Theorem rnexg 7832

Description: The range of a set is a set. Corollary 6.8(3) of [TakeutiZaring] p. 26. Similar to Lemma 3D of [Enderton] p. 41. (Contributed by NM, 31-Mar-1995.)

Assertion

Ref	Expression
rnexg	⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → ran 𝐴 ∈ V)

Proof of Theorem rnexg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		uniexg 7673	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → ∪ 𝐴 ∈ V)
2		uniexg 7673	. 2 ⊢ (∪ 𝐴 ∈ V → ∪ ∪ 𝐴 ∈ V)
3		ssun2 4126	. . . 4 ⊢ ran 𝐴 ⊆ (dom 𝐴 ∪ ran 𝐴)
4		dmrnssfld 5912	. . . 4 ⊢ (dom 𝐴 ∪ ran 𝐴) ⊆ ∪ ∪ 𝐴
5	3, 4	sstri 3939	. . 3 ⊢ ran 𝐴 ⊆ ∪ ∪ 𝐴
6		ssexg 5259	. . 3 ⊢ ((ran 𝐴 ⊆ ∪ ∪ 𝐴 ∧ ∪ ∪ 𝐴 ∈ V) → ran 𝐴 ∈ V)
7	5, 6	mpan 690	. 2 ⊢ (∪ ∪ 𝐴 ∈ V → ran 𝐴 ∈ V)
8	1, 2, 7	3syl 18	1 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → ran 𝐴 ∈ V)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2111  Vcvv 3436   ∪ cun 3895   ⊆ wss 3897  ∪ cuni 4856  dom cdm 5614  ran crn 5615

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-ext 2703  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pr 5368  ax-un 7668

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-sb 2068  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-rab 3396  df-v 3438  df-dif 3900  df-un 3902  df-in 3904  df-ss 3914  df-nul 4281  df-if 4473  df-sn 4574  df-pr 4576  df-op 4580  df-uni 4857  df-br 5090  df-opab 5152  df-cnv 5622  df-dm 5624  df-rn 5625

This theorem is referenced by:  rnex  7840  imaexg  7843  rnexd  7845  xpexr  7848  xpexr2  7849  soex  7851  cnvexg  7854  coexg  7859  cofunexg  7881  funrnex  7886  tposexg  8170  iunon  8259  onoviun  8263  tz7.44lem1  8324  tz7.44-3  8327  fopwdom  8998  disjen  9047  domss2  9049  domssex  9051  hartogslem2  9429  ttrclexg  9613  djuexb  9802  dfac12lem2  10036  unirnfdomd  10458  hashimarn  14347  trclexlem  14901  relexp0g  14929  relexpsucnnr  14932  restval  17330  prdsbas  17361  prdsplusg  17362  prdsmulr  17363  prdsvsca  17364  prdshom  17371  sscpwex  17722  sylow1lem4  19513  sylow3lem2  19540  sylow3lem3  19541  lsmvalx  19551  txindislem  23548  xkoptsub  23569  fmfnfmlem3  23871  fmfnfmlem4  23872  ustuqtoplem  24154  ustuqtop0  24155  utopsnneiplem  24162  efabl  26486  efsubm  26487  addsuniflem  27944  ssltmul1  28086  ssltmul2  28087  precsexlem11  28155  perpln1  28688  perpln2  28689  isperp  28690  lmif  28763  islmib  28765  isgrpo  30477  grpoinvfval  30502  grpodivfval  30514  isvcOLD  30559  isnv  30592  abrexexd  32489  acunirnmpt  32641  acunirnmpt2  32642  acunirnmpt2f  32643  fnpreimac  32653  locfinreflem  33853  esumrnmpt2  34081  sxsigon  34205  omssubadd  34313  carsgclctunlem2  34332  pmeasadd  34338  sitgclg  34355  bnj1366  34841  ptrest  37669  elghomlem1OLD  37935  elghomlem2OLD  37936  isrngod  37948  iscringd  38048  xrnresex  38463  dfcnvrefrels2  38630  dfcnvrefrels3  38631  sticksstones3  42251  lmhmlnmsplit  43190  rclexi  43718  rtrclexlem  43719  trclubgNEW  43721  cnvrcl0  43728  dfrtrcl5  43732  relexpmulg  43813  relexp01min  43816  relexpxpmin  43820  unirnmap  45315  unirnmapsn  45321  ssmapsn  45323  fourierdlem70  46284  fourierdlem71  46285  fourierdlem80  46294  meadjiunlem  46573  omeiunle  46625  fexafv2ex  47330