ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  addcanpig GIF version

Theorem addcanpig 7311
Description: Addition cancellation law for positive integers. (Contributed by Jim Kingdon, 27-Aug-2019.)
Assertion
Ref Expression
addcanpig ((𝐴N𝐵N𝐶N) → ((𝐴 +N 𝐵) = (𝐴 +N 𝐶) ↔ 𝐵 = 𝐶))

Proof of Theorem addcanpig
StepHypRef Expression
1 addpiord 7293 . . . . 5 ((𝐴N𝐵N) → (𝐴 +N 𝐵) = (𝐴 +o 𝐵))
213adant3 1017 . . . 4 ((𝐴N𝐵N𝐶N) → (𝐴 +N 𝐵) = (𝐴 +o 𝐵))
3 addpiord 7293 . . . . 5 ((𝐴N𝐶N) → (𝐴 +N 𝐶) = (𝐴 +o 𝐶))
433adant2 1016 . . . 4 ((𝐴N𝐵N𝐶N) → (𝐴 +N 𝐶) = (𝐴 +o 𝐶))
52, 4eqeq12d 2192 . . 3 ((𝐴N𝐵N𝐶N) → ((𝐴 +N 𝐵) = (𝐴 +N 𝐶) ↔ (𝐴 +o 𝐵) = (𝐴 +o 𝐶)))
6 pinn 7286 . . . 4 (𝐴N𝐴 ∈ ω)
7 pinn 7286 . . . 4 (𝐵N𝐵 ∈ ω)
8 pinn 7286 . . . 4 (𝐶N𝐶 ∈ ω)
9 nnacan 6506 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω ∧ 𝐶 ∈ ω) → ((𝐴 +o 𝐵) = (𝐴 +o 𝐶) ↔ 𝐵 = 𝐶))
109biimpd 144 . . . 4 ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω ∧ 𝐶 ∈ ω) → ((𝐴 +o 𝐵) = (𝐴 +o 𝐶) → 𝐵 = 𝐶))
116, 7, 8, 10syl3an 1280 . . 3 ((𝐴N𝐵N𝐶N) → ((𝐴 +o 𝐵) = (𝐴 +o 𝐶) → 𝐵 = 𝐶))
125, 11sylbid 150 . 2 ((𝐴N𝐵N𝐶N) → ((𝐴 +N 𝐵) = (𝐴 +N 𝐶) → 𝐵 = 𝐶))
13 oveq2 5876 . 2 (𝐵 = 𝐶 → (𝐴 +N 𝐵) = (𝐴 +N 𝐶))
1412, 13impbid1 142 1 ((𝐴N𝐵N𝐶N) → ((𝐴 +N 𝐵) = (𝐴 +N 𝐶) ↔ 𝐵 = 𝐶))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wb 105  w3a 978   = wceq 1353  wcel 2148  ωcom 4585  (class class class)co 5868   +o coa 6407  Ncnpi 7249   +N cpli 7250
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-coll 4115  ax-sep 4118  ax-nul 4126  ax-pow 4171  ax-pr 4205  ax-un 4429  ax-setind 4532  ax-iinf 4583
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rab 2464  df-v 2739  df-sbc 2963  df-csb 3058  df-dif 3131  df-un 3133  df-in 3135  df-ss 3142  df-nul 3423  df-pw 3576  df-sn 3597  df-pr 3598  df-op 3600  df-uni 3808  df-int 3843  df-iun 3886  df-br 4001  df-opab 4062  df-mpt 4063  df-tr 4099  df-id 4289  df-iord 4362  df-on 4364  df-suc 4367  df-iom 4586  df-xp 4628  df-rel 4629  df-cnv 4630  df-co 4631  df-dm 4632  df-rn 4633  df-res 4634  df-ima 4635  df-iota 5173  df-fun 5213  df-fn 5214  df-f 5215  df-f1 5216  df-fo 5217  df-f1o 5218  df-fv 5219  df-ov 5871  df-oprab 5872  df-mpo 5873  df-1st 6134  df-2nd 6135  df-recs 6299  df-irdg 6364  df-oadd 6414  df-ni 7281  df-pli 7282
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator