MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  xpexr2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem xpexr2 7904
Description: If a nonempty Cartesian product is a set, so are both of its components. (Contributed by NM, 27-Aug-2006.)
Assertion
Ref Expression
xpexr2 (((𝐴 × 𝐵) ∈ 𝐶 ∧ (𝐴 × 𝐵) ≠ ∅) → (𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V))

Proof of Theorem xpexr2
StepHypRef Expression
1 xpnz 6149 . 2 ((𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐵 ≠ ∅) ↔ (𝐴 × 𝐵) ≠ ∅)
2 dmxp 5919 . . . . . 6 (𝐵 ≠ ∅ → dom (𝐴 × 𝐵) = 𝐴)
32adantl 481 . . . . 5 (((𝐴 × 𝐵) ∈ 𝐶𝐵 ≠ ∅) → dom (𝐴 × 𝐵) = 𝐴)
4 dmexg 7888 . . . . . 6 ((𝐴 × 𝐵) ∈ 𝐶 → dom (𝐴 × 𝐵) ∈ V)
54adantr 480 . . . . 5 (((𝐴 × 𝐵) ∈ 𝐶𝐵 ≠ ∅) → dom (𝐴 × 𝐵) ∈ V)
63, 5eqeltrrd 2826 . . . 4 (((𝐴 × 𝐵) ∈ 𝐶𝐵 ≠ ∅) → 𝐴 ∈ V)
7 rnxp 6160 . . . . . 6 (𝐴 ≠ ∅ → ran (𝐴 × 𝐵) = 𝐵)
87adantl 481 . . . . 5 (((𝐴 × 𝐵) ∈ 𝐶𝐴 ≠ ∅) → ran (𝐴 × 𝐵) = 𝐵)
9 rnexg 7889 . . . . . 6 ((𝐴 × 𝐵) ∈ 𝐶 → ran (𝐴 × 𝐵) ∈ V)
109adantr 480 . . . . 5 (((𝐴 × 𝐵) ∈ 𝐶𝐴 ≠ ∅) → ran (𝐴 × 𝐵) ∈ V)
118, 10eqeltrrd 2826 . . . 4 (((𝐴 × 𝐵) ∈ 𝐶𝐴 ≠ ∅) → 𝐵 ∈ V)
126, 11anim12dan 618 . . 3 (((𝐴 × 𝐵) ∈ 𝐶 ∧ (𝐵 ≠ ∅ ∧ 𝐴 ≠ ∅)) → (𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V))
1312ancom2s 647 . 2 (((𝐴 × 𝐵) ∈ 𝐶 ∧ (𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐵 ≠ ∅)) → (𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V))
141, 13sylan2br 594 1 (((𝐴 × 𝐵) ∈ 𝐶 ∧ (𝐴 × 𝐵) ≠ ∅) → (𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395   = wceq 1533  wcel 2098  wne 2932  Vcvv 3466  c0 4315   × cxp 5665  dom cdm 5667  ran crn 5668
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2695  ax-sep 5290  ax-nul 5297  ax-pr 5418  ax-un 7719
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2526  df-eu 2555  df-clab 2702  df-cleq 2716  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2933  df-ral 3054  df-rex 3063  df-rab 3425  df-v 3468  df-dif 3944  df-un 3946  df-in 3948  df-ss 3958  df-nul 4316  df-if 4522  df-sn 4622  df-pr 4624  df-op 4628  df-uni 4901  df-br 5140  df-opab 5202  df-xp 5673  df-rel 5674  df-cnv 5675  df-dm 5677  df-rn 5678
This theorem is referenced by:  xpfir  9263  bj-xpnzex  36341
  Copyright terms: Public domain W3C validator