Theorem addge0 8320

Description: The sum of 2 nonnegative numbers is nonnegative. (Contributed by NM, 17-Mar-2005.) (Proof shortened by Andrew Salmon, 19-Nov-2011.)

Assertion

Ref	Expression
addge0	|- ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ ( 0 <_ A /\ 0 <_ B ) ) -> 0 <_ ( A + B ) )

Proof of Theorem addge0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		00id 8010	. 2 |- ( 0 + 0 ) = 0
2		0re 7872	. . . 4 |- 0 e. RR
3		le2add 8313	. . . 4 |- ( ( ( 0 e. RR /\ 0 e. RR ) /\ ( A e. RR /\ B e. RR ) ) -> ( ( 0 <_ A /\ 0 <_ B ) -> ( 0 + 0 ) <_ ( A + B ) ) )
4	2, 2, 3	mpanl12 433	. . 3 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> ( ( 0 <_ A /\ 0 <_ B ) -> ( 0 + 0 ) <_ ( A + B ) ) )
5	4	imp 123	. 2 |- ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ ( 0 <_ A /\ 0 <_ B ) ) -> ( 0 + 0 ) <_ ( A + B ) )
6	1, 5	eqbrtrrid 4000	1 |- ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ ( 0 <_ A /\ 0 <_ B ) ) -> 0 <_ ( A + B ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   e. wcel 2128   class class class wbr 3965  (class class class)co 5821   RRcr 7725   0cc0 7726   + caddc 7729   <_ cle 7907

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1427  ax-7 1428  ax-gen 1429  ax-ie1 1473  ax-ie2 1474  ax-8 1484  ax-10 1485  ax-11 1486  ax-i12 1487  ax-bndl 1489  ax-4 1490  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-13 2130  ax-14 2131  ax-ext 2139  ax-sep 4082  ax-pow 4135  ax-pr 4169  ax-un 4393  ax-setind 4495  ax-cnex 7817  ax-resscn 7818  ax-1cn 7819  ax-1re 7820  ax-icn 7821  ax-addcl 7822  ax-addrcl 7823  ax-mulcl 7824  ax-addcom 7826  ax-addass 7828  ax-i2m1 7831  ax-0id 7834  ax-rnegex 7835  ax-pre-ltwlin 7839  ax-pre-ltadd 7842

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 965  df-tru 1338  df-fal 1341  df-nf 1441  df-sb 1743  df-eu 2009  df-mo 2010  df-clab 2144  df-cleq 2150  df-clel 2153  df-nfc 2288  df-ne 2328  df-nel 2423  df-ral 2440  df-rex 2441  df-rab 2444  df-v 2714  df-dif 3104  df-un 3106  df-in 3108  df-ss 3115  df-pw 3545  df-sn 3566  df-pr 3567  df-op 3569  df-uni 3773  df-br 3966  df-opab 4026  df-xp 4591  df-cnv 4593  df-iota 5134  df-fv 5177  df-ov 5824  df-pnf 7908  df-mnf 7909  df-xr 7910  df-ltxr 7911  df-le 7912

This theorem is referenced by:  addge0i  8358  addge0d  8391  ge0addcl  9878  amgm2  11011