Theorem structvtxval 16194

Description: The set of vertices of an extensible structure with a base set and another slot. (Contributed by AV, 23-Sep-2020.) (Proof shortened by AV, 12-Nov-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
structvtxvallem.s	|- S e. NN
structvtxvallem.b	|- ( Base ` ndx ) < S
structvtxvallem.g	|- G = { <. ( Base ` ndx ) , V >. , <. S , E >. }

Assertion

Ref	Expression
structvtxval	|- ( ( V e. X /\ E e. Y ) -> (Vtx ` G ) = V )

Proof of Theorem structvtxval

Step	Hyp	Ref	Expression
1		structvtxvallem.g	. . 3 |- G = { <. ( Base ` ndx ) , V >. , <. S , E >. }
2		structvtxvallem.b	. . 3 |- ( Base ` ndx ) < S
3		structvtxvallem.s	. . 3 |- S e. NN
4	1, 2, 3	2strstrndx 13449	. 2 |- ( ( V e. X /\ E e. Y ) -> G Struct <. ( Base ` ndx ) , S >. )
5	3, 2, 1	struct2slots2dom 16193	. 2 |- ( ( V e. X /\ E e. Y ) -> 2o ~<_ dom G )
6		simpl 109	. 2 |- ( ( V e. X /\ E e. Y ) -> V e. X )
7		basendxnn 13386	. . . . 5 |- ( Base ` ndx ) e. NN
8		opexg 4363	. . . . 5 |- ( ( ( Base ` ndx ) e. NN /\ V e. X ) -> <. ( Base ` ndx ) , V >. e. _V )
9	7, 6, 8	sylancr 418	. . . 4 |- ( ( V e. X /\ E e. Y ) -> <. ( Base ` ndx ) , V >. e. _V )
10		prid1g 3811	. . . 4 |- ( <. ( Base ` ndx ) , V >. e. _V -> <. ( Base ` ndx ) , V >. e. { <. ( Base ` ndx ) , V >. , <. S , E >. } )
11	9, 10	syl 14	. . 3 |- ( ( V e. X /\ E e. Y ) -> <. ( Base ` ndx ) , V >. e. { <. ( Base ` ndx ) , V >. , <. S , E >. } )
12	11, 1	eleqtrrdi 2332	. 2 |- ( ( V e. X /\ E e. Y ) -> <. ( Base ` ndx ) , V >. e. G )
13	4, 5, 6, 12	basvtxval2dom 16189	1 |- ( ( V e. X /\ E e. Y ) -> (Vtx ` G ) = V )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1402   e. wcel 2209   _Vcvv 2821   {cpr 3706   <.cop 3708   class class class wbr 4125   ` cfv 5372   < clt 8350   NNcn 9283   ndxcnx 13327   Basecbs 13330  Vtxcvtx 16167

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4244  ax-nul 4254  ax-pow 4306  ax-pr 4341  ax-un 4573  ax-setind 4679  ax-cnex 8260  ax-resscn 8261  ax-1cn 8262  ax-1re 8263  ax-icn 8264  ax-addcl 8265  ax-addrcl 8266  ax-mulcl 8267  ax-addcom 8269  ax-addass 8271  ax-distr 8273  ax-i2m1 8274  ax-0lt1 8275  ax-0id 8277  ax-rnegex 8278  ax-cnre 8280  ax-pre-ltirr 8281  ax-pre-ltwlin 8282  ax-pre-lttrn 8283  ax-pre-apti 8284  ax-pre-ltadd 8285

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-if 3636  df-pw 3687  df-sn 3711  df-pr 3712  df-op 3714  df-uni 3931  df-int 3966  df-br 4126  df-opab 4188  df-mpt 4189  df-tr 4225  df-id 4433  df-iord 4506  df-on 4508  df-suc 4511  df-xp 4775  df-rel 4776  df-cnv 4777  df-co 4778  df-dm 4779  df-rn 4780  df-res 4781  df-ima 4782  df-iota 5332  df-fun 5374  df-fn 5375  df-f 5376  df-f1 5377  df-fo 5378  df-f1o 5379  df-fv 5380  df-riota 6028  df-ov 6078  df-oprab 6079  df-mpo 6080  df-1st 6364  df-1o 6677  df-2o 6678  df-en 7013  df-dom 7014  df-pnf 8352  df-mnf 8353  df-xr 8354  df-ltxr 8355  df-le 8356  df-sub 8489  df-neg 8490  df-inn 9284  df-n0 9543  df-z 9624  df-uz 9901  df-fz 10391  df-struct 13332  df-ndx 13333  df-slot 13334  df-base 13336  df-vtx 16169

This theorem is referenced by:  struct2grvtx  16200