Theorem elfz2nn0 10409

Description: Membership in a finite set of sequential nonnegative integers. (Contributed by NM, 16-Sep-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 28-Apr-2015.)

Assertion

Ref	Expression
elfz2nn0	|- ( K e. ( 0 ... N ) <-> ( K e. NN0 /\ N e. NN0 /\ K <_ N ) )

Proof of Theorem elfz2nn0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elnn0uz 9855	. . . 4 |- ( K e. NN0 <-> K e. ( ZZ>= ` 0 ) )
2	1	anbi1i 458	. . 3 |- ( ( K e. NN0 /\ N e. ( ZZ>= ` K ) ) <-> ( K e. ( ZZ>= ` 0 ) /\ N e. ( ZZ>= ` K ) ) )
3		eluznn0 9894	. . . . . 6 |- ( ( K e. NN0 /\ N e. ( ZZ>= ` K ) ) -> N e. NN0 )
4		eluzle 9829	. . . . . . 7 |- ( N e. ( ZZ>= ` K ) -> K <_ N )
5	4	adantl 277	. . . . . 6 |- ( ( K e. NN0 /\ N e. ( ZZ>= ` K ) ) -> K <_ N )
6	3, 5	jca 306	. . . . 5 |- ( ( K e. NN0 /\ N e. ( ZZ>= ` K ) ) -> ( N e. NN0 /\ K <_ N ) )
7		nn0z 9560	. . . . . . . 8 |- ( K e. NN0 -> K e. ZZ )
8		nn0z 9560	. . . . . . . 8 |- ( N e. NN0 -> N e. ZZ )
9		eluz 9830	. . . . . . . 8 |- ( ( K e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( N e. ( ZZ>= ` K ) <-> K <_ N ) )
10	7, 8, 9	syl2an 289	. . . . . . 7 |- ( ( K e. NN0 /\ N e. NN0 ) -> ( N e. ( ZZ>= ` K ) <-> K <_ N ) )
11	10	biimprd 158	. . . . . 6 |- ( ( K e. NN0 /\ N e. NN0 ) -> ( K <_ N -> N e. ( ZZ>= ` K ) ) )
12	11	impr 379	. . . . 5 |- ( ( K e. NN0 /\ ( N e. NN0 /\ K <_ N ) ) -> N e. ( ZZ>= ` K ) )
13	6, 12	impbida 600	. . . 4 |- ( K e. NN0 -> ( N e. ( ZZ>= ` K ) <-> ( N e. NN0 /\ K <_ N ) ) )
14	13	pm5.32i 454	. . 3 |- ( ( K e. NN0 /\ N e. ( ZZ>= ` K ) ) <-> ( K e. NN0 /\ ( N e. NN0 /\ K <_ N ) ) )
15	2, 14	bitr3i 186	. 2 |- ( ( K e. ( ZZ>= ` 0 ) /\ N e. ( ZZ>= ` K ) ) <-> ( K e. NN0 /\ ( N e. NN0 /\ K <_ N ) ) )
16		elfzuzb 10316	. 2 |- ( K e. ( 0 ... N ) <-> ( K e. ( ZZ>= ` 0 ) /\ N e. ( ZZ>= ` K ) ) )
17		3anass 1009	. 2 |- ( ( K e. NN0 /\ N e. NN0 /\ K <_ N ) <-> ( K e. NN0 /\ ( N e. NN0 /\ K <_ N ) ) )
18	15, 16, 17	3bitr4i 212	1 |- ( K e. ( 0 ... N ) <-> ( K e. NN0 /\ N e. NN0 /\ K <_ N ) )

Syntax hints:   /\ wa 104   <-> wb 105   /\ w3a 1005   e. wcel 2202   class class class wbr 4093   ` cfv 5333  (class class class)co 6028   0cc0 8092   <_ cle 8274   NN0cn0 9461   ZZcz 9540   ZZ>=cuz 9816   ...cfz 10305

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-sep 4212  ax-pow 4270  ax-pr 4305  ax-un 4536  ax-setind 4641  ax-cnex 8183  ax-resscn 8184  ax-1cn 8185  ax-1re 8186  ax-icn 8187  ax-addcl 8188  ax-addrcl 8189  ax-mulcl 8190  ax-addcom 8192  ax-addass 8194  ax-distr 8196  ax-i2m1 8197  ax-0lt1 8198  ax-0id 8200  ax-rnegex 8201  ax-cnre 8203  ax-pre-ltirr 8204  ax-pre-ltwlin 8205  ax-pre-lttrn 8206  ax-pre-ltadd 8208

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2364  df-ne 2404  df-nel 2499  df-ral 2516  df-rex 2517  df-reu 2518  df-rab 2520  df-v 2805  df-sbc 3033  df-dif 3203  df-un 3205  df-in 3207  df-ss 3214  df-pw 3658  df-sn 3679  df-pr 3680  df-op 3682  df-uni 3899  df-int 3934  df-br 4094  df-opab 4156  df-mpt 4157  df-id 4396  df-xp 4737  df-rel 4738  df-cnv 4739  df-co 4740  df-dm 4741  df-rn 4742  df-res 4743  df-ima 4744  df-iota 5293  df-fun 5335  df-fn 5336  df-f 5337  df-fv 5341  df-riota 5981  df-ov 6031  df-oprab 6032  df-mpo 6033  df-pnf 8275  df-mnf 8276  df-xr 8277  df-ltxr 8278  df-le 8279  df-sub 8411  df-neg 8412  df-inn 9203  df-n0 9462  df-z 9541  df-uz 9817  df-fz 10306

This theorem is referenced by:  elfznn0  10411  elfz3nn0  10412  0elfz  10415  fz0to3un2pr  10420  elfz0ubfz0  10422  elfz0fzfz0  10423  fz0fzelfz0  10424  uzsubfz0  10426  fz0fzdiffz0  10427  elfzmlbm  10428  elfzmlbp  10429  difelfzle  10431  difelfznle  10432  fzofzim  10490  elfzodifsumelfzo  10509  elfzom1elp1fzo  10510  fzo0to42pr  10528  fzo0sn0fzo1  10529  fvinim0ffz  10550  1elfz0hash  11133  swrdlen2  11309  swrdfv2  11310  pfxn0  11335  pfxeq  11343  swrdswrdlem  11351  swrdswrd  11352  swrdccatin1  11372  pfxccatin12lem1  11375  pfxccatin12lem2  11378  pfxccatin12lem3  11379  pfxccatin12  11380  pfxccat3  11381  swrdccat  11382  pfxccat3a  11385  swrdccat3blem  11386  prm23lt5  12916  lgsquadlem2  15897  konigsbergiedgwen  16425  konigsberglem1  16429  konigsberglem2  16430  konigsberglem3  16431  konigsberglem4  16432