Theorem lpvtx 26861

Description: The endpoints of a loop (which is an edge at index 𝐽) are two (identical) vertices 𝐴. (Contributed by AV, 1-Feb-2021.)

Hypothesis

Ref	Expression
lpvtx.i	⊢ 𝐼 = (iEdg‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
lpvtx	⊢ ((𝐺 ∈ UHGraph ∧ 𝐽 ∈ dom 𝐼 ∧ (𝐼‘𝐽) = {𝐴}) → 𝐴 ∈ (Vtx‘𝐺))

Proof of Theorem lpvtx

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simp1 1133	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ UHGraph ∧ 𝐽 ∈ dom 𝐼 ∧ (𝐼‘𝐽) = {𝐴}) → 𝐺 ∈ UHGraph)
2		lpvtx.i	. . . . . . 7 ⊢ 𝐼 = (iEdg‘𝐺)
3	2	uhgrfun 26859	. . . . . 6 ⊢ (𝐺 ∈ UHGraph → Fun 𝐼)
4	3	funfnd 6355	. . . . 5 ⊢ (𝐺 ∈ UHGraph → 𝐼 Fn dom 𝐼)
5	4	3ad2ant1 1130	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ UHGraph ∧ 𝐽 ∈ dom 𝐼 ∧ (𝐼‘𝐽) = {𝐴}) → 𝐼 Fn dom 𝐼)
6		simp2 1134	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ UHGraph ∧ 𝐽 ∈ dom 𝐼 ∧ (𝐼‘𝐽) = {𝐴}) → 𝐽 ∈ dom 𝐼)
7	2	uhgrn0 26860	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ UHGraph ∧ 𝐼 Fn dom 𝐼 ∧ 𝐽 ∈ dom 𝐼) → (𝐼‘𝐽) ≠ ∅)
8	1, 5, 6, 7	syl3anc 1368	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ UHGraph ∧ 𝐽 ∈ dom 𝐼 ∧ (𝐼‘𝐽) = {𝐴}) → (𝐼‘𝐽) ≠ ∅)
9		neeq1 3049	. . . . 5 ⊢ ((𝐼‘𝐽) = {𝐴} → ((𝐼‘𝐽) ≠ ∅ ↔ {𝐴} ≠ ∅))
10	9	biimpd 232	. . . 4 ⊢ ((𝐼‘𝐽) = {𝐴} → ((𝐼‘𝐽) ≠ ∅ → {𝐴} ≠ ∅))
11	10	3ad2ant3 1132	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ UHGraph ∧ 𝐽 ∈ dom 𝐼 ∧ (𝐼‘𝐽) = {𝐴}) → ((𝐼‘𝐽) ≠ ∅ → {𝐴} ≠ ∅))
12	8, 11	mpd 15	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ UHGraph ∧ 𝐽 ∈ dom 𝐼 ∧ (𝐼‘𝐽) = {𝐴}) → {𝐴} ≠ ∅)
13		eqid 2798	. . . . . 6 ⊢ (Vtx‘𝐺) = (Vtx‘𝐺)
14	13, 2	uhgrss 26857	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ UHGraph ∧ 𝐽 ∈ dom 𝐼) → (𝐼‘𝐽) ⊆ (Vtx‘𝐺))
15	14	3adant3 1129	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ UHGraph ∧ 𝐽 ∈ dom 𝐼 ∧ (𝐼‘𝐽) = {𝐴}) → (𝐼‘𝐽) ⊆ (Vtx‘𝐺))
16		sseq1 3940	. . . . 5 ⊢ ((𝐼‘𝐽) = {𝐴} → ((𝐼‘𝐽) ⊆ (Vtx‘𝐺) ↔ {𝐴} ⊆ (Vtx‘𝐺)))
17	16	3ad2ant3 1132	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ UHGraph ∧ 𝐽 ∈ dom 𝐼 ∧ (𝐼‘𝐽) = {𝐴}) → ((𝐼‘𝐽) ⊆ (Vtx‘𝐺) ↔ {𝐴} ⊆ (Vtx‘𝐺)))
18	15, 17	mpbid 235	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ UHGraph ∧ 𝐽 ∈ dom 𝐼 ∧ (𝐼‘𝐽) = {𝐴}) → {𝐴} ⊆ (Vtx‘𝐺))
19		snnzb 4614	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ V ↔ {𝐴} ≠ ∅)
20		snssg 4678	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ V → (𝐴 ∈ (Vtx‘𝐺) ↔ {𝐴} ⊆ (Vtx‘𝐺)))
21	19, 20	sylbir 238	. . 3 ⊢ ({𝐴} ≠ ∅ → (𝐴 ∈ (Vtx‘𝐺) ↔ {𝐴} ⊆ (Vtx‘𝐺)))
22	18, 21	syl5ibrcom 250	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ UHGraph ∧ 𝐽 ∈ dom 𝐼 ∧ (𝐼‘𝐽) = {𝐴}) → ({𝐴} ≠ ∅ → 𝐴 ∈ (Vtx‘𝐺)))
23	12, 22	mpd 15	1 ⊢ ((𝐺 ∈ UHGraph ∧ 𝐽 ∈ dom 𝐼 ∧ (𝐼‘𝐽) = {𝐴}) → 𝐴 ∈ (Vtx‘𝐺))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ w3a 1084   = wceq 1538   ∈ wcel 2111   ≠ wne 2987  Vcvv 3441   ⊆ wss 3881  ∅c0 4243  {csn 4525  dom cdm 5519   Fn wfn 6319  ‘cfv 6324  Vtxcvtx 26789  iEdgciedg 26790  UHGraphcuhgr 26849

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2770  ax-sep 5167  ax-nul 5174  ax-pr 5295

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2598  df-eu 2629  df-clab 2777  df-cleq 2791  df-clel 2870  df-nfc 2938  df-ne 2988  df-ral 3111  df-rex 3112  df-rab 3115  df-v 3443  df-sbc 3721  df-dif 3884  df-un 3886  df-in 3888  df-ss 3898  df-nul 4244  df-if 4426  df-pw 4499  df-sn 4526  df-pr 4528  df-op 4532  df-uni 4801  df-br 5031  df-opab 5093  df-id 5425  df-xp 5525  df-rel 5526  df-cnv 5527  df-co 5528  df-dm 5529  df-rn 5530  df-iota 6283  df-fun 6326  df-fn 6327  df-f 6328  df-fv 6332  df-uhgr 26851

This theorem is referenced by:  lppthon  27936  lp1cycl  27937