Theorem elfz2nn0 10269

Description: Membership in a finite set of sequential nonnegative integers. (Contributed by NM, 16-Sep-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 28-Apr-2015.)

Assertion

Ref	Expression
elfz2nn0	|- ( K e. ( 0 ... N ) <-> ( K e. NN0 /\ N e. NN0 /\ K <_ N ) )

Proof of Theorem elfz2nn0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elnn0uz 9721	. . . 4 |- ( K e. NN0 <-> K e. ( ZZ>= ` 0 ) )
2	1	anbi1i 458	. . 3 |- ( ( K e. NN0 /\ N e. ( ZZ>= ` K ) ) <-> ( K e. ( ZZ>= ` 0 ) /\ N e. ( ZZ>= ` K ) ) )
3		eluznn0 9755	. . . . . 6 |- ( ( K e. NN0 /\ N e. ( ZZ>= ` K ) ) -> N e. NN0 )
4		eluzle 9695	. . . . . . 7 |- ( N e. ( ZZ>= ` K ) -> K <_ N )
5	4	adantl 277	. . . . . 6 |- ( ( K e. NN0 /\ N e. ( ZZ>= ` K ) ) -> K <_ N )
6	3, 5	jca 306	. . . . 5 |- ( ( K e. NN0 /\ N e. ( ZZ>= ` K ) ) -> ( N e. NN0 /\ K <_ N ) )
7		nn0z 9427	. . . . . . . 8 |- ( K e. NN0 -> K e. ZZ )
8		nn0z 9427	. . . . . . . 8 |- ( N e. NN0 -> N e. ZZ )
9		eluz 9696	. . . . . . . 8 |- ( ( K e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( N e. ( ZZ>= ` K ) <-> K <_ N ) )
10	7, 8, 9	syl2an 289	. . . . . . 7 |- ( ( K e. NN0 /\ N e. NN0 ) -> ( N e. ( ZZ>= ` K ) <-> K <_ N ) )
11	10	biimprd 158	. . . . . 6 |- ( ( K e. NN0 /\ N e. NN0 ) -> ( K <_ N -> N e. ( ZZ>= ` K ) ) )
12	11	impr 379	. . . . 5 |- ( ( K e. NN0 /\ ( N e. NN0 /\ K <_ N ) ) -> N e. ( ZZ>= ` K ) )
13	6, 12	impbida 596	. . . 4 |- ( K e. NN0 -> ( N e. ( ZZ>= ` K ) <-> ( N e. NN0 /\ K <_ N ) ) )
14	13	pm5.32i 454	. . 3 |- ( ( K e. NN0 /\ N e. ( ZZ>= ` K ) ) <-> ( K e. NN0 /\ ( N e. NN0 /\ K <_ N ) ) )
15	2, 14	bitr3i 186	. 2 |- ( ( K e. ( ZZ>= ` 0 ) /\ N e. ( ZZ>= ` K ) ) <-> ( K e. NN0 /\ ( N e. NN0 /\ K <_ N ) ) )
16		elfzuzb 10176	. 2 |- ( K e. ( 0 ... N ) <-> ( K e. ( ZZ>= ` 0 ) /\ N e. ( ZZ>= ` K ) ) )
17		3anass 985	. 2 |- ( ( K e. NN0 /\ N e. NN0 /\ K <_ N ) <-> ( K e. NN0 /\ ( N e. NN0 /\ K <_ N ) ) )
18	15, 16, 17	3bitr4i 212	1 |- ( K e. ( 0 ... N ) <-> ( K e. NN0 /\ N e. NN0 /\ K <_ N ) )

Syntax hints:   /\ wa 104   <-> wb 105   /\ w3a 981   e. wcel 2178   class class class wbr 4059   ` cfv 5290  (class class class)co 5967   0cc0 7960   <_ cle 8143   NN0cn0 9330   ZZcz 9407   ZZ>=cuz 9683   ...cfz 10165

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1471  ax-7 1472  ax-gen 1473  ax-ie1 1517  ax-ie2 1518  ax-8 1528  ax-10 1529  ax-11 1530  ax-i12 1531  ax-bndl 1533  ax-4 1534  ax-17 1550  ax-i9 1554  ax-ial 1558  ax-i5r 1559  ax-13 2180  ax-14 2181  ax-ext 2189  ax-sep 4178  ax-pow 4234  ax-pr 4269  ax-un 4498  ax-setind 4603  ax-cnex 8051  ax-resscn 8052  ax-1cn 8053  ax-1re 8054  ax-icn 8055  ax-addcl 8056  ax-addrcl 8057  ax-mulcl 8058  ax-addcom 8060  ax-addass 8062  ax-distr 8064  ax-i2m1 8065  ax-0lt1 8066  ax-0id 8068  ax-rnegex 8069  ax-cnre 8071  ax-pre-ltirr 8072  ax-pre-ltwlin 8073  ax-pre-lttrn 8074  ax-pre-ltadd 8076

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 982  df-3an 983  df-tru 1376  df-fal 1379  df-nf 1485  df-sb 1787  df-eu 2058  df-mo 2059  df-clab 2194  df-cleq 2200  df-clel 2203  df-nfc 2339  df-ne 2379  df-nel 2474  df-ral 2491  df-rex 2492  df-reu 2493  df-rab 2495  df-v 2778  df-sbc 3006  df-dif 3176  df-un 3178  df-in 3180  df-ss 3187  df-pw 3628  df-sn 3649  df-pr 3650  df-op 3652  df-uni 3865  df-int 3900  df-br 4060  df-opab 4122  df-mpt 4123  df-id 4358  df-xp 4699  df-rel 4700  df-cnv 4701  df-co 4702  df-dm 4703  df-rn 4704  df-res 4705  df-ima 4706  df-iota 5251  df-fun 5292  df-fn 5293  df-f 5294  df-fv 5298  df-riota 5922  df-ov 5970  df-oprab 5971  df-mpo 5972  df-pnf 8144  df-mnf 8145  df-xr 8146  df-ltxr 8147  df-le 8148  df-sub 8280  df-neg 8281  df-inn 9072  df-n0 9331  df-z 9408  df-uz 9684  df-fz 10166

This theorem is referenced by:  elfznn0  10271  elfz3nn0  10272  0elfz  10275  fz0to3un2pr  10280  elfz0ubfz0  10282  elfz0fzfz0  10283  fz0fzelfz0  10284  uzsubfz0  10286  fz0fzdiffz0  10287  elfzmlbm  10288  elfzmlbp  10289  difelfzle  10291  difelfznle  10292  fzofzim  10349  elfzodifsumelfzo  10367  elfzom1elp1fzo  10368  fzo0to42pr  10386  fzo0sn0fzo1  10387  fvinim0ffz  10407  1elfz0hash  10988  swrdlen2  11153  swrdfv2  11154  pfxn0  11179  pfxeq  11187  swrdswrdlem  11195  swrdswrd  11196  swrdccatin1  11216  pfxccatin12lem1  11219  pfxccatin12lem2  11222  pfxccatin12lem3  11223  pfxccatin12  11224  pfxccat3  11225  swrdccat  11226  pfxccat3a  11229  swrdccat3blem  11230  prm23lt5  12701  lgsquadlem2  15670