Theorem 2idlelb 14525

Description: Membership in a two-sided ideal. (Contributed by Mario Carneiro, 14-Jun-2015.) (Revised by AV, 20-Feb-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
2idlel.i	|- I = (LIdeal ` R )
2idlel.o	|- O = (oppr ` R )
2idlel.j	|- J = (LIdeal ` O )
2idlel.t	|- T = (2Ideal ` R )

Assertion

Ref	Expression
2idlelb	|- ( U e. T <-> ( U e. I /\ U e. J ) )

Proof of Theorem 2idlelb

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2idlel.t	. . 3 |- T = (2Ideal ` R )
2	1	2idlmex 14521	. 2 |- ( U e. T -> R e. _V )
3		2idlel.i	. . . 4 |- I = (LIdeal ` R )
4	3	lidlmex 14495	. . 3 |- ( U e. I -> R e. _V )
5	4	adantr 276	. 2 |- ( ( U e. I /\ U e. J ) -> R e. _V )
6		2idlel.o	. . . . 5 |- O = (oppr ` R )
7		2idlel.j	. . . . 5 |- J = (LIdeal ` O )
8	3, 6, 7, 1	2idlvalg 14523	. . . 4 |- ( R e. _V -> T = ( I i^i J ) )
9	8	eleq2d 2301	. . 3 |- ( R e. _V -> ( U e. T <-> U e. ( I i^i J ) ) )
10		elin 3390	. . 3 |- ( U e. ( I i^i J ) <-> ( U e. I /\ U e. J ) )
11	9, 10	bitrdi 196	. 2 |- ( R e. _V -> ( U e. T <-> ( U e. I /\ U e. J ) ) )
12	2, 5, 11	pm5.21nii 711	1 |- ( U e. T <-> ( U e. I /\ U e. J ) )

Syntax hints:   /\ wa 104   <-> wb 105   = wceq 1397   e. wcel 2202   _Vcvv 2802   i^i cin 3199   ` cfv 5326  opp_rcoppr 14086  LIdealclidl 14487  2Idealc2idl 14519

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 716  ax-5 1495  ax-7 1496  ax-gen 1497  ax-ie1 1541  ax-ie2 1542  ax-8 1552  ax-10 1553  ax-11 1554  ax-i12 1555  ax-bndl 1557  ax-4 1558  ax-17 1574  ax-i9 1578  ax-ial 1582  ax-i5r 1583  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-coll 4204  ax-sep 4207  ax-pow 4264  ax-pr 4299  ax-un 4530  ax-setind 4635  ax-cnex 8123  ax-resscn 8124  ax-1re 8126  ax-addrcl 8129

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1006  df-tru 1400  df-fal 1403  df-nf 1509  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2363  df-ne 2403  df-ral 2515  df-rex 2516  df-reu 2517  df-rab 2519  df-v 2804  df-sbc 3032  df-csb 3128  df-dif 3202  df-un 3204  df-in 3206  df-ss 3213  df-pw 3654  df-sn 3675  df-pr 3676  df-op 3678  df-uni 3894  df-int 3929  df-iun 3972  df-br 4089  df-opab 4151  df-mpt 4152  df-id 4390  df-xp 4731  df-rel 4732  df-cnv 4733  df-co 4734  df-dm 4735  df-rn 4736  df-res 4737  df-ima 4738  df-iota 5286  df-fun 5328  df-fn 5329  df-f 5330  df-f1 5331  df-fo 5332  df-f1o 5333  df-fv 5334  df-ov 6021  df-oprab 6022  df-mpo 6023  df-inn 9144  df-2 9202  df-3 9203  df-4 9204  df-5 9205  df-6 9206  df-7 9207  df-8 9208  df-ndx 13090  df-slot 13091  df-base 13093  df-sets 13094  df-iress 13095  df-mulr 13179  df-sca 13181  df-vsca 13182  df-ip 13183  df-lssm 14373  df-sra 14455  df-rgmod 14456  df-lidl 14489  df-2idl 14520

This theorem is referenced by:  df2idl2rng  14528  2idlelbas  14536  rng2idlsubgsubrng  14540  2idlcpblrng  14543  2idlcpbl  14544  qusrhm  14548