Theorem xpfir 9262

Description: The components of a nonempty finite Cartesian product are finite. (Contributed by Paul Chapman, 11-Apr-2009.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 29-Apr-2015.)

Assertion

Ref	Expression
xpfir	⊢ (((𝐴 × 𝐵) ∈ Fin ∧ (𝐴 × 𝐵) ≠ ∅) → (𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin))

Proof of Theorem xpfir

Step	Hyp	Ref	Expression
1		xpexr2 7906	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 × 𝐵) ∈ Fin ∧ (𝐴 × 𝐵) ≠ ∅) → (𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V))
2	1	simpld 495	. . . 4 ⊢ (((𝐴 × 𝐵) ∈ Fin ∧ (𝐴 × 𝐵) ≠ ∅) → 𝐴 ∈ V)
3	1	simprd 496	. . . 4 ⊢ (((𝐴 × 𝐵) ∈ Fin ∧ (𝐴 × 𝐵) ≠ ∅) → 𝐵 ∈ V)
4		simpr 485	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 × 𝐵) ∈ Fin ∧ (𝐴 × 𝐵) ≠ ∅) → (𝐴 × 𝐵) ≠ ∅)
5		xpnz 6155	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐵 ≠ ∅) ↔ (𝐴 × 𝐵) ≠ ∅)
6	4, 5	sylibr 233	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 × 𝐵) ∈ Fin ∧ (𝐴 × 𝐵) ≠ ∅) → (𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐵 ≠ ∅))
7	6	simprd 496	. . . 4 ⊢ (((𝐴 × 𝐵) ∈ Fin ∧ (𝐴 × 𝐵) ≠ ∅) → 𝐵 ≠ ∅)
8		xpdom3 9066	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V ∧ 𝐵 ≠ ∅) → 𝐴 ≼ (𝐴 × 𝐵))
9	2, 3, 7, 8	syl3anc 1371	. . 3 ⊢ (((𝐴 × 𝐵) ∈ Fin ∧ (𝐴 × 𝐵) ≠ ∅) → 𝐴 ≼ (𝐴 × 𝐵))
10		domfi 9188	. . 3 ⊢ (((𝐴 × 𝐵) ∈ Fin ∧ 𝐴 ≼ (𝐴 × 𝐵)) → 𝐴 ∈ Fin)
11	9, 10	syldan 591	. 2 ⊢ (((𝐴 × 𝐵) ∈ Fin ∧ (𝐴 × 𝐵) ≠ ∅) → 𝐴 ∈ Fin)
12	6	simpld 495	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 × 𝐵) ∈ Fin ∧ (𝐴 × 𝐵) ≠ ∅) → 𝐴 ≠ ∅)
13		xpdom3 9066	. . . . 5 ⊢ ((𝐵 ∈ V ∧ 𝐴 ∈ V ∧ 𝐴 ≠ ∅) → 𝐵 ≼ (𝐵 × 𝐴))
14	3, 2, 12, 13	syl3anc 1371	. . . 4 ⊢ (((𝐴 × 𝐵) ∈ Fin ∧ (𝐴 × 𝐵) ≠ ∅) → 𝐵 ≼ (𝐵 × 𝐴))
15		xpcomeng 9060	. . . . 5 ⊢ ((𝐵 ∈ V ∧ 𝐴 ∈ V) → (𝐵 × 𝐴) ≈ (𝐴 × 𝐵))
16	3, 2, 15	syl2anc 584	. . . 4 ⊢ (((𝐴 × 𝐵) ∈ Fin ∧ (𝐴 × 𝐵) ≠ ∅) → (𝐵 × 𝐴) ≈ (𝐴 × 𝐵))
17		domentr 9005	. . . 4 ⊢ ((𝐵 ≼ (𝐵 × 𝐴) ∧ (𝐵 × 𝐴) ≈ (𝐴 × 𝐵)) → 𝐵 ≼ (𝐴 × 𝐵))
18	14, 16, 17	syl2anc 584	. . 3 ⊢ (((𝐴 × 𝐵) ∈ Fin ∧ (𝐴 × 𝐵) ≠ ∅) → 𝐵 ≼ (𝐴 × 𝐵))
19		domfi 9188	. . 3 ⊢ (((𝐴 × 𝐵) ∈ Fin ∧ 𝐵 ≼ (𝐴 × 𝐵)) → 𝐵 ∈ Fin)
20	18, 19	syldan 591	. 2 ⊢ (((𝐴 × 𝐵) ∈ Fin ∧ (𝐴 × 𝐵) ≠ ∅) → 𝐵 ∈ Fin)
21	11, 20	jca 512	1 ⊢ (((𝐴 × 𝐵) ∈ Fin ∧ (𝐴 × 𝐵) ≠ ∅) → (𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396   ∈ wcel 2106   ≠ wne 2940  Vcvv 3474  ∅c0 4321   class class class wbr 5147   × cxp 5673   ≈ cen 8932   ≼ cdom 8933  Fincfn 8935

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7721

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3777  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-int 4950  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6492  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-om 7852  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-1o 8462  df-er 8699  df-en 8936  df-dom 8937  df-fin 8939

This theorem is referenced by:  hashxpe  32006