Theorem cnegexlem3 8124

Description: Existence of real number difference. Lemma for cnegex 8125. (Contributed by Eric Schmidt, 22-May-2007.)

Assertion

Ref	Expression
cnegexlem3	|- ( ( b e. RR /\ y e. RR ) -> E. c e. RR ( b + c ) = y )

Distinct variable group:   b, c, y

Proof of Theorem cnegexlem3

Dummy variable x is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		readdcl 7928	. . . . . 6 |- ( ( b e. RR /\ x e. RR ) -> ( b + x ) e. RR )
2		ax-rnegex 7911	. . . . . 6 |- ( ( b + x ) e. RR -> E. c e. RR ( ( b + x ) + c ) = 0 )
3	1, 2	syl 14	. . . . 5 |- ( ( b e. RR /\ x e. RR ) -> E. c e. RR ( ( b + x ) + c ) = 0 )
4	3	adantlr 477	. . . 4 |- ( ( ( b e. RR /\ y e. RR ) /\ x e. RR ) -> E. c e. RR ( ( b + x ) + c ) = 0 )
5	4	adantr 276	. . 3 |- ( ( ( ( b e. RR /\ y e. RR ) /\ x e. RR ) /\ ( y + x ) = 0 ) -> E. c e. RR ( ( b + x ) + c ) = 0 )
6		recn 7935	. . . . . . . 8 |- ( b e. RR -> b e. CC )
7		recn 7935	. . . . . . . 8 |- ( y e. RR -> y e. CC )
8	6, 7	anim12i 338	. . . . . . 7 |- ( ( b e. RR /\ y e. RR ) -> ( b e. CC /\ y e. CC ) )
9	8	anim1i 340	. . . . . 6 |- ( ( ( b e. RR /\ y e. RR ) /\ x e. RR ) -> ( ( b e. CC /\ y e. CC ) /\ x e. RR ) )
10	9	anim1i 340	. . . . 5 |- ( ( ( ( b e. RR /\ y e. RR ) /\ x e. RR ) /\ ( y + x ) = 0 ) -> ( ( ( b e. CC /\ y e. CC ) /\ x e. RR ) /\ ( y + x ) = 0 ) )
11		recn 7935	. . . . 5 |- ( c e. RR -> c e. CC )
12		recn 7935	. . . . . . . . . 10 |- ( x e. RR -> x e. CC )
13		add32 8106	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( b e. CC /\ x e. CC /\ c e. CC ) -> ( ( b + x ) + c ) = ( ( b + c ) + x ) )
14	13	3expa 1203	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( b e. CC /\ x e. CC ) /\ c e. CC ) -> ( ( b + x ) + c ) = ( ( b + c ) + x ) )
15		addcl 7927	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( b e. CC /\ c e. CC ) -> ( b + c ) e. CC )
16		addcom 8084	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( b + c ) e. CC /\ x e. CC ) -> ( ( b + c ) + x ) = ( x + ( b + c ) ) )
17	15, 16	sylan 283	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( b e. CC /\ c e. CC ) /\ x e. CC ) -> ( ( b + c ) + x ) = ( x + ( b + c ) ) )
18	17	an32s 568	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( b e. CC /\ x e. CC ) /\ c e. CC ) -> ( ( b + c ) + x ) = ( x + ( b + c ) ) )
19	14, 18	eqtr2d 2211	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( b e. CC /\ x e. CC ) /\ c e. CC ) -> ( x + ( b + c ) ) = ( ( b + x ) + c ) )
20	12, 19	sylanl2 403	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( b e. CC /\ x e. RR ) /\ c e. CC ) -> ( x + ( b + c ) ) = ( ( b + x ) + c ) )
21	20	adantllr 481	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( b e. CC /\ y e. CC ) /\ x e. RR ) /\ c e. CC ) -> ( x + ( b + c ) ) = ( ( b + x ) + c ) )
22	21	adantlr 477	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ( b e. CC /\ y e. CC ) /\ x e. RR ) /\ ( y + x ) = 0 ) /\ c e. CC ) -> ( x + ( b + c ) ) = ( ( b + x ) + c ) )
23		addcom 8084	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( x e. CC /\ y e. CC ) -> ( x + y ) = ( y + x ) )
24	23	ancoms 268	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( y e. CC /\ x e. CC ) -> ( x + y ) = ( y + x ) )
25	12, 24	sylan2 286	. . . . . . . . . 10 |- ( ( y e. CC /\ x e. RR ) -> ( x + y ) = ( y + x ) )
26		id 19	. . . . . . . . . 10 |- ( ( y + x ) = 0 -> ( y + x ) = 0 )
27	25, 26	sylan9eq 2230	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( y e. CC /\ x e. RR ) /\ ( y + x ) = 0 ) -> ( x + y ) = 0 )
28	27	adantlll 480	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( b e. CC /\ y e. CC ) /\ x e. RR ) /\ ( y + x ) = 0 ) -> ( x + y ) = 0 )
29	28	adantr 276	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ( b e. CC /\ y e. CC ) /\ x e. RR ) /\ ( y + x ) = 0 ) /\ c e. CC ) -> ( x + y ) = 0 )
30	22, 29	eqeq12d 2192	. . . . . 6 |- ( ( ( ( ( b e. CC /\ y e. CC ) /\ x e. RR ) /\ ( y + x ) = 0 ) /\ c e. CC ) -> ( ( x + ( b + c ) ) = ( x + y ) <-> ( ( b + x ) + c ) = 0 ) )
31		simplr 528	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( b e. CC /\ y e. CC ) /\ x e. RR ) /\ c e. CC ) -> x e. RR )
32	15	adantlr 477	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( b e. CC /\ y e. CC ) /\ c e. CC ) -> ( b + c ) e. CC )
33	32	adantlr 477	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( b e. CC /\ y e. CC ) /\ x e. RR ) /\ c e. CC ) -> ( b + c ) e. CC )
34		simpllr 534	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( b e. CC /\ y e. CC ) /\ x e. RR ) /\ c e. CC ) -> y e. CC )
35		cnegexlem1 8122	. . . . . . . 8 |- ( ( x e. RR /\ ( b + c ) e. CC /\ y e. CC ) -> ( ( x + ( b + c ) ) = ( x + y ) <-> ( b + c ) = y ) )
36	31, 33, 34, 35	syl3anc 1238	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( b e. CC /\ y e. CC ) /\ x e. RR ) /\ c e. CC ) -> ( ( x + ( b + c ) ) = ( x + y ) <-> ( b + c ) = y ) )
37	36	adantlr 477	. . . . . 6 |- ( ( ( ( ( b e. CC /\ y e. CC ) /\ x e. RR ) /\ ( y + x ) = 0 ) /\ c e. CC ) -> ( ( x + ( b + c ) ) = ( x + y ) <-> ( b + c ) = y ) )
38	30, 37	bitr3d 190	. . . . 5 |- ( ( ( ( ( b e. CC /\ y e. CC ) /\ x e. RR ) /\ ( y + x ) = 0 ) /\ c e. CC ) -> ( ( ( b + x ) + c ) = 0 <-> ( b + c ) = y ) )
39	10, 11, 38	syl2an 289	. . . 4 |- ( ( ( ( ( b e. RR /\ y e. RR ) /\ x e. RR ) /\ ( y + x ) = 0 ) /\ c e. RR ) -> ( ( ( b + x ) + c ) = 0 <-> ( b + c ) = y ) )
40	39	rexbidva 2474	. . 3 |- ( ( ( ( b e. RR /\ y e. RR ) /\ x e. RR ) /\ ( y + x ) = 0 ) -> ( E. c e. RR ( ( b + x ) + c ) = 0 <-> E. c e. RR ( b + c ) = y ) )
41	5, 40	mpbid 147	. 2 |- ( ( ( ( b e. RR /\ y e. RR ) /\ x e. RR ) /\ ( y + x ) = 0 ) -> E. c e. RR ( b + c ) = y )
42		ax-rnegex 7911	. . 3 |- ( y e. RR -> E. x e. RR ( y + x ) = 0 )
43	42	adantl 277	. 2 |- ( ( b e. RR /\ y e. RR ) -> E. x e. RR ( y + x ) = 0 )
44	41, 43	r19.29a 2620	1 |- ( ( b e. RR /\ y e. RR ) -> E. c e. RR ( b + c ) = y )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   = wceq 1353   e. wcel 2148   E.wrex 2456  (class class class)co 5869   CCcc 7800   RRcr 7801   0cc0 7802   + caddc 7805

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-ext 2159  ax-resscn 7894  ax-1cn 7895  ax-icn 7897  ax-addcl 7898  ax-addrcl 7899  ax-mulcl 7900  ax-addcom 7902  ax-addass 7904  ax-i2m1 7907  ax-0id 7910  ax-rnegex 7911

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 980  df-tru 1356  df-nf 1461  df-sb 1763  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ral 2460  df-rex 2461  df-v 2739  df-un 3133  df-in 3135  df-ss 3142  df-sn 3597  df-pr 3598  df-op 3600  df-uni 3808  df-br 4001  df-iota 5174  df-fv 5220  df-ov 5872

This theorem is referenced by:  cnegex  8125