ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  cnovex GIF version

Theorem cnovex 12763
Description: The class of all continuous functions from a topology to another is a set. (Contributed by Jim Kingdon, 14-Dec-2023.)
Assertion
Ref Expression
cnovex ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐾 ∈ Top) → (𝐽 Cn 𝐾) ∈ V)

Proof of Theorem cnovex
Dummy variables 𝑓 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 toptopon2 12584 . . 3 (𝐽 ∈ Top ↔ 𝐽 ∈ (TopOn‘ 𝐽))
2 toptopon2 12584 . . 3 (𝐾 ∈ Top ↔ 𝐾 ∈ (TopOn‘ 𝐾))
3 cnfval 12761 . . 3 ((𝐽 ∈ (TopOn‘ 𝐽) ∧ 𝐾 ∈ (TopOn‘ 𝐾)) → (𝐽 Cn 𝐾) = {𝑓 ∈ ( 𝐾𝑚 𝐽) ∣ ∀𝑦𝐾 (𝑓𝑦) ∈ 𝐽})
41, 2, 3syl2anb 289 . 2 ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐾 ∈ Top) → (𝐽 Cn 𝐾) = {𝑓 ∈ ( 𝐾𝑚 𝐽) ∣ ∀𝑦𝐾 (𝑓𝑦) ∈ 𝐽})
5 uniexg 4412 . . . . 5 (𝐾 ∈ Top → 𝐾 ∈ V)
6 uniexg 4412 . . . . 5 (𝐽 ∈ Top → 𝐽 ∈ V)
7 mapvalg 6616 . . . . 5 (( 𝐾 ∈ V ∧ 𝐽 ∈ V) → ( 𝐾𝑚 𝐽) = {𝑧𝑧: 𝐽 𝐾})
85, 6, 7syl2anr 288 . . . 4 ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐾 ∈ Top) → ( 𝐾𝑚 𝐽) = {𝑧𝑧: 𝐽 𝐾})
9 mapex 6612 . . . . 5 (( 𝐽 ∈ V ∧ 𝐾 ∈ V) → {𝑧𝑧: 𝐽 𝐾} ∈ V)
106, 5, 9syl2an 287 . . . 4 ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐾 ∈ Top) → {𝑧𝑧: 𝐽 𝐾} ∈ V)
118, 10eqeltrd 2241 . . 3 ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐾 ∈ Top) → ( 𝐾𝑚 𝐽) ∈ V)
12 rabexg 4120 . . 3 (( 𝐾𝑚 𝐽) ∈ V → {𝑓 ∈ ( 𝐾𝑚 𝐽) ∣ ∀𝑦𝐾 (𝑓𝑦) ∈ 𝐽} ∈ V)
1311, 12syl 14 . 2 ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐾 ∈ Top) → {𝑓 ∈ ( 𝐾𝑚 𝐽) ∣ ∀𝑦𝐾 (𝑓𝑦) ∈ 𝐽} ∈ V)
144, 13eqeltrd 2241 1 ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐾 ∈ Top) → (𝐽 Cn 𝐾) ∈ V)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 103   = wceq 1342  wcel 2135  {cab 2150  wral 2442  {crab 2446  Vcvv 2722   cuni 3784  ccnv 4598  cima 4602  wf 5179  cfv 5183  (class class class)co 5837  𝑚 cmap 6606  Topctop 12562  TopOnctopon 12575   Cn ccn 12752
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1434  ax-7 1435  ax-gen 1436  ax-ie1 1480  ax-ie2 1481  ax-8 1491  ax-10 1492  ax-11 1493  ax-i12 1494  ax-bndl 1496  ax-4 1497  ax-17 1513  ax-i9 1517  ax-ial 1521  ax-i5r 1522  ax-13 2137  ax-14 2138  ax-ext 2146  ax-sep 4095  ax-pow 4148  ax-pr 4182  ax-un 4406  ax-setind 4509
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 969  df-tru 1345  df-fal 1348  df-nf 1448  df-sb 1750  df-eu 2016  df-mo 2017  df-clab 2151  df-cleq 2157  df-clel 2160  df-nfc 2295  df-ne 2335  df-ral 2447  df-rex 2448  df-rab 2451  df-v 2724  df-sbc 2948  df-csb 3042  df-dif 3114  df-un 3116  df-in 3118  df-ss 3125  df-pw 3556  df-sn 3577  df-pr 3578  df-op 3580  df-uni 3785  df-iun 3863  df-br 3978  df-opab 4039  df-mpt 4040  df-id 4266  df-xp 4605  df-rel 4606  df-cnv 4607  df-co 4608  df-dm 4609  df-rn 4610  df-res 4611  df-ima 4612  df-iota 5148  df-fun 5185  df-fn 5186  df-f 5187  df-fv 5191  df-ov 5840  df-oprab 5841  df-mpo 5842  df-1st 6101  df-2nd 6102  df-map 6608  df-top 12563  df-topon 12576  df-cn 12755
This theorem is referenced by:  hmeofn  12869  hmeofvalg  12870
  Copyright terms: Public domain W3C validator