Theorem 2idlelb 14382

Description: Membership in a two-sided ideal. (Contributed by Mario Carneiro, 14-Jun-2015.) (Revised by AV, 20-Feb-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
2idlel.i	|- I = (LIdeal ` R )
2idlel.o	|- O = (oppr ` R )
2idlel.j	|- J = (LIdeal ` O )
2idlel.t	|- T = (2Ideal ` R )

Assertion

Ref	Expression
2idlelb	|- ( U e. T <-> ( U e. I /\ U e. J ) )

Proof of Theorem 2idlelb

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2idlel.t	. . 3 |- T = (2Ideal ` R )
2	1	2idlmex 14378	. 2 |- ( U e. T -> R e. _V )
3		2idlel.i	. . . 4 |- I = (LIdeal ` R )
4	3	lidlmex 14352	. . 3 |- ( U e. I -> R e. _V )
5	4	adantr 276	. 2 |- ( ( U e. I /\ U e. J ) -> R e. _V )
6		2idlel.o	. . . . 5 |- O = (oppr ` R )
7		2idlel.j	. . . . 5 |- J = (LIdeal ` O )
8	3, 6, 7, 1	2idlvalg 14380	. . . 4 |- ( R e. _V -> T = ( I i^i J ) )
9	8	eleq2d 2277	. . 3 |- ( R e. _V -> ( U e. T <-> U e. ( I i^i J ) ) )
10		elin 3364	. . 3 |- ( U e. ( I i^i J ) <-> ( U e. I /\ U e. J ) )
11	9, 10	bitrdi 196	. 2 |- ( R e. _V -> ( U e. T <-> ( U e. I /\ U e. J ) ) )
12	2, 5, 11	pm5.21nii 706	1 |- ( U e. T <-> ( U e. I /\ U e. J ) )

Syntax hints:   /\ wa 104   <-> wb 105   = wceq 1373   e. wcel 2178   _Vcvv 2776   i^i cin 3173   ` cfv 5290  opp_rcoppr 13944  LIdealclidl 14344  2Idealc2idl 14376

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1471  ax-7 1472  ax-gen 1473  ax-ie1 1517  ax-ie2 1518  ax-8 1528  ax-10 1529  ax-11 1530  ax-i12 1531  ax-bndl 1533  ax-4 1534  ax-17 1550  ax-i9 1554  ax-ial 1558  ax-i5r 1559  ax-13 2180  ax-14 2181  ax-ext 2189  ax-coll 4175  ax-sep 4178  ax-pow 4234  ax-pr 4269  ax-un 4498  ax-setind 4603  ax-cnex 8051  ax-resscn 8052  ax-1re 8054  ax-addrcl 8057

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 983  df-tru 1376  df-fal 1379  df-nf 1485  df-sb 1787  df-eu 2058  df-mo 2059  df-clab 2194  df-cleq 2200  df-clel 2203  df-nfc 2339  df-ne 2379  df-ral 2491  df-rex 2492  df-reu 2493  df-rab 2495  df-v 2778  df-sbc 3006  df-csb 3102  df-dif 3176  df-un 3178  df-in 3180  df-ss 3187  df-pw 3628  df-sn 3649  df-pr 3650  df-op 3652  df-uni 3865  df-int 3900  df-iun 3943  df-br 4060  df-opab 4122  df-mpt 4123  df-id 4358  df-xp 4699  df-rel 4700  df-cnv 4701  df-co 4702  df-dm 4703  df-rn 4704  df-res 4705  df-ima 4706  df-iota 5251  df-fun 5292  df-fn 5293  df-f 5294  df-f1 5295  df-fo 5296  df-f1o 5297  df-fv 5298  df-ov 5970  df-oprab 5971  df-mpo 5972  df-inn 9072  df-2 9130  df-3 9131  df-4 9132  df-5 9133  df-6 9134  df-7 9135  df-8 9136  df-ndx 12950  df-slot 12951  df-base 12953  df-sets 12954  df-iress 12955  df-mulr 13038  df-sca 13040  df-vsca 13041  df-ip 13042  df-lssm 14230  df-sra 14312  df-rgmod 14313  df-lidl 14346  df-2idl 14377

This theorem is referenced by:  df2idl2rng  14385  2idlelbas  14393  rng2idlsubgsubrng  14397  2idlcpblrng  14400  2idlcpbl  14401  qusrhm  14405