Theorem uhgrn0 29638

Description: An edge is a nonempty subset of vertices. (Contributed by Mario Carneiro, 11-Mar-2015.) (Revised by AV, 15-Dec-2020.)

Hypothesis

Ref	Expression
uhgrfun.e	⊢ 𝐸 = (iEdg‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
uhgrn0	⊢ ((𝐺 ∈ UHGraph ∧ 𝐸 Fn 𝐴 ∧ 𝐹 ∈ 𝐴) → (𝐸‘𝐹) ≠ ∅)

Proof of Theorem uhgrn0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2761	. . . . . . 7 ⊢ (Vtx‘𝐺) = (Vtx‘𝐺)
2		uhgrfun.e	. . . . . . 7 ⊢ 𝐸 = (iEdg‘𝐺)
3	1, 2	uhgrf 29633	. . . . . 6 ⊢ (𝐺 ∈ UHGraph → 𝐸:dom 𝐸⟶(𝒫 (Vtx‘𝐺) ∖ {∅}))
4		fndm 6640	. . . . . . 7 ⊢ (𝐸 Fn 𝐴 → dom 𝐸 = 𝐴)
5	4	feq2d 6691	. . . . . 6 ⊢ (𝐸 Fn 𝐴 → (𝐸:dom 𝐸⟶(𝒫 (Vtx‘𝐺) ∖ {∅}) ↔ 𝐸:𝐴⟶(𝒫 (Vtx‘𝐺) ∖ {∅})))
6	3, 5	syl5ibcom 248	. . . . 5 ⊢ (𝐺 ∈ UHGraph → (𝐸 Fn 𝐴 → 𝐸:𝐴⟶(𝒫 (Vtx‘𝐺) ∖ {∅})))
7	6	imp 412	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ UHGraph ∧ 𝐸 Fn 𝐴) → 𝐸:𝐴⟶(𝒫 (Vtx‘𝐺) ∖ {∅}))
8	7	ffvelcdmda 7082	. . 3 ⊢ (((𝐺 ∈ UHGraph ∧ 𝐸 Fn 𝐴) ∧ 𝐹 ∈ 𝐴) → (𝐸‘𝐹) ∈ (𝒫 (Vtx‘𝐺) ∖ {∅}))
9	8	3impa 1127	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ UHGraph ∧ 𝐸 Fn 𝐴 ∧ 𝐹 ∈ 𝐴) → (𝐸‘𝐹) ∈ (𝒫 (Vtx‘𝐺) ∖ {∅}))
10		eldifsni 4753	. 2 ⊢ ((𝐸‘𝐹) ∈ (𝒫 (Vtx‘𝐺) ∖ {∅}) → (𝐸‘𝐹) ≠ ∅)
11	9, 10	syl 18	1 ⊢ ((𝐺 ∈ UHGraph ∧ 𝐸 Fn 𝐴 ∧ 𝐹 ∈ 𝐴) → (𝐸‘𝐹) ≠ ∅)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2145   ≠ wne 2956   ∖ cdif 3896  ∅c0 4279  𝒫 cpw 4557  {csn 4584  dom cdm 5651   Fn wfn 6532  ⟶wf 6533  ‘cfv 6537  Vtxcvtx 29567  iEdgciedg 29568  UHGraphcuhgr 29627

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-12 2213  ax-ext 2733  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pr 5391

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-ne 2957  df-ral 3078  df-rex 3088  df-rab 3414  df-v 3453  df-sbc 3740  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-br 5104  df-opab 5168  df-id 5546  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-fv 6545  df-uhgr 29629

This theorem is used by:  lpvtx  29639  subgruhgredgd  29858