Theorem 2idlelb 14581

Description: Membership in a two-sided ideal. (Contributed by Mario Carneiro, 14-Jun-2015.) (Revised by AV, 20-Feb-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
2idlel.i	|- I = (LIdeal ` R )
2idlel.o	|- O = (oppr ` R )
2idlel.j	|- J = (LIdeal ` O )
2idlel.t	|- T = (2Ideal ` R )

Assertion

Ref	Expression
2idlelb	|- ( U e. T <-> ( U e. I /\ U e. J ) )

Proof of Theorem 2idlelb

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2idlel.t	. . 3 |- T = (2Ideal ` R )
2	1	2idlmex 14577	. 2 |- ( U e. T -> R e. _V )
3		2idlel.i	. . . 4 |- I = (LIdeal ` R )
4	3	lidlmex 14551	. . 3 |- ( U e. I -> R e. _V )
5	4	adantr 276	. 2 |- ( ( U e. I /\ U e. J ) -> R e. _V )
6		2idlel.o	. . . . 5 |- O = (oppr ` R )
7		2idlel.j	. . . . 5 |- J = (LIdeal ` O )
8	3, 6, 7, 1	2idlvalg 14579	. . . 4 |- ( R e. _V -> T = ( I i^i J ) )
9	8	eleq2d 2301	. . 3 |- ( R e. _V -> ( U e. T <-> U e. ( I i^i J ) ) )
10		elin 3392	. . 3 |- ( U e. ( I i^i J ) <-> ( U e. I /\ U e. J ) )
11	9, 10	bitrdi 196	. 2 |- ( R e. _V -> ( U e. T <-> ( U e. I /\ U e. J ) ) )
12	2, 5, 11	pm5.21nii 712	1 |- ( U e. T <-> ( U e. I /\ U e. J ) )

Syntax hints:   /\ wa 104   <-> wb 105   = wceq 1398   e. wcel 2202   _Vcvv 2803   i^i cin 3200   ` cfv 5333  opp_rcoppr 14142  LIdealclidl 14543  2Idealc2idl 14575

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-coll 4209  ax-sep 4212  ax-pow 4270  ax-pr 4305  ax-un 4536  ax-setind 4641  ax-cnex 8166  ax-resscn 8167  ax-1re 8169  ax-addrcl 8172

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2364  df-ne 2404  df-ral 2516  df-rex 2517  df-reu 2518  df-rab 2520  df-v 2805  df-sbc 3033  df-csb 3129  df-dif 3203  df-un 3205  df-in 3207  df-ss 3214  df-pw 3658  df-sn 3679  df-pr 3680  df-op 3682  df-uni 3899  df-int 3934  df-iun 3977  df-br 4094  df-opab 4156  df-mpt 4157  df-id 4396  df-xp 4737  df-rel 4738  df-cnv 4739  df-co 4740  df-dm 4741  df-rn 4742  df-res 4743  df-ima 4744  df-iota 5293  df-fun 5335  df-fn 5336  df-f 5337  df-f1 5338  df-fo 5339  df-f1o 5340  df-fv 5341  df-ov 6031  df-oprab 6032  df-mpo 6033  df-inn 9187  df-2 9245  df-3 9246  df-4 9247  df-5 9248  df-6 9249  df-7 9250  df-8 9251  df-ndx 13146  df-slot 13147  df-base 13149  df-sets 13150  df-iress 13151  df-mulr 13235  df-sca 13237  df-vsca 13238  df-ip 13239  df-lssm 14429  df-sra 14511  df-rgmod 14512  df-lidl 14545  df-2idl 14576

This theorem is referenced by:  df2idl2rng  14584  2idlelbas  14592  rng2idlsubgsubrng  14596  2idlcpblrng  14599  2idlcpbl  14600  qusrhm  14604