Theorem decadd 9510

Description: Add two numerals M and N (no carry). (Contributed by Mario Carneiro, 18-Feb-2014.) (Revised by AV, 6-Sep-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
decma.a	|- A e. NN0
decma.b	|- B e. NN0
decma.c	|- C e. NN0
decma.d	|- D e. NN0
decma.m	|- M = ; A B
decma.n	|- N = ; C D
decadd.e	|- ( A + C ) = E
decadd.f	|- ( B + D ) = F

Assertion

Ref	Expression
decadd	|- ( M + N ) = ; E F

Proof of Theorem decadd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		10nn0 9474	. . 3 |- ; 1 0 e. NN0
2		decma.a	. . 3 |- A e. NN0
3		decma.b	. . 3 |- B e. NN0
4		decma.c	. . 3 |- C e. NN0
5		decma.d	. . 3 |- D e. NN0
6		decma.m	. . . 4 |- M = ; A B
7		dfdec10 9460	. . . 4 |- ; A B = ( (; 1 0 x. A ) + B )
8	6, 7	eqtri 2217	. . 3 |- M = ( (; 1 0 x. A ) + B )
9		decma.n	. . . 4 |- N = ; C D
10		dfdec10 9460	. . . 4 |- ; C D = ( (; 1 0 x. C ) + D )
11	9, 10	eqtri 2217	. . 3 |- N = ( (; 1 0 x. C ) + D )
12		decadd.e	. . 3 |- ( A + C ) = E
13		decadd.f	. . 3 |- ( B + D ) = F
14	1, 2, 3, 4, 5, 8, 11, 12, 13	numadd 9503	. 2 |- ( M + N ) = ( (; 1 0 x. E ) + F )
15		dfdec10 9460	. 2 |- ; E F = ( (; 1 0 x. E ) + F )
16	14, 15	eqtr4i 2220	1 |- ( M + N ) = ; E F

Syntax hints:   = wceq 1364   e. wcel 2167  (class class class)co 5922   0cc0 7879   1c1 7880   + caddc 7882   x. cmul 7884   NN0cn0 9249  ;cdc 9457

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-sep 4151  ax-pow 4207  ax-pr 4242  ax-setind 4573  ax-cnex 7970  ax-resscn 7971  ax-1cn 7972  ax-1re 7973  ax-icn 7974  ax-addcl 7975  ax-addrcl 7976  ax-mulcl 7977  ax-addcom 7979  ax-mulcom 7980  ax-addass 7981  ax-mulass 7982  ax-distr 7983  ax-i2m1 7984  ax-1rid 7986  ax-0id 7987  ax-rnegex 7988  ax-cnre 7990

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1475  df-sb 1777  df-eu 2048  df-mo 2049  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ne 2368  df-ral 2480  df-rex 2481  df-reu 2482  df-rab 2484  df-v 2765  df-sbc 2990  df-dif 3159  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-pw 3607  df-sn 3628  df-pr 3629  df-op 3631  df-uni 3840  df-int 3875  df-br 4034  df-opab 4095  df-id 4328  df-xp 4669  df-rel 4670  df-cnv 4671  df-co 4672  df-dm 4673  df-iota 5219  df-fun 5260  df-fv 5266  df-riota 5877  df-ov 5925  df-oprab 5926  df-mpo 5927  df-sub 8199  df-inn 8991  df-2 9049  df-3 9050  df-4 9051  df-5 9052  df-6 9053  df-7 9054  df-8 9055  df-9 9056  df-n0 9250  df-dec 9458

This theorem is referenced by:  decaddm10  9515  decaddi  9516  10p10e20  9551  dec5dvds2  12582  2exp16  12606  1kp2ke3k  15370