ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  addassnq0lemcl Unicode version

Theorem addassnq0lemcl 7462
Description: A natural number closure law. Lemma for addassnq0 7463. (Contributed by Jim Kingdon, 3-Dec-2019.)
Assertion
Ref Expression
addassnq0lemcl  |-  ( ( ( I  e.  om  /\  J  e.  N. )  /\  ( K  e.  om  /\  L  e.  N. )
)  ->  ( (
( I  .o  L
)  +o  ( J  .o  K ) )  e.  om  /\  ( J  .o  L )  e. 
N. ) )

Proof of Theorem addassnq0lemcl
StepHypRef Expression
1 pinn 7310 . . . . 5  |-  ( L  e.  N.  ->  L  e.  om )
2 nnmcl 6484 . . . . 5  |-  ( ( I  e.  om  /\  L  e.  om )  ->  ( I  .o  L
)  e.  om )
31, 2sylan2 286 . . . 4  |-  ( ( I  e.  om  /\  L  e.  N. )  ->  ( I  .o  L
)  e.  om )
43ad2ant2rl 511 . . 3  |-  ( ( ( I  e.  om  /\  J  e.  N. )  /\  ( K  e.  om  /\  L  e.  N. )
)  ->  ( I  .o  L )  e.  om )
5 pinn 7310 . . . . 5  |-  ( J  e.  N.  ->  J  e.  om )
6 nnmcl 6484 . . . . 5  |-  ( ( J  e.  om  /\  K  e.  om )  ->  ( J  .o  K
)  e.  om )
75, 6sylan 283 . . . 4  |-  ( ( J  e.  N.  /\  K  e.  om )  ->  ( J  .o  K
)  e.  om )
87ad2ant2lr 510 . . 3  |-  ( ( ( I  e.  om  /\  J  e.  N. )  /\  ( K  e.  om  /\  L  e.  N. )
)  ->  ( J  .o  K )  e.  om )
9 nnacl 6483 . . 3  |-  ( ( ( I  .o  L
)  e.  om  /\  ( J  .o  K
)  e.  om )  ->  ( ( I  .o  L )  +o  ( J  .o  K ) )  e.  om )
104, 8, 9syl2anc 411 . 2  |-  ( ( ( I  e.  om  /\  J  e.  N. )  /\  ( K  e.  om  /\  L  e.  N. )
)  ->  ( (
I  .o  L )  +o  ( J  .o  K ) )  e. 
om )
11 mulpiord 7318 . . . 4  |-  ( ( J  e.  N.  /\  L  e.  N. )  ->  ( J  .N  L
)  =  ( J  .o  L ) )
12 mulclpi 7329 . . . 4  |-  ( ( J  e.  N.  /\  L  e.  N. )  ->  ( J  .N  L
)  e.  N. )
1311, 12eqeltrrd 2255 . . 3  |-  ( ( J  e.  N.  /\  L  e.  N. )  ->  ( J  .o  L
)  e.  N. )
1413ad2ant2l 508 . 2  |-  ( ( ( I  e.  om  /\  J  e.  N. )  /\  ( K  e.  om  /\  L  e.  N. )
)  ->  ( J  .o  L )  e.  N. )
1510, 14jca 306 1  |-  ( ( ( I  e.  om  /\  J  e.  N. )  /\  ( K  e.  om  /\  L  e.  N. )
)  ->  ( (
( I  .o  L
)  +o  ( J  .o  K ) )  e.  om  /\  ( J  .o  L )  e. 
N. ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 104    e. wcel 2148   omcom 4591  (class class class)co 5877    +o coa 6416    .o comu 6417   N.cnpi 7273    .N cmi 7275
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-coll 4120  ax-sep 4123  ax-nul 4131  ax-pow 4176  ax-pr 4211  ax-un 4435  ax-setind 4538  ax-iinf 4589
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 835  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rab 2464  df-v 2741  df-sbc 2965  df-csb 3060  df-dif 3133  df-un 3135  df-in 3137  df-ss 3144  df-nul 3425  df-pw 3579  df-sn 3600  df-pr 3601  df-op 3603  df-uni 3812  df-int 3847  df-iun 3890  df-br 4006  df-opab 4067  df-mpt 4068  df-tr 4104  df-id 4295  df-iord 4368  df-on 4370  df-suc 4373  df-iom 4592  df-xp 4634  df-rel 4635  df-cnv 4636  df-co 4637  df-dm 4638  df-rn 4639  df-res 4640  df-ima 4641  df-iota 5180  df-fun 5220  df-fn 5221  df-f 5222  df-f1 5223  df-fo 5224  df-f1o 5225  df-fv 5226  df-ov 5880  df-oprab 5881  df-mpo 5882  df-1st 6143  df-2nd 6144  df-recs 6308  df-irdg 6373  df-oadd 6423  df-omul 6424  df-ni 7305  df-mi 7307
This theorem is referenced by:  addassnq0  7463
  Copyright terms: Public domain W3C validator