Theorem ge0addcl 10189

Description: The nonnegative reals are closed under addition. (Contributed by Mario Carneiro, 19-Jun-2014.)

Assertion

Ref	Expression
ge0addcl	|- ( ( A e. ( 0 [,) +oo ) /\ B e. ( 0 [,) +oo ) ) -> ( A + B ) e. ( 0 [,) +oo ) )

Proof of Theorem ge0addcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elrege0 10184	. 2 |- ( A e. ( 0 [,) +oo ) <-> ( A e. RR /\ 0 <_ A ) )
2		elrege0 10184	. 2 |- ( B e. ( 0 [,) +oo ) <-> ( B e. RR /\ 0 <_ B ) )
3		readdcl 8136	. . . 4 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> ( A + B ) e. RR )
4	3	ad2ant2r 509	. . 3 |- ( ( ( A e. RR /\ 0 <_ A ) /\ ( B e. RR /\ 0 <_ B ) ) -> ( A + B ) e. RR )
5		addge0 8609	. . . 4 |- ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ ( 0 <_ A /\ 0 <_ B ) ) -> 0 <_ ( A + B ) )
6	5	an4s 590	. . 3 |- ( ( ( A e. RR /\ 0 <_ A ) /\ ( B e. RR /\ 0 <_ B ) ) -> 0 <_ ( A + B ) )
7		elrege0 10184	. . 3 |- ( ( A + B ) e. ( 0 [,) +oo ) <-> ( ( A + B ) e. RR /\ 0 <_ ( A + B ) ) )
8	4, 6, 7	sylanbrc 417	. 2 |- ( ( ( A e. RR /\ 0 <_ A ) /\ ( B e. RR /\ 0 <_ B ) ) -> ( A + B ) e. ( 0 [,) +oo ) )
9	1, 2, 8	syl2anb 291	1 |- ( ( A e. ( 0 [,) +oo ) /\ B e. ( 0 [,) +oo ) ) -> ( A + B ) e. ( 0 [,) +oo ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   e. wcel 2200   class class class wbr 4083  (class class class)co 6007   RRcr 8009   0cc0 8010   + caddc 8013   +oocpnf 8189   <_ cle 8193   [,)cico 10098

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-sep 4202  ax-pow 4258  ax-pr 4293  ax-un 4524  ax-setind 4629  ax-cnex 8101  ax-resscn 8102  ax-1cn 8103  ax-1re 8104  ax-icn 8105  ax-addcl 8106  ax-addrcl 8107  ax-mulcl 8108  ax-addcom 8110  ax-addass 8112  ax-i2m1 8115  ax-0id 8118  ax-rnegex 8119  ax-pre-ltirr 8122  ax-pre-ltwlin 8123  ax-pre-lttrn 8124  ax-pre-ltadd 8126

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1003  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-nel 2496  df-ral 2513  df-rex 2514  df-rab 2517  df-v 2801  df-sbc 3029  df-dif 3199  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-uni 3889  df-br 4084  df-opab 4146  df-id 4384  df-po 4387  df-iso 4388  df-xp 4725  df-rel 4726  df-cnv 4727  df-co 4728  df-dm 4729  df-iota 5278  df-fun 5320  df-fv 5326  df-ov 6010  df-oprab 6011  df-mpo 6012  df-pnf 8194  df-mnf 8195  df-xr 8196  df-ltxr 8197  df-le 8198  df-ico 10102

This theorem is referenced by:  fsumge0  11985  rege0subm  14563