Theorem bcn0 10388

Description: N choose 0 is 1. Remark in [Gleason] p. 296. (Contributed by NM, 17-Jun-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 8-Nov-2013.)

Assertion

Ref	Expression
bcn0	|- ( N e. NN0 -> ( N _C 0 ) = 1 )

Proof of Theorem bcn0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0elfz 9785	. . 3 |- ( N e. NN0 -> 0 e. ( 0 ... N ) )
2		bcval2 10383	. . 3 |- ( 0 e. ( 0 ... N ) -> ( N _C 0 ) = ( ( ! ` N ) / ( ( ! ` ( N - 0 ) ) x. ( ! ` 0 ) ) ) )
3	1, 2	syl 14	. 2 |- ( N e. NN0 -> ( N _C 0 ) = ( ( ! ` N ) / ( ( ! ` ( N - 0 ) ) x. ( ! ` 0 ) ) ) )
4		nn0cn 8885	. . . . . . . 8 |- ( N e. NN0 -> N e. CC )
5	4	subid1d 7979	. . . . . . 7 |- ( N e. NN0 -> ( N - 0 ) = N )
6	5	fveq2d 5377	. . . . . 6 |- ( N e. NN0 -> ( ! ` ( N - 0 ) ) = ( ! ` N ) )
7		fac0 10361	. . . . . 6 |- ( ! ` 0 ) = 1
8		oveq12 5735	. . . . . 6 |- ( ( ( ! ` ( N - 0 ) ) = ( ! ` N ) /\ ( ! ` 0 ) = 1 ) -> ( ( ! ` ( N - 0 ) ) x. ( ! ` 0 ) ) = ( ( ! ` N ) x. 1 ) )
9	6, 7, 8	sylancl 407	. . . . 5 |- ( N e. NN0 -> ( ( ! ` ( N - 0 ) ) x. ( ! ` 0 ) ) = ( ( ! ` N ) x. 1 ) )
10		faccl 10368	. . . . . . 7 |- ( N e. NN0 -> ( ! ` N ) e. NN )
11	10	nncnd 8638	. . . . . 6 |- ( N e. NN0 -> ( ! ` N ) e. CC )
12	11	mulid1d 7701	. . . . 5 |- ( N e. NN0 -> ( ( ! ` N ) x. 1 ) = ( ! ` N ) )
13	9, 12	eqtrd 2145	. . . 4 |- ( N e. NN0 -> ( ( ! ` ( N - 0 ) ) x. ( ! ` 0 ) ) = ( ! ` N ) )
14	13	oveq2d 5742	. . 3 |- ( N e. NN0 -> ( ( ! ` N ) / ( ( ! ` ( N - 0 ) ) x. ( ! ` 0 ) ) ) = ( ( ! ` N ) / ( ! ` N ) ) )
15	10	nnap0d 8670	. . . 4 |- ( N e. NN0 -> ( ! ` N ) # 0 )
16	11, 15	dividapd 8453	. . 3 |- ( N e. NN0 -> ( ( ! ` N ) / ( ! ` N ) ) = 1 )
17	14, 16	eqtrd 2145	. 2 |- ( N e. NN0 -> ( ( ! ` N ) / ( ( ! ` ( N - 0 ) ) x. ( ! ` 0 ) ) ) = 1 )
18	3, 17	eqtrd 2145	1 |- ( N e. NN0 -> ( N _C 0 ) = 1 )

Syntax hints:   -> wi 4   = wceq 1312   e. wcel 1461   ` cfv 5079  (class class class)co 5726   0cc0 7541   1c1 7542   x. cmul 7546   - cmin 7850   / cdiv 8339   NN0cn0 8875   ...cfz 9677   !cfa 10358   _C cbc 10380

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 586  ax-in2 587  ax-io 681  ax-5 1404  ax-7 1405  ax-gen 1406  ax-ie1 1450  ax-ie2 1451  ax-8 1463  ax-10 1464  ax-11 1465  ax-i12 1466  ax-bndl 1467  ax-4 1468  ax-13 1472  ax-14 1473  ax-17 1487  ax-i9 1491  ax-ial 1495  ax-i5r 1496  ax-ext 2095  ax-coll 4001  ax-sep 4004  ax-nul 4012  ax-pow 4056  ax-pr 4089  ax-un 4313  ax-setind 4410  ax-iinf 4460  ax-cnex 7630  ax-resscn 7631  ax-1cn 7632  ax-1re 7633  ax-icn 7634  ax-addcl 7635  ax-addrcl 7636  ax-mulcl 7637  ax-mulrcl 7638  ax-addcom 7639  ax-mulcom 7640  ax-addass 7641  ax-mulass 7642  ax-distr 7643  ax-i2m1 7644  ax-0lt1 7645  ax-1rid 7646  ax-0id 7647  ax-rnegex 7648  ax-precex 7649  ax-cnre 7650  ax-pre-ltirr 7651  ax-pre-ltwlin 7652  ax-pre-lttrn 7653  ax-pre-apti 7654  ax-pre-ltadd 7655  ax-pre-mulgt0 7656  ax-pre-mulext 7657

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 803  df-3or 944  df-3an 945  df-tru 1315  df-fal 1318  df-nf 1418  df-sb 1717  df-eu 1976  df-mo 1977  df-clab 2100  df-cleq 2106  df-clel 2109  df-nfc 2242  df-ne 2281  df-nel 2376  df-ral 2393  df-rex 2394  df-reu 2395  df-rmo 2396  df-rab 2397  df-v 2657  df-sbc 2877  df-csb 2970  df-dif 3037  df-un 3039  df-in 3041  df-ss 3048  df-nul 3328  df-if 3439  df-pw 3476  df-sn 3497  df-pr 3498  df-op 3500  df-uni 3701  df-int 3736  df-iun 3779  df-br 3894  df-opab 3948  df-mpt 3949  df-tr 3985  df-id 4173  df-po 4176  df-iso 4177  df-iord 4246  df-on 4248  df-ilim 4249  df-suc 4251  df-iom 4463  df-xp 4503  df-rel 4504  df-cnv 4505  df-co 4506  df-dm 4507  df-rn 4508  df-res 4509  df-ima 4510  df-iota 5044  df-fun 5081  df-fn 5082  df-f 5083  df-f1 5084  df-fo 5085  df-f1o 5086  df-fv 5087  df-riota 5682  df-ov 5729  df-oprab 5730  df-mpo 5731  df-1st 5990  df-2nd 5991  df-recs 6154  df-frec 6240  df-pnf 7720  df-mnf 7721  df-xr 7722  df-ltxr 7723  df-le 7724  df-sub 7852  df-neg 7853  df-reap 8249  df-ap 8256  df-div 8340  df-inn 8625  df-n0 8876  df-z 8953  df-uz 9223  df-q 9308  df-fz 9678  df-seqfrec 10106  df-fac 10359  df-bc 10381

This theorem is referenced by:  bcnn  10390  bcpasc  10399  bccl  10400  binom  11139  bcxmas  11144