Theorem fltne 42654

Description: If a counterexample to FLT exists, its addends are not equal. (Contributed by SN, 1-Jun-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
fltne.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℕ)
fltne.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℕ)
fltne.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℕ)
fltne.n	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2))
fltne.1	⊢ (𝜑 → ((𝐴↑𝑁) + (𝐵↑𝑁)) = (𝐶↑𝑁))

Assertion

Ref	Expression
fltne	⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ 𝐵)

Proof of Theorem fltne

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2prm 16729	. . . . 5 ⊢ 2 ∈ ℙ
2		fltne.n	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2))
3		rtprmirr 26803	. . . . 5 ⊢ ((2 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2)) → (2↑𝑐(1 / 𝑁)) ∈ (ℝ ∖ ℚ))
4	1, 2, 3	sylancr 587	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (2↑𝑐(1 / 𝑁)) ∈ (ℝ ∖ ℚ))
5	4	eldifbd 3964	. . 3 ⊢ (𝜑 → ¬ (2↑𝑐(1 / 𝑁)) ∈ ℚ)
6		fltne.c	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℕ)
7	6	nnzd 12640	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℤ)
8		fltne.a	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℕ)
9		znq 12994	. . . . . 6 ⊢ ((𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℕ) → (𝐶 / 𝐴) ∈ ℚ)
10	7, 8, 9	syl2anc 584	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐶 / 𝐴) ∈ ℚ)
11		eleq1a 2836	. . . . 5 ⊢ ((𝐶 / 𝐴) ∈ ℚ → ((2↑𝑐(1 / 𝑁)) = (𝐶 / 𝐴) → (2↑𝑐(1 / 𝑁)) ∈ ℚ))
12	10, 11	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((2↑𝑐(1 / 𝑁)) = (𝐶 / 𝐴) → (2↑𝑐(1 / 𝑁)) ∈ ℚ))
13	12	necon3bd 2954	. . 3 ⊢ (𝜑 → (¬ (2↑𝑐(1 / 𝑁)) ∈ ℚ → (2↑𝑐(1 / 𝑁)) ≠ (𝐶 / 𝐴)))
14	5, 13	mpd 15	. 2 ⊢ (𝜑 → (2↑𝑐(1 / 𝑁)) ≠ (𝐶 / 𝐴))
15		2rp 13039	. . . . . 6 ⊢ 2 ∈ ℝ+
16	15	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 2 ∈ ℝ+)
17		eluz2nn 12924	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → 𝑁 ∈ ℕ)
18	2, 17	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)
19	18	nnrecred 12317	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (1 / 𝑁) ∈ ℝ)
20	16, 19	rpcxpcld 26775	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (2↑𝑐(1 / 𝑁)) ∈ ℝ+)
21	20	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 = 𝐵) → (2↑𝑐(1 / 𝑁)) ∈ ℝ+)
22	6	nnrpd 13075	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ+)
23	8	nnrpd 13075	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ+)
24	22, 23	rpdivcld 13094	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐶 / 𝐴) ∈ ℝ+)
25	24	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 = 𝐵) → (𝐶 / 𝐴) ∈ ℝ+)
26	18	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 = 𝐵) → 𝑁 ∈ ℕ)
27	18	nnnn0d 12587	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)
28	8, 27	nnexpcld 14284	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐴↑𝑁) ∈ ℕ)
29	28	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 = 𝐵) → (𝐴↑𝑁) ∈ ℕ)
30	29	nncnd 12282	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 = 𝐵) → (𝐴↑𝑁) ∈ ℂ)
31		2cnd 12344	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 = 𝐵) → 2 ∈ ℂ)
32	29	nnne0d 12316	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 = 𝐵) → (𝐴↑𝑁) ≠ 0)
33	28	nncnd 12282	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐴↑𝑁) ∈ ℂ)
34	33	times2d 12510	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((𝐴↑𝑁) · 2) = ((𝐴↑𝑁) + (𝐴↑𝑁)))
35	34	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 = 𝐵) → ((𝐴↑𝑁) · 2) = ((𝐴↑𝑁) + (𝐴↑𝑁)))
36		simpr 484	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 = 𝐵) → 𝐴 = 𝐵)
37	36	oveq1d 7446	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 = 𝐵) → (𝐴↑𝑁) = (𝐵↑𝑁))
38	37	oveq2d 7447	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 = 𝐵) → ((𝐴↑𝑁) + (𝐴↑𝑁)) = ((𝐴↑𝑁) + (𝐵↑𝑁)))
39		fltne.1	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((𝐴↑𝑁) + (𝐵↑𝑁)) = (𝐶↑𝑁))
40	39	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 = 𝐵) → ((𝐴↑𝑁) + (𝐵↑𝑁)) = (𝐶↑𝑁))
41	35, 38, 40	3eqtrd 2781	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 = 𝐵) → ((𝐴↑𝑁) · 2) = (𝐶↑𝑁))
42	30, 31, 32, 41	mvllmuld 12099	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 = 𝐵) → 2 = ((𝐶↑𝑁) / (𝐴↑𝑁)))
43		2cn 12341	. . . . . 6 ⊢ 2 ∈ ℂ
44		cxproot 26732	. . . . . 6 ⊢ ((2 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((2↑𝑐(1 / 𝑁))↑𝑁) = 2)
45	43, 18, 44	sylancr 587	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((2↑𝑐(1 / 𝑁))↑𝑁) = 2)
46	45	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 = 𝐵) → ((2↑𝑐(1 / 𝑁))↑𝑁) = 2)
47	6	nncnd 12282	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ)
48	8	nncnd 12282	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
49	8	nnne0d 12316	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ 0)
50	47, 48, 49, 27	expdivd 14200	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝐶 / 𝐴)↑𝑁) = ((𝐶↑𝑁) / (𝐴↑𝑁)))
51	50	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 = 𝐵) → ((𝐶 / 𝐴)↑𝑁) = ((𝐶↑𝑁) / (𝐴↑𝑁)))
52	42, 46, 51	3eqtr4d 2787	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 = 𝐵) → ((2↑𝑐(1 / 𝑁))↑𝑁) = ((𝐶 / 𝐴)↑𝑁))
53	21, 25, 26, 52	exp11nnd 14300	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 = 𝐵) → (2↑𝑐(1 / 𝑁)) = (𝐶 / 𝐴))
54	14, 53	mteqand 3033	1 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ 𝐵)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2108   ≠ wne 2940   ∖ cdif 3948  ‘cfv 6561  (class class class)co 7431  ℂcc 11153  ℝcr 11154  1c1 11156   + caddc 11158   · cmul 11160   / cdiv 11920  ℕcn 12266  2c2 12321  ℤcz 12613  ℤ_≥cuz 12878  ℚcq 12990  ℝ⁺crp 13034  ↑cexp 14102  ℙcprime 16708  ↑_𝑐ccxp 26597

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5279  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-inf2 9681  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232  ax-pre-sup 11233  ax-addf 11234

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-tp 4631  df-op 4633  df-uni 4908  df-int 4947  df-iun 4993  df-iin 4994  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-se 5638  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-isom 6570  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-of 7697  df-om 7888  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-supp 8186  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-1o 8506  df-2o 8507  df-er 8745  df-map 8868  df-pm 8869  df-ixp 8938  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-fin 8989  df-fsupp 9402  df-fi 9451  df-sup 9482  df-inf 9483  df-oi 9550  df-card 9979  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-div 11921  df-nn 12267  df-2 12329  df-3 12330  df-4 12331  df-5 12332  df-6 12333  df-7 12334  df-8 12335  df-9 12336  df-n0 12527  df-z 12614  df-dec 12734  df-uz 12879  df-q 12991  df-rp 13035  df-xneg 13154  df-xadd 13155  df-xmul 13156  df-ioo 13391  df-ioc 13392  df-ico 13393  df-icc 13394  df-fz 13548  df-fzo 13695  df-fl 13832  df-mod 13910  df-seq 14043  df-exp 14103  df-fac 14313  df-bc 14342  df-hash 14370  df-shft 15106  df-cj 15138  df-re 15139  df-im 15140  df-sqrt 15274  df-abs 15275  df-limsup 15507  df-clim 15524  df-rlim 15525  df-sum 15723  df-ef 16103  df-sin 16105  df-cos 16106  df-pi 16108  df-dvds 16291  df-gcd 16532  df-prm 16709  df-numer 16772  df-denom 16773  df-struct 17184  df-sets 17201  df-slot 17219  df-ndx 17231  df-base 17248  df-ress 17275  df-plusg 17310  df-mulr 17311  df-starv 17312  df-sca 17313  df-vsca 17314  df-ip 17315  df-tset 17316  df-ple 17317  df-ds 17319  df-unif 17320  df-hom 17321  df-cco 17322  df-rest 17467  df-topn 17468  df-0g 17486  df-gsum 17487  df-topgen 17488  df-pt 17489  df-prds 17492  df-xrs 17547  df-qtop 17552  df-imas 17553  df-xps 17555  df-mre 17629  df-mrc 17630  df-acs 17632  df-mgm 18653  df-sgrp 18732  df-mnd 18748  df-submnd 18797  df-mulg 19086  df-cntz 19335  df-cmn 19800  df-psmet 21356  df-xmet 21357  df-met 21358  df-bl 21359  df-mopn 21360  df-fbas 21361  df-fg 21362  df-cnfld 21365  df-top 22900  df-topon 22917  df-topsp 22939  df-bases 22953  df-cld 23027  df-ntr 23028  df-cls 23029  df-nei 23106  df-lp 23144  df-perf 23145  df-cn 23235  df-cnp 23236  df-haus 23323  df-tx 23570  df-hmeo 23763  df-fil 23854  df-fm 23946  df-flim 23947  df-flf 23948  df-xms 24330  df-ms 24331  df-tms 24332  df-cncf 24904  df-limc 25901  df-dv 25902  df-log 26598  df-cxp 26599

This theorem is referenced by: (None)