Theorem structgrssvtx 16488

Description: The set of vertices of a graph represented as an extensible structure with vertices as base set and indexed edges. (Contributed by AV, 14-Oct-2020.) (Proof shortened by AV, 12-Nov-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
structgrssvtx.g	|- ( ph -> G Struct X )
structgrssvtx.v	|- ( ph -> V e. Y )
structgrssvtx.e	|- ( ph -> E e. Z )
structgrssvtx.s	|- ( ph -> { <. ( Base ` ndx ) , V >. , <. (.ef ` ndx ) , E >. } C_ G )

Assertion

Ref	Expression
structgrssvtx	|- ( ph -> (Vtx ` G ) = V )

Proof of Theorem structgrssvtx

Step	Hyp	Ref	Expression
1		structgrssvtx.g	. 2 |- ( ph -> G Struct X )
2		structgrssvtx.v	. . 3 |- ( ph -> V e. Y )
3		structgrssvtx.e	. . 3 |- ( ph -> E e. Z )
4		structgrssvtx.s	. . 3 |- ( ph -> { <. ( Base ` ndx ) , V >. , <. (.ef ` ndx ) , E >. } C_ G )
5	1, 2, 3, 4	structgr2slots2dom 16487	. 2 |- ( ph -> 2o ~<_ dom G )
6		basendxnn 13466	. . . . . 6 |- ( Base ` ndx ) e. NN
7		opexg 4370	. . . . . 6 |- ( ( ( Base ` ndx ) e. NN /\ V e. Y ) -> <. ( Base ` ndx ) , V >. e. _V )
8	6, 2, 7	sylancr 418	. . . . 5 |- ( ph -> <. ( Base ` ndx ) , V >. e. _V )
9		edgfndxnn 16454	. . . . . 6 |- (.ef ` ndx ) e. NN
10		opexg 4370	. . . . . 6 |- ( ( (.ef ` ndx ) e. NN /\ E e. Z ) -> <. (.ef ` ndx ) , E >. e. _V )
11	9, 3, 10	sylancr 418	. . . . 5 |- ( ph -> <. (.ef ` ndx ) , E >. e. _V )
12		prssg 3872	. . . . 5 |- ( ( <. ( Base ` ndx ) , V >. e. _V /\ <. (.ef ` ndx ) , E >. e. _V ) -> ( ( <. ( Base ` ndx ) , V >. e. G /\ <. (.ef ` ndx ) , E >. e. G ) <-> { <. ( Base ` ndx ) , V >. , <. (.ef ` ndx ) , E >. } C_ G ) )
13	8, 11, 12	syl2anc 415	. . . 4 |- ( ph -> ( ( <. ( Base ` ndx ) , V >. e. G /\ <. (.ef ` ndx ) , E >. e. G ) <-> { <. ( Base ` ndx ) , V >. , <. (.ef ` ndx ) , E >. } C_ G ) )
14	4, 13	mpbird 167	. . 3 |- ( ph -> ( <. ( Base ` ndx ) , V >. e. G /\ <. (.ef ` ndx ) , E >. e. G ) )
15	14	simpld 112	. 2 |- ( ph -> <. ( Base ` ndx ) , V >. e. G )
16	1, 5, 2, 15	basvtxval2dom 16480	1 |- ( ph -> (Vtx ` G ) = V )

This proof depends on syntax axioms:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   = wceq 1402   e. wcel 2209   _Vcvv 2821   C_ wss 3220   {cpr 3710   <.cop 3712   class class class wbr 4131   ` cfv 5380   NNcn 9313   Struct cstr 13406   ndxcnx 13407   Basecbs 13410  .efcedgf 16450  Vtxcvtx 16458

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4251  ax-nul 4261  ax-pow 4313  ax-pr 4348  ax-un 4580  ax-setind 4686  ax-cnex 8276  ax-resscn 8277  ax-1cn 8278  ax-1re 8279  ax-icn 8280  ax-addcl 8281  ax-addrcl 8282  ax-mulcl 8283  ax-mulrcl 8284  ax-addcom 8285  ax-mulcom 8286  ax-addass 8287  ax-mulass 8288  ax-distr 8289  ax-i2m1 8290  ax-0lt1 8291  ax-1rid 8292  ax-0id 8293  ax-rnegex 8294  ax-precex 8295  ax-cnre 8296  ax-pre-ltirr 8297  ax-pre-ltwlin 8298  ax-pre-lttrn 8299  ax-pre-ltadd 8301  ax-pre-mulgt0 8302

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-if 3639  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-int 3971  df-br 4132  df-opab 4194  df-mpt 4195  df-tr 4232  df-id 4440  df-iord 4513  df-on 4515  df-suc 4518  df-xp 4782  df-rel 4783  df-cnv 4784  df-co 4785  df-dm 4786  df-rn 4787  df-res 4788  df-iota 5340  df-fun 5382  df-fn 5383  df-f 5384  df-f1 5385  df-fo 5386  df-f1o 5387  df-fv 5388  df-riota 6041  df-ov 6091  df-oprab 6092  df-mpo 6093  df-1st 6378  df-1o 6691  df-2o 6692  df-en 7027  df-dom 7028  df-pnf 8368  df-mnf 8369  df-xr 8370  df-ltxr 8371  df-le 8372  df-sub 8506  df-neg 8507  df-inn 9314  df-2 9372  df-3 9373  df-4 9374  df-5 9375  df-6 9376  df-7 9377  df-8 9378  df-9 9379  df-n0 9575  df-z 9656  df-dec 9789  df-struct 13412  df-ndx 13413  df-slot 13414  df-base 13416  df-edgf 16451  df-vtx 16460

This theorem is used by: (None)