Theorem addge01d 8868

Description: A number is less than or equal to itself plus a nonnegative number. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
leidd.1	|- ( ph -> A e. RR )
ltnegd.2	|- ( ph -> B e. RR )

Assertion

Ref	Expression
addge01d	|- ( ph -> ( 0 <_ B <-> A <_ ( A + B ) ) )

Proof of Theorem addge01d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		leidd.1	. 2 |- ( ph -> A e. RR )
2		ltnegd.2	. 2 |- ( ph -> B e. RR )
3		addge01 8807	. 2 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> ( 0 <_ B <-> A <_ ( A + B ) ) )
4	1, 2, 3	syl2anc 415	1 |- ( ph -> ( 0 <_ B <-> A <_ ( A + B ) ) )

This proof depends on syntax axioms:   -> wi 4   <-> wb 105   e. wcel 2209   class class class wbr 4131  (class class class)co 6088   RRcr 8184   0cc0 8185   + caddc 8188   <_ cle 8367

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4251  ax-pow 4313  ax-pr 4348  ax-un 4580  ax-setind 4686  ax-cnex 8276  ax-resscn 8277  ax-1cn 8278  ax-1re 8279  ax-icn 8280  ax-addcl 8281  ax-addrcl 8282  ax-mulcl 8283  ax-addcom 8285  ax-addass 8287  ax-i2m1 8290  ax-0id 8293  ax-rnegex 8294  ax-pre-ltadd 8301

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-rab 2537  df-v 2823  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-br 4132  df-opab 4194  df-xp 4782  df-cnv 4784  df-iota 5340  df-fv 5388  df-ov 6091  df-pnf 8368  df-mnf 8369  df-xr 8370  df-ltxr 8371  df-le 8372

This theorem is used by:  nn2ge  9346  2tnp1ge0ge0  10757  ser3mono  10945  bernneq  11119  resqrexlemlo  11801  resqrexlemcalc2  11803  absrele  11872  climserle  12136  fsumlessfi  12252  sinbnd  12544  divalglemnqt  12712