Theorem resqrexlemdecn 11727

Description: Lemma for resqrex 11741. The sequence is decreasing. (Contributed by Jim Kingdon, 31-Jul-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
resqrexlemex.seq	|- F = seq 1 ( ( y e. RR+ , z e. RR+ |-> ( ( y + ( A / y ) ) / 2 ) ) , ( NN X. { ( 1 + A ) } ) )
resqrexlemex.a	|- ( ph -> A e. RR )
resqrexlemex.agt0	|- ( ph -> 0 <_ A )
resqrexlemdecn.n	|- ( ph -> N e. NN )
resqrexlemdecn.m	|- ( ph -> M e. NN )
resqrexlemdecn.nm	|- ( ph -> N < M )

Assertion

Ref	Expression
resqrexlemdecn	|- ( ph -> ( F ` M ) < ( F ` N ) )

Distinct variable groups:   y, A, z   ph, y, z

Allowed substitution hints:   F( y, z)   M( y, z)   N( y, z)

Proof of Theorem resqrexlemdecn

Dummy variables k w are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		resqrexlemdecn.n	. . . . 5 |- ( ph -> N e. NN )
2	1	nnzd 9721	. . . 4 |- ( ph -> N e. ZZ )
3	2	peano2zd 9725	. . 3 |- ( ph -> ( N + 1 ) e. ZZ )
4		resqrexlemdecn.m	. . . 4 |- ( ph -> M e. NN )
5	4	nnzd 9721	. . 3 |- ( ph -> M e. ZZ )
6		resqrexlemdecn.nm	. . . 4 |- ( ph -> N < M )
7		nnltp1le 9659	. . . . 5 |- ( ( N e. NN /\ M e. NN ) -> ( N < M <-> ( N + 1 ) <_ M ) )
8	1, 4, 7	syl2anc 411	. . . 4 |- ( ph -> ( N < M <-> ( N + 1 ) <_ M ) )
9	6, 8	mpbid 147	. . 3 |- ( ph -> ( N + 1 ) <_ M )
10		fveq2 5676	. . . . . 6 |- ( w = ( N + 1 ) -> ( F ` w ) = ( F ` ( N + 1 ) ) )
11	10	breq1d 4125	. . . . 5 |- ( w = ( N + 1 ) -> ( ( F ` w ) < ( F ` N ) <-> ( F ` ( N + 1 ) ) < ( F ` N ) ) )
12	11	imbi2d 230	. . . 4 |- ( w = ( N + 1 ) -> ( ( ph -> ( F ` w ) < ( F ` N ) ) <-> ( ph -> ( F ` ( N + 1 ) ) < ( F ` N ) ) ) )
13		fveq2 5676	. . . . . 6 |- ( w = k -> ( F ` w ) = ( F ` k ) )
14	13	breq1d 4125	. . . . 5 |- ( w = k -> ( ( F ` w ) < ( F ` N ) <-> ( F ` k ) < ( F ` N ) ) )
15	14	imbi2d 230	. . . 4 |- ( w = k -> ( ( ph -> ( F ` w ) < ( F ` N ) ) <-> ( ph -> ( F ` k ) < ( F ` N ) ) ) )
16		fveq2 5676	. . . . . 6 |- ( w = ( k + 1 ) -> ( F ` w ) = ( F ` ( k + 1 ) ) )
17	16	breq1d 4125	. . . . 5 |- ( w = ( k + 1 ) -> ( ( F ` w ) < ( F ` N ) <-> ( F ` ( k + 1 ) ) < ( F ` N ) ) )
18	17	imbi2d 230	. . . 4 |- ( w = ( k + 1 ) -> ( ( ph -> ( F ` w ) < ( F ` N ) ) <-> ( ph -> ( F ` ( k + 1 ) ) < ( F ` N ) ) ) )
19		fveq2 5676	. . . . . 6 |- ( w = M -> ( F ` w ) = ( F ` M ) )
20	19	breq1d 4125	. . . . 5 |- ( w = M -> ( ( F ` w ) < ( F ` N ) <-> ( F ` M ) < ( F ` N ) ) )
21	20	imbi2d 230	. . . 4 |- ( w = M -> ( ( ph -> ( F ` w ) < ( F ` N ) ) <-> ( ph -> ( F ` M ) < ( F ` N ) ) ) )
22		resqrexlemex.seq	. . . . . . 7 |- F = seq 1 ( ( y e. RR+ , z e. RR+ |-> ( ( y + ( A / y ) ) / 2 ) ) , ( NN X. { ( 1 + A ) } ) )
23		resqrexlemex.a	. . . . . . 7 |- ( ph -> A e. RR )
24		resqrexlemex.agt0	. . . . . . 7 |- ( ph -> 0 <_ A )
25	22, 23, 24	resqrexlemdec 11726	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ N e. NN ) -> ( F ` ( N + 1 ) ) < ( F ` N ) )
26	1, 25	mpdan 421	. . . . 5 |- ( ph -> ( F ` ( N + 1 ) ) < ( F ` N ) )
27	26	a1i 9	. . . 4 |- ( ( N + 1 ) e. ZZ -> ( ph -> ( F ` ( N + 1 ) ) < ( F ` N ) ) )
28	22, 23, 24	resqrexlemf 11722	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> F : NN --> RR+ )
29	28	ad2antrr 488	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ ( ( N + 1 ) e. ZZ /\ k e. ZZ /\ ( N + 1 ) <_ k ) ) /\ ( F ` k ) < ( F ` N ) ) -> F : NN --> RR+ )
30		simplr2 1067	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ ( ( N + 1 ) e. ZZ /\ k e. ZZ /\ ( N + 1 ) <_ k ) ) /\ ( F ` k ) < ( F ` N ) ) -> k e. ZZ )
31		1red 8306	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ ( ( N + 1 ) e. ZZ /\ k e. ZZ /\ ( N + 1 ) <_ k ) ) /\ ( F ` k ) < ( F ` N ) ) -> 1 e. RR )
32	3	ad2antrr 488	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ ( ( N + 1 ) e. ZZ /\ k e. ZZ /\ ( N + 1 ) <_ k ) ) /\ ( F ` k ) < ( F ` N ) ) -> ( N + 1 ) e. ZZ )
33	32	zred 9722	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ ( ( N + 1 ) e. ZZ /\ k e. ZZ /\ ( N + 1 ) <_ k ) ) /\ ( F ` k ) < ( F ` N ) ) -> ( N + 1 ) e. RR )
34	30	zred 9722	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ ( ( N + 1 ) e. ZZ /\ k e. ZZ /\ ( N + 1 ) <_ k ) ) /\ ( F ` k ) < ( F ` N ) ) -> k e. RR )
35	1	nnred 9271	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ph -> N e. RR )
36	1	nngt0d 9302	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ph -> 0 < N )
37		0re 8291	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- 0 e. RR
38		ltle 8378	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( 0 e. RR /\ N e. RR ) -> ( 0 < N -> 0 <_ N ) )
39	37, 38	mpan 424	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( N e. RR -> ( 0 < N -> 0 <_ N ) )
40	35, 36, 39	sylc 62	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> 0 <_ N )
41		1red 8306	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ph -> 1 e. RR )
42	41, 35	addge02d 8827	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> ( 0 <_ N <-> 1 <_ ( N + 1 ) ) )
43	40, 42	mpbid 147	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> 1 <_ ( N + 1 ) )
44	43	ad2antrr 488	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ ( ( N + 1 ) e. ZZ /\ k e. ZZ /\ ( N + 1 ) <_ k ) ) /\ ( F ` k ) < ( F ` N ) ) -> 1 <_ ( N + 1 ) )
45		simplr3 1068	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ ( ( N + 1 ) e. ZZ /\ k e. ZZ /\ ( N + 1 ) <_ k ) ) /\ ( F ` k ) < ( F ` N ) ) -> ( N + 1 ) <_ k )
46	31, 33, 34, 44, 45	letrd 8415	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ ( ( N + 1 ) e. ZZ /\ k e. ZZ /\ ( N + 1 ) <_ k ) ) /\ ( F ` k ) < ( F ` N ) ) -> 1 <_ k )
47		elnnz1 9621	. . . . . . . . . . . 12 |- ( k e. NN <-> ( k e. ZZ /\ 1 <_ k ) )
48	30, 46, 47	sylanbrc 417	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ ( ( N + 1 ) e. ZZ /\ k e. ZZ /\ ( N + 1 ) <_ k ) ) /\ ( F ` k ) < ( F ` N ) ) -> k e. NN )
49	48	peano2nnd 9273	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ ( ( N + 1 ) e. ZZ /\ k e. ZZ /\ ( N + 1 ) <_ k ) ) /\ ( F ` k ) < ( F ` N ) ) -> ( k + 1 ) e. NN )
50	29, 49	ffvelcdmd 5819	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ ( ( N + 1 ) e. ZZ /\ k e. ZZ /\ ( N + 1 ) <_ k ) ) /\ ( F ` k ) < ( F ` N ) ) -> ( F ` ( k + 1 ) ) e. RR+ )
51	50	rpred 10051	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ ( ( N + 1 ) e. ZZ /\ k e. ZZ /\ ( N + 1 ) <_ k ) ) /\ ( F ` k ) < ( F ` N ) ) -> ( F ` ( k + 1 ) ) e. RR )
52	29, 48	ffvelcdmd 5819	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ ( ( N + 1 ) e. ZZ /\ k e. ZZ /\ ( N + 1 ) <_ k ) ) /\ ( F ` k ) < ( F ` N ) ) -> ( F ` k ) e. RR+ )
53	52	rpred 10051	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ ( ( N + 1 ) e. ZZ /\ k e. ZZ /\ ( N + 1 ) <_ k ) ) /\ ( F ` k ) < ( F ` N ) ) -> ( F ` k ) e. RR )
54	1	ad2antrr 488	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ ( ( N + 1 ) e. ZZ /\ k e. ZZ /\ ( N + 1 ) <_ k ) ) /\ ( F ` k ) < ( F ` N ) ) -> N e. NN )
55	29, 54	ffvelcdmd 5819	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ ( ( N + 1 ) e. ZZ /\ k e. ZZ /\ ( N + 1 ) <_ k ) ) /\ ( F ` k ) < ( F ` N ) ) -> ( F ` N ) e. RR+ )
56	55	rpred 10051	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ ( ( N + 1 ) e. ZZ /\ k e. ZZ /\ ( N + 1 ) <_ k ) ) /\ ( F ` k ) < ( F ` N ) ) -> ( F ` N ) e. RR )
57		simpll 527	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ ( ( N + 1 ) e. ZZ /\ k e. ZZ /\ ( N + 1 ) <_ k ) ) /\ ( F ` k ) < ( F ` N ) ) -> ph )
58	22, 23, 24	resqrexlemdec 11726	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( F ` ( k + 1 ) ) < ( F ` k ) )
59	57, 48, 58	syl2anc 411	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ ( ( N + 1 ) e. ZZ /\ k e. ZZ /\ ( N + 1 ) <_ k ) ) /\ ( F ` k ) < ( F ` N ) ) -> ( F ` ( k + 1 ) ) < ( F ` k ) )
60		simpr 110	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ ( ( N + 1 ) e. ZZ /\ k e. ZZ /\ ( N + 1 ) <_ k ) ) /\ ( F ` k ) < ( F ` N ) ) -> ( F ` k ) < ( F ` N ) )
61	51, 53, 56, 59, 60	lttrd 8417	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ ( ( N + 1 ) e. ZZ /\ k e. ZZ /\ ( N + 1 ) <_ k ) ) /\ ( F ` k ) < ( F ` N ) ) -> ( F ` ( k + 1 ) ) < ( F ` N ) )
62	61	ex 115	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( ( N + 1 ) e. ZZ /\ k e. ZZ /\ ( N + 1 ) <_ k ) ) -> ( ( F ` k ) < ( F ` N ) -> ( F ` ( k + 1 ) ) < ( F ` N ) ) )
63	62	expcom 116	. . . . 5 |- ( ( ( N + 1 ) e. ZZ /\ k e. ZZ /\ ( N + 1 ) <_ k ) -> ( ph -> ( ( F ` k ) < ( F ` N ) -> ( F ` ( k + 1 ) ) < ( F ` N ) ) ) )
64	63	a2d 26	. . . 4 |- ( ( ( N + 1 ) e. ZZ /\ k e. ZZ /\ ( N + 1 ) <_ k ) -> ( ( ph -> ( F ` k ) < ( F ` N ) ) -> ( ph -> ( F ` ( k + 1 ) ) < ( F ` N ) ) ) )
65	12, 15, 18, 21, 27, 64	uzind 9711	. . 3 |- ( ( ( N + 1 ) e. ZZ /\ M e. ZZ /\ ( N + 1 ) <_ M ) -> ( ph -> ( F ` M ) < ( F ` N ) ) )
66	3, 5, 9, 65	syl3anc 1274	. 2 |- ( ph -> ( ph -> ( F ` M ) < ( F ` N ) ) )
67	66	pm2.43i 49	1 |- ( ph -> ( F ` M ) < ( F ` N ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   /\ w3a 1005   = wceq 1398   e. wcel 2205   {csn 3695   class class class wbr 4115   X. cxp 4753   -->wf 5354   ` cfv 5358  (class class class)co 6059   e. cmpo 6061   RRcr 8143   0cc0 8144   1c1 8145   + caddc 8147   < clt 8325   <_ cle 8326   / cdiv 8967   NNcn 9258   2c2 9309   ZZcz 9598   RR+crp 10008   seqcseq 10837

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2207  ax-14 2208  ax-ext 2216  ax-coll 4231  ax-sep 4234  ax-nul 4242  ax-pow 4293  ax-pr 4328  ax-un 4560  ax-setind 4665  ax-iinf 4716  ax-cnex 8235  ax-resscn 8236  ax-1cn 8237  ax-1re 8238  ax-icn 8239  ax-addcl 8240  ax-addrcl 8241  ax-mulcl 8242  ax-mulrcl 8243  ax-addcom 8244  ax-mulcom 8245  ax-addass 8246  ax-mulass 8247  ax-distr 8248  ax-i2m1 8249  ax-0lt1 8250  ax-1rid 8251  ax-0id 8252  ax-rnegex 8253  ax-precex 8254  ax-cnre 8255  ax-pre-ltirr 8256  ax-pre-ltwlin 8257  ax-pre-lttrn 8258  ax-pre-apti 8259  ax-pre-ltadd 8260  ax-pre-mulgt0 8261  ax-pre-mulext 8262

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 843  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2085  df-mo 2086  df-clab 2221  df-cleq 2227  df-clel 2230  df-nfc 2375  df-ne 2415  df-nel 2510  df-ral 2527  df-rex 2528  df-reu 2529  df-rmo 2530  df-rab 2531  df-v 2817  df-sbc 3046  df-csb 3142  df-dif 3216  df-un 3218  df-in 3220  df-ss 3227  df-nul 3513  df-if 3626  df-pw 3677  df-sn 3701  df-pr 3702  df-op 3704  df-uni 3921  df-int 3956  df-iun 3999  df-br 4116  df-opab 4178  df-mpt 4179  df-tr 4215  df-id 4420  df-po 4423  df-iso 4424  df-iord 4493  df-on 4495  df-ilim 4496  df-suc 4498  df-iom 4719  df-xp 4761  df-rel 4762  df-cnv 4763  df-co 4764  df-dm 4765  df-rn 4766  df-res 4767  df-ima 4768  df-iota 5318  df-fun 5360  df-fn 5361  df-f 5362  df-f1 5363  df-fo 5364  df-f1o 5365  df-fv 5366  df-riota 6012  df-ov 6062  df-oprab 6063  df-mpo 6064  df-1st 6348  df-2nd 6349  df-recs 6550  df-frec 6636  df-pnf 8327  df-mnf 8328  df-xr 8329  df-ltxr 8330  df-le 8331  df-sub 8464  df-neg 8465  df-reap 8868  df-ap 8875  df-div 8968  df-inn 9259  df-2 9317  df-3 9318  df-4 9319  df-n0 9518  df-z 9599  df-uz 9876  df-rp 10009  df-seqfrec 10838  df-exp 10929

This theorem is referenced by:  resqrexlemnm  11733  resqrexlemcvg  11734  resqrexlemoverl  11736  resqrexlemglsq  11737