Theorem decadd 9435

Description: Add two numerals M and N (no carry). (Contributed by Mario Carneiro, 18-Feb-2014.) (Revised by AV, 6-Sep-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
decma.a	|- A e. NN0
decma.b	|- B e. NN0
decma.c	|- C e. NN0
decma.d	|- D e. NN0
decma.m	|- M = ; A B
decma.n	|- N = ; C D
decadd.e	|- ( A + C ) = E
decadd.f	|- ( B + D ) = F

Assertion

Ref	Expression
decadd	|- ( M + N ) = ; E F

Proof of Theorem decadd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		10nn0 9399	. . 3 |- ; 1 0 e. NN0
2		decma.a	. . 3 |- A e. NN0
3		decma.b	. . 3 |- B e. NN0
4		decma.c	. . 3 |- C e. NN0
5		decma.d	. . 3 |- D e. NN0
6		decma.m	. . . 4 |- M = ; A B
7		dfdec10 9385	. . . 4 |- ; A B = ( (; 1 0 x. A ) + B )
8	6, 7	eqtri 2198	. . 3 |- M = ( (; 1 0 x. A ) + B )
9		decma.n	. . . 4 |- N = ; C D
10		dfdec10 9385	. . . 4 |- ; C D = ( (; 1 0 x. C ) + D )
11	9, 10	eqtri 2198	. . 3 |- N = ( (; 1 0 x. C ) + D )
12		decadd.e	. . 3 |- ( A + C ) = E
13		decadd.f	. . 3 |- ( B + D ) = F
14	1, 2, 3, 4, 5, 8, 11, 12, 13	numadd 9428	. 2 |- ( M + N ) = ( (; 1 0 x. E ) + F )
15		dfdec10 9385	. 2 |- ; E F = ( (; 1 0 x. E ) + F )
16	14, 15	eqtr4i 2201	1 |- ( M + N ) = ; E F

Syntax hints:   = wceq 1353   e. wcel 2148  (class class class)co 5874   0cc0 7810   1c1 7811   + caddc 7813   x. cmul 7815   NN0cn0 9174  ;cdc 9382

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-sep 4121  ax-pow 4174  ax-pr 4209  ax-setind 4536  ax-cnex 7901  ax-resscn 7902  ax-1cn 7903  ax-1re 7904  ax-icn 7905  ax-addcl 7906  ax-addrcl 7907  ax-mulcl 7908  ax-addcom 7910  ax-mulcom 7911  ax-addass 7912  ax-mulass 7913  ax-distr 7914  ax-i2m1 7915  ax-1rid 7917  ax-0id 7918  ax-rnegex 7919  ax-cnre 7921

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rab 2464  df-v 2739  df-sbc 2963  df-dif 3131  df-un 3133  df-in 3135  df-ss 3142  df-pw 3577  df-sn 3598  df-pr 3599  df-op 3601  df-uni 3810  df-int 3845  df-br 4004  df-opab 4065  df-id 4293  df-xp 4632  df-rel 4633  df-cnv 4634  df-co 4635  df-dm 4636  df-iota 5178  df-fun 5218  df-fv 5224  df-riota 5830  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpo 5879  df-sub 8128  df-inn 8918  df-2 8976  df-3 8977  df-4 8978  df-5 8979  df-6 8980  df-7 8981  df-8 8982  df-9 8983  df-n0 9175  df-dec 9383

This theorem is referenced by:  decaddm10  9440  decaddi  9441  10p10e20  9476  1kp2ke3k  14358