ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  cnovex GIF version
Theorem cnovex 13735
Description: The class of all continuous functions from a topology to another is a set. (Contributed by Jim Kingdon, 14-Dec-2023.)
Assertion
Ref Expression
cnovex ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐾 ∈ Top) β†’ (𝐽 Cn 𝐾) ∈ V)
Proof of Theorem cnovex
Dummy variables 𝑓 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 toptopon2 13558 . . 3 (𝐽 ∈ Top ↔ 𝐽 ∈ (TopOnβ€˜βˆͺ 𝐽))
2 toptopon2 13558 . . 3 (𝐾 ∈ Top ↔ 𝐾 ∈ (TopOnβ€˜βˆͺ 𝐾))
3 cnfval 13733 . . 3 ((𝐽 ∈ (TopOnβ€˜βˆͺ 𝐽) ∧ 𝐾 ∈ (TopOnβ€˜βˆͺ 𝐾)) β†’ (𝐽 Cn 𝐾) = {𝑓 ∈ (βˆͺ 𝐾 β†‘π‘š βˆͺ 𝐽) ∣ βˆ€π‘¦ ∈ 𝐾 (◑𝑓 β€œ 𝑦) ∈ 𝐽})
41, 2, 3syl2anb 291 . 2 ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐾 ∈ Top) β†’ (𝐽 Cn 𝐾) = {𝑓 ∈ (βˆͺ 𝐾 β†‘π‘š βˆͺ 𝐽) ∣ βˆ€π‘¦ ∈ 𝐾 (◑𝑓 β€œ 𝑦) ∈ 𝐽})
5 uniexg 4441 . . . . 5 (𝐾 ∈ Top β†’ βˆͺ 𝐾 ∈ V)
6 uniexg 4441 . . . . 5 (𝐽 ∈ Top β†’ βˆͺ 𝐽 ∈ V)
7 mapvalg 6660 . . . . 5 ((βˆͺ 𝐾 ∈ V ∧ βˆͺ 𝐽 ∈ V) β†’ (βˆͺ 𝐾 β†‘π‘š βˆͺ 𝐽) = {𝑧 ∣ 𝑧:βˆͺ 𝐽⟢βˆͺ 𝐾})
85, 6, 7syl2anr 290 . . . 4 ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐾 ∈ Top) β†’ (βˆͺ 𝐾 β†‘π‘š βˆͺ 𝐽) = {𝑧 ∣ 𝑧:βˆͺ 𝐽⟢βˆͺ 𝐾})
9 mapex 6656 . . . . 5 ((βˆͺ 𝐽 ∈ V ∧ βˆͺ 𝐾 ∈ V) β†’ {𝑧 ∣ 𝑧:βˆͺ 𝐽⟢βˆͺ 𝐾} ∈ V)
106, 5, 9syl2an 289 . . . 4 ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐾 ∈ Top) β†’ {𝑧 ∣ 𝑧:βˆͺ 𝐽⟢βˆͺ 𝐾} ∈ V)
118, 10eqeltrd 2254 . . 3 ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐾 ∈ Top) β†’ (βˆͺ 𝐾 β†‘π‘š βˆͺ 𝐽) ∈ V)
12 rabexg 4148 . . 3 ((βˆͺ 𝐾 β†‘π‘š βˆͺ 𝐽) ∈ V β†’ {𝑓 ∈ (βˆͺ 𝐾 β†‘π‘š βˆͺ 𝐽) ∣ βˆ€π‘¦ ∈ 𝐾 (◑𝑓 β€œ 𝑦) ∈ 𝐽} ∈ V)
1311, 12syl 14 . 2 ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐾 ∈ Top) β†’ {𝑓 ∈ (βˆͺ 𝐾 β†‘π‘š βˆͺ 𝐽) ∣ βˆ€π‘¦ ∈ 𝐾 (◑𝑓 β€œ 𝑦) ∈ 𝐽} ∈ V)
144, 13eqeltrd 2254 1 ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐾 ∈ Top) β†’ (𝐽 Cn 𝐾) ∈ V)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 104   = wceq 1353   ∈ wcel 2148  {cab 2163  βˆ€wral 2455  {crab 2459  Vcvv 2739  βˆͺ cuni 3811  β—‘ccnv 4627   β€œ cima 4631  βŸΆwf 5214  β€˜cfv 5218  (class class class)co 5877   β†‘π‘š cmap 6650  Topctop 13536  TopOnctopon 13549   Cn ccn 13724
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-sep 4123  ax-pow 4176  ax-pr 4211  ax-un 4435  ax-setind 4538
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-ral 2460  df-rex 2461  df-rab 2464  df-v 2741  df-sbc 2965  df-csb 3060  df-dif 3133  df-un 3135  df-in 3137  df-ss 3144  df-pw 3579  df-sn 3600  df-pr 3601  df-op 3603  df-uni 3812  df-iun 3890  df-br 4006  df-opab 4067  df-mpt 4068  df-id 4295  df-xp 4634  df-rel 4635  df-cnv 4636  df-co 4637  df-dm 4638  df-rn 4639  df-res 4640  df-ima 4641  df-iota 5180  df-fun 5220  df-fn 5221  df-f 5222  df-fv 5226  df-ov 5880  df-oprab 5881  df-mpo 5882  df-1st 6143  df-2nd 6144  df-map 6652  df-top 13537  df-topon 13550  df-cn 13727
This theorem is referenced by:  hmeofn  13841  hmeofvalg  13842
  Copyright terms: Public domain W3C validator