Theorem xpfir 9187

Description: The components of a nonempty finite Cartesian product are finite. (Contributed by Paul Chapman, 11-Apr-2009.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 29-Apr-2015.)

Assertion

Ref	Expression
xpfir	⊢ (((𝐴 × 𝐵) ∈ Fin ∧ (𝐴 × 𝐵) ≠ ∅) → (𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin))

Proof of Theorem xpfir

Step	Hyp	Ref	Expression
1		xpexr2 7875	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 × 𝐵) ∈ Fin ∧ (𝐴 × 𝐵) ≠ ∅) → (𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V))
2	1	simpld 494	. . . 4 ⊢ (((𝐴 × 𝐵) ∈ Fin ∧ (𝐴 × 𝐵) ≠ ∅) → 𝐴 ∈ V)
3	1	simprd 495	. . . 4 ⊢ (((𝐴 × 𝐵) ∈ Fin ∧ (𝐴 × 𝐵) ≠ ∅) → 𝐵 ∈ V)
4		simpr 484	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 × 𝐵) ∈ Fin ∧ (𝐴 × 𝐵) ≠ ∅) → (𝐴 × 𝐵) ≠ ∅)
5		xpnz 6120	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐵 ≠ ∅) ↔ (𝐴 × 𝐵) ≠ ∅)
6	4, 5	sylibr 234	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 × 𝐵) ∈ Fin ∧ (𝐴 × 𝐵) ≠ ∅) → (𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐵 ≠ ∅))
7	6	simprd 495	. . . 4 ⊢ (((𝐴 × 𝐵) ∈ Fin ∧ (𝐴 × 𝐵) ≠ ∅) → 𝐵 ≠ ∅)
8		xpdom3 9016	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V ∧ 𝐵 ≠ ∅) → 𝐴 ≼ (𝐴 × 𝐵))
9	2, 3, 7, 8	syl3anc 1373	. . 3 ⊢ (((𝐴 × 𝐵) ∈ Fin ∧ (𝐴 × 𝐵) ≠ ∅) → 𝐴 ≼ (𝐴 × 𝐵))
10		domfi 9130	. . 3 ⊢ (((𝐴 × 𝐵) ∈ Fin ∧ 𝐴 ≼ (𝐴 × 𝐵)) → 𝐴 ∈ Fin)
11	9, 10	syldan 591	. 2 ⊢ (((𝐴 × 𝐵) ∈ Fin ∧ (𝐴 × 𝐵) ≠ ∅) → 𝐴 ∈ Fin)
12	6	simpld 494	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 × 𝐵) ∈ Fin ∧ (𝐴 × 𝐵) ≠ ∅) → 𝐴 ≠ ∅)
13		xpdom3 9016	. . . . 5 ⊢ ((𝐵 ∈ V ∧ 𝐴 ∈ V ∧ 𝐴 ≠ ∅) → 𝐵 ≼ (𝐵 × 𝐴))
14	3, 2, 12, 13	syl3anc 1373	. . . 4 ⊢ (((𝐴 × 𝐵) ∈ Fin ∧ (𝐴 × 𝐵) ≠ ∅) → 𝐵 ≼ (𝐵 × 𝐴))
15		xpcomeng 9010	. . . . 5 ⊢ ((𝐵 ∈ V ∧ 𝐴 ∈ V) → (𝐵 × 𝐴) ≈ (𝐴 × 𝐵))
16	3, 2, 15	syl2anc 584	. . . 4 ⊢ (((𝐴 × 𝐵) ∈ Fin ∧ (𝐴 × 𝐵) ≠ ∅) → (𝐵 × 𝐴) ≈ (𝐴 × 𝐵))
17		domentr 8961	. . . 4 ⊢ ((𝐵 ≼ (𝐵 × 𝐴) ∧ (𝐵 × 𝐴) ≈ (𝐴 × 𝐵)) → 𝐵 ≼ (𝐴 × 𝐵))
18	14, 16, 17	syl2anc 584	. . 3 ⊢ (((𝐴 × 𝐵) ∈ Fin ∧ (𝐴 × 𝐵) ≠ ∅) → 𝐵 ≼ (𝐴 × 𝐵))
19		domfi 9130	. . 3 ⊢ (((𝐴 × 𝐵) ∈ Fin ∧ 𝐵 ≼ (𝐴 × 𝐵)) → 𝐵 ∈ Fin)
20	18, 19	syldan 591	. 2 ⊢ (((𝐴 × 𝐵) ∈ Fin ∧ (𝐴 × 𝐵) ≠ ∅) → 𝐵 ∈ Fin)
21	11, 20	jca 511	1 ⊢ (((𝐴 × 𝐵) ∈ Fin ∧ (𝐴 × 𝐵) ≠ ∅) → (𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∈ wcel 2109   ≠ wne 2925  Vcvv 3444  ∅c0 4292   class class class wbr 5102   × cxp 5629   ≈ cen 8892   ≼ cdom 8893  Fincfn 8895

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5246  ax-nul 5256  ax-pow 5315  ax-pr 5382  ax-un 7691

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-ral 3045  df-rex 3054  df-reu 3352  df-rab 3403  df-v 3446  df-sbc 3751  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3931  df-nul 4293  df-if 4485  df-pw 4561  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-uni 4868  df-int 4907  df-br 5103  df-opab 5165  df-mpt 5184  df-tr 5210  df-id 5526  df-eprel 5531  df-po 5539  df-so 5540  df-fr 5584  df-we 5586  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-ord 6323  df-on 6324  df-lim 6325  df-suc 6326  df-iota 6452  df-fun 6501  df-fn 6502  df-f 6503  df-f1 6504  df-fo 6505  df-f1o 6506  df-fv 6507  df-om 7823  df-1st 7947  df-2nd 7948  df-1o 8411  df-er 8648  df-en 8896  df-dom 8897  df-fin 8899

This theorem is referenced by:  hashxpe  32705