Theorem uzsubsubfz 9461

Description: Membership of an integer greater than L decreased by ( L - M ) in an M based finite set of sequential integers. (Contributed by Alexander van der Vekens, 14-Sep-2018.)

Assertion

Ref	Expression
uzsubsubfz	|- ( ( L e. ( ZZ>= ` M ) /\ N e. ( ZZ>= ` L ) ) -> ( N - ( L - M ) ) e. ( M ... N ) )

Proof of Theorem uzsubsubfz

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eluz2 9025	. . 3 |- ( L e. ( ZZ>= ` M ) <-> ( M e. ZZ /\ L e. ZZ /\ M <_ L ) )
2		eluz2 9025	. . . 4 |- ( N e. ( ZZ>= ` L ) <-> ( L e. ZZ /\ N e. ZZ /\ L <_ N ) )
3		simpr 108	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( L e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ M e. ZZ ) -> M e. ZZ )
4		simpr 108	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( L e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> N e. ZZ )
5	4	adantr 270	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( L e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ M e. ZZ ) -> N e. ZZ )
6		zsubcl 8791	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( L e. ZZ /\ M e. ZZ ) -> ( L - M ) e. ZZ )
7	6	adantlr 461	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( L e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ M e. ZZ ) -> ( L - M ) e. ZZ )
8	5, 7	zsubcld 8873	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( L e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ M e. ZZ ) -> ( N - ( L - M ) ) e. ZZ )
9	3, 5, 8	3jca 1123	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( L e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ M e. ZZ ) -> ( M e. ZZ /\ N e. ZZ /\ ( N - ( L - M ) ) e. ZZ ) )
10	9	ex 113	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( L e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( M e. ZZ -> ( M e. ZZ /\ N e. ZZ /\ ( N - ( L - M ) ) e. ZZ ) ) )
11	10	3adant3 963	. . . . . . . . . 10 |- ( ( L e. ZZ /\ N e. ZZ /\ L <_ N ) -> ( M e. ZZ -> ( M e. ZZ /\ N e. ZZ /\ ( N - ( L - M ) ) e. ZZ ) ) )
12	11	com12 30	. . . . . . . . 9 |- ( M e. ZZ -> ( ( L e. ZZ /\ N e. ZZ /\ L <_ N ) -> ( M e. ZZ /\ N e. ZZ /\ ( N - ( L - M ) ) e. ZZ ) ) )
13	12	adantr 270	. . . . . . . 8 |- ( ( M e. ZZ /\ M <_ L ) -> ( ( L e. ZZ /\ N e. ZZ /\ L <_ N ) -> ( M e. ZZ /\ N e. ZZ /\ ( N - ( L - M ) ) e. ZZ ) ) )
14	13	imp 122	. . . . . . 7 |- ( ( ( M e. ZZ /\ M <_ L ) /\ ( L e. ZZ /\ N e. ZZ /\ L <_ N ) ) -> ( M e. ZZ /\ N e. ZZ /\ ( N - ( L - M ) ) e. ZZ ) )
15		zre 8754	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( N e. ZZ -> N e. RR )
16	15	adantl 271	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( L e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> N e. RR )
17	16	adantr 270	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( L e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ ( M e. ZZ /\ M <_ L ) ) -> N e. RR )
18		zre 8754	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( L e. ZZ -> L e. RR )
19	18	adantr 270	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( L e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> L e. RR )
20	19	adantr 270	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( L e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ ( M e. ZZ /\ M <_ L ) ) -> L e. RR )
21	17, 20	subge0d 8012	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( L e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ ( M e. ZZ /\ M <_ L ) ) -> ( 0 <_ ( N - L ) <-> L <_ N ) )
22	21	exbiri 374	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( L e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( ( M e. ZZ /\ M <_ L ) -> ( L <_ N -> 0 <_ ( N - L ) ) ) )
23	22	com23 77	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( L e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( L <_ N -> ( ( M e. ZZ /\ M <_ L ) -> 0 <_ ( N - L ) ) ) )
24	23	3impia 1140	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( L e. ZZ /\ N e. ZZ /\ L <_ N ) -> ( ( M e. ZZ /\ M <_ L ) -> 0 <_ ( N - L ) ) )
25	24	impcom 123	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( M e. ZZ /\ M <_ L ) /\ ( L e. ZZ /\ N e. ZZ /\ L <_ N ) ) -> 0 <_ ( N - L ) )
26		zre 8754	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( M e. ZZ -> M e. RR )
27	26	adantr 270	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( M e. ZZ /\ M <_ L ) -> M e. RR )
28	27	adantr 270	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( M e. ZZ /\ M <_ L ) /\ ( L e. ZZ /\ N e. ZZ /\ L <_ N ) ) -> M e. RR )
29		resubcl 7746	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( N e. RR /\ L e. RR ) -> ( N - L ) e. RR )
30	15, 18, 29	syl2anr 284	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( L e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( N - L ) e. RR )
31	30	3adant3 963	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( L e. ZZ /\ N e. ZZ /\ L <_ N ) -> ( N - L ) e. RR )
32	31	adantl 271	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( M e. ZZ /\ M <_ L ) /\ ( L e. ZZ /\ N e. ZZ /\ L <_ N ) ) -> ( N - L ) e. RR )
33	28, 32	addge02d 8011	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( M e. ZZ /\ M <_ L ) /\ ( L e. ZZ /\ N e. ZZ /\ L <_ N ) ) -> ( 0 <_ ( N - L ) <-> M <_ ( ( N - L ) + M ) ) )
34	25, 33	mpbid 145	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( M e. ZZ /\ M <_ L ) /\ ( L e. ZZ /\ N e. ZZ /\ L <_ N ) ) -> M <_ ( ( N - L ) + M ) )
35		zcn 8755	. . . . . . . . . . . 12 |- ( N e. ZZ -> N e. CC )
36	35	3ad2ant2 965	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( L e. ZZ /\ N e. ZZ /\ L <_ N ) -> N e. CC )
37	36	adantl 271	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( M e. ZZ /\ M <_ L ) /\ ( L e. ZZ /\ N e. ZZ /\ L <_ N ) ) -> N e. CC )
38		zcn 8755	. . . . . . . . . . . 12 |- ( L e. ZZ -> L e. CC )
39	38	3ad2ant1 964	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( L e. ZZ /\ N e. ZZ /\ L <_ N ) -> L e. CC )
40	39	adantl 271	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( M e. ZZ /\ M <_ L ) /\ ( L e. ZZ /\ N e. ZZ /\ L <_ N ) ) -> L e. CC )
41		zcn 8755	. . . . . . . . . . . 12 |- ( M e. ZZ -> M e. CC )
42	41	adantr 270	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( M e. ZZ /\ M <_ L ) -> M e. CC )
43	42	adantr 270	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( M e. ZZ /\ M <_ L ) /\ ( L e. ZZ /\ N e. ZZ /\ L <_ N ) ) -> M e. CC )
44	37, 40, 43	subsubd 7821	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( M e. ZZ /\ M <_ L ) /\ ( L e. ZZ /\ N e. ZZ /\ L <_ N ) ) -> ( N - ( L - M ) ) = ( ( N - L ) + M ) )
45	34, 44	breqtrrd 3871	. . . . . . . 8 |- ( ( ( M e. ZZ /\ M <_ L ) /\ ( L e. ZZ /\ N e. ZZ /\ L <_ N ) ) -> M <_ ( N - ( L - M ) ) )
46	18	3ad2ant1 964	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( L e. ZZ /\ N e. ZZ /\ L <_ N ) -> L e. RR )
47		subge0 7953	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( L e. RR /\ M e. RR ) -> ( 0 <_ ( L - M ) <-> M <_ L ) )
48	46, 26, 47	syl2anr 284	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( M e. ZZ /\ ( L e. ZZ /\ N e. ZZ /\ L <_ N ) ) -> ( 0 <_ ( L - M ) <-> M <_ L ) )
49	48	exbiri 374	. . . . . . . . . . 11 |- ( M e. ZZ -> ( ( L e. ZZ /\ N e. ZZ /\ L <_ N ) -> ( M <_ L -> 0 <_ ( L - M ) ) ) )
50	49	com23 77	. . . . . . . . . 10 |- ( M e. ZZ -> ( M <_ L -> ( ( L e. ZZ /\ N e. ZZ /\ L <_ N ) -> 0 <_ ( L - M ) ) ) )
51	50	imp31 252	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( M e. ZZ /\ M <_ L ) /\ ( L e. ZZ /\ N e. ZZ /\ L <_ N ) ) -> 0 <_ ( L - M ) )
52	15	3ad2ant2 965	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( L e. ZZ /\ N e. ZZ /\ L <_ N ) -> N e. RR )
53	52	adantl 271	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( M e. ZZ /\ M <_ L ) /\ ( L e. ZZ /\ N e. ZZ /\ L <_ N ) ) -> N e. RR )
54		resubcl 7746	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( L e. RR /\ M e. RR ) -> ( L - M ) e. RR )
55	46, 27, 54	syl2anr 284	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( M e. ZZ /\ M <_ L ) /\ ( L e. ZZ /\ N e. ZZ /\ L <_ N ) ) -> ( L - M ) e. RR )
56	53, 55	subge02d 8014	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( M e. ZZ /\ M <_ L ) /\ ( L e. ZZ /\ N e. ZZ /\ L <_ N ) ) -> ( 0 <_ ( L - M ) <-> ( N - ( L - M ) ) <_ N ) )
57	51, 56	mpbid 145	. . . . . . . 8 |- ( ( ( M e. ZZ /\ M <_ L ) /\ ( L e. ZZ /\ N e. ZZ /\ L <_ N ) ) -> ( N - ( L - M ) ) <_ N )
58	45, 57	jca 300	. . . . . . 7 |- ( ( ( M e. ZZ /\ M <_ L ) /\ ( L e. ZZ /\ N e. ZZ /\ L <_ N ) ) -> ( M <_ ( N - ( L - M ) ) /\ ( N - ( L - M ) ) <_ N ) )
59		elfz2 9431	. . . . . . 7 |- ( ( N - ( L - M ) ) e. ( M ... N ) <-> ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ /\ ( N - ( L - M ) ) e. ZZ ) /\ ( M <_ ( N - ( L - M ) ) /\ ( N - ( L - M ) ) <_ N ) ) )
60	14, 58, 59	sylanbrc 408	. . . . . 6 |- ( ( ( M e. ZZ /\ M <_ L ) /\ ( L e. ZZ /\ N e. ZZ /\ L <_ N ) ) -> ( N - ( L - M ) ) e. ( M ... N ) )
61	60	ex 113	. . . . 5 |- ( ( M e. ZZ /\ M <_ L ) -> ( ( L e. ZZ /\ N e. ZZ /\ L <_ N ) -> ( N - ( L - M ) ) e. ( M ... N ) ) )
62	61	3adant2 962	. . . 4 |- ( ( M e. ZZ /\ L e. ZZ /\ M <_ L ) -> ( ( L e. ZZ /\ N e. ZZ /\ L <_ N ) -> ( N - ( L - M ) ) e. ( M ... N ) ) )
63	2, 62	syl5bi 150	. . 3 |- ( ( M e. ZZ /\ L e. ZZ /\ M <_ L ) -> ( N e. ( ZZ>= ` L ) -> ( N - ( L - M ) ) e. ( M ... N ) ) )
64	1, 63	sylbi 119	. 2 |- ( L e. ( ZZ>= ` M ) -> ( N e. ( ZZ>= ` L ) -> ( N - ( L - M ) ) e. ( M ... N ) ) )
65	64	imp 122	1 |- ( ( L e. ( ZZ>= ` M ) /\ N e. ( ZZ>= ` L ) ) -> ( N - ( L - M ) ) e. ( M ... N ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 102   <-> wb 103   /\ w3a 924   e. wcel 1438   class class class wbr 3845   ` cfv 5015  (class class class)co 5652   CCcc 7348   RRcr 7349   0cc0 7350   + caddc 7353   <_ cle 7523   - cmin 7653   ZZcz 8750   ZZ>=cuz 9019   ...cfz 9424

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 579  ax-in2 580  ax-io 665  ax-5 1381  ax-7 1382  ax-gen 1383  ax-ie1 1427  ax-ie2 1428  ax-8 1440  ax-10 1441  ax-11 1442  ax-i12 1443  ax-bndl 1444  ax-4 1445  ax-13 1449  ax-14 1450  ax-17 1464  ax-i9 1468  ax-ial 1472  ax-i5r 1473  ax-ext 2070  ax-sep 3957  ax-pow 4009  ax-pr 4036  ax-un 4260  ax-setind 4353  ax-cnex 7436  ax-resscn 7437  ax-1cn 7438  ax-1re 7439  ax-icn 7440  ax-addcl 7441  ax-addrcl 7442  ax-mulcl 7443  ax-addcom 7445  ax-addass 7447  ax-distr 7449  ax-i2m1 7450  ax-0lt1 7451  ax-0id 7453  ax-rnegex 7454  ax-cnre 7456  ax-pre-ltirr 7457  ax-pre-ltwlin 7458  ax-pre-lttrn 7459  ax-pre-ltadd 7461

This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3or 925  df-3an 926  df-tru 1292  df-fal 1295  df-nf 1395  df-sb 1693  df-eu 1951  df-mo 1952  df-clab 2075  df-cleq 2081  df-clel 2084  df-nfc 2217  df-ne 2256  df-nel 2351  df-ral 2364  df-rex 2365  df-reu 2366  df-rab 2368  df-v 2621  df-sbc 2841  df-dif 3001  df-un 3003  df-in 3005  df-ss 3012  df-pw 3431  df-sn 3452  df-pr 3453  df-op 3455  df-uni 3654  df-int 3689  df-br 3846  df-opab 3900  df-mpt 3901  df-id 4120  df-xp 4444  df-rel 4445  df-cnv 4446  df-co 4447  df-dm 4448  df-rn 4449  df-res 4450  df-ima 4451  df-iota 4980  df-fun 5017  df-fn 5018  df-f 5019  df-fv 5023  df-riota 5608  df-ov 5655  df-oprab 5656  df-mpt2 5657  df-pnf 7524  df-mnf 7525  df-xr 7526  df-ltxr 7527  df-le 7528  df-sub 7655  df-neg 7656  df-inn 8423  df-n0 8674  df-z 8751  df-uz 9020  df-fz 9425

This theorem is referenced by:  uzsubsubfz1  9462