Theorem uzsubsubfz 10344

Description: Membership of an integer greater than L decreased by ( L - M ) in an M based finite set of sequential integers. (Contributed by Alexander van der Vekens, 14-Sep-2018.)

Assertion

Ref	Expression
uzsubsubfz	|- ( ( L e. ( ZZ>= ` M ) /\ N e. ( ZZ>= ` L ) ) -> ( N - ( L - M ) ) e. ( M ... N ) )

Proof of Theorem uzsubsubfz

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eluz2 9822	. . 3 |- ( L e. ( ZZ>= ` M ) <-> ( M e. ZZ /\ L e. ZZ /\ M <_ L ) )
2		eluz2 9822	. . . 4 |- ( N e. ( ZZ>= ` L ) <-> ( L e. ZZ /\ N e. ZZ /\ L <_ N ) )
3		simpr 110	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( L e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ M e. ZZ ) -> M e. ZZ )
4		simpr 110	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( L e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> N e. ZZ )
5	4	adantr 276	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( L e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ M e. ZZ ) -> N e. ZZ )
6		zsubcl 9581	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( L e. ZZ /\ M e. ZZ ) -> ( L - M ) e. ZZ )
7	6	adantlr 477	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( L e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ M e. ZZ ) -> ( L - M ) e. ZZ )
8	5, 7	zsubcld 9668	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( L e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ M e. ZZ ) -> ( N - ( L - M ) ) e. ZZ )
9	3, 5, 8	3jca 1204	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( L e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ M e. ZZ ) -> ( M e. ZZ /\ N e. ZZ /\ ( N - ( L - M ) ) e. ZZ ) )
10	9	ex 115	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( L e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( M e. ZZ -> ( M e. ZZ /\ N e. ZZ /\ ( N - ( L - M ) ) e. ZZ ) ) )
11	10	3adant3 1044	. . . . . . . . . 10 |- ( ( L e. ZZ /\ N e. ZZ /\ L <_ N ) -> ( M e. ZZ -> ( M e. ZZ /\ N e. ZZ /\ ( N - ( L - M ) ) e. ZZ ) ) )
12	11	com12 30	. . . . . . . . 9 |- ( M e. ZZ -> ( ( L e. ZZ /\ N e. ZZ /\ L <_ N ) -> ( M e. ZZ /\ N e. ZZ /\ ( N - ( L - M ) ) e. ZZ ) ) )
13	12	adantr 276	. . . . . . . 8 |- ( ( M e. ZZ /\ M <_ L ) -> ( ( L e. ZZ /\ N e. ZZ /\ L <_ N ) -> ( M e. ZZ /\ N e. ZZ /\ ( N - ( L - M ) ) e. ZZ ) ) )
14	13	imp 124	. . . . . . 7 |- ( ( ( M e. ZZ /\ M <_ L ) /\ ( L e. ZZ /\ N e. ZZ /\ L <_ N ) ) -> ( M e. ZZ /\ N e. ZZ /\ ( N - ( L - M ) ) e. ZZ ) )
15		zre 9544	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( N e. ZZ -> N e. RR )
16	15	adantl 277	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( L e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> N e. RR )
17	16	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( L e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ ( M e. ZZ /\ M <_ L ) ) -> N e. RR )
18		zre 9544	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( L e. ZZ -> L e. RR )
19	18	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( L e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> L e. RR )
20	19	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( L e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ ( M e. ZZ /\ M <_ L ) ) -> L e. RR )
21	17, 20	subge0d 8774	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( L e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ ( M e. ZZ /\ M <_ L ) ) -> ( 0 <_ ( N - L ) <-> L <_ N ) )
22	21	exbiri 382	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( L e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( ( M e. ZZ /\ M <_ L ) -> ( L <_ N -> 0 <_ ( N - L ) ) ) )
23	22	com23 78	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( L e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( L <_ N -> ( ( M e. ZZ /\ M <_ L ) -> 0 <_ ( N - L ) ) ) )
24	23	3impia 1227	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( L e. ZZ /\ N e. ZZ /\ L <_ N ) -> ( ( M e. ZZ /\ M <_ L ) -> 0 <_ ( N - L ) ) )
25	24	impcom 125	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( M e. ZZ /\ M <_ L ) /\ ( L e. ZZ /\ N e. ZZ /\ L <_ N ) ) -> 0 <_ ( N - L ) )
26		zre 9544	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( M e. ZZ -> M e. RR )
27	26	adantr 276	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( M e. ZZ /\ M <_ L ) -> M e. RR )
28	27	adantr 276	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( M e. ZZ /\ M <_ L ) /\ ( L e. ZZ /\ N e. ZZ /\ L <_ N ) ) -> M e. RR )
29		resubcl 8502	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( N e. RR /\ L e. RR ) -> ( N - L ) e. RR )
30	15, 18, 29	syl2anr 290	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( L e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( N - L ) e. RR )
31	30	3adant3 1044	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( L e. ZZ /\ N e. ZZ /\ L <_ N ) -> ( N - L ) e. RR )
32	31	adantl 277	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( M e. ZZ /\ M <_ L ) /\ ( L e. ZZ /\ N e. ZZ /\ L <_ N ) ) -> ( N - L ) e. RR )
33	28, 32	addge02d 8773	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( M e. ZZ /\ M <_ L ) /\ ( L e. ZZ /\ N e. ZZ /\ L <_ N ) ) -> ( 0 <_ ( N - L ) <-> M <_ ( ( N - L ) + M ) ) )
34	25, 33	mpbid 147	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( M e. ZZ /\ M <_ L ) /\ ( L e. ZZ /\ N e. ZZ /\ L <_ N ) ) -> M <_ ( ( N - L ) + M ) )
35		zcn 9545	. . . . . . . . . . . 12 |- ( N e. ZZ -> N e. CC )
36	35	3ad2ant2 1046	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( L e. ZZ /\ N e. ZZ /\ L <_ N ) -> N e. CC )
37	36	adantl 277	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( M e. ZZ /\ M <_ L ) /\ ( L e. ZZ /\ N e. ZZ /\ L <_ N ) ) -> N e. CC )
38		zcn 9545	. . . . . . . . . . . 12 |- ( L e. ZZ -> L e. CC )
39	38	3ad2ant1 1045	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( L e. ZZ /\ N e. ZZ /\ L <_ N ) -> L e. CC )
40	39	adantl 277	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( M e. ZZ /\ M <_ L ) /\ ( L e. ZZ /\ N e. ZZ /\ L <_ N ) ) -> L e. CC )
41		zcn 9545	. . . . . . . . . . . 12 |- ( M e. ZZ -> M e. CC )
42	41	adantr 276	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( M e. ZZ /\ M <_ L ) -> M e. CC )
43	42	adantr 276	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( M e. ZZ /\ M <_ L ) /\ ( L e. ZZ /\ N e. ZZ /\ L <_ N ) ) -> M e. CC )
44	37, 40, 43	subsubd 8577	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( M e. ZZ /\ M <_ L ) /\ ( L e. ZZ /\ N e. ZZ /\ L <_ N ) ) -> ( N - ( L - M ) ) = ( ( N - L ) + M ) )
45	34, 44	breqtrrd 4121	. . . . . . . 8 |- ( ( ( M e. ZZ /\ M <_ L ) /\ ( L e. ZZ /\ N e. ZZ /\ L <_ N ) ) -> M <_ ( N - ( L - M ) ) )
46	18	3ad2ant1 1045	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( L e. ZZ /\ N e. ZZ /\ L <_ N ) -> L e. RR )
47		subge0 8714	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( L e. RR /\ M e. RR ) -> ( 0 <_ ( L - M ) <-> M <_ L ) )
48	46, 26, 47	syl2anr 290	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( M e. ZZ /\ ( L e. ZZ /\ N e. ZZ /\ L <_ N ) ) -> ( 0 <_ ( L - M ) <-> M <_ L ) )
49	48	exbiri 382	. . . . . . . . . . 11 |- ( M e. ZZ -> ( ( L e. ZZ /\ N e. ZZ /\ L <_ N ) -> ( M <_ L -> 0 <_ ( L - M ) ) ) )
50	49	com23 78	. . . . . . . . . 10 |- ( M e. ZZ -> ( M <_ L -> ( ( L e. ZZ /\ N e. ZZ /\ L <_ N ) -> 0 <_ ( L - M ) ) ) )
51	50	imp31 256	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( M e. ZZ /\ M <_ L ) /\ ( L e. ZZ /\ N e. ZZ /\ L <_ N ) ) -> 0 <_ ( L - M ) )
52	15	3ad2ant2 1046	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( L e. ZZ /\ N e. ZZ /\ L <_ N ) -> N e. RR )
53	52	adantl 277	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( M e. ZZ /\ M <_ L ) /\ ( L e. ZZ /\ N e. ZZ /\ L <_ N ) ) -> N e. RR )
54		resubcl 8502	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( L e. RR /\ M e. RR ) -> ( L - M ) e. RR )
55	46, 27, 54	syl2anr 290	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( M e. ZZ /\ M <_ L ) /\ ( L e. ZZ /\ N e. ZZ /\ L <_ N ) ) -> ( L - M ) e. RR )
56	53, 55	subge02d 8776	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( M e. ZZ /\ M <_ L ) /\ ( L e. ZZ /\ N e. ZZ /\ L <_ N ) ) -> ( 0 <_ ( L - M ) <-> ( N - ( L - M ) ) <_ N ) )
57	51, 56	mpbid 147	. . . . . . . 8 |- ( ( ( M e. ZZ /\ M <_ L ) /\ ( L e. ZZ /\ N e. ZZ /\ L <_ N ) ) -> ( N - ( L - M ) ) <_ N )
58	45, 57	jca 306	. . . . . . 7 |- ( ( ( M e. ZZ /\ M <_ L ) /\ ( L e. ZZ /\ N e. ZZ /\ L <_ N ) ) -> ( M <_ ( N - ( L - M ) ) /\ ( N - ( L - M ) ) <_ N ) )
59		elfz2 10312	. . . . . . 7 |- ( ( N - ( L - M ) ) e. ( M ... N ) <-> ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ /\ ( N - ( L - M ) ) e. ZZ ) /\ ( M <_ ( N - ( L - M ) ) /\ ( N - ( L - M ) ) <_ N ) ) )
60	14, 58, 59	sylanbrc 417	. . . . . 6 |- ( ( ( M e. ZZ /\ M <_ L ) /\ ( L e. ZZ /\ N e. ZZ /\ L <_ N ) ) -> ( N - ( L - M ) ) e. ( M ... N ) )
61	60	ex 115	. . . . 5 |- ( ( M e. ZZ /\ M <_ L ) -> ( ( L e. ZZ /\ N e. ZZ /\ L <_ N ) -> ( N - ( L - M ) ) e. ( M ... N ) ) )
62	61	3adant2 1043	. . . 4 |- ( ( M e. ZZ /\ L e. ZZ /\ M <_ L ) -> ( ( L e. ZZ /\ N e. ZZ /\ L <_ N ) -> ( N - ( L - M ) ) e. ( M ... N ) ) )
63	2, 62	biimtrid 152	. . 3 |- ( ( M e. ZZ /\ L e. ZZ /\ M <_ L ) -> ( N e. ( ZZ>= ` L ) -> ( N - ( L - M ) ) e. ( M ... N ) ) )
64	1, 63	sylbi 121	. 2 |- ( L e. ( ZZ>= ` M ) -> ( N e. ( ZZ>= ` L ) -> ( N - ( L - M ) ) e. ( M ... N ) ) )
65	64	imp 124	1 |- ( ( L e. ( ZZ>= ` M ) /\ N e. ( ZZ>= ` L ) ) -> ( N - ( L - M ) ) e. ( M ... N ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   /\ w3a 1005   e. wcel 2202   class class class wbr 4093   ` cfv 5333  (class class class)co 6028   CCcc 8090   RRcr 8091   0cc0 8092   + caddc 8095   <_ cle 8274   - cmin 8409   ZZcz 9540   ZZ>=cuz 9816   ...cfz 10305

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-sep 4212  ax-pow 4270  ax-pr 4305  ax-un 4536  ax-setind 4641  ax-cnex 8183  ax-resscn 8184  ax-1cn 8185  ax-1re 8186  ax-icn 8187  ax-addcl 8188  ax-addrcl 8189  ax-mulcl 8190  ax-addcom 8192  ax-addass 8194  ax-distr 8196  ax-i2m1 8197  ax-0lt1 8198  ax-0id 8200  ax-rnegex 8201  ax-cnre 8203  ax-pre-ltirr 8204  ax-pre-ltwlin 8205  ax-pre-lttrn 8206  ax-pre-ltadd 8208

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2364  df-ne 2404  df-nel 2499  df-ral 2516  df-rex 2517  df-reu 2518  df-rab 2520  df-v 2805  df-sbc 3033  df-dif 3203  df-un 3205  df-in 3207  df-ss 3214  df-pw 3658  df-sn 3679  df-pr 3680  df-op 3682  df-uni 3899  df-int 3934  df-br 4094  df-opab 4156  df-mpt 4157  df-id 4396  df-xp 4737  df-rel 4738  df-cnv 4739  df-co 4740  df-dm 4741  df-rn 4742  df-res 4743  df-ima 4744  df-iota 5293  df-fun 5335  df-fn 5336  df-f 5337  df-fv 5341  df-riota 5981  df-ov 6031  df-oprab 6032  df-mpo 6033  df-pnf 8275  df-mnf 8276  df-xr 8277  df-ltxr 8278  df-le 8279  df-sub 8411  df-neg 8412  df-inn 9203  df-n0 9462  df-z 9541  df-uz 9817  df-fz 10306

This theorem is referenced by:  uzsubsubfz1  10345