Theorem structvtxval 16485

Description: The set of vertices of an extensible structure with a base set and another slot. (Contributed by AV, 23-Sep-2020.) (Proof shortened by AV, 12-Nov-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
structvtxvallem.s	|- S e. NN
structvtxvallem.b	|- ( Base ` ndx ) < S
structvtxvallem.g	|- G = { <. ( Base ` ndx ) , V >. , <. S , E >. }

Assertion

Ref	Expression
structvtxval	|- ( ( V e. X /\ E e. Y ) -> (Vtx ` G ) = V )

Proof of Theorem structvtxval

Step	Hyp	Ref	Expression
1		structvtxvallem.g	. . 3 |- G = { <. ( Base ` ndx ) , V >. , <. S , E >. }
2		structvtxvallem.b	. . 3 |- ( Base ` ndx ) < S
3		structvtxvallem.s	. . 3 |- S e. NN
4	1, 2, 3	2strstrndx 13531	. 2 |- ( ( V e. X /\ E e. Y ) -> G Struct <. ( Base ` ndx ) , S >. )
5	3, 2, 1	struct2slots2dom 16484	. 2 |- ( ( V e. X /\ E e. Y ) -> 2o ~<_ dom G )
6		simpl 109	. 2 |- ( ( V e. X /\ E e. Y ) -> V e. X )
7		basendxnn 13466	. . . . 5 |- ( Base ` ndx ) e. NN
8		opexg 4370	. . . . 5 |- ( ( ( Base ` ndx ) e. NN /\ V e. X ) -> <. ( Base ` ndx ) , V >. e. _V )
9	7, 6, 8	sylancr 418	. . . 4 |- ( ( V e. X /\ E e. Y ) -> <. ( Base ` ndx ) , V >. e. _V )
10		prid1g 3815	. . . 4 |- ( <. ( Base ` ndx ) , V >. e. _V -> <. ( Base ` ndx ) , V >. e. { <. ( Base ` ndx ) , V >. , <. S , E >. } )
11	9, 10	syl 14	. . 3 |- ( ( V e. X /\ E e. Y ) -> <. ( Base ` ndx ) , V >. e. { <. ( Base ` ndx ) , V >. , <. S , E >. } )
12	11, 1	eleqtrrdi 2332	. 2 |- ( ( V e. X /\ E e. Y ) -> <. ( Base ` ndx ) , V >. e. G )
13	4, 5, 6, 12	basvtxval2dom 16480	1 |- ( ( V e. X /\ E e. Y ) -> (Vtx ` G ) = V )

This proof depends on syntax axioms:   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1402   e. wcel 2209   _Vcvv 2821   {cpr 3710   <.cop 3712   class class class wbr 4131   ` cfv 5380   < clt 8366   NNcn 9313   ndxcnx 13407   Basecbs 13410  Vtxcvtx 16458

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4251  ax-nul 4261  ax-pow 4313  ax-pr 4348  ax-un 4580  ax-setind 4686  ax-cnex 8276  ax-resscn 8277  ax-1cn 8278  ax-1re 8279  ax-icn 8280  ax-addcl 8281  ax-addrcl 8282  ax-mulcl 8283  ax-addcom 8285  ax-addass 8287  ax-distr 8289  ax-i2m1 8290  ax-0lt1 8291  ax-0id 8293  ax-rnegex 8294  ax-cnre 8296  ax-pre-ltirr 8297  ax-pre-ltwlin 8298  ax-pre-lttrn 8299  ax-pre-apti 8300  ax-pre-ltadd 8301

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-if 3639  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-int 3971  df-br 4132  df-opab 4194  df-mpt 4195  df-tr 4232  df-id 4440  df-iord 4513  df-on 4515  df-suc 4518  df-xp 4782  df-rel 4783  df-cnv 4784  df-co 4785  df-dm 4786  df-rn 4787  df-res 4788  df-ima 4789  df-iota 5340  df-fun 5382  df-fn 5383  df-f 5384  df-f1 5385  df-fo 5386  df-f1o 5387  df-fv 5388  df-riota 6041  df-ov 6091  df-oprab 6092  df-mpo 6093  df-1st 6378  df-1o 6691  df-2o 6692  df-en 7027  df-dom 7028  df-pnf 8368  df-mnf 8369  df-xr 8370  df-ltxr 8371  df-le 8372  df-sub 8506  df-neg 8507  df-inn 9314  df-n0 9575  df-z 9656  df-uz 9938  df-fz 10429  df-struct 13412  df-ndx 13413  df-slot 13414  df-base 13416  df-vtx 16460

This theorem is used by:  struct2grvtx  16491