Theorem 0npr 7631

Description: The empty set is not a positive real. (Contributed by NM, 15-Nov-1995.)

Assertion

Ref	Expression
0npr	⊢ ¬ ∅ ∈ P

Proof of Theorem 0npr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		noel 3472	. . . . . 6 ⊢ ¬ 𝑥 ∈ ∅
2		1st0 6253	. . . . . . 7 ⊢ (1st ‘∅) = ∅
3	2	eleq2i 2274	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ (1st ‘∅) ↔ 𝑥 ∈ ∅)
4	1, 3	mtbir 673	. . . . 5 ⊢ ¬ 𝑥 ∈ (1st ‘∅)
5	4	nex 1524	. . . 4 ⊢ ¬ ∃𝑥 𝑥 ∈ (1st ‘∅)
6		rexex 2554	. . . 4 ⊢ (∃𝑥 ∈ Q 𝑥 ∈ (1st ‘∅) → ∃𝑥 𝑥 ∈ (1st ‘∅))
7	5, 6	mto 664	. . 3 ⊢ ¬ ∃𝑥 ∈ Q 𝑥 ∈ (1st ‘∅)
8		prml 7625	. . 3 ⊢ (⟨(1st ‘∅), (2nd ‘∅)⟩ ∈ P → ∃𝑥 ∈ Q 𝑥 ∈ (1st ‘∅))
9	7, 8	mto 664	. 2 ⊢ ¬ ⟨(1st ‘∅), (2nd ‘∅)⟩ ∈ P
10		prop 7623	. 2 ⊢ (∅ ∈ P → ⟨(1st ‘∅), (2nd ‘∅)⟩ ∈ P)
11	9, 10	mto 664	1 ⊢ ¬ ∅ ∈ P

Syntax hints:  ¬ wn 3  ∃wex 1516   ∈ wcel 2178  ∃wrex 2487  ∅c0 3468  ⟨cop 3646  ‘cfv 5290  1^st c1st 6247  2^nd c2nd 6248  Qcnq 7428  Pcnp 7439

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1471  ax-7 1472  ax-gen 1473  ax-ie1 1517  ax-ie2 1518  ax-8 1528  ax-10 1529  ax-11 1530  ax-i12 1531  ax-bndl 1533  ax-4 1534  ax-17 1550  ax-i9 1554  ax-ial 1558  ax-i5r 1559  ax-13 2180  ax-14 2181  ax-ext 2189  ax-coll 4175  ax-sep 4178  ax-nul 4186  ax-pow 4234  ax-pr 4269  ax-un 4498  ax-iinf 4654

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 983  df-tru 1376  df-fal 1379  df-nf 1485  df-sb 1787  df-eu 2058  df-mo 2059  df-clab 2194  df-cleq 2200  df-clel 2203  df-nfc 2339  df-ne 2379  df-ral 2491  df-rex 2492  df-reu 2493  df-rab 2495  df-v 2778  df-sbc 3006  df-csb 3102  df-dif 3176  df-un 3178  df-in 3180  df-ss 3187  df-nul 3469  df-pw 3628  df-sn 3649  df-pr 3650  df-op 3652  df-uni 3865  df-int 3900  df-iun 3943  df-br 4060  df-opab 4122  df-mpt 4123  df-id 4358  df-iom 4657  df-xp 4699  df-rel 4700  df-cnv 4701  df-co 4702  df-dm 4703  df-rn 4704  df-res 4705  df-ima 4706  df-iota 5251  df-fun 5292  df-fn 5293  df-f 5294  df-f1 5295  df-fo 5296  df-f1o 5297  df-fv 5298  df-1st 6249  df-2nd 6250  df-qs 6649  df-ni 7452  df-nqqs 7496  df-inp 7614

This theorem is referenced by: (None)