Theorem xpfir 9259

Description: The components of a nonempty finite Cartesian product are finite. (Contributed by Paul Chapman, 11-Apr-2009.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 29-Apr-2015.)

Assertion

Ref	Expression
xpfir	⊢ (((𝐴 × 𝐵) ∈ Fin ∧ (𝐴 × 𝐵) ≠ ∅) → (𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin))

Proof of Theorem xpfir

Step	Hyp	Ref	Expression
1		xpexr2 7931	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 × 𝐵) ∈ Fin ∧ (𝐴 × 𝐵) ≠ ∅) → (𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V))
2	1	simpld 500	. . . 4 ⊢ (((𝐴 × 𝐵) ∈ Fin ∧ (𝐴 × 𝐵) ≠ ∅) → 𝐴 ∈ V)
3	1	simprd 501	. . . 4 ⊢ (((𝐴 × 𝐵) ∈ Fin ∧ (𝐴 × 𝐵) ≠ ∅) → 𝐵 ∈ V)
4		xpnz 6149	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐵 ≠ ∅) ↔ (𝐴 × 𝐵) ≠ ∅)
5	4	bilanri 512	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 × 𝐵) ∈ Fin ∧ (𝐴 × 𝐵) ≠ ∅) → (𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐵 ≠ ∅))
6	5	simprd 501	. . . 4 ⊢ (((𝐴 × 𝐵) ∈ Fin ∧ (𝐴 × 𝐵) ≠ ∅) → 𝐵 ≠ ∅)
7		xpdom3 9094	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V ∧ 𝐵 ≠ ∅) → 𝐴 ≼ (𝐴 × 𝐵))
8	2, 3, 6, 7	syl3anc 1398	. . 3 ⊢ (((𝐴 × 𝐵) ∈ Fin ∧ (𝐴 × 𝐵) ≠ ∅) → 𝐴 ≼ (𝐴 × 𝐵))
9		domfi 9204	. . 3 ⊢ (((𝐴 × 𝐵) ∈ Fin ∧ 𝐴 ≼ (𝐴 × 𝐵)) → 𝐴 ∈ Fin)
10	8, 9	syldan 603	. 2 ⊢ (((𝐴 × 𝐵) ∈ Fin ∧ (𝐴 × 𝐵) ≠ ∅) → 𝐴 ∈ Fin)
11	5	simpld 500	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 × 𝐵) ∈ Fin ∧ (𝐴 × 𝐵) ≠ ∅) → 𝐴 ≠ ∅)
12		xpdom3 9094	. . . . 5 ⊢ ((𝐵 ∈ V ∧ 𝐴 ∈ V ∧ 𝐴 ≠ ∅) → 𝐵 ≼ (𝐵 × 𝐴))
13	3, 2, 11, 12	syl3anc 1398	. . . 4 ⊢ (((𝐴 × 𝐵) ∈ Fin ∧ (𝐴 × 𝐵) ≠ ∅) → 𝐵 ≼ (𝐵 × 𝐴))
14		xpcomeng 9088	. . . . 5 ⊢ ((𝐵 ∈ V ∧ 𝐴 ∈ V) → (𝐵 × 𝐴) ≈ (𝐴 × 𝐵))
15	3, 2, 14	syl2anc 596	. . . 4 ⊢ (((𝐴 × 𝐵) ∈ Fin ∧ (𝐴 × 𝐵) ≠ ∅) → (𝐵 × 𝐴) ≈ (𝐴 × 𝐵))
16		domentr 9040	. . . 4 ⊢ ((𝐵 ≼ (𝐵 × 𝐴) ∧ (𝐵 × 𝐴) ≈ (𝐴 × 𝐵)) → 𝐵 ≼ (𝐴 × 𝐵))
17	13, 15, 16	syl2anc 596	. . 3 ⊢ (((𝐴 × 𝐵) ∈ Fin ∧ (𝐴 × 𝐵) ≠ ∅) → 𝐵 ≼ (𝐴 × 𝐵))
18		domfi 9204	. . 3 ⊢ (((𝐴 × 𝐵) ∈ Fin ∧ 𝐵 ≼ (𝐴 × 𝐵)) → 𝐵 ∈ Fin)
19	17, 18	syldan 603	. 2 ⊢ (((𝐴 × 𝐵) ∈ Fin ∧ (𝐴 × 𝐵) ≠ ∅) → 𝐵 ∈ Fin)
20	10, 19	jca 521	1 ⊢ (((𝐴 × 𝐵) ∈ Fin ∧ (𝐴 × 𝐵) ≠ ∅) → (𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   ∈ wcel 2144   ≠ wne 2955  Vcvv 3450  ∅c0 4278   class class class wbr 5102   × cxp 5648   ≈ cen 8970   ≼ cdom 8971  Fincfn 8973

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7751

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-ral 3077  df-rex 3087  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-ss 3896  df-pss 4014  df-dif 4047  df-in 4091  df-un 4151  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4584  df-pr 4586  df-op 4590  df-uni 4867  df-int 4907  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5545  df-eprel 5550  df-po 5558  df-so 5559  df-fr 5603  df-we 5605  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-rn 5661  df-res 5662  df-ima 5663  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-om 7878  df-1st 8001  df-2nd 8002  df-1o 8476  df-er 8717  df-en 8974  df-dom 8975  df-fin 8977

This theorem is used by:  hashxpe  33399