Theorem addassnq0lemcl 7822

Description: A natural number closure law. Lemma for addassnq0 7823. (Contributed by Jim Kingdon, 3-Dec-2019.)

Assertion

Ref	Expression
addassnq0lemcl	|- ( ( ( I e. om /\ J e. N. ) /\ ( K e. om /\ L e. N. ) ) -> ( ( ( I .o L ) +o ( J .o K ) ) e. om /\ ( J .o L ) e. N. ) )

Proof of Theorem addassnq0lemcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pinn 7670	. . . . 5 |- ( L e. N. -> L e. om )
2		nnmcl 6748	. . . . 5 |- ( ( I e. om /\ L e. om ) -> ( I .o L ) e. om )
3	1, 2	sylan2 286	. . . 4 |- ( ( I e. om /\ L e. N. ) -> ( I .o L ) e. om )
4	3	ad2ant2rl 515	. . 3 |- ( ( ( I e. om /\ J e. N. ) /\ ( K e. om /\ L e. N. ) ) -> ( I .o L ) e. om )
5		pinn 7670	. . . . 5 |- ( J e. N. -> J e. om )
6		nnmcl 6748	. . . . 5 |- ( ( J e. om /\ K e. om ) -> ( J .o K ) e. om )
7	5, 6	sylan 283	. . . 4 |- ( ( J e. N. /\ K e. om ) -> ( J .o K ) e. om )
8	7	ad2ant2lr 514	. . 3 |- ( ( ( I e. om /\ J e. N. ) /\ ( K e. om /\ L e. N. ) ) -> ( J .o K ) e. om )
9		nnacl 6747	. . 3 |- ( ( ( I .o L ) e. om /\ ( J .o K ) e. om ) -> ( ( I .o L ) +o ( J .o K ) ) e. om )
10	4, 8, 9	syl2anc 415	. 2 |- ( ( ( I e. om /\ J e. N. ) /\ ( K e. om /\ L e. N. ) ) -> ( ( I .o L ) +o ( J .o K ) ) e. om )
11		mulpiord 7678	. . . 4 |- ( ( J e. N. /\ L e. N. ) -> ( J .N L ) = ( J .o L ) )
12		mulclpi 7689	. . . 4 |- ( ( J e. N. /\ L e. N. ) -> ( J .N L ) e. N. )
13	11, 12	eqeltrrd 2316	. . 3 |- ( ( J e. N. /\ L e. N. ) -> ( J .o L ) e. N. )
14	13	ad2ant2l 512	. 2 |- ( ( ( I e. om /\ J e. N. ) /\ ( K e. om /\ L e. N. ) ) -> ( J .o L ) e. N. )
15	10, 14	jca 306	1 |- ( ( ( I e. om /\ J e. N. ) /\ ( K e. om /\ L e. N. ) ) -> ( ( ( I .o L ) +o ( J .o K ) ) e. om /\ ( J .o L ) e. N. ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   e. wcel 2209   omcom 4735  (class class class)co 6079   +o coa 6678   .o comu 6679   N.cnpi 7633   .N cmi 7635

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-coll 4244  ax-sep 4247  ax-nul 4257  ax-pow 4309  ax-pr 4344  ax-un 4576  ax-setind 4682  ax-iinf 4733

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 847  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-pw 3690  df-sn 3714  df-pr 3715  df-op 3717  df-uni 3934  df-int 3969  df-iun 4012  df-br 4129  df-opab 4191  df-mpt 4192  df-tr 4228  df-id 4436  df-iord 4509  df-on 4511  df-suc 4514  df-iom 4736  df-xp 4778  df-rel 4779  df-cnv 4780  df-co 4781  df-dm 4782  df-rn 4783  df-res 4784  df-ima 4785  df-iota 5335  df-fun 5377  df-fn 5378  df-f 5379  df-f1 5380  df-fo 5381  df-f1o 5382  df-fv 5383  df-ov 6082  df-oprab 6083  df-mpo 6084  df-1st 6368  df-2nd 6369  df-recs 6570  df-irdg 6635  df-oadd 6685  df-omul 6686  df-ni 7665  df-mi 7667

This theorem is referenced by:  addassnq0  7823