Theorem 0elfz 10478

Description: 0 is an element of a finite set of sequential nonnegative integers with a nonnegative integer as upper bound. (Contributed by AV, 6-Apr-2018.)

Assertion

Ref	Expression
0elfz	|- ( N e. NN0 -> 0 e. ( 0 ... N ) )

Proof of Theorem 0elfz

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0nn0 9532	. . 3 |- 0 e. NN0
2	1	a1i 9	. 2 |- ( N e. NN0 -> 0 e. NN0 )
3		id 19	. 2 |- ( N e. NN0 -> N e. NN0 )
4		nn0ge0 9542	. 2 |- ( N e. NN0 -> 0 <_ N )
5		elfz2nn0 10472	. 2 |- ( 0 e. ( 0 ... N ) <-> ( 0 e. NN0 /\ N e. NN0 /\ 0 <_ N ) )
6	2, 3, 4, 5	syl3anbrc 1208	1 |- ( N e. NN0 -> 0 e. ( 0 ... N ) )

Syntax hints:   -> wi 4   e. wcel 2205   class class class wbr 4115  (class class class)co 6059   0cc0 8144   <_ cle 8326   NN0cn0 9517   ...cfz 10365

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2207  ax-14 2208  ax-ext 2216  ax-sep 4234  ax-pow 4293  ax-pr 4328  ax-un 4560  ax-setind 4665  ax-cnex 8235  ax-resscn 8236  ax-1cn 8237  ax-1re 8238  ax-icn 8239  ax-addcl 8240  ax-addrcl 8241  ax-mulcl 8242  ax-addcom 8244  ax-addass 8246  ax-distr 8248  ax-i2m1 8249  ax-0lt1 8250  ax-0id 8252  ax-rnegex 8253  ax-cnre 8255  ax-pre-ltirr 8256  ax-pre-ltwlin 8257  ax-pre-lttrn 8258  ax-pre-ltadd 8260

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2085  df-mo 2086  df-clab 2221  df-cleq 2227  df-clel 2230  df-nfc 2375  df-ne 2415  df-nel 2510  df-ral 2527  df-rex 2528  df-reu 2529  df-rab 2531  df-v 2817  df-sbc 3046  df-dif 3216  df-un 3218  df-in 3220  df-ss 3227  df-pw 3677  df-sn 3701  df-pr 3702  df-op 3704  df-uni 3921  df-int 3956  df-br 4116  df-opab 4178  df-mpt 4179  df-id 4420  df-xp 4761  df-rel 4762  df-cnv 4763  df-co 4764  df-dm 4765  df-rn 4766  df-res 4767  df-ima 4768  df-iota 5318  df-fun 5360  df-fn 5361  df-f 5362  df-fv 5366  df-riota 6012  df-ov 6062  df-oprab 6063  df-mpo 6064  df-pnf 8327  df-mnf 8328  df-xr 8329  df-ltxr 8330  df-le 8331  df-sub 8464  df-neg 8465  df-inn 9259  df-n0 9518  df-z 9599  df-uz 9876  df-fz 10366

This theorem is referenced by:  bcn0  11146  pfxmpt  11401  pfxfv  11405  pfxswrd  11427  swrdpfx  11428  pfxpfx  11429  pfxccatpfx1  11457  pfxccatpfx2  11458  wlkepvtx  16501  konigsbergiedgwen  16610  konigsberglem1  16614  konigsberglem2  16615  konigsberglem3  16616  konigsberglem4  16617