ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  ge0addcl Unicode version

Theorem ge0addcl 9397
Description: The nonnegative reals are closed under addition. (Contributed by Mario Carneiro, 19-Jun-2014.)
Assertion
Ref Expression
ge0addcl  |-  ( ( A  e.  ( 0 [,) +oo )  /\  B  e.  ( 0 [,) +oo ) )  ->  ( A  +  B )  e.  ( 0 [,) +oo )
)

Proof of Theorem ge0addcl
StepHypRef Expression
1 elrege0 9392 . 2  |-  ( A  e.  ( 0 [,) +oo )  <->  ( A  e.  RR  /\  0  <_  A ) )
2 elrege0 9392 . 2  |-  ( B  e.  ( 0 [,) +oo )  <->  ( B  e.  RR  /\  0  <_  B ) )
3 readdcl 7466 . . . 4  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( A  +  B
)  e.  RR )
43ad2ant2r 493 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  0  <_  A )  /\  ( B  e.  RR  /\  0  <_  B )
)  ->  ( A  +  B )  e.  RR )
5 addge0 7927 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  ( 0  <_  A  /\  0  <_  B
) )  ->  0  <_  ( A  +  B
) )
65an4s 555 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  0  <_  A )  /\  ( B  e.  RR  /\  0  <_  B )
)  ->  0  <_  ( A  +  B ) )
7 elrege0 9392 . . 3  |-  ( ( A  +  B )  e.  ( 0 [,) +oo )  <->  ( ( A  +  B )  e.  RR  /\  0  <_ 
( A  +  B
) ) )
84, 6, 7sylanbrc 408 . 2  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  0  <_  A )  /\  ( B  e.  RR  /\  0  <_  B )
)  ->  ( A  +  B )  e.  ( 0 [,) +oo )
)
91, 2, 8syl2anb 285 1  |-  ( ( A  e.  ( 0 [,) +oo )  /\  B  e.  ( 0 [,) +oo ) )  ->  ( A  +  B )  e.  ( 0 [,) +oo )
)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 102    e. wcel 1438   class class class wbr 3845  (class class class)co 5652   RRcr 7347   0cc0 7348    + caddc 7351   +oocpnf 7517    <_ cle 7521   [,)cico 9306
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 579  ax-in2 580  ax-io 665  ax-5 1381  ax-7 1382  ax-gen 1383  ax-ie1 1427  ax-ie2 1428  ax-8 1440  ax-10 1441  ax-11 1442  ax-i12 1443  ax-bndl 1444  ax-4 1445  ax-13 1449  ax-14 1450  ax-17 1464  ax-i9 1468  ax-ial 1472  ax-i5r 1473  ax-ext 2070  ax-sep 3957  ax-pow 4009  ax-pr 4036  ax-un 4260  ax-setind 4353  ax-cnex 7434  ax-resscn 7435  ax-1cn 7436  ax-1re 7437  ax-icn 7438  ax-addcl 7439  ax-addrcl 7440  ax-mulcl 7441  ax-addcom 7443  ax-addass 7445  ax-i2m1 7448  ax-0id 7451  ax-rnegex 7452  ax-pre-ltirr 7455  ax-pre-ltwlin 7456  ax-pre-lttrn 7457  ax-pre-ltadd 7459
This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3or 925  df-3an 926  df-tru 1292  df-fal 1295  df-nf 1395  df-sb 1693  df-eu 1951  df-mo 1952  df-clab 2075  df-cleq 2081  df-clel 2084  df-nfc 2217  df-ne 2256  df-nel 2351  df-ral 2364  df-rex 2365  df-rab 2368  df-v 2621  df-sbc 2841  df-dif 3001  df-un 3003  df-in 3005  df-ss 3012  df-pw 3431  df-sn 3452  df-pr 3453  df-op 3455  df-uni 3654  df-br 3846  df-opab 3900  df-id 4120  df-po 4123  df-iso 4124  df-xp 4444  df-rel 4445  df-cnv 4446  df-co 4447  df-dm 4448  df-iota 4980  df-fun 5017  df-fv 5023  df-ov 5655  df-oprab 5656  df-mpt2 5657  df-pnf 7522  df-mnf 7523  df-xr 7524  df-ltxr 7525  df-le 7526  df-ico 9310
This theorem is referenced by:  fsumge0  10849
  Copyright terms: Public domain W3C validator