Theorem unielss 42433

Description: Two ways to say the union of a class is an element of a subclass. (Contributed by RP, 29-Jan-2025.)

Assertion

Ref	Expression
unielss	⊢ (𝐴 ⊆ 𝐵 → (∪ 𝐵 ∈ 𝐴 ↔ ∃𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐵 𝑦 ⊆ 𝑥))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴,𝑦   𝑥,𝐵,𝑦

Proof of Theorem unielss

Dummy variable 𝑧 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		uniel 42432	. 2 ⊢ (∪ 𝐵 ∈ 𝐴 ↔ ∃𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑧(𝑧 ∈ 𝑥 ↔ ∃𝑦 ∈ 𝐵 𝑧 ∈ 𝑦))
2		dfss2 3968	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 ⊆ 𝑥 ↔ ∀𝑧(𝑧 ∈ 𝑦 → 𝑧 ∈ 𝑥))
3	2	ralbii 3092	. . . . 5 ⊢ (∀𝑦 ∈ 𝐵 𝑦 ⊆ 𝑥 ↔ ∀𝑦 ∈ 𝐵 ∀𝑧(𝑧 ∈ 𝑦 → 𝑧 ∈ 𝑥))
4		df-ral 3061	. . . . . 6 ⊢ (∀𝑦 ∈ 𝐵 ∀𝑧(𝑧 ∈ 𝑦 → 𝑧 ∈ 𝑥) ↔ ∀𝑦(𝑦 ∈ 𝐵 → ∀𝑧(𝑧 ∈ 𝑦 → 𝑧 ∈ 𝑥)))
5		19.21v 1941	. . . . . . 7 ⊢ (∀𝑧(𝑦 ∈ 𝐵 → (𝑧 ∈ 𝑦 → 𝑧 ∈ 𝑥)) ↔ (𝑦 ∈ 𝐵 → ∀𝑧(𝑧 ∈ 𝑦 → 𝑧 ∈ 𝑥)))
6	5	albii 1820	. . . . . 6 ⊢ (∀𝑦∀𝑧(𝑦 ∈ 𝐵 → (𝑧 ∈ 𝑦 → 𝑧 ∈ 𝑥)) ↔ ∀𝑦(𝑦 ∈ 𝐵 → ∀𝑧(𝑧 ∈ 𝑦 → 𝑧 ∈ 𝑥)))
7		alcom 2155	. . . . . 6 ⊢ (∀𝑦∀𝑧(𝑦 ∈ 𝐵 → (𝑧 ∈ 𝑦 → 𝑧 ∈ 𝑥)) ↔ ∀𝑧∀𝑦(𝑦 ∈ 𝐵 → (𝑧 ∈ 𝑦 → 𝑧 ∈ 𝑥)))
8	4, 6, 7	3bitr2i 299	. . . . 5 ⊢ (∀𝑦 ∈ 𝐵 ∀𝑧(𝑧 ∈ 𝑦 → 𝑧 ∈ 𝑥) ↔ ∀𝑧∀𝑦(𝑦 ∈ 𝐵 → (𝑧 ∈ 𝑦 → 𝑧 ∈ 𝑥)))
9	3, 8	bitri 275	. . . 4 ⊢ (∀𝑦 ∈ 𝐵 𝑦 ⊆ 𝑥 ↔ ∀𝑧∀𝑦(𝑦 ∈ 𝐵 → (𝑧 ∈ 𝑦 → 𝑧 ∈ 𝑥)))
10		ssel2 3977	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝑥 ∈ 𝐵)
11		pm2.27 42	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑧 ∈ 𝑥 → ((𝑧 ∈ 𝑥 → 𝑧 ∈ 𝑥) → 𝑧 ∈ 𝑥))
12		elequ2 2120	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑦 = 𝑥 → (𝑧 ∈ 𝑦 ↔ 𝑧 ∈ 𝑥))
13	12	imbi1d 341	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑦 = 𝑥 → ((𝑧 ∈ 𝑦 → 𝑧 ∈ 𝑥) ↔ (𝑧 ∈ 𝑥 → 𝑧 ∈ 𝑥)))
14	13, 12	imbi12d 344	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑦 = 𝑥 → (((𝑧 ∈ 𝑦 → 𝑧 ∈ 𝑥) → 𝑧 ∈ 𝑦) ↔ ((𝑧 ∈ 𝑥 → 𝑧 ∈ 𝑥) → 𝑧 ∈ 𝑥)))
15	14	rspcev 3612	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐵 ∧ ((𝑧 ∈ 𝑥 → 𝑧 ∈ 𝑥) → 𝑧 ∈ 𝑥)) → ∃𝑦 ∈ 𝐵 ((𝑧 ∈ 𝑦 → 𝑧 ∈ 𝑥) → 𝑧 ∈ 𝑦))
16	10, 11, 15	syl2an 595	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ 𝑧 ∈ 𝑥) → ∃𝑦 ∈ 𝐵 ((𝑧 ∈ 𝑦 → 𝑧 ∈ 𝑥) → 𝑧 ∈ 𝑦))
17		r19.35 3107	. . . . . . . . . 10 ⊢ (∃𝑦 ∈ 𝐵 ((𝑧 ∈ 𝑦 → 𝑧 ∈ 𝑥) → 𝑧 ∈ 𝑦) ↔ (∀𝑦 ∈ 𝐵 (𝑧 ∈ 𝑦 → 𝑧 ∈ 𝑥) → ∃𝑦 ∈ 𝐵 𝑧 ∈ 𝑦))
18		df-ral 3061	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (∀𝑦 ∈ 𝐵 (𝑧 ∈ 𝑦 → 𝑧 ∈ 𝑥) ↔ ∀𝑦(𝑦 ∈ 𝐵 → (𝑧 ∈ 𝑦 → 𝑧 ∈ 𝑥)))
19	18	imbi1i 349	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((∀𝑦 ∈ 𝐵 (𝑧 ∈ 𝑦 → 𝑧 ∈ 𝑥) → ∃𝑦 ∈ 𝐵 𝑧 ∈ 𝑦) ↔ (∀𝑦(𝑦 ∈ 𝐵 → (𝑧 ∈ 𝑦 → 𝑧 ∈ 𝑥)) → ∃𝑦 ∈ 𝐵 𝑧 ∈ 𝑦))
20	17, 19	bitri 275	. . . . . . . . 9 ⊢ (∃𝑦 ∈ 𝐵 ((𝑧 ∈ 𝑦 → 𝑧 ∈ 𝑥) → 𝑧 ∈ 𝑦) ↔ (∀𝑦(𝑦 ∈ 𝐵 → (𝑧 ∈ 𝑦 → 𝑧 ∈ 𝑥)) → ∃𝑦 ∈ 𝐵 𝑧 ∈ 𝑦))
21	16, 20	sylib 217	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ 𝑧 ∈ 𝑥) → (∀𝑦(𝑦 ∈ 𝐵 → (𝑧 ∈ 𝑦 → 𝑧 ∈ 𝑥)) → ∃𝑦 ∈ 𝐵 𝑧 ∈ 𝑦))
22	21	impancom 451	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ ∀𝑦(𝑦 ∈ 𝐵 → (𝑧 ∈ 𝑦 → 𝑧 ∈ 𝑥))) → (𝑧 ∈ 𝑥 → ∃𝑦 ∈ 𝐵 𝑧 ∈ 𝑦))
23		nfv 1916	. . . . . . . . 9 ⊢ Ⅎ𝑦(𝐴 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴)
24		nfa1 2147	. . . . . . . . 9 ⊢ Ⅎ𝑦∀𝑦(𝑦 ∈ 𝐵 → (𝑧 ∈ 𝑦 → 𝑧 ∈ 𝑥))
25	23, 24	nfan 1901	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑦((𝐴 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ ∀𝑦(𝑦 ∈ 𝐵 → (𝑧 ∈ 𝑦 → 𝑧 ∈ 𝑥)))
26		nfv 1916	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑦 𝑧 ∈ 𝑥
27		sp 2175	. . . . . . . . 9 ⊢ (∀𝑦(𝑦 ∈ 𝐵 → (𝑧 ∈ 𝑦 → 𝑧 ∈ 𝑥)) → (𝑦 ∈ 𝐵 → (𝑧 ∈ 𝑦 → 𝑧 ∈ 𝑥)))
28	27	adantl 481	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ ∀𝑦(𝑦 ∈ 𝐵 → (𝑧 ∈ 𝑦 → 𝑧 ∈ 𝑥))) → (𝑦 ∈ 𝐵 → (𝑧 ∈ 𝑦 → 𝑧 ∈ 𝑥)))
29	25, 26, 28	rexlimd 3262	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ ∀𝑦(𝑦 ∈ 𝐵 → (𝑧 ∈ 𝑦 → 𝑧 ∈ 𝑥))) → (∃𝑦 ∈ 𝐵 𝑧 ∈ 𝑦 → 𝑧 ∈ 𝑥))
30	22, 29	impbid 211	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ ∀𝑦(𝑦 ∈ 𝐵 → (𝑧 ∈ 𝑦 → 𝑧 ∈ 𝑥))) → (𝑧 ∈ 𝑥 ↔ ∃𝑦 ∈ 𝐵 𝑧 ∈ 𝑦))
31		rspe 3245	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝑦) → ∃𝑦 ∈ 𝐵 𝑧 ∈ 𝑦)
32	31	ex 412	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 ∈ 𝐵 → (𝑧 ∈ 𝑦 → ∃𝑦 ∈ 𝐵 𝑧 ∈ 𝑦))
33	32	ax-gen 1796	. . . . . . 7 ⊢ ∀𝑦(𝑦 ∈ 𝐵 → (𝑧 ∈ 𝑦 → ∃𝑦 ∈ 𝐵 𝑧 ∈ 𝑦))
34		nfre1 3281	. . . . . . . . . 10 ⊢ Ⅎ𝑦∃𝑦 ∈ 𝐵 𝑧 ∈ 𝑦
35	26, 34	nfbi 1905	. . . . . . . . 9 ⊢ Ⅎ𝑦(𝑧 ∈ 𝑥 ↔ ∃𝑦 ∈ 𝐵 𝑧 ∈ 𝑦)
36		imbi2 348	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑧 ∈ 𝑥 ↔ ∃𝑦 ∈ 𝐵 𝑧 ∈ 𝑦) → ((𝑧 ∈ 𝑦 → 𝑧 ∈ 𝑥) ↔ (𝑧 ∈ 𝑦 → ∃𝑦 ∈ 𝐵 𝑧 ∈ 𝑦)))
37	36	imbi2d 340	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑧 ∈ 𝑥 ↔ ∃𝑦 ∈ 𝐵 𝑧 ∈ 𝑦) → ((𝑦 ∈ 𝐵 → (𝑧 ∈ 𝑦 → 𝑧 ∈ 𝑥)) ↔ (𝑦 ∈ 𝐵 → (𝑧 ∈ 𝑦 → ∃𝑦 ∈ 𝐵 𝑧 ∈ 𝑦))))
38	35, 37	albid 2214	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑧 ∈ 𝑥 ↔ ∃𝑦 ∈ 𝐵 𝑧 ∈ 𝑦) → (∀𝑦(𝑦 ∈ 𝐵 → (𝑧 ∈ 𝑦 → 𝑧 ∈ 𝑥)) ↔ ∀𝑦(𝑦 ∈ 𝐵 → (𝑧 ∈ 𝑦 → ∃𝑦 ∈ 𝐵 𝑧 ∈ 𝑦))))
39	38	adantl 481	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ (𝑧 ∈ 𝑥 ↔ ∃𝑦 ∈ 𝐵 𝑧 ∈ 𝑦)) → (∀𝑦(𝑦 ∈ 𝐵 → (𝑧 ∈ 𝑦 → 𝑧 ∈ 𝑥)) ↔ ∀𝑦(𝑦 ∈ 𝐵 → (𝑧 ∈ 𝑦 → ∃𝑦 ∈ 𝐵 𝑧 ∈ 𝑦))))
40	33, 39	mpbiri 258	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ (𝑧 ∈ 𝑥 ↔ ∃𝑦 ∈ 𝐵 𝑧 ∈ 𝑦)) → ∀𝑦(𝑦 ∈ 𝐵 → (𝑧 ∈ 𝑦 → 𝑧 ∈ 𝑥)))
41	30, 40	impbida 798	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (∀𝑦(𝑦 ∈ 𝐵 → (𝑧 ∈ 𝑦 → 𝑧 ∈ 𝑥)) ↔ (𝑧 ∈ 𝑥 ↔ ∃𝑦 ∈ 𝐵 𝑧 ∈ 𝑦)))
42	41	albidv 1922	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (∀𝑧∀𝑦(𝑦 ∈ 𝐵 → (𝑧 ∈ 𝑦 → 𝑧 ∈ 𝑥)) ↔ ∀𝑧(𝑧 ∈ 𝑥 ↔ ∃𝑦 ∈ 𝐵 𝑧 ∈ 𝑦)))
43	9, 42	bitrid 283	. . 3 ⊢ ((𝐴 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (∀𝑦 ∈ 𝐵 𝑦 ⊆ 𝑥 ↔ ∀𝑧(𝑧 ∈ 𝑥 ↔ ∃𝑦 ∈ 𝐵 𝑧 ∈ 𝑦)))
44	43	rexbidva 3175	. 2 ⊢ (𝐴 ⊆ 𝐵 → (∃𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐵 𝑦 ⊆ 𝑥 ↔ ∃𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑧(𝑧 ∈ 𝑥 ↔ ∃𝑦 ∈ 𝐵 𝑧 ∈ 𝑦)))
45	1, 44	bitr4id 290	1 ⊢ (𝐴 ⊆ 𝐵 → (∪ 𝐵 ∈ 𝐴 ↔ ∃𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐵 𝑦 ⊆ 𝑥))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395  ∀wal 1538   ∈ wcel 2105  ∀wral 3060  ∃wrex 3069   ⊆ wss 3948  ∪ cuni 4908

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2702

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-tru 1543  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-ral 3061  df-rex 3070  df-v 3475  df-in 3955  df-ss 3965  df-uni 4909

This theorem is referenced by:  unielid  42434