Theorem decaddc 9376

Description: Add two numerals 𝑀 and 𝑁 (with carry). (Contributed by Mario Carneiro, 18-Feb-2014.) (Revised by AV, 6-Sep-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
decma.a	⊢ 𝐴 ∈ ℕ0
decma.b	⊢ 𝐵 ∈ ℕ0
decma.c	⊢ 𝐶 ∈ ℕ0
decma.d	⊢ 𝐷 ∈ ℕ0
decma.m	⊢ 𝑀 = ;𝐴𝐵
decma.n	⊢ 𝑁 = ;𝐶𝐷
decaddc.e	⊢ ((𝐴 + 𝐶) + 1) = 𝐸
decaddc.f	⊢ 𝐹 ∈ ℕ0
decaddc.2	⊢ (𝐵 + 𝐷) = ;1𝐹

Assertion

Ref	Expression
decaddc	⊢ (𝑀 + 𝑁) = ;𝐸𝐹

Proof of Theorem decaddc

Step	Hyp	Ref	Expression
1		10nn0 9339	. . 3 ⊢ ;10 ∈ ℕ0
2		decma.a	. . 3 ⊢ 𝐴 ∈ ℕ0
3		decma.b	. . 3 ⊢ 𝐵 ∈ ℕ0
4		decma.c	. . 3 ⊢ 𝐶 ∈ ℕ0
5		decma.d	. . 3 ⊢ 𝐷 ∈ ℕ0
6		decma.m	. . . 4 ⊢ 𝑀 = ;𝐴𝐵
7		dfdec10 9325	. . . 4 ⊢ ;𝐴𝐵 = ((;10 · 𝐴) + 𝐵)
8	6, 7	eqtri 2186	. . 3 ⊢ 𝑀 = ((;10 · 𝐴) + 𝐵)
9		decma.n	. . . 4 ⊢ 𝑁 = ;𝐶𝐷
10		dfdec10 9325	. . . 4 ⊢ ;𝐶𝐷 = ((;10 · 𝐶) + 𝐷)
11	9, 10	eqtri 2186	. . 3 ⊢ 𝑁 = ((;10 · 𝐶) + 𝐷)
12		decaddc.f	. . 3 ⊢ 𝐹 ∈ ℕ0
13		decaddc.e	. . 3 ⊢ ((𝐴 + 𝐶) + 1) = 𝐸
14		decaddc.2	. . . 4 ⊢ (𝐵 + 𝐷) = ;1𝐹
15		dfdec10 9325	. . . 4 ⊢ ;1𝐹 = ((;10 · 1) + 𝐹)
16	14, 15	eqtri 2186	. . 3 ⊢ (𝐵 + 𝐷) = ((;10 · 1) + 𝐹)
17	1, 2, 3, 4, 5, 8, 11, 12, 13, 16	numaddc 9369	. 2 ⊢ (𝑀 + 𝑁) = ((;10 · 𝐸) + 𝐹)
18		dfdec10 9325	. 2 ⊢ ;𝐸𝐹 = ((;10 · 𝐸) + 𝐹)
19	17, 18	eqtr4i 2189	1 ⊢ (𝑀 + 𝑁) = ;𝐸𝐹

Syntax hints:   = wceq 1343   ∈ wcel 2136  (class class class)co 5842  0cc0 7753  1c1 7754   + caddc 7756   · cmul 7758  ℕ₀cn0 9114  ;cdc 9322

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1435  ax-7 1436  ax-gen 1437  ax-ie1 1481  ax-ie2 1482  ax-8 1492  ax-10 1493  ax-11 1494  ax-i12 1495  ax-bndl 1497  ax-4 1498  ax-17 1514  ax-i9 1518  ax-ial 1522  ax-i5r 1523  ax-14 2139  ax-ext 2147  ax-sep 4100  ax-pow 4153  ax-pr 4187  ax-setind 4514  ax-cnex 7844  ax-resscn 7845  ax-1cn 7846  ax-1re 7847  ax-icn 7848  ax-addcl 7849  ax-addrcl 7850  ax-mulcl 7851  ax-addcom 7853  ax-mulcom 7854  ax-addass 7855  ax-mulass 7856  ax-distr 7857  ax-i2m1 7858  ax-1rid 7860  ax-0id 7861  ax-rnegex 7862  ax-cnre 7864

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 970  df-tru 1346  df-fal 1349  df-nf 1449  df-sb 1751  df-eu 2017  df-mo 2018  df-clab 2152  df-cleq 2158  df-clel 2161  df-nfc 2297  df-ne 2337  df-ral 2449  df-rex 2450  df-reu 2451  df-rab 2453  df-v 2728  df-sbc 2952  df-dif 3118  df-un 3120  df-in 3122  df-ss 3129  df-pw 3561  df-sn 3582  df-pr 3583  df-op 3585  df-uni 3790  df-int 3825  df-br 3983  df-opab 4044  df-id 4271  df-xp 4610  df-rel 4611  df-cnv 4612  df-co 4613  df-dm 4614  df-iota 5153  df-fun 5190  df-fv 5196  df-riota 5798  df-ov 5845  df-oprab 5846  df-mpo 5847  df-sub 8071  df-inn 8858  df-2 8916  df-3 8917  df-4 8918  df-5 8919  df-6 8920  df-7 8921  df-8 8922  df-9 8923  df-n0 9115  df-dec 9323

This theorem is referenced by:  decaddc2  9377  decaddci  9382