Theorem xpexr2 7920

Description: If a nonempty Cartesian product is a set, so are both of its components. (Contributed by NM, 27-Aug-2006.)

Assertion

Ref	Expression
xpexr2	⊢ (((𝐴 × 𝐵) ∈ 𝐶 ∧ (𝐴 × 𝐵) ≠ ∅) → (𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V))

Proof of Theorem xpexr2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		xpnz 6149	. 2 ⊢ ((𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐵 ≠ ∅) ↔ (𝐴 × 𝐵) ≠ ∅)
2		dmxp 5911	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 ≠ ∅ → dom (𝐴 × 𝐵) = 𝐴)
3	2	adantl 487	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 × 𝐵) ∈ 𝐶 ∧ 𝐵 ≠ ∅) → dom (𝐴 × 𝐵) = 𝐴)
4		dmexg 7902	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 × 𝐵) ∈ 𝐶 → dom (𝐴 × 𝐵) ∈ V)
5	4	adantr 486	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 × 𝐵) ∈ 𝐶 ∧ 𝐵 ≠ ∅) → dom (𝐴 × 𝐵) ∈ V)
6	3, 5	eqeltrrd 2862	. . . 4 ⊢ (((𝐴 × 𝐵) ∈ 𝐶 ∧ 𝐵 ≠ ∅) → 𝐴 ∈ V)
7		rnxp 6161	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ≠ ∅ → ran (𝐴 × 𝐵) = 𝐵)
8	7	adantl 487	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 × 𝐵) ∈ 𝐶 ∧ 𝐴 ≠ ∅) → ran (𝐴 × 𝐵) = 𝐵)
9		rnexg 7903	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 × 𝐵) ∈ 𝐶 → ran (𝐴 × 𝐵) ∈ V)
10	9	adantr 486	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 × 𝐵) ∈ 𝐶 ∧ 𝐴 ≠ ∅) → ran (𝐴 × 𝐵) ∈ V)
11	8, 10	eqeltrrd 2862	. . . 4 ⊢ (((𝐴 × 𝐵) ∈ 𝐶 ∧ 𝐴 ≠ ∅) → 𝐵 ∈ V)
12	6, 11	anim12dan 631	. . 3 ⊢ (((𝐴 × 𝐵) ∈ 𝐶 ∧ (𝐵 ≠ ∅ ∧ 𝐴 ≠ ∅)) → (𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V))
13	12	ancom2s 663	. 2 ⊢ (((𝐴 × 𝐵) ∈ 𝐶 ∧ (𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐵 ≠ ∅)) → (𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V))
14	1, 13	sylan2br 607	1 ⊢ (((𝐴 × 𝐵) ∈ 𝐶 ∧ (𝐴 × 𝐵) ≠ ∅) → (𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2145   ≠ wne 2956  Vcvv 3451  ∅c0 4279   × cxp 5649  dom cdm 5651  ran crn 5652

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-ext 2733  ax-sep 5249  ax-pr 5391  ax-un 7740

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-sb 2100  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-ne 2957  df-ral 3078  df-rex 3088  df-rab 3414  df-v 3453  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-nul 4280  df-if 4483  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-br 5104  df-opab 5168  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-dm 5661  df-rn 5662

This theorem is used by:  xpfir  9243  bj-xpnzex  37842