Theorem cnegexlem3 8249

Description: Existence of real number difference. Lemma for cnegex 8250. (Contributed by Eric Schmidt, 22-May-2007.)

Assertion

Ref	Expression
cnegexlem3	|- ( ( b e. RR /\ y e. RR ) -> E. c e. RR ( b + c ) = y )

Distinct variable group:   b, c, y

Proof of Theorem cnegexlem3

Dummy variable x is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		readdcl 8051	. . . . . 6 |- ( ( b e. RR /\ x e. RR ) -> ( b + x ) e. RR )
2		ax-rnegex 8034	. . . . . 6 |- ( ( b + x ) e. RR -> E. c e. RR ( ( b + x ) + c ) = 0 )
3	1, 2	syl 14	. . . . 5 |- ( ( b e. RR /\ x e. RR ) -> E. c e. RR ( ( b + x ) + c ) = 0 )
4	3	adantlr 477	. . . 4 |- ( ( ( b e. RR /\ y e. RR ) /\ x e. RR ) -> E. c e. RR ( ( b + x ) + c ) = 0 )
5	4	adantr 276	. . 3 |- ( ( ( ( b e. RR /\ y e. RR ) /\ x e. RR ) /\ ( y + x ) = 0 ) -> E. c e. RR ( ( b + x ) + c ) = 0 )
6		recn 8058	. . . . . . . 8 |- ( b e. RR -> b e. CC )
7		recn 8058	. . . . . . . 8 |- ( y e. RR -> y e. CC )
8	6, 7	anim12i 338	. . . . . . 7 |- ( ( b e. RR /\ y e. RR ) -> ( b e. CC /\ y e. CC ) )
9	8	anim1i 340	. . . . . 6 |- ( ( ( b e. RR /\ y e. RR ) /\ x e. RR ) -> ( ( b e. CC /\ y e. CC ) /\ x e. RR ) )
10	9	anim1i 340	. . . . 5 |- ( ( ( ( b e. RR /\ y e. RR ) /\ x e. RR ) /\ ( y + x ) = 0 ) -> ( ( ( b e. CC /\ y e. CC ) /\ x e. RR ) /\ ( y + x ) = 0 ) )
11		recn 8058	. . . . 5 |- ( c e. RR -> c e. CC )
12		recn 8058	. . . . . . . . . 10 |- ( x e. RR -> x e. CC )
13		add32 8231	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( b e. CC /\ x e. CC /\ c e. CC ) -> ( ( b + x ) + c ) = ( ( b + c ) + x ) )
14	13	3expa 1206	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( b e. CC /\ x e. CC ) /\ c e. CC ) -> ( ( b + x ) + c ) = ( ( b + c ) + x ) )
15		addcl 8050	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( b e. CC /\ c e. CC ) -> ( b + c ) e. CC )
16		addcom 8209	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( b + c ) e. CC /\ x e. CC ) -> ( ( b + c ) + x ) = ( x + ( b + c ) ) )
17	15, 16	sylan 283	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( b e. CC /\ c e. CC ) /\ x e. CC ) -> ( ( b + c ) + x ) = ( x + ( b + c ) ) )
18	17	an32s 568	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( b e. CC /\ x e. CC ) /\ c e. CC ) -> ( ( b + c ) + x ) = ( x + ( b + c ) ) )
19	14, 18	eqtr2d 2239	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( b e. CC /\ x e. CC ) /\ c e. CC ) -> ( x + ( b + c ) ) = ( ( b + x ) + c ) )
20	12, 19	sylanl2 403	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( b e. CC /\ x e. RR ) /\ c e. CC ) -> ( x + ( b + c ) ) = ( ( b + x ) + c ) )
21	20	adantllr 481	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( b e. CC /\ y e. CC ) /\ x e. RR ) /\ c e. CC ) -> ( x + ( b + c ) ) = ( ( b + x ) + c ) )
22	21	adantlr 477	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ( b e. CC /\ y e. CC ) /\ x e. RR ) /\ ( y + x ) = 0 ) /\ c e. CC ) -> ( x + ( b + c ) ) = ( ( b + x ) + c ) )
23		addcom 8209	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( x e. CC /\ y e. CC ) -> ( x + y ) = ( y + x ) )
24	23	ancoms 268	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( y e. CC /\ x e. CC ) -> ( x + y ) = ( y + x ) )
25	12, 24	sylan2 286	. . . . . . . . . 10 |- ( ( y e. CC /\ x e. RR ) -> ( x + y ) = ( y + x ) )
26		id 19	. . . . . . . . . 10 |- ( ( y + x ) = 0 -> ( y + x ) = 0 )
27	25, 26	sylan9eq 2258	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( y e. CC /\ x e. RR ) /\ ( y + x ) = 0 ) -> ( x + y ) = 0 )
28	27	adantlll 480	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( b e. CC /\ y e. CC ) /\ x e. RR ) /\ ( y + x ) = 0 ) -> ( x + y ) = 0 )
29	28	adantr 276	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ( b e. CC /\ y e. CC ) /\ x e. RR ) /\ ( y + x ) = 0 ) /\ c e. CC ) -> ( x + y ) = 0 )
30	22, 29	eqeq12d 2220	. . . . . 6 |- ( ( ( ( ( b e. CC /\ y e. CC ) /\ x e. RR ) /\ ( y + x ) = 0 ) /\ c e. CC ) -> ( ( x + ( b + c ) ) = ( x + y ) <-> ( ( b + x ) + c ) = 0 ) )
31		simplr 528	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( b e. CC /\ y e. CC ) /\ x e. RR ) /\ c e. CC ) -> x e. RR )
32	15	adantlr 477	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( b e. CC /\ y e. CC ) /\ c e. CC ) -> ( b + c ) e. CC )
33	32	adantlr 477	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( b e. CC /\ y e. CC ) /\ x e. RR ) /\ c e. CC ) -> ( b + c ) e. CC )
34		simpllr 534	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( b e. CC /\ y e. CC ) /\ x e. RR ) /\ c e. CC ) -> y e. CC )
35		cnegexlem1 8247	. . . . . . . 8 |- ( ( x e. RR /\ ( b + c ) e. CC /\ y e. CC ) -> ( ( x + ( b + c ) ) = ( x + y ) <-> ( b + c ) = y ) )
36	31, 33, 34, 35	syl3anc 1250	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( b e. CC /\ y e. CC ) /\ x e. RR ) /\ c e. CC ) -> ( ( x + ( b + c ) ) = ( x + y ) <-> ( b + c ) = y ) )
37	36	adantlr 477	. . . . . 6 |- ( ( ( ( ( b e. CC /\ y e. CC ) /\ x e. RR ) /\ ( y + x ) = 0 ) /\ c e. CC ) -> ( ( x + ( b + c ) ) = ( x + y ) <-> ( b + c ) = y ) )
38	30, 37	bitr3d 190	. . . . 5 |- ( ( ( ( ( b e. CC /\ y e. CC ) /\ x e. RR ) /\ ( y + x ) = 0 ) /\ c e. CC ) -> ( ( ( b + x ) + c ) = 0 <-> ( b + c ) = y ) )
39	10, 11, 38	syl2an 289	. . . 4 |- ( ( ( ( ( b e. RR /\ y e. RR ) /\ x e. RR ) /\ ( y + x ) = 0 ) /\ c e. RR ) -> ( ( ( b + x ) + c ) = 0 <-> ( b + c ) = y ) )
40	39	rexbidva 2503	. . 3 |- ( ( ( ( b e. RR /\ y e. RR ) /\ x e. RR ) /\ ( y + x ) = 0 ) -> ( E. c e. RR ( ( b + x ) + c ) = 0 <-> E. c e. RR ( b + c ) = y ) )
41	5, 40	mpbid 147	. 2 |- ( ( ( ( b e. RR /\ y e. RR ) /\ x e. RR ) /\ ( y + x ) = 0 ) -> E. c e. RR ( b + c ) = y )
42		ax-rnegex 8034	. . 3 |- ( y e. RR -> E. x e. RR ( y + x ) = 0 )
43	42	adantl 277	. 2 |- ( ( b e. RR /\ y e. RR ) -> E. x e. RR ( y + x ) = 0 )
44	41, 43	r19.29a 2649	1 |- ( ( b e. RR /\ y e. RR ) -> E. c e. RR ( b + c ) = y )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   = wceq 1373   e. wcel 2176   E.wrex 2485  (class class class)co 5944   CCcc 7923   RRcr 7924   0cc0 7925   + caddc 7928

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 711  ax-5 1470  ax-7 1471  ax-gen 1472  ax-ie1 1516  ax-ie2 1517  ax-8 1527  ax-10 1528  ax-11 1529  ax-i12 1530  ax-bndl 1532  ax-4 1533  ax-17 1549  ax-i9 1553  ax-ial 1557  ax-i5r 1558  ax-ext 2187  ax-resscn 8017  ax-1cn 8018  ax-icn 8020  ax-addcl 8021  ax-addrcl 8022  ax-mulcl 8023  ax-addcom 8025  ax-addass 8027  ax-i2m1 8030  ax-0id 8033  ax-rnegex 8034

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 983  df-tru 1376  df-nf 1484  df-sb 1786  df-clab 2192  df-cleq 2198  df-clel 2201  df-nfc 2337  df-ral 2489  df-rex 2490  df-v 2774  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-sn 3639  df-pr 3640  df-op 3642  df-uni 3851  df-br 4045  df-iota 5232  df-fv 5279  df-ov 5947

This theorem is referenced by:  cnegex  8250