ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  decaddc GIF version

Theorem decaddc 9436
Description: Add two numerals 𝑀 and 𝑁 (with carry). (Contributed by Mario Carneiro, 18-Feb-2014.) (Revised by AV, 6-Sep-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
decma.a 𝐴 ∈ ℕ0
decma.b 𝐵 ∈ ℕ0
decma.c 𝐶 ∈ ℕ0
decma.d 𝐷 ∈ ℕ0
decma.m 𝑀 = 𝐴𝐵
decma.n 𝑁 = 𝐶𝐷
decaddc.e ((𝐴 + 𝐶) + 1) = 𝐸
decaddc.f 𝐹 ∈ ℕ0
decaddc.2 (𝐵 + 𝐷) = 1𝐹
Assertion
Ref Expression
decaddc (𝑀 + 𝑁) = 𝐸𝐹

Proof of Theorem decaddc
StepHypRef Expression
1 10nn0 9399 . . 3 10 ∈ ℕ0
2 decma.a . . 3 𝐴 ∈ ℕ0
3 decma.b . . 3 𝐵 ∈ ℕ0
4 decma.c . . 3 𝐶 ∈ ℕ0
5 decma.d . . 3 𝐷 ∈ ℕ0
6 decma.m . . . 4 𝑀 = 𝐴𝐵
7 dfdec10 9385 . . . 4 𝐴𝐵 = ((10 · 𝐴) + 𝐵)
86, 7eqtri 2198 . . 3 𝑀 = ((10 · 𝐴) + 𝐵)
9 decma.n . . . 4 𝑁 = 𝐶𝐷
10 dfdec10 9385 . . . 4 𝐶𝐷 = ((10 · 𝐶) + 𝐷)
119, 10eqtri 2198 . . 3 𝑁 = ((10 · 𝐶) + 𝐷)
12 decaddc.f . . 3 𝐹 ∈ ℕ0
13 decaddc.e . . 3 ((𝐴 + 𝐶) + 1) = 𝐸
14 decaddc.2 . . . 4 (𝐵 + 𝐷) = 1𝐹
15 dfdec10 9385 . . . 4 1𝐹 = ((10 · 1) + 𝐹)
1614, 15eqtri 2198 . . 3 (𝐵 + 𝐷) = ((10 · 1) + 𝐹)
171, 2, 3, 4, 5, 8, 11, 12, 13, 16numaddc 9429 . 2 (𝑀 + 𝑁) = ((10 · 𝐸) + 𝐹)
18 dfdec10 9385 . 2 𝐸𝐹 = ((10 · 𝐸) + 𝐹)
1917, 18eqtr4i 2201 1 (𝑀 + 𝑁) = 𝐸𝐹
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   = wceq 1353  wcel 2148  (class class class)co 5874  0cc0 7810  1c1 7811   + caddc 7813   · cmul 7815  0cn0 9174  cdc 9382
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-sep 4121  ax-pow 4174  ax-pr 4209  ax-setind 4536  ax-cnex 7901  ax-resscn 7902  ax-1cn 7903  ax-1re 7904  ax-icn 7905  ax-addcl 7906  ax-addrcl 7907  ax-mulcl 7908  ax-addcom 7910  ax-mulcom 7911  ax-addass 7912  ax-mulass 7913  ax-distr 7914  ax-i2m1 7915  ax-1rid 7917  ax-0id 7918  ax-rnegex 7919  ax-cnre 7921
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rab 2464  df-v 2739  df-sbc 2963  df-dif 3131  df-un 3133  df-in 3135  df-ss 3142  df-pw 3577  df-sn 3598  df-pr 3599  df-op 3601  df-uni 3810  df-int 3845  df-br 4004  df-opab 4065  df-id 4293  df-xp 4632  df-rel 4633  df-cnv 4634  df-co 4635  df-dm 4636  df-iota 5178  df-fun 5218  df-fv 5224  df-riota 5830  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpo 5879  df-sub 8128  df-inn 8918  df-2 8976  df-3 8977  df-4 8978  df-5 8979  df-6 8980  df-7 8981  df-8 8982  df-9 8983  df-n0 9175  df-dec 9383
This theorem is referenced by:  decaddc2  9437  decaddci  9442
  Copyright terms: Public domain W3C validator