ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  blelrn GIF version

Theorem blelrn 12603
Description: A ball belongs to the set of balls of a metric space. (Contributed by NM, 2-Sep-2006.) (Revised by Mario Carneiro, 12-Nov-2013.)
Assertion
Ref Expression
blelrn ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃𝑋𝑅 ∈ ℝ*) → (𝑃(ball‘𝐷)𝑅) ∈ ran (ball‘𝐷))

Proof of Theorem blelrn
StepHypRef Expression
1 blf 12593 . . 3 (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → (ball‘𝐷):(𝑋 × ℝ*)⟶𝒫 𝑋)
21ffnd 5273 . 2 (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → (ball‘𝐷) Fn (𝑋 × ℝ*))
3 fnovrn 5918 . 2 (((ball‘𝐷) Fn (𝑋 × ℝ*) ∧ 𝑃𝑋𝑅 ∈ ℝ*) → (𝑃(ball‘𝐷)𝑅) ∈ ran (ball‘𝐷))
42, 3syl3an1 1249 1 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃𝑋𝑅 ∈ ℝ*) → (𝑃(ball‘𝐷)𝑅) ∈ ran (ball‘𝐷))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  w3a 962  wcel 1480  𝒫 cpw 3510   × cxp 4537  ran crn 4540   Fn wfn 5118  cfv 5123  (class class class)co 5774  *cxr 7811  ∞Metcxmet 12163  ballcbl 12165
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2121  ax-sep 4046  ax-pow 4098  ax-pr 4131  ax-un 4355  ax-setind 4452  ax-cnex 7723  ax-resscn 7724
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 964  df-tru 1334  df-fal 1337  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2002  df-mo 2003  df-clab 2126  df-cleq 2132  df-clel 2135  df-nfc 2270  df-ne 2309  df-ral 2421  df-rex 2422  df-rab 2425  df-v 2688  df-sbc 2910  df-csb 3004  df-dif 3073  df-un 3075  df-in 3077  df-ss 3084  df-pw 3512  df-sn 3533  df-pr 3534  df-op 3536  df-uni 3737  df-iun 3815  df-br 3930  df-opab 3990  df-mpt 3991  df-id 4215  df-xp 4545  df-rel 4546  df-cnv 4547  df-co 4548  df-dm 4549  df-rn 4550  df-res 4551  df-ima 4552  df-iota 5088  df-fun 5125  df-fn 5126  df-f 5127  df-fv 5131  df-ov 5777  df-oprab 5778  df-mpo 5779  df-1st 6038  df-2nd 6039  df-map 6544  df-pnf 7814  df-mnf 7815  df-xr 7816  df-psmet 12170  df-xmet 12171  df-bl 12173
This theorem is referenced by:  unirnbl  12606  blssex  12613  blopn  12673  metss  12677  metcnp3  12694  ioo2blex  12727
  Copyright terms: Public domain W3C validator