ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  cnegexlem3 GIF version

Theorem cnegexlem3 8164
Description: Existence of real number difference. Lemma for cnegex 8165. (Contributed by Eric Schmidt, 22-May-2007.)
Assertion
Ref Expression
cnegexlem3 ((𝑏 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → ∃𝑐 ∈ ℝ (𝑏 + 𝑐) = 𝑦)
Distinct variable group:   𝑏,𝑐,𝑦

Proof of Theorem cnegexlem3
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 readdcl 7967 . . . . . 6 ((𝑏 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝑏 + 𝑥) ∈ ℝ)
2 ax-rnegex 7950 . . . . . 6 ((𝑏 + 𝑥) ∈ ℝ → ∃𝑐 ∈ ℝ ((𝑏 + 𝑥) + 𝑐) = 0)
31, 2syl 14 . . . . 5 ((𝑏 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ∃𝑐 ∈ ℝ ((𝑏 + 𝑥) + 𝑐) = 0)
43adantlr 477 . . . 4 (((𝑏 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ∃𝑐 ∈ ℝ ((𝑏 + 𝑥) + 𝑐) = 0)
54adantr 276 . . 3 ((((𝑏 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ (𝑦 + 𝑥) = 0) → ∃𝑐 ∈ ℝ ((𝑏 + 𝑥) + 𝑐) = 0)
6 recn 7974 . . . . . . . 8 (𝑏 ∈ ℝ → 𝑏 ∈ ℂ)
7 recn 7974 . . . . . . . 8 (𝑦 ∈ ℝ → 𝑦 ∈ ℂ)
86, 7anim12i 338 . . . . . . 7 ((𝑏 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (𝑏 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ))
98anim1i 340 . . . . . 6 (((𝑏 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ((𝑏 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ))
109anim1i 340 . . . . 5 ((((𝑏 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ (𝑦 + 𝑥) = 0) → (((𝑏 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ (𝑦 + 𝑥) = 0))
11 recn 7974 . . . . 5 (𝑐 ∈ ℝ → 𝑐 ∈ ℂ)
12 recn 7974 . . . . . . . . . 10 (𝑥 ∈ ℝ → 𝑥 ∈ ℂ)
13 add32 8146 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑏 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑐 ∈ ℂ) → ((𝑏 + 𝑥) + 𝑐) = ((𝑏 + 𝑐) + 𝑥))
14133expa 1205 . . . . . . . . . . 11 (((𝑏 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℂ) ∧ 𝑐 ∈ ℂ) → ((𝑏 + 𝑥) + 𝑐) = ((𝑏 + 𝑐) + 𝑥))
15 addcl 7966 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑏 ∈ ℂ ∧ 𝑐 ∈ ℂ) → (𝑏 + 𝑐) ∈ ℂ)
16 addcom 8124 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑏 + 𝑐) ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → ((𝑏 + 𝑐) + 𝑥) = (𝑥 + (𝑏 + 𝑐)))
1715, 16sylan 283 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑏 ∈ ℂ ∧ 𝑐 ∈ ℂ) ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → ((𝑏 + 𝑐) + 𝑥) = (𝑥 + (𝑏 + 𝑐)))
1817an32s 568 . . . . . . . . . . 11 (((𝑏 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℂ) ∧ 𝑐 ∈ ℂ) → ((𝑏 + 𝑐) + 𝑥) = (𝑥 + (𝑏 + 𝑐)))
1914, 18eqtr2d 2223 . . . . . . . . . 10 (((𝑏 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℂ) ∧ 𝑐 ∈ ℂ) → (𝑥 + (𝑏 + 𝑐)) = ((𝑏 + 𝑥) + 𝑐))
2012, 19sylanl2 403 . . . . . . . . 9 (((𝑏 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑐 ∈ ℂ) → (𝑥 + (𝑏 + 𝑐)) = ((𝑏 + 𝑥) + 𝑐))
2120adantllr 481 . . . . . . . 8 ((((𝑏 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑐 ∈ ℂ) → (𝑥 + (𝑏 + 𝑐)) = ((𝑏 + 𝑥) + 𝑐))
2221adantlr 477 . . . . . . 7 (((((𝑏 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ (𝑦 + 𝑥) = 0) ∧ 𝑐 ∈ ℂ) → (𝑥 + (𝑏 + 𝑐)) = ((𝑏 + 𝑥) + 𝑐))
23 addcom 8124 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → (𝑥 + 𝑦) = (𝑦 + 𝑥))
2423ancoms 268 . . . . . . . . . . 11 ((𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → (𝑥 + 𝑦) = (𝑦 + 𝑥))
2512, 24sylan2 286 . . . . . . . . . 10 ((𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝑥 + 𝑦) = (𝑦 + 𝑥))
26 id 19 . . . . . . . . . 10 ((𝑦 + 𝑥) = 0 → (𝑦 + 𝑥) = 0)
2725, 26sylan9eq 2242 . . . . . . . . 9 (((𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ (𝑦 + 𝑥) = 0) → (𝑥 + 𝑦) = 0)
2827adantlll 480 . . . . . . . 8 ((((𝑏 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ (𝑦 + 𝑥) = 0) → (𝑥 + 𝑦) = 0)
2928adantr 276 . . . . . . 7 (((((𝑏 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ (𝑦 + 𝑥) = 0) ∧ 𝑐 ∈ ℂ) → (𝑥 + 𝑦) = 0)
3022, 29eqeq12d 2204 . . . . . 6 (((((𝑏 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ (𝑦 + 𝑥) = 0) ∧ 𝑐 ∈ ℂ) → ((𝑥 + (𝑏 + 𝑐)) = (𝑥 + 𝑦) ↔ ((𝑏 + 𝑥) + 𝑐) = 0))
31 simplr 528 . . . . . . . 8 ((((𝑏 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑐 ∈ ℂ) → 𝑥 ∈ ℝ)
3215adantlr 477 . . . . . . . . 9 (((𝑏 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) ∧ 𝑐 ∈ ℂ) → (𝑏 + 𝑐) ∈ ℂ)
3332adantlr 477 . . . . . . . 8 ((((𝑏 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑐 ∈ ℂ) → (𝑏 + 𝑐) ∈ ℂ)
34 simpllr 534 . . . . . . . 8 ((((𝑏 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑐 ∈ ℂ) → 𝑦 ∈ ℂ)
35 cnegexlem1 8162 . . . . . . . 8 ((𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝑏 + 𝑐) ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → ((𝑥 + (𝑏 + 𝑐)) = (𝑥 + 𝑦) ↔ (𝑏 + 𝑐) = 𝑦))
3631, 33, 34, 35syl3anc 1249 . . . . . . 7 ((((𝑏 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑐 ∈ ℂ) → ((𝑥 + (𝑏 + 𝑐)) = (𝑥 + 𝑦) ↔ (𝑏 + 𝑐) = 𝑦))
3736adantlr 477 . . . . . 6 (((((𝑏 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ (𝑦 + 𝑥) = 0) ∧ 𝑐 ∈ ℂ) → ((𝑥 + (𝑏 + 𝑐)) = (𝑥 + 𝑦) ↔ (𝑏 + 𝑐) = 𝑦))
3830, 37bitr3d 190 . . . . 5 (((((𝑏 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ (𝑦 + 𝑥) = 0) ∧ 𝑐 ∈ ℂ) → (((𝑏 + 𝑥) + 𝑐) = 0 ↔ (𝑏 + 𝑐) = 𝑦))
3910, 11, 38syl2an 289 . . . 4 (((((𝑏 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ (𝑦 + 𝑥) = 0) ∧ 𝑐 ∈ ℝ) → (((𝑏 + 𝑥) + 𝑐) = 0 ↔ (𝑏 + 𝑐) = 𝑦))
4039rexbidva 2487 . . 3 ((((𝑏 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ (𝑦 + 𝑥) = 0) → (∃𝑐 ∈ ℝ ((𝑏 + 𝑥) + 𝑐) = 0 ↔ ∃𝑐 ∈ ℝ (𝑏 + 𝑐) = 𝑦))
415, 40mpbid 147 . 2 ((((𝑏 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ (𝑦 + 𝑥) = 0) → ∃𝑐 ∈ ℝ (𝑏 + 𝑐) = 𝑦)
42 ax-rnegex 7950 . . 3 (𝑦 ∈ ℝ → ∃𝑥 ∈ ℝ (𝑦 + 𝑥) = 0)
4342adantl 277 . 2 ((𝑏 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → ∃𝑥 ∈ ℝ (𝑦 + 𝑥) = 0)
4441, 43r19.29a 2633 1 ((𝑏 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → ∃𝑐 ∈ ℝ (𝑏 + 𝑐) = 𝑦)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 104  wb 105   = wceq 1364  wcel 2160  wrex 2469  (class class class)co 5896  cc 7839  cr 7840  0cc0 7841   + caddc 7844
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-ext 2171  ax-resscn 7933  ax-1cn 7934  ax-icn 7936  ax-addcl 7937  ax-addrcl 7938  ax-mulcl 7939  ax-addcom 7941  ax-addass 7943  ax-i2m1 7946  ax-0id 7949  ax-rnegex 7950
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-nf 1472  df-sb 1774  df-clab 2176  df-cleq 2182  df-clel 2185  df-nfc 2321  df-ral 2473  df-rex 2474  df-v 2754  df-un 3148  df-in 3150  df-ss 3157  df-sn 3613  df-pr 3614  df-op 3616  df-uni 3825  df-br 4019  df-iota 5196  df-fv 5243  df-ov 5899
This theorem is referenced by:  cnegex  8165
  Copyright terms: Public domain W3C validator