Theorem blelrn 14397

Description: A ball belongs to the set of balls of a metric space. (Contributed by NM, 2-Sep-2006.) (Revised by Mario Carneiro, 12-Nov-2013.)

Assertion

Ref	Expression
blelrn	⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) → (𝑃(ball‘𝐷)𝑅) ∈ ran (ball‘𝐷))

Proof of Theorem blelrn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		blf 14387	. . 3 ⊢ (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → (ball‘𝐷):(𝑋 × ℝ*)⟶𝒫 𝑋)
2	1	ffnd 5385	. 2 ⊢ (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → (ball‘𝐷) Fn (𝑋 × ℝ*))
3		fnovrn 6045	. 2 ⊢ (((ball‘𝐷) Fn (𝑋 × ℝ*) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) → (𝑃(ball‘𝐷)𝑅) ∈ ran (ball‘𝐷))
4	2, 3	syl3an1 1282	1 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) → (𝑃(ball‘𝐷)𝑅) ∈ ran (ball‘𝐷))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ w3a 980   ∈ wcel 2160  𝒫 cpw 3590   × cxp 4642  ran crn 4645   Fn wfn 5230  ‘cfv 5235  (class class class)co 5897  ℝ^*cxr 8022  ∞Metcxmet 13866  ballcbl 13868

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2162  ax-14 2163  ax-ext 2171  ax-sep 4136  ax-pow 4192  ax-pr 4227  ax-un 4451  ax-setind 4554  ax-cnex 7933  ax-resscn 7934

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2041  df-mo 2042  df-clab 2176  df-cleq 2182  df-clel 2185  df-nfc 2321  df-ne 2361  df-ral 2473  df-rex 2474  df-rab 2477  df-v 2754  df-sbc 2978  df-csb 3073  df-dif 3146  df-un 3148  df-in 3150  df-ss 3157  df-pw 3592  df-sn 3613  df-pr 3614  df-op 3616  df-uni 3825  df-iun 3903  df-br 4019  df-opab 4080  df-mpt 4081  df-id 4311  df-xp 4650  df-rel 4651  df-cnv 4652  df-co 4653  df-dm 4654  df-rn 4655  df-res 4656  df-ima 4657  df-iota 5196  df-fun 5237  df-fn 5238  df-f 5239  df-fv 5243  df-ov 5900  df-oprab 5901  df-mpo 5902  df-1st 6166  df-2nd 6167  df-map 6677  df-pnf 8025  df-mnf 8026  df-xr 8027  df-psmet 13873  df-xmet 13874  df-bl 13876

This theorem is referenced by:  unirnbl  14400  blssex  14407  blopn  14467  metss  14471  metcnp3  14488  ioo2blex  14521