Theorem iscn 14669

Description: The predicate "the class F is a continuous function from topology J to topology K". Definition of continuous function in [Munkres] p. 102. (Contributed by NM, 17-Oct-2006.) (Revised by Mario Carneiro, 21-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
iscn	|- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) ) -> ( F e. ( J Cn K ) <-> ( F : X --> Y /\ A. y e. K ( `' F " y ) e. J ) ) )

Distinct variable groups:   y, J   y, K   y, X   y, F   y, Y

Proof of Theorem iscn

Dummy variable f is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cnfval 14666	. . 3 |- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) ) -> ( J Cn K ) = { f e. ( Y ^m X ) | A. y e. K ( `' f " y ) e. J } )
2	1	eleq2d 2275	. 2 |- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) ) -> ( F e. ( J Cn K ) <-> F e. { f e. ( Y ^m X ) | A. y e. K ( `' f " y ) e. J } ) )
3		cnveq 4852	. . . . . . 7 |- ( f = F -> `' f = `' F )
4	3	imaeq1d 5021	. . . . . 6 |- ( f = F -> ( `' f " y ) = ( `' F " y ) )
5	4	eleq1d 2274	. . . . 5 |- ( f = F -> ( ( `' f " y ) e. J <-> ( `' F " y ) e. J ) )
6	5	ralbidv 2506	. . . 4 |- ( f = F -> ( A. y e. K ( `' f " y ) e. J <-> A. y e. K ( `' F " y ) e. J ) )
7	6	elrab 2929	. . 3 |- ( F e. { f e. ( Y ^m X ) | A. y e. K ( `' f " y ) e. J } <-> ( F e. ( Y ^m X ) /\ A. y e. K ( `' F " y ) e. J ) )
8		toponmax 14497	. . . . 5 |- ( K e. (TopOn ` Y ) -> Y e. K )
9		toponmax 14497	. . . . 5 |- ( J e. (TopOn ` X ) -> X e. J )
10		elmapg 6748	. . . . 5 |- ( ( Y e. K /\ X e. J ) -> ( F e. ( Y ^m X ) <-> F : X --> Y ) )
11	8, 9, 10	syl2anr 290	. . . 4 |- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) ) -> ( F e. ( Y ^m X ) <-> F : X --> Y ) )
12	11	anbi1d 465	. . 3 |- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) ) -> ( ( F e. ( Y ^m X ) /\ A. y e. K ( `' F " y ) e. J ) <-> ( F : X --> Y /\ A. y e. K ( `' F " y ) e. J ) ) )
13	7, 12	bitrid 192	. 2 |- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) ) -> ( F e. { f e. ( Y ^m X ) | A. y e. K ( `' f " y ) e. J } <-> ( F : X --> Y /\ A. y e. K ( `' F " y ) e. J ) ) )
14	2, 13	bitrd 188	1 |- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) ) -> ( F e. ( J Cn K ) <-> ( F : X --> Y /\ A. y e. K ( `' F " y ) e. J ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   = wceq 1373   e. wcel 2176   A.wral 2484   {crab 2488   `'ccnv 4674   "cima 4678   -->wf 5267   ` cfv 5271  (class class class)co 5944   ^m cmap 6735  TopOnctopon 14482   Cn ccn 14657

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1470  ax-7 1471  ax-gen 1472  ax-ie1 1516  ax-ie2 1517  ax-8 1527  ax-10 1528  ax-11 1529  ax-i12 1530  ax-bndl 1532  ax-4 1533  ax-17 1549  ax-i9 1553  ax-ial 1557  ax-i5r 1558  ax-13 2178  ax-14 2179  ax-ext 2187  ax-sep 4162  ax-pow 4218  ax-pr 4253  ax-un 4480  ax-setind 4585

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 983  df-tru 1376  df-fal 1379  df-nf 1484  df-sb 1786  df-eu 2057  df-mo 2058  df-clab 2192  df-cleq 2198  df-clel 2201  df-nfc 2337  df-ne 2377  df-ral 2489  df-rex 2490  df-rab 2493  df-v 2774  df-sbc 2999  df-csb 3094  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pw 3618  df-sn 3639  df-pr 3640  df-op 3642  df-uni 3851  df-iun 3929  df-br 4045  df-opab 4106  df-mpt 4107  df-id 4340  df-xp 4681  df-rel 4682  df-cnv 4683  df-co 4684  df-dm 4685  df-rn 4686  df-res 4687  df-ima 4688  df-iota 5232  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-fv 5279  df-ov 5947  df-oprab 5948  df-mpo 5949  df-1st 6226  df-2nd 6227  df-map 6737  df-top 14470  df-topon 14483  df-cn 14660

This theorem is referenced by:  iscn2  14672  cnf2  14677  tgcn  14680  ssidcn  14682  cnntr  14697  cnss1  14698  cnss2  14699  cncnp  14702  cnrest  14707  cnrest2  14708  cndis  14713  tx1cn  14741  tx2cn  14742  txdis1cn  14750