![]() |
Intuitionistic Logic Explorer |
< Previous
Next >
Nearby theorems |
|
Mirrors > Home > ILE Home > Th. List > decaddc | GIF version |
Description: Add two numerals ๐ and ๐ (with carry). (Contributed by Mario Carneiro, 18-Feb-2014.) (Revised by AV, 6-Sep-2021.) |
Ref | Expression |
---|---|
decma.a | โข ๐ด โ โ0 |
decma.b | โข ๐ต โ โ0 |
decma.c | โข ๐ถ โ โ0 |
decma.d | โข ๐ท โ โ0 |
decma.m | โข ๐ = ;๐ด๐ต |
decma.n | โข ๐ = ;๐ถ๐ท |
decaddc.e | โข ((๐ด + ๐ถ) + 1) = ๐ธ |
decaddc.f | โข ๐น โ โ0 |
decaddc.2 | โข (๐ต + ๐ท) = ;1๐น |
Ref | Expression |
---|---|
decaddc | โข (๐ + ๐) = ;๐ธ๐น |
Step | Hyp | Ref | Expression |
---|---|---|---|
1 | 10nn0 9404 | . . 3 โข ;10 โ โ0 | |
2 | decma.a | . . 3 โข ๐ด โ โ0 | |
3 | decma.b | . . 3 โข ๐ต โ โ0 | |
4 | decma.c | . . 3 โข ๐ถ โ โ0 | |
5 | decma.d | . . 3 โข ๐ท โ โ0 | |
6 | decma.m | . . . 4 โข ๐ = ;๐ด๐ต | |
7 | dfdec10 9390 | . . . 4 โข ;๐ด๐ต = ((;10 ยท ๐ด) + ๐ต) | |
8 | 6, 7 | eqtri 2198 | . . 3 โข ๐ = ((;10 ยท ๐ด) + ๐ต) |
9 | decma.n | . . . 4 โข ๐ = ;๐ถ๐ท | |
10 | dfdec10 9390 | . . . 4 โข ;๐ถ๐ท = ((;10 ยท ๐ถ) + ๐ท) | |
11 | 9, 10 | eqtri 2198 | . . 3 โข ๐ = ((;10 ยท ๐ถ) + ๐ท) |
12 | decaddc.f | . . 3 โข ๐น โ โ0 | |
13 | decaddc.e | . . 3 โข ((๐ด + ๐ถ) + 1) = ๐ธ | |
14 | decaddc.2 | . . . 4 โข (๐ต + ๐ท) = ;1๐น | |
15 | dfdec10 9390 | . . . 4 โข ;1๐น = ((;10 ยท 1) + ๐น) | |
16 | 14, 15 | eqtri 2198 | . . 3 โข (๐ต + ๐ท) = ((;10 ยท 1) + ๐น) |
17 | 1, 2, 3, 4, 5, 8, 11, 12, 13, 16 | numaddc 9434 | . 2 โข (๐ + ๐) = ((;10 ยท ๐ธ) + ๐น) |
18 | dfdec10 9390 | . 2 โข ;๐ธ๐น = ((;10 ยท ๐ธ) + ๐น) | |
19 | 17, 18 | eqtr4i 2201 | 1 โข (๐ + ๐) = ;๐ธ๐น |
Colors of variables: wff set class |
Syntax hints: = wceq 1353 โ wcel 2148 (class class class)co 5878 0cc0 7814 1c1 7815 + caddc 7817 ยท cmul 7819 โ0cn0 9179 ;cdc 9387 |
This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-ia1 106 ax-ia2 107 ax-ia3 108 ax-in1 614 ax-in2 615 ax-io 709 ax-5 1447 ax-7 1448 ax-gen 1449 ax-ie1 1493 ax-ie2 1494 ax-8 1504 ax-10 1505 ax-11 1506 ax-i12 1507 ax-bndl 1509 ax-4 1510 ax-17 1526 ax-i9 1530 ax-ial 1534 ax-i5r 1535 ax-14 2151 ax-ext 2159 ax-sep 4123 ax-pow 4176 ax-pr 4211 ax-setind 4538 ax-cnex 7905 ax-resscn 7906 ax-1cn 7907 ax-1re 7908 ax-icn 7909 ax-addcl 7910 ax-addrcl 7911 ax-mulcl 7912 ax-addcom 7914 ax-mulcom 7915 ax-addass 7916 ax-mulass 7917 ax-distr 7918 ax-i2m1 7919 ax-1rid 7921 ax-0id 7922 ax-rnegex 7923 ax-cnre 7925 |
This theorem depends on definitions: df-bi 117 df-3an 980 df-tru 1356 df-fal 1359 df-nf 1461 df-sb 1763 df-eu 2029 df-mo 2030 df-clab 2164 df-cleq 2170 df-clel 2173 df-nfc 2308 df-ne 2348 df-ral 2460 df-rex 2461 df-reu 2462 df-rab 2464 df-v 2741 df-sbc 2965 df-dif 3133 df-un 3135 df-in 3137 df-ss 3144 df-pw 3579 df-sn 3600 df-pr 3601 df-op 3603 df-uni 3812 df-int 3847 df-br 4006 df-opab 4067 df-id 4295 df-xp 4634 df-rel 4635 df-cnv 4636 df-co 4637 df-dm 4638 df-iota 5180 df-fun 5220 df-fv 5226 df-riota 5834 df-ov 5881 df-oprab 5882 df-mpo 5883 df-sub 8133 df-inn 8923 df-2 8981 df-3 8982 df-4 8983 df-5 8984 df-6 8985 df-7 8986 df-8 8987 df-9 8988 df-n0 9180 df-dec 9388 |
This theorem is referenced by: decaddc2 9442 decaddci 9447 |
Copyright terms: Public domain | W3C validator |