Theorem qusmul2 14608

Description: Value of the ring operation in a quotient ring. (Contributed by Thierry Arnoux, 1-Sep-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
qusmul2.h	|- Q = ( R /.s ( R ~QG I ) )
qusmul2.v	|- B = ( Base ` R )
qusmul2.p	|- .x. = ( .r ` R )
qusmul2.a	|- .X. = ( .r ` Q )
qusmul2.1	|- ( ph -> R e. Ring )
qusmul2.2	|- ( ph -> I e. (2Ideal ` R ) )
qusmul2.3	|- ( ph -> X e. B )
qusmul2.4	|- ( ph -> Y e. B )

Assertion

Ref	Expression
qusmul2	|- ( ph -> ( [ X ] ( R ~QG I ) .X. [ Y ] ( R ~QG I ) ) = [ ( X .x. Y ) ] ( R ~QG I ) )

Proof of Theorem qusmul2

Dummy variables t x y z p q are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		qusmul2.3	. 2 |- ( ph -> X e. B )
2		qusmul2.4	. 2 |- ( ph -> Y e. B )
3		qusmul2.h	. . . 4 |- Q = ( R /.s ( R ~QG I ) )
4	3	a1i 9	. . 3 |- ( ph -> Q = ( R /.s ( R ~QG I ) ) )
5		qusmul2.v	. . . 4 |- B = ( Base ` R )
6	5	a1i 9	. . 3 |- ( ph -> B = ( Base ` R ) )
7		qusmul2.1	. . . . 5 |- ( ph -> R e. Ring )
8		qusmul2.2	. . . . . 6 |- ( ph -> I e. (2Ideal ` R ) )
9	8	2idllidld 14585	. . . . 5 |- ( ph -> I e. (LIdeal ` R ) )
10		eqid 2231	. . . . . 6 |- (LIdeal ` R ) = (LIdeal ` R )
11	10	lidlsubg 14565	. . . . 5 |- ( ( R e. Ring /\ I e. (LIdeal ` R ) ) -> I e. (SubGrp ` R ) )
12	7, 9, 11	syl2anc 411	. . . 4 |- ( ph -> I e. (SubGrp ` R ) )
13		eqid 2231	. . . . 5 |- ( R ~QG I ) = ( R ~QG I )
14	5, 13	eqger 13874	. . . 4 |- ( I e. (SubGrp ` R ) -> ( R ~QG I ) Er B )
15	12, 14	syl 14	. . 3 |- ( ph -> ( R ~QG I ) Er B )
16		eqid 2231	. . . . 5 |- (2Ideal ` R ) = (2Ideal ` R )
17		qusmul2.p	. . . . 5 |- .x. = ( .r ` R )
18	5, 13, 16, 17	2idlcpbl 14603	. . . 4 |- ( ( R e. Ring /\ I e. (2Ideal ` R ) ) -> ( ( x ( R ~QG I ) y /\ z ( R ~QG I ) t ) -> ( x .x. z ) ( R ~QG I ) ( y .x. t ) ) )
19	7, 8, 18	syl2anc 411	. . 3 |- ( ph -> ( ( x ( R ~QG I ) y /\ z ( R ~QG I ) t ) -> ( x .x. z ) ( R ~QG I ) ( y .x. t ) ) )
20	5, 17	ringcl 14090	. . . . . 6 |- ( ( R e. Ring /\ p e. B /\ q e. B ) -> ( p .x. q ) e. B )
21	20	3expb 1231	. . . . 5 |- ( ( R e. Ring /\ ( p e. B /\ q e. B ) ) -> ( p .x. q ) e. B )
22	7, 21	sylan 283	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( p e. B /\ q e. B ) ) -> ( p .x. q ) e. B )
23	22	caovclg 6185	. . 3 |- ( ( ph /\ ( y e. B /\ t e. B ) ) -> ( y .x. t ) e. B )
24		qusmul2.a	. . 3 |- .X. = ( .r ` Q )
25	4, 6, 15, 7, 19, 23, 17, 24	qusmulval 13483	. 2 |- ( ( ph /\ X e. B /\ Y e. B ) -> ( [ X ] ( R ~QG I ) .X. [ Y ] ( R ~QG I ) ) = [ ( X .x. Y ) ] ( R ~QG I ) )
26	1, 2, 25	mpd3an23 1376	1 |- ( ph -> ( [ X ] ( R ~QG I ) .X. [ Y ] ( R ~QG I ) ) = [ ( X .x. Y ) ] ( R ~QG I ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1398   e. wcel 2202   class class class wbr 4093   ` cfv 5333  (class class class)co 6028   Er wer 6742   [cec 6743   Basecbs 13145   .rcmulr 13224   /._s cqus 13446  SubGrpcsubg 13817   ~_QG cqg 13819   Ringcrg 14073  LIdealclidl 14546  2Idealc2idl 14578

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-coll 4209  ax-sep 4212  ax-nul 4220  ax-pow 4270  ax-pr 4305  ax-un 4536  ax-setind 4641  ax-cnex 8166  ax-resscn 8167  ax-1cn 8168  ax-1re 8169  ax-icn 8170  ax-addcl 8171  ax-addrcl 8172  ax-mulcl 8173  ax-addcom 8175  ax-addass 8177  ax-i2m1 8180  ax-0lt1 8181  ax-0id 8183  ax-rnegex 8184  ax-pre-ltirr 8187  ax-pre-lttrn 8189  ax-pre-ltadd 8191

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2364  df-ne 2404  df-nel 2499  df-ral 2516  df-rex 2517  df-reu 2518  df-rmo 2519  df-rab 2520  df-v 2805  df-sbc 3033  df-csb 3129  df-dif 3203  df-un 3205  df-in 3207  df-ss 3214  df-nul 3497  df-pw 3658  df-sn 3679  df-pr 3680  df-tp 3681  df-op 3682  df-uni 3899  df-int 3934  df-iun 3977  df-br 4094  df-opab 4156  df-mpt 4157  df-id 4396  df-xp 4737  df-rel 4738  df-cnv 4739  df-co 4740  df-dm 4741  df-rn 4742  df-res 4743  df-ima 4744  df-iota 5293  df-fun 5335  df-fn 5336  df-f 5337  df-f1 5338  df-fo 5339  df-f1o 5340  df-fv 5341  df-riota 5981  df-ov 6031  df-oprab 6032  df-mpo 6033  df-1st 6312  df-2nd 6313  df-tpos 6454  df-er 6745  df-ec 6747  df-qs 6751  df-pnf 8258  df-mnf 8259  df-ltxr 8261  df-inn 9186  df-2 9244  df-3 9245  df-4 9246  df-5 9247  df-6 9248  df-7 9249  df-8 9250  df-ndx 13148  df-slot 13149  df-base 13151  df-sets 13152  df-iress 13153  df-plusg 13236  df-mulr 13237  df-sca 13239  df-vsca 13240  df-ip 13241  df-0g 13404  df-iimas 13448  df-qus 13449  df-mgm 13502  df-sgrp 13548  df-mnd 13563  df-grp 13649  df-minusg 13650  df-sbg 13651  df-subg 13820  df-eqg 13822  df-cmn 13936  df-abl 13937  df-mgp 13998  df-rng 14010  df-ur 14037  df-ring 14075  df-oppr 14145  df-subrg 14297  df-lmod 14368  df-lssm 14432  df-sra 14514  df-rgmod 14515  df-lidl 14548  df-2idl 14579

This theorem is referenced by: (None)