Theorem addassnq0lemcl 7402

Description: A natural number closure law. Lemma for addassnq0 7403. (Contributed by Jim Kingdon, 3-Dec-2019.)

Assertion

Ref	Expression
addassnq0lemcl	⊢ (((𝐼 ∈ ω ∧ 𝐽 ∈ N) ∧ (𝐾 ∈ ω ∧ 𝐿 ∈ N)) → (((𝐼 ·o 𝐿) +o (𝐽 ·o 𝐾)) ∈ ω ∧ (𝐽 ·o 𝐿) ∈ N))

Proof of Theorem addassnq0lemcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pinn 7250	. . . . 5 ⊢ (𝐿 ∈ N → 𝐿 ∈ ω)
2		nnmcl 6449	. . . . 5 ⊢ ((𝐼 ∈ ω ∧ 𝐿 ∈ ω) → (𝐼 ·o 𝐿) ∈ ω)
3	1, 2	sylan2 284	. . . 4 ⊢ ((𝐼 ∈ ω ∧ 𝐿 ∈ N) → (𝐼 ·o 𝐿) ∈ ω)
4	3	ad2ant2rl 503	. . 3 ⊢ (((𝐼 ∈ ω ∧ 𝐽 ∈ N) ∧ (𝐾 ∈ ω ∧ 𝐿 ∈ N)) → (𝐼 ·o 𝐿) ∈ ω)
5		pinn 7250	. . . . 5 ⊢ (𝐽 ∈ N → 𝐽 ∈ ω)
6		nnmcl 6449	. . . . 5 ⊢ ((𝐽 ∈ ω ∧ 𝐾 ∈ ω) → (𝐽 ·o 𝐾) ∈ ω)
7	5, 6	sylan 281	. . . 4 ⊢ ((𝐽 ∈ N ∧ 𝐾 ∈ ω) → (𝐽 ·o 𝐾) ∈ ω)
8	7	ad2ant2lr 502	. . 3 ⊢ (((𝐼 ∈ ω ∧ 𝐽 ∈ N) ∧ (𝐾 ∈ ω ∧ 𝐿 ∈ N)) → (𝐽 ·o 𝐾) ∈ ω)
9		nnacl 6448	. . 3 ⊢ (((𝐼 ·o 𝐿) ∈ ω ∧ (𝐽 ·o 𝐾) ∈ ω) → ((𝐼 ·o 𝐿) +o (𝐽 ·o 𝐾)) ∈ ω)
10	4, 8, 9	syl2anc 409	. 2 ⊢ (((𝐼 ∈ ω ∧ 𝐽 ∈ N) ∧ (𝐾 ∈ ω ∧ 𝐿 ∈ N)) → ((𝐼 ·o 𝐿) +o (𝐽 ·o 𝐾)) ∈ ω)
11		mulpiord 7258	. . . 4 ⊢ ((𝐽 ∈ N ∧ 𝐿 ∈ N) → (𝐽 ·N 𝐿) = (𝐽 ·o 𝐿))
12		mulclpi 7269	. . . 4 ⊢ ((𝐽 ∈ N ∧ 𝐿 ∈ N) → (𝐽 ·N 𝐿) ∈ N)
13	11, 12	eqeltrrd 2244	. . 3 ⊢ ((𝐽 ∈ N ∧ 𝐿 ∈ N) → (𝐽 ·o 𝐿) ∈ N)
14	13	ad2ant2l 500	. 2 ⊢ (((𝐼 ∈ ω ∧ 𝐽 ∈ N) ∧ (𝐾 ∈ ω ∧ 𝐿 ∈ N)) → (𝐽 ·o 𝐿) ∈ N)
15	10, 14	jca 304	1 ⊢ (((𝐼 ∈ ω ∧ 𝐽 ∈ N) ∧ (𝐾 ∈ ω ∧ 𝐿 ∈ N)) → (((𝐼 ·o 𝐿) +o (𝐽 ·o 𝐾)) ∈ ω ∧ (𝐽 ·o 𝐿) ∈ N))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 103   ∈ wcel 2136  ωcom 4567  (class class class)co 5842   +_o coa 6381   ·_o comu 6382  Ncnpi 7213   ·_N cmi 7215

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1435  ax-7 1436  ax-gen 1437  ax-ie1 1481  ax-ie2 1482  ax-8 1492  ax-10 1493  ax-11 1494  ax-i12 1495  ax-bndl 1497  ax-4 1498  ax-17 1514  ax-i9 1518  ax-ial 1522  ax-i5r 1523  ax-13 2138  ax-14 2139  ax-ext 2147  ax-coll 4097  ax-sep 4100  ax-nul 4108  ax-pow 4153  ax-pr 4187  ax-un 4411  ax-setind 4514  ax-iinf 4565

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 825  df-3an 970  df-tru 1346  df-fal 1349  df-nf 1449  df-sb 1751  df-eu 2017  df-mo 2018  df-clab 2152  df-cleq 2158  df-clel 2161  df-nfc 2297  df-ne 2337  df-ral 2449  df-rex 2450  df-reu 2451  df-rab 2453  df-v 2728  df-sbc 2952  df-csb 3046  df-dif 3118  df-un 3120  df-in 3122  df-ss 3129  df-nul 3410  df-pw 3561  df-sn 3582  df-pr 3583  df-op 3585  df-uni 3790  df-int 3825  df-iun 3868  df-br 3983  df-opab 4044  df-mpt 4045  df-tr 4081  df-id 4271  df-iord 4344  df-on 4346  df-suc 4349  df-iom 4568  df-xp 4610  df-rel 4611  df-cnv 4612  df-co 4613  df-dm 4614  df-rn 4615  df-res 4616  df-ima 4617  df-iota 5153  df-fun 5190  df-fn 5191  df-f 5192  df-f1 5193  df-fo 5194  df-f1o 5195  df-fv 5196  df-ov 5845  df-oprab 5846  df-mpo 5847  df-1st 6108  df-2nd 6109  df-recs 6273  df-irdg 6338  df-oadd 6388  df-omul 6389  df-ni 7245  df-mi 7247

This theorem is referenced by:  addassnq0  7403