Theorem bcn0 10900

Description: N choose 0 is 1. Remark in [Gleason] p. 296. (Contributed by NM, 17-Jun-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 8-Nov-2013.)

Assertion

Ref	Expression
bcn0	|- ( N e. NN0 -> ( N _C 0 ) = 1 )

Proof of Theorem bcn0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0elfz 10240	. . 3 |- ( N e. NN0 -> 0 e. ( 0 ... N ) )
2		bcval2 10895	. . 3 |- ( 0 e. ( 0 ... N ) -> ( N _C 0 ) = ( ( ! ` N ) / ( ( ! ` ( N - 0 ) ) x. ( ! ` 0 ) ) ) )
3	1, 2	syl 14	. 2 |- ( N e. NN0 -> ( N _C 0 ) = ( ( ! ` N ) / ( ( ! ` ( N - 0 ) ) x. ( ! ` 0 ) ) ) )
4		nn0cn 9305	. . . . . . . 8 |- ( N e. NN0 -> N e. CC )
5	4	subid1d 8372	. . . . . . 7 |- ( N e. NN0 -> ( N - 0 ) = N )
6	5	fveq2d 5580	. . . . . 6 |- ( N e. NN0 -> ( ! ` ( N - 0 ) ) = ( ! ` N ) )
7		fac0 10873	. . . . . 6 |- ( ! ` 0 ) = 1
8		oveq12 5953	. . . . . 6 |- ( ( ( ! ` ( N - 0 ) ) = ( ! ` N ) /\ ( ! ` 0 ) = 1 ) -> ( ( ! ` ( N - 0 ) ) x. ( ! ` 0 ) ) = ( ( ! ` N ) x. 1 ) )
9	6, 7, 8	sylancl 413	. . . . 5 |- ( N e. NN0 -> ( ( ! ` ( N - 0 ) ) x. ( ! ` 0 ) ) = ( ( ! ` N ) x. 1 ) )
10		faccl 10880	. . . . . . 7 |- ( N e. NN0 -> ( ! ` N ) e. NN )
11	10	nncnd 9050	. . . . . 6 |- ( N e. NN0 -> ( ! ` N ) e. CC )
12	11	mulridd 8089	. . . . 5 |- ( N e. NN0 -> ( ( ! ` N ) x. 1 ) = ( ! ` N ) )
13	9, 12	eqtrd 2238	. . . 4 |- ( N e. NN0 -> ( ( ! ` ( N - 0 ) ) x. ( ! ` 0 ) ) = ( ! ` N ) )
14	13	oveq2d 5960	. . 3 |- ( N e. NN0 -> ( ( ! ` N ) / ( ( ! ` ( N - 0 ) ) x. ( ! ` 0 ) ) ) = ( ( ! ` N ) / ( ! ` N ) ) )
15	10	nnap0d 9082	. . . 4 |- ( N e. NN0 -> ( ! ` N ) # 0 )
16	11, 15	dividapd 8859	. . 3 |- ( N e. NN0 -> ( ( ! ` N ) / ( ! ` N ) ) = 1 )
17	14, 16	eqtrd 2238	. 2 |- ( N e. NN0 -> ( ( ! ` N ) / ( ( ! ` ( N - 0 ) ) x. ( ! ` 0 ) ) ) = 1 )
18	3, 17	eqtrd 2238	1 |- ( N e. NN0 -> ( N _C 0 ) = 1 )

Syntax hints:   -> wi 4   = wceq 1373   e. wcel 2176   ` cfv 5271  (class class class)co 5944   0cc0 7925   1c1 7926   x. cmul 7930   - cmin 8243   / cdiv 8745   NN0cn0 9295   ...cfz 10130   !cfa 10870   _C cbc 10892

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1470  ax-7 1471  ax-gen 1472  ax-ie1 1516  ax-ie2 1517  ax-8 1527  ax-10 1528  ax-11 1529  ax-i12 1530  ax-bndl 1532  ax-4 1533  ax-17 1549  ax-i9 1553  ax-ial 1557  ax-i5r 1558  ax-13 2178  ax-14 2179  ax-ext 2187  ax-coll 4159  ax-sep 4162  ax-nul 4170  ax-pow 4218  ax-pr 4253  ax-un 4480  ax-setind 4585  ax-iinf 4636  ax-cnex 8016  ax-resscn 8017  ax-1cn 8018  ax-1re 8019  ax-icn 8020  ax-addcl 8021  ax-addrcl 8022  ax-mulcl 8023  ax-mulrcl 8024  ax-addcom 8025  ax-mulcom 8026  ax-addass 8027  ax-mulass 8028  ax-distr 8029  ax-i2m1 8030  ax-0lt1 8031  ax-1rid 8032  ax-0id 8033  ax-rnegex 8034  ax-precex 8035  ax-cnre 8036  ax-pre-ltirr 8037  ax-pre-ltwlin 8038  ax-pre-lttrn 8039  ax-pre-apti 8040  ax-pre-ltadd 8041  ax-pre-mulgt0 8042  ax-pre-mulext 8043

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 837  df-3or 982  df-3an 983  df-tru 1376  df-fal 1379  df-nf 1484  df-sb 1786  df-eu 2057  df-mo 2058  df-clab 2192  df-cleq 2198  df-clel 2201  df-nfc 2337  df-ne 2377  df-nel 2472  df-ral 2489  df-rex 2490  df-reu 2491  df-rmo 2492  df-rab 2493  df-v 2774  df-sbc 2999  df-csb 3094  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-nul 3461  df-if 3572  df-pw 3618  df-sn 3639  df-pr 3640  df-op 3642  df-uni 3851  df-int 3886  df-iun 3929  df-br 4045  df-opab 4106  df-mpt 4107  df-tr 4143  df-id 4340  df-po 4343  df-iso 4344  df-iord 4413  df-on 4415  df-ilim 4416  df-suc 4418  df-iom 4639  df-xp 4681  df-rel 4682  df-cnv 4683  df-co 4684  df-dm 4685  df-rn 4686  df-res 4687  df-ima 4688  df-iota 5232  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-riota 5899  df-ov 5947  df-oprab 5948  df-mpo 5949  df-1st 6226  df-2nd 6227  df-recs 6391  df-frec 6477  df-pnf 8109  df-mnf 8110  df-xr 8111  df-ltxr 8112  df-le 8113  df-sub 8245  df-neg 8246  df-reap 8648  df-ap 8655  df-div 8746  df-inn 9037  df-n0 9296  df-z 9373  df-uz 9649  df-q 9741  df-fz 10131  df-seqfrec 10593  df-fac 10871  df-bc 10893

This theorem is referenced by:  bcnn  10902  bcpasc  10911  bccl  10912  binom  11795  bcxmas  11800