Theorem nnmcl 6569

Description: Closure of multiplication of natural numbers. Proposition 8.17 of [TakeutiZaring] p. 63. (Contributed by NM, 20-Sep-1995.) (Proof shortened by Andrew Salmon, 22-Oct-2011.)

Assertion

Ref	Expression
nnmcl	|- ( ( A e. om /\ B e. om ) -> ( A .o B ) e. om )

Proof of Theorem nnmcl

Dummy variables x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		oveq2 5954	. . . . 5 |- ( x = B -> ( A .o x ) = ( A .o B ) )
2	1	eleq1d 2274	. . . 4 |- ( x = B -> ( ( A .o x ) e. om <-> ( A .o B ) e. om ) )
3	2	imbi2d 230	. . 3 |- ( x = B -> ( ( A e. om -> ( A .o x ) e. om ) <-> ( A e. om -> ( A .o B ) e. om ) ) )
4		oveq2 5954	. . . . 5 |- ( x = (/) -> ( A .o x ) = ( A .o (/) ) )
5	4	eleq1d 2274	. . . 4 |- ( x = (/) -> ( ( A .o x ) e. om <-> ( A .o (/) ) e. om ) )
6		oveq2 5954	. . . . 5 |- ( x = y -> ( A .o x ) = ( A .o y ) )
7	6	eleq1d 2274	. . . 4 |- ( x = y -> ( ( A .o x ) e. om <-> ( A .o y ) e. om ) )
8		oveq2 5954	. . . . 5 |- ( x = suc y -> ( A .o x ) = ( A .o suc y ) )
9	8	eleq1d 2274	. . . 4 |- ( x = suc y -> ( ( A .o x ) e. om <-> ( A .o suc y ) e. om ) )
10		nnm0 6563	. . . . 5 |- ( A e. om -> ( A .o (/) ) = (/) )
11		peano1 4643	. . . . 5 |- (/) e. om
12	10, 11	eqeltrdi 2296	. . . 4 |- ( A e. om -> ( A .o (/) ) e. om )
13		nnacl 6568	. . . . . . . 8 |- ( ( ( A .o y ) e. om /\ A e. om ) -> ( ( A .o y ) +o A ) e. om )
14	13	expcom 116	. . . . . . 7 |- ( A e. om -> ( ( A .o y ) e. om -> ( ( A .o y ) +o A ) e. om ) )
15	14	adantr 276	. . . . . 6 |- ( ( A e. om /\ y e. om ) -> ( ( A .o y ) e. om -> ( ( A .o y ) +o A ) e. om ) )
16		nnmsuc 6565	. . . . . . 7 |- ( ( A e. om /\ y e. om ) -> ( A .o suc y ) = ( ( A .o y ) +o A ) )
17	16	eleq1d 2274	. . . . . 6 |- ( ( A e. om /\ y e. om ) -> ( ( A .o suc y ) e. om <-> ( ( A .o y ) +o A ) e. om ) )
18	15, 17	sylibrd 169	. . . . 5 |- ( ( A e. om /\ y e. om ) -> ( ( A .o y ) e. om -> ( A .o suc y ) e. om ) )
19	18	expcom 116	. . . 4 |- ( y e. om -> ( A e. om -> ( ( A .o y ) e. om -> ( A .o suc y ) e. om ) ) )
20	5, 7, 9, 12, 19	finds2 4650	. . 3 |- ( x e. om -> ( A e. om -> ( A .o x ) e. om ) )
21	3, 20	vtoclga 2839	. 2 |- ( B e. om -> ( A e. om -> ( A .o B ) e. om ) )
22	21	impcom 125	1 |- ( ( A e. om /\ B e. om ) -> ( A .o B ) e. om )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1373   e. wcel 2176   (/)c0 3460   suc csuc 4413   omcom 4639  (class class class)co 5946   +o coa 6501   .o comu 6502

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1470  ax-7 1471  ax-gen 1472  ax-ie1 1516  ax-ie2 1517  ax-8 1527  ax-10 1528  ax-11 1529  ax-i12 1530  ax-bndl 1532  ax-4 1533  ax-17 1549  ax-i9 1553  ax-ial 1557  ax-i5r 1558  ax-13 2178  ax-14 2179  ax-ext 2187  ax-coll 4160  ax-sep 4163  ax-nul 4171  ax-pow 4219  ax-pr 4254  ax-un 4481  ax-setind 4586  ax-iinf 4637

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 983  df-tru 1376  df-fal 1379  df-nf 1484  df-sb 1786  df-eu 2057  df-mo 2058  df-clab 2192  df-cleq 2198  df-clel 2201  df-nfc 2337  df-ne 2377  df-ral 2489  df-rex 2490  df-reu 2491  df-rab 2493  df-v 2774  df-sbc 2999  df-csb 3094  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-nul 3461  df-pw 3618  df-sn 3639  df-pr 3640  df-op 3642  df-uni 3851  df-int 3886  df-iun 3929  df-br 4046  df-opab 4107  df-mpt 4108  df-tr 4144  df-id 4341  df-iord 4414  df-on 4416  df-suc 4419  df-iom 4640  df-xp 4682  df-rel 4683  df-cnv 4684  df-co 4685  df-dm 4686  df-rn 4687  df-res 4688  df-ima 4689  df-iota 5233  df-fun 5274  df-fn 5275  df-f 5276  df-f1 5277  df-fo 5278  df-f1o 5279  df-fv 5280  df-ov 5949  df-oprab 5950  df-mpo 5951  df-1st 6228  df-2nd 6229  df-recs 6393  df-irdg 6458  df-oadd 6508  df-omul 6509

This theorem is referenced by:  nnmcli  6571  nndi  6574  nnmass  6575  nnmsucr  6576  nnmordi  6604  nnmord  6605  nnmword  6606  mulclpi  7443  enq0tr  7549  addcmpblnq0  7558  mulcmpblnq0  7559  mulcanenq0ec  7560  addclnq0  7566  mulclnq0  7567  nqpnq0nq  7568  distrnq0  7574  addassnq0lemcl  7576  addassnq0  7577