Theorem addassnq0lemcl 7724

Description: A natural number closure law. Lemma for addassnq0 7725. (Contributed by Jim Kingdon, 3-Dec-2019.)

Assertion

Ref	Expression
addassnq0lemcl	|- ( ( ( I e. om /\ J e. N. ) /\ ( K e. om /\ L e. N. ) ) -> ( ( ( I .o L ) +o ( J .o K ) ) e. om /\ ( J .o L ) e. N. ) )

Proof of Theorem addassnq0lemcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pinn 7572	. . . . 5 |- ( L e. N. -> L e. om )
2		nnmcl 6692	. . . . 5 |- ( ( I e. om /\ L e. om ) -> ( I .o L ) e. om )
3	1, 2	sylan2 286	. . . 4 |- ( ( I e. om /\ L e. N. ) -> ( I .o L ) e. om )
4	3	ad2ant2rl 511	. . 3 |- ( ( ( I e. om /\ J e. N. ) /\ ( K e. om /\ L e. N. ) ) -> ( I .o L ) e. om )
5		pinn 7572	. . . . 5 |- ( J e. N. -> J e. om )
6		nnmcl 6692	. . . . 5 |- ( ( J e. om /\ K e. om ) -> ( J .o K ) e. om )
7	5, 6	sylan 283	. . . 4 |- ( ( J e. N. /\ K e. om ) -> ( J .o K ) e. om )
8	7	ad2ant2lr 510	. . 3 |- ( ( ( I e. om /\ J e. N. ) /\ ( K e. om /\ L e. N. ) ) -> ( J .o K ) e. om )
9		nnacl 6691	. . 3 |- ( ( ( I .o L ) e. om /\ ( J .o K ) e. om ) -> ( ( I .o L ) +o ( J .o K ) ) e. om )
10	4, 8, 9	syl2anc 411	. 2 |- ( ( ( I e. om /\ J e. N. ) /\ ( K e. om /\ L e. N. ) ) -> ( ( I .o L ) +o ( J .o K ) ) e. om )
11		mulpiord 7580	. . . 4 |- ( ( J e. N. /\ L e. N. ) -> ( J .N L ) = ( J .o L ) )
12		mulclpi 7591	. . . 4 |- ( ( J e. N. /\ L e. N. ) -> ( J .N L ) e. N. )
13	11, 12	eqeltrrd 2309	. . 3 |- ( ( J e. N. /\ L e. N. ) -> ( J .o L ) e. N. )
14	13	ad2ant2l 508	. 2 |- ( ( ( I e. om /\ J e. N. ) /\ ( K e. om /\ L e. N. ) ) -> ( J .o L ) e. N. )
15	10, 14	jca 306	1 |- ( ( ( I e. om /\ J e. N. ) /\ ( K e. om /\ L e. N. ) ) -> ( ( ( I .o L ) +o ( J .o K ) ) e. om /\ ( J .o L ) e. N. ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   e. wcel 2202   omcom 4694  (class class class)co 6028   +o coa 6622   .o comu 6623   N.cnpi 7535   .N cmi 7537

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-coll 4209  ax-sep 4212  ax-nul 4220  ax-pow 4270  ax-pr 4305  ax-un 4536  ax-setind 4641  ax-iinf 4692

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 843  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2364  df-ne 2404  df-ral 2516  df-rex 2517  df-reu 2518  df-rab 2520  df-v 2805  df-sbc 3033  df-csb 3129  df-dif 3203  df-un 3205  df-in 3207  df-ss 3214  df-nul 3497  df-pw 3658  df-sn 3679  df-pr 3680  df-op 3682  df-uni 3899  df-int 3934  df-iun 3977  df-br 4094  df-opab 4156  df-mpt 4157  df-tr 4193  df-id 4396  df-iord 4469  df-on 4471  df-suc 4474  df-iom 4695  df-xp 4737  df-rel 4738  df-cnv 4739  df-co 4740  df-dm 4741  df-rn 4742  df-res 4743  df-ima 4744  df-iota 5293  df-fun 5335  df-fn 5336  df-f 5337  df-f1 5338  df-fo 5339  df-f1o 5340  df-fv 5341  df-ov 6031  df-oprab 6032  df-mpo 6033  df-1st 6312  df-2nd 6313  df-recs 6514  df-irdg 6579  df-oadd 6629  df-omul 6630  df-ni 7567  df-mi 7569

This theorem is referenced by:  addassnq0  7725