Theorem edgfiedgval2dom 16030

Description: The set of indexed edges of a graph represented as an extensible structure with the indexed edges in the slot for edge functions. (Contributed by AV, 14-Oct-2020.) (Revised by AV, 12-Nov-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
basvtxval.s	|- ( ph -> G Struct X )
basvtxval2dom.d	|- ( ph -> 2o ~<_ dom G )
edgfiedgval.e	|- ( ph -> E e. Y )
edgfiedgval.f	|- ( ph -> <. (.ef ` ndx ) , E >. e. G )

Assertion

Ref	Expression
edgfiedgval2dom	|- ( ph -> (iEdg ` G ) = E )

Proof of Theorem edgfiedgval2dom

Step	Hyp	Ref	Expression
1		basvtxval.s	. . . 4 |- ( ph -> G Struct X )
2		structex 13224	. . . 4 |- ( G Struct X -> G e. _V )
3	1, 2	syl 14	. . 3 |- ( ph -> G e. _V )
4		structn0fun 13225	. . . 4 |- ( G Struct X -> Fun ( G \ { (/) } ) )
5	1, 4	syl 14	. . 3 |- ( ph -> Fun ( G \ { (/) } ) )
6		basvtxval2dom.d	. . 3 |- ( ph -> 2o ~<_ dom G )
7		funiedgdm2domval 16025	. . 3 |- ( ( G e. _V /\ Fun ( G \ { (/) } ) /\ 2o ~<_ dom G ) -> (iEdg ` G ) = (.ef ` G ) )
8	3, 5, 6, 7	syl3anc 1274	. 2 |- ( ph -> (iEdg ` G ) = (.ef ` G ) )
9		edgfid 16001	. . . 4 |- .ef = Slot (.ef ` ndx )
10		edgfndxnn 16003	. . . 4 |- (.ef ` ndx ) e. NN
11	9, 10	ndxslid 13237	. . 3 |- (.ef = Slot (.ef ` ndx ) /\ (.ef ` ndx ) e. NN )
12		edgfiedgval.e	. . 3 |- ( ph -> E e. Y )
13		edgfiedgval.f	. . 3 |- ( ph -> <. (.ef ` ndx ) , E >. e. G )
14	11, 1, 12, 13	opelstrsl 13327	. 2 |- ( ph -> E = (.ef ` G ) )
15	8, 14	eqtr4d 2268	1 |- ( ph -> (iEdg ` G ) = E )

Syntax hints:   -> wi 4   = wceq 1398   e. wcel 2203   _Vcvv 2813   \ cdif 3208   (/)c0 3508   {csn 3689   <.cop 3692   class class class wbr 4109   dom cdm 4749   Fun wfun 5346   ` cfv 5352   2oc2o 6641   ~<_ cdom 6974   Struct cstr 13208   ndxcnx 13209  .efcedgf 15999  iEdgciedg 16008

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2205  ax-14 2206  ax-ext 2214  ax-sep 4228  ax-nul 4236  ax-pow 4287  ax-pr 4322  ax-un 4554  ax-setind 4659  ax-cnex 8218  ax-resscn 8219  ax-1cn 8220  ax-1re 8221  ax-icn 8222  ax-addcl 8223  ax-addrcl 8224  ax-mulcl 8225  ax-addcom 8227  ax-mulcom 8228  ax-addass 8229  ax-mulass 8230  ax-distr 8231  ax-i2m1 8232  ax-1rid 8234  ax-0id 8235  ax-rnegex 8236  ax-cnre 8238

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2083  df-mo 2084  df-clab 2219  df-cleq 2225  df-clel 2228  df-nfc 2373  df-ne 2413  df-ral 2525  df-rex 2526  df-reu 2527  df-rab 2529  df-v 2815  df-sbc 3043  df-csb 3139  df-dif 3213  df-un 3215  df-in 3217  df-ss 3224  df-nul 3509  df-if 3621  df-pw 3671  df-sn 3695  df-pr 3696  df-op 3698  df-uni 3915  df-int 3950  df-br 4110  df-opab 4172  df-mpt 4173  df-id 4414  df-suc 4492  df-xp 4755  df-rel 4756  df-cnv 4757  df-co 4758  df-dm 4759  df-rn 4760  df-res 4761  df-iota 5312  df-fun 5354  df-fn 5355  df-f 5356  df-f1 5357  df-fo 5358  df-fv 5360  df-riota 6003  df-ov 6053  df-oprab 6054  df-mpo 6055  df-2nd 6335  df-1o 6647  df-2o 6648  df-dom 6977  df-sub 8446  df-inn 9238  df-2 9296  df-3 9297  df-4 9298  df-5 9299  df-6 9300  df-7 9301  df-8 9302  df-9 9303  df-n0 9497  df-dec 9710  df-struct 13214  df-ndx 13215  df-slot 13216  df-edgf 16000  df-iedg 16010

This theorem is referenced by:  structgrssiedg  16038