Theorem basvtxval2dom 16480

Description: The set of vertices of a graph represented as an extensible structure with the set of vertices as base set. (Contributed by AV, 14-Oct-2020.) (Revised by AV, 12-Nov-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
basvtxval.s	⊢ (𝜑 → 𝐺 Struct 𝑋)
basvtxval2dom.d	⊢ (𝜑 → 2o ≼ dom 𝐺)
basvtxval.v	⊢ (𝜑 → 𝑉 ∈ 𝑌)
basvtxval.b	⊢ (𝜑 → ⟨(Base‘ndx), 𝑉⟩ ∈ 𝐺)

Assertion

Ref	Expression
basvtxval2dom	⊢ (𝜑 → (Vtx‘𝐺) = 𝑉)

Proof of Theorem basvtxval2dom

Step	Hyp	Ref	Expression
1		basvtxval.s	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐺 Struct 𝑋)
2		structex 13422	. . . 4 ⊢ (𝐺 Struct 𝑋 → 𝐺 ∈ V)
3	1, 2	syl 14	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ V)
4		structn0fun 13423	. . . 4 ⊢ (𝐺 Struct 𝑋 → Fun (𝐺 ∖ {∅}))
5	1, 4	syl 14	. . 3 ⊢ (𝜑 → Fun (𝐺 ∖ {∅}))
6		basvtxval2dom.d	. . 3 ⊢ (𝜑 → 2o ≼ dom 𝐺)
7		funvtxdm2domval 16475	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ V ∧ Fun (𝐺 ∖ {∅}) ∧ 2o ≼ dom 𝐺) → (Vtx‘𝐺) = (Base‘𝐺))
8	3, 5, 6, 7	syl3anc 1278	. 2 ⊢ (𝜑 → (Vtx‘𝐺) = (Base‘𝐺))
9		basvtxval.v	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑉 ∈ 𝑌)
10		basvtxval.b	. . 3 ⊢ (𝜑 → ⟨(Base‘ndx), 𝑉⟩ ∈ 𝐺)
11	1, 9, 10	opelstrbas 13528	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑉 = (Base‘𝐺))
12	8, 11	eqtr4d 2274	1 ⊢ (𝜑 → (Vtx‘𝐺) = 𝑉)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1402   ∈ wcel 2209  Vcvv 2821   ∖ cdif 3217  ∅c0 3520  {csn 3709  ⟨cop 3712   class class class wbr 4131  dom cdm 4776  Fun wfun 5374  ‘cfv 5380  2_oc2o 6685   ≼ cdom 7025   Struct cstr 13406  ndxcnx 13407  Basecbs 13410  Vtxcvtx 16458

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4251  ax-nul 4261  ax-pow 4313  ax-pr 4348  ax-un 4580  ax-cnex 8276  ax-resscn 8277  ax-1re 8279  ax-addrcl 8282

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-ral 2533  df-rex 2534  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-if 3639  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-int 3971  df-br 4132  df-opab 4194  df-mpt 4195  df-id 4440  df-suc 4518  df-xp 4782  df-rel 4783  df-cnv 4784  df-co 4785  df-dm 4786  df-rn 4787  df-res 4788  df-iota 5340  df-fun 5382  df-fn 5383  df-f 5384  df-f1 5385  df-fo 5386  df-fv 5388  df-1st 6378  df-1o 6691  df-2o 6692  df-dom 7028  df-inn 9314  df-struct 13412  df-ndx 13413  df-slot 13414  df-base 13416  df-vtx 16460

This theorem is used by:  structvtxval  16485  structgrssvtx  16488