ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  decaddc GIF version

Theorem decaddc 9441
Description: Add two numerals ๐‘€ and ๐‘ (with carry). (Contributed by Mario Carneiro, 18-Feb-2014.) (Revised by AV, 6-Sep-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
decma.a ๐ด โˆˆ โ„•0
decma.b ๐ต โˆˆ โ„•0
decma.c ๐ถ โˆˆ โ„•0
decma.d ๐ท โˆˆ โ„•0
decma.m ๐‘€ = ๐ด๐ต
decma.n ๐‘ = ๐ถ๐ท
decaddc.e ((๐ด + ๐ถ) + 1) = ๐ธ
decaddc.f ๐น โˆˆ โ„•0
decaddc.2 (๐ต + ๐ท) = 1๐น
Assertion
Ref Expression
decaddc (๐‘€ + ๐‘) = ๐ธ๐น

Proof of Theorem decaddc
StepHypRef Expression
1 10nn0 9404 . . 3 10 โˆˆ โ„•0
2 decma.a . . 3 ๐ด โˆˆ โ„•0
3 decma.b . . 3 ๐ต โˆˆ โ„•0
4 decma.c . . 3 ๐ถ โˆˆ โ„•0
5 decma.d . . 3 ๐ท โˆˆ โ„•0
6 decma.m . . . 4 ๐‘€ = ๐ด๐ต
7 dfdec10 9390 . . . 4 ๐ด๐ต = ((10 ยท ๐ด) + ๐ต)
86, 7eqtri 2198 . . 3 ๐‘€ = ((10 ยท ๐ด) + ๐ต)
9 decma.n . . . 4 ๐‘ = ๐ถ๐ท
10 dfdec10 9390 . . . 4 ๐ถ๐ท = ((10 ยท ๐ถ) + ๐ท)
119, 10eqtri 2198 . . 3 ๐‘ = ((10 ยท ๐ถ) + ๐ท)
12 decaddc.f . . 3 ๐น โˆˆ โ„•0
13 decaddc.e . . 3 ((๐ด + ๐ถ) + 1) = ๐ธ
14 decaddc.2 . . . 4 (๐ต + ๐ท) = 1๐น
15 dfdec10 9390 . . . 4 1๐น = ((10 ยท 1) + ๐น)
1614, 15eqtri 2198 . . 3 (๐ต + ๐ท) = ((10 ยท 1) + ๐น)
171, 2, 3, 4, 5, 8, 11, 12, 13, 16numaddc 9434 . 2 (๐‘€ + ๐‘) = ((10 ยท ๐ธ) + ๐น)
18 dfdec10 9390 . 2 ๐ธ๐น = ((10 ยท ๐ธ) + ๐น)
1917, 18eqtr4i 2201 1 (๐‘€ + ๐‘) = ๐ธ๐น
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   = wceq 1353   โˆˆ wcel 2148  (class class class)co 5878  0cc0 7814  1c1 7815   + caddc 7817   ยท cmul 7819  โ„•0cn0 9179  cdc 9387
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-sep 4123  ax-pow 4176  ax-pr 4211  ax-setind 4538  ax-cnex 7905  ax-resscn 7906  ax-1cn 7907  ax-1re 7908  ax-icn 7909  ax-addcl 7910  ax-addrcl 7911  ax-mulcl 7912  ax-addcom 7914  ax-mulcom 7915  ax-addass 7916  ax-mulass 7917  ax-distr 7918  ax-i2m1 7919  ax-1rid 7921  ax-0id 7922  ax-rnegex 7923  ax-cnre 7925
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rab 2464  df-v 2741  df-sbc 2965  df-dif 3133  df-un 3135  df-in 3137  df-ss 3144  df-pw 3579  df-sn 3600  df-pr 3601  df-op 3603  df-uni 3812  df-int 3847  df-br 4006  df-opab 4067  df-id 4295  df-xp 4634  df-rel 4635  df-cnv 4636  df-co 4637  df-dm 4638  df-iota 5180  df-fun 5220  df-fv 5226  df-riota 5834  df-ov 5881  df-oprab 5882  df-mpo 5883  df-sub 8133  df-inn 8923  df-2 8981  df-3 8982  df-4 8983  df-5 8984  df-6 8985  df-7 8986  df-8 8987  df-9 8988  df-n0 9180  df-dec 9388
This theorem is referenced by:  decaddc2  9442  decaddci  9447
  Copyright terms: Public domain W3C validator