Theorem numaddc 9222

Description: Add two decimal integers M and N (with carry). (Contributed by Mario Carneiro, 18-Feb-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
numma.1	|- T e. NN0
numma.2	|- A e. NN0
numma.3	|- B e. NN0
numma.4	|- C e. NN0
numma.5	|- D e. NN0
numma.6	|- M = ( ( T x. A ) + B )
numma.7	|- N = ( ( T x. C ) + D )
numaddc.8	|- F e. NN0
numaddc.9	|- ( ( A + C ) + 1 ) = E
numaddc.10	|- ( B + D ) = ( ( T x. 1 ) + F )

Assertion

Ref	Expression
numaddc	|- ( M + N ) = ( ( T x. E ) + F )

Proof of Theorem numaddc

Step	Hyp	Ref	Expression
1		numma.6	. . . . . 6 |- M = ( ( T x. A ) + B )
2		numma.1	. . . . . . 7 |- T e. NN0
3		numma.2	. . . . . . 7 |- A e. NN0
4		numma.3	. . . . . . 7 |- B e. NN0
5	2, 3, 4	numcl 9187	. . . . . 6 |- ( ( T x. A ) + B ) e. NN0
6	1, 5	eqeltri 2210	. . . . 5 |- M e. NN0
7	6	nn0cni 8982	. . . 4 |- M e. CC
8	7	mulid1i 7761	. . 3 |- ( M x. 1 ) = M
9	8	oveq1i 5777	. 2 |- ( ( M x. 1 ) + N ) = ( M + N )
10		numma.4	. . 3 |- C e. NN0
11		numma.5	. . 3 |- D e. NN0
12		numma.7	. . 3 |- N = ( ( T x. C ) + D )
13		1nn0 8986	. . 3 |- 1 e. NN0
14		numaddc.8	. . 3 |- F e. NN0
15	3	nn0cni 8982	. . . . . 6 |- A e. CC
16	15	mulid1i 7761	. . . . 5 |- ( A x. 1 ) = A
17	16	oveq1i 5777	. . . 4 |- ( ( A x. 1 ) + ( C + 1 ) ) = ( A + ( C + 1 ) )
18	10	nn0cni 8982	. . . . 5 |- C e. CC
19		ax-1cn 7706	. . . . 5 |- 1 e. CC
20	15, 18, 19	addassi 7767	. . . 4 |- ( ( A + C ) + 1 ) = ( A + ( C + 1 ) )
21		numaddc.9	. . . 4 |- ( ( A + C ) + 1 ) = E
22	17, 20, 21	3eqtr2i 2164	. . 3 |- ( ( A x. 1 ) + ( C + 1 ) ) = E
23	4	nn0cni 8982	. . . . . 6 |- B e. CC
24	23	mulid1i 7761	. . . . 5 |- ( B x. 1 ) = B
25	24	oveq1i 5777	. . . 4 |- ( ( B x. 1 ) + D ) = ( B + D )
26		numaddc.10	. . . 4 |- ( B + D ) = ( ( T x. 1 ) + F )
27	25, 26	eqtri 2158	. . 3 |- ( ( B x. 1 ) + D ) = ( ( T x. 1 ) + F )
28	2, 3, 4, 10, 11, 1, 12, 13, 14, 13, 22, 27	nummac 9219	. 2 |- ( ( M x. 1 ) + N ) = ( ( T x. E ) + F )
29	9, 28	eqtr3i 2160	1 |- ( M + N ) = ( ( T x. E ) + F )

Syntax hints:   = wceq 1331   e. wcel 1480  (class class class)co 5767   1c1 7614   + caddc 7616   x. cmul 7618   NN0cn0 8970

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2119  ax-sep 4041  ax-pow 4093  ax-pr 4126  ax-setind 4447  ax-cnex 7704  ax-resscn 7705  ax-1cn 7706  ax-1re 7707  ax-icn 7708  ax-addcl 7709  ax-addrcl 7710  ax-mulcl 7711  ax-addcom 7713  ax-mulcom 7714  ax-addass 7715  ax-mulass 7716  ax-distr 7717  ax-i2m1 7718  ax-1rid 7720  ax-0id 7721  ax-rnegex 7722  ax-cnre 7724

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 964  df-tru 1334  df-fal 1337  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2000  df-mo 2001  df-clab 2124  df-cleq 2130  df-clel 2133  df-nfc 2268  df-ne 2307  df-ral 2419  df-rex 2420  df-reu 2421  df-rab 2423  df-v 2683  df-sbc 2905  df-dif 3068  df-un 3070  df-in 3072  df-ss 3079  df-pw 3507  df-sn 3528  df-pr 3529  df-op 3531  df-uni 3732  df-int 3767  df-br 3925  df-opab 3985  df-id 4210  df-xp 4540  df-rel 4541  df-cnv 4542  df-co 4543  df-dm 4544  df-iota 5083  df-fun 5120  df-fv 5126  df-riota 5723  df-ov 5770  df-oprab 5771  df-mpo 5772  df-sub 7928  df-inn 8714  df-n0 8971

This theorem is referenced by:  decaddc  9229