Theorem lpvtx 27341

Description: The endpoints of a loop (which is an edge at index 𝐽) are two (identical) vertices 𝐴. (Contributed by AV, 1-Feb-2021.)

Hypothesis

Ref	Expression
lpvtx.i	⊢ 𝐼 = (iEdg‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
lpvtx	⊢ ((𝐺 ∈ UHGraph ∧ 𝐽 ∈ dom 𝐼 ∧ (𝐼‘𝐽) = {𝐴}) → 𝐴 ∈ (Vtx‘𝐺))

Proof of Theorem lpvtx

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simp1 1134	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ UHGraph ∧ 𝐽 ∈ dom 𝐼 ∧ (𝐼‘𝐽) = {𝐴}) → 𝐺 ∈ UHGraph)
2		lpvtx.i	. . . . . . 7 ⊢ 𝐼 = (iEdg‘𝐺)
3	2	uhgrfun 27339	. . . . . 6 ⊢ (𝐺 ∈ UHGraph → Fun 𝐼)
4	3	funfnd 6449	. . . . 5 ⊢ (𝐺 ∈ UHGraph → 𝐼 Fn dom 𝐼)
5	4	3ad2ant1 1131	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ UHGraph ∧ 𝐽 ∈ dom 𝐼 ∧ (𝐼‘𝐽) = {𝐴}) → 𝐼 Fn dom 𝐼)
6		simp2 1135	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ UHGraph ∧ 𝐽 ∈ dom 𝐼 ∧ (𝐼‘𝐽) = {𝐴}) → 𝐽 ∈ dom 𝐼)
7	2	uhgrn0 27340	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ UHGraph ∧ 𝐼 Fn dom 𝐼 ∧ 𝐽 ∈ dom 𝐼) → (𝐼‘𝐽) ≠ ∅)
8	1, 5, 6, 7	syl3anc 1369	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ UHGraph ∧ 𝐽 ∈ dom 𝐼 ∧ (𝐼‘𝐽) = {𝐴}) → (𝐼‘𝐽) ≠ ∅)
9		neeq1 3005	. . . . 5 ⊢ ((𝐼‘𝐽) = {𝐴} → ((𝐼‘𝐽) ≠ ∅ ↔ {𝐴} ≠ ∅))
10	9	biimpd 228	. . . 4 ⊢ ((𝐼‘𝐽) = {𝐴} → ((𝐼‘𝐽) ≠ ∅ → {𝐴} ≠ ∅))
11	10	3ad2ant3 1133	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ UHGraph ∧ 𝐽 ∈ dom 𝐼 ∧ (𝐼‘𝐽) = {𝐴}) → ((𝐼‘𝐽) ≠ ∅ → {𝐴} ≠ ∅))
12	8, 11	mpd 15	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ UHGraph ∧ 𝐽 ∈ dom 𝐼 ∧ (𝐼‘𝐽) = {𝐴}) → {𝐴} ≠ ∅)
13		eqid 2738	. . . . . 6 ⊢ (Vtx‘𝐺) = (Vtx‘𝐺)
14	13, 2	uhgrss 27337	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ UHGraph ∧ 𝐽 ∈ dom 𝐼) → (𝐼‘𝐽) ⊆ (Vtx‘𝐺))
15	14	3adant3 1130	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ UHGraph ∧ 𝐽 ∈ dom 𝐼 ∧ (𝐼‘𝐽) = {𝐴}) → (𝐼‘𝐽) ⊆ (Vtx‘𝐺))
16		sseq1 3942	. . . . 5 ⊢ ((𝐼‘𝐽) = {𝐴} → ((𝐼‘𝐽) ⊆ (Vtx‘𝐺) ↔ {𝐴} ⊆ (Vtx‘𝐺)))
17	16	3ad2ant3 1133	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ UHGraph ∧ 𝐽 ∈ dom 𝐼 ∧ (𝐼‘𝐽) = {𝐴}) → ((𝐼‘𝐽) ⊆ (Vtx‘𝐺) ↔ {𝐴} ⊆ (Vtx‘𝐺)))
18	15, 17	mpbid 231	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ UHGraph ∧ 𝐽 ∈ dom 𝐼 ∧ (𝐼‘𝐽) = {𝐴}) → {𝐴} ⊆ (Vtx‘𝐺))
19		snnzb 4651	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ V ↔ {𝐴} ≠ ∅)
20		snssg 4715	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ V → (𝐴 ∈ (Vtx‘𝐺) ↔ {𝐴} ⊆ (Vtx‘𝐺)))
21	19, 20	sylbir 234	. . 3 ⊢ ({𝐴} ≠ ∅ → (𝐴 ∈ (Vtx‘𝐺) ↔ {𝐴} ⊆ (Vtx‘𝐺)))
22	18, 21	syl5ibrcom 246	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ UHGraph ∧ 𝐽 ∈ dom 𝐼 ∧ (𝐼‘𝐽) = {𝐴}) → ({𝐴} ≠ ∅ → 𝐴 ∈ (Vtx‘𝐺)))
23	12, 22	mpd 15	1 ⊢ ((𝐺 ∈ UHGraph ∧ 𝐽 ∈ dom 𝐼 ∧ (𝐼‘𝐽) = {𝐴}) → 𝐴 ∈ (Vtx‘𝐺))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ w3a 1085   = wceq 1539   ∈ wcel 2108   ≠ wne 2942  Vcvv 3422   ⊆ wss 3883  ∅c0 4253  {csn 4558  dom cdm 5580   Fn wfn 6413  ‘cfv 6418  Vtxcvtx 27269  iEdgciedg 27270  UHGraphcuhgr 27329

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1799  ax-4 1813  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2156  ax-12 2173  ax-ext 2709  ax-sep 5218  ax-nul 5225  ax-pr 5347

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1784  df-nf 1788  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2817  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-ral 3068  df-rex 3069  df-rab 3072  df-v 3424  df-sbc 3712  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-nul 4254  df-if 4457  df-pw 4532  df-sn 4559  df-pr 4561  df-op 4565  df-uni 4837  df-br 5071  df-opab 5133  df-id 5480  df-xp 5586  df-rel 5587  df-cnv 5588  df-co 5589  df-dm 5590  df-rn 5591  df-iota 6376  df-fun 6420  df-fn 6421  df-f 6422  df-fv 6426  df-uhgr 27331

This theorem is referenced by:  lppthon  28416  lp1cycl  28417