Theorem basvtxval2dom 15850

Description: The set of vertices of a graph represented as an extensible structure with the set of vertices as base set. (Contributed by AV, 14-Oct-2020.) (Revised by AV, 12-Nov-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
basvtxval.s	⊢ (𝜑 → 𝐺 Struct 𝑋)
basvtxval2dom.d	⊢ (𝜑 → 2o ≼ dom 𝐺)
basvtxval.v	⊢ (𝜑 → 𝑉 ∈ 𝑌)
basvtxval.b	⊢ (𝜑 → ⟨(Base‘ndx), 𝑉⟩ ∈ 𝐺)

Assertion

Ref	Expression
basvtxval2dom	⊢ (𝜑 → (Vtx‘𝐺) = 𝑉)

Proof of Theorem basvtxval2dom

Step	Hyp	Ref	Expression
1		basvtxval.s	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐺 Struct 𝑋)
2		structex 13059	. . . 4 ⊢ (𝐺 Struct 𝑋 → 𝐺 ∈ V)
3	1, 2	syl 14	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ V)
4		structn0fun 13060	. . . 4 ⊢ (𝐺 Struct 𝑋 → Fun (𝐺 ∖ {∅}))
5	1, 4	syl 14	. . 3 ⊢ (𝜑 → Fun (𝐺 ∖ {∅}))
6		basvtxval2dom.d	. . 3 ⊢ (𝜑 → 2o ≼ dom 𝐺)
7		funvtxdm2domval 15845	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ V ∧ Fun (𝐺 ∖ {∅}) ∧ 2o ≼ dom 𝐺) → (Vtx‘𝐺) = (Base‘𝐺))
8	3, 5, 6, 7	syl3anc 1271	. 2 ⊢ (𝜑 → (Vtx‘𝐺) = (Base‘𝐺))
9		basvtxval.v	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑉 ∈ 𝑌)
10		basvtxval.b	. . 3 ⊢ (𝜑 → ⟨(Base‘ndx), 𝑉⟩ ∈ 𝐺)
11	1, 9, 10	opelstrbas 13163	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑉 = (Base‘𝐺))
12	8, 11	eqtr4d 2265	1 ⊢ (𝜑 → (Vtx‘𝐺) = 𝑉)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1395   ∈ wcel 2200  Vcvv 2799   ∖ cdif 3194  ∅c0 3491  {csn 3666  ⟨cop 3669   class class class wbr 4083  dom cdm 4719  Fun wfun 5312  ‘cfv 5318  2_oc2o 6562   ≼ cdom 6894   Struct cstr 13043  ndxcnx 13044  Basecbs 13047  Vtxcvtx 15828

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-sep 4202  ax-nul 4210  ax-pow 4258  ax-pr 4293  ax-un 4524  ax-cnex 8101  ax-resscn 8102  ax-1re 8104  ax-addrcl 8107

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-ral 2513  df-rex 2514  df-rab 2517  df-v 2801  df-sbc 3029  df-csb 3125  df-dif 3199  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-nul 3492  df-if 3603  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-uni 3889  df-int 3924  df-br 4084  df-opab 4146  df-mpt 4147  df-id 4384  df-suc 4462  df-xp 4725  df-rel 4726  df-cnv 4727  df-co 4728  df-dm 4729  df-rn 4730  df-res 4731  df-iota 5278  df-fun 5320  df-fn 5321  df-f 5322  df-f1 5323  df-fo 5324  df-fv 5326  df-1st 6292  df-1o 6568  df-2o 6569  df-dom 6897  df-inn 9122  df-struct 13049  df-ndx 13050  df-slot 13051  df-base 13053  df-vtx 15830

This theorem is referenced by:  structvtxval  15855  structgrssvtx  15858