Theorem structgrssvtx 15716

Description: The set of vertices of a graph represented as an extensible structure with vertices as base set and indexed edges. (Contributed by AV, 14-Oct-2020.) (Proof shortened by AV, 12-Nov-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
structgrssvtx.g	|- ( ph -> G Struct X )
structgrssvtx.v	|- ( ph -> V e. Y )
structgrssvtx.e	|- ( ph -> E e. Z )
structgrssvtx.s	|- ( ph -> { <. ( Base ` ndx ) , V >. , <. (.ef ` ndx ) , E >. } C_ G )

Assertion

Ref	Expression
structgrssvtx	|- ( ph -> (Vtx ` G ) = V )

Proof of Theorem structgrssvtx

Step	Hyp	Ref	Expression
1		structgrssvtx.g	. 2 |- ( ph -> G Struct X )
2		structgrssvtx.v	. . 3 |- ( ph -> V e. Y )
3		structgrssvtx.e	. . 3 |- ( ph -> E e. Z )
4		structgrssvtx.s	. . 3 |- ( ph -> { <. ( Base ` ndx ) , V >. , <. (.ef ` ndx ) , E >. } C_ G )
5	1, 2, 3, 4	structgr2slots2dom 15715	. 2 |- ( ph -> 2o ~<_ dom G )
6		basendxnn 12963	. . . . . 6 |- ( Base ` ndx ) e. NN
7		opexg 4280	. . . . . 6 |- ( ( ( Base ` ndx ) e. NN /\ V e. Y ) -> <. ( Base ` ndx ) , V >. e. _V )
8	6, 2, 7	sylancr 414	. . . . 5 |- ( ph -> <. ( Base ` ndx ) , V >. e. _V )
9		edgfndxnn 15682	. . . . . 6 |- (.ef ` ndx ) e. NN
10		opexg 4280	. . . . . 6 |- ( ( (.ef ` ndx ) e. NN /\ E e. Z ) -> <. (.ef ` ndx ) , E >. e. _V )
11	9, 3, 10	sylancr 414	. . . . 5 |- ( ph -> <. (.ef ` ndx ) , E >. e. _V )
12		prssg 3796	. . . . 5 |- ( ( <. ( Base ` ndx ) , V >. e. _V /\ <. (.ef ` ndx ) , E >. e. _V ) -> ( ( <. ( Base ` ndx ) , V >. e. G /\ <. (.ef ` ndx ) , E >. e. G ) <-> { <. ( Base ` ndx ) , V >. , <. (.ef ` ndx ) , E >. } C_ G ) )
13	8, 11, 12	syl2anc 411	. . . 4 |- ( ph -> ( ( <. ( Base ` ndx ) , V >. e. G /\ <. (.ef ` ndx ) , E >. e. G ) <-> { <. ( Base ` ndx ) , V >. , <. (.ef ` ndx ) , E >. } C_ G ) )
14	4, 13	mpbird 167	. . 3 |- ( ph -> ( <. ( Base ` ndx ) , V >. e. G /\ <. (.ef ` ndx ) , E >. e. G ) )
15	14	simpld 112	. 2 |- ( ph -> <. ( Base ` ndx ) , V >. e. G )
16	1, 5, 2, 15	basvtxval2dom 15708	1 |- ( ph -> (Vtx ` G ) = V )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   = wceq 1373   e. wcel 2177   _Vcvv 2773   C_ wss 3170   {cpr 3639   <.cop 3641   class class class wbr 4051   ` cfv 5280   NNcn 9056   Struct cstr 12903   ndxcnx 12904   Basecbs 12907  .efcedgf 15678  Vtxcvtx 15686

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1471  ax-7 1472  ax-gen 1473  ax-ie1 1517  ax-ie2 1518  ax-8 1528  ax-10 1529  ax-11 1530  ax-i12 1531  ax-bndl 1533  ax-4 1534  ax-17 1550  ax-i9 1554  ax-ial 1558  ax-i5r 1559  ax-13 2179  ax-14 2180  ax-ext 2188  ax-sep 4170  ax-nul 4178  ax-pow 4226  ax-pr 4261  ax-un 4488  ax-setind 4593  ax-cnex 8036  ax-resscn 8037  ax-1cn 8038  ax-1re 8039  ax-icn 8040  ax-addcl 8041  ax-addrcl 8042  ax-mulcl 8043  ax-mulrcl 8044  ax-addcom 8045  ax-mulcom 8046  ax-addass 8047  ax-mulass 8048  ax-distr 8049  ax-i2m1 8050  ax-0lt1 8051  ax-1rid 8052  ax-0id 8053  ax-rnegex 8054  ax-precex 8055  ax-cnre 8056  ax-pre-ltirr 8057  ax-pre-ltwlin 8058  ax-pre-lttrn 8059  ax-pre-ltadd 8061  ax-pre-mulgt0 8062

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 982  df-3an 983  df-tru 1376  df-fal 1379  df-nf 1485  df-sb 1787  df-eu 2058  df-mo 2059  df-clab 2193  df-cleq 2199  df-clel 2202  df-nfc 2338  df-ne 2378  df-nel 2473  df-ral 2490  df-rex 2491  df-reu 2492  df-rab 2494  df-v 2775  df-sbc 3003  df-csb 3098  df-dif 3172  df-un 3174  df-in 3176  df-ss 3183  df-nul 3465  df-if 3576  df-pw 3623  df-sn 3644  df-pr 3645  df-op 3647  df-uni 3857  df-int 3892  df-br 4052  df-opab 4114  df-mpt 4115  df-tr 4151  df-id 4348  df-iord 4421  df-on 4423  df-suc 4426  df-xp 4689  df-rel 4690  df-cnv 4691  df-co 4692  df-dm 4693  df-rn 4694  df-res 4695  df-iota 5241  df-fun 5282  df-fn 5283  df-f 5284  df-f1 5285  df-fo 5286  df-f1o 5287  df-fv 5288  df-riota 5912  df-ov 5960  df-oprab 5961  df-mpo 5962  df-1st 6239  df-1o 6515  df-2o 6516  df-en 6841  df-dom 6842  df-pnf 8129  df-mnf 8130  df-xr 8131  df-ltxr 8132  df-le 8133  df-sub 8265  df-neg 8266  df-inn 9057  df-2 9115  df-3 9116  df-4 9117  df-5 9118  df-6 9119  df-7 9120  df-8 9121  df-9 9122  df-n0 9316  df-z 9393  df-dec 9525  df-struct 12909  df-ndx 12910  df-slot 12911  df-base 12913  df-edgf 15679  df-vtx 15688

This theorem is referenced by: (None)