Theorem unielss 41900

Description: Two ways to say the union of a class is an element of a subclass. (Contributed by RP, 29-Jan-2025.)

Assertion

Ref	Expression
unielss	⊢ (𝐴 ⊆ 𝐵 → (∪ 𝐵 ∈ 𝐴 ↔ ∃𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐵 𝑦 ⊆ 𝑥))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴,𝑦   𝑥,𝐵,𝑦

Proof of Theorem unielss

Dummy variable 𝑧 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		uniel 41899	. 2 ⊢ (∪ 𝐵 ∈ 𝐴 ↔ ∃𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑧(𝑧 ∈ 𝑥 ↔ ∃𝑦 ∈ 𝐵 𝑧 ∈ 𝑦))
2		dfss2 3967	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 ⊆ 𝑥 ↔ ∀𝑧(𝑧 ∈ 𝑦 → 𝑧 ∈ 𝑥))
3	2	ralbii 3094	. . . . 5 ⊢ (∀𝑦 ∈ 𝐵 𝑦 ⊆ 𝑥 ↔ ∀𝑦 ∈ 𝐵 ∀𝑧(𝑧 ∈ 𝑦 → 𝑧 ∈ 𝑥))
4		df-ral 3063	. . . . . 6 ⊢ (∀𝑦 ∈ 𝐵 ∀𝑧(𝑧 ∈ 𝑦 → 𝑧 ∈ 𝑥) ↔ ∀𝑦(𝑦 ∈ 𝐵 → ∀𝑧(𝑧 ∈ 𝑦 → 𝑧 ∈ 𝑥)))
5		19.21v 1943	. . . . . . 7 ⊢ (∀𝑧(𝑦 ∈ 𝐵 → (𝑧 ∈ 𝑦 → 𝑧 ∈ 𝑥)) ↔ (𝑦 ∈ 𝐵 → ∀𝑧(𝑧 ∈ 𝑦 → 𝑧 ∈ 𝑥)))
6	5	albii 1822	. . . . . 6 ⊢ (∀𝑦∀𝑧(𝑦 ∈ 𝐵 → (𝑧 ∈ 𝑦 → 𝑧 ∈ 𝑥)) ↔ ∀𝑦(𝑦 ∈ 𝐵 → ∀𝑧(𝑧 ∈ 𝑦 → 𝑧 ∈ 𝑥)))
7		alcom 2157	. . . . . 6 ⊢ (∀𝑦∀𝑧(𝑦 ∈ 𝐵 → (𝑧 ∈ 𝑦 → 𝑧 ∈ 𝑥)) ↔ ∀𝑧∀𝑦(𝑦 ∈ 𝐵 → (𝑧 ∈ 𝑦 → 𝑧 ∈ 𝑥)))
8	4, 6, 7	3bitr2i 299	. . . . 5 ⊢ (∀𝑦 ∈ 𝐵 ∀𝑧(𝑧 ∈ 𝑦 → 𝑧 ∈ 𝑥) ↔ ∀𝑧∀𝑦(𝑦 ∈ 𝐵 → (𝑧 ∈ 𝑦 → 𝑧 ∈ 𝑥)))
9	3, 8	bitri 275	. . . 4 ⊢ (∀𝑦 ∈ 𝐵 𝑦 ⊆ 𝑥 ↔ ∀𝑧∀𝑦(𝑦 ∈ 𝐵 → (𝑧 ∈ 𝑦 → 𝑧 ∈ 𝑥)))
10		ssel2 3976	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝑥 ∈ 𝐵)
11		pm2.27 42	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑧 ∈ 𝑥 → ((𝑧 ∈ 𝑥 → 𝑧 ∈ 𝑥) → 𝑧 ∈ 𝑥))
12		elequ2 2122	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑦 = 𝑥 → (𝑧 ∈ 𝑦 ↔ 𝑧 ∈ 𝑥))
13	12	imbi1d 342	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑦 = 𝑥 → ((𝑧 ∈ 𝑦 → 𝑧 ∈ 𝑥) ↔ (𝑧 ∈ 𝑥 → 𝑧 ∈ 𝑥)))
14	13, 12	imbi12d 345	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑦 = 𝑥 → (((𝑧 ∈ 𝑦 → 𝑧 ∈ 𝑥) → 𝑧 ∈ 𝑦) ↔ ((𝑧 ∈ 𝑥 → 𝑧 ∈ 𝑥) → 𝑧 ∈ 𝑥)))
15	14	rspcev 3612	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐵 ∧ ((𝑧 ∈ 𝑥 → 𝑧 ∈ 𝑥) → 𝑧 ∈ 𝑥)) → ∃𝑦 ∈ 𝐵 ((𝑧 ∈ 𝑦 → 𝑧 ∈ 𝑥) → 𝑧 ∈ 𝑦))
16	10, 11, 15	syl2an 597	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ 𝑧 ∈ 𝑥) → ∃𝑦 ∈ 𝐵 ((𝑧 ∈ 𝑦 → 𝑧 ∈ 𝑥) → 𝑧 ∈ 𝑦))
17		r19.35 3109	. . . . . . . . . 10 ⊢ (∃𝑦 ∈ 𝐵 ((𝑧 ∈ 𝑦 → 𝑧 ∈ 𝑥) → 𝑧 ∈ 𝑦) ↔ (∀𝑦 ∈ 𝐵 (𝑧 ∈ 𝑦 → 𝑧 ∈ 𝑥) → ∃𝑦 ∈ 𝐵 𝑧 ∈ 𝑦))
18		df-ral 3063	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (∀𝑦 ∈ 𝐵 (𝑧 ∈ 𝑦 → 𝑧 ∈ 𝑥) ↔ ∀𝑦(𝑦 ∈ 𝐵 → (𝑧 ∈ 𝑦 → 𝑧 ∈ 𝑥)))
19	18	imbi1i 350	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((∀𝑦 ∈ 𝐵 (𝑧 ∈ 𝑦 → 𝑧 ∈ 𝑥) → ∃𝑦 ∈ 𝐵 𝑧 ∈ 𝑦) ↔ (∀𝑦(𝑦 ∈ 𝐵 → (𝑧 ∈ 𝑦 → 𝑧 ∈ 𝑥)) → ∃𝑦 ∈ 𝐵 𝑧 ∈ 𝑦))
20	17, 19	bitri 275	. . . . . . . . 9 ⊢ (∃𝑦 ∈ 𝐵 ((𝑧 ∈ 𝑦 → 𝑧 ∈ 𝑥) → 𝑧 ∈ 𝑦) ↔ (∀𝑦(𝑦 ∈ 𝐵 → (𝑧 ∈ 𝑦 → 𝑧 ∈ 𝑥)) → ∃𝑦 ∈ 𝐵 𝑧 ∈ 𝑦))
21	16, 20	sylib 217	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ 𝑧 ∈ 𝑥) → (∀𝑦(𝑦 ∈ 𝐵 → (𝑧 ∈ 𝑦 → 𝑧 ∈ 𝑥)) → ∃𝑦 ∈ 𝐵 𝑧 ∈ 𝑦))
22	21	impancom 453	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ ∀𝑦(𝑦 ∈ 𝐵 → (𝑧 ∈ 𝑦 → 𝑧 ∈ 𝑥))) → (𝑧 ∈ 𝑥 → ∃𝑦 ∈ 𝐵 𝑧 ∈ 𝑦))
23		nfv 1918	. . . . . . . . 9 ⊢ Ⅎ𝑦(𝐴 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴)
24		nfa1 2149	. . . . . . . . 9 ⊢ Ⅎ𝑦∀𝑦(𝑦 ∈ 𝐵 → (𝑧 ∈ 𝑦 → 𝑧 ∈ 𝑥))
25	23, 24	nfan 1903	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑦((𝐴 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ ∀𝑦(𝑦 ∈ 𝐵 → (𝑧 ∈ 𝑦 → 𝑧 ∈ 𝑥)))
26		nfv 1918	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑦 𝑧 ∈ 𝑥
27		sp 2177	. . . . . . . . 9 ⊢ (∀𝑦(𝑦 ∈ 𝐵 → (𝑧 ∈ 𝑦 → 𝑧 ∈ 𝑥)) → (𝑦 ∈ 𝐵 → (𝑧 ∈ 𝑦 → 𝑧 ∈ 𝑥)))
28	27	adantl 483	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ ∀𝑦(𝑦 ∈ 𝐵 → (𝑧 ∈ 𝑦 → 𝑧 ∈ 𝑥))) → (𝑦 ∈ 𝐵 → (𝑧 ∈ 𝑦 → 𝑧 ∈ 𝑥)))
29	25, 26, 28	rexlimd 3264	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ ∀𝑦(𝑦 ∈ 𝐵 → (𝑧 ∈ 𝑦 → 𝑧 ∈ 𝑥))) → (∃𝑦 ∈ 𝐵 𝑧 ∈ 𝑦 → 𝑧 ∈ 𝑥))
30	22, 29	impbid 211	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ ∀𝑦(𝑦 ∈ 𝐵 → (𝑧 ∈ 𝑦 → 𝑧 ∈ 𝑥))) → (𝑧 ∈ 𝑥 ↔ ∃𝑦 ∈ 𝐵 𝑧 ∈ 𝑦))
31		rspe 3247	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝑦) → ∃𝑦 ∈ 𝐵 𝑧 ∈ 𝑦)
32	31	ex 414	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 ∈ 𝐵 → (𝑧 ∈ 𝑦 → ∃𝑦 ∈ 𝐵 𝑧 ∈ 𝑦))
33	32	ax-gen 1798	. . . . . . 7 ⊢ ∀𝑦(𝑦 ∈ 𝐵 → (𝑧 ∈ 𝑦 → ∃𝑦 ∈ 𝐵 𝑧 ∈ 𝑦))
34		nfre1 3283	. . . . . . . . . 10 ⊢ Ⅎ𝑦∃𝑦 ∈ 𝐵 𝑧 ∈ 𝑦
35	26, 34	nfbi 1907	. . . . . . . . 9 ⊢ Ⅎ𝑦(𝑧 ∈ 𝑥 ↔ ∃𝑦 ∈ 𝐵 𝑧 ∈ 𝑦)
36		imbi2 349	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑧 ∈ 𝑥 ↔ ∃𝑦 ∈ 𝐵 𝑧 ∈ 𝑦) → ((𝑧 ∈ 𝑦 → 𝑧 ∈ 𝑥) ↔ (𝑧 ∈ 𝑦 → ∃𝑦 ∈ 𝐵 𝑧 ∈ 𝑦)))
37	36	imbi2d 341	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑧 ∈ 𝑥 ↔ ∃𝑦 ∈ 𝐵 𝑧 ∈ 𝑦) → ((𝑦 ∈ 𝐵 → (𝑧 ∈ 𝑦 → 𝑧 ∈ 𝑥)) ↔ (𝑦 ∈ 𝐵 → (𝑧 ∈ 𝑦 → ∃𝑦 ∈ 𝐵 𝑧 ∈ 𝑦))))
38	35, 37	albid 2216	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑧 ∈ 𝑥 ↔ ∃𝑦 ∈ 𝐵 𝑧 ∈ 𝑦) → (∀𝑦(𝑦 ∈ 𝐵 → (𝑧 ∈ 𝑦 → 𝑧 ∈ 𝑥)) ↔ ∀𝑦(𝑦 ∈ 𝐵 → (𝑧 ∈ 𝑦 → ∃𝑦 ∈ 𝐵 𝑧 ∈ 𝑦))))
39	38	adantl 483	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ (𝑧 ∈ 𝑥 ↔ ∃𝑦 ∈ 𝐵 𝑧 ∈ 𝑦)) → (∀𝑦(𝑦 ∈ 𝐵 → (𝑧 ∈ 𝑦 → 𝑧 ∈ 𝑥)) ↔ ∀𝑦(𝑦 ∈ 𝐵 → (𝑧 ∈ 𝑦 → ∃𝑦 ∈ 𝐵 𝑧 ∈ 𝑦))))
40	33, 39	mpbiri 258	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ (𝑧 ∈ 𝑥 ↔ ∃𝑦 ∈ 𝐵 𝑧 ∈ 𝑦)) → ∀𝑦(𝑦 ∈ 𝐵 → (𝑧 ∈ 𝑦 → 𝑧 ∈ 𝑥)))
41	30, 40	impbida 800	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (∀𝑦(𝑦 ∈ 𝐵 → (𝑧 ∈ 𝑦 → 𝑧 ∈ 𝑥)) ↔ (𝑧 ∈ 𝑥 ↔ ∃𝑦 ∈ 𝐵 𝑧 ∈ 𝑦)))
42	41	albidv 1924	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (∀𝑧∀𝑦(𝑦 ∈ 𝐵 → (𝑧 ∈ 𝑦 → 𝑧 ∈ 𝑥)) ↔ ∀𝑧(𝑧 ∈ 𝑥 ↔ ∃𝑦 ∈ 𝐵 𝑧 ∈ 𝑦)))
43	9, 42	bitrid 283	. . 3 ⊢ ((𝐴 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (∀𝑦 ∈ 𝐵 𝑦 ⊆ 𝑥 ↔ ∀𝑧(𝑧 ∈ 𝑥 ↔ ∃𝑦 ∈ 𝐵 𝑧 ∈ 𝑦)))
44	43	rexbidva 3177	. 2 ⊢ (𝐴 ⊆ 𝐵 → (∃𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐵 𝑦 ⊆ 𝑥 ↔ ∃𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑧(𝑧 ∈ 𝑥 ↔ ∃𝑦 ∈ 𝐵 𝑧 ∈ 𝑦)))
45	1, 44	bitr4id 290	1 ⊢ (𝐴 ⊆ 𝐵 → (∪ 𝐵 ∈ 𝐴 ↔ ∃𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐵 𝑦 ⊆ 𝑥))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397  ∀wal 1540   ∈ wcel 2107  ∀wral 3062  ∃wrex 3071   ⊆ wss 3947  ∪ cuni 4907

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-tru 1545  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-ral 3063  df-rex 3072  df-v 3477  df-in 3954  df-ss 3964  df-uni 4908

This theorem is referenced by:  unielid  41901