Theorem uzsubsubfz 10469

Description: Membership of an integer greater than L decreased by ( L - M ) in an M based finite set of sequential integers. (Contributed by Alexander van der Vekens, 14-Sep-2018.)

Assertion

Ref	Expression
uzsubsubfz	|- ( ( L e. ( ZZ>= ` M ) /\ N e. ( ZZ>= ` L ) ) -> ( N - ( L - M ) ) e. ( M ... N ) )

Proof of Theorem uzsubsubfz

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eluz2 9943	. . 3 |- ( L e. ( ZZ>= ` M ) <-> ( M e. ZZ /\ L e. ZZ /\ M <_ L ) )
2		eluz2 9943	. . . 4 |- ( N e. ( ZZ>= ` L ) <-> ( L e. ZZ /\ N e. ZZ /\ L <_ N ) )
3		simpr 110	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( L e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ M e. ZZ ) -> M e. ZZ )
4		simpr 110	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( L e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> N e. ZZ )
5	4	adantr 276	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( L e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ M e. ZZ ) -> N e. ZZ )
6		zsubcl 9696	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( L e. ZZ /\ M e. ZZ ) -> ( L - M ) e. ZZ )
7	6	adantlr 481	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( L e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ M e. ZZ ) -> ( L - M ) e. ZZ )
8	5, 7	zsubcld 9784	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( L e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ M e. ZZ ) -> ( N - ( L - M ) ) e. ZZ )
9	3, 5, 8	3jca 1208	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( L e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ M e. ZZ ) -> ( M e. ZZ /\ N e. ZZ /\ ( N - ( L - M ) ) e. ZZ ) )
10	9	ex 115	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( L e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( M e. ZZ -> ( M e. ZZ /\ N e. ZZ /\ ( N - ( L - M ) ) e. ZZ ) ) )
11	10	3adant3 1048	. . . . . . . . . 10 |- ( ( L e. ZZ /\ N e. ZZ /\ L <_ N ) -> ( M e. ZZ -> ( M e. ZZ /\ N e. ZZ /\ ( N - ( L - M ) ) e. ZZ ) ) )
12	11	com12 30	. . . . . . . . 9 |- ( M e. ZZ -> ( ( L e. ZZ /\ N e. ZZ /\ L <_ N ) -> ( M e. ZZ /\ N e. ZZ /\ ( N - ( L - M ) ) e. ZZ ) ) )
13	12	adantr 276	. . . . . . . 8 |- ( ( M e. ZZ /\ M <_ L ) -> ( ( L e. ZZ /\ N e. ZZ /\ L <_ N ) -> ( M e. ZZ /\ N e. ZZ /\ ( N - ( L - M ) ) e. ZZ ) ) )
14	13	imp 124	. . . . . . 7 |- ( ( ( M e. ZZ /\ M <_ L ) /\ ( L e. ZZ /\ N e. ZZ /\ L <_ N ) ) -> ( M e. ZZ /\ N e. ZZ /\ ( N - ( L - M ) ) e. ZZ ) )
15		zre 9659	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( N e. ZZ -> N e. RR )
16	15	adantl 277	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( L e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> N e. RR )
17	16	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( L e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ ( M e. ZZ /\ M <_ L ) ) -> N e. RR )
18		zre 9659	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( L e. ZZ -> L e. RR )
19	18	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( L e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> L e. RR )
20	19	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( L e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ ( M e. ZZ /\ M <_ L ) ) -> L e. RR )
21	17, 20	subge0d 8870	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( L e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ ( M e. ZZ /\ M <_ L ) ) -> ( 0 <_ ( N - L ) <-> L <_ N ) )
22	21	exbiri 382	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( L e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( ( M e. ZZ /\ M <_ L ) -> ( L <_ N -> 0 <_ ( N - L ) ) ) )
23	22	com23 78	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( L e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( L <_ N -> ( ( M e. ZZ /\ M <_ L ) -> 0 <_ ( N - L ) ) ) )
24	23	3impia 1231	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( L e. ZZ /\ N e. ZZ /\ L <_ N ) -> ( ( M e. ZZ /\ M <_ L ) -> 0 <_ ( N - L ) ) )
25	24	impcom 125	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( M e. ZZ /\ M <_ L ) /\ ( L e. ZZ /\ N e. ZZ /\ L <_ N ) ) -> 0 <_ ( N - L ) )
26		zre 9659	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( M e. ZZ -> M e. RR )
27	26	adantr 276	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( M e. ZZ /\ M <_ L ) -> M e. RR )
28	27	adantr 276	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( M e. ZZ /\ M <_ L ) /\ ( L e. ZZ /\ N e. ZZ /\ L <_ N ) ) -> M e. RR )
29		resubcl 8597	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( N e. RR /\ L e. RR ) -> ( N - L ) e. RR )
30	15, 18, 29	syl2anr 290	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( L e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( N - L ) e. RR )
31	30	3adant3 1048	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( L e. ZZ /\ N e. ZZ /\ L <_ N ) -> ( N - L ) e. RR )
32	31	adantl 277	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( M e. ZZ /\ M <_ L ) /\ ( L e. ZZ /\ N e. ZZ /\ L <_ N ) ) -> ( N - L ) e. RR )
33	28, 32	addge02d 8869	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( M e. ZZ /\ M <_ L ) /\ ( L e. ZZ /\ N e. ZZ /\ L <_ N ) ) -> ( 0 <_ ( N - L ) <-> M <_ ( ( N - L ) + M ) ) )
34	25, 33	mpbid 147	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( M e. ZZ /\ M <_ L ) /\ ( L e. ZZ /\ N e. ZZ /\ L <_ N ) ) -> M <_ ( ( N - L ) + M ) )
35		zcn 9660	. . . . . . . . . . . 12 |- ( N e. ZZ -> N e. CC )
36	35	3ad2ant2 1050	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( L e. ZZ /\ N e. ZZ /\ L <_ N ) -> N e. CC )
37	36	adantl 277	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( M e. ZZ /\ M <_ L ) /\ ( L e. ZZ /\ N e. ZZ /\ L <_ N ) ) -> N e. CC )
38		zcn 9660	. . . . . . . . . . . 12 |- ( L e. ZZ -> L e. CC )
39	38	3ad2ant1 1049	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( L e. ZZ /\ N e. ZZ /\ L <_ N ) -> L e. CC )
40	39	adantl 277	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( M e. ZZ /\ M <_ L ) /\ ( L e. ZZ /\ N e. ZZ /\ L <_ N ) ) -> L e. CC )
41		zcn 9660	. . . . . . . . . . . 12 |- ( M e. ZZ -> M e. CC )
42	41	adantr 276	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( M e. ZZ /\ M <_ L ) -> M e. CC )
43	42	adantr 276	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( M e. ZZ /\ M <_ L ) /\ ( L e. ZZ /\ N e. ZZ /\ L <_ N ) ) -> M e. CC )
44	37, 40, 43	subsubd 8672	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( M e. ZZ /\ M <_ L ) /\ ( L e. ZZ /\ N e. ZZ /\ L <_ N ) ) -> ( N - ( L - M ) ) = ( ( N - L ) + M ) )
45	34, 44	breqtrrd 4159	. . . . . . . 8 |- ( ( ( M e. ZZ /\ M <_ L ) /\ ( L e. ZZ /\ N e. ZZ /\ L <_ N ) ) -> M <_ ( N - ( L - M ) ) )
46	18	3ad2ant1 1049	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( L e. ZZ /\ N e. ZZ /\ L <_ N ) -> L e. RR )
47		subge0 8810	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( L e. RR /\ M e. RR ) -> ( 0 <_ ( L - M ) <-> M <_ L ) )
48	46, 26, 47	syl2anr 290	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( M e. ZZ /\ ( L e. ZZ /\ N e. ZZ /\ L <_ N ) ) -> ( 0 <_ ( L - M ) <-> M <_ L ) )
49	48	exbiri 382	. . . . . . . . . . 11 |- ( M e. ZZ -> ( ( L e. ZZ /\ N e. ZZ /\ L <_ N ) -> ( M <_ L -> 0 <_ ( L - M ) ) ) )
50	49	com23 78	. . . . . . . . . 10 |- ( M e. ZZ -> ( M <_ L -> ( ( L e. ZZ /\ N e. ZZ /\ L <_ N ) -> 0 <_ ( L - M ) ) ) )
51	50	imp31 256	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( M e. ZZ /\ M <_ L ) /\ ( L e. ZZ /\ N e. ZZ /\ L <_ N ) ) -> 0 <_ ( L - M ) )
52	15	3ad2ant2 1050	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( L e. ZZ /\ N e. ZZ /\ L <_ N ) -> N e. RR )
53	52	adantl 277	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( M e. ZZ /\ M <_ L ) /\ ( L e. ZZ /\ N e. ZZ /\ L <_ N ) ) -> N e. RR )
54		resubcl 8597	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( L e. RR /\ M e. RR ) -> ( L - M ) e. RR )
55	46, 27, 54	syl2anr 290	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( M e. ZZ /\ M <_ L ) /\ ( L e. ZZ /\ N e. ZZ /\ L <_ N ) ) -> ( L - M ) e. RR )
56	53, 55	subge02d 8872	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( M e. ZZ /\ M <_ L ) /\ ( L e. ZZ /\ N e. ZZ /\ L <_ N ) ) -> ( 0 <_ ( L - M ) <-> ( N - ( L - M ) ) <_ N ) )
57	51, 56	mpbid 147	. . . . . . . 8 |- ( ( ( M e. ZZ /\ M <_ L ) /\ ( L e. ZZ /\ N e. ZZ /\ L <_ N ) ) -> ( N - ( L - M ) ) <_ N )
58	45, 57	jca 306	. . . . . . 7 |- ( ( ( M e. ZZ /\ M <_ L ) /\ ( L e. ZZ /\ N e. ZZ /\ L <_ N ) ) -> ( M <_ ( N - ( L - M ) ) /\ ( N - ( L - M ) ) <_ N ) )
59		elfz2 10435	. . . . . . 7 |- ( ( N - ( L - M ) ) e. ( M ... N ) <-> ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ /\ ( N - ( L - M ) ) e. ZZ ) /\ ( M <_ ( N - ( L - M ) ) /\ ( N - ( L - M ) ) <_ N ) ) )
60	14, 58, 59	sylanbrc 421	. . . . . 6 |- ( ( ( M e. ZZ /\ M <_ L ) /\ ( L e. ZZ /\ N e. ZZ /\ L <_ N ) ) -> ( N - ( L - M ) ) e. ( M ... N ) )
61	60	ex 115	. . . . 5 |- ( ( M e. ZZ /\ M <_ L ) -> ( ( L e. ZZ /\ N e. ZZ /\ L <_ N ) -> ( N - ( L - M ) ) e. ( M ... N ) ) )
62	61	3adant2 1047	. . . 4 |- ( ( M e. ZZ /\ L e. ZZ /\ M <_ L ) -> ( ( L e. ZZ /\ N e. ZZ /\ L <_ N ) -> ( N - ( L - M ) ) e. ( M ... N ) ) )
63	2, 62	biimtrid 152	. . 3 |- ( ( M e. ZZ /\ L e. ZZ /\ M <_ L ) -> ( N e. ( ZZ>= ` L ) -> ( N - ( L - M ) ) e. ( M ... N ) ) )
64	1, 63	sylbi 121	. 2 |- ( L e. ( ZZ>= ` M ) -> ( N e. ( ZZ>= ` L ) -> ( N - ( L - M ) ) e. ( M ... N ) ) )
65	64	imp 124	1 |- ( ( L e. ( ZZ>= ` M ) /\ N e. ( ZZ>= ` L ) ) -> ( N - ( L - M ) ) e. ( M ... N ) )

This proof depends on syntax axioms:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   /\ w3a 1009   e. wcel 2209   class class class wbr 4131   ` cfv 5380  (class class class)co 6088   CCcc 8183   RRcr 8184   0cc0 8185   + caddc 8188   <_ cle 8367   - cmin 8504   ZZcz 9655   ZZ>=cuz 9937   ...cfz 10428

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4251  ax-pow 4313  ax-pr 4348  ax-un 4580  ax-setind 4686  ax-cnex 8276  ax-resscn 8277  ax-1cn 8278  ax-1re 8279  ax-icn 8280  ax-addcl 8281  ax-addrcl 8282  ax-mulcl 8283  ax-addcom 8285  ax-addass 8287  ax-distr 8289  ax-i2m1 8290  ax-0lt1 8291  ax-0id 8293  ax-rnegex 8294  ax-cnre 8296  ax-pre-ltirr 8297  ax-pre-ltwlin 8298  ax-pre-lttrn 8299  ax-pre-ltadd 8301

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-int 3971  df-br 4132  df-opab 4194  df-mpt 4195  df-id 4440  df-xp 4782  df-rel 4783  df-cnv 4784  df-co 4785  df-dm 4786  df-rn 4787  df-res 4788  df-ima 4789  df-iota 5340  df-fun 5382  df-fn 5383  df-f 5384  df-fv 5388  df-riota 6041  df-ov 6091  df-oprab 6092  df-mpo 6093  df-pnf 8368  df-mnf 8369  df-xr 8370  df-ltxr 8371  df-le 8372  df-sub 8506  df-neg 8507  df-inn 9314  df-n0 9575  df-z 9656  df-uz 9938  df-fz 10429

This theorem is used by:  uzsubsubfz1  10470