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Mirrors > Home > ILE Home > Th. List > cnegexlem3 | Unicode version |
Description: Existence of real number difference. Lemma for cnegex 7964. (Contributed by Eric Schmidt, 22-May-2007.) |
Ref | Expression |
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cnegexlem3 |
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Step | Hyp | Ref | Expression |
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1 | readdcl 7770 |
. . . . . 6
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2 | ax-rnegex 7753 |
. . . . . 6
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3 | 1, 2 | syl 14 |
. . . . 5
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4 | 3 | adantlr 469 |
. . . 4
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5 | 4 | adantr 274 |
. . 3
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6 | recn 7777 |
. . . . . . . 8
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7 | recn 7777 |
. . . . . . . 8
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8 | 6, 7 | anim12i 336 |
. . . . . . 7
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9 | 8 | anim1i 338 |
. . . . . 6
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10 | 9 | anim1i 338 |
. . . . 5
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11 | recn 7777 |
. . . . 5
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12 | recn 7777 |
. . . . . . . . . 10
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13 | add32 7945 |
. . . . . . . . . . . 12
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14 | 13 | 3expa 1182 |
. . . . . . . . . . 11
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15 | addcl 7769 |
. . . . . . . . . . . . 13
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16 | addcom 7923 |
. . . . . . . . . . . . 13
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17 | 15, 16 | sylan 281 |
. . . . . . . . . . . 12
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18 | 17 | an32s 558 |
. . . . . . . . . . 11
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19 | 14, 18 | eqtr2d 2174 |
. . . . . . . . . 10
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20 | 12, 19 | sylanl2 401 |
. . . . . . . . 9
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21 | 20 | adantllr 473 |
. . . . . . . 8
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22 | 21 | adantlr 469 |
. . . . . . 7
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23 | addcom 7923 |
. . . . . . . . . . . 12
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24 | 23 | ancoms 266 |
. . . . . . . . . . 11
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25 | 12, 24 | sylan2 284 |
. . . . . . . . . 10
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26 | id 19 |
. . . . . . . . . 10
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27 | 25, 26 | sylan9eq 2193 |
. . . . . . . . 9
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28 | 27 | adantlll 472 |
. . . . . . . 8
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29 | 28 | adantr 274 |
. . . . . . 7
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30 | 22, 29 | eqeq12d 2155 |
. . . . . 6
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31 | simplr 520 |
. . . . . . . 8
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32 | 15 | adantlr 469 |
. . . . . . . . 9
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33 | 32 | adantlr 469 |
. . . . . . . 8
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34 | simpllr 524 |
. . . . . . . 8
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35 | cnegexlem1 7961 |
. . . . . . . 8
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36 | 31, 33, 34, 35 | syl3anc 1217 |
. . . . . . 7
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37 | 36 | adantlr 469 |
. . . . . 6
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38 | 30, 37 | bitr3d 189 |
. . . . 5
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39 | 10, 11, 38 | syl2an 287 |
. . . 4
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40 | 39 | rexbidva 2435 |
. . 3
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41 | 5, 40 | mpbid 146 |
. 2
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42 | ax-rnegex 7753 |
. . 3
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43 | 42 | adantl 275 |
. 2
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44 | 41, 43 | r19.29a 2578 |
1
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Colors of variables: wff set class |
Syntax hints: ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() |
This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-ia1 105 ax-ia2 106 ax-ia3 107 ax-io 699 ax-5 1424 ax-7 1425 ax-gen 1426 ax-ie1 1470 ax-ie2 1471 ax-8 1483 ax-10 1484 ax-11 1485 ax-i12 1486 ax-bndl 1487 ax-4 1488 ax-17 1507 ax-i9 1511 ax-ial 1515 ax-i5r 1516 ax-ext 2122 ax-resscn 7736 ax-1cn 7737 ax-icn 7739 ax-addcl 7740 ax-addrcl 7741 ax-mulcl 7742 ax-addcom 7744 ax-addass 7746 ax-i2m1 7749 ax-0id 7752 ax-rnegex 7753 |
This theorem depends on definitions: df-bi 116 df-3an 965 df-tru 1335 df-nf 1438 df-sb 1737 df-clab 2127 df-cleq 2133 df-clel 2136 df-nfc 2271 df-ral 2422 df-rex 2423 df-v 2691 df-un 3080 df-in 3082 df-ss 3089 df-sn 3538 df-pr 3539 df-op 3541 df-uni 3745 df-br 3938 df-iota 5096 df-fv 5139 df-ov 5785 |
This theorem is referenced by: cnegex 7964 |
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