Theorem qusmul2 14542

Description: Value of the ring operation in a quotient ring. (Contributed by Thierry Arnoux, 1-Sep-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
qusmul2.h	|- Q = ( R /.s ( R ~QG I ) )
qusmul2.v	|- B = ( Base ` R )
qusmul2.p	|- .x. = ( .r ` R )
qusmul2.a	|- .X. = ( .r ` Q )
qusmul2.1	|- ( ph -> R e. Ring )
qusmul2.2	|- ( ph -> I e. (2Ideal ` R ) )
qusmul2.3	|- ( ph -> X e. B )
qusmul2.4	|- ( ph -> Y e. B )

Assertion

Ref	Expression
qusmul2	|- ( ph -> ( [ X ] ( R ~QG I ) .X. [ Y ] ( R ~QG I ) ) = [ ( X .x. Y ) ] ( R ~QG I ) )

Proof of Theorem qusmul2

Dummy variables t x y z p q are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		qusmul2.3	. 2 |- ( ph -> X e. B )
2		qusmul2.4	. 2 |- ( ph -> Y e. B )
3		qusmul2.h	. . . 4 |- Q = ( R /.s ( R ~QG I ) )
4	3	a1i 9	. . 3 |- ( ph -> Q = ( R /.s ( R ~QG I ) ) )
5		qusmul2.v	. . . 4 |- B = ( Base ` R )
6	5	a1i 9	. . 3 |- ( ph -> B = ( Base ` R ) )
7		qusmul2.1	. . . . 5 |- ( ph -> R e. Ring )
8		qusmul2.2	. . . . . 6 |- ( ph -> I e. (2Ideal ` R ) )
9	8	2idllidld 14519	. . . . 5 |- ( ph -> I e. (LIdeal ` R ) )
10		eqid 2231	. . . . . 6 |- (LIdeal ` R ) = (LIdeal ` R )
11	10	lidlsubg 14499	. . . . 5 |- ( ( R e. Ring /\ I e. (LIdeal ` R ) ) -> I e. (SubGrp ` R ) )
12	7, 9, 11	syl2anc 411	. . . 4 |- ( ph -> I e. (SubGrp ` R ) )
13		eqid 2231	. . . . 5 |- ( R ~QG I ) = ( R ~QG I )
14	5, 13	eqger 13810	. . . 4 |- ( I e. (SubGrp ` R ) -> ( R ~QG I ) Er B )
15	12, 14	syl 14	. . 3 |- ( ph -> ( R ~QG I ) Er B )
16		eqid 2231	. . . . 5 |- (2Ideal ` R ) = (2Ideal ` R )
17		qusmul2.p	. . . . 5 |- .x. = ( .r ` R )
18	5, 13, 16, 17	2idlcpbl 14537	. . . 4 |- ( ( R e. Ring /\ I e. (2Ideal ` R ) ) -> ( ( x ( R ~QG I ) y /\ z ( R ~QG I ) t ) -> ( x .x. z ) ( R ~QG I ) ( y .x. t ) ) )
19	7, 8, 18	syl2anc 411	. . 3 |- ( ph -> ( ( x ( R ~QG I ) y /\ z ( R ~QG I ) t ) -> ( x .x. z ) ( R ~QG I ) ( y .x. t ) ) )
20	5, 17	ringcl 14025	. . . . . 6 |- ( ( R e. Ring /\ p e. B /\ q e. B ) -> ( p .x. q ) e. B )
21	20	3expb 1230	. . . . 5 |- ( ( R e. Ring /\ ( p e. B /\ q e. B ) ) -> ( p .x. q ) e. B )
22	7, 21	sylan 283	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( p e. B /\ q e. B ) ) -> ( p .x. q ) e. B )
23	22	caovclg 6174	. . 3 |- ( ( ph /\ ( y e. B /\ t e. B ) ) -> ( y .x. t ) e. B )
24		qusmul2.a	. . 3 |- .X. = ( .r ` Q )
25	4, 6, 15, 7, 19, 23, 17, 24	qusmulval 13419	. 2 |- ( ( ph /\ X e. B /\ Y e. B ) -> ( [ X ] ( R ~QG I ) .X. [ Y ] ( R ~QG I ) ) = [ ( X .x. Y ) ] ( R ~QG I ) )
26	1, 2, 25	mpd3an23 1375	1 |- ( ph -> ( [ X ] ( R ~QG I ) .X. [ Y ] ( R ~QG I ) ) = [ ( X .x. Y ) ] ( R ~QG I ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1397   e. wcel 2202   class class class wbr 4088   ` cfv 5326  (class class class)co 6017   Er wer 6698   [cec 6699   Basecbs 13081   .rcmulr 13160   /._s cqus 13382  SubGrpcsubg 13753   ~_QG cqg 13755   Ringcrg 14008  LIdealclidl 14480  2Idealc2idl 14512

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 716  ax-5 1495  ax-7 1496  ax-gen 1497  ax-ie1 1541  ax-ie2 1542  ax-8 1552  ax-10 1553  ax-11 1554  ax-i12 1555  ax-bndl 1557  ax-4 1558  ax-17 1574  ax-i9 1578  ax-ial 1582  ax-i5r 1583  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-coll 4204  ax-sep 4207  ax-nul 4215  ax-pow 4264  ax-pr 4299  ax-un 4530  ax-setind 4635  ax-cnex 8122  ax-resscn 8123  ax-1cn 8124  ax-1re 8125  ax-icn 8126  ax-addcl 8127  ax-addrcl 8128  ax-mulcl 8129  ax-addcom 8131  ax-addass 8133  ax-i2m1 8136  ax-0lt1 8137  ax-0id 8139  ax-rnegex 8140  ax-pre-ltirr 8143  ax-pre-lttrn 8145  ax-pre-ltadd 8147

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1005  df-3an 1006  df-tru 1400  df-fal 1403  df-nf 1509  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2363  df-ne 2403  df-nel 2498  df-ral 2515  df-rex 2516  df-reu 2517  df-rmo 2518  df-rab 2519  df-v 2804  df-sbc 3032  df-csb 3128  df-dif 3202  df-un 3204  df-in 3206  df-ss 3213  df-nul 3495  df-pw 3654  df-sn 3675  df-pr 3676  df-tp 3677  df-op 3678  df-uni 3894  df-int 3929  df-iun 3972  df-br 4089  df-opab 4151  df-mpt 4152  df-id 4390  df-xp 4731  df-rel 4732  df-cnv 4733  df-co 4734  df-dm 4735  df-rn 4736  df-res 4737  df-ima 4738  df-iota 5286  df-fun 5328  df-fn 5329  df-f 5330  df-f1 5331  df-fo 5332  df-f1o 5333  df-fv 5334  df-riota 5970  df-ov 6020  df-oprab 6021  df-mpo 6022  df-1st 6302  df-2nd 6303  df-tpos 6410  df-er 6701  df-ec 6703  df-qs 6707  df-pnf 8215  df-mnf 8216  df-ltxr 8218  df-inn 9143  df-2 9201  df-3 9202  df-4 9203  df-5 9204  df-6 9205  df-7 9206  df-8 9207  df-ndx 13084  df-slot 13085  df-base 13087  df-sets 13088  df-iress 13089  df-plusg 13172  df-mulr 13173  df-sca 13175  df-vsca 13176  df-ip 13177  df-0g 13340  df-iimas 13384  df-qus 13385  df-mgm 13438  df-sgrp 13484  df-mnd 13499  df-grp 13585  df-minusg 13586  df-sbg 13587  df-subg 13756  df-eqg 13758  df-cmn 13872  df-abl 13873  df-mgp 13933  df-rng 13945  df-ur 13972  df-ring 14010  df-oppr 14080  df-subrg 14232  df-lmod 14302  df-lssm 14366  df-sra 14448  df-rgmod 14449  df-lidl 14482  df-2idl 14513

This theorem is referenced by: (None)