Theorem addassnq0lemcl 7459

Description: A natural number closure law. Lemma for addassnq0 7460. (Contributed by Jim Kingdon, 3-Dec-2019.)

Assertion

Ref	Expression
addassnq0lemcl	|- ( ( ( I e. om /\ J e. N. ) /\ ( K e. om /\ L e. N. ) ) -> ( ( ( I .o L ) +o ( J .o K ) ) e. om /\ ( J .o L ) e. N. ) )

Proof of Theorem addassnq0lemcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pinn 7307	. . . . 5 |- ( L e. N. -> L e. om )
2		nnmcl 6481	. . . . 5 |- ( ( I e. om /\ L e. om ) -> ( I .o L ) e. om )
3	1, 2	sylan2 286	. . . 4 |- ( ( I e. om /\ L e. N. ) -> ( I .o L ) e. om )
4	3	ad2ant2rl 511	. . 3 |- ( ( ( I e. om /\ J e. N. ) /\ ( K e. om /\ L e. N. ) ) -> ( I .o L ) e. om )
5		pinn 7307	. . . . 5 |- ( J e. N. -> J e. om )
6		nnmcl 6481	. . . . 5 |- ( ( J e. om /\ K e. om ) -> ( J .o K ) e. om )
7	5, 6	sylan 283	. . . 4 |- ( ( J e. N. /\ K e. om ) -> ( J .o K ) e. om )
8	7	ad2ant2lr 510	. . 3 |- ( ( ( I e. om /\ J e. N. ) /\ ( K e. om /\ L e. N. ) ) -> ( J .o K ) e. om )
9		nnacl 6480	. . 3 |- ( ( ( I .o L ) e. om /\ ( J .o K ) e. om ) -> ( ( I .o L ) +o ( J .o K ) ) e. om )
10	4, 8, 9	syl2anc 411	. 2 |- ( ( ( I e. om /\ J e. N. ) /\ ( K e. om /\ L e. N. ) ) -> ( ( I .o L ) +o ( J .o K ) ) e. om )
11		mulpiord 7315	. . . 4 |- ( ( J e. N. /\ L e. N. ) -> ( J .N L ) = ( J .o L ) )
12		mulclpi 7326	. . . 4 |- ( ( J e. N. /\ L e. N. ) -> ( J .N L ) e. N. )
13	11, 12	eqeltrrd 2255	. . 3 |- ( ( J e. N. /\ L e. N. ) -> ( J .o L ) e. N. )
14	13	ad2ant2l 508	. 2 |- ( ( ( I e. om /\ J e. N. ) /\ ( K e. om /\ L e. N. ) ) -> ( J .o L ) e. N. )
15	10, 14	jca 306	1 |- ( ( ( I e. om /\ J e. N. ) /\ ( K e. om /\ L e. N. ) ) -> ( ( ( I .o L ) +o ( J .o K ) ) e. om /\ ( J .o L ) e. N. ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   e. wcel 2148   omcom 4589  (class class class)co 5874   +o coa 6413   .o comu 6414   N.cnpi 7270   .N cmi 7272

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-coll 4118  ax-sep 4121  ax-nul 4129  ax-pow 4174  ax-pr 4209  ax-un 4433  ax-setind 4536  ax-iinf 4587

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 835  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rab 2464  df-v 2739  df-sbc 2963  df-csb 3058  df-dif 3131  df-un 3133  df-in 3135  df-ss 3142  df-nul 3423  df-pw 3577  df-sn 3598  df-pr 3599  df-op 3601  df-uni 3810  df-int 3845  df-iun 3888  df-br 4004  df-opab 4065  df-mpt 4066  df-tr 4102  df-id 4293  df-iord 4366  df-on 4368  df-suc 4371  df-iom 4590  df-xp 4632  df-rel 4633  df-cnv 4634  df-co 4635  df-dm 4636  df-rn 4637  df-res 4638  df-ima 4639  df-iota 5178  df-fun 5218  df-fn 5219  df-f 5220  df-f1 5221  df-fo 5222  df-f1o 5223  df-fv 5224  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpo 5879  df-1st 6140  df-2nd 6141  df-recs 6305  df-irdg 6370  df-oadd 6420  df-omul 6421  df-ni 7302  df-mi 7304

This theorem is referenced by:  addassnq0  7460