ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  prcdnql Unicode version

Theorem prcdnql 7256
Description: A lower cut is closed downwards under the positive fractions. (Contributed by Jim Kingdon, 28-Sep-2019.)
Assertion
Ref Expression
prcdnql  |-  ( (
<. L ,  U >.  e. 
P.  /\  B  e.  L )  ->  ( C  <Q  B  ->  C  e.  L ) )

Proof of Theorem prcdnql
Dummy variables  b  c are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ltrelnq 7137 . . . . . 6  |-  <Q  C_  ( Q.  X.  Q. )
21brel 4559 . . . . 5  |-  ( C 
<Q  B  ->  ( C  e.  Q.  /\  B  e.  Q. ) )
32simpld 111 . . . 4  |-  ( C 
<Q  B  ->  C  e. 
Q. )
43adantl 273 . . 3  |-  ( ( ( <. L ,  U >.  e.  P.  /\  B  e.  L )  /\  C  <Q  B )  ->  C  e.  Q. )
5 breq1 3900 . . . . . . 7  |-  ( c  =  C  ->  (
c  <Q  B  <->  C  <Q  B ) )
6 eleq1 2178 . . . . . . 7  |-  ( c  =  C  ->  (
c  e.  L  <->  C  e.  L ) )
75, 6imbi12d 233 . . . . . 6  |-  ( c  =  C  ->  (
( c  <Q  B  -> 
c  e.  L )  <-> 
( C  <Q  B  ->  C  e.  L )
) )
87imbi2d 229 . . . . 5  |-  ( c  =  C  ->  (
( ( <. L ,  U >.  e.  P.  /\  B  e.  L )  ->  ( c  <Q  B  -> 
c  e.  L ) )  <->  ( ( <. L ,  U >.  e. 
P.  /\  B  e.  L )  ->  ( C  <Q  B  ->  C  e.  L ) ) ) )
91brel 4559 . . . . . . . . 9  |-  ( c 
<Q  B  ->  ( c  e.  Q.  /\  B  e.  Q. ) )
109ancomd 265 . . . . . . . 8  |-  ( c 
<Q  B  ->  ( B  e.  Q.  /\  c  e.  Q. ) )
11 an42 559 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( B  e.  Q.  /\  c  e.  Q. )  /\  ( B  e.  L  /\  <. L ,  U >.  e.  P. ) )  <-> 
( ( B  e. 
Q.  /\  B  e.  L )  /\  ( <. L ,  U >.  e. 
P.  /\  c  e.  Q. ) ) )
12 breq2 3901 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( b  =  B  ->  (
c  <Q  b  <->  c  <Q  B ) )
13 eleq1 2178 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( b  =  B  ->  (
b  e.  L  <->  B  e.  L ) )
1412, 13anbi12d 462 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( b  =  B  ->  (
( c  <Q  b  /\  b  e.  L
)  <->  ( c  <Q  B  /\  B  e.  L
) ) )
1514rspcev 2761 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( B  e.  Q.  /\  ( c  <Q  B  /\  B  e.  L )
)  ->  E. b  e.  Q.  ( c  <Q 
b  /\  b  e.  L ) )
16 elinp 7246 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( <. L ,  U >.  e. 
P. 
<->  ( ( ( L 
C_  Q.  /\  U  C_  Q. )  /\  ( E. c  e.  Q.  c  e.  L  /\  E. b  e.  Q.  b  e.  U ) )  /\  ( ( A. c  e.  Q.  ( c  e.  L  <->  E. b  e.  Q.  ( c  <Q  b  /\  b  e.  L
) )  /\  A. b  e.  Q.  (
b  e.  U  <->  E. c  e.  Q.  ( c  <Q 
b  /\  c  e.  U ) ) )  /\  A. c  e. 
Q.  -.  ( c  e.  L  /\  c  e.  U )  /\  A. c  e.  Q.  A. b  e.  Q.  ( c  <Q 
b  ->  ( c  e.  L  \/  b  e.  U ) ) ) ) )
17 simpr1l 1021 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( L  C_  Q.  /\  U  C_  Q. )  /\  ( E. c  e.  Q.  c  e.  L  /\  E. b  e.  Q.  b  e.  U )
)  /\  ( ( A. c  e.  Q.  ( c  e.  L  <->  E. b  e.  Q.  (
c  <Q  b  /\  b  e.  L ) )  /\  A. b  e.  Q.  (
b  e.  U  <->  E. c  e.  Q.  ( c  <Q 
b  /\  c  e.  U ) ) )  /\  A. c  e. 
Q.  -.  ( c  e.  L  /\  c  e.  U )  /\  A. c  e.  Q.  A. b  e.  Q.  ( c  <Q 
b  ->  ( c  e.  L  \/  b  e.  U ) ) ) )  ->  A. c  e.  Q.  ( c  e.  L  <->  E. b  e.  Q.  ( c  <Q  b  /\  b  e.  L
) ) )
1816, 17sylbi 120 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( <. L ,  U >.  e. 
P.  ->  A. c  e.  Q.  ( c  e.  L  <->  E. b  e.  Q.  (
c  <Q  b  /\  b  e.  L ) ) )
1918r19.21bi 2495 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
<. L ,  U >.  e. 
P.  /\  c  e.  Q. )  ->  ( c  e.  L  <->  E. b  e.  Q.  ( c  <Q 
b  /\  b  e.  L ) ) )
2015, 19syl5ibrcom 156 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( B  e.  Q.  /\  ( c  <Q  B  /\  B  e.  L )
)  ->  ( ( <. L ,  U >.  e. 
P.  /\  c  e.  Q. )  ->  c  e.  L ) )
21203impb 1160 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( B  e.  Q.  /\  c  <Q  B  /\  B  e.  L )  ->  (
( <. L ,  U >.  e.  P.  /\  c  e.  Q. )  ->  c  e.  L ) )
22213com12 1168 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( c  <Q  B  /\  B  e.  Q.  /\  B  e.  L )  ->  (
( <. L ,  U >.  e.  P.  /\  c  e.  Q. )  ->  c  e.  L ) )
23223expib 1167 . . . . . . . . . 10  |-  ( c 
<Q  B  ->  ( ( B  e.  Q.  /\  B  e.  L )  ->  ( ( <. L ,  U >.  e.  P.  /\  c  e.  Q. )  ->  c  e.  L ) ) )
2423impd 252 . . . . . . . . 9  |-  ( c 
<Q  B  ->  ( ( ( B  e.  Q.  /\  B  e.  L )  /\  ( <. L ,  U >.  e.  P.  /\  c  e.  Q. )
)  ->  c  e.  L ) )
2511, 24syl5bi 151 . . . . . . . 8  |-  ( c 
<Q  B  ->  ( ( ( B  e.  Q.  /\  c  e.  Q. )  /\  ( B  e.  L  /\  <. L ,  U >.  e.  P. ) )  ->  c  e.  L
) )
2610, 25mpand 423 . . . . . . 7  |-  ( c 
<Q  B  ->  ( ( B  e.  L  /\  <. L ,  U >.  e. 
P. )  ->  c  e.  L ) )
2726com12 30 . . . . . 6  |-  ( ( B  e.  L  /\  <. L ,  U >.  e. 
P. )  ->  (
c  <Q  B  ->  c  e.  L ) )
2827ancoms 266 . . . . 5  |-  ( (
<. L ,  U >.  e. 
P.  /\  B  e.  L )  ->  (
c  <Q  B  ->  c  e.  L ) )
298, 28vtoclg 2718 . . . 4  |-  ( C  e.  Q.  ->  (
( <. L ,  U >.  e.  P.  /\  B  e.  L )  ->  ( C  <Q  B  ->  C  e.  L ) ) )
3029impd 252 . . 3  |-  ( C  e.  Q.  ->  (
( ( <. L ,  U >.  e.  P.  /\  B  e.  L )  /\  C  <Q  B )  ->  C  e.  L
) )
314, 30mpcom 36 . 2  |-  ( ( ( <. L ,  U >.  e.  P.  /\  B  e.  L )  /\  C  <Q  B )  ->  C  e.  L )
3231ex 114 1  |-  ( (
<. L ,  U >.  e. 
P.  /\  B  e.  L )  ->  ( C  <Q  B  ->  C  e.  L ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 103    <-> wb 104    \/ wo 680    /\ w3a 945    = wceq 1314    e. wcel 1463   A.wral 2391   E.wrex 2392    C_ wss 3039   <.cop 3498   class class class wbr 3897   Q.cnq 7052    <Q cltq 7057   P.cnp 7063
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 586  ax-in2 587  ax-io 681  ax-5 1406  ax-7 1407  ax-gen 1408  ax-ie1 1452  ax-ie2 1453  ax-8 1465  ax-10 1466  ax-11 1467  ax-i12 1468  ax-bndl 1469  ax-4 1470  ax-13 1474  ax-14 1475  ax-17 1489  ax-i9 1493  ax-ial 1497  ax-i5r 1498  ax-ext 2097  ax-coll 4011  ax-sep 4014  ax-pow 4066  ax-pr 4099  ax-un 4323  ax-iinf 4470
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 947  df-tru 1317  df-nf 1420  df-sb 1719  df-eu 1978  df-mo 1979  df-clab 2102  df-cleq 2108  df-clel 2111  df-nfc 2245  df-ral 2396  df-rex 2397  df-reu 2398  df-rab 2400  df-v 2660  df-sbc 2881  df-csb 2974  df-dif 3041  df-un 3043  df-in 3045  df-ss 3052  df-pw 3480  df-sn 3501  df-pr 3502  df-op 3504  df-uni 3705  df-int 3740  df-iun 3783  df-br 3898  df-opab 3958  df-mpt 3959  df-id 4183  df-iom 4473  df-xp 4513  df-rel 4514  df-cnv 4515  df-co 4516  df-dm 4517  df-rn 4518  df-res 4519  df-ima 4520  df-iota 5056  df-fun 5093  df-fn 5094  df-f 5095  df-f1 5096  df-fo 5097  df-f1o 5098  df-fv 5099  df-qs 6401  df-ni 7076  df-nqqs 7120  df-ltnqqs 7125  df-inp 7238
This theorem is referenced by:  prubl  7258  addnqprllem  7299  nqprl  7323  mulnqprl  7340  distrlem4prl  7356  ltprordil  7361  1idprl  7362  ltpopr  7367  ltaddpr  7369  ltexprlemlol  7374  ltexprlemfl  7381  ltexprlemrl  7382  aptiprleml  7411  aptiprlemu  7412  archrecpr  7436  caucvgprprlemml  7466  suplocexprlemrl  7489  suplocexprlemloc  7493
  Copyright terms: Public domain W3C validator