = 𝐵) → (𝐴↑𝑁) ∈ ℂ)
31		2cnd 12316	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 = 𝐵) → 2 ∈ ℂ)
32	29	nnne0d 12288	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 = 𝐵) → (𝐴↑𝑁) ≠ 0)
33	28	nncnd 12254	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐴↑𝑁) ∈ ℂ)
34	33	times2d 12483	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((𝐴↑𝑁) · 2) = ((𝐴↑𝑁) + (𝐴↑𝑁)))
35	34	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 = 𝐵) → ((𝐴↑𝑁) · 2) = ((𝐴↑𝑁) + (𝐴↑𝑁)))
36		simpr 484	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 = 𝐵) → 𝐴 = 𝐵)
37	36	oveq1d 7418	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 = 𝐵) → (𝐴↑𝑁) = (𝐵↑𝑁))
38	37	oveq2d 7419	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 = 𝐵) → ((𝐴↑𝑁) + (𝐴↑𝑁)) = ((𝐴↑𝑁) + (𝐵↑𝑁)))
39		fltne.1	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((𝐴↑𝑁) + (𝐵↑𝑁)) = (𝐶↑𝑁))
40	39	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 = 𝐵) → ((𝐴↑𝑁) + (𝐵↑𝑁)) = (𝐶↑𝑁))
41	35, 38, 40	3eqtrd 2774	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 = 𝐵) → ((𝐴↑𝑁) · 2) = (𝐶↑𝑁))
42	30, 31, 32, 41	mvllmuld 12071	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 = 𝐵) → 2 = ((𝐶↑𝑁) / (𝐴↑𝑁)))
43		2cn 12313	. . . . . 6 ⊢ 2 ∈ ℂ
44		cxproot 26649	. . . . . 6 ⊢ ((2 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((2↑𝑐(1 / 𝑁))↑𝑁) = 2)
45	43, 18, 44	sylancr 587	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((2↑𝑐(1 / 𝑁))↑𝑁) = 2)
46	45	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 = 𝐵) → ((2↑𝑐(1 / 𝑁))↑𝑁) = 2)
47	6	nncnd 12254	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ)
48	8	nncnd 12254	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
49	8	nnne0d 12288	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ 0)
50	47, 48, 49, 27	expdivd 14176	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝐶 / 𝐴)↑𝑁) = ((𝐶↑𝑁) / (𝐴↑𝑁)))
51	50	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 = 𝐵) → ((𝐶 / 𝐴)↑𝑁) = ((𝐶↑𝑁) / (𝐴↑𝑁)))
52	42, 46, 51	3eqtr4d 2780	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 = 𝐵) → ((2↑𝑐(1 / 𝑁))↑𝑁) = ((𝐶 / 𝐴)↑𝑁))
53	21, 25, 26, 52	exp11nnd 14277	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 = 𝐵) → (2↑𝑐(1 / 𝑁)) = (𝐶 / 𝐴))
54	14, 53	mteqand 3023	1 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ 𝐵)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2108   ≠ wne 2932   ∖ cdif 3923  ‘cfv 6530  (class class class)co 7403  ℂcc 11125  ℝcr 11126  1c1 11128   + caddc 11130   · cmul 11132   / cdiv 11892  ℕcn 12238  2c2 12293  ℤcz 12586  ℤ_≥cuz 12850  ℚcq 12962  ℝ⁺crp 13006  ↑cexp 14077  ℙcprime 16688  ↑_𝑐ccxp 26514

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2707  ax-rep 5249  ax-sep 5266  ax-nul 5276  ax-pow 5335  ax-pr 5402  ax-un 7727  ax-inf2 9653  ax-cnex 11183  ax-resscn 11184  ax-1cn 11185  ax-icn 11186  ax-addcl 11187  ax-addrcl 11188  ax-mulcl 11189  ax-mulrcl 11190  ax-mulcom 11191  ax-addass 11192  ax-mulass 11193  ax-distr 11194  ax-i2m1 11195  ax-1ne0 11196  ax-1rid 11197  ax-rnegex 11198  ax-rrecex 11199  ax-cnre 11200  ax-pre-lttri 11201  ax-pre-lttrn 11202  ax-pre-ltadd 11203  ax-pre-mulgt0 11204  ax-pre-sup 11205  ax-addf 11206

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2727  df-clel 2809  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3359  df-reu 3360  df-rab 3416  df-v 3461  df-sbc 3766  df-csb 3875  df-dif 3929  df-un 3931  df-in 3933  df-ss 3943  df-pss 3946  df-nul 4309  df-if 4501  df-pw 4577  df-sn 4602  df-pr 4604  df-tp 4606  df-op 4608  df-uni 4884  df-int 4923  df-iun 4969  df-iin 4970  df-br 5120  df-opab 5182  df-mpt 5202  df-tr 5230  df-id 5548  df-eprel 5553  df-po 5561  df-so 5562  df-fr 5606  df-se 5607  df-we 5608  df-xp 5660  df-rel 5661  df-cnv 5662  df-co 5663  df-dm 5664  df-rn 5665  df-res 5666  df-ima 5667  df-pred 6290  df-ord 6355  df-on 6356  df-lim 6357  df-suc 6358  df-iota 6483  df-fun 6532  df-fn 6533  df-f 6534  df-f1 6535  df-fo 6536  df-f1o 6537  df-fv 6538  df-isom 6539  df-riota 7360  df-ov 7406  df-oprab 7407  df-mpo 7408  df-of 7669  df-om 7860  df-1st 7986  df-2nd 7987  df-supp 8158  df-frecs 8278  df-wrecs 8309  df-recs 8383  df-rdg 8422  df-1o 8478  df-2o 8479  df-er 8717  df-map 8840  df-pm 8841  df-ixp 8910  df-en 8958  df-dom 8959  df-sdom 8960  df-fin 8961  df-fsupp 9372  df-fi 9421  df-sup 9452  df-inf 9453  df-oi 9522  df-card 9951  df-pnf 11269  df-mnf 11270  df-xr 11271  df-ltxr 11272  df-le 11273  df-sub 11466  df-neg 11467  df-div 11893  df-nn 12239  df-2 12301  df-3 12302  df-4 12303  df-5 12304  df-6 12305  df-7 12306  df-8 12307  df-9 12308  df-n0 12500  df-z 12587  df-dec 12707  df-uz 12851  df-q 12963  df-rp 13007  df-xneg 13126  df-xadd 13127  df-xmul 13128  df-ioo 13364  df-ioc 13365  df-ico 13366  df-icc 13367  df-fz 13523  df-fzo 13670  df-fl 13807  df-mod 13885  df-seq 14018  df-exp 14078  df-fac 14290  df-bc 14319  df-hash 14347  df-shft 15084  df-cj 15116  df-re 15117  df-im 15118  df-sqrt 15252  df-abs 15253  df-limsup 15485  df-clim 15502  df-rlim 15503  df-sum 15701  df-ef 16081  df-sin 16083  df-cos 16084  df-pi 16086  df-dvds 16271  df-gcd 16512  df-prm 16689  df-numer 16752  df-denom 16753  df-struct 17164  df-sets 17181  df-slot 17199  df-ndx 17211  df-base 17227  df-ress 17250  df-plusg 17282  df-mulr 17283  df-starv 17284  df-sca 17285  df-vsca 17286  df-ip 17287  df-tset 17288  df-ple 17289  df-ds 17291  df-unif 17292  df-hom 17293  df-cco 17294  df-rest 17434  df-topn 17435  df-0g 17453  df-gsum 17454  df-topgen 17455  df-pt 17456  df-prds 17459  df-xrs 17514  df-qtop 17519  df-imas 17520  df-xps 17522  df-mre 17596  df-mrc 17597  df-acs 17599  df-mgm 18616  df-sgrp 18695  df-mnd 18711  df-submnd 18760  df-mulg 19049  df-cntz 19298  df-cmn 19761  df-psmet 21305  df-xmet 21306  df-met 21307  df-bl 21308  df-mopn 21309  df-fbas 21310  df-fg 21311  df-cnfld 21314  df-top 22830  df-topon 22847  df-topsp 22869  df-bases 22882  df-cld 22955  df-ntr 22956  df-cls 22957  df-nei 23034  df-lp 23072  df-perf 23073  df-cn 23163  df-cnp 23164  df-haus 23251  df-tx 23498  df-hmeo 23691  df-fil 23782  df-fm 23874  df-flim 23875  df-flf 23876  df-xms 24257  df-ms 24258  df-tms 24259  df-cncf 24820  df-limc 25817  df-dv 25818  df-log 26515  df-cxp 26516

This theorem is referenced by: (None)