Theorem elfz2nn0 10502

Description: Membership in a finite set of sequential nonnegative integers. (Contributed by NM, 16-Sep-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 28-Apr-2015.)

Assertion

Ref	Expression
elfz2nn0	|- ( K e. ( 0 ... N ) <-> ( K e. NN0 /\ N e. NN0 /\ K <_ N ) )

Proof of Theorem elfz2nn0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elnn0uz 9943	. . . 4 |- ( K e. NN0 <-> K e. ( ZZ>= ` 0 ) )
2	1	anbi1i 462	. . 3 |- ( ( K e. NN0 /\ N e. ( ZZ>= ` K ) ) <-> ( K e. ( ZZ>= ` 0 ) /\ N e. ( ZZ>= ` K ) ) )
3		eluznn0 9982	. . . . . 6 |- ( ( K e. NN0 /\ N e. ( ZZ>= ` K ) ) -> N e. NN0 )
4		eluzle 9917	. . . . . . 7 |- ( N e. ( ZZ>= ` K ) -> K <_ N )
5	4	adantl 277	. . . . . 6 |- ( ( K e. NN0 /\ N e. ( ZZ>= ` K ) ) -> K <_ N )
6	3, 5	jca 306	. . . . 5 |- ( ( K e. NN0 /\ N e. ( ZZ>= ` K ) ) -> ( N e. NN0 /\ K <_ N ) )
7		nn0z 9647	. . . . . . . 8 |- ( K e. NN0 -> K e. ZZ )
8		nn0z 9647	. . . . . . . 8 |- ( N e. NN0 -> N e. ZZ )
9		eluz 9918	. . . . . . . 8 |- ( ( K e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( N e. ( ZZ>= ` K ) <-> K <_ N ) )
10	7, 8, 9	syl2an 289	. . . . . . 7 |- ( ( K e. NN0 /\ N e. NN0 ) -> ( N e. ( ZZ>= ` K ) <-> K <_ N ) )
11	10	biimprd 158	. . . . . 6 |- ( ( K e. NN0 /\ N e. NN0 ) -> ( K <_ N -> N e. ( ZZ>= ` K ) ) )
12	11	impr 379	. . . . 5 |- ( ( K e. NN0 /\ ( N e. NN0 /\ K <_ N ) ) -> N e. ( ZZ>= ` K ) )
13	6, 12	impbida 604	. . . 4 |- ( K e. NN0 -> ( N e. ( ZZ>= ` K ) <-> ( N e. NN0 /\ K <_ N ) ) )
14	13	pm5.32i 458	. . 3 |- ( ( K e. NN0 /\ N e. ( ZZ>= ` K ) ) <-> ( K e. NN0 /\ ( N e. NN0 /\ K <_ N ) ) )
15	2, 14	bitr3i 186	. 2 |- ( ( K e. ( ZZ>= ` 0 ) /\ N e. ( ZZ>= ` K ) ) <-> ( K e. NN0 /\ ( N e. NN0 /\ K <_ N ) ) )
16		elfzuzb 10405	. 2 |- ( K e. ( 0 ... N ) <-> ( K e. ( ZZ>= ` 0 ) /\ N e. ( ZZ>= ` K ) ) )
17		3anass 1013	. 2 |- ( ( K e. NN0 /\ N e. NN0 /\ K <_ N ) <-> ( K e. NN0 /\ ( N e. NN0 /\ K <_ N ) ) )
18	15, 16, 17	3bitr4i 212	1 |- ( K e. ( 0 ... N ) <-> ( K e. NN0 /\ N e. NN0 /\ K <_ N ) )

This proof depends on syntax axioms:   /\ wa 104   <-> wb 105   /\ w3a 1009   e. wcel 2209   class class class wbr 4128   ` cfv 5375  (class class class)co 6079   0cc0 8173   <_ cle 8355   NN0cn0 9546   ZZcz 9627   ZZ>=cuz 9904   ...cfz 10394

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4247  ax-pow 4309  ax-pr 4344  ax-un 4576  ax-setind 4682  ax-cnex 8264  ax-resscn 8265  ax-1cn 8266  ax-1re 8267  ax-icn 8268  ax-addcl 8269  ax-addrcl 8270  ax-mulcl 8271  ax-addcom 8273  ax-addass 8275  ax-distr 8277  ax-i2m1 8278  ax-0lt1 8279  ax-0id 8281  ax-rnegex 8282  ax-cnre 8284  ax-pre-ltirr 8285  ax-pre-ltwlin 8286  ax-pre-lttrn 8287  ax-pre-ltadd 8289

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-pw 3690  df-sn 3714  df-pr 3715  df-op 3717  df-uni 3934  df-int 3969  df-br 4129  df-opab 4191  df-mpt 4192  df-id 4436  df-xp 4778  df-rel 4779  df-cnv 4780  df-co 4781  df-dm 4782  df-rn 4783  df-res 4784  df-ima 4785  df-iota 5335  df-fun 5377  df-fn 5378  df-f 5379  df-fv 5383  df-riota 6032  df-ov 6082  df-oprab 6083  df-mpo 6084  df-pnf 8356  df-mnf 8357  df-xr 8358  df-ltxr 8359  df-le 8360  df-sub 8493  df-neg 8494  df-inn 9288  df-n0 9547  df-z 9628  df-uz 9905  df-fz 10395

This theorem is used by:  elfznn0  10504  elfz3nn0  10505  0elfz  10508  fz0to3un2pr  10513  elfz0ubfz0  10515  elfz0fzfz0  10516  fz0fzelfz0  10517  uzsubfz0  10519  fz0fzdiffz0  10520  elfzmlbm  10521  elfzmlbp  10522  difelfzle  10524  difelfznle  10525  fzofzim  10583  elfzodifsumelfzo  10602  elfzom1elp1fzo  10603  fzo0to42pr  10621  fzo0sn0fzo1  10622  fvinim0ffz  10643  bcm1n  11190  1elfz0hash  11230  swrdlen2  11417  swrdfv2  11418  pfxn0  11443  pfxeq  11451  swrdswrdlem  11459  swrdswrd  11460  swrdccatin1  11480  pfxccatin12lem1  11483  pfxccatin12lem2  11486  pfxccatin12lem3  11487  pfxccatin12  11488  pfxccat3  11489  swrdccat  11490  pfxccat3a  11493  swrdccat3blem  11494  prm23lt5  13025  ballotfilemth  13264  lgsquadlem2  16180  konigsbergiedgwen  16708  konigsberglem1  16712  konigsberglem2  16713  konigsberglem3  16714  konigsberglem4  16715