Theorem addassnq0lemcl 7528

Description: A natural number closure law. Lemma for addassnq0 7529. (Contributed by Jim Kingdon, 3-Dec-2019.)

Assertion

Ref	Expression
addassnq0lemcl	⊢ (((𝐼 ∈ ω ∧ 𝐽 ∈ N) ∧ (𝐾 ∈ ω ∧ 𝐿 ∈ N)) → (((𝐼 ·o 𝐿) +o (𝐽 ·o 𝐾)) ∈ ω ∧ (𝐽 ·o 𝐿) ∈ N))

Proof of Theorem addassnq0lemcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pinn 7376	. . . . 5 ⊢ (𝐿 ∈ N → 𝐿 ∈ ω)
2		nnmcl 6539	. . . . 5 ⊢ ((𝐼 ∈ ω ∧ 𝐿 ∈ ω) → (𝐼 ·o 𝐿) ∈ ω)
3	1, 2	sylan2 286	. . . 4 ⊢ ((𝐼 ∈ ω ∧ 𝐿 ∈ N) → (𝐼 ·o 𝐿) ∈ ω)
4	3	ad2ant2rl 511	. . 3 ⊢ (((𝐼 ∈ ω ∧ 𝐽 ∈ N) ∧ (𝐾 ∈ ω ∧ 𝐿 ∈ N)) → (𝐼 ·o 𝐿) ∈ ω)
5		pinn 7376	. . . . 5 ⊢ (𝐽 ∈ N → 𝐽 ∈ ω)
6		nnmcl 6539	. . . . 5 ⊢ ((𝐽 ∈ ω ∧ 𝐾 ∈ ω) → (𝐽 ·o 𝐾) ∈ ω)
7	5, 6	sylan 283	. . . 4 ⊢ ((𝐽 ∈ N ∧ 𝐾 ∈ ω) → (𝐽 ·o 𝐾) ∈ ω)
8	7	ad2ant2lr 510	. . 3 ⊢ (((𝐼 ∈ ω ∧ 𝐽 ∈ N) ∧ (𝐾 ∈ ω ∧ 𝐿 ∈ N)) → (𝐽 ·o 𝐾) ∈ ω)
9		nnacl 6538	. . 3 ⊢ (((𝐼 ·o 𝐿) ∈ ω ∧ (𝐽 ·o 𝐾) ∈ ω) → ((𝐼 ·o 𝐿) +o (𝐽 ·o 𝐾)) ∈ ω)
10	4, 8, 9	syl2anc 411	. 2 ⊢ (((𝐼 ∈ ω ∧ 𝐽 ∈ N) ∧ (𝐾 ∈ ω ∧ 𝐿 ∈ N)) → ((𝐼 ·o 𝐿) +o (𝐽 ·o 𝐾)) ∈ ω)
11		mulpiord 7384	. . . 4 ⊢ ((𝐽 ∈ N ∧ 𝐿 ∈ N) → (𝐽 ·N 𝐿) = (𝐽 ·o 𝐿))
12		mulclpi 7395	. . . 4 ⊢ ((𝐽 ∈ N ∧ 𝐿 ∈ N) → (𝐽 ·N 𝐿) ∈ N)
13	11, 12	eqeltrrd 2274	. . 3 ⊢ ((𝐽 ∈ N ∧ 𝐿 ∈ N) → (𝐽 ·o 𝐿) ∈ N)
14	13	ad2ant2l 508	. 2 ⊢ (((𝐼 ∈ ω ∧ 𝐽 ∈ N) ∧ (𝐾 ∈ ω ∧ 𝐿 ∈ N)) → (𝐽 ·o 𝐿) ∈ N)
15	10, 14	jca 306	1 ⊢ (((𝐼 ∈ ω ∧ 𝐽 ∈ N) ∧ (𝐾 ∈ ω ∧ 𝐿 ∈ N)) → (((𝐼 ·o 𝐿) +o (𝐽 ·o 𝐾)) ∈ ω ∧ (𝐽 ·o 𝐿) ∈ N))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ∈ wcel 2167  ωcom 4626  (class class class)co 5922   +_o coa 6471   ·_o comu 6472  Ncnpi 7339   ·_N cmi 7341

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-13 2169  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-coll 4148  ax-sep 4151  ax-nul 4159  ax-pow 4207  ax-pr 4242  ax-un 4468  ax-setind 4573  ax-iinf 4624

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 836  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1475  df-sb 1777  df-eu 2048  df-mo 2049  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ne 2368  df-ral 2480  df-rex 2481  df-reu 2482  df-rab 2484  df-v 2765  df-sbc 2990  df-csb 3085  df-dif 3159  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-nul 3451  df-pw 3607  df-sn 3628  df-pr 3629  df-op 3631  df-uni 3840  df-int 3875  df-iun 3918  df-br 4034  df-opab 4095  df-mpt 4096  df-tr 4132  df-id 4328  df-iord 4401  df-on 4403  df-suc 4406  df-iom 4627  df-xp 4669  df-rel 4670  df-cnv 4671  df-co 4672  df-dm 4673  df-rn 4674  df-res 4675  df-ima 4676  df-iota 5219  df-fun 5260  df-fn 5261  df-f 5262  df-f1 5263  df-fo 5264  df-f1o 5265  df-fv 5266  df-ov 5925  df-oprab 5926  df-mpo 5927  df-1st 6198  df-2nd 6199  df-recs 6363  df-irdg 6428  df-oadd 6478  df-omul 6479  df-ni 7371  df-mi 7373

This theorem is referenced by:  addassnq0  7529