Theorem resqrexlemdecn 11531

Description: Lemma for resqrex 11545. The sequence is decreasing. (Contributed by Jim Kingdon, 31-Jul-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
resqrexlemex.seq	|- F = seq 1 ( ( y e. RR+ , z e. RR+ |-> ( ( y + ( A / y ) ) / 2 ) ) , ( NN X. { ( 1 + A ) } ) )
resqrexlemex.a	|- ( ph -> A e. RR )
resqrexlemex.agt0	|- ( ph -> 0 <_ A )
resqrexlemdecn.n	|- ( ph -> N e. NN )
resqrexlemdecn.m	|- ( ph -> M e. NN )
resqrexlemdecn.nm	|- ( ph -> N < M )

Assertion

Ref	Expression
resqrexlemdecn	|- ( ph -> ( F ` M ) < ( F ` N ) )

Distinct variable groups:   y, A, z   ph, y, z

Allowed substitution hints:   F( y, z)   M( y, z)   N( y, z)

Proof of Theorem resqrexlemdecn

Dummy variables k w are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		resqrexlemdecn.n	. . . . 5 |- ( ph -> N e. NN )
2	1	nnzd 9576	. . . 4 |- ( ph -> N e. ZZ )
3	2	peano2zd 9580	. . 3 |- ( ph -> ( N + 1 ) e. ZZ )
4		resqrexlemdecn.m	. . . 4 |- ( ph -> M e. NN )
5	4	nnzd 9576	. . 3 |- ( ph -> M e. ZZ )
6		resqrexlemdecn.nm	. . . 4 |- ( ph -> N < M )
7		nnltp1le 9515	. . . . 5 |- ( ( N e. NN /\ M e. NN ) -> ( N < M <-> ( N + 1 ) <_ M ) )
8	1, 4, 7	syl2anc 411	. . . 4 |- ( ph -> ( N < M <-> ( N + 1 ) <_ M ) )
9	6, 8	mpbid 147	. . 3 |- ( ph -> ( N + 1 ) <_ M )
10		fveq2 5629	. . . . . 6 |- ( w = ( N + 1 ) -> ( F ` w ) = ( F ` ( N + 1 ) ) )
11	10	breq1d 4093	. . . . 5 |- ( w = ( N + 1 ) -> ( ( F ` w ) < ( F ` N ) <-> ( F ` ( N + 1 ) ) < ( F ` N ) ) )
12	11	imbi2d 230	. . . 4 |- ( w = ( N + 1 ) -> ( ( ph -> ( F ` w ) < ( F ` N ) ) <-> ( ph -> ( F ` ( N + 1 ) ) < ( F ` N ) ) ) )
13		fveq2 5629	. . . . . 6 |- ( w = k -> ( F ` w ) = ( F ` k ) )
14	13	breq1d 4093	. . . . 5 |- ( w = k -> ( ( F ` w ) < ( F ` N ) <-> ( F ` k ) < ( F ` N ) ) )
15	14	imbi2d 230	. . . 4 |- ( w = k -> ( ( ph -> ( F ` w ) < ( F ` N ) ) <-> ( ph -> ( F ` k ) < ( F ` N ) ) ) )
16		fveq2 5629	. . . . . 6 |- ( w = ( k + 1 ) -> ( F ` w ) = ( F ` ( k + 1 ) ) )
17	16	breq1d 4093	. . . . 5 |- ( w = ( k + 1 ) -> ( ( F ` w ) < ( F ` N ) <-> ( F ` ( k + 1 ) ) < ( F ` N ) ) )
18	17	imbi2d 230	. . . 4 |- ( w = ( k + 1 ) -> ( ( ph -> ( F ` w ) < ( F ` N ) ) <-> ( ph -> ( F ` ( k + 1 ) ) < ( F ` N ) ) ) )
19		fveq2 5629	. . . . . 6 |- ( w = M -> ( F ` w ) = ( F ` M ) )
20	19	breq1d 4093	. . . . 5 |- ( w = M -> ( ( F ` w ) < ( F ` N ) <-> ( F ` M ) < ( F ` N ) ) )
21	20	imbi2d 230	. . . 4 |- ( w = M -> ( ( ph -> ( F ` w ) < ( F ` N ) ) <-> ( ph -> ( F ` M ) < ( F ` N ) ) ) )
22		resqrexlemex.seq	. . . . . . 7 |- F = seq 1 ( ( y e. RR+ , z e. RR+ |-> ( ( y + ( A / y ) ) / 2 ) ) , ( NN X. { ( 1 + A ) } ) )
23		resqrexlemex.a	. . . . . . 7 |- ( ph -> A e. RR )
24		resqrexlemex.agt0	. . . . . . 7 |- ( ph -> 0 <_ A )
25	22, 23, 24	resqrexlemdec 11530	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ N e. NN ) -> ( F ` ( N + 1 ) ) < ( F ` N ) )
26	1, 25	mpdan 421	. . . . 5 |- ( ph -> ( F ` ( N + 1 ) ) < ( F ` N ) )
27	26	a1i 9	. . . 4 |- ( ( N + 1 ) e. ZZ -> ( ph -> ( F ` ( N + 1 ) ) < ( F ` N ) ) )
28	22, 23, 24	resqrexlemf 11526	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> F : NN --> RR+ )
29	28	ad2antrr 488	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ ( ( N + 1 ) e. ZZ /\ k e. ZZ /\ ( N + 1 ) <_ k ) ) /\ ( F ` k ) < ( F ` N ) ) -> F : NN --> RR+ )
30		simplr2 1064	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ ( ( N + 1 ) e. ZZ /\ k e. ZZ /\ ( N + 1 ) <_ k ) ) /\ ( F ` k ) < ( F ` N ) ) -> k e. ZZ )
31		1red 8169	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ ( ( N + 1 ) e. ZZ /\ k e. ZZ /\ ( N + 1 ) <_ k ) ) /\ ( F ` k ) < ( F ` N ) ) -> 1 e. RR )
32	3	ad2antrr 488	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ ( ( N + 1 ) e. ZZ /\ k e. ZZ /\ ( N + 1 ) <_ k ) ) /\ ( F ` k ) < ( F ` N ) ) -> ( N + 1 ) e. ZZ )
33	32	zred 9577	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ ( ( N + 1 ) e. ZZ /\ k e. ZZ /\ ( N + 1 ) <_ k ) ) /\ ( F ` k ) < ( F ` N ) ) -> ( N + 1 ) e. RR )
34	30	zred 9577	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ ( ( N + 1 ) e. ZZ /\ k e. ZZ /\ ( N + 1 ) <_ k ) ) /\ ( F ` k ) < ( F ` N ) ) -> k e. RR )
35	1	nnred 9131	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ph -> N e. RR )
36	1	nngt0d 9162	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ph -> 0 < N )
37		0re 8154	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- 0 e. RR
38		ltle 8242	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( 0 e. RR /\ N e. RR ) -> ( 0 < N -> 0 <_ N ) )
39	37, 38	mpan 424	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( N e. RR -> ( 0 < N -> 0 <_ N ) )
40	35, 36, 39	sylc 62	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> 0 <_ N )
41		1red 8169	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ph -> 1 e. RR )
42	41, 35	addge02d 8689	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> ( 0 <_ N <-> 1 <_ ( N + 1 ) ) )
43	40, 42	mpbid 147	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> 1 <_ ( N + 1 ) )
44	43	ad2antrr 488	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ ( ( N + 1 ) e. ZZ /\ k e. ZZ /\ ( N + 1 ) <_ k ) ) /\ ( F ` k ) < ( F ` N ) ) -> 1 <_ ( N + 1 ) )
45		simplr3 1065	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ ( ( N + 1 ) e. ZZ /\ k e. ZZ /\ ( N + 1 ) <_ k ) ) /\ ( F ` k ) < ( F ` N ) ) -> ( N + 1 ) <_ k )
46	31, 33, 34, 44, 45	letrd 8278	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ ( ( N + 1 ) e. ZZ /\ k e. ZZ /\ ( N + 1 ) <_ k ) ) /\ ( F ` k ) < ( F ` N ) ) -> 1 <_ k )
47		elnnz1 9477	. . . . . . . . . . . 12 |- ( k e. NN <-> ( k e. ZZ /\ 1 <_ k ) )
48	30, 46, 47	sylanbrc 417	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ ( ( N + 1 ) e. ZZ /\ k e. ZZ /\ ( N + 1 ) <_ k ) ) /\ ( F ` k ) < ( F ` N ) ) -> k e. NN )
49	48	peano2nnd 9133	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ ( ( N + 1 ) e. ZZ /\ k e. ZZ /\ ( N + 1 ) <_ k ) ) /\ ( F ` k ) < ( F ` N ) ) -> ( k + 1 ) e. NN )
50	29, 49	ffvelcdmd 5773	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ ( ( N + 1 ) e. ZZ /\ k e. ZZ /\ ( N + 1 ) <_ k ) ) /\ ( F ` k ) < ( F ` N ) ) -> ( F ` ( k + 1 ) ) e. RR+ )
51	50	rpred 9900	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ ( ( N + 1 ) e. ZZ /\ k e. ZZ /\ ( N + 1 ) <_ k ) ) /\ ( F ` k ) < ( F ` N ) ) -> ( F ` ( k + 1 ) ) e. RR )
52	29, 48	ffvelcdmd 5773	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ ( ( N + 1 ) e. ZZ /\ k e. ZZ /\ ( N + 1 ) <_ k ) ) /\ ( F ` k ) < ( F ` N ) ) -> ( F ` k ) e. RR+ )
53	52	rpred 9900	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ ( ( N + 1 ) e. ZZ /\ k e. ZZ /\ ( N + 1 ) <_ k ) ) /\ ( F ` k ) < ( F ` N ) ) -> ( F ` k ) e. RR )
54	1	ad2antrr 488	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ ( ( N + 1 ) e. ZZ /\ k e. ZZ /\ ( N + 1 ) <_ k ) ) /\ ( F ` k ) < ( F ` N ) ) -> N e. NN )
55	29, 54	ffvelcdmd 5773	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ ( ( N + 1 ) e. ZZ /\ k e. ZZ /\ ( N + 1 ) <_ k ) ) /\ ( F ` k ) < ( F ` N ) ) -> ( F ` N ) e. RR+ )
56	55	rpred 9900	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ ( ( N + 1 ) e. ZZ /\ k e. ZZ /\ ( N + 1 ) <_ k ) ) /\ ( F ` k ) < ( F ` N ) ) -> ( F ` N ) e. RR )
57		simpll 527	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ ( ( N + 1 ) e. ZZ /\ k e. ZZ /\ ( N + 1 ) <_ k ) ) /\ ( F ` k ) < ( F ` N ) ) -> ph )
58	22, 23, 24	resqrexlemdec 11530	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( F ` ( k + 1 ) ) < ( F ` k ) )
59	57, 48, 58	syl2anc 411	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ ( ( N + 1 ) e. ZZ /\ k e. ZZ /\ ( N + 1 ) <_ k ) ) /\ ( F ` k ) < ( F ` N ) ) -> ( F ` ( k + 1 ) ) < ( F ` k ) )
60		simpr 110	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ ( ( N + 1 ) e. ZZ /\ k e. ZZ /\ ( N + 1 ) <_ k ) ) /\ ( F ` k ) < ( F ` N ) ) -> ( F ` k ) < ( F ` N ) )
61	51, 53, 56, 59, 60	lttrd 8280	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ ( ( N + 1 ) e. ZZ /\ k e. ZZ /\ ( N + 1 ) <_ k ) ) /\ ( F ` k ) < ( F ` N ) ) -> ( F ` ( k + 1 ) ) < ( F ` N ) )
62	61	ex 115	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( ( N + 1 ) e. ZZ /\ k e. ZZ /\ ( N + 1 ) <_ k ) ) -> ( ( F ` k ) < ( F ` N ) -> ( F ` ( k + 1 ) ) < ( F ` N ) ) )
63	62	expcom 116	. . . . 5 |- ( ( ( N + 1 ) e. ZZ /\ k e. ZZ /\ ( N + 1 ) <_ k ) -> ( ph -> ( ( F ` k ) < ( F ` N ) -> ( F ` ( k + 1 ) ) < ( F ` N ) ) ) )
64	63	a2d 26	. . . 4 |- ( ( ( N + 1 ) e. ZZ /\ k e. ZZ /\ ( N + 1 ) <_ k ) -> ( ( ph -> ( F ` k ) < ( F ` N ) ) -> ( ph -> ( F ` ( k + 1 ) ) < ( F ` N ) ) ) )
65	12, 15, 18, 21, 27, 64	uzind 9566	. . 3 |- ( ( ( N + 1 ) e. ZZ /\ M e. ZZ /\ ( N + 1 ) <_ M ) -> ( ph -> ( F ` M ) < ( F ` N ) ) )
66	3, 5, 9, 65	syl3anc 1271	. 2 |- ( ph -> ( ph -> ( F ` M ) < ( F ` N ) ) )
67	66	pm2.43i 49	1 |- ( ph -> ( F ` M ) < ( F ` N ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   /\ w3a 1002   = wceq 1395   e. wcel 2200   {csn 3666   class class class wbr 4083   X. cxp 4717   -->wf 5314   ` cfv 5318  (class class class)co 6007   e. cmpo 6009   RRcr 8006   0cc0 8007   1c1 8008   + caddc 8010   < clt 8189   <_ cle 8190   / cdiv 8827   NNcn 9118   2c2 9169   ZZcz 9454   RR+crp 9857   seqcseq 10677

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-coll 4199  ax-sep 4202  ax-nul 4210  ax-pow 4258  ax-pr 4293  ax-un 4524  ax-setind 4629  ax-iinf 4680  ax-cnex 8098  ax-resscn 8099  ax-1cn 8100  ax-1re 8101  ax-icn 8102  ax-addcl 8103  ax-addrcl 8104  ax-mulcl 8105  ax-mulrcl 8106  ax-addcom 8107  ax-mulcom 8108  ax-addass 8109  ax-mulass 8110  ax-distr 8111  ax-i2m1 8112  ax-0lt1 8113  ax-1rid 8114  ax-0id 8115  ax-rnegex 8116  ax-precex 8117  ax-cnre 8118  ax-pre-ltirr 8119  ax-pre-ltwlin 8120  ax-pre-lttrn 8121  ax-pre-apti 8122  ax-pre-ltadd 8123  ax-pre-mulgt0 8124  ax-pre-mulext 8125

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 840  df-3or 1003  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-nel 2496  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rmo 2516  df-rab 2517  df-v 2801  df-sbc 3029  df-csb 3125  df-dif 3199  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-nul 3492  df-if 3603  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-uni 3889  df-int 3924  df-iun 3967  df-br 4084  df-opab 4146  df-mpt 4147  df-tr 4183  df-id 4384  df-po 4387  df-iso 4388  df-iord 4457  df-on 4459  df-ilim 4460  df-suc 4462  df-iom 4683  df-xp 4725  df-rel 4726  df-cnv 4727  df-co 4728  df-dm 4729  df-rn 4730  df-res 4731  df-ima 4732  df-iota 5278  df-fun 5320  df-fn 5321  df-f 5322  df-f1 5323  df-fo 5324  df-f1o 5325  df-fv 5326  df-riota 5960  df-ov 6010  df-oprab 6011  df-mpo 6012  df-1st 6292  df-2nd 6293  df-recs 6457  df-frec 6543  df-pnf 8191  df-mnf 8192  df-xr 8193  df-ltxr 8194  df-le 8195  df-sub 8327  df-neg 8328  df-reap 8730  df-ap 8737  df-div 8828  df-inn 9119  df-2 9177  df-3 9178  df-4 9179  df-n0 9378  df-z 9455  df-uz 9731  df-rp 9858  df-seqfrec 10678  df-exp 10769

This theorem is referenced by:  resqrexlemnm  11537  resqrexlemcvg  11538  resqrexlemoverl  11540  resqrexlemglsq  11541