Theorem nnmcl 6567

Description: Closure of multiplication of natural numbers. Proposition 8.17 of [TakeutiZaring] p. 63. (Contributed by NM, 20-Sep-1995.) (Proof shortened by Andrew Salmon, 22-Oct-2011.)

Assertion

Ref	Expression
nnmcl	|- ( ( A e. om /\ B e. om ) -> ( A .o B ) e. om )

Proof of Theorem nnmcl

Dummy variables x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		oveq2 5952	. . . . 5 |- ( x = B -> ( A .o x ) = ( A .o B ) )
2	1	eleq1d 2274	. . . 4 |- ( x = B -> ( ( A .o x ) e. om <-> ( A .o B ) e. om ) )
3	2	imbi2d 230	. . 3 |- ( x = B -> ( ( A e. om -> ( A .o x ) e. om ) <-> ( A e. om -> ( A .o B ) e. om ) ) )
4		oveq2 5952	. . . . 5 |- ( x = (/) -> ( A .o x ) = ( A .o (/) ) )
5	4	eleq1d 2274	. . . 4 |- ( x = (/) -> ( ( A .o x ) e. om <-> ( A .o (/) ) e. om ) )
6		oveq2 5952	. . . . 5 |- ( x = y -> ( A .o x ) = ( A .o y ) )
7	6	eleq1d 2274	. . . 4 |- ( x = y -> ( ( A .o x ) e. om <-> ( A .o y ) e. om ) )
8		oveq2 5952	. . . . 5 |- ( x = suc y -> ( A .o x ) = ( A .o suc y ) )
9	8	eleq1d 2274	. . . 4 |- ( x = suc y -> ( ( A .o x ) e. om <-> ( A .o suc y ) e. om ) )
10		nnm0 6561	. . . . 5 |- ( A e. om -> ( A .o (/) ) = (/) )
11		peano1 4642	. . . . 5 |- (/) e. om
12	10, 11	eqeltrdi 2296	. . . 4 |- ( A e. om -> ( A .o (/) ) e. om )
13		nnacl 6566	. . . . . . . 8 |- ( ( ( A .o y ) e. om /\ A e. om ) -> ( ( A .o y ) +o A ) e. om )
14	13	expcom 116	. . . . . . 7 |- ( A e. om -> ( ( A .o y ) e. om -> ( ( A .o y ) +o A ) e. om ) )
15	14	adantr 276	. . . . . 6 |- ( ( A e. om /\ y e. om ) -> ( ( A .o y ) e. om -> ( ( A .o y ) +o A ) e. om ) )
16		nnmsuc 6563	. . . . . . 7 |- ( ( A e. om /\ y e. om ) -> ( A .o suc y ) = ( ( A .o y ) +o A ) )
17	16	eleq1d 2274	. . . . . 6 |- ( ( A e. om /\ y e. om ) -> ( ( A .o suc y ) e. om <-> ( ( A .o y ) +o A ) e. om ) )
18	15, 17	sylibrd 169	. . . . 5 |- ( ( A e. om /\ y e. om ) -> ( ( A .o y ) e. om -> ( A .o suc y ) e. om ) )
19	18	expcom 116	. . . 4 |- ( y e. om -> ( A e. om -> ( ( A .o y ) e. om -> ( A .o suc y ) e. om ) ) )
20	5, 7, 9, 12, 19	finds2 4649	. . 3 |- ( x e. om -> ( A e. om -> ( A .o x ) e. om ) )
21	3, 20	vtoclga 2839	. 2 |- ( B e. om -> ( A e. om -> ( A .o B ) e. om ) )
22	21	impcom 125	1 |- ( ( A e. om /\ B e. om ) -> ( A .o B ) e. om )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1373   e. wcel 2176   (/)c0 3460   suc csuc 4412   omcom 4638  (class class class)co 5944   +o coa 6499   .o comu 6500

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1470  ax-7 1471  ax-gen 1472  ax-ie1 1516  ax-ie2 1517  ax-8 1527  ax-10 1528  ax-11 1529  ax-i12 1530  ax-bndl 1532  ax-4 1533  ax-17 1549  ax-i9 1553  ax-ial 1557  ax-i5r 1558  ax-13 2178  ax-14 2179  ax-ext 2187  ax-coll 4159  ax-sep 4162  ax-nul 4170  ax-pow 4218  ax-pr 4253  ax-un 4480  ax-setind 4585  ax-iinf 4636

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 983  df-tru 1376  df-fal 1379  df-nf 1484  df-sb 1786  df-eu 2057  df-mo 2058  df-clab 2192  df-cleq 2198  df-clel 2201  df-nfc 2337  df-ne 2377  df-ral 2489  df-rex 2490  df-reu 2491  df-rab 2493  df-v 2774  df-sbc 2999  df-csb 3094  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-nul 3461  df-pw 3618  df-sn 3639  df-pr 3640  df-op 3642  df-uni 3851  df-int 3886  df-iun 3929  df-br 4045  df-opab 4106  df-mpt 4107  df-tr 4143  df-id 4340  df-iord 4413  df-on 4415  df-suc 4418  df-iom 4639  df-xp 4681  df-rel 4682  df-cnv 4683  df-co 4684  df-dm 4685  df-rn 4686  df-res 4687  df-ima 4688  df-iota 5232  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-ov 5947  df-oprab 5948  df-mpo 5949  df-1st 6226  df-2nd 6227  df-recs 6391  df-irdg 6456  df-oadd 6506  df-omul 6507

This theorem is referenced by:  nnmcli  6569  nndi  6572  nnmass  6573  nnmsucr  6574  nnmordi  6602  nnmord  6603  nnmword  6604  mulclpi  7441  enq0tr  7547  addcmpblnq0  7556  mulcmpblnq0  7557  mulcanenq0ec  7558  addclnq0  7564  mulclnq0  7565  nqpnq0nq  7566  distrnq0  7572  addassnq0lemcl  7574  addassnq0  7575