Theorem qusmul2 14562

Description: Value of the ring operation in a quotient ring. (Contributed by Thierry Arnoux, 1-Sep-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
qusmul2.h	|- Q = ( R /.s ( R ~QG I ) )
qusmul2.v	|- B = ( Base ` R )
qusmul2.p	|- .x. = ( .r ` R )
qusmul2.a	|- .X. = ( .r ` Q )
qusmul2.1	|- ( ph -> R e. Ring )
qusmul2.2	|- ( ph -> I e. (2Ideal ` R ) )
qusmul2.3	|- ( ph -> X e. B )
qusmul2.4	|- ( ph -> Y e. B )

Assertion

Ref	Expression
qusmul2	|- ( ph -> ( [ X ] ( R ~QG I ) .X. [ Y ] ( R ~QG I ) ) = [ ( X .x. Y ) ] ( R ~QG I ) )

Proof of Theorem qusmul2

Dummy variables t x y z p q are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		qusmul2.3	. 2 |- ( ph -> X e. B )
2		qusmul2.4	. 2 |- ( ph -> Y e. B )
3		qusmul2.h	. . . 4 |- Q = ( R /.s ( R ~QG I ) )
4	3	a1i 9	. . 3 |- ( ph -> Q = ( R /.s ( R ~QG I ) ) )
5		qusmul2.v	. . . 4 |- B = ( Base ` R )
6	5	a1i 9	. . 3 |- ( ph -> B = ( Base ` R ) )
7		qusmul2.1	. . . . 5 |- ( ph -> R e. Ring )
8		qusmul2.2	. . . . . 6 |- ( ph -> I e. (2Ideal ` R ) )
9	8	2idllidld 14539	. . . . 5 |- ( ph -> I e. (LIdeal ` R ) )
10		eqid 2231	. . . . . 6 |- (LIdeal ` R ) = (LIdeal ` R )
11	10	lidlsubg 14519	. . . . 5 |- ( ( R e. Ring /\ I e. (LIdeal ` R ) ) -> I e. (SubGrp ` R ) )
12	7, 9, 11	syl2anc 411	. . . 4 |- ( ph -> I e. (SubGrp ` R ) )
13		eqid 2231	. . . . 5 |- ( R ~QG I ) = ( R ~QG I )
14	5, 13	eqger 13829	. . . 4 |- ( I e. (SubGrp ` R ) -> ( R ~QG I ) Er B )
15	12, 14	syl 14	. . 3 |- ( ph -> ( R ~QG I ) Er B )
16		eqid 2231	. . . . 5 |- (2Ideal ` R ) = (2Ideal ` R )
17		qusmul2.p	. . . . 5 |- .x. = ( .r ` R )
18	5, 13, 16, 17	2idlcpbl 14557	. . . 4 |- ( ( R e. Ring /\ I e. (2Ideal ` R ) ) -> ( ( x ( R ~QG I ) y /\ z ( R ~QG I ) t ) -> ( x .x. z ) ( R ~QG I ) ( y .x. t ) ) )
19	7, 8, 18	syl2anc 411	. . 3 |- ( ph -> ( ( x ( R ~QG I ) y /\ z ( R ~QG I ) t ) -> ( x .x. z ) ( R ~QG I ) ( y .x. t ) ) )
20	5, 17	ringcl 14045	. . . . . 6 |- ( ( R e. Ring /\ p e. B /\ q e. B ) -> ( p .x. q ) e. B )
21	20	3expb 1230	. . . . 5 |- ( ( R e. Ring /\ ( p e. B /\ q e. B ) ) -> ( p .x. q ) e. B )
22	7, 21	sylan 283	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( p e. B /\ q e. B ) ) -> ( p .x. q ) e. B )
23	22	caovclg 6175	. . 3 |- ( ( ph /\ ( y e. B /\ t e. B ) ) -> ( y .x. t ) e. B )
24		qusmul2.a	. . 3 |- .X. = ( .r ` Q )
25	4, 6, 15, 7, 19, 23, 17, 24	qusmulval 13438	. 2 |- ( ( ph /\ X e. B /\ Y e. B ) -> ( [ X ] ( R ~QG I ) .X. [ Y ] ( R ~QG I ) ) = [ ( X .x. Y ) ] ( R ~QG I ) )
26	1, 2, 25	mpd3an23 1375	1 |- ( ph -> ( [ X ] ( R ~QG I ) .X. [ Y ] ( R ~QG I ) ) = [ ( X .x. Y ) ] ( R ~QG I ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1397   e. wcel 2202   class class class wbr 4088   ` cfv 5326  (class class class)co 6018   Er wer 6699   [cec 6700   Basecbs 13100   .rcmulr 13179   /._s cqus 13401  SubGrpcsubg 13772   ~_QG cqg 13774   Ringcrg 14028  LIdealclidl 14500  2Idealc2idl 14532

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 716  ax-5 1495  ax-7 1496  ax-gen 1497  ax-ie1 1541  ax-ie2 1542  ax-8 1552  ax-10 1553  ax-11 1554  ax-i12 1555  ax-bndl 1557  ax-4 1558  ax-17 1574  ax-i9 1578  ax-ial 1582  ax-i5r 1583  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-coll 4204  ax-sep 4207  ax-nul 4215  ax-pow 4264  ax-pr 4299  ax-un 4530  ax-setind 4635  ax-cnex 8123  ax-resscn 8124  ax-1cn 8125  ax-1re 8126  ax-icn 8127  ax-addcl 8128  ax-addrcl 8129  ax-mulcl 8130  ax-addcom 8132  ax-addass 8134  ax-i2m1 8137  ax-0lt1 8138  ax-0id 8140  ax-rnegex 8141  ax-pre-ltirr 8144  ax-pre-lttrn 8146  ax-pre-ltadd 8148

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1005  df-3an 1006  df-tru 1400  df-fal 1403  df-nf 1509  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2363  df-ne 2403  df-nel 2498  df-ral 2515  df-rex 2516  df-reu 2517  df-rmo 2518  df-rab 2519  df-v 2804  df-sbc 3032  df-csb 3128  df-dif 3202  df-un 3204  df-in 3206  df-ss 3213  df-nul 3495  df-pw 3654  df-sn 3675  df-pr 3676  df-tp 3677  df-op 3678  df-uni 3894  df-int 3929  df-iun 3972  df-br 4089  df-opab 4151  df-mpt 4152  df-id 4390  df-xp 4731  df-rel 4732  df-cnv 4733  df-co 4734  df-dm 4735  df-rn 4736  df-res 4737  df-ima 4738  df-iota 5286  df-fun 5328  df-fn 5329  df-f 5330  df-f1 5331  df-fo 5332  df-f1o 5333  df-fv 5334  df-riota 5971  df-ov 6021  df-oprab 6022  df-mpo 6023  df-1st 6303  df-2nd 6304  df-tpos 6411  df-er 6702  df-ec 6704  df-qs 6708  df-pnf 8216  df-mnf 8217  df-ltxr 8219  df-inn 9144  df-2 9202  df-3 9203  df-4 9204  df-5 9205  df-6 9206  df-7 9207  df-8 9208  df-ndx 13103  df-slot 13104  df-base 13106  df-sets 13107  df-iress 13108  df-plusg 13191  df-mulr 13192  df-sca 13194  df-vsca 13195  df-ip 13196  df-0g 13359  df-iimas 13403  df-qus 13404  df-mgm 13457  df-sgrp 13503  df-mnd 13518  df-grp 13604  df-minusg 13605  df-sbg 13606  df-subg 13775  df-eqg 13777  df-cmn 13891  df-abl 13892  df-mgp 13953  df-rng 13965  df-ur 13992  df-ring 14030  df-oppr 14100  df-subrg 14252  df-lmod 14322  df-lssm 14386  df-sra 14468  df-rgmod 14469  df-lidl 14502  df-2idl 14533

This theorem is referenced by: (None)