Theorem nnmcl 6457

Description: Closure of multiplication of natural numbers. Proposition 8.17 of [TakeutiZaring] p. 63. (Contributed by NM, 20-Sep-1995.) (Proof shortened by Andrew Salmon, 22-Oct-2011.)

Assertion

Ref	Expression
nnmcl	|- ( ( A e. om /\ B e. om ) -> ( A .o B ) e. om )

Proof of Theorem nnmcl

Dummy variables x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		oveq2 5858	. . . . 5 |- ( x = B -> ( A .o x ) = ( A .o B ) )
2	1	eleq1d 2239	. . . 4 |- ( x = B -> ( ( A .o x ) e. om <-> ( A .o B ) e. om ) )
3	2	imbi2d 229	. . 3 |- ( x = B -> ( ( A e. om -> ( A .o x ) e. om ) <-> ( A e. om -> ( A .o B ) e. om ) ) )
4		oveq2 5858	. . . . 5 |- ( x = (/) -> ( A .o x ) = ( A .o (/) ) )
5	4	eleq1d 2239	. . . 4 |- ( x = (/) -> ( ( A .o x ) e. om <-> ( A .o (/) ) e. om ) )
6		oveq2 5858	. . . . 5 |- ( x = y -> ( A .o x ) = ( A .o y ) )
7	6	eleq1d 2239	. . . 4 |- ( x = y -> ( ( A .o x ) e. om <-> ( A .o y ) e. om ) )
8		oveq2 5858	. . . . 5 |- ( x = suc y -> ( A .o x ) = ( A .o suc y ) )
9	8	eleq1d 2239	. . . 4 |- ( x = suc y -> ( ( A .o x ) e. om <-> ( A .o suc y ) e. om ) )
10		nnm0 6451	. . . . 5 |- ( A e. om -> ( A .o (/) ) = (/) )
11		peano1 4576	. . . . 5 |- (/) e. om
12	10, 11	eqeltrdi 2261	. . . 4 |- ( A e. om -> ( A .o (/) ) e. om )
13		nnacl 6456	. . . . . . . 8 |- ( ( ( A .o y ) e. om /\ A e. om ) -> ( ( A .o y ) +o A ) e. om )
14	13	expcom 115	. . . . . . 7 |- ( A e. om -> ( ( A .o y ) e. om -> ( ( A .o y ) +o A ) e. om ) )
15	14	adantr 274	. . . . . 6 |- ( ( A e. om /\ y e. om ) -> ( ( A .o y ) e. om -> ( ( A .o y ) +o A ) e. om ) )
16		nnmsuc 6453	. . . . . . 7 |- ( ( A e. om /\ y e. om ) -> ( A .o suc y ) = ( ( A .o y ) +o A ) )
17	16	eleq1d 2239	. . . . . 6 |- ( ( A e. om /\ y e. om ) -> ( ( A .o suc y ) e. om <-> ( ( A .o y ) +o A ) e. om ) )
18	15, 17	sylibrd 168	. . . . 5 |- ( ( A e. om /\ y e. om ) -> ( ( A .o y ) e. om -> ( A .o suc y ) e. om ) )
19	18	expcom 115	. . . 4 |- ( y e. om -> ( A e. om -> ( ( A .o y ) e. om -> ( A .o suc y ) e. om ) ) )
20	5, 7, 9, 12, 19	finds2 4583	. . 3 |- ( x e. om -> ( A e. om -> ( A .o x ) e. om ) )
21	3, 20	vtoclga 2796	. 2 |- ( B e. om -> ( A e. om -> ( A .o B ) e. om ) )
22	21	impcom 124	1 |- ( ( A e. om /\ B e. om ) -> ( A .o B ) e. om )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   = wceq 1348   e. wcel 2141   (/)c0 3414   suc csuc 4348   omcom 4572  (class class class)co 5850   +o coa 6389   .o comu 6390

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 609  ax-in2 610  ax-io 704  ax-5 1440  ax-7 1441  ax-gen 1442  ax-ie1 1486  ax-ie2 1487  ax-8 1497  ax-10 1498  ax-11 1499  ax-i12 1500  ax-bndl 1502  ax-4 1503  ax-17 1519  ax-i9 1523  ax-ial 1527  ax-i5r 1528  ax-13 2143  ax-14 2144  ax-ext 2152  ax-coll 4102  ax-sep 4105  ax-nul 4113  ax-pow 4158  ax-pr 4192  ax-un 4416  ax-setind 4519  ax-iinf 4570

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 975  df-tru 1351  df-fal 1354  df-nf 1454  df-sb 1756  df-eu 2022  df-mo 2023  df-clab 2157  df-cleq 2163  df-clel 2166  df-nfc 2301  df-ne 2341  df-ral 2453  df-rex 2454  df-reu 2455  df-rab 2457  df-v 2732  df-sbc 2956  df-csb 3050  df-dif 3123  df-un 3125  df-in 3127  df-ss 3134  df-nul 3415  df-pw 3566  df-sn 3587  df-pr 3588  df-op 3590  df-uni 3795  df-int 3830  df-iun 3873  df-br 3988  df-opab 4049  df-mpt 4050  df-tr 4086  df-id 4276  df-iord 4349  df-on 4351  df-suc 4354  df-iom 4573  df-xp 4615  df-rel 4616  df-cnv 4617  df-co 4618  df-dm 4619  df-rn 4620  df-res 4621  df-ima 4622  df-iota 5158  df-fun 5198  df-fn 5199  df-f 5200  df-f1 5201  df-fo 5202  df-f1o 5203  df-fv 5204  df-ov 5853  df-oprab 5854  df-mpo 5855  df-1st 6116  df-2nd 6117  df-recs 6281  df-irdg 6346  df-oadd 6396  df-omul 6397

This theorem is referenced by:  nnmcli  6459  nndi  6462  nnmass  6463  nnmsucr  6464  nnmordi  6492  nnmord  6493  nnmword  6494  mulclpi  7277  enq0tr  7383  addcmpblnq0  7392  mulcmpblnq0  7393  mulcanenq0ec  7394  addclnq0  7400  mulclnq0  7401  nqpnq0nq  7402  distrnq0  7408  addassnq0lemcl  7410  addassnq0  7411