Theorem bcn0 10703

Description: N choose 0 is 1. Remark in [Gleason] p. 296. (Contributed by NM, 17-Jun-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 8-Nov-2013.)

Assertion

Ref	Expression
bcn0	|- ( N e. NN0 -> ( N _C 0 ) = 1 )

Proof of Theorem bcn0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0elfz 10088	. . 3 |- ( N e. NN0 -> 0 e. ( 0 ... N ) )
2		bcval2 10698	. . 3 |- ( 0 e. ( 0 ... N ) -> ( N _C 0 ) = ( ( ! ` N ) / ( ( ! ` ( N - 0 ) ) x. ( ! ` 0 ) ) ) )
3	1, 2	syl 14	. 2 |- ( N e. NN0 -> ( N _C 0 ) = ( ( ! ` N ) / ( ( ! ` ( N - 0 ) ) x. ( ! ` 0 ) ) ) )
4		nn0cn 9159	. . . . . . . 8 |- ( N e. NN0 -> N e. CC )
5	4	subid1d 8231	. . . . . . 7 |- ( N e. NN0 -> ( N - 0 ) = N )
6	5	fveq2d 5511	. . . . . 6 |- ( N e. NN0 -> ( ! ` ( N - 0 ) ) = ( ! ` N ) )
7		fac0 10676	. . . . . 6 |- ( ! ` 0 ) = 1
8		oveq12 5874	. . . . . 6 |- ( ( ( ! ` ( N - 0 ) ) = ( ! ` N ) /\ ( ! ` 0 ) = 1 ) -> ( ( ! ` ( N - 0 ) ) x. ( ! ` 0 ) ) = ( ( ! ` N ) x. 1 ) )
9	6, 7, 8	sylancl 413	. . . . 5 |- ( N e. NN0 -> ( ( ! ` ( N - 0 ) ) x. ( ! ` 0 ) ) = ( ( ! ` N ) x. 1 ) )
10		faccl 10683	. . . . . . 7 |- ( N e. NN0 -> ( ! ` N ) e. NN )
11	10	nncnd 8906	. . . . . 6 |- ( N e. NN0 -> ( ! ` N ) e. CC )
12	11	mulid1d 7949	. . . . 5 |- ( N e. NN0 -> ( ( ! ` N ) x. 1 ) = ( ! ` N ) )
13	9, 12	eqtrd 2208	. . . 4 |- ( N e. NN0 -> ( ( ! ` ( N - 0 ) ) x. ( ! ` 0 ) ) = ( ! ` N ) )
14	13	oveq2d 5881	. . 3 |- ( N e. NN0 -> ( ( ! ` N ) / ( ( ! ` ( N - 0 ) ) x. ( ! ` 0 ) ) ) = ( ( ! ` N ) / ( ! ` N ) ) )
15	10	nnap0d 8938	. . . 4 |- ( N e. NN0 -> ( ! ` N ) # 0 )
16	11, 15	dividapd 8716	. . 3 |- ( N e. NN0 -> ( ( ! ` N ) / ( ! ` N ) ) = 1 )
17	14, 16	eqtrd 2208	. 2 |- ( N e. NN0 -> ( ( ! ` N ) / ( ( ! ` ( N - 0 ) ) x. ( ! ` 0 ) ) ) = 1 )
18	3, 17	eqtrd 2208	1 |- ( N e. NN0 -> ( N _C 0 ) = 1 )

Syntax hints:   -> wi 4   = wceq 1353   e. wcel 2146   ` cfv 5208  (class class class)co 5865   0cc0 7786   1c1 7787   x. cmul 7791   - cmin 8102   / cdiv 8602   NN0cn0 9149   ...cfz 9979   !cfa 10673   _C cbc 10695

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1445  ax-7 1446  ax-gen 1447  ax-ie1 1491  ax-ie2 1492  ax-8 1502  ax-10 1503  ax-11 1504  ax-i12 1505  ax-bndl 1507  ax-4 1508  ax-17 1524  ax-i9 1528  ax-ial 1532  ax-i5r 1533  ax-13 2148  ax-14 2149  ax-ext 2157  ax-coll 4113  ax-sep 4116  ax-nul 4124  ax-pow 4169  ax-pr 4203  ax-un 4427  ax-setind 4530  ax-iinf 4581  ax-cnex 7877  ax-resscn 7878  ax-1cn 7879  ax-1re 7880  ax-icn 7881  ax-addcl 7882  ax-addrcl 7883  ax-mulcl 7884  ax-mulrcl 7885  ax-addcom 7886  ax-mulcom 7887  ax-addass 7888  ax-mulass 7889  ax-distr 7890  ax-i2m1 7891  ax-0lt1 7892  ax-1rid 7893  ax-0id 7894  ax-rnegex 7895  ax-precex 7896  ax-cnre 7897  ax-pre-ltirr 7898  ax-pre-ltwlin 7899  ax-pre-lttrn 7900  ax-pre-apti 7901  ax-pre-ltadd 7902  ax-pre-mulgt0 7903  ax-pre-mulext 7904

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 835  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1459  df-sb 1761  df-eu 2027  df-mo 2028  df-clab 2162  df-cleq 2168  df-clel 2171  df-nfc 2306  df-ne 2346  df-nel 2441  df-ral 2458  df-rex 2459  df-reu 2460  df-rmo 2461  df-rab 2462  df-v 2737  df-sbc 2961  df-csb 3056  df-dif 3129  df-un 3131  df-in 3133  df-ss 3140  df-nul 3421  df-if 3533  df-pw 3574  df-sn 3595  df-pr 3596  df-op 3598  df-uni 3806  df-int 3841  df-iun 3884  df-br 3999  df-opab 4060  df-mpt 4061  df-tr 4097  df-id 4287  df-po 4290  df-iso 4291  df-iord 4360  df-on 4362  df-ilim 4363  df-suc 4365  df-iom 4584  df-xp 4626  df-rel 4627  df-cnv 4628  df-co 4629  df-dm 4630  df-rn 4631  df-res 4632  df-ima 4633  df-iota 5170  df-fun 5210  df-fn 5211  df-f 5212  df-f1 5213  df-fo 5214  df-f1o 5215  df-fv 5216  df-riota 5821  df-ov 5868  df-oprab 5869  df-mpo 5870  df-1st 6131  df-2nd 6132  df-recs 6296  df-frec 6382  df-pnf 7968  df-mnf 7969  df-xr 7970  df-ltxr 7971  df-le 7972  df-sub 8104  df-neg 8105  df-reap 8506  df-ap 8513  df-div 8603  df-inn 8893  df-n0 9150  df-z 9227  df-uz 9502  df-q 9593  df-fz 9980  df-seqfrec 10416  df-fac 10674  df-bc 10696

This theorem is referenced by:  bcnn  10705  bcpasc  10714  bccl  10715  binom  11460  bcxmas  11465