Theorem cnegexlem3 8096

Description: Existence of real number difference. Lemma for cnegex 8097. (Contributed by Eric Schmidt, 22-May-2007.)

Assertion

Ref	Expression
cnegexlem3	|- ( ( b e. RR /\ y e. RR ) -> E. c e. RR ( b + c ) = y )

Distinct variable group:   b, c, y

Proof of Theorem cnegexlem3

Dummy variable x is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		readdcl 7900	. . . . . 6 |- ( ( b e. RR /\ x e. RR ) -> ( b + x ) e. RR )
2		ax-rnegex 7883	. . . . . 6 |- ( ( b + x ) e. RR -> E. c e. RR ( ( b + x ) + c ) = 0 )
3	1, 2	syl 14	. . . . 5 |- ( ( b e. RR /\ x e. RR ) -> E. c e. RR ( ( b + x ) + c ) = 0 )
4	3	adantlr 474	. . . 4 |- ( ( ( b e. RR /\ y e. RR ) /\ x e. RR ) -> E. c e. RR ( ( b + x ) + c ) = 0 )
5	4	adantr 274	. . 3 |- ( ( ( ( b e. RR /\ y e. RR ) /\ x e. RR ) /\ ( y + x ) = 0 ) -> E. c e. RR ( ( b + x ) + c ) = 0 )
6		recn 7907	. . . . . . . 8 |- ( b e. RR -> b e. CC )
7		recn 7907	. . . . . . . 8 |- ( y e. RR -> y e. CC )
8	6, 7	anim12i 336	. . . . . . 7 |- ( ( b e. RR /\ y e. RR ) -> ( b e. CC /\ y e. CC ) )
9	8	anim1i 338	. . . . . 6 |- ( ( ( b e. RR /\ y e. RR ) /\ x e. RR ) -> ( ( b e. CC /\ y e. CC ) /\ x e. RR ) )
10	9	anim1i 338	. . . . 5 |- ( ( ( ( b e. RR /\ y e. RR ) /\ x e. RR ) /\ ( y + x ) = 0 ) -> ( ( ( b e. CC /\ y e. CC ) /\ x e. RR ) /\ ( y + x ) = 0 ) )
11		recn 7907	. . . . 5 |- ( c e. RR -> c e. CC )
12		recn 7907	. . . . . . . . . 10 |- ( x e. RR -> x e. CC )
13		add32 8078	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( b e. CC /\ x e. CC /\ c e. CC ) -> ( ( b + x ) + c ) = ( ( b + c ) + x ) )
14	13	3expa 1198	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( b e. CC /\ x e. CC ) /\ c e. CC ) -> ( ( b + x ) + c ) = ( ( b + c ) + x ) )
15		addcl 7899	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( b e. CC /\ c e. CC ) -> ( b + c ) e. CC )
16		addcom 8056	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( b + c ) e. CC /\ x e. CC ) -> ( ( b + c ) + x ) = ( x + ( b + c ) ) )
17	15, 16	sylan 281	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( b e. CC /\ c e. CC ) /\ x e. CC ) -> ( ( b + c ) + x ) = ( x + ( b + c ) ) )
18	17	an32s 563	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( b e. CC /\ x e. CC ) /\ c e. CC ) -> ( ( b + c ) + x ) = ( x + ( b + c ) ) )
19	14, 18	eqtr2d 2204	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( b e. CC /\ x e. CC ) /\ c e. CC ) -> ( x + ( b + c ) ) = ( ( b + x ) + c ) )
20	12, 19	sylanl2 401	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( b e. CC /\ x e. RR ) /\ c e. CC ) -> ( x + ( b + c ) ) = ( ( b + x ) + c ) )
21	20	adantllr 478	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( b e. CC /\ y e. CC ) /\ x e. RR ) /\ c e. CC ) -> ( x + ( b + c ) ) = ( ( b + x ) + c ) )
22	21	adantlr 474	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ( b e. CC /\ y e. CC ) /\ x e. RR ) /\ ( y + x ) = 0 ) /\ c e. CC ) -> ( x + ( b + c ) ) = ( ( b + x ) + c ) )
23		addcom 8056	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( x e. CC /\ y e. CC ) -> ( x + y ) = ( y + x ) )
24	23	ancoms 266	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( y e. CC /\ x e. CC ) -> ( x + y ) = ( y + x ) )
25	12, 24	sylan2 284	. . . . . . . . . 10 |- ( ( y e. CC /\ x e. RR ) -> ( x + y ) = ( y + x ) )
26		id 19	. . . . . . . . . 10 |- ( ( y + x ) = 0 -> ( y + x ) = 0 )
27	25, 26	sylan9eq 2223	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( y e. CC /\ x e. RR ) /\ ( y + x ) = 0 ) -> ( x + y ) = 0 )
28	27	adantlll 477	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( b e. CC /\ y e. CC ) /\ x e. RR ) /\ ( y + x ) = 0 ) -> ( x + y ) = 0 )
29	28	adantr 274	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ( b e. CC /\ y e. CC ) /\ x e. RR ) /\ ( y + x ) = 0 ) /\ c e. CC ) -> ( x + y ) = 0 )
30	22, 29	eqeq12d 2185	. . . . . 6 |- ( ( ( ( ( b e. CC /\ y e. CC ) /\ x e. RR ) /\ ( y + x ) = 0 ) /\ c e. CC ) -> ( ( x + ( b + c ) ) = ( x + y ) <-> ( ( b + x ) + c ) = 0 ) )
31		simplr 525	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( b e. CC /\ y e. CC ) /\ x e. RR ) /\ c e. CC ) -> x e. RR )
32	15	adantlr 474	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( b e. CC /\ y e. CC ) /\ c e. CC ) -> ( b + c ) e. CC )
33	32	adantlr 474	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( b e. CC /\ y e. CC ) /\ x e. RR ) /\ c e. CC ) -> ( b + c ) e. CC )
34		simpllr 529	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( b e. CC /\ y e. CC ) /\ x e. RR ) /\ c e. CC ) -> y e. CC )
35		cnegexlem1 8094	. . . . . . . 8 |- ( ( x e. RR /\ ( b + c ) e. CC /\ y e. CC ) -> ( ( x + ( b + c ) ) = ( x + y ) <-> ( b + c ) = y ) )
36	31, 33, 34, 35	syl3anc 1233	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( b e. CC /\ y e. CC ) /\ x e. RR ) /\ c e. CC ) -> ( ( x + ( b + c ) ) = ( x + y ) <-> ( b + c ) = y ) )
37	36	adantlr 474	. . . . . 6 |- ( ( ( ( ( b e. CC /\ y e. CC ) /\ x e. RR ) /\ ( y + x ) = 0 ) /\ c e. CC ) -> ( ( x + ( b + c ) ) = ( x + y ) <-> ( b + c ) = y ) )
38	30, 37	bitr3d 189	. . . . 5 |- ( ( ( ( ( b e. CC /\ y e. CC ) /\ x e. RR ) /\ ( y + x ) = 0 ) /\ c e. CC ) -> ( ( ( b + x ) + c ) = 0 <-> ( b + c ) = y ) )
39	10, 11, 38	syl2an 287	. . . 4 |- ( ( ( ( ( b e. RR /\ y e. RR ) /\ x e. RR ) /\ ( y + x ) = 0 ) /\ c e. RR ) -> ( ( ( b + x ) + c ) = 0 <-> ( b + c ) = y ) )
40	39	rexbidva 2467	. . 3 |- ( ( ( ( b e. RR /\ y e. RR ) /\ x e. RR ) /\ ( y + x ) = 0 ) -> ( E. c e. RR ( ( b + x ) + c ) = 0 <-> E. c e. RR ( b + c ) = y ) )
41	5, 40	mpbid 146	. 2 |- ( ( ( ( b e. RR /\ y e. RR ) /\ x e. RR ) /\ ( y + x ) = 0 ) -> E. c e. RR ( b + c ) = y )
42		ax-rnegex 7883	. . 3 |- ( y e. RR -> E. x e. RR ( y + x ) = 0 )
43	42	adantl 275	. 2 |- ( ( b e. RR /\ y e. RR ) -> E. x e. RR ( y + x ) = 0 )
44	41, 43	r19.29a 2613	1 |- ( ( b e. RR /\ y e. RR ) -> E. c e. RR ( b + c ) = y )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   <-> wb 104   = wceq 1348   e. wcel 2141   E.wrex 2449  (class class class)co 5853   CCcc 7772   RRcr 7773   0cc0 7774   + caddc 7777

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 704  ax-5 1440  ax-7 1441  ax-gen 1442  ax-ie1 1486  ax-ie2 1487  ax-8 1497  ax-10 1498  ax-11 1499  ax-i12 1500  ax-bndl 1502  ax-4 1503  ax-17 1519  ax-i9 1523  ax-ial 1527  ax-i5r 1528  ax-ext 2152  ax-resscn 7866  ax-1cn 7867  ax-icn 7869  ax-addcl 7870  ax-addrcl 7871  ax-mulcl 7872  ax-addcom 7874  ax-addass 7876  ax-i2m1 7879  ax-0id 7882  ax-rnegex 7883

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 975  df-tru 1351  df-nf 1454  df-sb 1756  df-clab 2157  df-cleq 2163  df-clel 2166  df-nfc 2301  df-ral 2453  df-rex 2454  df-v 2732  df-un 3125  df-in 3127  df-ss 3134  df-sn 3589  df-pr 3590  df-op 3592  df-uni 3797  df-br 3990  df-iota 5160  df-fv 5206  df-ov 5856

This theorem is referenced by:  cnegex  8097