Theorem ge0addcl 10123

Description: The nonnegative reals are closed under addition. (Contributed by Mario Carneiro, 19-Jun-2014.)

Assertion

Ref	Expression
ge0addcl	|- ( ( A e. ( 0 [,) +oo ) /\ B e. ( 0 [,) +oo ) ) -> ( A + B ) e. ( 0 [,) +oo ) )

Proof of Theorem ge0addcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elrege0 10118	. 2 |- ( A e. ( 0 [,) +oo ) <-> ( A e. RR /\ 0 <_ A ) )
2		elrege0 10118	. 2 |- ( B e. ( 0 [,) +oo ) <-> ( B e. RR /\ 0 <_ B ) )
3		readdcl 8071	. . . 4 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> ( A + B ) e. RR )
4	3	ad2ant2r 509	. . 3 |- ( ( ( A e. RR /\ 0 <_ A ) /\ ( B e. RR /\ 0 <_ B ) ) -> ( A + B ) e. RR )
5		addge0 8544	. . . 4 |- ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ ( 0 <_ A /\ 0 <_ B ) ) -> 0 <_ ( A + B ) )
6	5	an4s 588	. . 3 |- ( ( ( A e. RR /\ 0 <_ A ) /\ ( B e. RR /\ 0 <_ B ) ) -> 0 <_ ( A + B ) )
7		elrege0 10118	. . 3 |- ( ( A + B ) e. ( 0 [,) +oo ) <-> ( ( A + B ) e. RR /\ 0 <_ ( A + B ) ) )
8	4, 6, 7	sylanbrc 417	. 2 |- ( ( ( A e. RR /\ 0 <_ A ) /\ ( B e. RR /\ 0 <_ B ) ) -> ( A + B ) e. ( 0 [,) +oo ) )
9	1, 2, 8	syl2anb 291	1 |- ( ( A e. ( 0 [,) +oo ) /\ B e. ( 0 [,) +oo ) ) -> ( A + B ) e. ( 0 [,) +oo ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   e. wcel 2177   class class class wbr 4051  (class class class)co 5957   RRcr 7944   0cc0 7945   + caddc 7948   +oocpnf 8124   <_ cle 8128   [,)cico 10032

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1471  ax-7 1472  ax-gen 1473  ax-ie1 1517  ax-ie2 1518  ax-8 1528  ax-10 1529  ax-11 1530  ax-i12 1531  ax-bndl 1533  ax-4 1534  ax-17 1550  ax-i9 1554  ax-ial 1558  ax-i5r 1559  ax-13 2179  ax-14 2180  ax-ext 2188  ax-sep 4170  ax-pow 4226  ax-pr 4261  ax-un 4488  ax-setind 4593  ax-cnex 8036  ax-resscn 8037  ax-1cn 8038  ax-1re 8039  ax-icn 8040  ax-addcl 8041  ax-addrcl 8042  ax-mulcl 8043  ax-addcom 8045  ax-addass 8047  ax-i2m1 8050  ax-0id 8053  ax-rnegex 8054  ax-pre-ltirr 8057  ax-pre-ltwlin 8058  ax-pre-lttrn 8059  ax-pre-ltadd 8061

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 982  df-3an 983  df-tru 1376  df-fal 1379  df-nf 1485  df-sb 1787  df-eu 2058  df-mo 2059  df-clab 2193  df-cleq 2199  df-clel 2202  df-nfc 2338  df-ne 2378  df-nel 2473  df-ral 2490  df-rex 2491  df-rab 2494  df-v 2775  df-sbc 3003  df-dif 3172  df-un 3174  df-in 3176  df-ss 3183  df-pw 3623  df-sn 3644  df-pr 3645  df-op 3647  df-uni 3857  df-br 4052  df-opab 4114  df-id 4348  df-po 4351  df-iso 4352  df-xp 4689  df-rel 4690  df-cnv 4691  df-co 4692  df-dm 4693  df-iota 5241  df-fun 5282  df-fv 5288  df-ov 5960  df-oprab 5961  df-mpo 5962  df-pnf 8129  df-mnf 8130  df-xr 8131  df-ltxr 8132  df-le 8133  df-ico 10036

This theorem is referenced by:  fsumge0  11845  rege0subm  14421