Theorem 0npr 7382

Description: The empty set is not a positive real. (Contributed by NM, 15-Nov-1995.)

Assertion

Ref	Expression
0npr	⊢ ¬ ∅ ∈ P

Proof of Theorem 0npr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		noel 3394	. . . . . 6 ⊢ ¬ 𝑥 ∈ ∅
2		1st0 6082	. . . . . . 7 ⊢ (1st ‘∅) = ∅
3	2	eleq2i 2221	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ (1st ‘∅) ↔ 𝑥 ∈ ∅)
4	1, 3	mtbir 661	. . . . 5 ⊢ ¬ 𝑥 ∈ (1st ‘∅)
5	4	nex 1477	. . . 4 ⊢ ¬ ∃𝑥 𝑥 ∈ (1st ‘∅)
6		rexex 2500	. . . 4 ⊢ (∃𝑥 ∈ Q 𝑥 ∈ (1st ‘∅) → ∃𝑥 𝑥 ∈ (1st ‘∅))
7	5, 6	mto 652	. . 3 ⊢ ¬ ∃𝑥 ∈ Q 𝑥 ∈ (1st ‘∅)
8		prml 7376	. . 3 ⊢ (⟨(1st ‘∅), (2nd ‘∅)⟩ ∈ P → ∃𝑥 ∈ Q 𝑥 ∈ (1st ‘∅))
9	7, 8	mto 652	. 2 ⊢ ¬ ⟨(1st ‘∅), (2nd ‘∅)⟩ ∈ P
10		prop 7374	. 2 ⊢ (∅ ∈ P → ⟨(1st ‘∅), (2nd ‘∅)⟩ ∈ P)
11	9, 10	mto 652	1 ⊢ ¬ ∅ ∈ P

Syntax hints:  ¬ wn 3  ∃wex 1469   ∈ wcel 2125  ∃wrex 2433  ∅c0 3390  ⟨cop 3559  ‘cfv 5163  1^st c1st 6076  2^nd c2nd 6077  Qcnq 7179  Pcnp 7190

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1424  ax-7 1425  ax-gen 1426  ax-ie1 1470  ax-ie2 1471  ax-8 1481  ax-10 1482  ax-11 1483  ax-i12 1484  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-17 1503  ax-i9 1507  ax-ial 1511  ax-i5r 1512  ax-13 2127  ax-14 2128  ax-ext 2136  ax-coll 4075  ax-sep 4078  ax-nul 4086  ax-pow 4130  ax-pr 4164  ax-un 4388  ax-iinf 4541

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 965  df-tru 1335  df-fal 1338  df-nf 1438  df-sb 1740  df-eu 2006  df-mo 2007  df-clab 2141  df-cleq 2147  df-clel 2150  df-nfc 2285  df-ne 2325  df-ral 2437  df-rex 2438  df-reu 2439  df-rab 2441  df-v 2711  df-sbc 2934  df-csb 3028  df-dif 3100  df-un 3102  df-in 3104  df-ss 3111  df-nul 3391  df-pw 3541  df-sn 3562  df-pr 3563  df-op 3565  df-uni 3769  df-int 3804  df-iun 3847  df-br 3962  df-opab 4022  df-mpt 4023  df-id 4248  df-iom 4544  df-xp 4585  df-rel 4586  df-cnv 4587  df-co 4588  df-dm 4589  df-rn 4590  df-res 4591  df-ima 4592  df-iota 5128  df-fun 5165  df-fn 5166  df-f 5167  df-f1 5168  df-fo 5169  df-f1o 5170  df-fv 5171  df-1st 6078  df-2nd 6079  df-qs 6475  df-ni 7203  df-nqqs 7247  df-inp 7365

This theorem is referenced by: (None)