Theorem 2idlelb 14311

Description: Membership in a two-sided ideal. (Contributed by Mario Carneiro, 14-Jun-2015.) (Revised by AV, 20-Feb-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
2idlel.i	|- I = (LIdeal ` R )
2idlel.o	|- O = (oppr ` R )
2idlel.j	|- J = (LIdeal ` O )
2idlel.t	|- T = (2Ideal ` R )

Assertion

Ref	Expression
2idlelb	|- ( U e. T <-> ( U e. I /\ U e. J ) )

Proof of Theorem 2idlelb

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2idlel.t	. . 3 |- T = (2Ideal ` R )
2	1	2idlmex 14307	. 2 |- ( U e. T -> R e. _V )
3		2idlel.i	. . . 4 |- I = (LIdeal ` R )
4	3	lidlmex 14281	. . 3 |- ( U e. I -> R e. _V )
5	4	adantr 276	. 2 |- ( ( U e. I /\ U e. J ) -> R e. _V )
6		2idlel.o	. . . . 5 |- O = (oppr ` R )
7		2idlel.j	. . . . 5 |- J = (LIdeal ` O )
8	3, 6, 7, 1	2idlvalg 14309	. . . 4 |- ( R e. _V -> T = ( I i^i J ) )
9	8	eleq2d 2276	. . 3 |- ( R e. _V -> ( U e. T <-> U e. ( I i^i J ) ) )
10		elin 3357	. . 3 |- ( U e. ( I i^i J ) <-> ( U e. I /\ U e. J ) )
11	9, 10	bitrdi 196	. 2 |- ( R e. _V -> ( U e. T <-> ( U e. I /\ U e. J ) ) )
12	2, 5, 11	pm5.21nii 706	1 |- ( U e. T <-> ( U e. I /\ U e. J ) )

Syntax hints:   /\ wa 104   <-> wb 105   = wceq 1373   e. wcel 2177   _Vcvv 2773   i^i cin 3166   ` cfv 5276  opp_rcoppr 13873  LIdealclidl 14273  2Idealc2idl 14305

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1471  ax-7 1472  ax-gen 1473  ax-ie1 1517  ax-ie2 1518  ax-8 1528  ax-10 1529  ax-11 1530  ax-i12 1531  ax-bndl 1533  ax-4 1534  ax-17 1550  ax-i9 1554  ax-ial 1558  ax-i5r 1559  ax-13 2179  ax-14 2180  ax-ext 2188  ax-coll 4163  ax-sep 4166  ax-pow 4222  ax-pr 4257  ax-un 4484  ax-setind 4589  ax-cnex 8023  ax-resscn 8024  ax-1re 8026  ax-addrcl 8029

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 983  df-tru 1376  df-fal 1379  df-nf 1485  df-sb 1787  df-eu 2058  df-mo 2059  df-clab 2193  df-cleq 2199  df-clel 2202  df-nfc 2338  df-ne 2378  df-ral 2490  df-rex 2491  df-reu 2492  df-rab 2494  df-v 2775  df-sbc 3000  df-csb 3095  df-dif 3169  df-un 3171  df-in 3173  df-ss 3180  df-pw 3619  df-sn 3640  df-pr 3641  df-op 3643  df-uni 3853  df-int 3888  df-iun 3931  df-br 4048  df-opab 4110  df-mpt 4111  df-id 4344  df-xp 4685  df-rel 4686  df-cnv 4687  df-co 4688  df-dm 4689  df-rn 4690  df-res 4691  df-ima 4692  df-iota 5237  df-fun 5278  df-fn 5279  df-f 5280  df-f1 5281  df-fo 5282  df-f1o 5283  df-fv 5284  df-ov 5954  df-oprab 5955  df-mpo 5956  df-inn 9044  df-2 9102  df-3 9103  df-4 9104  df-5 9105  df-6 9106  df-7 9107  df-8 9108  df-ndx 12879  df-slot 12880  df-base 12882  df-sets 12883  df-iress 12884  df-mulr 12967  df-sca 12969  df-vsca 12970  df-ip 12971  df-lssm 14159  df-sra 14241  df-rgmod 14242  df-lidl 14275  df-2idl 14306

This theorem is referenced by:  df2idl2rng  14314  2idlelbas  14322  rng2idlsubgsubrng  14326  2idlcpblrng  14329  2idlcpbl  14330  qusrhm  14334