ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  nnmcl Unicode version

Theorem nnmcl 6506
Description: Closure of multiplication of natural numbers. Proposition 8.17 of [TakeutiZaring] p. 63. (Contributed by NM, 20-Sep-1995.) (Proof shortened by Andrew Salmon, 22-Oct-2011.)
Assertion
Ref Expression
nnmcl  |-  ( ( A  e.  om  /\  B  e.  om )  ->  ( A  .o  B
)  e.  om )

Proof of Theorem nnmcl
Dummy variables  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 oveq2 5904 . . . . 5  |-  ( x  =  B  ->  ( A  .o  x )  =  ( A  .o  B
) )
21eleq1d 2258 . . . 4  |-  ( x  =  B  ->  (
( A  .o  x
)  e.  om  <->  ( A  .o  B )  e.  om ) )
32imbi2d 230 . . 3  |-  ( x  =  B  ->  (
( A  e.  om  ->  ( A  .o  x
)  e.  om )  <->  ( A  e.  om  ->  ( A  .o  B )  e.  om ) ) )
4 oveq2 5904 . . . . 5  |-  ( x  =  (/)  ->  ( A  .o  x )  =  ( A  .o  (/) ) )
54eleq1d 2258 . . . 4  |-  ( x  =  (/)  ->  ( ( A  .o  x )  e.  om  <->  ( A  .o  (/) )  e.  om ) )
6 oveq2 5904 . . . . 5  |-  ( x  =  y  ->  ( A  .o  x )  =  ( A  .o  y
) )
76eleq1d 2258 . . . 4  |-  ( x  =  y  ->  (
( A  .o  x
)  e.  om  <->  ( A  .o  y )  e.  om ) )
8 oveq2 5904 . . . . 5  |-  ( x  =  suc  y  -> 
( A  .o  x
)  =  ( A  .o  suc  y ) )
98eleq1d 2258 . . . 4  |-  ( x  =  suc  y  -> 
( ( A  .o  x )  e.  om  <->  ( A  .o  suc  y
)  e.  om )
)
10 nnm0 6500 . . . . 5  |-  ( A  e.  om  ->  ( A  .o  (/) )  =  (/) )
11 peano1 4611 . . . . 5  |-  (/)  e.  om
1210, 11eqeltrdi 2280 . . . 4  |-  ( A  e.  om  ->  ( A  .o  (/) )  e.  om )
13 nnacl 6505 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  .o  y
)  e.  om  /\  A  e.  om )  ->  ( ( A  .o  y )  +o  A
)  e.  om )
1413expcom 116 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  om  ->  (
( A  .o  y
)  e.  om  ->  ( ( A  .o  y
)  +o  A )  e.  om ) )
1514adantr 276 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  om  /\  y  e.  om )  ->  ( ( A  .o  y )  e.  om  ->  ( ( A  .o  y )  +o  A
)  e.  om )
)
16 nnmsuc 6502 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  om  /\  y  e.  om )  ->  ( A  .o  suc  y )  =  ( ( A  .o  y
)  +o  A ) )
1716eleq1d 2258 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  om  /\  y  e.  om )  ->  ( ( A  .o  suc  y )  e.  om  <->  ( ( A  .o  y
)  +o  A )  e.  om ) )
1815, 17sylibrd 169 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  om  /\  y  e.  om )  ->  ( ( A  .o  y )  e.  om  ->  ( A  .o  suc  y )  e.  om ) )
1918expcom 116 . . . 4  |-  ( y  e.  om  ->  ( A  e.  om  ->  ( ( A  .o  y
)  e.  om  ->  ( A  .o  suc  y
)  e.  om )
) )
205, 7, 9, 12, 19finds2 4618 . . 3  |-  ( x  e.  om  ->  ( A  e.  om  ->  ( A  .o  x )  e.  om ) )
213, 20vtoclga 2818 . 2  |-  ( B  e.  om  ->  ( A  e.  om  ->  ( A  .o  B )  e.  om ) )
2221impcom 125 1  |-  ( ( A  e.  om  /\  B  e.  om )  ->  ( A  .o  B
)  e.  om )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 104    = wceq 1364    e. wcel 2160   (/)c0 3437   suc csuc 4383   omcom 4607  (class class class)co 5896    +o coa 6438    .o comu 6439
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2162  ax-14 2163  ax-ext 2171  ax-coll 4133  ax-sep 4136  ax-nul 4144  ax-pow 4192  ax-pr 4227  ax-un 4451  ax-setind 4554  ax-iinf 4605
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2041  df-mo 2042  df-clab 2176  df-cleq 2182  df-clel 2185  df-nfc 2321  df-ne 2361  df-ral 2473  df-rex 2474  df-reu 2475  df-rab 2477  df-v 2754  df-sbc 2978  df-csb 3073  df-dif 3146  df-un 3148  df-in 3150  df-ss 3157  df-nul 3438  df-pw 3592  df-sn 3613  df-pr 3614  df-op 3616  df-uni 3825  df-int 3860  df-iun 3903  df-br 4019  df-opab 4080  df-mpt 4081  df-tr 4117  df-id 4311  df-iord 4384  df-on 4386  df-suc 4389  df-iom 4608  df-xp 4650  df-rel 4651  df-cnv 4652  df-co 4653  df-dm 4654  df-rn 4655  df-res 4656  df-ima 4657  df-iota 5196  df-fun 5237  df-fn 5238  df-f 5239  df-f1 5240  df-fo 5241  df-f1o 5242  df-fv 5243  df-ov 5899  df-oprab 5900  df-mpo 5901  df-1st 6165  df-2nd 6166  df-recs 6330  df-irdg 6395  df-oadd 6445  df-omul 6446
This theorem is referenced by:  nnmcli  6508  nndi  6511  nnmass  6512  nnmsucr  6513  nnmordi  6541  nnmord  6542  nnmword  6543  mulclpi  7357  enq0tr  7463  addcmpblnq0  7472  mulcmpblnq0  7473  mulcanenq0ec  7474  addclnq0  7480  mulclnq0  7481  nqpnq0nq  7482  distrnq0  7488  addassnq0lemcl  7490  addassnq0  7491
  Copyright terms: Public domain W3C validator