Theorem structgrssvtx 15837

Description: The set of vertices of a graph represented as an extensible structure with vertices as base set and indexed edges. (Contributed by AV, 14-Oct-2020.) (Proof shortened by AV, 12-Nov-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
structgrssvtx.g	|- ( ph -> G Struct X )
structgrssvtx.v	|- ( ph -> V e. Y )
structgrssvtx.e	|- ( ph -> E e. Z )
structgrssvtx.s	|- ( ph -> { <. ( Base ` ndx ) , V >. , <. (.ef ` ndx ) , E >. } C_ G )

Assertion

Ref	Expression
structgrssvtx	|- ( ph -> (Vtx ` G ) = V )

Proof of Theorem structgrssvtx

Step	Hyp	Ref	Expression
1		structgrssvtx.g	. 2 |- ( ph -> G Struct X )
2		structgrssvtx.v	. . 3 |- ( ph -> V e. Y )
3		structgrssvtx.e	. . 3 |- ( ph -> E e. Z )
4		structgrssvtx.s	. . 3 |- ( ph -> { <. ( Base ` ndx ) , V >. , <. (.ef ` ndx ) , E >. } C_ G )
5	1, 2, 3, 4	structgr2slots2dom 15836	. 2 |- ( ph -> 2o ~<_ dom G )
6		basendxnn 13083	. . . . . 6 |- ( Base ` ndx ) e. NN
7		opexg 4313	. . . . . 6 |- ( ( ( Base ` ndx ) e. NN /\ V e. Y ) -> <. ( Base ` ndx ) , V >. e. _V )
8	6, 2, 7	sylancr 414	. . . . 5 |- ( ph -> <. ( Base ` ndx ) , V >. e. _V )
9		edgfndxnn 15803	. . . . . 6 |- (.ef ` ndx ) e. NN
10		opexg 4313	. . . . . 6 |- ( ( (.ef ` ndx ) e. NN /\ E e. Z ) -> <. (.ef ` ndx ) , E >. e. _V )
11	9, 3, 10	sylancr 414	. . . . 5 |- ( ph -> <. (.ef ` ndx ) , E >. e. _V )
12		prssg 3824	. . . . 5 |- ( ( <. ( Base ` ndx ) , V >. e. _V /\ <. (.ef ` ndx ) , E >. e. _V ) -> ( ( <. ( Base ` ndx ) , V >. e. G /\ <. (.ef ` ndx ) , E >. e. G ) <-> { <. ( Base ` ndx ) , V >. , <. (.ef ` ndx ) , E >. } C_ G ) )
13	8, 11, 12	syl2anc 411	. . . 4 |- ( ph -> ( ( <. ( Base ` ndx ) , V >. e. G /\ <. (.ef ` ndx ) , E >. e. G ) <-> { <. ( Base ` ndx ) , V >. , <. (.ef ` ndx ) , E >. } C_ G ) )
14	4, 13	mpbird 167	. . 3 |- ( ph -> ( <. ( Base ` ndx ) , V >. e. G /\ <. (.ef ` ndx ) , E >. e. G ) )
15	14	simpld 112	. 2 |- ( ph -> <. ( Base ` ndx ) , V >. e. G )
16	1, 5, 2, 15	basvtxval2dom 15829	1 |- ( ph -> (Vtx ` G ) = V )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   = wceq 1395   e. wcel 2200   _Vcvv 2799   C_ wss 3197   {cpr 3667   <.cop 3669   class class class wbr 4082   ` cfv 5317   NNcn 9106   Struct cstr 13023   ndxcnx 13024   Basecbs 13027  .efcedgf 15799  Vtxcvtx 15807

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-sep 4201  ax-nul 4209  ax-pow 4257  ax-pr 4292  ax-un 4523  ax-setind 4628  ax-cnex 8086  ax-resscn 8087  ax-1cn 8088  ax-1re 8089  ax-icn 8090  ax-addcl 8091  ax-addrcl 8092  ax-mulcl 8093  ax-mulrcl 8094  ax-addcom 8095  ax-mulcom 8096  ax-addass 8097  ax-mulass 8098  ax-distr 8099  ax-i2m1 8100  ax-0lt1 8101  ax-1rid 8102  ax-0id 8103  ax-rnegex 8104  ax-precex 8105  ax-cnre 8106  ax-pre-ltirr 8107  ax-pre-ltwlin 8108  ax-pre-lttrn 8109  ax-pre-ltadd 8111  ax-pre-mulgt0 8112

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1003  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-nel 2496  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rab 2517  df-v 2801  df-sbc 3029  df-csb 3125  df-dif 3199  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-nul 3492  df-if 3603  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-uni 3888  df-int 3923  df-br 4083  df-opab 4145  df-mpt 4146  df-tr 4182  df-id 4383  df-iord 4456  df-on 4458  df-suc 4461  df-xp 4724  df-rel 4725  df-cnv 4726  df-co 4727  df-dm 4728  df-rn 4729  df-res 4730  df-iota 5277  df-fun 5319  df-fn 5320  df-f 5321  df-f1 5322  df-fo 5323  df-f1o 5324  df-fv 5325  df-riota 5953  df-ov 6003  df-oprab 6004  df-mpo 6005  df-1st 6284  df-1o 6560  df-2o 6561  df-en 6886  df-dom 6887  df-pnf 8179  df-mnf 8180  df-xr 8181  df-ltxr 8182  df-le 8183  df-sub 8315  df-neg 8316  df-inn 9107  df-2 9165  df-3 9166  df-4 9167  df-5 9168  df-6 9169  df-7 9170  df-8 9171  df-9 9172  df-n0 9366  df-z 9443  df-dec 9575  df-struct 13029  df-ndx 13030  df-slot 13031  df-base 13033  df-edgf 15800  df-vtx 15809

This theorem is referenced by: (None)