Theorem addassnq0lemcl 7835

Description: A natural number closure law. Lemma for addassnq0 7836. (Contributed by Jim Kingdon, 3-Dec-2019.)

Assertion

Ref	Expression
addassnq0lemcl	⊢ (((𝐼 ∈ ω ∧ 𝐽 ∈ N) ∧ (𝐾 ∈ ω ∧ 𝐿 ∈ N)) → (((𝐼 ·o 𝐿) +o (𝐽 ·o 𝐾)) ∈ ω ∧ (𝐽 ·o 𝐿) ∈ N))

Proof of Theorem addassnq0lemcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pinn 7683	. . . . 5 ⊢ (𝐿 ∈ N → 𝐿 ∈ ω)
2		nnmcl 6758	. . . . 5 ⊢ ((𝐼 ∈ ω ∧ 𝐿 ∈ ω) → (𝐼 ·o 𝐿) ∈ ω)
3	1, 2	sylan2 286	. . . 4 ⊢ ((𝐼 ∈ ω ∧ 𝐿 ∈ N) → (𝐼 ·o 𝐿) ∈ ω)
4	3	ad2ant2rl 515	. . 3 ⊢ (((𝐼 ∈ ω ∧ 𝐽 ∈ N) ∧ (𝐾 ∈ ω ∧ 𝐿 ∈ N)) → (𝐼 ·o 𝐿) ∈ ω)
5		pinn 7683	. . . . 5 ⊢ (𝐽 ∈ N → 𝐽 ∈ ω)
6		nnmcl 6758	. . . . 5 ⊢ ((𝐽 ∈ ω ∧ 𝐾 ∈ ω) → (𝐽 ·o 𝐾) ∈ ω)
7	5, 6	sylan 283	. . . 4 ⊢ ((𝐽 ∈ N ∧ 𝐾 ∈ ω) → (𝐽 ·o 𝐾) ∈ ω)
8	7	ad2ant2lr 514	. . 3 ⊢ (((𝐼 ∈ ω ∧ 𝐽 ∈ N) ∧ (𝐾 ∈ ω ∧ 𝐿 ∈ N)) → (𝐽 ·o 𝐾) ∈ ω)
9		nnacl 6757	. . 3 ⊢ (((𝐼 ·o 𝐿) ∈ ω ∧ (𝐽 ·o 𝐾) ∈ ω) → ((𝐼 ·o 𝐿) +o (𝐽 ·o 𝐾)) ∈ ω)
10	4, 8, 9	syl2anc 415	. 2 ⊢ (((𝐼 ∈ ω ∧ 𝐽 ∈ N) ∧ (𝐾 ∈ ω ∧ 𝐿 ∈ N)) → ((𝐼 ·o 𝐿) +o (𝐽 ·o 𝐾)) ∈ ω)
11		mulpiord 7691	. . . 4 ⊢ ((𝐽 ∈ N ∧ 𝐿 ∈ N) → (𝐽 ·N 𝐿) = (𝐽 ·o 𝐿))
12		mulclpi 7702	. . . 4 ⊢ ((𝐽 ∈ N ∧ 𝐿 ∈ N) → (𝐽 ·N 𝐿) ∈ N)
13	11, 12	eqeltrrd 2316	. . 3 ⊢ ((𝐽 ∈ N ∧ 𝐿 ∈ N) → (𝐽 ·o 𝐿) ∈ N)
14	13	ad2ant2l 512	. 2 ⊢ (((𝐼 ∈ ω ∧ 𝐽 ∈ N) ∧ (𝐾 ∈ ω ∧ 𝐿 ∈ N)) → (𝐽 ·o 𝐿) ∈ N)
15	10, 14	jca 306	1 ⊢ (((𝐼 ∈ ω ∧ 𝐽 ∈ N) ∧ (𝐾 ∈ ω ∧ 𝐿 ∈ N)) → (((𝐼 ·o 𝐿) +o (𝐽 ·o 𝐾)) ∈ ω ∧ (𝐽 ·o 𝐿) ∈ N))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 104   ∈ wcel 2209  ωcom 4739  (class class class)co 6088   +_o coa 6688   ·_o comu 6689  Ncnpi 7646   ·_N cmi 7648

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-coll 4248  ax-sep 4251  ax-nul 4261  ax-pow 4313  ax-pr 4348  ax-un 4580  ax-setind 4686  ax-iinf 4737

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 847  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-int 3971  df-iun 4014  df-br 4132  df-opab 4194  df-mpt 4195  df-tr 4232  df-id 4440  df-iord 4513  df-on 4515  df-suc 4518  df-iom 4740  df-xp 4782  df-rel 4783  df-cnv 4784  df-co 4785  df-dm 4786  df-rn 4787  df-res 4788  df-ima 4789  df-iota 5340  df-fun 5382  df-fn 5383  df-f 5384  df-f1 5385  df-fo 5386  df-f1o 5387  df-fv 5388  df-ov 6091  df-oprab 6092  df-mpo 6093  df-1st 6378  df-2nd 6379  df-recs 6580  df-irdg 6645  df-oadd 6695  df-omul 6696  df-ni 7678  df-mi 7680

This theorem is used by:  addassnq0  7836