Theorem rnexg 7948

Description: The range of a set is a set. Corollary 6.8(3) of [TakeutiZaring] p. 26. Similar to Lemma 3D of [Enderton] p. 41. (Contributed by NM, 31-Mar-1995.)

Assertion

Ref	Expression
rnexg	⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → ran 𝐴 ∈ V)

Proof of Theorem rnexg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		uniexg 7789	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → ∪ 𝐴 ∈ V)
2		uniexg 7789	. 2 ⊢ (∪ 𝐴 ∈ V → ∪ ∪ 𝐴 ∈ V)
3		ssun2 4180	. . . 4 ⊢ ran 𝐴 ⊆ (dom 𝐴 ∪ ran 𝐴)
4		dmrnssfld 5968	. . . 4 ⊢ (dom 𝐴 ∪ ran 𝐴) ⊆ ∪ ∪ 𝐴
5	3, 4	sstri 3922	. . 3 ⊢ ran 𝐴 ⊆ ∪ ∪ 𝐴
6		ssexg 5288	. . 3 ⊢ ((ran 𝐴 ⊆ ∪ ∪ 𝐴 ∧ ∪ ∪ 𝐴 ∈ V) → ran 𝐴 ∈ V)
7	5, 6	mpan 703	. 2 ⊢ (∪ ∪ 𝐴 ∈ V → ran 𝐴 ∈ V)
8	1, 2, 7	3syl 19	1 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → ran 𝐴 ∈ V)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∈ wcel 2147  Vcvv 3454   ⊆ wss 3900   ∪ cun 4152  ∪ cuni 4872  dom cdm 5658  ran crn 5659

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-ext 2735  ax-sep 5255  ax-pr 5398  ax-un 7783

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-sb 2102  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-rab 3417  df-v 3456  df-ss 3901  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4841  df-uni 4873  df-br 5109  df-opab 5174  df-cnv 5666  df-dm 5668  df-rn 5669

This theorem is used by:  rnex  7956  imaexg  7959  rnexd  7961  xpexr  7964  xpexr2  7965  soex  7967  cnvexg  7970  coexg  7975  cofunexg  7995  funrnex  8000  tposexg  8295  iunon  8385  onoviun  8389  tz7.44lem1  8451  tz7.44-3  8454  fopwdom  9142  disjen  9191  domss2  9193  domssex  9195  hartogslem2  9574  ttrclexg  9761  djuexb  10027  dfac12lem2  10262  unirnfdomd  10691  hashimarn  14626  trclexlem  15190  relexp0g  15218  relexpsucnnr  15221  restval  17647  prdsbas  17678  prdsplusg  17679  prdsmulr  17680  prdsvsca  17681  prdshom  17688  sscpwex  18040  sylow1lem4  19866  sylow3lem2  19893  sylow3lem3  19894  lsmvalx  19904  txindislem  24007  xkoptsub  24028  fmfnfmlem3  24330  fmfnfmlem4  24331  ustuqtoplem  24613  ustuqtop0  24614  utopsnneiplem  24621  efabl  26935  efsubm  26936  addsuniflem  28444  sltmuls1  28590  sltmuls2  28591  precsexlem11  28660  perpln1  29242  perpln2  29243  isperp  29244  lmif  29347  islmib  29349  isgrpo  31156  grpoinvfval  31181  grpodivfval  31193  isvcOLD  31238  isnv  31271  abrexexd  33204  acunirnmpt  33351  acunirnmpt2  33352  acunirnmpt2f  33353  fnpreimac  33362  locfinreflem  34583  esumrnmpt2  34811  sxsigon  34936  omssubadd  35043  carsgclctunlem2  35062  pmeasadd  35068  sitgclg  35085  bnj1366  35570  ptrest  38805  elghomlem1OLD  39085  elghomlem2OLD  39086  isrngod  39098  iscringd  39198  xrnresex  39627  dfcnvrefrels2  39806  dfcnvrefrels3  39807  eldisjs7  40139  sticksstones3  43464  lmhmlnmsplit  44355  rclexi  44876  rtrclexlem  44877  trclubgNEW  44879  cnvrcl0  44886  dfrtrcl5  44890  relexpmulg  44971  relexp01min  44974  relexpxpmin  44978  unirnmap  46494  unirnmapsn  46500  ssmapsn  46502  fourierdlem70  47459  fourierdlem71  47460  fourierdlem80  47469  meadjiunlem  47748  omeiunle  47800  fexafv2ex  48563