Theorem iscn 14871

Description: The predicate "the class F is a continuous function from topology J to topology K". Definition of continuous function in [Munkres] p. 102. (Contributed by NM, 17-Oct-2006.) (Revised by Mario Carneiro, 21-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
iscn	|- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) ) -> ( F e. ( J Cn K ) <-> ( F : X --> Y /\ A. y e. K ( `' F " y ) e. J ) ) )

Distinct variable groups:   y, J   y, K   y, X   y, F   y, Y

Proof of Theorem iscn

Dummy variable f is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cnfval 14868	. . 3 |- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) ) -> ( J Cn K ) = { f e. ( Y ^m X ) | A. y e. K ( `' f " y ) e. J } )
2	1	eleq2d 2299	. 2 |- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) ) -> ( F e. ( J Cn K ) <-> F e. { f e. ( Y ^m X ) | A. y e. K ( `' f " y ) e. J } ) )
3		cnveq 4896	. . . . . . 7 |- ( f = F -> `' f = `' F )
4	3	imaeq1d 5067	. . . . . 6 |- ( f = F -> ( `' f " y ) = ( `' F " y ) )
5	4	eleq1d 2298	. . . . 5 |- ( f = F -> ( ( `' f " y ) e. J <-> ( `' F " y ) e. J ) )
6	5	ralbidv 2530	. . . 4 |- ( f = F -> ( A. y e. K ( `' f " y ) e. J <-> A. y e. K ( `' F " y ) e. J ) )
7	6	elrab 2959	. . 3 |- ( F e. { f e. ( Y ^m X ) | A. y e. K ( `' f " y ) e. J } <-> ( F e. ( Y ^m X ) /\ A. y e. K ( `' F " y ) e. J ) )
8		toponmax 14699	. . . . 5 |- ( K e. (TopOn ` Y ) -> Y e. K )
9		toponmax 14699	. . . . 5 |- ( J e. (TopOn ` X ) -> X e. J )
10		elmapg 6808	. . . . 5 |- ( ( Y e. K /\ X e. J ) -> ( F e. ( Y ^m X ) <-> F : X --> Y ) )
11	8, 9, 10	syl2anr 290	. . . 4 |- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) ) -> ( F e. ( Y ^m X ) <-> F : X --> Y ) )
12	11	anbi1d 465	. . 3 |- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) ) -> ( ( F e. ( Y ^m X ) /\ A. y e. K ( `' F " y ) e. J ) <-> ( F : X --> Y /\ A. y e. K ( `' F " y ) e. J ) ) )
13	7, 12	bitrid 192	. 2 |- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) ) -> ( F e. { f e. ( Y ^m X ) | A. y e. K ( `' f " y ) e. J } <-> ( F : X --> Y /\ A. y e. K ( `' F " y ) e. J ) ) )
14	2, 13	bitrd 188	1 |- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) ) -> ( F e. ( J Cn K ) <-> ( F : X --> Y /\ A. y e. K ( `' F " y ) e. J ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   = wceq 1395   e. wcel 2200   A.wral 2508   {crab 2512   `'ccnv 4718   "cima 4722   -->wf 5314   ` cfv 5318  (class class class)co 6001   ^m cmap 6795  TopOnctopon 14684   Cn ccn 14859

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-sep 4202  ax-pow 4258  ax-pr 4293  ax-un 4524  ax-setind 4629

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-ral 2513  df-rex 2514  df-rab 2517  df-v 2801  df-sbc 3029  df-csb 3125  df-dif 3199  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-uni 3889  df-iun 3967  df-br 4084  df-opab 4146  df-mpt 4147  df-id 4384  df-xp 4725  df-rel 4726  df-cnv 4727  df-co 4728  df-dm 4729  df-rn 4730  df-res 4731  df-ima 4732  df-iota 5278  df-fun 5320  df-fn 5321  df-f 5322  df-fv 5326  df-ov 6004  df-oprab 6005  df-mpo 6006  df-1st 6286  df-2nd 6287  df-map 6797  df-top 14672  df-topon 14685  df-cn 14862

This theorem is referenced by:  iscn2  14874  cnf2  14879  tgcn  14882  ssidcn  14884  cnntr  14899  cnss1  14900  cnss2  14901  cncnp  14904  cnrest  14909  cnrest2  14910  cndis  14915  tx1cn  14943  tx2cn  14944  txdis1cn  14952