Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  metcnp3 Unicode version

Theorem metcnp3 12717
 Description: Two ways to express that is continuous at for metric spaces. Proposition 14-4.2 of [Gleason] p. 240. (Contributed by NM, 17-May-2007.) (Revised by Mario Carneiro, 28-Aug-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
metcn.2
metcn.4
Assertion
Ref Expression
metcnp3
Distinct variable groups:   ,,   ,,   ,,   ,,   ,,   ,,   ,,   ,,

Proof of Theorem metcnp3
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 metcn.2 . . . . 5
21mopntopon 12649 . . . 4 TopOn
323ad2ant1 1003 . . 3 TopOn
4 metcn.4 . . . . 5
54mopnval 12648 . . . 4
74mopntopon 12649 . . . 4 TopOn
873ad2ant2 1004 . . 3 TopOn
9 simp3 984 . . 3
103, 6, 8, 9tgcnp 12415 . 2
11 simpll2 1022 . . . . . . . 8
12 simplr 520 . . . . . . . . 9
13 simpll3 1023 . . . . . . . . 9
1412, 13ffvelrnd 5563 . . . . . . . 8
15 simpr 109 . . . . . . . 8
16 blcntr 12622 . . . . . . . 8
1711, 14, 15, 16syl3anc 1217 . . . . . . 7
18 rpxr 9477 . . . . . . . . . 10
1918adantl 275 . . . . . . . . 9
20 blelrn 12626 . . . . . . . . 9
2111, 14, 19, 20syl3anc 1217 . . . . . . . 8
22 eleq2 2204 . . . . . . . . . 10
23 sseq2 3125 . . . . . . . . . . . 12
2423anbi2d 460 . . . . . . . . . . 11
2524rexbidv 2439 . . . . . . . . . 10
2622, 25imbi12d 233 . . . . . . . . 9
2726rspcv 2788 . . . . . . . 8
2821, 27syl 14 . . . . . . 7
2917, 28mpid 42 . . . . . 6
30 simpl1 985 . . . . . . . . . . . 12
3130ad2antrr 480 . . . . . . . . . . 11
32 simplrr 526 . . . . . . . . . . 11
33 simpr 109 . . . . . . . . . . 11
341mopni2 12689 . . . . . . . . . . 11
3531, 32, 33, 34syl3anc 1217 . . . . . . . . . 10
36 sstr2 3108 . . . . . . . . . . . 12
37 imass2 4922 . . . . . . . . . . . 12
3836, 37syl11 31 . . . . . . . . . . 11
3938reximdv 2536 . . . . . . . . . 10
4035, 39syl5com 29 . . . . . . . . 9
4140expimpd 361 . . . . . . . 8
4241expr 373 . . . . . . 7
4342rexlimdv 2551 . . . . . 6
4429, 43syld 45 . . . . 5
4544ralrimdva 2515 . . . 4
46 simpl2 986 . . . . . . . . 9
47 blss 12634 . . . . . . . . . 10
48473expib 1185 . . . . . . . . 9
4946, 48syl 14 . . . . . . . 8
50 r19.29r 2573 . . . . . . . . . 10
5130ad3antrrr 484 . . . . . . . . . . . . . . . 16
5213ad2antrr 480 . . . . . . . . . . . . . . . 16
53 rpxr 9477 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
5453ad2antrl 482 . . . . . . . . . . . . . . . 16
551blopn 12696 . . . . . . . . . . . . . . . 16
5651, 52, 54, 55syl3anc 1217 . . . . . . . . . . . . . . 15
57 simprl 521 . . . . . . . . . . . . . . . 16
58 blcntr 12622 . . . . . . . . . . . . . . . 16
5951, 52, 57, 58syl3anc 1217 . . . . . . . . . . . . . . 15
60 sstr 3109 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
6160ad2ant2l 500 . . . . . . . . . . . . . . . 16
6261ancoms 266 . . . . . . . . . . . . . . 15
63 eleq2 2204 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
64 imaeq2 4884 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
6564sseq1d 3130 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
6663, 65anbi12d 465 . . . . . . . . . . . . . . . 16
6766rspcev 2792 . . . . . . . . . . . . . . 15
6856, 59, 62, 67syl12anc 1215 . . . . . . . . . . . . . 14
6968expr 373 . . . . . . . . . . . . 13
7069rexlimdva 2552 . . . . . . . . . . . 12
7170expimpd 361 . . . . . . . . . . 11
7271rexlimdva 2552 . . . . . . . . . 10
7350, 72syl5 32 . . . . . . . . 9
7473expd 256 . . . . . . . 8
7549, 74syld 45 . . . . . . 7
7675com23 78 . . . . . 6
7776exp4a 364 . . . . 5
7877ralrimdv 2514 . . . 4
7945, 78impbid 128 . . 3
8079pm5.32da 448 . 2
8110, 80bitrd 187 1
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 4   wa 103   wb 104   w3a 963   wceq 1332   wcel 1481  wral 2417  wrex 2418   wss 3075   crn 4547  cima 4549  wf 5126  cfv 5130  (class class class)co 5781  cxr 7822  crp 9469  ctg 12172  cxmet 12186  cbl 12188  cmopn 12191  TopOnctopon 12214   ccnp 12392 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1424  ax-7 1425  ax-gen 1426  ax-ie1 1470  ax-ie2 1471  ax-8 1483  ax-10 1484  ax-11 1485  ax-i12 1486  ax-bndl 1487  ax-4 1488  ax-13 1492  ax-14 1493  ax-17 1507  ax-i9 1511  ax-ial 1515  ax-i5r 1516  ax-ext 2122  ax-coll 4050  ax-sep 4053  ax-nul 4061  ax-pow 4105  ax-pr 4138  ax-un 4362  ax-setind 4459  ax-iinf 4509  ax-cnex 7734  ax-resscn 7735  ax-1cn 7736  ax-1re 7737  ax-icn 7738  ax-addcl 7739  ax-addrcl 7740  ax-mulcl 7741  ax-mulrcl 7742  ax-addcom 7743  ax-mulcom 7744  ax-addass 7745  ax-mulass 7746  ax-distr 7747  ax-i2m1 7748  ax-0lt1 7749  ax-1rid 7750  ax-0id 7751  ax-rnegex 7752  ax-precex 7753  ax-cnre 7754  ax-pre-ltirr 7755  ax-pre-ltwlin 7756  ax-pre-lttrn 7757  ax-pre-apti 7758  ax-pre-ltadd 7759  ax-pre-mulgt0 7760  ax-pre-mulext 7761  ax-arch 7762  ax-caucvg 7763 This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-stab 817  df-dc 821  df-3or 964  df-3an 965  df-tru 1335  df-fal 1338  df-nf 1438  df-sb 1737  df-eu 2003  df-mo 2004  df-clab 2127  df-cleq 2133  df-clel 2136  df-nfc 2271  df-ne 2310  df-nel 2405  df-ral 2422  df-rex 2423  df-reu 2424  df-rmo 2425  df-rab 2426  df-v 2691  df-sbc 2913  df-csb 3007  df-dif 3077  df-un 3079  df-in 3081  df-ss 3088  df-nul 3368  df-if 3479  df-pw 3516  df-sn 3537  df-pr 3538  df-op 3540  df-uni 3744  df-int 3779  df-iun 3822  df-br 3937  df-opab 3997  df-mpt 3998  df-tr 4034  df-id 4222  df-po 4225  df-iso 4226  df-iord 4295  df-on 4297  df-ilim 4298  df-suc 4300  df-iom 4512  df-xp 4552  df-rel 4553  df-cnv 4554  df-co 4555  df-dm 4556  df-rn 4557  df-res 4558  df-ima 4559  df-iota 5095  df-fun 5132  df-fn 5133  df-f 5134  df-f1 5135  df-fo 5136  df-f1o 5137  df-fv 5138  df-isom 5139  df-riota 5737  df-ov 5784  df-oprab 5785  df-mpo 5786  df-1st 6045  df-2nd 6046  df-recs 6209  df-frec 6295  df-map 6551  df-sup 6878  df-inf 6879  df-pnf 7825  df-mnf 7826  df-xr 7827  df-ltxr 7828  df-le 7829  df-sub 7958  df-neg 7959  df-reap 8360  df-ap 8367  df-div 8456  df-inn 8744  df-2 8802  df-3 8803  df-4 8804  df-n0 9001  df-z 9078  df-uz 9350  df-q 9438  df-rp 9470  df-xneg 9588  df-xadd 9589  df-seqfrec 10249  df-exp 10323  df-cj 10645  df-re 10646  df-im 10647  df-rsqrt 10801  df-abs 10802  df-topgen 12178  df-psmet 12193  df-xmet 12194  df-bl 12196  df-mopn 12197  df-top 12202  df-topon 12215  df-bases 12247  df-cnp 12395 This theorem is referenced by:  metcnp  12718
 Copyright terms: Public domain W3C validator