Theorem cnovex 14516

Description: The class of all continuous functions from a topology to another is a set. (Contributed by Jim Kingdon, 14-Dec-2023.)

Assertion

Ref	Expression
cnovex	⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐾 ∈ Top) → (𝐽 Cn 𝐾) ∈ V)

Proof of Theorem cnovex

Dummy variables 𝑓 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		toptopon2 14339	. . 3 ⊢ (𝐽 ∈ Top ↔ 𝐽 ∈ (TopOn‘∪ 𝐽))
2		toptopon2 14339	. . 3 ⊢ (𝐾 ∈ Top ↔ 𝐾 ∈ (TopOn‘∪ 𝐾))
3		cnfval 14514	. . 3 ⊢ ((𝐽 ∈ (TopOn‘∪ 𝐽) ∧ 𝐾 ∈ (TopOn‘∪ 𝐾)) → (𝐽 Cn 𝐾) = {𝑓 ∈ (∪ 𝐾 ↑𝑚 ∪ 𝐽) ∣ ∀𝑦 ∈ 𝐾 (◡𝑓 “ 𝑦) ∈ 𝐽})
4	1, 2, 3	syl2anb 291	. 2 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐾 ∈ Top) → (𝐽 Cn 𝐾) = {𝑓 ∈ (∪ 𝐾 ↑𝑚 ∪ 𝐽) ∣ ∀𝑦 ∈ 𝐾 (◡𝑓 “ 𝑦) ∈ 𝐽})
5		uniexg 4475	. . . . 5 ⊢ (𝐾 ∈ Top → ∪ 𝐾 ∈ V)
6		uniexg 4475	. . . . 5 ⊢ (𝐽 ∈ Top → ∪ 𝐽 ∈ V)
7		mapvalg 6726	. . . . 5 ⊢ ((∪ 𝐾 ∈ V ∧ ∪ 𝐽 ∈ V) → (∪ 𝐾 ↑𝑚 ∪ 𝐽) = {𝑧 ∣ 𝑧:∪ 𝐽⟶∪ 𝐾})
8	5, 6, 7	syl2anr 290	. . . 4 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐾 ∈ Top) → (∪ 𝐾 ↑𝑚 ∪ 𝐽) = {𝑧 ∣ 𝑧:∪ 𝐽⟶∪ 𝐾})
9		mapex 6722	. . . . 5 ⊢ ((∪ 𝐽 ∈ V ∧ ∪ 𝐾 ∈ V) → {𝑧 ∣ 𝑧:∪ 𝐽⟶∪ 𝐾} ∈ V)
10	6, 5, 9	syl2an 289	. . . 4 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐾 ∈ Top) → {𝑧 ∣ 𝑧:∪ 𝐽⟶∪ 𝐾} ∈ V)
11	8, 10	eqeltrd 2273	. . 3 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐾 ∈ Top) → (∪ 𝐾 ↑𝑚 ∪ 𝐽) ∈ V)
12		rabexg 4177	. . 3 ⊢ ((∪ 𝐾 ↑𝑚 ∪ 𝐽) ∈ V → {𝑓 ∈ (∪ 𝐾 ↑𝑚 ∪ 𝐽) ∣ ∀𝑦 ∈ 𝐾 (◡𝑓 “ 𝑦) ∈ 𝐽} ∈ V)
13	11, 12	syl 14	. 2 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐾 ∈ Top) → {𝑓 ∈ (∪ 𝐾 ↑𝑚 ∪ 𝐽) ∣ ∀𝑦 ∈ 𝐾 (◡𝑓 “ 𝑦) ∈ 𝐽} ∈ V)
14	4, 13	eqeltrd 2273	1 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐾 ∈ Top) → (𝐽 Cn 𝐾) ∈ V)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   = wceq 1364   ∈ wcel 2167  {cab 2182  ∀wral 2475  {crab 2479  Vcvv 2763  ∪ cuni 3840  ^◡ccnv 4663   “ cima 4667  ⟶wf 5255  ‘cfv 5259  (class class class)co 5925   ↑_𝑚 cmap 6716  Topctop 14317  TopOnctopon 14330   Cn ccn 14505

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-13 2169  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-sep 4152  ax-pow 4208  ax-pr 4243  ax-un 4469  ax-setind 4574

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1475  df-sb 1777  df-eu 2048  df-mo 2049  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ne 2368  df-ral 2480  df-rex 2481  df-rab 2484  df-v 2765  df-sbc 2990  df-csb 3085  df-dif 3159  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-pw 3608  df-sn 3629  df-pr 3630  df-op 3632  df-uni 3841  df-iun 3919  df-br 4035  df-opab 4096  df-mpt 4097  df-id 4329  df-xp 4670  df-rel 4671  df-cnv 4672  df-co 4673  df-dm 4674  df-rn 4675  df-res 4676  df-ima 4677  df-iota 5220  df-fun 5261  df-fn 5262  df-f 5263  df-fv 5267  df-ov 5928  df-oprab 5929  df-mpo 5930  df-1st 6207  df-2nd 6208  df-map 6718  df-top 14318  df-topon 14331  df-cn 14508

This theorem is referenced by:  hmeofn  14622  hmeofvalg  14623