Theorem addge0 8126

Description: The sum of 2 nonnegative numbers is nonnegative. (Contributed by NM, 17-Mar-2005.) (Proof shortened by Andrew Salmon, 19-Nov-2011.)

Assertion

Ref	Expression
addge0	|- ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ ( 0 <_ A /\ 0 <_ B ) ) -> 0 <_ ( A + B ) )

Proof of Theorem addge0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		00id 7820	. 2 |- ( 0 + 0 ) = 0
2		0re 7684	. . . 4 |- 0 e. RR
3		le2add 8119	. . . 4 |- ( ( ( 0 e. RR /\ 0 e. RR ) /\ ( A e. RR /\ B e. RR ) ) -> ( ( 0 <_ A /\ 0 <_ B ) -> ( 0 + 0 ) <_ ( A + B ) ) )
4	2, 2, 3	mpanl12 430	. . 3 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> ( ( 0 <_ A /\ 0 <_ B ) -> ( 0 + 0 ) <_ ( A + B ) ) )
5	4	imp 123	. 2 |- ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ ( 0 <_ A /\ 0 <_ B ) ) -> ( 0 + 0 ) <_ ( A + B ) )
6	1, 5	eqbrtrrid 3927	1 |- ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ ( 0 <_ A /\ 0 <_ B ) ) -> 0 <_ ( A + B ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   e. wcel 1461   class class class wbr 3893  (class class class)co 5726   RRcr 7540   0cc0 7541   + caddc 7544   <_ cle 7719

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 586  ax-in2 587  ax-io 681  ax-5 1404  ax-7 1405  ax-gen 1406  ax-ie1 1450  ax-ie2 1451  ax-8 1463  ax-10 1464  ax-11 1465  ax-i12 1466  ax-bndl 1467  ax-4 1468  ax-13 1472  ax-14 1473  ax-17 1487  ax-i9 1491  ax-ial 1495  ax-i5r 1496  ax-ext 2095  ax-sep 4004  ax-pow 4056  ax-pr 4089  ax-un 4313  ax-setind 4410  ax-cnex 7630  ax-resscn 7631  ax-1cn 7632  ax-1re 7633  ax-icn 7634  ax-addcl 7635  ax-addrcl 7636  ax-mulcl 7637  ax-addcom 7639  ax-addass 7641  ax-i2m1 7644  ax-0id 7647  ax-rnegex 7648  ax-pre-ltwlin 7652  ax-pre-ltadd 7655

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 945  df-tru 1315  df-fal 1318  df-nf 1418  df-sb 1717  df-eu 1976  df-mo 1977  df-clab 2100  df-cleq 2106  df-clel 2109  df-nfc 2242  df-ne 2281  df-nel 2376  df-ral 2393  df-rex 2394  df-rab 2397  df-v 2657  df-dif 3037  df-un 3039  df-in 3041  df-ss 3048  df-pw 3476  df-sn 3497  df-pr 3498  df-op 3500  df-uni 3701  df-br 3894  df-opab 3948  df-xp 4503  df-cnv 4505  df-iota 5044  df-fv 5087  df-ov 5729  df-pnf 7720  df-mnf 7721  df-xr 7722  df-ltxr 7723  df-le 7724

This theorem is referenced by:  addge0i  8164  addge0d  8196  ge0addcl  9651  amgm2  10776