Theorem fltne 42068

Description: If a counterexample to FLT exists, its addends are not equal. (Contributed by SN, 1-Jun-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
fltne.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℕ)
fltne.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℕ)
fltne.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℕ)
fltne.n	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2))
fltne.1	⊢ (𝜑 → ((𝐴↑𝑁) + (𝐵↑𝑁)) = (𝐶↑𝑁))

Assertion

Ref	Expression
fltne	⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ 𝐵)

Proof of Theorem fltne

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2prm 16662	. . . . 5 ⊢ 2 ∈ ℙ
2		fltne.n	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2))
3		rtprmirr 41906	. . . . 5 ⊢ ((2 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2)) → (2↑𝑐(1 / 𝑁)) ∈ (ℝ ∖ ℚ))
4	1, 2, 3	sylancr 586	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (2↑𝑐(1 / 𝑁)) ∈ (ℝ ∖ ℚ))
5	4	eldifbd 3960	. . 3 ⊢ (𝜑 → ¬ (2↑𝑐(1 / 𝑁)) ∈ ℚ)
6		fltne.c	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℕ)
7	6	nnzd 12615	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℤ)
8		fltne.a	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℕ)
9		znq 12966	. . . . . 6 ⊢ ((𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℕ) → (𝐶 / 𝐴) ∈ ℚ)
10	7, 8, 9	syl2anc 583	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐶 / 𝐴) ∈ ℚ)
11		eleq1a 2824	. . . . 5 ⊢ ((𝐶 / 𝐴) ∈ ℚ → ((2↑𝑐(1 / 𝑁)) = (𝐶 / 𝐴) → (2↑𝑐(1 / 𝑁)) ∈ ℚ))
12	10, 11	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((2↑𝑐(1 / 𝑁)) = (𝐶 / 𝐴) → (2↑𝑐(1 / 𝑁)) ∈ ℚ))
13	12	necon3bd 2951	. . 3 ⊢ (𝜑 → (¬ (2↑𝑐(1 / 𝑁)) ∈ ℚ → (2↑𝑐(1 / 𝑁)) ≠ (𝐶 / 𝐴)))
14	5, 13	mpd 15	. 2 ⊢ (𝜑 → (2↑𝑐(1 / 𝑁)) ≠ (𝐶 / 𝐴))
15		2rp 13011	. . . . . 6 ⊢ 2 ∈ ℝ+
16	15	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 2 ∈ ℝ+)
17		eluz2nn 12898	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → 𝑁 ∈ ℕ)
18	2, 17	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)
19	18	nnrecred 12293	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (1 / 𝑁) ∈ ℝ)
20	16, 19	rpcxpcld 26666	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (2↑𝑐(1 / 𝑁)) ∈ ℝ+)
21	20	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 = 𝐵) → (2↑𝑐(1 / 𝑁)) ∈ ℝ+)
22	6	nnrpd 13046	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ+)
23	8	nnrpd 13046	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ+)
24	22, 23	rpdivcld 13065	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐶 / 𝐴) ∈ ℝ+)
25	24	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 = 𝐵) → (𝐶 / 𝐴) ∈ ℝ+)
26	18	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 = 𝐵) → 𝑁 ∈ ℕ)
27	18	nnnn0d 12562	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)
28	8, 27	nnexpcld 14239	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐴↑𝑁) ∈ ℕ)
29	28	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 = 𝐵) → (𝐴↑𝑁) ∈ ℕ)
30	29	nncnd 12258	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 = 𝐵) → (𝐴↑𝑁) ∈ ℂ)
31		2cnd 12320	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 = 𝐵) → 2 ∈ ℂ)
32	29	nnne0d 12292	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 = 𝐵) → (𝐴↑𝑁) ≠ 0)
33	28	nncnd 12258	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐴↑𝑁) ∈ ℂ)
34	33	times2d 12486	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((𝐴↑𝑁) · 2) = ((𝐴↑𝑁) + (𝐴↑𝑁)))
35	34	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 = 𝐵) → ((𝐴↑𝑁) · 2) = ((𝐴↑𝑁) + (𝐴↑𝑁)))
36		simpr 484	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 = 𝐵) → 𝐴 = 𝐵)
37	36	oveq1d 7435	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 = 𝐵) → (𝐴↑𝑁) = (𝐵↑𝑁))
38	37	oveq2d 7436	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 = 𝐵) → ((𝐴↑𝑁) + (𝐴↑𝑁)) = ((𝐴↑𝑁) + (𝐵↑𝑁)))
39		fltne.1	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((𝐴↑𝑁) + (𝐵↑𝑁)) = (𝐶↑𝑁))
40	39	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 = 𝐵) → ((𝐴↑𝑁) + (𝐵↑𝑁)) = (𝐶↑𝑁))
41	35, 38, 40	3eqtrd 2772	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 = 𝐵) → ((𝐴↑𝑁) · 2) = (𝐶↑𝑁))
42	30, 31, 32, 41	mvllmuld 12076	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 = 𝐵) → 2 = ((𝐶↑𝑁) / (𝐴↑𝑁)))
43		2cn 12317	. . . . . 6 ⊢ 2 ∈ ℂ
44		cxproot 26623	. . . . . 6 ⊢ ((2 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((2↑𝑐(1 / 𝑁))↑𝑁) = 2)
45	43, 18, 44	sylancr 586	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((2↑𝑐(1 / 𝑁))↑𝑁) = 2)
46	45	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 = 𝐵) → ((2↑𝑐(1 / 𝑁))↑𝑁) = 2)
47	6	nncnd 12258	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ)
48	8	nncnd 12258	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
49	8	nnne0d 12292	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ 0)
50	47, 48, 49, 27	expdivd 14156	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝐶 / 𝐴)↑𝑁) = ((𝐶↑𝑁) / (𝐴↑𝑁)))
51	50	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 = 𝐵) → ((𝐶 / 𝐴)↑𝑁) = ((𝐶↑𝑁) / (𝐴↑𝑁)))
52	42, 46, 51	3eqtr4d 2778	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 = 𝐵) → ((2↑𝑐(1 / 𝑁))↑𝑁) = ((𝐶 / 𝐴)↑𝑁))
53	21, 25, 26, 52	exp11nnd 41884	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 = 𝐵) → (2↑𝑐(1 / 𝑁)) = (𝐶 / 𝐴))
54	14, 53	mteqand 3030	1 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ 𝐵)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1534   ∈ wcel 2099   ≠ wne 2937   ∖ cdif 3944  ‘cfv 6548  (class class class)co 7420  ℂcc 11136  ℝcr 11137  1c1 11139   + caddc 11141   · cmul 11143   / cdiv 11901  ℕcn 12242  2c2 12297  ℤcz 12588  ℤ_≥cuz 12852  ℚcq 12962  ℝ⁺crp 13006  ↑cexp 14058  ℙcprime 16641  ↑_𝑐ccxp 26488

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2699  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5429  ax-un 7740  ax-inf2 9664  ax-cnex 11194  ax-resscn 11195  ax-1cn 11196  ax-icn 11197  ax-addcl 11198  ax-addrcl 11199  ax-mulcl 11200  ax-mulrcl 11201  ax-mulcom 11202  ax-addass 11203  ax-mulass 11204  ax-distr 11205  ax-i2m1 11206  ax-1ne0 11207  ax-1rid 11208  ax-rnegex 11209  ax-rrecex 11210  ax-cnre 11211  ax-pre-lttri 11212  ax-pre-lttrn 11213  ax-pre-ltadd 11214  ax-pre-mulgt0 11215  ax-pre-sup 11216  ax-addf 11217

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2530  df-eu 2559  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3373  df-reu 3374  df-rab 3430  df-v 3473  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-tp 4634  df-op 4636  df-uni 4909  df-int 4950  df-iun 4998  df-iin 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5576  df-eprel 5582  df-po 5590  df-so 5591  df-fr 5633  df-se 5634  df-we 5635  df-xp 5684  df-rel 5685  df-cnv 5686  df-co 5687  df-dm 5688  df-rn 5689  df-res 5690  df-ima 5691  df-pred 6305  df-ord 6372  df-on 6373  df-lim 6374  df-suc 6375  df-iota 6500  df-fun 6550  df-fn 6551  df-f 6552  df-f1 6553  df-fo 6554  df-f1o 6555  df-fv 6556  df-isom 6557  df-riota 7376  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-of 7685  df-om 7871  df-1st 7993  df-2nd 7994  df-supp 8166  df-frecs 8286  df-wrecs 8317  df-recs 8391  df-rdg 8430  df-1o 8486  df-2o 8487  df-er 8724  df-map 8846  df-pm 8847  df-ixp 8916  df-en 8964  df-dom 8965  df-sdom 8966  df-fin 8967  df-fsupp 9386  df-fi 9434  df-sup 9465  df-inf 9466  df-oi 9533  df-card 9962  df-pnf 11280  df-mnf 11281  df-xr 11282  df-ltxr 11283  df-le 11284  df-sub 11476  df-neg 11477  df-div 11902  df-nn 12243  df-2 12305  df-3 12306  df-4 12307  df-5 12308  df-6 12309  df-7 12310  df-8 12311  df-9 12312  df-n0 12503  df-z 12589  df-dec 12708  df-uz 12853  df-q 12963  df-rp 13007  df-xneg 13124  df-xadd 13125  df-xmul 13126  df-ioo 13360  df-ioc 13361  df-ico 13362  df-icc 13363  df-fz 13517  df-fzo 13660  df-fl 13789  df-mod 13867  df-seq 13999  df-exp 14059  df-fac 14265  df-bc 14294  df-hash 14322  df-shft 15046  df-cj 15078  df-re 15079  df-im 15080  df-sqrt 15214  df-abs 15215  df-limsup 15447  df-clim 15464  df-rlim 15465  df-sum 15665  df-ef 16043  df-sin 16045  df-cos 16046  df-pi 16048  df-dvds 16231  df-gcd 16469  df-prm 16642  df-numer 16706  df-denom 16707  df-struct 17115  df-sets 17132  df-slot 17150  df-ndx 17162  df-base 17180  df-ress 17209  df-plusg 17245  df-mulr 17246  df-starv 17247  df-sca 17248  df-vsca 17249  df-ip 17250  df-tset 17251  df-ple 17252  df-ds 17254  df-unif 17255  df-hom 17256  df-cco 17257  df-rest 17403  df-topn 17404  df-0g 17422  df-gsum 17423  df-topgen 17424  df-pt 17425  df-prds 17428  df-xrs 17483  df-qtop 17488  df-imas 17489  df-xps 17491  df-mre 17565  df-mrc 17566  df-acs 17568  df-mgm 18599  df-sgrp 18678  df-mnd 18694  df-submnd 18740  df-mulg 19023  df-cntz 19267  df-cmn 19736  df-psmet 21270  df-xmet 21271  df-met 21272  df-bl 21273  df-mopn 21274  df-fbas 21275  df-fg 21276  df-cnfld 21279  df-top 22795  df-topon 22812  df-topsp 22834  df-bases 22848  df-cld 22922  df-ntr 22923  df-cls 22924  df-nei 23001  df-lp 23039  df-perf 23040  df-cn 23130  df-cnp 23131  df-haus 23218  df-tx 23465  df-hmeo 23658  df-fil 23749  df-fm 23841  df-flim 23842  df-flf 23843  df-xms 24225  df-ms 24226  df-tms 24227  df-cncf 24797  df-limc 25794  df-dv 25795  df-log 26489  df-cxp 26490

This theorem is referenced by: (None)