Theorem lpvtx 29418

Description: The endpoints of a loop (which is an edge at index 𝐽) are two (identical) vertices 𝐴. (Contributed by AV, 1-Feb-2021.)

Hypothesis

Ref	Expression
lpvtx.i	⊢ 𝐼 = (iEdg‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
lpvtx	⊢ ((𝐺 ∈ UHGraph ∧ 𝐽 ∈ dom 𝐼 ∧ (𝐼‘𝐽) = {𝐴}) → 𝐴 ∈ (Vtx‘𝐺))

Proof of Theorem lpvtx

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simp1 1154	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ UHGraph ∧ 𝐽 ∈ dom 𝐼 ∧ (𝐼‘𝐽) = {𝐴}) → 𝐺 ∈ UHGraph)
2		lpvtx.i	. . . . . . 7 ⊢ 𝐼 = (iEdg‘𝐺)
3	2	uhgrfun 29416	. . . . . 6 ⊢ (𝐺 ∈ UHGraph → Fun 𝐼)
4	3	funfnd 6567	. . . . 5 ⊢ (𝐺 ∈ UHGraph → 𝐼 Fn dom 𝐼)
5	4	3ad2ant1 1151	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ UHGraph ∧ 𝐽 ∈ dom 𝐼 ∧ (𝐼‘𝐽) = {𝐴}) → 𝐼 Fn dom 𝐼)
6		simp2 1155	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ UHGraph ∧ 𝐽 ∈ dom 𝐼 ∧ (𝐼‘𝐽) = {𝐴}) → 𝐽 ∈ dom 𝐼)
7	2	uhgrn0 29417	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ UHGraph ∧ 𝐼 Fn dom 𝐼 ∧ 𝐽 ∈ dom 𝐼) → (𝐼‘𝐽) ≠ ∅)
8	1, 5, 6, 7	syl3anc 1398	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ UHGraph ∧ 𝐽 ∈ dom 𝐼 ∧ (𝐼‘𝐽) = {𝐴}) → (𝐼‘𝐽) ≠ ∅)
9		neeq1 3020	. . . . 5 ⊢ ((𝐼‘𝐽) = {𝐴} → ((𝐼‘𝐽) ≠ ∅ ↔ {𝐴} ≠ ∅))
10	9	biimpd 232	. . . 4 ⊢ ((𝐼‘𝐽) = {𝐴} → ((𝐼‘𝐽) ≠ ∅ → {𝐴} ≠ ∅))
11	10	3ad2ant3 1153	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ UHGraph ∧ 𝐽 ∈ dom 𝐼 ∧ (𝐼‘𝐽) = {𝐴}) → ((𝐼‘𝐽) ≠ ∅ → {𝐴} ≠ ∅))
12	8, 11	mpd 16	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ UHGraph ∧ 𝐽 ∈ dom 𝐼 ∧ (𝐼‘𝐽) = {𝐴}) → {𝐴} ≠ ∅)
13		eqid 2763	. . . . . 6 ⊢ (Vtx‘𝐺) = (Vtx‘𝐺)
14	13, 2	uhgrss 29414	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ UHGraph ∧ 𝐽 ∈ dom 𝐼) → (𝐼‘𝐽) ⊆ (Vtx‘𝐺))
15	14	3adant3 1150	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ UHGraph ∧ 𝐽 ∈ dom 𝐼 ∧ (𝐼‘𝐽) = {𝐴}) → (𝐼‘𝐽) ⊆ (Vtx‘𝐺))
16		sseq1 3962	. . . . 5 ⊢ ((𝐼‘𝐽) = {𝐴} → ((𝐼‘𝐽) ⊆ (Vtx‘𝐺) ↔ {𝐴} ⊆ (Vtx‘𝐺)))
17	16	3ad2ant3 1153	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ UHGraph ∧ 𝐽 ∈ dom 𝐼 ∧ (𝐼‘𝐽) = {𝐴}) → ((𝐼‘𝐽) ⊆ (Vtx‘𝐺) ↔ {𝐴} ⊆ (Vtx‘𝐺)))
18	15, 17	mpbid 235	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ UHGraph ∧ 𝐽 ∈ dom 𝐼 ∧ (𝐼‘𝐽) = {𝐴}) → {𝐴} ⊆ (Vtx‘𝐺))
19		snnzb 4684	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ V ↔ {𝐴} ≠ ∅)
20		snssg 4749	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ V → (𝐴 ∈ (Vtx‘𝐺) ↔ {𝐴} ⊆ (Vtx‘𝐺)))
21	19, 20	sylbir 238	. . 3 ⊢ ({𝐴} ≠ ∅ → (𝐴 ∈ (Vtx‘𝐺) ↔ {𝐴} ⊆ (Vtx‘𝐺)))
22	18, 21	syl5ibrcom 250	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ UHGraph ∧ 𝐽 ∈ dom 𝐼 ∧ (𝐼‘𝐽) = {𝐴}) → ({𝐴} ≠ ∅ → 𝐴 ∈ (Vtx‘𝐺)))
23	12, 22	mpd 16	1 ⊢ ((𝐺 ∈ UHGraph ∧ 𝐽 ∈ dom 𝐼 ∧ (𝐼‘𝐽) = {𝐴}) → 𝐴 ∈ (Vtx‘𝐺))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2143   ≠ wne 2958  Vcvv 3455   ⊆ wss 3905  ∅c0 4286  {csn 4589  dom cdm 5661   Fn wfn 6531  ‘cfv 6536  Vtxcvtx 29346  iEdgciedg 29347  UHGraphcuhgr 29406

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1825  ax-4 1839  ax-5 1940  ax-6 1997  ax-7 2038  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-sep 5257  ax-nul 5269  ax-pr 5404

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1810  df-nf 1814  df-sb 2097  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-ne 2959  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rab 3417  df-v 3457  df-sbc 3745  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-nul 4287  df-if 4488  df-pw 4564  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-uni 4873  df-br 5110  df-opab 5174  df-id 5556  df-xp 5667  df-rel 5668  df-cnv 5669  df-co 5670  df-dm 5671  df-rn 5672  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-fv 6544  df-uhgr 29408

This theorem is referenced by:  lppthon  30502  lp1cycl  30503