ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  cnovex GIF version

Theorem cnovex 13538
Description: The class of all continuous functions from a topology to another is a set. (Contributed by Jim Kingdon, 14-Dec-2023.)
Assertion
Ref Expression
cnovex ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐾 ∈ Top) → (𝐽 Cn 𝐾) ∈ V)

Proof of Theorem cnovex
Dummy variables 𝑓 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 toptopon2 13359 . . 3 (𝐽 ∈ Top ↔ 𝐽 ∈ (TopOn‘ 𝐽))
2 toptopon2 13359 . . 3 (𝐾 ∈ Top ↔ 𝐾 ∈ (TopOn‘ 𝐾))
3 cnfval 13536 . . 3 ((𝐽 ∈ (TopOn‘ 𝐽) ∧ 𝐾 ∈ (TopOn‘ 𝐾)) → (𝐽 Cn 𝐾) = {𝑓 ∈ ( 𝐾𝑚 𝐽) ∣ ∀𝑦𝐾 (𝑓𝑦) ∈ 𝐽})
41, 2, 3syl2anb 291 . 2 ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐾 ∈ Top) → (𝐽 Cn 𝐾) = {𝑓 ∈ ( 𝐾𝑚 𝐽) ∣ ∀𝑦𝐾 (𝑓𝑦) ∈ 𝐽})
5 uniexg 4437 . . . . 5 (𝐾 ∈ Top → 𝐾 ∈ V)
6 uniexg 4437 . . . . 5 (𝐽 ∈ Top → 𝐽 ∈ V)
7 mapvalg 6653 . . . . 5 (( 𝐾 ∈ V ∧ 𝐽 ∈ V) → ( 𝐾𝑚 𝐽) = {𝑧𝑧: 𝐽 𝐾})
85, 6, 7syl2anr 290 . . . 4 ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐾 ∈ Top) → ( 𝐾𝑚 𝐽) = {𝑧𝑧: 𝐽 𝐾})
9 mapex 6649 . . . . 5 (( 𝐽 ∈ V ∧ 𝐾 ∈ V) → {𝑧𝑧: 𝐽 𝐾} ∈ V)
106, 5, 9syl2an 289 . . . 4 ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐾 ∈ Top) → {𝑧𝑧: 𝐽 𝐾} ∈ V)
118, 10eqeltrd 2254 . . 3 ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐾 ∈ Top) → ( 𝐾𝑚 𝐽) ∈ V)
12 rabexg 4144 . . 3 (( 𝐾𝑚 𝐽) ∈ V → {𝑓 ∈ ( 𝐾𝑚 𝐽) ∣ ∀𝑦𝐾 (𝑓𝑦) ∈ 𝐽} ∈ V)
1311, 12syl 14 . 2 ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐾 ∈ Top) → {𝑓 ∈ ( 𝐾𝑚 𝐽) ∣ ∀𝑦𝐾 (𝑓𝑦) ∈ 𝐽} ∈ V)
144, 13eqeltrd 2254 1 ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐾 ∈ Top) → (𝐽 Cn 𝐾) ∈ V)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 104   = wceq 1353  wcel 2148  {cab 2163  wral 2455  {crab 2459  Vcvv 2737   cuni 3808  ccnv 4623  cima 4627  wf 5209  cfv 5213  (class class class)co 5870  𝑚 cmap 6643  Topctop 13337  TopOnctopon 13350   Cn ccn 13527
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-sep 4119  ax-pow 4172  ax-pr 4207  ax-un 4431  ax-setind 4534
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-ral 2460  df-rex 2461  df-rab 2464  df-v 2739  df-sbc 2963  df-csb 3058  df-dif 3131  df-un 3133  df-in 3135  df-ss 3142  df-pw 3577  df-sn 3598  df-pr 3599  df-op 3601  df-uni 3809  df-iun 3887  df-br 4002  df-opab 4063  df-mpt 4064  df-id 4291  df-xp 4630  df-rel 4631  df-cnv 4632  df-co 4633  df-dm 4634  df-rn 4635  df-res 4636  df-ima 4637  df-iota 5175  df-fun 5215  df-fn 5216  df-f 5217  df-fv 5221  df-ov 5873  df-oprab 5874  df-mpo 5875  df-1st 6136  df-2nd 6137  df-map 6645  df-top 13338  df-topon 13351  df-cn 13530
This theorem is referenced by:  hmeofn  13644  hmeofvalg  13645
  Copyright terms: Public domain W3C validator