Theorem iscn 12837

Description: The predicate "the class F is a continuous function from topology J to topology K". Definition of continuous function in [Munkres] p. 102. (Contributed by NM, 17-Oct-2006.) (Revised by Mario Carneiro, 21-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
iscn	|- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) ) -> ( F e. ( J Cn K ) <-> ( F : X --> Y /\ A. y e. K ( `' F " y ) e. J ) ) )

Distinct variable groups:   y, J   y, K   y, X   y, F   y, Y

Proof of Theorem iscn

Dummy variable f is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cnfval 12834	. . 3 |- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) ) -> ( J Cn K ) = { f e. ( Y ^m X ) | A. y e. K ( `' f " y ) e. J } )
2	1	eleq2d 2236	. 2 |- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) ) -> ( F e. ( J Cn K ) <-> F e. { f e. ( Y ^m X ) | A. y e. K ( `' f " y ) e. J } ) )
3		cnveq 4778	. . . . . . 7 |- ( f = F -> `' f = `' F )
4	3	imaeq1d 4945	. . . . . 6 |- ( f = F -> ( `' f " y ) = ( `' F " y ) )
5	4	eleq1d 2235	. . . . 5 |- ( f = F -> ( ( `' f " y ) e. J <-> ( `' F " y ) e. J ) )
6	5	ralbidv 2466	. . . 4 |- ( f = F -> ( A. y e. K ( `' f " y ) e. J <-> A. y e. K ( `' F " y ) e. J ) )
7	6	elrab 2882	. . 3 |- ( F e. { f e. ( Y ^m X ) | A. y e. K ( `' f " y ) e. J } <-> ( F e. ( Y ^m X ) /\ A. y e. K ( `' F " y ) e. J ) )
8		toponmax 12663	. . . . 5 |- ( K e. (TopOn ` Y ) -> Y e. K )
9		toponmax 12663	. . . . 5 |- ( J e. (TopOn ` X ) -> X e. J )
10		elmapg 6627	. . . . 5 |- ( ( Y e. K /\ X e. J ) -> ( F e. ( Y ^m X ) <-> F : X --> Y ) )
11	8, 9, 10	syl2anr 288	. . . 4 |- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) ) -> ( F e. ( Y ^m X ) <-> F : X --> Y ) )
12	11	anbi1d 461	. . 3 |- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) ) -> ( ( F e. ( Y ^m X ) /\ A. y e. K ( `' F " y ) e. J ) <-> ( F : X --> Y /\ A. y e. K ( `' F " y ) e. J ) ) )
13	7, 12	syl5bb 191	. 2 |- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) ) -> ( F e. { f e. ( Y ^m X ) | A. y e. K ( `' f " y ) e. J } <-> ( F : X --> Y /\ A. y e. K ( `' F " y ) e. J ) ) )
14	2, 13	bitrd 187	1 |- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) ) -> ( F e. ( J Cn K ) <-> ( F : X --> Y /\ A. y e. K ( `' F " y ) e. J ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   <-> wb 104   = wceq 1343   e. wcel 2136   A.wral 2444   {crab 2448   `'ccnv 4603   "cima 4607   -->wf 5184   ` cfv 5188  (class class class)co 5842   ^m cmap 6614  TopOnctopon 12648   Cn ccn 12825

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1435  ax-7 1436  ax-gen 1437  ax-ie1 1481  ax-ie2 1482  ax-8 1492  ax-10 1493  ax-11 1494  ax-i12 1495  ax-bndl 1497  ax-4 1498  ax-17 1514  ax-i9 1518  ax-ial 1522  ax-i5r 1523  ax-13 2138  ax-14 2139  ax-ext 2147  ax-sep 4100  ax-pow 4153  ax-pr 4187  ax-un 4411  ax-setind 4514

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 970  df-tru 1346  df-fal 1349  df-nf 1449  df-sb 1751  df-eu 2017  df-mo 2018  df-clab 2152  df-cleq 2158  df-clel 2161  df-nfc 2297  df-ne 2337  df-ral 2449  df-rex 2450  df-rab 2453  df-v 2728  df-sbc 2952  df-csb 3046  df-dif 3118  df-un 3120  df-in 3122  df-ss 3129  df-pw 3561  df-sn 3582  df-pr 3583  df-op 3585  df-uni 3790  df-iun 3868  df-br 3983  df-opab 4044  df-mpt 4045  df-id 4271  df-xp 4610  df-rel 4611  df-cnv 4612  df-co 4613  df-dm 4614  df-rn 4615  df-res 4616  df-ima 4617  df-iota 5153  df-fun 5190  df-fn 5191  df-f 5192  df-fv 5196  df-ov 5845  df-oprab 5846  df-mpo 5847  df-1st 6108  df-2nd 6109  df-map 6616  df-top 12636  df-topon 12649  df-cn 12828

This theorem is referenced by:  iscn2  12840  cnf2  12845  tgcn  12848  ssidcn  12850  cnntr  12865  cnss1  12866  cnss2  12867  cncnp  12870  cnrest  12875  cnrest2  12876  cndis  12881  tx1cn  12909  tx2cn  12910  txdis1cn  12918