Theorem subge0d 8705

Description: Nonnegative subtraction. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
leidd.1	|- ( ph -> A e. RR )
ltnegd.2	|- ( ph -> B e. RR )

Assertion

Ref	Expression
subge0d	|- ( ph -> ( 0 <_ ( A - B ) <-> B <_ A ) )

Proof of Theorem subge0d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		leidd.1	. 2 |- ( ph -> A e. RR )
2		ltnegd.2	. 2 |- ( ph -> B e. RR )
3		subge0 8645	. 2 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> ( 0 <_ ( A - B ) <-> B <_ A ) )
4	1, 2, 3	syl2anc 411	1 |- ( ph -> ( 0 <_ ( A - B ) <-> B <_ A ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 105   e. wcel 2200   class class class wbr 4086  (class class class)co 6013   RRcr 8021   0cc0 8022   <_ cle 8205   - cmin 8340

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-sep 4205  ax-pow 4262  ax-pr 4297  ax-un 4528  ax-setind 4633  ax-cnex 8113  ax-resscn 8114  ax-1cn 8115  ax-1re 8116  ax-icn 8117  ax-addcl 8118  ax-addrcl 8119  ax-mulcl 8120  ax-addcom 8122  ax-addass 8124  ax-distr 8126  ax-i2m1 8127  ax-0id 8130  ax-rnegex 8131  ax-cnre 8133  ax-pre-ltadd 8138

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-nel 2496  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rab 2517  df-v 2802  df-sbc 3030  df-dif 3200  df-un 3202  df-in 3204  df-ss 3211  df-pw 3652  df-sn 3673  df-pr 3674  df-op 3676  df-uni 3892  df-br 4087  df-opab 4149  df-id 4388  df-xp 4729  df-rel 4730  df-cnv 4731  df-co 4732  df-dm 4733  df-iota 5284  df-fun 5326  df-fv 5332  df-riota 5966  df-ov 6016  df-oprab 6017  df-mpo 6018  df-pnf 8206  df-mnf 8207  df-xr 8208  df-ltxr 8209  df-le 8210  df-sub 8342  df-neg 8343

This theorem is referenced by:  lemul1a  9028  uzsubsubfz  10272  qfracge0  10531  modqge0  10584  q2submod  10637  modqsubdir  10645  modsumfzodifsn  10648  uzennn  10688  ser3le  10789  bcval5  11015  resqrexlemglsq  11573  fzomaxdiflem  11663  amgm2  11669  climle  11885  fsumle  12014  cvgratnnlemabsle  12078  cvgratnnlemsumlt  12079  uzwodc  12598  pcz  12895  4sqlem15  12968  dich0  15366  gausslemma2dlem0h  15775  lgseisenlem1  15789