Theorem resqrexlemdecn 10976

Description: Lemma for resqrex 10990. The sequence is decreasing. (Contributed by Jim Kingdon, 31-Jul-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
resqrexlemex.seq	|- F = seq 1 ( ( y e. RR+ , z e. RR+ |-> ( ( y + ( A / y ) ) / 2 ) ) , ( NN X. { ( 1 + A ) } ) )
resqrexlemex.a	|- ( ph -> A e. RR )
resqrexlemex.agt0	|- ( ph -> 0 <_ A )
resqrexlemdecn.n	|- ( ph -> N e. NN )
resqrexlemdecn.m	|- ( ph -> M e. NN )
resqrexlemdecn.nm	|- ( ph -> N < M )

Assertion

Ref	Expression
resqrexlemdecn	|- ( ph -> ( F ` M ) < ( F ` N ) )

Distinct variable groups:   y, A, z   ph, y, z

Allowed substitution hints:   F( y, z)   M( y, z)   N( y, z)

Proof of Theorem resqrexlemdecn

Dummy variables k w are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		resqrexlemdecn.n	. . . . 5 |- ( ph -> N e. NN )
2	1	nnzd 9333	. . . 4 |- ( ph -> N e. ZZ )
3	2	peano2zd 9337	. . 3 |- ( ph -> ( N + 1 ) e. ZZ )
4		resqrexlemdecn.m	. . . 4 |- ( ph -> M e. NN )
5	4	nnzd 9333	. . 3 |- ( ph -> M e. ZZ )
6		resqrexlemdecn.nm	. . . 4 |- ( ph -> N < M )
7		nnltp1le 9272	. . . . 5 |- ( ( N e. NN /\ M e. NN ) -> ( N < M <-> ( N + 1 ) <_ M ) )
8	1, 4, 7	syl2anc 409	. . . 4 |- ( ph -> ( N < M <-> ( N + 1 ) <_ M ) )
9	6, 8	mpbid 146	. . 3 |- ( ph -> ( N + 1 ) <_ M )
10		fveq2 5496	. . . . . 6 |- ( w = ( N + 1 ) -> ( F ` w ) = ( F ` ( N + 1 ) ) )
11	10	breq1d 3999	. . . . 5 |- ( w = ( N + 1 ) -> ( ( F ` w ) < ( F ` N ) <-> ( F ` ( N + 1 ) ) < ( F ` N ) ) )
12	11	imbi2d 229	. . . 4 |- ( w = ( N + 1 ) -> ( ( ph -> ( F ` w ) < ( F ` N ) ) <-> ( ph -> ( F ` ( N + 1 ) ) < ( F ` N ) ) ) )
13		fveq2 5496	. . . . . 6 |- ( w = k -> ( F ` w ) = ( F ` k ) )
14	13	breq1d 3999	. . . . 5 |- ( w = k -> ( ( F ` w ) < ( F ` N ) <-> ( F ` k ) < ( F ` N ) ) )
15	14	imbi2d 229	. . . 4 |- ( w = k -> ( ( ph -> ( F ` w ) < ( F ` N ) ) <-> ( ph -> ( F ` k ) < ( F ` N ) ) ) )
16		fveq2 5496	. . . . . 6 |- ( w = ( k + 1 ) -> ( F ` w ) = ( F ` ( k + 1 ) ) )
17	16	breq1d 3999	. . . . 5 |- ( w = ( k + 1 ) -> ( ( F ` w ) < ( F ` N ) <-> ( F ` ( k + 1 ) ) < ( F ` N ) ) )
18	17	imbi2d 229	. . . 4 |- ( w = ( k + 1 ) -> ( ( ph -> ( F ` w ) < ( F ` N ) ) <-> ( ph -> ( F ` ( k + 1 ) ) < ( F ` N ) ) ) )
19		fveq2 5496	. . . . . 6 |- ( w = M -> ( F ` w ) = ( F ` M ) )
20	19	breq1d 3999	. . . . 5 |- ( w = M -> ( ( F ` w ) < ( F ` N ) <-> ( F ` M ) < ( F ` N ) ) )
21	20	imbi2d 229	. . . 4 |- ( w = M -> ( ( ph -> ( F ` w ) < ( F ` N ) ) <-> ( ph -> ( F ` M ) < ( F ` N ) ) ) )
22		resqrexlemex.seq	. . . . . . 7 |- F = seq 1 ( ( y e. RR+ , z e. RR+ |-> ( ( y + ( A / y ) ) / 2 ) ) , ( NN X. { ( 1 + A ) } ) )
23		resqrexlemex.a	. . . . . . 7 |- ( ph -> A e. RR )
24		resqrexlemex.agt0	. . . . . . 7 |- ( ph -> 0 <_ A )
25	22, 23, 24	resqrexlemdec 10975	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ N e. NN ) -> ( F ` ( N + 1 ) ) < ( F ` N ) )
26	1, 25	mpdan 419	. . . . 5 |- ( ph -> ( F ` ( N + 1 ) ) < ( F ` N ) )
27	26	a1i 9	. . . 4 |- ( ( N + 1 ) e. ZZ -> ( ph -> ( F ` ( N + 1 ) ) < ( F ` N ) ) )
28	22, 23, 24	resqrexlemf 10971	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> F : NN --> RR+ )
29	28	ad2antrr 485	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ ( ( N + 1 ) e. ZZ /\ k e. ZZ /\ ( N + 1 ) <_ k ) ) /\ ( F ` k ) < ( F ` N ) ) -> F : NN --> RR+ )
30		simplr2 1035	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ ( ( N + 1 ) e. ZZ /\ k e. ZZ /\ ( N + 1 ) <_ k ) ) /\ ( F ` k ) < ( F ` N ) ) -> k e. ZZ )
31		1red 7935	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ ( ( N + 1 ) e. ZZ /\ k e. ZZ /\ ( N + 1 ) <_ k ) ) /\ ( F ` k ) < ( F ` N ) ) -> 1 e. RR )
32	3	ad2antrr 485	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ ( ( N + 1 ) e. ZZ /\ k e. ZZ /\ ( N + 1 ) <_ k ) ) /\ ( F ` k ) < ( F ` N ) ) -> ( N + 1 ) e. ZZ )
33	32	zred 9334	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ ( ( N + 1 ) e. ZZ /\ k e. ZZ /\ ( N + 1 ) <_ k ) ) /\ ( F ` k ) < ( F ` N ) ) -> ( N + 1 ) e. RR )
34	30	zred 9334	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ ( ( N + 1 ) e. ZZ /\ k e. ZZ /\ ( N + 1 ) <_ k ) ) /\ ( F ` k ) < ( F ` N ) ) -> k e. RR )
35	1	nnred 8891	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ph -> N e. RR )
36	1	nngt0d 8922	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ph -> 0 < N )
37		0re 7920	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- 0 e. RR
38		ltle 8007	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( 0 e. RR /\ N e. RR ) -> ( 0 < N -> 0 <_ N ) )
39	37, 38	mpan 422	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( N e. RR -> ( 0 < N -> 0 <_ N ) )
40	35, 36, 39	sylc 62	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> 0 <_ N )
41		1red 7935	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ph -> 1 e. RR )
42	41, 35	addge02d 8453	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> ( 0 <_ N <-> 1 <_ ( N + 1 ) ) )
43	40, 42	mpbid 146	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> 1 <_ ( N + 1 ) )
44	43	ad2antrr 485	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ ( ( N + 1 ) e. ZZ /\ k e. ZZ /\ ( N + 1 ) <_ k ) ) /\ ( F ` k ) < ( F ` N ) ) -> 1 <_ ( N + 1 ) )
45		simplr3 1036	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ ( ( N + 1 ) e. ZZ /\ k e. ZZ /\ ( N + 1 ) <_ k ) ) /\ ( F ` k ) < ( F ` N ) ) -> ( N + 1 ) <_ k )
46	31, 33, 34, 44, 45	letrd 8043	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ ( ( N + 1 ) e. ZZ /\ k e. ZZ /\ ( N + 1 ) <_ k ) ) /\ ( F ` k ) < ( F ` N ) ) -> 1 <_ k )
47		elnnz1 9235	. . . . . . . . . . . 12 |- ( k e. NN <-> ( k e. ZZ /\ 1 <_ k ) )
48	30, 46, 47	sylanbrc 415	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ ( ( N + 1 ) e. ZZ /\ k e. ZZ /\ ( N + 1 ) <_ k ) ) /\ ( F ` k ) < ( F ` N ) ) -> k e. NN )
49	48	peano2nnd 8893	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ ( ( N + 1 ) e. ZZ /\ k e. ZZ /\ ( N + 1 ) <_ k ) ) /\ ( F ` k ) < ( F ` N ) ) -> ( k + 1 ) e. NN )
50	29, 49	ffvelrnd 5632	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ ( ( N + 1 ) e. ZZ /\ k e. ZZ /\ ( N + 1 ) <_ k ) ) /\ ( F ` k ) < ( F ` N ) ) -> ( F ` ( k + 1 ) ) e. RR+ )
51	50	rpred 9653	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ ( ( N + 1 ) e. ZZ /\ k e. ZZ /\ ( N + 1 ) <_ k ) ) /\ ( F ` k ) < ( F ` N ) ) -> ( F ` ( k + 1 ) ) e. RR )
52	29, 48	ffvelrnd 5632	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ ( ( N + 1 ) e. ZZ /\ k e. ZZ /\ ( N + 1 ) <_ k ) ) /\ ( F ` k ) < ( F ` N ) ) -> ( F ` k ) e. RR+ )
53	52	rpred 9653	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ ( ( N + 1 ) e. ZZ /\ k e. ZZ /\ ( N + 1 ) <_ k ) ) /\ ( F ` k ) < ( F ` N ) ) -> ( F ` k ) e. RR )
54	1	ad2antrr 485	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ ( ( N + 1 ) e. ZZ /\ k e. ZZ /\ ( N + 1 ) <_ k ) ) /\ ( F ` k ) < ( F ` N ) ) -> N e. NN )
55	29, 54	ffvelrnd 5632	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ ( ( N + 1 ) e. ZZ /\ k e. ZZ /\ ( N + 1 ) <_ k ) ) /\ ( F ` k ) < ( F ` N ) ) -> ( F ` N ) e. RR+ )
56	55	rpred 9653	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ ( ( N + 1 ) e. ZZ /\ k e. ZZ /\ ( N + 1 ) <_ k ) ) /\ ( F ` k ) < ( F ` N ) ) -> ( F ` N ) e. RR )
57		simpll 524	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ ( ( N + 1 ) e. ZZ /\ k e. ZZ /\ ( N + 1 ) <_ k ) ) /\ ( F ` k ) < ( F ` N ) ) -> ph )
58	22, 23, 24	resqrexlemdec 10975	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( F ` ( k + 1 ) ) < ( F ` k ) )
59	57, 48, 58	syl2anc 409	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ ( ( N + 1 ) e. ZZ /\ k e. ZZ /\ ( N + 1 ) <_ k ) ) /\ ( F ` k ) < ( F ` N ) ) -> ( F ` ( k + 1 ) ) < ( F ` k ) )
60		simpr 109	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ ( ( N + 1 ) e. ZZ /\ k e. ZZ /\ ( N + 1 ) <_ k ) ) /\ ( F ` k ) < ( F ` N ) ) -> ( F ` k ) < ( F ` N ) )
61	51, 53, 56, 59, 60	lttrd 8045	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ ( ( N + 1 ) e. ZZ /\ k e. ZZ /\ ( N + 1 ) <_ k ) ) /\ ( F ` k ) < ( F ` N ) ) -> ( F ` ( k + 1 ) ) < ( F ` N ) )
62	61	ex 114	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( ( N + 1 ) e. ZZ /\ k e. ZZ /\ ( N + 1 ) <_ k ) ) -> ( ( F ` k ) < ( F ` N ) -> ( F ` ( k + 1 ) ) < ( F ` N ) ) )
63	62	expcom 115	. . . . 5 |- ( ( ( N + 1 ) e. ZZ /\ k e. ZZ /\ ( N + 1 ) <_ k ) -> ( ph -> ( ( F ` k ) < ( F ` N ) -> ( F ` ( k + 1 ) ) < ( F ` N ) ) ) )
64	63	a2d 26	. . . 4 |- ( ( ( N + 1 ) e. ZZ /\ k e. ZZ /\ ( N + 1 ) <_ k ) -> ( ( ph -> ( F ` k ) < ( F ` N ) ) -> ( ph -> ( F ` ( k + 1 ) ) < ( F ` N ) ) ) )
65	12, 15, 18, 21, 27, 64	uzind 9323	. . 3 |- ( ( ( N + 1 ) e. ZZ /\ M e. ZZ /\ ( N + 1 ) <_ M ) -> ( ph -> ( F ` M ) < ( F ` N ) ) )
66	3, 5, 9, 65	syl3anc 1233	. 2 |- ( ph -> ( ph -> ( F ` M ) < ( F ` N ) ) )
67	66	pm2.43i 49	1 |- ( ph -> ( F ` M ) < ( F ` N ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   <-> wb 104   /\ w3a 973   = wceq 1348   e. wcel 2141   {csn 3583   class class class wbr 3989   X. cxp 4609   -->wf 5194   ` cfv 5198  (class class class)co 5853   e. cmpo 5855   RRcr 7773   0cc0 7774   1c1 7775   + caddc 7777   < clt 7954   <_ cle 7955   / cdiv 8589   NNcn 8878   2c2 8929   ZZcz 9212   RR+crp 9610   seqcseq 10401

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 609  ax-in2 610  ax-io 704  ax-5 1440  ax-7 1441  ax-gen 1442  ax-ie1 1486  ax-ie2 1487  ax-8 1497  ax-10 1498  ax-11 1499  ax-i12 1500  ax-bndl 1502  ax-4 1503  ax-17 1519  ax-i9 1523  ax-ial 1527  ax-i5r 1528  ax-13 2143  ax-14 2144  ax-ext 2152  ax-coll 4104  ax-sep 4107  ax-nul 4115  ax-pow 4160  ax-pr 4194  ax-un 4418  ax-setind 4521  ax-iinf 4572  ax-cnex 7865  ax-resscn 7866  ax-1cn 7867  ax-1re 7868  ax-icn 7869  ax-addcl 7870  ax-addrcl 7871  ax-mulcl 7872  ax-mulrcl 7873  ax-addcom 7874  ax-mulcom 7875  ax-addass 7876  ax-mulass 7877  ax-distr 7878  ax-i2m1 7879  ax-0lt1 7880  ax-1rid 7881  ax-0id 7882  ax-rnegex 7883  ax-precex 7884  ax-cnre 7885  ax-pre-ltirr 7886  ax-pre-ltwlin 7887  ax-pre-lttrn 7888  ax-pre-apti 7889  ax-pre-ltadd 7890  ax-pre-mulgt0 7891  ax-pre-mulext 7892

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 830  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1351  df-fal 1354  df-nf 1454  df-sb 1756  df-eu 2022  df-mo 2023  df-clab 2157  df-cleq 2163  df-clel 2166  df-nfc 2301  df-ne 2341  df-nel 2436  df-ral 2453  df-rex 2454  df-reu 2455  df-rmo 2456  df-rab 2457  df-v 2732  df-sbc 2956  df-csb 3050  df-dif 3123  df-un 3125  df-in 3127  df-ss 3134  df-nul 3415  df-if 3527  df-pw 3568  df-sn 3589  df-pr 3590  df-op 3592  df-uni 3797  df-int 3832  df-iun 3875  df-br 3990  df-opab 4051  df-mpt 4052  df-tr 4088  df-id 4278  df-po 4281  df-iso 4282  df-iord 4351  df-on 4353  df-ilim 4354  df-suc 4356  df-iom 4575  df-xp 4617  df-rel 4618  df-cnv 4619  df-co 4620  df-dm 4621  df-rn 4622  df-res 4623  df-ima 4624  df-iota 5160  df-fun 5200  df-fn 5201  df-f 5202  df-f1 5203  df-fo 5204  df-f1o 5205  df-fv 5206  df-riota 5809  df-ov 5856  df-oprab 5857  df-mpo 5858  df-1st 6119  df-2nd 6120  df-recs 6284  df-frec 6370  df-pnf 7956  df-mnf 7957  df-xr 7958  df-ltxr 7959  df-le 7960  df-sub 8092  df-neg 8093  df-reap 8494  df-ap 8501  df-div 8590  df-inn 8879  df-2 8937  df-3 8938  df-4 8939  df-n0 9136  df-z 9213  df-uz 9488  df-rp 9611  df-seqfrec 10402  df-exp 10476

This theorem is referenced by:  resqrexlemnm  10982  resqrexlemcvg  10983  resqrexlemoverl  10985  resqrexlemglsq  10986