Theorem elfz2nn0 10014

Description: Membership in a finite set of sequential nonnegative integers. (Contributed by NM, 16-Sep-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 28-Apr-2015.)

Assertion

Ref	Expression
elfz2nn0	|- ( K e. ( 0 ... N ) <-> ( K e. NN0 /\ N e. NN0 /\ K <_ N ) )

Proof of Theorem elfz2nn0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elnn0uz 9476	. . . 4 |- ( K e. NN0 <-> K e. ( ZZ>= ` 0 ) )
2	1	anbi1i 454	. . 3 |- ( ( K e. NN0 /\ N e. ( ZZ>= ` K ) ) <-> ( K e. ( ZZ>= ` 0 ) /\ N e. ( ZZ>= ` K ) ) )
3		eluznn0 9510	. . . . . 6 |- ( ( K e. NN0 /\ N e. ( ZZ>= ` K ) ) -> N e. NN0 )
4		eluzle 9451	. . . . . . 7 |- ( N e. ( ZZ>= ` K ) -> K <_ N )
5	4	adantl 275	. . . . . 6 |- ( ( K e. NN0 /\ N e. ( ZZ>= ` K ) ) -> K <_ N )
6	3, 5	jca 304	. . . . 5 |- ( ( K e. NN0 /\ N e. ( ZZ>= ` K ) ) -> ( N e. NN0 /\ K <_ N ) )
7		nn0z 9187	. . . . . . . 8 |- ( K e. NN0 -> K e. ZZ )
8		nn0z 9187	. . . . . . . 8 |- ( N e. NN0 -> N e. ZZ )
9		eluz 9452	. . . . . . . 8 |- ( ( K e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( N e. ( ZZ>= ` K ) <-> K <_ N ) )
10	7, 8, 9	syl2an 287	. . . . . . 7 |- ( ( K e. NN0 /\ N e. NN0 ) -> ( N e. ( ZZ>= ` K ) <-> K <_ N ) )
11	10	biimprd 157	. . . . . 6 |- ( ( K e. NN0 /\ N e. NN0 ) -> ( K <_ N -> N e. ( ZZ>= ` K ) ) )
12	11	impr 377	. . . . 5 |- ( ( K e. NN0 /\ ( N e. NN0 /\ K <_ N ) ) -> N e. ( ZZ>= ` K ) )
13	6, 12	impbida 586	. . . 4 |- ( K e. NN0 -> ( N e. ( ZZ>= ` K ) <-> ( N e. NN0 /\ K <_ N ) ) )
14	13	pm5.32i 450	. . 3 |- ( ( K e. NN0 /\ N e. ( ZZ>= ` K ) ) <-> ( K e. NN0 /\ ( N e. NN0 /\ K <_ N ) ) )
15	2, 14	bitr3i 185	. 2 |- ( ( K e. ( ZZ>= ` 0 ) /\ N e. ( ZZ>= ` K ) ) <-> ( K e. NN0 /\ ( N e. NN0 /\ K <_ N ) ) )
16		elfzuzb 9922	. 2 |- ( K e. ( 0 ... N ) <-> ( K e. ( ZZ>= ` 0 ) /\ N e. ( ZZ>= ` K ) ) )
17		3anass 967	. 2 |- ( ( K e. NN0 /\ N e. NN0 /\ K <_ N ) <-> ( K e. NN0 /\ ( N e. NN0 /\ K <_ N ) ) )
18	15, 16, 17	3bitr4i 211	1 |- ( K e. ( 0 ... N ) <-> ( K e. NN0 /\ N e. NN0 /\ K <_ N ) )

Syntax hints:   /\ wa 103   <-> wb 104   /\ w3a 963   e. wcel 2128   class class class wbr 3965   ` cfv 5170  (class class class)co 5824   0cc0 7732   <_ cle 7913   NN0cn0 9090   ZZcz 9167   ZZ>=cuz 9439   ...cfz 9912

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1427  ax-7 1428  ax-gen 1429  ax-ie1 1473  ax-ie2 1474  ax-8 1484  ax-10 1485  ax-11 1486  ax-i12 1487  ax-bndl 1489  ax-4 1490  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-13 2130  ax-14 2131  ax-ext 2139  ax-sep 4082  ax-pow 4135  ax-pr 4169  ax-un 4393  ax-setind 4496  ax-cnex 7823  ax-resscn 7824  ax-1cn 7825  ax-1re 7826  ax-icn 7827  ax-addcl 7828  ax-addrcl 7829  ax-mulcl 7830  ax-addcom 7832  ax-addass 7834  ax-distr 7836  ax-i2m1 7837  ax-0lt1 7838  ax-0id 7840  ax-rnegex 7841  ax-cnre 7843  ax-pre-ltirr 7844  ax-pre-ltwlin 7845  ax-pre-lttrn 7846  ax-pre-ltadd 7848

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 964  df-3an 965  df-tru 1338  df-fal 1341  df-nf 1441  df-sb 1743  df-eu 2009  df-mo 2010  df-clab 2144  df-cleq 2150  df-clel 2153  df-nfc 2288  df-ne 2328  df-nel 2423  df-ral 2440  df-rex 2441  df-reu 2442  df-rab 2444  df-v 2714  df-sbc 2938  df-dif 3104  df-un 3106  df-in 3108  df-ss 3115  df-pw 3545  df-sn 3566  df-pr 3567  df-op 3569  df-uni 3773  df-int 3808  df-br 3966  df-opab 4026  df-mpt 4027  df-id 4253  df-xp 4592  df-rel 4593  df-cnv 4594  df-co 4595  df-dm 4596  df-rn 4597  df-res 4598  df-ima 4599  df-iota 5135  df-fun 5172  df-fn 5173  df-f 5174  df-fv 5178  df-riota 5780  df-ov 5827  df-oprab 5828  df-mpo 5829  df-pnf 7914  df-mnf 7915  df-xr 7916  df-ltxr 7917  df-le 7918  df-sub 8048  df-neg 8049  df-inn 8834  df-n0 9091  df-z 9168  df-uz 9440  df-fz 9913

This theorem is referenced by:  elfznn0  10016  elfz3nn0  10017  0elfz  10020  elfz0ubfz0  10024  elfz0fzfz0  10025  fz0fzelfz0  10026  uzsubfz0  10028  fz0fzdiffz0  10029  elfzmlbm  10030  elfzmlbp  10031  difelfzle  10033  difelfznle  10034  fzofzim  10087  elfzodifsumelfzo  10100  elfzom1elp1fzo  10101  fzo0to42pr  10119  fzo0sn0fzo1  10120  fvinim0ffz  10140  1elfz0hash  10680