Theorem iscn 14940

Description: The predicate "the class F is a continuous function from topology J to topology K". Definition of continuous function in [Munkres] p. 102. (Contributed by NM, 17-Oct-2006.) (Revised by Mario Carneiro, 21-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
iscn	|- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) ) -> ( F e. ( J Cn K ) <-> ( F : X --> Y /\ A. y e. K ( `' F " y ) e. J ) ) )

Distinct variable groups:   y, J   y, K   y, X   y, F   y, Y

Proof of Theorem iscn

Dummy variable f is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cnfval 14937	. . 3 |- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) ) -> ( J Cn K ) = { f e. ( Y ^m X ) | A. y e. K ( `' f " y ) e. J } )
2	1	eleq2d 2301	. 2 |- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) ) -> ( F e. ( J Cn K ) <-> F e. { f e. ( Y ^m X ) | A. y e. K ( `' f " y ) e. J } ) )
3		cnveq 4904	. . . . . . 7 |- ( f = F -> `' f = `' F )
4	3	imaeq1d 5075	. . . . . 6 |- ( f = F -> ( `' f " y ) = ( `' F " y ) )
5	4	eleq1d 2300	. . . . 5 |- ( f = F -> ( ( `' f " y ) e. J <-> ( `' F " y ) e. J ) )
6	5	ralbidv 2532	. . . 4 |- ( f = F -> ( A. y e. K ( `' f " y ) e. J <-> A. y e. K ( `' F " y ) e. J ) )
7	6	elrab 2962	. . 3 |- ( F e. { f e. ( Y ^m X ) | A. y e. K ( `' f " y ) e. J } <-> ( F e. ( Y ^m X ) /\ A. y e. K ( `' F " y ) e. J ) )
8		toponmax 14768	. . . . 5 |- ( K e. (TopOn ` Y ) -> Y e. K )
9		toponmax 14768	. . . . 5 |- ( J e. (TopOn ` X ) -> X e. J )
10		elmapg 6830	. . . . 5 |- ( ( Y e. K /\ X e. J ) -> ( F e. ( Y ^m X ) <-> F : X --> Y ) )
11	8, 9, 10	syl2anr 290	. . . 4 |- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) ) -> ( F e. ( Y ^m X ) <-> F : X --> Y ) )
12	11	anbi1d 465	. . 3 |- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) ) -> ( ( F e. ( Y ^m X ) /\ A. y e. K ( `' F " y ) e. J ) <-> ( F : X --> Y /\ A. y e. K ( `' F " y ) e. J ) ) )
13	7, 12	bitrid 192	. 2 |- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) ) -> ( F e. { f e. ( Y ^m X ) | A. y e. K ( `' f " y ) e. J } <-> ( F : X --> Y /\ A. y e. K ( `' F " y ) e. J ) ) )
14	2, 13	bitrd 188	1 |- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) ) -> ( F e. ( J Cn K ) <-> ( F : X --> Y /\ A. y e. K ( `' F " y ) e. J ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   = wceq 1397   e. wcel 2202   A.wral 2510   {crab 2514   `'ccnv 4724   "cima 4728   -->wf 5322   ` cfv 5326  (class class class)co 6018   ^m cmap 6817  TopOnctopon 14753   Cn ccn 14928

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 716  ax-5 1495  ax-7 1496  ax-gen 1497  ax-ie1 1541  ax-ie2 1542  ax-8 1552  ax-10 1553  ax-11 1554  ax-i12 1555  ax-bndl 1557  ax-4 1558  ax-17 1574  ax-i9 1578  ax-ial 1582  ax-i5r 1583  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-sep 4207  ax-pow 4264  ax-pr 4299  ax-un 4530  ax-setind 4635

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1006  df-tru 1400  df-fal 1403  df-nf 1509  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2363  df-ne 2403  df-ral 2515  df-rex 2516  df-rab 2519  df-v 2804  df-sbc 3032  df-csb 3128  df-dif 3202  df-un 3204  df-in 3206  df-ss 3213  df-pw 3654  df-sn 3675  df-pr 3676  df-op 3678  df-uni 3894  df-iun 3972  df-br 4089  df-opab 4151  df-mpt 4152  df-id 4390  df-xp 4731  df-rel 4732  df-cnv 4733  df-co 4734  df-dm 4735  df-rn 4736  df-res 4737  df-ima 4738  df-iota 5286  df-fun 5328  df-fn 5329  df-f 5330  df-fv 5334  df-ov 6021  df-oprab 6022  df-mpo 6023  df-1st 6303  df-2nd 6304  df-map 6819  df-top 14741  df-topon 14754  df-cn 14931

This theorem is referenced by:  iscn2  14943  cnf2  14948  tgcn  14951  ssidcn  14953  cnntr  14968  cnss1  14969  cnss2  14970  cncnp  14973  cnrest  14978  cnrest2  14979  cndis  14984  tx1cn  15012  tx2cn  15013  txdis1cn  15021