Theorem qusmul2 14025

Description: Value of the ring operation in a quotient ring. (Contributed by Thierry Arnoux, 1-Sep-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
qusmul2.h	|- Q = ( R /.s ( R ~QG I ) )
qusmul2.v	|- B = ( Base ` R )
qusmul2.p	|- .x. = ( .r ` R )
qusmul2.a	|- .X. = ( .r ` Q )
qusmul2.1	|- ( ph -> R e. Ring )
qusmul2.2	|- ( ph -> I e. (2Ideal ` R ) )
qusmul2.3	|- ( ph -> X e. B )
qusmul2.4	|- ( ph -> Y e. B )

Assertion

Ref	Expression
qusmul2	|- ( ph -> ( [ X ] ( R ~QG I ) .X. [ Y ] ( R ~QG I ) ) = [ ( X .x. Y ) ] ( R ~QG I ) )

Proof of Theorem qusmul2

Dummy variables t x y z p q are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		qusmul2.3	. 2 |- ( ph -> X e. B )
2		qusmul2.4	. 2 |- ( ph -> Y e. B )
3		qusmul2.h	. . . 4 |- Q = ( R /.s ( R ~QG I ) )
4	3	a1i 9	. . 3 |- ( ph -> Q = ( R /.s ( R ~QG I ) ) )
5		qusmul2.v	. . . 4 |- B = ( Base ` R )
6	5	a1i 9	. . 3 |- ( ph -> B = ( Base ` R ) )
7		qusmul2.1	. . . . 5 |- ( ph -> R e. Ring )
8		qusmul2.2	. . . . . 6 |- ( ph -> I e. (2Ideal ` R ) )
9	8	2idllidld 14002	. . . . 5 |- ( ph -> I e. (LIdeal ` R ) )
10		eqid 2193	. . . . . 6 |- (LIdeal ` R ) = (LIdeal ` R )
11	10	lidlsubg 13982	. . . . 5 |- ( ( R e. Ring /\ I e. (LIdeal ` R ) ) -> I e. (SubGrp ` R ) )
12	7, 9, 11	syl2anc 411	. . . 4 |- ( ph -> I e. (SubGrp ` R ) )
13		eqid 2193	. . . . 5 |- ( R ~QG I ) = ( R ~QG I )
14	5, 13	eqger 13294	. . . 4 |- ( I e. (SubGrp ` R ) -> ( R ~QG I ) Er B )
15	12, 14	syl 14	. . 3 |- ( ph -> ( R ~QG I ) Er B )
16		eqid 2193	. . . . 5 |- (2Ideal ` R ) = (2Ideal ` R )
17		qusmul2.p	. . . . 5 |- .x. = ( .r ` R )
18	5, 13, 16, 17	2idlcpbl 14020	. . . 4 |- ( ( R e. Ring /\ I e. (2Ideal ` R ) ) -> ( ( x ( R ~QG I ) y /\ z ( R ~QG I ) t ) -> ( x .x. z ) ( R ~QG I ) ( y .x. t ) ) )
19	7, 8, 18	syl2anc 411	. . 3 |- ( ph -> ( ( x ( R ~QG I ) y /\ z ( R ~QG I ) t ) -> ( x .x. z ) ( R ~QG I ) ( y .x. t ) ) )
20	5, 17	ringcl 13509	. . . . . 6 |- ( ( R e. Ring /\ p e. B /\ q e. B ) -> ( p .x. q ) e. B )
21	20	3expb 1206	. . . . 5 |- ( ( R e. Ring /\ ( p e. B /\ q e. B ) ) -> ( p .x. q ) e. B )
22	7, 21	sylan 283	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( p e. B /\ q e. B ) ) -> ( p .x. q ) e. B )
23	22	caovclg 6071	. . 3 |- ( ( ph /\ ( y e. B /\ t e. B ) ) -> ( y .x. t ) e. B )
24		qusmul2.a	. . 3 |- .X. = ( .r ` Q )
25	4, 6, 15, 7, 19, 23, 17, 24	qusmulval 12920	. 2 |- ( ( ph /\ X e. B /\ Y e. B ) -> ( [ X ] ( R ~QG I ) .X. [ Y ] ( R ~QG I ) ) = [ ( X .x. Y ) ] ( R ~QG I ) )
26	1, 2, 25	mpd3an23 1350	1 |- ( ph -> ( [ X ] ( R ~QG I ) .X. [ Y ] ( R ~QG I ) ) = [ ( X .x. Y ) ] ( R ~QG I ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1364   e. wcel 2164   class class class wbr 4029   ` cfv 5254  (class class class)co 5918   Er wer 6584   [cec 6585   Basecbs 12618   .rcmulr 12696   /._s cqus 12883  SubGrpcsubg 13237   ~_QG cqg 13239   Ringcrg 13492  LIdealclidl 13963  2Idealc2idl 13995

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2166  ax-14 2167  ax-ext 2175  ax-coll 4144  ax-sep 4147  ax-nul 4155  ax-pow 4203  ax-pr 4238  ax-un 4464  ax-setind 4569  ax-cnex 7963  ax-resscn 7964  ax-1cn 7965  ax-1re 7966  ax-icn 7967  ax-addcl 7968  ax-addrcl 7969  ax-mulcl 7970  ax-addcom 7972  ax-addass 7974  ax-i2m1 7977  ax-0lt1 7978  ax-0id 7980  ax-rnegex 7981  ax-pre-ltirr 7984  ax-pre-lttrn 7986  ax-pre-ltadd 7988

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2045  df-mo 2046  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-ne 2365  df-nel 2460  df-ral 2477  df-rex 2478  df-reu 2479  df-rmo 2480  df-rab 2481  df-v 2762  df-sbc 2986  df-csb 3081  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-nul 3447  df-pw 3603  df-sn 3624  df-pr 3625  df-tp 3626  df-op 3627  df-uni 3836  df-int 3871  df-iun 3914  df-br 4030  df-opab 4091  df-mpt 4092  df-id 4324  df-xp 4665  df-rel 4666  df-cnv 4667  df-co 4668  df-dm 4669  df-rn 4670  df-res 4671  df-ima 4672  df-iota 5215  df-fun 5256  df-fn 5257  df-f 5258  df-f1 5259  df-fo 5260  df-f1o 5261  df-fv 5262  df-riota 5873  df-ov 5921  df-oprab 5922  df-mpo 5923  df-1st 6193  df-2nd 6194  df-tpos 6298  df-er 6587  df-ec 6589  df-qs 6593  df-pnf 8056  df-mnf 8057  df-ltxr 8059  df-inn 8983  df-2 9041  df-3 9042  df-4 9043  df-5 9044  df-6 9045  df-7 9046  df-8 9047  df-ndx 12621  df-slot 12622  df-base 12624  df-sets 12625  df-iress 12626  df-plusg 12708  df-mulr 12709  df-sca 12711  df-vsca 12712  df-ip 12713  df-0g 12869  df-iimas 12885  df-qus 12886  df-mgm 12939  df-sgrp 12985  df-mnd 12998  df-grp 13075  df-minusg 13076  df-sbg 13077  df-subg 13240  df-eqg 13242  df-cmn 13356  df-abl 13357  df-mgp 13417  df-rng 13429  df-ur 13456  df-ring 13494  df-oppr 13564  df-subrg 13715  df-lmod 13785  df-lssm 13849  df-sra 13931  df-rgmod 13932  df-lidl 13965  df-2idl 13996

This theorem is referenced by: (None)