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Theorem cnegexlem3 7638
Description: Existence of real number difference. Lemma for cnegex 7639. (Contributed by Eric Schmidt, 22-May-2007.)
Assertion
Ref Expression
cnegexlem3 ((𝑏 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → ∃𝑐 ∈ ℝ (𝑏 + 𝑐) = 𝑦)
Distinct variable group:   𝑏,𝑐,𝑦

Proof of Theorem cnegexlem3
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 readdcl 7447 . . . . . 6 ((𝑏 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝑏 + 𝑥) ∈ ℝ)
2 ax-rnegex 7433 . . . . . 6 ((𝑏 + 𝑥) ∈ ℝ → ∃𝑐 ∈ ℝ ((𝑏 + 𝑥) + 𝑐) = 0)
31, 2syl 14 . . . . 5 ((𝑏 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ∃𝑐 ∈ ℝ ((𝑏 + 𝑥) + 𝑐) = 0)
43adantlr 461 . . . 4 (((𝑏 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ∃𝑐 ∈ ℝ ((𝑏 + 𝑥) + 𝑐) = 0)
54adantr 270 . . 3 ((((𝑏 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ (𝑦 + 𝑥) = 0) → ∃𝑐 ∈ ℝ ((𝑏 + 𝑥) + 𝑐) = 0)
6 recn 7454 . . . . . . . 8 (𝑏 ∈ ℝ → 𝑏 ∈ ℂ)
7 recn 7454 . . . . . . . 8 (𝑦 ∈ ℝ → 𝑦 ∈ ℂ)
86, 7anim12i 331 . . . . . . 7 ((𝑏 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (𝑏 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ))
98anim1i 333 . . . . . 6 (((𝑏 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ((𝑏 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ))
109anim1i 333 . . . . 5 ((((𝑏 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ (𝑦 + 𝑥) = 0) → (((𝑏 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ (𝑦 + 𝑥) = 0))
11 recn 7454 . . . . 5 (𝑐 ∈ ℝ → 𝑐 ∈ ℂ)
12 recn 7454 . . . . . . . . . 10 (𝑥 ∈ ℝ → 𝑥 ∈ ℂ)
13 add32 7620 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑏 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑐 ∈ ℂ) → ((𝑏 + 𝑥) + 𝑐) = ((𝑏 + 𝑐) + 𝑥))
14133expa 1143 . . . . . . . . . . 11 (((𝑏 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℂ) ∧ 𝑐 ∈ ℂ) → ((𝑏 + 𝑥) + 𝑐) = ((𝑏 + 𝑐) + 𝑥))
15 addcl 7446 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑏 ∈ ℂ ∧ 𝑐 ∈ ℂ) → (𝑏 + 𝑐) ∈ ℂ)
16 addcom 7598 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑏 + 𝑐) ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → ((𝑏 + 𝑐) + 𝑥) = (𝑥 + (𝑏 + 𝑐)))
1715, 16sylan 277 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑏 ∈ ℂ ∧ 𝑐 ∈ ℂ) ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → ((𝑏 + 𝑐) + 𝑥) = (𝑥 + (𝑏 + 𝑐)))
1817an32s 535 . . . . . . . . . . 11 (((𝑏 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℂ) ∧ 𝑐 ∈ ℂ) → ((𝑏 + 𝑐) + 𝑥) = (𝑥 + (𝑏 + 𝑐)))
1914, 18eqtr2d 2121 . . . . . . . . . 10 (((𝑏 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℂ) ∧ 𝑐 ∈ ℂ) → (𝑥 + (𝑏 + 𝑐)) = ((𝑏 + 𝑥) + 𝑐))
2012, 19sylanl2 395 . . . . . . . . 9 (((𝑏 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑐 ∈ ℂ) → (𝑥 + (𝑏 + 𝑐)) = ((𝑏 + 𝑥) + 𝑐))
2120adantllr 465 . . . . . . . 8 ((((𝑏 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑐 ∈ ℂ) → (𝑥 + (𝑏 + 𝑐)) = ((𝑏 + 𝑥) + 𝑐))
2221adantlr 461 . . . . . . 7 (((((𝑏 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ (𝑦 + 𝑥) = 0) ∧ 𝑐 ∈ ℂ) → (𝑥 + (𝑏 + 𝑐)) = ((𝑏 + 𝑥) + 𝑐))
23 addcom 7598 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → (𝑥 + 𝑦) = (𝑦 + 𝑥))
2423ancoms 264 . . . . . . . . . . 11 ((𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → (𝑥 + 𝑦) = (𝑦 + 𝑥))
2512, 24sylan2 280 . . . . . . . . . 10 ((𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝑥 + 𝑦) = (𝑦 + 𝑥))
26 id 19 . . . . . . . . . 10 ((𝑦 + 𝑥) = 0 → (𝑦 + 𝑥) = 0)
2725, 26sylan9eq 2140 . . . . . . . . 9 (((𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ (𝑦 + 𝑥) = 0) → (𝑥 + 𝑦) = 0)
2827adantlll 464 . . . . . . . 8 ((((𝑏 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ (𝑦 + 𝑥) = 0) → (𝑥 + 𝑦) = 0)
2928adantr 270 . . . . . . 7 (((((𝑏 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ (𝑦 + 𝑥) = 0) ∧ 𝑐 ∈ ℂ) → (𝑥 + 𝑦) = 0)
3022, 29eqeq12d 2102 . . . . . 6 (((((𝑏 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ (𝑦 + 𝑥) = 0) ∧ 𝑐 ∈ ℂ) → ((𝑥 + (𝑏 + 𝑐)) = (𝑥 + 𝑦) ↔ ((𝑏 + 𝑥) + 𝑐) = 0))
31 simplr 497 . . . . . . . 8 ((((𝑏 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑐 ∈ ℂ) → 𝑥 ∈ ℝ)
3215adantlr 461 . . . . . . . . 9 (((𝑏 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) ∧ 𝑐 ∈ ℂ) → (𝑏 + 𝑐) ∈ ℂ)
3332adantlr 461 . . . . . . . 8 ((((𝑏 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑐 ∈ ℂ) → (𝑏 + 𝑐) ∈ ℂ)
34 simpllr 501 . . . . . . . 8 ((((𝑏 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑐 ∈ ℂ) → 𝑦 ∈ ℂ)
35 cnegexlem1 7636 . . . . . . . 8 ((𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝑏 + 𝑐) ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → ((𝑥 + (𝑏 + 𝑐)) = (𝑥 + 𝑦) ↔ (𝑏 + 𝑐) = 𝑦))
3631, 33, 34, 35syl3anc 1174 . . . . . . 7 ((((𝑏 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑐 ∈ ℂ) → ((𝑥 + (𝑏 + 𝑐)) = (𝑥 + 𝑦) ↔ (𝑏 + 𝑐) = 𝑦))
3736adantlr 461 . . . . . 6 (((((𝑏 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ (𝑦 + 𝑥) = 0) ∧ 𝑐 ∈ ℂ) → ((𝑥 + (𝑏 + 𝑐)) = (𝑥 + 𝑦) ↔ (𝑏 + 𝑐) = 𝑦))
3830, 37bitr3d 188 . . . . 5 (((((𝑏 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ (𝑦 + 𝑥) = 0) ∧ 𝑐 ∈ ℂ) → (((𝑏 + 𝑥) + 𝑐) = 0 ↔ (𝑏 + 𝑐) = 𝑦))
3910, 11, 38syl2an 283 . . . 4 (((((𝑏 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ (𝑦 + 𝑥) = 0) ∧ 𝑐 ∈ ℝ) → (((𝑏 + 𝑥) + 𝑐) = 0 ↔ (𝑏 + 𝑐) = 𝑦))
4039rexbidva 2377 . . 3 ((((𝑏 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ (𝑦 + 𝑥) = 0) → (∃𝑐 ∈ ℝ ((𝑏 + 𝑥) + 𝑐) = 0 ↔ ∃𝑐 ∈ ℝ (𝑏 + 𝑐) = 𝑦))
415, 40mpbid 145 . 2 ((((𝑏 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ (𝑦 + 𝑥) = 0) → ∃𝑐 ∈ ℝ (𝑏 + 𝑐) = 𝑦)
42 ax-rnegex 7433 . . 3 (𝑦 ∈ ℝ → ∃𝑥 ∈ ℝ (𝑦 + 𝑥) = 0)
4342adantl 271 . 2 ((𝑏 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → ∃𝑥 ∈ ℝ (𝑦 + 𝑥) = 0)
4441, 43r19.29a 2511 1 ((𝑏 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → ∃𝑐 ∈ ℝ (𝑏 + 𝑐) = 𝑦)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 102  wb 103   = wceq 1289  wcel 1438  wrex 2360  (class class class)co 5634  cc 7327  cr 7328  0cc0 7329   + caddc 7332
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-io 665  ax-5 1381  ax-7 1382  ax-gen 1383  ax-ie1 1427  ax-ie2 1428  ax-8 1440  ax-10 1441  ax-11 1442  ax-i12 1443  ax-bndl 1444  ax-4 1445  ax-17 1464  ax-i9 1468  ax-ial 1472  ax-i5r 1473  ax-ext 2070  ax-resscn 7416  ax-1cn 7417  ax-icn 7419  ax-addcl 7420  ax-addrcl 7421  ax-mulcl 7422  ax-addcom 7424  ax-addass 7426  ax-i2m1 7429  ax-0id 7432  ax-rnegex 7433
This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3an 926  df-tru 1292  df-nf 1395  df-sb 1693  df-clab 2075  df-cleq 2081  df-clel 2084  df-nfc 2217  df-ral 2364  df-rex 2365  df-v 2621  df-un 3001  df-in 3003  df-ss 3010  df-sn 3447  df-pr 3448  df-op 3450  df-uni 3649  df-br 3838  df-iota 4967  df-fv 5010  df-ov 5637
This theorem is referenced by:  cnegex  7639
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