![]() |
Mathbox for Steven Nguyen |
< Previous
Next >
Nearby theorems |
|
Mirrors > Home > MPE Home > Th. List > Mathboxes > fltne | Structured version Visualization version GIF version |
Description: If a counterexample to FLT exists, its addends are not equal. (Contributed by SN, 1-Jun-2023.) |
Ref | Expression |
---|---|
fltne.a | โข (๐ โ ๐ด โ โ) |
fltne.b | โข (๐ โ ๐ต โ โ) |
fltne.c | โข (๐ โ ๐ถ โ โ) |
fltne.n | โข (๐ โ ๐ โ (โคโฅโ2)) |
fltne.1 | โข (๐ โ ((๐ดโ๐) + (๐ตโ๐)) = (๐ถโ๐)) |
Ref | Expression |
---|---|
fltne | โข (๐ โ ๐ด โ ๐ต) |
Step | Hyp | Ref | Expression |
---|---|---|---|
1 | 2prm 16632 | . . . . 5 โข 2 โ โ | |
2 | fltne.n | . . . . 5 โข (๐ โ ๐ โ (โคโฅโ2)) | |
3 | rtprmirr 41774 | . . . . 5 โข ((2 โ โ โง ๐ โ (โคโฅโ2)) โ (2โ๐(1 / ๐)) โ (โ โ โ)) | |
4 | 1, 2, 3 | sylancr 586 | . . . 4 โข (๐ โ (2โ๐(1 / ๐)) โ (โ โ โ)) |
5 | 4 | eldifbd 3954 | . . 3 โข (๐ โ ยฌ (2โ๐(1 / ๐)) โ โ) |
6 | fltne.c | . . . . . . 7 โข (๐ โ ๐ถ โ โ) | |
7 | 6 | nnzd 12584 | . . . . . 6 โข (๐ โ ๐ถ โ โค) |
8 | fltne.a | . . . . . 6 โข (๐ โ ๐ด โ โ) | |
9 | znq 12935 | . . . . . 6 โข ((๐ถ โ โค โง ๐ด โ โ) โ (๐ถ / ๐ด) โ โ) | |
10 | 7, 8, 9 | syl2anc 583 | . . . . 5 โข (๐ โ (๐ถ / ๐ด) โ โ) |
11 | eleq1a 2820 | . . . . 5 โข ((๐ถ / ๐ด) โ โ โ ((2โ๐(1 / ๐)) = (๐ถ / ๐ด) โ (2โ๐(1 / ๐)) โ โ)) | |
12 | 10, 11 | syl 17 | . . . 4 โข (๐ โ ((2โ๐(1 / ๐)) = (๐ถ / ๐ด) โ (2โ๐(1 / ๐)) โ โ)) |
13 | 12 | necon3bd 2946 | . . 3 โข (๐ โ (ยฌ (2โ๐(1 / ๐)) โ โ โ (2โ๐(1 / ๐)) โ (๐ถ / ๐ด))) |
14 | 5, 13 | mpd 15 | . 2 โข (๐ โ (2โ๐(1 / ๐)) โ (๐ถ / ๐ด)) |
15 | 2rp 12980 | . . . . . 6 โข 2 โ โ+ | |
16 | 15 | a1i 11 | . . . . 5 โข (๐ โ 2 โ โ+) |
17 | eluz2nn 12867 | . . . . . . 7 โข (๐ โ (โคโฅโ2) โ ๐ โ โ) | |
18 | 2, 17 | syl 17 | . . . . . 6 โข (๐ โ ๐ โ โ) |
19 | 18 | nnrecred 12262 | . . . . 5 โข (๐ โ (1 / ๐) โ โ) |
20 | 16, 19 | rpcxpcld 26607 | . . . 4 โข (๐ โ (2โ๐(1 / ๐)) โ โ+) |
21 | 20 | adantr 480 | . . 3 โข ((๐ โง ๐ด = ๐ต) โ (2โ๐(1 / ๐)) โ โ+) |
22 | 6 | nnrpd 13015 | . . . . 5 โข (๐ โ ๐ถ โ โ+) |
23 | 8 | nnrpd 13015 | . . . . 5 โข (๐ โ ๐ด โ โ+) |
24 | 22, 23 | rpdivcld 13034 | . . . 4 โข (๐ โ (๐ถ / ๐ด) โ โ+) |
25 | 24 | adantr 480 | . . 3 โข ((๐ โง ๐ด = ๐ต) โ (๐ถ / ๐ด) โ โ+) |
26 | 18 | adantr 480 | . . 3 โข ((๐ โง ๐ด = ๐ต) โ ๐ โ โ) |
27 | 18 | nnnn0d 12531 | . . . . . . . 8 โข (๐ โ ๐ โ โ0) |
28 | 8, 27 | nnexpcld 14209 | . . . . . . 7 โข (๐ โ (๐ดโ๐) โ โ) |
29 | 28 | adantr 480 | . . . . . 6 โข ((๐ โง ๐ด = ๐ต) โ (๐ดโ๐) โ โ) |
30 | 29 | nncnd 12227 | . . . . 5 โข ((๐ โง ๐ด = ๐ต) โ (๐ดโ๐) โ โ) |
31 | 2cnd 12289 | . . . . 5 โข ((๐ โง ๐ด = ๐ต) โ 2 โ โ) | |
32 | 29 | nnne0d 12261 | . . . . 5 โข ((๐ โง ๐ด = ๐ต) โ (๐ดโ๐) โ 0) |
33 | 28 | nncnd 12227 | . . . . . . . 8 โข (๐ โ (๐ดโ๐) โ โ) |
34 | 33 | times2d 12455 | . . . . . . 7 โข (๐ โ ((๐ดโ๐) ยท 2) = ((๐ดโ๐) + (๐ดโ๐))) |
35 | 34 | adantr 480 | . . . . . 6 โข ((๐ โง ๐ด = ๐ต) โ ((๐ดโ๐) ยท 2) = ((๐ดโ๐) + (๐ดโ๐))) |
36 | simpr 484 | . . . . . . . 8 โข ((๐ โง ๐ด = ๐ต) โ ๐ด = ๐ต) | |
37 | 36 | oveq1d 7417 | . . . . . . 7 โข ((๐ โง ๐ด = ๐ต) โ (๐ดโ๐) = (๐ตโ๐)) |
38 | 37 | oveq2d 7418 | . . . . . 6 โข ((๐ โง ๐ด = ๐ต) โ ((๐ดโ๐) + (๐ดโ๐)) = ((๐ดโ๐) + (๐ตโ๐))) |
39 | fltne.1 | . . . . . . 7 โข (๐ โ ((๐ดโ๐) + (๐ตโ๐)) = (๐ถโ๐)) | |
40 | 39 | adantr 480 | . . . . . 6 โข ((๐ โง ๐ด = ๐ต) โ ((๐ดโ๐) + (๐ตโ๐)) = (๐ถโ๐)) |
41 | 35, 38, 40 | 3eqtrd 2768 | . . . . 5 โข ((๐ โง ๐ด = ๐ต) โ ((๐ดโ๐) ยท 2) = (๐ถโ๐)) |
42 | 30, 31, 32, 41 | mvllmuld 12045 | . . . 4 โข ((๐ โง ๐ด = ๐ต) โ 2 = ((๐ถโ๐) / (๐ดโ๐))) |
43 | 2cn 12286 | . . . . . 6 โข 2 โ โ | |
44 | cxproot 26564 | . . . . . 6 โข ((2 โ โ โง ๐ โ โ) โ ((2โ๐(1 / ๐))โ๐) = 2) | |
45 | 43, 18, 44 | sylancr 586 | . . . . 5 โข (๐ โ ((2โ๐(1 / ๐))โ๐) = 2) |
46 | 45 | adantr 480 | . . . 4 โข ((๐ โง ๐ด = ๐ต) โ ((2โ๐(1 / ๐))โ๐) = 2) |
47 | 6 | nncnd 12227 | . . . . . 6 โข (๐ โ ๐ถ โ โ) |
48 | 8 | nncnd 12227 | . . . . . 6 โข (๐ โ ๐ด โ โ) |
49 | 8 | nnne0d 12261 | . . . . . 6 โข (๐ โ ๐ด โ 0) |
50 | 47, 48, 49, 27 | expdivd 14126 | . . . . 5 โข (๐ โ ((๐ถ / ๐ด)โ๐) = ((๐ถโ๐) / (๐ดโ๐))) |
51 | 50 | adantr 480 | . . . 4 โข ((๐ โง ๐ด = ๐ต) โ ((๐ถ / ๐ด)โ๐) = ((๐ถโ๐) / (๐ดโ๐))) |
52 | 42, 46, 51 | 3eqtr4d 2774 | . . 3 โข ((๐ โง ๐ด = ๐ต) โ ((2โ๐(1 / ๐))โ๐) = ((๐ถ / ๐ด)โ๐)) |
53 | 21, 25, 26, 52 | exp11nnd 41752 | . 2 โข ((๐ โง ๐ด = ๐ต) โ (2โ๐(1 / ๐)) = (๐ถ / ๐ด)) |
54 | 14, 53 | mteqand 3025 | 1 โข (๐ โ ๐ด โ ๐ต) |
Colors of variables: wff setvar class |
Syntax hints: ยฌ wn 3 โ wi 4 โง wa 395 = wceq 1533 โ wcel 2098 โ wne 2932 โ cdif 3938 โcfv 6534 (class class class)co 7402 โcc 11105 โcr 11106 1c1 11108 + caddc 11110 ยท cmul 11112 / cdiv 11870 โcn 12211 2c2 12266 โคcz 12557 โคโฅcuz 12821 โcq 12931 โ+crp 12975 โcexp 14028 โcprime 16611 โ๐ccxp 26429 |
This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1789 ax-4 1803 ax-5 1905 ax-6 1963 ax-7 2003 ax-8 2100 ax-9 2108 ax-10 2129 ax-11 2146 ax-12 2163 ax-ext 2695 ax-rep 5276 ax-sep 5290 ax-nul 5297 ax-pow 5354 ax-pr 5418 ax-un 7719 ax-inf2 9633 ax-cnex 11163 ax-resscn 11164 ax-1cn 11165 ax-icn 11166 ax-addcl 11167 ax-addrcl 11168 ax-mulcl 11169 ax-mulrcl 11170 ax-mulcom 11171 ax-addass 11172 ax-mulass 11173 ax-distr 11174 ax-i2m1 11175 ax-1ne0 11176 ax-1rid 11177 ax-rnegex 11178 ax-rrecex 11179 ax-cnre 11180 ax-pre-lttri 11181 ax-pre-lttrn 11182 ax-pre-ltadd 11183 ax-pre-mulgt0 11184 ax-pre-sup 11185 ax-addf 11186 |
This theorem depends on definitions: df-bi 206 df-an 396 df-or 845 df-3or 1085 df-3an 1086 df-tru 1536 df-fal 1546 df-ex 1774 df-nf 1778 df-sb 2060 df-mo 2526 df-eu 2555 df-clab 2702 df-cleq 2716 df-clel 2802 df-nfc 2877 df-ne 2933 df-nel 3039 df-ral 3054 df-rex 3063 df-rmo 3368 df-reu 3369 df-rab 3425 df-v 3468 df-sbc 3771 df-csb 3887 df-dif 3944 df-un 3946 df-in 3948 df-ss 3958 df-pss 3960 df-nul 4316 df-if 4522 df-pw 4597 df-sn 4622 df-pr 4624 df-tp 4626 df-op 4628 df-uni 4901 df-int 4942 df-iun 4990 df-iin 4991 df-br 5140 df-opab 5202 df-mpt 5223 df-tr 5257 df-id 5565 df-eprel 5571 df-po 5579 df-so 5580 df-fr 5622 df-se 5623 df-we 5624 df-xp 5673 df-rel 5674 df-cnv 5675 df-co 5676 df-dm 5677 df-rn 5678 df-res 5679 df-ima 5680 df-pred 6291 df-ord 6358 df-on 6359 df-lim 6360 df-suc 6361 df-iota 6486 df-fun 6536 df-fn 6537 df-f 6538 df-f1 6539 df-fo 6540 df-f1o 6541 df-fv 6542 df-isom 6543 df-riota 7358 df-ov 7405 df-oprab 7406 df-mpo 7407 df-of 7664 df-om 7850 df-1st 7969 df-2nd 7970 df-supp 8142 df-frecs 8262 df-wrecs 8293 df-recs 8367 df-rdg 8406 df-1o 8462 df-2o 8463 df-er 8700 df-map 8819 df-pm 8820 df-ixp 8889 df-en 8937 df-dom 8938 df-sdom 8939 df-fin 8940 df-fsupp 9359 df-fi 9403 df-sup 9434 df-inf 9435 df-oi 9502 df-card 9931 df-pnf 11249 df-mnf 11250 df-xr 11251 df-ltxr 11252 df-le 11253 df-sub 11445 df-neg 11446 df-div 11871 df-nn 12212 df-2 12274 df-3 12275 df-4 12276 df-5 12277 df-6 12278 df-7 12279 df-8 12280 df-9 12281 df-n0 12472 df-z 12558 df-dec 12677 df-uz 12822 df-q 12932 df-rp 12976 df-xneg 13093 df-xadd 13094 df-xmul 13095 df-ioo 13329 df-ioc 13330 df-ico 13331 df-icc 13332 df-fz 13486 df-fzo 13629 df-fl 13758 df-mod 13836 df-seq 13968 df-exp 14029 df-fac 14235 df-bc 14264 df-hash 14292 df-shft 15016 df-cj 15048 df-re 15049 df-im 15050 df-sqrt 15184 df-abs 15185 df-limsup 15417 df-clim 15434 df-rlim 15435 df-sum 15635 df-ef 16013 df-sin 16015 df-cos 16016 df-pi 16018 df-dvds 16201 df-gcd 16439 df-prm 16612 df-numer 16676 df-denom 16677 df-struct 17085 df-sets 17102 df-slot 17120 df-ndx 17132 df-base 17150 df-ress 17179 df-plusg 17215 df-mulr 17216 df-starv 17217 df-sca 17218 df-vsca 17219 df-ip 17220 df-tset 17221 df-ple 17222 df-ds 17224 df-unif 17225 df-hom 17226 df-cco 17227 df-rest 17373 df-topn 17374 df-0g 17392 df-gsum 17393 df-topgen 17394 df-pt 17395 df-prds 17398 df-xrs 17453 df-qtop 17458 df-imas 17459 df-xps 17461 df-mre 17535 df-mrc 17536 df-acs 17538 df-mgm 18569 df-sgrp 18648 df-mnd 18664 df-submnd 18710 df-mulg 18992 df-cntz 19229 df-cmn 19698 df-psmet 21226 df-xmet 21227 df-met 21228 df-bl 21229 df-mopn 21230 df-fbas 21231 df-fg 21232 df-cnfld 21235 df-top 22740 df-topon 22757 df-topsp 22779 df-bases 22793 df-cld 22867 df-ntr 22868 df-cls 22869 df-nei 22946 df-lp 22984 df-perf 22985 df-cn 23075 df-cnp 23076 df-haus 23163 df-tx 23410 df-hmeo 23603 df-fil 23694 df-fm 23786 df-flim 23787 df-flf 23788 df-xms 24170 df-ms 24171 df-tms 24172 df-cncf 24742 df-limc 25739 df-dv 25740 df-log 26430 df-cxp 26431 |
This theorem is referenced by: (None) |
Copyright terms: Public domain | W3C validator |