Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  cnovex GIF version

Theorem cnovex 12354
 Description: The class of all continuous functions from a topology to another is a set. (Contributed by Jim Kingdon, 14-Dec-2023.)
Assertion
Ref Expression
cnovex ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐾 ∈ Top) → (𝐽 Cn 𝐾) ∈ V)

Proof of Theorem cnovex
Dummy variables 𝑓 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 toptopon2 12175 . . 3 (𝐽 ∈ Top ↔ 𝐽 ∈ (TopOn‘ 𝐽))
2 toptopon2 12175 . . 3 (𝐾 ∈ Top ↔ 𝐾 ∈ (TopOn‘ 𝐾))
3 cnfval 12352 . . 3 ((𝐽 ∈ (TopOn‘ 𝐽) ∧ 𝐾 ∈ (TopOn‘ 𝐾)) → (𝐽 Cn 𝐾) = {𝑓 ∈ ( 𝐾𝑚 𝐽) ∣ ∀𝑦𝐾 (𝑓𝑦) ∈ 𝐽})
41, 2, 3syl2anb 289 . 2 ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐾 ∈ Top) → (𝐽 Cn 𝐾) = {𝑓 ∈ ( 𝐾𝑚 𝐽) ∣ ∀𝑦𝐾 (𝑓𝑦) ∈ 𝐽})
5 uniexg 4356 . . . . 5 (𝐾 ∈ Top → 𝐾 ∈ V)
6 uniexg 4356 . . . . 5 (𝐽 ∈ Top → 𝐽 ∈ V)
7 mapvalg 6545 . . . . 5 (( 𝐾 ∈ V ∧ 𝐽 ∈ V) → ( 𝐾𝑚 𝐽) = {𝑧𝑧: 𝐽 𝐾})
85, 6, 7syl2anr 288 . . . 4 ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐾 ∈ Top) → ( 𝐾𝑚 𝐽) = {𝑧𝑧: 𝐽 𝐾})
9 mapex 6541 . . . . 5 (( 𝐽 ∈ V ∧ 𝐾 ∈ V) → {𝑧𝑧: 𝐽 𝐾} ∈ V)
106, 5, 9syl2an 287 . . . 4 ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐾 ∈ Top) → {𝑧𝑧: 𝐽 𝐾} ∈ V)
118, 10eqeltrd 2214 . . 3 ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐾 ∈ Top) → ( 𝐾𝑚 𝐽) ∈ V)
12 rabexg 4066 . . 3 (( 𝐾𝑚 𝐽) ∈ V → {𝑓 ∈ ( 𝐾𝑚 𝐽) ∣ ∀𝑦𝐾 (𝑓𝑦) ∈ 𝐽} ∈ V)
1311, 12syl 14 . 2 ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐾 ∈ Top) → {𝑓 ∈ ( 𝐾𝑚 𝐽) ∣ ∀𝑦𝐾 (𝑓𝑦) ∈ 𝐽} ∈ V)
144, 13eqeltrd 2214 1 ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐾 ∈ Top) → (𝐽 Cn 𝐾) ∈ V)
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 103   = wceq 1331   ∈ wcel 1480  {cab 2123  ∀wral 2414  {crab 2418  Vcvv 2681  ∪ cuni 3731  ◡ccnv 4533   “ cima 4537  ⟶wf 5114  ‘cfv 5118  (class class class)co 5767   ↑𝑚 cmap 6535  Topctop 12153  TopOnctopon 12166   Cn ccn 12343 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2119  ax-sep 4041  ax-pow 4093  ax-pr 4126  ax-un 4350  ax-setind 4447 This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 964  df-tru 1334  df-fal 1337  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2000  df-mo 2001  df-clab 2124  df-cleq 2130  df-clel 2133  df-nfc 2268  df-ne 2307  df-ral 2419  df-rex 2420  df-rab 2423  df-v 2683  df-sbc 2905  df-csb 2999  df-dif 3068  df-un 3070  df-in 3072  df-ss 3079  df-pw 3507  df-sn 3528  df-pr 3529  df-op 3531  df-uni 3732  df-iun 3810  df-br 3925  df-opab 3985  df-mpt 3986  df-id 4210  df-xp 4540  df-rel 4541  df-cnv 4542  df-co 4543  df-dm 4544  df-rn 4545  df-res 4546  df-ima 4547  df-iota 5083  df-fun 5120  df-fn 5121  df-f 5122  df-fv 5126  df-ov 5770  df-oprab 5771  df-mpo 5772  df-1st 6031  df-2nd 6032  df-map 6537  df-top 12154  df-topon 12167  df-cn 12346 This theorem is referenced by:  hmeofn  12460  hmeofvalg  12461
 Copyright terms: Public domain W3C validator