Theorem bcn0 10767

Description: N choose 0 is 1. Remark in [Gleason] p. 296. (Contributed by NM, 17-Jun-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 8-Nov-2013.)

Assertion

Ref	Expression
bcn0	|- ( N e. NN0 -> ( N _C 0 ) = 1 )

Proof of Theorem bcn0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0elfz 10148	. . 3 |- ( N e. NN0 -> 0 e. ( 0 ... N ) )
2		bcval2 10762	. . 3 |- ( 0 e. ( 0 ... N ) -> ( N _C 0 ) = ( ( ! ` N ) / ( ( ! ` ( N - 0 ) ) x. ( ! ` 0 ) ) ) )
3	1, 2	syl 14	. 2 |- ( N e. NN0 -> ( N _C 0 ) = ( ( ! ` N ) / ( ( ! ` ( N - 0 ) ) x. ( ! ` 0 ) ) ) )
4		nn0cn 9216	. . . . . . . 8 |- ( N e. NN0 -> N e. CC )
5	4	subid1d 8287	. . . . . . 7 |- ( N e. NN0 -> ( N - 0 ) = N )
6	5	fveq2d 5538	. . . . . 6 |- ( N e. NN0 -> ( ! ` ( N - 0 ) ) = ( ! ` N ) )
7		fac0 10740	. . . . . 6 |- ( ! ` 0 ) = 1
8		oveq12 5905	. . . . . 6 |- ( ( ( ! ` ( N - 0 ) ) = ( ! ` N ) /\ ( ! ` 0 ) = 1 ) -> ( ( ! ` ( N - 0 ) ) x. ( ! ` 0 ) ) = ( ( ! ` N ) x. 1 ) )
9	6, 7, 8	sylancl 413	. . . . 5 |- ( N e. NN0 -> ( ( ! ` ( N - 0 ) ) x. ( ! ` 0 ) ) = ( ( ! ` N ) x. 1 ) )
10		faccl 10747	. . . . . . 7 |- ( N e. NN0 -> ( ! ` N ) e. NN )
11	10	nncnd 8963	. . . . . 6 |- ( N e. NN0 -> ( ! ` N ) e. CC )
12	11	mulridd 8004	. . . . 5 |- ( N e. NN0 -> ( ( ! ` N ) x. 1 ) = ( ! ` N ) )
13	9, 12	eqtrd 2222	. . . 4 |- ( N e. NN0 -> ( ( ! ` ( N - 0 ) ) x. ( ! ` 0 ) ) = ( ! ` N ) )
14	13	oveq2d 5912	. . 3 |- ( N e. NN0 -> ( ( ! ` N ) / ( ( ! ` ( N - 0 ) ) x. ( ! ` 0 ) ) ) = ( ( ! ` N ) / ( ! ` N ) ) )
15	10	nnap0d 8995	. . . 4 |- ( N e. NN0 -> ( ! ` N ) # 0 )
16	11, 15	dividapd 8773	. . 3 |- ( N e. NN0 -> ( ( ! ` N ) / ( ! ` N ) ) = 1 )
17	14, 16	eqtrd 2222	. 2 |- ( N e. NN0 -> ( ( ! ` N ) / ( ( ! ` ( N - 0 ) ) x. ( ! ` 0 ) ) ) = 1 )
18	3, 17	eqtrd 2222	1 |- ( N e. NN0 -> ( N _C 0 ) = 1 )

Syntax hints:   -> wi 4   = wceq 1364   e. wcel 2160   ` cfv 5235  (class class class)co 5896   0cc0 7841   1c1 7842   x. cmul 7846   - cmin 8158   / cdiv 8659   NN0cn0 9206   ...cfz 10038   !cfa 10737   _C cbc 10759

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2162  ax-14 2163  ax-ext 2171  ax-coll 4133  ax-sep 4136  ax-nul 4144  ax-pow 4192  ax-pr 4227  ax-un 4451  ax-setind 4554  ax-iinf 4605  ax-cnex 7932  ax-resscn 7933  ax-1cn 7934  ax-1re 7935  ax-icn 7936  ax-addcl 7937  ax-addrcl 7938  ax-mulcl 7939  ax-mulrcl 7940  ax-addcom 7941  ax-mulcom 7942  ax-addass 7943  ax-mulass 7944  ax-distr 7945  ax-i2m1 7946  ax-0lt1 7947  ax-1rid 7948  ax-0id 7949  ax-rnegex 7950  ax-precex 7951  ax-cnre 7952  ax-pre-ltirr 7953  ax-pre-ltwlin 7954  ax-pre-lttrn 7955  ax-pre-apti 7956  ax-pre-ltadd 7957  ax-pre-mulgt0 7958  ax-pre-mulext 7959

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 836  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2041  df-mo 2042  df-clab 2176  df-cleq 2182  df-clel 2185  df-nfc 2321  df-ne 2361  df-nel 2456  df-ral 2473  df-rex 2474  df-reu 2475  df-rmo 2476  df-rab 2477  df-v 2754  df-sbc 2978  df-csb 3073  df-dif 3146  df-un 3148  df-in 3150  df-ss 3157  df-nul 3438  df-if 3550  df-pw 3592  df-sn 3613  df-pr 3614  df-op 3616  df-uni 3825  df-int 3860  df-iun 3903  df-br 4019  df-opab 4080  df-mpt 4081  df-tr 4117  df-id 4311  df-po 4314  df-iso 4315  df-iord 4384  df-on 4386  df-ilim 4387  df-suc 4389  df-iom 4608  df-xp 4650  df-rel 4651  df-cnv 4652  df-co 4653  df-dm 4654  df-rn 4655  df-res 4656  df-ima 4657  df-iota 5196  df-fun 5237  df-fn 5238  df-f 5239  df-f1 5240  df-fo 5241  df-f1o 5242  df-fv 5243  df-riota 5852  df-ov 5899  df-oprab 5900  df-mpo 5901  df-1st 6165  df-2nd 6166  df-recs 6330  df-frec 6416  df-pnf 8024  df-mnf 8025  df-xr 8026  df-ltxr 8027  df-le 8028  df-sub 8160  df-neg 8161  df-reap 8562  df-ap 8569  df-div 8660  df-inn 8950  df-n0 9207  df-z 9284  df-uz 9559  df-q 9650  df-fz 10039  df-seqfrec 10477  df-fac 10738  df-bc 10760

This theorem is referenced by:  bcnn  10769  bcpasc  10778  bccl  10779  binom  11524  bcxmas  11529