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Theorem uzsubsubfz 9778
Description: Membership of an integer greater than L decreased by ( L - M ) in an M based finite set of sequential integers. (Contributed by Alexander van der Vekens, 14-Sep-2018.)
Assertion
Ref Expression
uzsubsubfz  |-  ( ( L  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  N  e.  ( ZZ>= `  L )
)  ->  ( N  -  ( L  -  M ) )  e.  ( M ... N
) )

Proof of Theorem uzsubsubfz
StepHypRef Expression
1 eluz2 9284 . . 3  |-  ( L  e.  ( ZZ>= `  M
)  <->  ( M  e.  ZZ  /\  L  e.  ZZ  /\  M  <_  L ) )
2 eluz2 9284 . . . 4  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  L
)  <->  ( L  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  L  <_  N ) )
3 simpr 109 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( L  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  /\  M  e.  ZZ )  ->  M  e.  ZZ )
4 simpr 109 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( L  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  N  e.  ZZ )
54adantr 272 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( L  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  /\  M  e.  ZZ )  ->  N  e.  ZZ )
6 zsubcl 9049 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( L  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ )  ->  ( L  -  M
)  e.  ZZ )
76adantlr 466 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( L  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  /\  M  e.  ZZ )  ->  ( L  -  M )  e.  ZZ )
85, 7zsubcld 9132 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( L  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  /\  M  e.  ZZ )  ->  ( N  -  ( L  -  M
) )  e.  ZZ )
93, 5, 83jca 1144 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( L  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  /\  M  e.  ZZ )  ->  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  ( N  -  ( L  -  M ) )  e.  ZZ ) )
109ex 114 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( L  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( M  e.  ZZ  ->  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  ( N  -  ( L  -  M )
)  e.  ZZ ) ) )
11103adant3 984 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( L  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  L  <_  N )  ->  ( M  e.  ZZ  ->  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  ( N  -  ( L  -  M ) )  e.  ZZ ) ) )
1211com12 30 . . . . . . . . 9  |-  ( M  e.  ZZ  ->  (
( L  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  L  <_  N )  -> 
( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  ( N  -  ( L  -  M )
)  e.  ZZ ) ) )
1312adantr 272 . . . . . . . 8  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  M  <_  L )  -> 
( ( L  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  L  <_  N )  ->  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  ( N  -  ( L  -  M ) )  e.  ZZ ) ) )
1413imp 123 . . . . . . 7  |-  ( ( ( M  e.  ZZ  /\  M  <_  L )  /\  ( L  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  L  <_  N ) )  ->  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  ( N  -  ( L  -  M ) )  e.  ZZ ) )
15 zre 9012 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( N  e.  ZZ  ->  N  e.  RR )
1615adantl 273 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( L  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  N  e.  RR )
1716adantr 272 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( L  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  /\  ( M  e.  ZZ  /\  M  <_  L ) )  ->  N  e.  RR )
18 zre 9012 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( L  e.  ZZ  ->  L  e.  RR )
1918adantr 272 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( L  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  L  e.  RR )
2019adantr 272 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( L  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  /\  ( M  e.  ZZ  /\  M  <_  L ) )  ->  L  e.  RR )
2117, 20subge0d 8260 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( L  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  /\  ( M  e.  ZZ  /\  M  <_  L ) )  -> 
( 0  <_  ( N  -  L )  <->  L  <_  N ) )
2221exbiri 377 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( L  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( ( M  e.  ZZ  /\  M  <_  L )  ->  ( L  <_  N  ->  0  <_  ( N  -  L
) ) ) )
2322com23 78 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( L  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( L  <_  N  ->  ( ( M  e.  ZZ  /\  M  <_  L )  ->  0  <_  ( N  -  L
) ) ) )
24233impia 1161 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( L  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  L  <_  N )  ->  (
( M  e.  ZZ  /\  M  <_  L )  ->  0  <_  ( N  -  L ) ) )
2524impcom 124 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( M  e.  ZZ  /\  M  <_  L )  /\  ( L  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  L  <_  N ) )  ->  0  <_  ( N  -  L )
)
26 zre 9012 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( M  e.  ZZ  ->  M  e.  RR )
2726adantr 272 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  M  <_  L )  ->  M  e.  RR )
2827adantr 272 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( M  e.  ZZ  /\  M  <_  L )  /\  ( L  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  L  <_  N ) )  ->  M  e.  RR )
29 resubcl 7990 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( N  e.  RR  /\  L  e.  RR )  ->  ( N  -  L
)  e.  RR )
3015, 18, 29syl2anr 286 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( L  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( N  -  L
)  e.  RR )
31303adant3 984 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( L  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  L  <_  N )  ->  ( N  -  L )  e.  RR )
3231adantl 273 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( M  e.  ZZ  /\  M  <_  L )  /\  ( L  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  L  <_  N ) )  ->  ( N  -  L )  e.  RR )
3328, 32addge02d 8259 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( M  e.  ZZ  /\  M  <_  L )  /\  ( L  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  L  <_  N ) )  ->  ( 0  <_ 
( N  -  L
)  <->  M  <_  ( ( N  -  L )  +  M ) ) )
3425, 33mpbid 146 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( M  e.  ZZ  /\  M  <_  L )  /\  ( L  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  L  <_  N ) )  ->  M  <_  (
( N  -  L
)  +  M ) )
35 zcn 9013 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( N  e.  ZZ  ->  N  e.  CC )
36353ad2ant2 986 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( L  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  L  <_  N )  ->  N  e.  CC )
3736adantl 273 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( M  e.  ZZ  /\  M  <_  L )  /\  ( L  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  L  <_  N ) )  ->  N  e.  CC )
38 zcn 9013 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( L  e.  ZZ  ->  L  e.  CC )
39383ad2ant1 985 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( L  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  L  <_  N )  ->  L  e.  CC )
4039adantl 273 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( M  e.  ZZ  /\  M  <_  L )  /\  ( L  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  L  <_  N ) )  ->  L  e.  CC )
41 zcn 9013 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( M  e.  ZZ  ->  M  e.  CC )
4241adantr 272 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  M  <_  L )  ->  M  e.  CC )
4342adantr 272 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( M  e.  ZZ  /\  M  <_  L )  /\  ( L  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  L  <_  N ) )  ->  M  e.  CC )
4437, 40, 43subsubd 8065 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( M  e.  ZZ  /\  M  <_  L )  /\  ( L  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  L  <_  N ) )  ->  ( N  -  ( L  -  M
) )  =  ( ( N  -  L
)  +  M ) )
4534, 44breqtrrd 3924 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( M  e.  ZZ  /\  M  <_  L )  /\  ( L  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  L  <_  N ) )  ->  M  <_  ( N  -  ( L  -  M ) ) )
46183ad2ant1 985 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( L  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  L  <_  N )  ->  L  e.  RR )
47 subge0 8201 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( L  e.  RR  /\  M  e.  RR )  ->  ( 0  <_  ( L  -  M )  <->  M  <_  L ) )
4846, 26, 47syl2anr 286 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  ( L  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  L  <_  N ) )  ->  ( 0  <_ 
( L  -  M
)  <->  M  <_  L ) )
4948exbiri 377 . . . . . . . . . . 11  |-  ( M  e.  ZZ  ->  (
( L  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  L  <_  N )  -> 
( M  <_  L  ->  0  <_  ( L  -  M ) ) ) )
5049com23 78 . . . . . . . . . 10  |-  ( M  e.  ZZ  ->  ( M  <_  L  ->  (
( L  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  L  <_  N )  -> 
0  <_  ( L  -  M ) ) ) )
5150imp31 254 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( M  e.  ZZ  /\  M  <_  L )  /\  ( L  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  L  <_  N ) )  ->  0  <_  ( L  -  M )
)
52153ad2ant2 986 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( L  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  L  <_  N )  ->  N  e.  RR )
5352adantl 273 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( M  e.  ZZ  /\  M  <_  L )  /\  ( L  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  L  <_  N ) )  ->  N  e.  RR )
54 resubcl 7990 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( L  e.  RR  /\  M  e.  RR )  ->  ( L  -  M
)  e.  RR )
5546, 27, 54syl2anr 286 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( M  e.  ZZ  /\  M  <_  L )  /\  ( L  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  L  <_  N ) )  ->  ( L  -  M )  e.  RR )
5653, 55subge02d 8262 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( M  e.  ZZ  /\  M  <_  L )  /\  ( L  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  L  <_  N ) )  ->  ( 0  <_ 
( L  -  M
)  <->  ( N  -  ( L  -  M
) )  <_  N
) )
5751, 56mpbid 146 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( M  e.  ZZ  /\  M  <_  L )  /\  ( L  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  L  <_  N ) )  ->  ( N  -  ( L  -  M
) )  <_  N
)
5845, 57jca 302 . . . . . . 7  |-  ( ( ( M  e.  ZZ  /\  M  <_  L )  /\  ( L  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  L  <_  N ) )  ->  ( M  <_ 
( N  -  ( L  -  M )
)  /\  ( N  -  ( L  -  M ) )  <_  N ) )
59 elfz2 9748 . . . . . . 7  |-  ( ( N  -  ( L  -  M ) )  e.  ( M ... N )  <->  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  ( N  -  ( L  -  M ) )  e.  ZZ )  /\  ( M  <_  ( N  -  ( L  -  M
) )  /\  ( N  -  ( L  -  M ) )  <_  N ) ) )
6014, 58, 59sylanbrc 411 . . . . . 6  |-  ( ( ( M  e.  ZZ  /\  M  <_  L )  /\  ( L  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  L  <_  N ) )  ->  ( N  -  ( L  -  M
) )  e.  ( M ... N ) )
6160ex 114 . . . . 5  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  M  <_  L )  -> 
( ( L  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  L  <_  N )  ->  ( N  -  ( L  -  M ) )  e.  ( M ... N
) ) )
62613adant2 983 . . . 4  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  L  e.  ZZ  /\  M  <_  L )  ->  (
( L  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  L  <_  N )  -> 
( N  -  ( L  -  M )
)  e.  ( M ... N ) ) )
632, 62syl5bi 151 . . 3  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  L  e.  ZZ  /\  M  <_  L )  ->  ( N  e.  ( ZZ>= `  L )  ->  ( N  -  ( L  -  M ) )  e.  ( M ... N
) ) )
641, 63sylbi 120 . 2  |-  ( L  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  ( N  e.  ( ZZ>= `  L )  ->  ( N  -  ( L  -  M )
)  e.  ( M ... N ) ) )
6564imp 123 1  |-  ( ( L  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  N  e.  ( ZZ>= `  L )
)  ->  ( N  -  ( L  -  M ) )  e.  ( M ... N
) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 103    <-> wb 104    /\ w3a 945    e. wcel 1463   class class class wbr 3897   ` cfv 5091  (class class class)co 5740   CCcc 7582   RRcr 7583   0cc0 7584    + caddc 7587    <_ cle 7765    - cmin 7897   ZZcz 9008   ZZ>=cuz 9278   ...cfz 9741
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 586  ax-in2 587  ax-io 681  ax-5 1406  ax-7 1407  ax-gen 1408  ax-ie1 1452  ax-ie2 1453  ax-8 1465  ax-10 1466  ax-11 1467  ax-i12 1468  ax-bndl 1469  ax-4 1470  ax-13 1474  ax-14 1475  ax-17 1489  ax-i9 1493  ax-ial 1497  ax-i5r 1498  ax-ext 2097  ax-sep 4014  ax-pow 4066  ax-pr 4099  ax-un 4323  ax-setind 4420  ax-cnex 7675  ax-resscn 7676  ax-1cn 7677  ax-1re 7678  ax-icn 7679  ax-addcl 7680  ax-addrcl 7681  ax-mulcl 7682  ax-addcom 7684  ax-addass 7686  ax-distr 7688  ax-i2m1 7689  ax-0lt1 7690  ax-0id 7692  ax-rnegex 7693  ax-cnre 7695  ax-pre-ltirr 7696  ax-pre-ltwlin 7697  ax-pre-lttrn 7698  ax-pre-ltadd 7700
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 946  df-3an 947  df-tru 1317  df-fal 1320  df-nf 1420  df-sb 1719  df-eu 1978  df-mo 1979  df-clab 2102  df-cleq 2108  df-clel 2111  df-nfc 2245  df-ne 2284  df-nel 2379  df-ral 2396  df-rex 2397  df-reu 2398  df-rab 2400  df-v 2660  df-sbc 2881  df-dif 3041  df-un 3043  df-in 3045  df-ss 3052  df-pw 3480  df-sn 3501  df-pr 3502  df-op 3504  df-uni 3705  df-int 3740  df-br 3898  df-opab 3958  df-mpt 3959  df-id 4183  df-xp 4513  df-rel 4514  df-cnv 4515  df-co 4516  df-dm 4517  df-rn 4518  df-res 4519  df-ima 4520  df-iota 5056  df-fun 5093  df-fn 5094  df-f 5095  df-fv 5099  df-riota 5696  df-ov 5743  df-oprab 5744  df-mpo 5745  df-pnf 7766  df-mnf 7767  df-xr 7768  df-ltxr 7769  df-le 7770  df-sub 7899  df-neg 7900  df-inn 8681  df-n0 8932  df-z 9009  df-uz 9279  df-fz 9742
This theorem is referenced by:  uzsubsubfz1  9779
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