MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  xpexr2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem xpexr2 7857
Description: If a nonempty Cartesian product is a set, so are both of its components. (Contributed by NM, 27-Aug-2006.)
Assertion
Ref Expression
xpexr2 (((𝐴 × 𝐵) ∈ 𝐶 ∧ (𝐴 × 𝐵) ≠ ∅) → (𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V))

Proof of Theorem xpexr2
StepHypRef Expression
1 xpnz 6112 . 2 ((𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐵 ≠ ∅) ↔ (𝐴 × 𝐵) ≠ ∅)
2 dmxp 5885 . . . . . 6 (𝐵 ≠ ∅ → dom (𝐴 × 𝐵) = 𝐴)
32adantl 483 . . . . 5 (((𝐴 × 𝐵) ∈ 𝐶𝐵 ≠ ∅) → dom (𝐴 × 𝐵) = 𝐴)
4 dmexg 7841 . . . . . 6 ((𝐴 × 𝐵) ∈ 𝐶 → dom (𝐴 × 𝐵) ∈ V)
54adantr 482 . . . . 5 (((𝐴 × 𝐵) ∈ 𝐶𝐵 ≠ ∅) → dom (𝐴 × 𝐵) ∈ V)
63, 5eqeltrrd 2835 . . . 4 (((𝐴 × 𝐵) ∈ 𝐶𝐵 ≠ ∅) → 𝐴 ∈ V)
7 rnxp 6123 . . . . . 6 (𝐴 ≠ ∅ → ran (𝐴 × 𝐵) = 𝐵)
87adantl 483 . . . . 5 (((𝐴 × 𝐵) ∈ 𝐶𝐴 ≠ ∅) → ran (𝐴 × 𝐵) = 𝐵)
9 rnexg 7842 . . . . . 6 ((𝐴 × 𝐵) ∈ 𝐶 → ran (𝐴 × 𝐵) ∈ V)
109adantr 482 . . . . 5 (((𝐴 × 𝐵) ∈ 𝐶𝐴 ≠ ∅) → ran (𝐴 × 𝐵) ∈ V)
118, 10eqeltrrd 2835 . . . 4 (((𝐴 × 𝐵) ∈ 𝐶𝐴 ≠ ∅) → 𝐵 ∈ V)
126, 11anim12dan 620 . . 3 (((𝐴 × 𝐵) ∈ 𝐶 ∧ (𝐵 ≠ ∅ ∧ 𝐴 ≠ ∅)) → (𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V))
1312ancom2s 649 . 2 (((𝐴 × 𝐵) ∈ 𝐶 ∧ (𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐵 ≠ ∅)) → (𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V))
141, 13sylan2br 596 1 (((𝐴 × 𝐵) ∈ 𝐶 ∧ (𝐴 × 𝐵) ≠ ∅) → (𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 397   = wceq 1542  wcel 2107  wne 2940  Vcvv 3444  c0 4283   × cxp 5632  dom cdm 5634  ran crn 5635
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5257  ax-nul 5264  ax-pr 5385  ax-un 7673
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rab 3407  df-v 3446  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-nul 4284  df-if 4488  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4867  df-br 5107  df-opab 5169  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-dm 5644  df-rn 5645
This theorem is referenced by:  xpfir  9213  bj-xpnzex  35476
  Copyright terms: Public domain W3C validator