Theorem prcdnql 7799

Description: A lower cut is closed downwards under the positive fractions. (Contributed by Jim Kingdon, 28-Sep-2019.)

Assertion

Ref	Expression
prcdnql	|- ( ( <. L , U >. e. P. /\ B e. L ) -> ( C <Q B -> C e. L ) )

Proof of Theorem prcdnql

Dummy variables b c are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ltrelnq 7680	. . . . . 6 |- <Q C_ ( Q. X. Q. )
2	1	brel 4802	. . . . 5 |- ( C <Q B -> ( C e. Q. /\ B e. Q. ) )
3	2	simpld 112	. . . 4 |- ( C <Q B -> C e. Q. )
4	3	adantl 277	. . 3 |- ( ( ( <. L , U >. e. P. /\ B e. L ) /\ C <Q B ) -> C e. Q. )
5		breq1 4112	. . . . . . 7 |- ( c = C -> ( c <Q B <-> C <Q B ) )
6		eleq1 2295	. . . . . . 7 |- ( c = C -> ( c e. L <-> C e. L ) )
7	5, 6	imbi12d 234	. . . . . 6 |- ( c = C -> ( ( c <Q B -> c e. L ) <-> ( C <Q B -> C e. L ) ) )
8	7	imbi2d 230	. . . . 5 |- ( c = C -> ( ( ( <. L , U >. e. P. /\ B e. L ) -> ( c <Q B -> c e. L ) ) <-> ( ( <. L , U >. e. P. /\ B e. L ) -> ( C <Q B -> C e. L ) ) ) )
9	1	brel 4802	. . . . . . . . 9 |- ( c <Q B -> ( c e. Q. /\ B e. Q. ) )
10	9	ancomd 267	. . . . . . . 8 |- ( c <Q B -> ( B e. Q. /\ c e. Q. ) )
11		an42 589	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( B e. Q. /\ c e. Q. ) /\ ( B e. L /\ <. L , U >. e. P. ) ) <-> ( ( B e. Q. /\ B e. L ) /\ ( <. L , U >. e. P. /\ c e. Q. ) ) )
12		breq2 4113	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( b = B -> ( c <Q b <-> c <Q B ) )
13		eleq1 2295	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( b = B -> ( b e. L <-> B e. L ) )
14	12, 13	anbi12d 473	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( b = B -> ( ( c <Q b /\ b e. L ) <-> ( c <Q B /\ B e. L ) ) )
15	14	rspcev 2921	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( B e. Q. /\ ( c <Q B /\ B e. L ) ) -> E. b e. Q. ( c <Q b /\ b e. L ) )
16		elinp 7789	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( <. L , U >. e. P. <-> ( ( ( L C_ Q. /\ U C_ Q. ) /\ ( E. c e. Q. c e. L /\ E. b e. Q. b e. U ) ) /\ ( ( A. c e. Q. ( c e. L <-> E. b e. Q. ( c <Q b /\ b e. L ) ) /\ A. b e. Q. ( b e. U <-> E. c e. Q. ( c <Q b /\ c e. U ) ) ) /\ A. c e. Q. -. ( c e. L /\ c e. U ) /\ A. c e. Q. A. b e. Q. ( c <Q b -> ( c e. L \/ b e. U ) ) ) ) )
17		simpr1l 1081	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( L C_ Q. /\ U C_ Q. ) /\ ( E. c e. Q. c e. L /\ E. b e. Q. b e. U ) ) /\ ( ( A. c e. Q. ( c e. L <-> E. b e. Q. ( c <Q b /\ b e. L ) ) /\ A. b e. Q. ( b e. U <-> E. c e. Q. ( c <Q b /\ c e. U ) ) ) /\ A. c e. Q. -. ( c e. L /\ c e. U ) /\ A. c e. Q. A. b e. Q. ( c <Q b -> ( c e. L \/ b e. U ) ) ) ) -> A. c e. Q. ( c e. L <-> E. b e. Q. ( c <Q b /\ b e. L ) ) )
18	16, 17	sylbi 121	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( <. L , U >. e. P. -> A. c e. Q. ( c e. L <-> E. b e. Q. ( c <Q b /\ b e. L ) ) )
19	18	r19.21bi 2630	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( <. L , U >. e. P. /\ c e. Q. ) -> ( c e. L <-> E. b e. Q. ( c <Q b /\ b e. L ) ) )
20	15, 19	syl5ibrcom 157	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( B e. Q. /\ ( c <Q B /\ B e. L ) ) -> ( ( <. L , U >. e. P. /\ c e. Q. ) -> c e. L ) )
21	20	3impb 1226	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( B e. Q. /\ c <Q B /\ B e. L ) -> ( ( <. L , U >. e. P. /\ c e. Q. ) -> c e. L ) )
22	21	3com12 1234	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( c <Q B /\ B e. Q. /\ B e. L ) -> ( ( <. L , U >. e. P. /\ c e. Q. ) -> c e. L ) )
23	22	3expib 1233	. . . . . . . . . 10 |- ( c <Q B -> ( ( B e. Q. /\ B e. L ) -> ( ( <. L , U >. e. P. /\ c e. Q. ) -> c e. L ) ) )
24	23	impd 254	. . . . . . . . 9 |- ( c <Q B -> ( ( ( B e. Q. /\ B e. L ) /\ ( <. L , U >. e. P. /\ c e. Q. ) ) -> c e. L ) )
25	11, 24	biimtrid 152	. . . . . . . 8 |- ( c <Q B -> ( ( ( B e. Q. /\ c e. Q. ) /\ ( B e. L /\ <. L , U >. e. P. ) ) -> c e. L ) )
26	10, 25	mpand 429	. . . . . . 7 |- ( c <Q B -> ( ( B e. L /\ <. L , U >. e. P. ) -> c e. L ) )
27	26	com12 30	. . . . . 6 |- ( ( B e. L /\ <. L , U >. e. P. ) -> ( c <Q B -> c e. L ) )
28	27	ancoms 268	. . . . 5 |- ( ( <. L , U >. e. P. /\ B e. L ) -> ( c <Q B -> c e. L ) )
29	8, 28	vtoclg 2875	. . . 4 |- ( C e. Q. -> ( ( <. L , U >. e. P. /\ B e. L ) -> ( C <Q B -> C e. L ) ) )
30	29	impd 254	. . 3 |- ( C e. Q. -> ( ( ( <. L , U >. e. P. /\ B e. L ) /\ C <Q B ) -> C e. L ) )
31	4, 30	mpcom 36	. 2 |- ( ( ( <. L , U >. e. P. /\ B e. L ) /\ C <Q B ) -> C e. L )
32	31	ex 115	1 |- ( ( <. L , U >. e. P. /\ B e. L ) -> ( C <Q B -> C e. L ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   \/ wo 716   /\ w3a 1005   = wceq 1398   e. wcel 2203   A.wral 2520   E.wrex 2521   C_ wss 3211   <.cop 3692   class class class wbr 4109   Q.cnq 7595   <Q cltq 7600   P.cnp 7606

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2205  ax-14 2206  ax-ext 2214  ax-coll 4225  ax-sep 4228  ax-pow 4287  ax-pr 4322  ax-un 4554  ax-iinf 4710

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1007  df-tru 1401  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2083  df-mo 2084  df-clab 2219  df-cleq 2225  df-clel 2228  df-nfc 2373  df-ral 2525  df-rex 2526  df-reu 2527  df-rab 2529  df-v 2815  df-sbc 3043  df-csb 3139  df-dif 3213  df-un 3215  df-in 3217  df-ss 3224  df-pw 3671  df-sn 3695  df-pr 3696  df-op 3698  df-uni 3915  df-int 3950  df-iun 3993  df-br 4110  df-opab 4172  df-mpt 4173  df-id 4414  df-iom 4713  df-xp 4755  df-rel 4756  df-cnv 4757  df-co 4758  df-dm 4759  df-rn 4760  df-res 4761  df-ima 4762  df-iota 5312  df-fun 5354  df-fn 5355  df-f 5356  df-f1 5357  df-fo 5358  df-f1o 5359  df-fv 5360  df-qs 6773  df-ni 7619  df-nqqs 7663  df-ltnqqs 7668  df-inp 7781

This theorem is referenced by:  prubl  7801  addnqprllem  7842  nqprl  7866  mulnqprl  7883  distrlem4prl  7899  ltprordil  7904  1idprl  7905  ltpopr  7910  ltaddpr  7912  ltexprlemlol  7917  ltexprlemfl  7924  ltexprlemrl  7925  aptiprleml  7954  aptiprlemu  7955  archrecpr  7979  caucvgprprlemml  8009  suplocexprlemrl  8032  suplocexprlemloc  8036