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Theorem metcnp3 12717
Description: Two ways to express that  F is continuous at  P for metric spaces. Proposition 14-4.2 of [Gleason] p. 240. (Contributed by NM, 17-May-2007.) (Revised by Mario Carneiro, 28-Aug-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
metcn.2  |-  J  =  ( MetOpen `  C )
metcn.4  |-  K  =  ( MetOpen `  D )
Assertion
Ref Expression
metcnp3  |-  ( ( C  e.  ( *Met `  X )  /\  D  e.  ( *Met `  Y
)  /\  P  e.  X )  ->  ( F  e.  ( ( J  CnP  K ) `  P )  <->  ( F : X --> Y  /\  A. y  e.  RR+  E. z  e.  RR+  ( F "
( P ( ball `  C ) z ) )  C_  ( ( F `  P )
( ball `  D )
y ) ) ) )
Distinct variable groups:    y, z, F   
y, J, z    y, K, z    y, X, z   
y, Y, z    y, C, z    y, D, z   
y, P, z

Proof of Theorem metcnp3
Dummy variables  u  v are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 metcn.2 . . . . 5  |-  J  =  ( MetOpen `  C )
21mopntopon 12649 . . . 4  |-  ( C  e.  ( *Met `  X )  ->  J  e.  (TopOn `  X )
)
323ad2ant1 1003 . . 3  |-  ( ( C  e.  ( *Met `  X )  /\  D  e.  ( *Met `  Y
)  /\  P  e.  X )  ->  J  e.  (TopOn `  X )
)
4 metcn.4 . . . . 5  |-  K  =  ( MetOpen `  D )
54mopnval 12648 . . . 4  |-  ( D  e.  ( *Met `  Y )  ->  K  =  ( topGen `  ran  ( ball `  D )
) )
653ad2ant2 1004 . . 3  |-  ( ( C  e.  ( *Met `  X )  /\  D  e.  ( *Met `  Y
)  /\  P  e.  X )  ->  K  =  ( topGen `  ran  ( ball `  D )
) )
74mopntopon 12649 . . . 4  |-  ( D  e.  ( *Met `  Y )  ->  K  e.  (TopOn `  Y )
)
873ad2ant2 1004 . . 3  |-  ( ( C  e.  ( *Met `  X )  /\  D  e.  ( *Met `  Y
)  /\  P  e.  X )  ->  K  e.  (TopOn `  Y )
)
9 simp3 984 . . 3  |-  ( ( C  e.  ( *Met `  X )  /\  D  e.  ( *Met `  Y
)  /\  P  e.  X )  ->  P  e.  X )
103, 6, 8, 9tgcnp 12415 . 2  |-  ( ( C  e.  ( *Met `  X )  /\  D  e.  ( *Met `  Y
)  /\  P  e.  X )  ->  ( F  e.  ( ( J  CnP  K ) `  P )  <->  ( F : X --> Y  /\  A. u  e.  ran  ( ball `  D ) ( ( F `  P )  e.  u  ->  E. v  e.  J  ( P  e.  v  /\  ( F " v )  C_  u ) ) ) ) )
11 simpll2 1022 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( C  e.  ( *Met `  X )  /\  D  e.  ( *Met `  Y )  /\  P  e.  X )  /\  F : X --> Y )  /\  y  e.  RR+ )  ->  D  e.  ( *Met `  Y ) )
12 simplr 520 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( C  e.  ( *Met `  X )  /\  D  e.  ( *Met `  Y )  /\  P  e.  X )  /\  F : X --> Y )  /\  y  e.  RR+ )  ->  F : X --> Y )
13 simpll3 1023 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( C  e.  ( *Met `  X )  /\  D  e.  ( *Met `  Y )  /\  P  e.  X )  /\  F : X --> Y )  /\  y  e.  RR+ )  ->  P  e.  X )
1412, 13ffvelrnd 5563 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( C  e.  ( *Met `  X )  /\  D  e.  ( *Met `  Y )  /\  P  e.  X )  /\  F : X --> Y )  /\  y  e.  RR+ )  -> 
( F `  P
)  e.  Y )
15 simpr 109 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( C  e.  ( *Met `  X )  /\  D  e.  ( *Met `  Y )  /\  P  e.  X )  /\  F : X --> Y )  /\  y  e.  RR+ )  -> 
y  e.  RR+ )
16 blcntr 12622 . . . . . . . 8  |-  ( ( D  e.  ( *Met `  Y )  /\  ( F `  P )  e.  Y  /\  y  e.  RR+ )  ->  ( F `  P
)  e.  ( ( F `  P ) ( ball `  D
) y ) )
1711, 14, 15, 16syl3anc 1217 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( C  e.  ( *Met `  X )  /\  D  e.  ( *Met `  Y )  /\  P  e.  X )  /\  F : X --> Y )  /\  y  e.  RR+ )  -> 
( F `  P
)  e.  ( ( F `  P ) ( ball `  D
) y ) )
18 rpxr 9477 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  e.  RR+  ->  y  e. 
RR* )
1918adantl 275 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( C  e.  ( *Met `  X )  /\  D  e.  ( *Met `  Y )  /\  P  e.  X )  /\  F : X --> Y )  /\  y  e.  RR+ )  -> 
y  e.  RR* )
20 blelrn 12626 . . . . . . . . 9  |-  ( ( D  e.  ( *Met `  Y )  /\  ( F `  P )  e.  Y  /\  y  e.  RR* )  ->  ( ( F `  P ) ( ball `  D ) y )  e.  ran  ( ball `  D ) )
2111, 14, 19, 20syl3anc 1217 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( C  e.  ( *Met `  X )  /\  D  e.  ( *Met `  Y )  /\  P  e.  X )  /\  F : X --> Y )  /\  y  e.  RR+ )  -> 
( ( F `  P ) ( ball `  D ) y )  e.  ran  ( ball `  D ) )
22 eleq2 2204 . . . . . . . . . 10  |-  ( u  =  ( ( F `
 P ) (
ball `  D )
y )  ->  (
( F `  P
)  e.  u  <->  ( F `  P )  e.  ( ( F `  P
) ( ball `  D
) y ) ) )
23 sseq2 3125 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( u  =  ( ( F `
 P ) (
ball `  D )
y )  ->  (
( F " v
)  C_  u  <->  ( F " v )  C_  (
( F `  P
) ( ball `  D
) y ) ) )
2423anbi2d 460 . . . . . . . . . . 11  |-  ( u  =  ( ( F `
 P ) (
ball `  D )
y )  ->  (
( P  e.  v  /\  ( F "
v )  C_  u
)  <->  ( P  e.  v  /\  ( F
" v )  C_  ( ( F `  P ) ( ball `  D ) y ) ) ) )
2524rexbidv 2439 . . . . . . . . . 10  |-  ( u  =  ( ( F `
 P ) (
ball `  D )
y )  ->  ( E. v  e.  J  ( P  e.  v  /\  ( F " v
)  C_  u )  <->  E. v  e.  J  ( P  e.  v  /\  ( F " v ) 
C_  ( ( F `
 P ) (
ball `  D )
y ) ) ) )
2622, 25imbi12d 233 . . . . . . . . 9  |-  ( u  =  ( ( F `
 P ) (
ball `  D )
y )  ->  (
( ( F `  P )  e.  u  ->  E. v  e.  J  ( P  e.  v  /\  ( F " v
)  C_  u )
)  <->  ( ( F `
 P )  e.  ( ( F `  P ) ( ball `  D ) y )  ->  E. v  e.  J  ( P  e.  v  /\  ( F " v
)  C_  ( ( F `  P )
( ball `  D )
y ) ) ) ) )
2726rspcv 2788 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( F `  P
) ( ball `  D
) y )  e. 
ran  ( ball `  D
)  ->  ( A. u  e.  ran  ( ball `  D ) ( ( F `  P )  e.  u  ->  E. v  e.  J  ( P  e.  v  /\  ( F " v )  C_  u ) )  -> 
( ( F `  P )  e.  ( ( F `  P
) ( ball `  D
) y )  ->  E. v  e.  J  ( P  e.  v  /\  ( F " v
)  C_  ( ( F `  P )
( ball `  D )
y ) ) ) ) )
2821, 27syl 14 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( C  e.  ( *Met `  X )  /\  D  e.  ( *Met `  Y )  /\  P  e.  X )  /\  F : X --> Y )  /\  y  e.  RR+ )  -> 
( A. u  e. 
ran  ( ball `  D
) ( ( F `
 P )  e.  u  ->  E. v  e.  J  ( P  e.  v  /\  ( F " v )  C_  u ) )  -> 
( ( F `  P )  e.  ( ( F `  P
) ( ball `  D
) y )  ->  E. v  e.  J  ( P  e.  v  /\  ( F " v
)  C_  ( ( F `  P )
( ball `  D )
y ) ) ) ) )
2917, 28mpid 42 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( C  e.  ( *Met `  X )  /\  D  e.  ( *Met `  Y )  /\  P  e.  X )  /\  F : X --> Y )  /\  y  e.  RR+ )  -> 
( A. u  e. 
ran  ( ball `  D
) ( ( F `
 P )  e.  u  ->  E. v  e.  J  ( P  e.  v  /\  ( F " v )  C_  u ) )  ->  E. v  e.  J  ( P  e.  v  /\  ( F " v
)  C_  ( ( F `  P )
( ball `  D )
y ) ) ) )
30 simpl1 985 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( C  e.  ( *Met `  X
)  /\  D  e.  ( *Met `  Y
)  /\  P  e.  X )  /\  F : X --> Y )  ->  C  e.  ( *Met `  X ) )
3130ad2antrr 480 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( C  e.  ( *Met `  X )  /\  D  e.  ( *Met `  Y )  /\  P  e.  X )  /\  F : X --> Y )  /\  ( y  e.  RR+  /\  v  e.  J ) )  /\  P  e.  v )  ->  C  e.  ( *Met `  X ) )
32 simplrr 526 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( C  e.  ( *Met `  X )  /\  D  e.  ( *Met `  Y )  /\  P  e.  X )  /\  F : X --> Y )  /\  ( y  e.  RR+  /\  v  e.  J ) )  /\  P  e.  v )  ->  v  e.  J )
33 simpr 109 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( C  e.  ( *Met `  X )  /\  D  e.  ( *Met `  Y )  /\  P  e.  X )  /\  F : X --> Y )  /\  ( y  e.  RR+  /\  v  e.  J ) )  /\  P  e.  v )  ->  P  e.  v )
341mopni2 12689 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( C  e.  ( *Met `  X )  /\  v  e.  J  /\  P  e.  v
)  ->  E. z  e.  RR+  ( P (
ball `  C )
z )  C_  v
)
3531, 32, 33, 34syl3anc 1217 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( C  e.  ( *Met `  X )  /\  D  e.  ( *Met `  Y )  /\  P  e.  X )  /\  F : X --> Y )  /\  ( y  e.  RR+  /\  v  e.  J ) )  /\  P  e.  v )  ->  E. z  e.  RR+  ( P (
ball `  C )
z )  C_  v
)
36 sstr2 3108 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( F " ( P ( ball `  C
) z ) ) 
C_  ( F "
v )  ->  (
( F " v
)  C_  ( ( F `  P )
( ball `  D )
y )  ->  ( F " ( P (
ball `  C )
z ) )  C_  ( ( F `  P ) ( ball `  D ) y ) ) )
37 imass2 4922 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( P ( ball `  C
) z )  C_  v  ->  ( F "
( P ( ball `  C ) z ) )  C_  ( F " v ) )
3836, 37syl11 31 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( F " v ) 
C_  ( ( F `
 P ) (
ball `  D )
y )  ->  (
( P ( ball `  C ) z ) 
C_  v  ->  ( F " ( P (
ball `  C )
z ) )  C_  ( ( F `  P ) ( ball `  D ) y ) ) )
3938reximdv 2536 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( F " v ) 
C_  ( ( F `
 P ) (
ball `  D )
y )  ->  ( E. z  e.  RR+  ( P ( ball `  C
) z )  C_  v  ->  E. z  e.  RR+  ( F " ( P ( ball `  C
) z ) ) 
C_  ( ( F `
 P ) (
ball `  D )
y ) ) )
4035, 39syl5com 29 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( C  e.  ( *Met `  X )  /\  D  e.  ( *Met `  Y )  /\  P  e.  X )  /\  F : X --> Y )  /\  ( y  e.  RR+  /\  v  e.  J ) )  /\  P  e.  v )  ->  (
( F " v
)  C_  ( ( F `  P )
( ball `  D )
y )  ->  E. z  e.  RR+  ( F "
( P ( ball `  C ) z ) )  C_  ( ( F `  P )
( ball `  D )
y ) ) )
4140expimpd 361 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( C  e.  ( *Met `  X )  /\  D  e.  ( *Met `  Y )  /\  P  e.  X )  /\  F : X --> Y )  /\  ( y  e.  RR+  /\  v  e.  J ) )  ->  ( ( P  e.  v  /\  ( F " v ) 
C_  ( ( F `
 P ) (
ball `  D )
y ) )  ->  E. z  e.  RR+  ( F " ( P (
ball `  C )
z ) )  C_  ( ( F `  P ) ( ball `  D ) y ) ) )
4241expr 373 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( C  e.  ( *Met `  X )  /\  D  e.  ( *Met `  Y )  /\  P  e.  X )  /\  F : X --> Y )  /\  y  e.  RR+ )  -> 
( v  e.  J  ->  ( ( P  e.  v  /\  ( F
" v )  C_  ( ( F `  P ) ( ball `  D ) y ) )  ->  E. z  e.  RR+  ( F "
( P ( ball `  C ) z ) )  C_  ( ( F `  P )
( ball `  D )
y ) ) ) )
4342rexlimdv 2551 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( C  e.  ( *Met `  X )  /\  D  e.  ( *Met `  Y )  /\  P  e.  X )  /\  F : X --> Y )  /\  y  e.  RR+ )  -> 
( E. v  e.  J  ( P  e.  v  /\  ( F
" v )  C_  ( ( F `  P ) ( ball `  D ) y ) )  ->  E. z  e.  RR+  ( F "
( P ( ball `  C ) z ) )  C_  ( ( F `  P )
( ball `  D )
y ) ) )
4429, 43syld 45 . . . . 5  |-  ( ( ( ( C  e.  ( *Met `  X )  /\  D  e.  ( *Met `  Y )  /\  P  e.  X )  /\  F : X --> Y )  /\  y  e.  RR+ )  -> 
( A. u  e. 
ran  ( ball `  D
) ( ( F `
 P )  e.  u  ->  E. v  e.  J  ( P  e.  v  /\  ( F " v )  C_  u ) )  ->  E. z  e.  RR+  ( F " ( P (
ball `  C )
z ) )  C_  ( ( F `  P ) ( ball `  D ) y ) ) )
4544ralrimdva 2515 . . . 4  |-  ( ( ( C  e.  ( *Met `  X
)  /\  D  e.  ( *Met `  Y
)  /\  P  e.  X )  /\  F : X --> Y )  -> 
( A. u  e. 
ran  ( ball `  D
) ( ( F `
 P )  e.  u  ->  E. v  e.  J  ( P  e.  v  /\  ( F " v )  C_  u ) )  ->  A. y  e.  RR+  E. z  e.  RR+  ( F "
( P ( ball `  C ) z ) )  C_  ( ( F `  P )
( ball `  D )
y ) ) )
46 simpl2 986 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( C  e.  ( *Met `  X
)  /\  D  e.  ( *Met `  Y
)  /\  P  e.  X )  /\  F : X --> Y )  ->  D  e.  ( *Met `  Y ) )
47 blss 12634 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( D  e.  ( *Met `  Y )  /\  u  e.  ran  ( ball `  D )  /\  ( F `  P
)  e.  u )  ->  E. y  e.  RR+  ( ( F `  P ) ( ball `  D ) y ) 
C_  u )
48473expib 1185 . . . . . . . . 9  |-  ( D  e.  ( *Met `  Y )  ->  (
( u  e.  ran  ( ball `  D )  /\  ( F `  P
)  e.  u )  ->  E. y  e.  RR+  ( ( F `  P ) ( ball `  D ) y ) 
C_  u ) )
4946, 48syl 14 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( C  e.  ( *Met `  X
)  /\  D  e.  ( *Met `  Y
)  /\  P  e.  X )  /\  F : X --> Y )  -> 
( ( u  e. 
ran  ( ball `  D
)  /\  ( F `  P )  e.  u
)  ->  E. y  e.  RR+  ( ( F `
 P ) (
ball `  D )
y )  C_  u
) )
50 r19.29r 2573 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( E. y  e.  RR+  ( ( F `  P ) ( ball `  D ) y ) 
C_  u  /\  A. y  e.  RR+  E. z  e.  RR+  ( F "
( P ( ball `  C ) z ) )  C_  ( ( F `  P )
( ball `  D )
y ) )  ->  E. y  e.  RR+  (
( ( F `  P ) ( ball `  D ) y ) 
C_  u  /\  E. z  e.  RR+  ( F
" ( P (
ball `  C )
z ) )  C_  ( ( F `  P ) ( ball `  D ) y ) ) )
5130ad3antrrr 484 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( ( C  e.  ( *Met `  X )  /\  D  e.  ( *Met `  Y
)  /\  P  e.  X )  /\  F : X --> Y )  /\  y  e.  RR+ )  /\  ( ( F `  P ) ( ball `  D ) y ) 
C_  u )  /\  ( z  e.  RR+  /\  ( F " ( P ( ball `  C
) z ) ) 
C_  ( ( F `
 P ) (
ball `  D )
y ) ) )  ->  C  e.  ( *Met `  X
) )
5213ad2antrr 480 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( ( C  e.  ( *Met `  X )  /\  D  e.  ( *Met `  Y
)  /\  P  e.  X )  /\  F : X --> Y )  /\  y  e.  RR+ )  /\  ( ( F `  P ) ( ball `  D ) y ) 
C_  u )  /\  ( z  e.  RR+  /\  ( F " ( P ( ball `  C
) z ) ) 
C_  ( ( F `
 P ) (
ball `  D )
y ) ) )  ->  P  e.  X
)
53 rpxr 9477 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( z  e.  RR+  ->  z  e. 
RR* )
5453ad2antrl 482 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( ( C  e.  ( *Met `  X )  /\  D  e.  ( *Met `  Y
)  /\  P  e.  X )  /\  F : X --> Y )  /\  y  e.  RR+ )  /\  ( ( F `  P ) ( ball `  D ) y ) 
C_  u )  /\  ( z  e.  RR+  /\  ( F " ( P ( ball `  C
) z ) ) 
C_  ( ( F `
 P ) (
ball `  D )
y ) ) )  ->  z  e.  RR* )
551blopn 12696 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( C  e.  ( *Met `  X )  /\  P  e.  X  /\  z  e.  RR* )  ->  ( P ( ball `  C ) z )  e.  J )
5651, 52, 54, 55syl3anc 1217 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( ( C  e.  ( *Met `  X )  /\  D  e.  ( *Met `  Y
)  /\  P  e.  X )  /\  F : X --> Y )  /\  y  e.  RR+ )  /\  ( ( F `  P ) ( ball `  D ) y ) 
C_  u )  /\  ( z  e.  RR+  /\  ( F " ( P ( ball `  C
) z ) ) 
C_  ( ( F `
 P ) (
ball `  D )
y ) ) )  ->  ( P (
ball `  C )
z )  e.  J
)
57 simprl 521 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( ( C  e.  ( *Met `  X )  /\  D  e.  ( *Met `  Y
)  /\  P  e.  X )  /\  F : X --> Y )  /\  y  e.  RR+ )  /\  ( ( F `  P ) ( ball `  D ) y ) 
C_  u )  /\  ( z  e.  RR+  /\  ( F " ( P ( ball `  C
) z ) ) 
C_  ( ( F `
 P ) (
ball `  D )
y ) ) )  ->  z  e.  RR+ )
58 blcntr 12622 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( C  e.  ( *Met `  X )  /\  P  e.  X  /\  z  e.  RR+ )  ->  P  e.  ( P ( ball `  C
) z ) )
5951, 52, 57, 58syl3anc 1217 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( ( C  e.  ( *Met `  X )  /\  D  e.  ( *Met `  Y
)  /\  P  e.  X )  /\  F : X --> Y )  /\  y  e.  RR+ )  /\  ( ( F `  P ) ( ball `  D ) y ) 
C_  u )  /\  ( z  e.  RR+  /\  ( F " ( P ( ball `  C
) z ) ) 
C_  ( ( F `
 P ) (
ball `  D )
y ) ) )  ->  P  e.  ( P ( ball `  C
) z ) )
60 sstr 3109 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( F " ( P ( ball `  C
) z ) ) 
C_  ( ( F `
 P ) (
ball `  D )
y )  /\  (
( F `  P
) ( ball `  D
) y )  C_  u )  ->  ( F " ( P (
ball `  C )
z ) )  C_  u )
6160ad2ant2l 500 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( z  e.  RR+  /\  ( F " ( P ( ball `  C
) z ) ) 
C_  ( ( F `
 P ) (
ball `  D )
y ) )  /\  ( ( ( ( C  e.  ( *Met `  X )  /\  D  e.  ( *Met `  Y
)  /\  P  e.  X )  /\  F : X --> Y )  /\  y  e.  RR+ )  /\  ( ( F `  P ) ( ball `  D ) y ) 
C_  u ) )  ->  ( F "
( P ( ball `  C ) z ) )  C_  u )
6261ancoms 266 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( ( C  e.  ( *Met `  X )  /\  D  e.  ( *Met `  Y
)  /\  P  e.  X )  /\  F : X --> Y )  /\  y  e.  RR+ )  /\  ( ( F `  P ) ( ball `  D ) y ) 
C_  u )  /\  ( z  e.  RR+  /\  ( F " ( P ( ball `  C
) z ) ) 
C_  ( ( F `
 P ) (
ball `  D )
y ) ) )  ->  ( F "
( P ( ball `  C ) z ) )  C_  u )
63 eleq2 2204 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( v  =  ( P (
ball `  C )
z )  ->  ( P  e.  v  <->  P  e.  ( P ( ball `  C
) z ) ) )
64 imaeq2 4884 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( v  =  ( P (
ball `  C )
z )  ->  ( F " v )  =  ( F " ( P ( ball `  C
) z ) ) )
6564sseq1d 3130 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( v  =  ( P (
ball `  C )
z )  ->  (
( F " v
)  C_  u  <->  ( F " ( P ( ball `  C ) z ) )  C_  u )
)
6663, 65anbi12d 465 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( v  =  ( P (
ball `  C )
z )  ->  (
( P  e.  v  /\  ( F "
v )  C_  u
)  <->  ( P  e.  ( P ( ball `  C ) z )  /\  ( F "
( P ( ball `  C ) z ) )  C_  u )
) )
6766rspcev 2792 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( P ( ball `  C ) z )  e.  J  /\  ( P  e.  ( P
( ball `  C )
z )  /\  ( F " ( P (
ball `  C )
z ) )  C_  u ) )  ->  E. v  e.  J  ( P  e.  v  /\  ( F " v
)  C_  u )
)
6856, 59, 62, 67syl12anc 1215 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( ( C  e.  ( *Met `  X )  /\  D  e.  ( *Met `  Y
)  /\  P  e.  X )  /\  F : X --> Y )  /\  y  e.  RR+ )  /\  ( ( F `  P ) ( ball `  D ) y ) 
C_  u )  /\  ( z  e.  RR+  /\  ( F " ( P ( ball `  C
) z ) ) 
C_  ( ( F `
 P ) (
ball `  D )
y ) ) )  ->  E. v  e.  J  ( P  e.  v  /\  ( F " v
)  C_  u )
)
6968expr 373 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( ( C  e.  ( *Met `  X )  /\  D  e.  ( *Met `  Y
)  /\  P  e.  X )  /\  F : X --> Y )  /\  y  e.  RR+ )  /\  ( ( F `  P ) ( ball `  D ) y ) 
C_  u )  /\  z  e.  RR+ )  -> 
( ( F "
( P ( ball `  C ) z ) )  C_  ( ( F `  P )
( ball `  D )
y )  ->  E. v  e.  J  ( P  e.  v  /\  ( F " v )  C_  u ) ) )
7069rexlimdva 2552 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( C  e.  ( *Met `  X )  /\  D  e.  ( *Met `  Y )  /\  P  e.  X )  /\  F : X --> Y )  /\  y  e.  RR+ )  /\  ( ( F `  P ) ( ball `  D ) y ) 
C_  u )  -> 
( E. z  e.  RR+  ( F " ( P ( ball `  C
) z ) ) 
C_  ( ( F `
 P ) (
ball `  D )
y )  ->  E. v  e.  J  ( P  e.  v  /\  ( F " v )  C_  u ) ) )
7170expimpd 361 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( C  e.  ( *Met `  X )  /\  D  e.  ( *Met `  Y )  /\  P  e.  X )  /\  F : X --> Y )  /\  y  e.  RR+ )  -> 
( ( ( ( F `  P ) ( ball `  D
) y )  C_  u  /\  E. z  e.  RR+  ( F " ( P ( ball `  C
) z ) ) 
C_  ( ( F `
 P ) (
ball `  D )
y ) )  ->  E. v  e.  J  ( P  e.  v  /\  ( F " v
)  C_  u )
) )
7271rexlimdva 2552 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( C  e.  ( *Met `  X
)  /\  D  e.  ( *Met `  Y
)  /\  P  e.  X )  /\  F : X --> Y )  -> 
( E. y  e.  RR+  ( ( ( F `
 P ) (
ball `  D )
y )  C_  u  /\  E. z  e.  RR+  ( F " ( P ( ball `  C
) z ) ) 
C_  ( ( F `
 P ) (
ball `  D )
y ) )  ->  E. v  e.  J  ( P  e.  v  /\  ( F " v
)  C_  u )
) )
7350, 72syl5 32 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( C  e.  ( *Met `  X
)  /\  D  e.  ( *Met `  Y
)  /\  P  e.  X )  /\  F : X --> Y )  -> 
( ( E. y  e.  RR+  ( ( F `
 P ) (
ball `  D )
y )  C_  u  /\  A. y  e.  RR+  E. z  e.  RR+  ( F " ( P (
ball `  C )
z ) )  C_  ( ( F `  P ) ( ball `  D ) y ) )  ->  E. v  e.  J  ( P  e.  v  /\  ( F " v )  C_  u ) ) )
7473expd 256 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( C  e.  ( *Met `  X
)  /\  D  e.  ( *Met `  Y
)  /\  P  e.  X )  /\  F : X --> Y )  -> 
( E. y  e.  RR+  ( ( F `  P ) ( ball `  D ) y ) 
C_  u  ->  ( A. y  e.  RR+  E. z  e.  RR+  ( F "
( P ( ball `  C ) z ) )  C_  ( ( F `  P )
( ball `  D )
y )  ->  E. v  e.  J  ( P  e.  v  /\  ( F " v )  C_  u ) ) ) )
7549, 74syld 45 . . . . . . 7  |-  ( ( ( C  e.  ( *Met `  X
)  /\  D  e.  ( *Met `  Y
)  /\  P  e.  X )  /\  F : X --> Y )  -> 
( ( u  e. 
ran  ( ball `  D
)  /\  ( F `  P )  e.  u
)  ->  ( A. y  e.  RR+  E. z  e.  RR+  ( F "
( P ( ball `  C ) z ) )  C_  ( ( F `  P )
( ball `  D )
y )  ->  E. v  e.  J  ( P  e.  v  /\  ( F " v )  C_  u ) ) ) )
7675com23 78 . . . . . 6  |-  ( ( ( C  e.  ( *Met `  X
)  /\  D  e.  ( *Met `  Y
)  /\  P  e.  X )  /\  F : X --> Y )  -> 
( A. y  e.  RR+  E. z  e.  RR+  ( F " ( P ( ball `  C
) z ) ) 
C_  ( ( F `
 P ) (
ball `  D )
y )  ->  (
( u  e.  ran  ( ball `  D )  /\  ( F `  P
)  e.  u )  ->  E. v  e.  J  ( P  e.  v  /\  ( F " v
)  C_  u )
) ) )
7776exp4a 364 . . . . 5  |-  ( ( ( C  e.  ( *Met `  X
)  /\  D  e.  ( *Met `  Y
)  /\  P  e.  X )  /\  F : X --> Y )  -> 
( A. y  e.  RR+  E. z  e.  RR+  ( F " ( P ( ball `  C
) z ) ) 
C_  ( ( F `
 P ) (
ball `  D )
y )  ->  (
u  e.  ran  ( ball `  D )  -> 
( ( F `  P )  e.  u  ->  E. v  e.  J  ( P  e.  v  /\  ( F " v
)  C_  u )
) ) ) )
7877ralrimdv 2514 . . . 4  |-  ( ( ( C  e.  ( *Met `  X
)  /\  D  e.  ( *Met `  Y
)  /\  P  e.  X )  /\  F : X --> Y )  -> 
( A. y  e.  RR+  E. z  e.  RR+  ( F " ( P ( ball `  C
) z ) ) 
C_  ( ( F `
 P ) (
ball `  D )
y )  ->  A. u  e.  ran  ( ball `  D
) ( ( F `
 P )  e.  u  ->  E. v  e.  J  ( P  e.  v  /\  ( F " v )  C_  u ) ) ) )
7945, 78impbid 128 . . 3  |-  ( ( ( C  e.  ( *Met `  X
)  /\  D  e.  ( *Met `  Y
)  /\  P  e.  X )  /\  F : X --> Y )  -> 
( A. u  e. 
ran  ( ball `  D
) ( ( F `
 P )  e.  u  ->  E. v  e.  J  ( P  e.  v  /\  ( F " v )  C_  u ) )  <->  A. y  e.  RR+  E. z  e.  RR+  ( F " ( P ( ball `  C
) z ) ) 
C_  ( ( F `
 P ) (
ball `  D )
y ) ) )
8079pm5.32da 448 . 2  |-  ( ( C  e.  ( *Met `  X )  /\  D  e.  ( *Met `  Y
)  /\  P  e.  X )  ->  (
( F : X --> Y  /\  A. u  e. 
ran  ( ball `  D
) ( ( F `
 P )  e.  u  ->  E. v  e.  J  ( P  e.  v  /\  ( F " v )  C_  u ) ) )  <-> 
( F : X --> Y  /\  A. y  e.  RR+  E. z  e.  RR+  ( F " ( P ( ball `  C
) z ) ) 
C_  ( ( F `
 P ) (
ball `  D )
y ) ) ) )
8110, 80bitrd 187 1  |-  ( ( C  e.  ( *Met `  X )  /\  D  e.  ( *Met `  Y
)  /\  P  e.  X )  ->  ( F  e.  ( ( J  CnP  K ) `  P )  <->  ( F : X --> Y  /\  A. y  e.  RR+  E. z  e.  RR+  ( F "
( P ( ball `  C ) z ) )  C_  ( ( F `  P )
( ball `  D )
y ) ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 103    <-> wb 104    /\ w3a 963    = wceq 1332    e. wcel 1481   A.wral 2417   E.wrex 2418    C_ wss 3075   ran crn 4547   "cima 4549   -->wf 5126   ` cfv 5130  (class class class)co 5781   RR*cxr 7822   RR+crp 9469   topGenctg 12172   *Metcxmet 12186   ballcbl 12188   MetOpencmopn 12191  TopOnctopon 12214    CnP ccnp 12392
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1424  ax-7 1425  ax-gen 1426  ax-ie1 1470  ax-ie2 1471  ax-8 1483  ax-10 1484  ax-11 1485  ax-i12 1486  ax-bndl 1487  ax-4 1488  ax-13 1492  ax-14 1493  ax-17 1507  ax-i9 1511  ax-ial 1515  ax-i5r 1516  ax-ext 2122  ax-coll 4050  ax-sep 4053  ax-nul 4061  ax-pow 4105  ax-pr 4138  ax-un 4362  ax-setind 4459  ax-iinf 4509  ax-cnex 7734  ax-resscn 7735  ax-1cn 7736  ax-1re 7737  ax-icn 7738  ax-addcl 7739  ax-addrcl 7740  ax-mulcl 7741  ax-mulrcl 7742  ax-addcom 7743  ax-mulcom 7744  ax-addass 7745  ax-mulass 7746  ax-distr 7747  ax-i2m1 7748  ax-0lt1 7749  ax-1rid 7750  ax-0id 7751  ax-rnegex 7752  ax-precex 7753  ax-cnre 7754  ax-pre-ltirr 7755  ax-pre-ltwlin 7756  ax-pre-lttrn 7757  ax-pre-apti 7758  ax-pre-ltadd 7759  ax-pre-mulgt0 7760  ax-pre-mulext 7761  ax-arch 7762  ax-caucvg 7763
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-stab 817  df-dc 821  df-3or 964  df-3an 965  df-tru 1335  df-fal 1338  df-nf 1438  df-sb 1737  df-eu 2003  df-mo 2004  df-clab 2127  df-cleq 2133  df-clel 2136  df-nfc 2271  df-ne 2310  df-nel 2405  df-ral 2422  df-rex 2423  df-reu 2424  df-rmo 2425  df-rab 2426  df-v 2691  df-sbc 2913  df-csb 3007  df-dif 3077  df-un 3079  df-in 3081  df-ss 3088  df-nul 3368  df-if 3479  df-pw 3516  df-sn 3537  df-pr 3538  df-op 3540  df-uni 3744  df-int 3779  df-iun 3822  df-br 3937  df-opab 3997  df-mpt 3998  df-tr 4034  df-id 4222  df-po 4225  df-iso 4226  df-iord 4295  df-on 4297  df-ilim 4298  df-suc 4300  df-iom 4512  df-xp 4552  df-rel 4553  df-cnv 4554  df-co 4555  df-dm 4556  df-rn 4557  df-res 4558  df-ima 4559  df-iota 5095  df-fun 5132  df-fn 5133  df-f 5134  df-f1 5135  df-fo 5136  df-f1o 5137  df-fv 5138  df-isom 5139  df-riota 5737  df-ov 5784  df-oprab 5785  df-mpo 5786  df-1st 6045  df-2nd 6046  df-recs 6209  df-frec 6295  df-map 6551  df-sup 6878  df-inf 6879  df-pnf 7825  df-mnf 7826  df-xr 7827  df-ltxr 7828  df-le 7829  df-sub 7958  df-neg 7959  df-reap 8360  df-ap 8367  df-div 8456  df-inn 8744  df-2 8802  df-3 8803  df-4 8804  df-n0 9001  df-z 9078  df-uz 9350  df-q 9438  df-rp 9470  df-xneg 9588  df-xadd 9589  df-seqfrec 10249  df-exp 10323  df-cj 10645  df-re 10646  df-im 10647  df-rsqrt 10801  df-abs 10802  df-topgen 12178  df-psmet 12193  df-xmet 12194  df-bl 12196  df-mopn 12197  df-top 12202  df-topon 12215  df-bases 12247  df-cnp 12395
This theorem is referenced by:  metcnp  12718
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