Theorem addassnq0lemcl 7686

Description: A natural number closure law. Lemma for addassnq0 7687. (Contributed by Jim Kingdon, 3-Dec-2019.)

Assertion

Ref	Expression
addassnq0lemcl	⊢ (((𝐼 ∈ ω ∧ 𝐽 ∈ N) ∧ (𝐾 ∈ ω ∧ 𝐿 ∈ N)) → (((𝐼 ·o 𝐿) +o (𝐽 ·o 𝐾)) ∈ ω ∧ (𝐽 ·o 𝐿) ∈ N))

Proof of Theorem addassnq0lemcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pinn 7534	. . . . 5 ⊢ (𝐿 ∈ N → 𝐿 ∈ ω)
2		nnmcl 6654	. . . . 5 ⊢ ((𝐼 ∈ ω ∧ 𝐿 ∈ ω) → (𝐼 ·o 𝐿) ∈ ω)
3	1, 2	sylan2 286	. . . 4 ⊢ ((𝐼 ∈ ω ∧ 𝐿 ∈ N) → (𝐼 ·o 𝐿) ∈ ω)
4	3	ad2ant2rl 511	. . 3 ⊢ (((𝐼 ∈ ω ∧ 𝐽 ∈ N) ∧ (𝐾 ∈ ω ∧ 𝐿 ∈ N)) → (𝐼 ·o 𝐿) ∈ ω)
5		pinn 7534	. . . . 5 ⊢ (𝐽 ∈ N → 𝐽 ∈ ω)
6		nnmcl 6654	. . . . 5 ⊢ ((𝐽 ∈ ω ∧ 𝐾 ∈ ω) → (𝐽 ·o 𝐾) ∈ ω)
7	5, 6	sylan 283	. . . 4 ⊢ ((𝐽 ∈ N ∧ 𝐾 ∈ ω) → (𝐽 ·o 𝐾) ∈ ω)
8	7	ad2ant2lr 510	. . 3 ⊢ (((𝐼 ∈ ω ∧ 𝐽 ∈ N) ∧ (𝐾 ∈ ω ∧ 𝐿 ∈ N)) → (𝐽 ·o 𝐾) ∈ ω)
9		nnacl 6653	. . 3 ⊢ (((𝐼 ·o 𝐿) ∈ ω ∧ (𝐽 ·o 𝐾) ∈ ω) → ((𝐼 ·o 𝐿) +o (𝐽 ·o 𝐾)) ∈ ω)
10	4, 8, 9	syl2anc 411	. 2 ⊢ (((𝐼 ∈ ω ∧ 𝐽 ∈ N) ∧ (𝐾 ∈ ω ∧ 𝐿 ∈ N)) → ((𝐼 ·o 𝐿) +o (𝐽 ·o 𝐾)) ∈ ω)
11		mulpiord 7542	. . . 4 ⊢ ((𝐽 ∈ N ∧ 𝐿 ∈ N) → (𝐽 ·N 𝐿) = (𝐽 ·o 𝐿))
12		mulclpi 7553	. . . 4 ⊢ ((𝐽 ∈ N ∧ 𝐿 ∈ N) → (𝐽 ·N 𝐿) ∈ N)
13	11, 12	eqeltrrd 2308	. . 3 ⊢ ((𝐽 ∈ N ∧ 𝐿 ∈ N) → (𝐽 ·o 𝐿) ∈ N)
14	13	ad2ant2l 508	. 2 ⊢ (((𝐼 ∈ ω ∧ 𝐽 ∈ N) ∧ (𝐾 ∈ ω ∧ 𝐿 ∈ N)) → (𝐽 ·o 𝐿) ∈ N)
15	10, 14	jca 306	1 ⊢ (((𝐼 ∈ ω ∧ 𝐽 ∈ N) ∧ (𝐾 ∈ ω ∧ 𝐿 ∈ N)) → (((𝐼 ·o 𝐿) +o (𝐽 ·o 𝐾)) ∈ ω ∧ (𝐽 ·o 𝐿) ∈ N))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ∈ wcel 2201  ωcom 4690  (class class class)co 6023   +_o coa 6584   ·_o comu 6585  Ncnpi 7497   ·_N cmi 7499

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 716  ax-5 1495  ax-7 1496  ax-gen 1497  ax-ie1 1541  ax-ie2 1542  ax-8 1552  ax-10 1553  ax-11 1554  ax-i12 1555  ax-bndl 1557  ax-4 1558  ax-17 1574  ax-i9 1578  ax-ial 1582  ax-i5r 1583  ax-13 2203  ax-14 2204  ax-ext 2212  ax-coll 4205  ax-sep 4208  ax-nul 4216  ax-pow 4266  ax-pr 4301  ax-un 4532  ax-setind 4637  ax-iinf 4688

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 842  df-3an 1006  df-tru 1400  df-fal 1403  df-nf 1509  df-sb 1810  df-eu 2081  df-mo 2082  df-clab 2217  df-cleq 2223  df-clel 2226  df-nfc 2362  df-ne 2402  df-ral 2514  df-rex 2515  df-reu 2516  df-rab 2518  df-v 2803  df-sbc 3031  df-csb 3127  df-dif 3201  df-un 3203  df-in 3205  df-ss 3212  df-nul 3494  df-pw 3655  df-sn 3676  df-pr 3677  df-op 3679  df-uni 3895  df-int 3930  df-iun 3973  df-br 4090  df-opab 4152  df-mpt 4153  df-tr 4189  df-id 4392  df-iord 4465  df-on 4467  df-suc 4470  df-iom 4691  df-xp 4733  df-rel 4734  df-cnv 4735  df-co 4736  df-dm 4737  df-rn 4738  df-res 4739  df-ima 4740  df-iota 5288  df-fun 5330  df-fn 5331  df-f 5332  df-f1 5333  df-fo 5334  df-f1o 5335  df-fv 5336  df-ov 6026  df-oprab 6027  df-mpo 6028  df-1st 6308  df-2nd 6309  df-recs 6476  df-irdg 6541  df-oadd 6591  df-omul 6592  df-ni 7529  df-mi 7531

This theorem is referenced by:  addassnq0  7687