Theorem uzsubsubfz 10060

Description: Membership of an integer greater than L decreased by ( L - M ) in an M based finite set of sequential integers. (Contributed by Alexander van der Vekens, 14-Sep-2018.)

Assertion

Ref	Expression
uzsubsubfz	|- ( ( L e. ( ZZ>= ` M ) /\ N e. ( ZZ>= ` L ) ) -> ( N - ( L - M ) ) e. ( M ... N ) )

Proof of Theorem uzsubsubfz

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eluz2 9547	. . 3 |- ( L e. ( ZZ>= ` M ) <-> ( M e. ZZ /\ L e. ZZ /\ M <_ L ) )
2		eluz2 9547	. . . 4 |- ( N e. ( ZZ>= ` L ) <-> ( L e. ZZ /\ N e. ZZ /\ L <_ N ) )
3		simpr 110	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( L e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ M e. ZZ ) -> M e. ZZ )
4		simpr 110	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( L e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> N e. ZZ )
5	4	adantr 276	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( L e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ M e. ZZ ) -> N e. ZZ )
6		zsubcl 9307	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( L e. ZZ /\ M e. ZZ ) -> ( L - M ) e. ZZ )
7	6	adantlr 477	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( L e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ M e. ZZ ) -> ( L - M ) e. ZZ )
8	5, 7	zsubcld 9393	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( L e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ M e. ZZ ) -> ( N - ( L - M ) ) e. ZZ )
9	3, 5, 8	3jca 1178	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( L e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ M e. ZZ ) -> ( M e. ZZ /\ N e. ZZ /\ ( N - ( L - M ) ) e. ZZ ) )
10	9	ex 115	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( L e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( M e. ZZ -> ( M e. ZZ /\ N e. ZZ /\ ( N - ( L - M ) ) e. ZZ ) ) )
11	10	3adant3 1018	. . . . . . . . . 10 |- ( ( L e. ZZ /\ N e. ZZ /\ L <_ N ) -> ( M e. ZZ -> ( M e. ZZ /\ N e. ZZ /\ ( N - ( L - M ) ) e. ZZ ) ) )
12	11	com12 30	. . . . . . . . 9 |- ( M e. ZZ -> ( ( L e. ZZ /\ N e. ZZ /\ L <_ N ) -> ( M e. ZZ /\ N e. ZZ /\ ( N - ( L - M ) ) e. ZZ ) ) )
13	12	adantr 276	. . . . . . . 8 |- ( ( M e. ZZ /\ M <_ L ) -> ( ( L e. ZZ /\ N e. ZZ /\ L <_ N ) -> ( M e. ZZ /\ N e. ZZ /\ ( N - ( L - M ) ) e. ZZ ) ) )
14	13	imp 124	. . . . . . 7 |- ( ( ( M e. ZZ /\ M <_ L ) /\ ( L e. ZZ /\ N e. ZZ /\ L <_ N ) ) -> ( M e. ZZ /\ N e. ZZ /\ ( N - ( L - M ) ) e. ZZ ) )
15		zre 9270	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( N e. ZZ -> N e. RR )
16	15	adantl 277	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( L e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> N e. RR )
17	16	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( L e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ ( M e. ZZ /\ M <_ L ) ) -> N e. RR )
18		zre 9270	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( L e. ZZ -> L e. RR )
19	18	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( L e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> L e. RR )
20	19	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( L e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ ( M e. ZZ /\ M <_ L ) ) -> L e. RR )
21	17, 20	subge0d 8505	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( L e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ ( M e. ZZ /\ M <_ L ) ) -> ( 0 <_ ( N - L ) <-> L <_ N ) )
22	21	exbiri 382	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( L e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( ( M e. ZZ /\ M <_ L ) -> ( L <_ N -> 0 <_ ( N - L ) ) ) )
23	22	com23 78	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( L e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( L <_ N -> ( ( M e. ZZ /\ M <_ L ) -> 0 <_ ( N - L ) ) ) )
24	23	3impia 1201	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( L e. ZZ /\ N e. ZZ /\ L <_ N ) -> ( ( M e. ZZ /\ M <_ L ) -> 0 <_ ( N - L ) ) )
25	24	impcom 125	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( M e. ZZ /\ M <_ L ) /\ ( L e. ZZ /\ N e. ZZ /\ L <_ N ) ) -> 0 <_ ( N - L ) )
26		zre 9270	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( M e. ZZ -> M e. RR )
27	26	adantr 276	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( M e. ZZ /\ M <_ L ) -> M e. RR )
28	27	adantr 276	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( M e. ZZ /\ M <_ L ) /\ ( L e. ZZ /\ N e. ZZ /\ L <_ N ) ) -> M e. RR )
29		resubcl 8234	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( N e. RR /\ L e. RR ) -> ( N - L ) e. RR )
30	15, 18, 29	syl2anr 290	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( L e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( N - L ) e. RR )
31	30	3adant3 1018	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( L e. ZZ /\ N e. ZZ /\ L <_ N ) -> ( N - L ) e. RR )
32	31	adantl 277	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( M e. ZZ /\ M <_ L ) /\ ( L e. ZZ /\ N e. ZZ /\ L <_ N ) ) -> ( N - L ) e. RR )
33	28, 32	addge02d 8504	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( M e. ZZ /\ M <_ L ) /\ ( L e. ZZ /\ N e. ZZ /\ L <_ N ) ) -> ( 0 <_ ( N - L ) <-> M <_ ( ( N - L ) + M ) ) )
34	25, 33	mpbid 147	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( M e. ZZ /\ M <_ L ) /\ ( L e. ZZ /\ N e. ZZ /\ L <_ N ) ) -> M <_ ( ( N - L ) + M ) )
35		zcn 9271	. . . . . . . . . . . 12 |- ( N e. ZZ -> N e. CC )
36	35	3ad2ant2 1020	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( L e. ZZ /\ N e. ZZ /\ L <_ N ) -> N e. CC )
37	36	adantl 277	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( M e. ZZ /\ M <_ L ) /\ ( L e. ZZ /\ N e. ZZ /\ L <_ N ) ) -> N e. CC )
38		zcn 9271	. . . . . . . . . . . 12 |- ( L e. ZZ -> L e. CC )
39	38	3ad2ant1 1019	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( L e. ZZ /\ N e. ZZ /\ L <_ N ) -> L e. CC )
40	39	adantl 277	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( M e. ZZ /\ M <_ L ) /\ ( L e. ZZ /\ N e. ZZ /\ L <_ N ) ) -> L e. CC )
41		zcn 9271	. . . . . . . . . . . 12 |- ( M e. ZZ -> M e. CC )
42	41	adantr 276	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( M e. ZZ /\ M <_ L ) -> M e. CC )
43	42	adantr 276	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( M e. ZZ /\ M <_ L ) /\ ( L e. ZZ /\ N e. ZZ /\ L <_ N ) ) -> M e. CC )
44	37, 40, 43	subsubd 8309	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( M e. ZZ /\ M <_ L ) /\ ( L e. ZZ /\ N e. ZZ /\ L <_ N ) ) -> ( N - ( L - M ) ) = ( ( N - L ) + M ) )
45	34, 44	breqtrrd 4043	. . . . . . . 8 |- ( ( ( M e. ZZ /\ M <_ L ) /\ ( L e. ZZ /\ N e. ZZ /\ L <_ N ) ) -> M <_ ( N - ( L - M ) ) )
46	18	3ad2ant1 1019	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( L e. ZZ /\ N e. ZZ /\ L <_ N ) -> L e. RR )
47		subge0 8445	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( L e. RR /\ M e. RR ) -> ( 0 <_ ( L - M ) <-> M <_ L ) )
48	46, 26, 47	syl2anr 290	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( M e. ZZ /\ ( L e. ZZ /\ N e. ZZ /\ L <_ N ) ) -> ( 0 <_ ( L - M ) <-> M <_ L ) )
49	48	exbiri 382	. . . . . . . . . . 11 |- ( M e. ZZ -> ( ( L e. ZZ /\ N e. ZZ /\ L <_ N ) -> ( M <_ L -> 0 <_ ( L - M ) ) ) )
50	49	com23 78	. . . . . . . . . 10 |- ( M e. ZZ -> ( M <_ L -> ( ( L e. ZZ /\ N e. ZZ /\ L <_ N ) -> 0 <_ ( L - M ) ) ) )
51	50	imp31 256	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( M e. ZZ /\ M <_ L ) /\ ( L e. ZZ /\ N e. ZZ /\ L <_ N ) ) -> 0 <_ ( L - M ) )
52	15	3ad2ant2 1020	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( L e. ZZ /\ N e. ZZ /\ L <_ N ) -> N e. RR )
53	52	adantl 277	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( M e. ZZ /\ M <_ L ) /\ ( L e. ZZ /\ N e. ZZ /\ L <_ N ) ) -> N e. RR )
54		resubcl 8234	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( L e. RR /\ M e. RR ) -> ( L - M ) e. RR )
55	46, 27, 54	syl2anr 290	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( M e. ZZ /\ M <_ L ) /\ ( L e. ZZ /\ N e. ZZ /\ L <_ N ) ) -> ( L - M ) e. RR )
56	53, 55	subge02d 8507	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( M e. ZZ /\ M <_ L ) /\ ( L e. ZZ /\ N e. ZZ /\ L <_ N ) ) -> ( 0 <_ ( L - M ) <-> ( N - ( L - M ) ) <_ N ) )
57	51, 56	mpbid 147	. . . . . . . 8 |- ( ( ( M e. ZZ /\ M <_ L ) /\ ( L e. ZZ /\ N e. ZZ /\ L <_ N ) ) -> ( N - ( L - M ) ) <_ N )
58	45, 57	jca 306	. . . . . . 7 |- ( ( ( M e. ZZ /\ M <_ L ) /\ ( L e. ZZ /\ N e. ZZ /\ L <_ N ) ) -> ( M <_ ( N - ( L - M ) ) /\ ( N - ( L - M ) ) <_ N ) )
59		elfz2 10028	. . . . . . 7 |- ( ( N - ( L - M ) ) e. ( M ... N ) <-> ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ /\ ( N - ( L - M ) ) e. ZZ ) /\ ( M <_ ( N - ( L - M ) ) /\ ( N - ( L - M ) ) <_ N ) ) )
60	14, 58, 59	sylanbrc 417	. . . . . 6 |- ( ( ( M e. ZZ /\ M <_ L ) /\ ( L e. ZZ /\ N e. ZZ /\ L <_ N ) ) -> ( N - ( L - M ) ) e. ( M ... N ) )
61	60	ex 115	. . . . 5 |- ( ( M e. ZZ /\ M <_ L ) -> ( ( L e. ZZ /\ N e. ZZ /\ L <_ N ) -> ( N - ( L - M ) ) e. ( M ... N ) ) )
62	61	3adant2 1017	. . . 4 |- ( ( M e. ZZ /\ L e. ZZ /\ M <_ L ) -> ( ( L e. ZZ /\ N e. ZZ /\ L <_ N ) -> ( N - ( L - M ) ) e. ( M ... N ) ) )
63	2, 62	biimtrid 152	. . 3 |- ( ( M e. ZZ /\ L e. ZZ /\ M <_ L ) -> ( N e. ( ZZ>= ` L ) -> ( N - ( L - M ) ) e. ( M ... N ) ) )
64	1, 63	sylbi 121	. 2 |- ( L e. ( ZZ>= ` M ) -> ( N e. ( ZZ>= ` L ) -> ( N - ( L - M ) ) e. ( M ... N ) ) )
65	64	imp 124	1 |- ( ( L e. ( ZZ>= ` M ) /\ N e. ( ZZ>= ` L ) ) -> ( N - ( L - M ) ) e. ( M ... N ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   /\ w3a 979   e. wcel 2158   class class class wbr 4015   ` cfv 5228  (class class class)co 5888   CCcc 7822   RRcr 7823   0cc0 7824   + caddc 7827   <_ cle 8006   - cmin 8141   ZZcz 9266   ZZ>=cuz 9541   ...cfz 10021

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1457  ax-7 1458  ax-gen 1459  ax-ie1 1503  ax-ie2 1504  ax-8 1514  ax-10 1515  ax-11 1516  ax-i12 1517  ax-bndl 1519  ax-4 1520  ax-17 1536  ax-i9 1540  ax-ial 1544  ax-i5r 1545  ax-13 2160  ax-14 2161  ax-ext 2169  ax-sep 4133  ax-pow 4186  ax-pr 4221  ax-un 4445  ax-setind 4548  ax-cnex 7915  ax-resscn 7916  ax-1cn 7917  ax-1re 7918  ax-icn 7919  ax-addcl 7920  ax-addrcl 7921  ax-mulcl 7922  ax-addcom 7924  ax-addass 7926  ax-distr 7928  ax-i2m1 7929  ax-0lt1 7930  ax-0id 7932  ax-rnegex 7933  ax-cnre 7935  ax-pre-ltirr 7936  ax-pre-ltwlin 7937  ax-pre-lttrn 7938  ax-pre-ltadd 7940

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 980  df-3an 981  df-tru 1366  df-fal 1369  df-nf 1471  df-sb 1773  df-eu 2039  df-mo 2040  df-clab 2174  df-cleq 2180  df-clel 2183  df-nfc 2318  df-ne 2358  df-nel 2453  df-ral 2470  df-rex 2471  df-reu 2472  df-rab 2474  df-v 2751  df-sbc 2975  df-dif 3143  df-un 3145  df-in 3147  df-ss 3154  df-pw 3589  df-sn 3610  df-pr 3611  df-op 3613  df-uni 3822  df-int 3857  df-br 4016  df-opab 4077  df-mpt 4078  df-id 4305  df-xp 4644  df-rel 4645  df-cnv 4646  df-co 4647  df-dm 4648  df-rn 4649  df-res 4650  df-ima 4651  df-iota 5190  df-fun 5230  df-fn 5231  df-f 5232  df-fv 5236  df-riota 5844  df-ov 5891  df-oprab 5892  df-mpo 5893  df-pnf 8007  df-mnf 8008  df-xr 8009  df-ltxr 8010  df-le 8011  df-sub 8143  df-neg 8144  df-inn 8933  df-n0 9190  df-z 9267  df-uz 9542  df-fz 10022

This theorem is referenced by:  uzsubsubfz1  10061