MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  xpexr2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem xpexr2 7370
Description: If a nonempty Cartesian product is a set, so are both of its components. (Contributed by NM, 27-Aug-2006.)
Assertion
Ref Expression
xpexr2 (((𝐴 × 𝐵) ∈ 𝐶 ∧ (𝐴 × 𝐵) ≠ ∅) → (𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V))

Proof of Theorem xpexr2
StepHypRef Expression
1 xpnz 5795 . 2 ((𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐵 ≠ ∅) ↔ (𝐴 × 𝐵) ≠ ∅)
2 dmxp 5577 . . . . . 6 (𝐵 ≠ ∅ → dom (𝐴 × 𝐵) = 𝐴)
32adantl 475 . . . . 5 (((𝐴 × 𝐵) ∈ 𝐶𝐵 ≠ ∅) → dom (𝐴 × 𝐵) = 𝐴)
4 dmexg 7359 . . . . . 6 ((𝐴 × 𝐵) ∈ 𝐶 → dom (𝐴 × 𝐵) ∈ V)
54adantr 474 . . . . 5 (((𝐴 × 𝐵) ∈ 𝐶𝐵 ≠ ∅) → dom (𝐴 × 𝐵) ∈ V)
63, 5eqeltrrd 2908 . . . 4 (((𝐴 × 𝐵) ∈ 𝐶𝐵 ≠ ∅) → 𝐴 ∈ V)
7 rnxp 5806 . . . . . 6 (𝐴 ≠ ∅ → ran (𝐴 × 𝐵) = 𝐵)
87adantl 475 . . . . 5 (((𝐴 × 𝐵) ∈ 𝐶𝐴 ≠ ∅) → ran (𝐴 × 𝐵) = 𝐵)
9 rnexg 7360 . . . . . 6 ((𝐴 × 𝐵) ∈ 𝐶 → ran (𝐴 × 𝐵) ∈ V)
109adantr 474 . . . . 5 (((𝐴 × 𝐵) ∈ 𝐶𝐴 ≠ ∅) → ran (𝐴 × 𝐵) ∈ V)
118, 10eqeltrrd 2908 . . . 4 (((𝐴 × 𝐵) ∈ 𝐶𝐴 ≠ ∅) → 𝐵 ∈ V)
126, 11anim12dan 614 . . 3 (((𝐴 × 𝐵) ∈ 𝐶 ∧ (𝐵 ≠ ∅ ∧ 𝐴 ≠ ∅)) → (𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V))
1312ancom2s 642 . 2 (((𝐴 × 𝐵) ∈ 𝐶 ∧ (𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐵 ≠ ∅)) → (𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V))
141, 13sylan2br 590 1 (((𝐴 × 𝐵) ∈ 𝐶 ∧ (𝐴 × 𝐵) ≠ ∅) → (𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 386   = wceq 1658  wcel 2166  wne 3000  Vcvv 3415  c0 4145   × cxp 5341  dom cdm 5343  ran crn 5344
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1896  ax-4 1910  ax-5 2011  ax-6 2077  ax-7 2114  ax-8 2168  ax-9 2175  ax-10 2194  ax-11 2209  ax-12 2222  ax-13 2391  ax-ext 2804  ax-sep 5006  ax-nul 5014  ax-pr 5128  ax-un 7210
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 881  df-3an 1115  df-tru 1662  df-ex 1881  df-nf 1885  df-sb 2070  df-mo 2606  df-eu 2641  df-clab 2813  df-cleq 2819  df-clel 2822  df-nfc 2959  df-ne 3001  df-ral 3123  df-rex 3124  df-rab 3127  df-v 3417  df-dif 3802  df-un 3804  df-in 3806  df-ss 3813  df-nul 4146  df-if 4308  df-sn 4399  df-pr 4401  df-op 4405  df-uni 4660  df-br 4875  df-opab 4937  df-xp 5349  df-rel 5350  df-cnv 5351  df-dm 5353  df-rn 5354
This theorem is referenced by:  xpfir  8452  bj-xpnzex  33469
  Copyright terms: Public domain W3C validator