Theorem decma 9363

Description: Perform a multiply-add of two numerals M and N against a fixed multiplicand P (no carry). (Contributed by Mario Carneiro, 18-Feb-2014.) (Revised by AV, 6-Sep-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
decma.a	|- A e. NN0
decma.b	|- B e. NN0
decma.c	|- C e. NN0
decma.d	|- D e. NN0
decma.m	|- M = ; A B
decma.n	|- N = ; C D
decma.p	|- P e. NN0
decma.e	|- ( ( A x. P ) + C ) = E
decma.f	|- ( ( B x. P ) + D ) = F

Assertion

Ref	Expression
decma	|- ( ( M x. P ) + N ) = ; E F

Proof of Theorem decma

Step	Hyp	Ref	Expression
1		10nn0 9330	. . 3 |- ; 1 0 e. NN0
2		decma.a	. . 3 |- A e. NN0
3		decma.b	. . 3 |- B e. NN0
4		decma.c	. . 3 |- C e. NN0
5		decma.d	. . 3 |- D e. NN0
6		decma.m	. . . 4 |- M = ; A B
7		dfdec10 9316	. . . 4 |- ; A B = ( (; 1 0 x. A ) + B )
8	6, 7	eqtri 2185	. . 3 |- M = ( (; 1 0 x. A ) + B )
9		decma.n	. . . 4 |- N = ; C D
10		dfdec10 9316	. . . 4 |- ; C D = ( (; 1 0 x. C ) + D )
11	9, 10	eqtri 2185	. . 3 |- N = ( (; 1 0 x. C ) + D )
12		decma.p	. . 3 |- P e. NN0
13		decma.e	. . 3 |- ( ( A x. P ) + C ) = E
14		decma.f	. . 3 |- ( ( B x. P ) + D ) = F
15	1, 2, 3, 4, 5, 8, 11, 12, 13, 14	numma 9356	. 2 |- ( ( M x. P ) + N ) = ( (; 1 0 x. E ) + F )
16		dfdec10 9316	. 2 |- ; E F = ( (; 1 0 x. E ) + F )
17	15, 16	eqtr4i 2188	1 |- ( ( M x. P ) + N ) = ; E F

Syntax hints:   = wceq 1342   e. wcel 2135  (class class class)co 5836   0cc0 7744   1c1 7745   + caddc 7747   x. cmul 7749   NN0cn0 9105  ;cdc 9313

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1434  ax-7 1435  ax-gen 1436  ax-ie1 1480  ax-ie2 1481  ax-8 1491  ax-10 1492  ax-11 1493  ax-i12 1494  ax-bndl 1496  ax-4 1497  ax-17 1513  ax-i9 1517  ax-ial 1521  ax-i5r 1522  ax-14 2138  ax-ext 2146  ax-sep 4094  ax-pow 4147  ax-pr 4181  ax-setind 4508  ax-cnex 7835  ax-resscn 7836  ax-1cn 7837  ax-1re 7838  ax-icn 7839  ax-addcl 7840  ax-addrcl 7841  ax-mulcl 7842  ax-addcom 7844  ax-mulcom 7845  ax-addass 7846  ax-mulass 7847  ax-distr 7848  ax-i2m1 7849  ax-1rid 7851  ax-0id 7852  ax-rnegex 7853  ax-cnre 7855

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 969  df-tru 1345  df-fal 1348  df-nf 1448  df-sb 1750  df-eu 2016  df-mo 2017  df-clab 2151  df-cleq 2157  df-clel 2160  df-nfc 2295  df-ne 2335  df-ral 2447  df-rex 2448  df-reu 2449  df-rab 2451  df-v 2723  df-sbc 2947  df-dif 3113  df-un 3115  df-in 3117  df-ss 3124  df-pw 3555  df-sn 3576  df-pr 3577  df-op 3579  df-uni 3784  df-int 3819  df-br 3977  df-opab 4038  df-id 4265  df-xp 4604  df-rel 4605  df-cnv 4606  df-co 4607  df-dm 4608  df-iota 5147  df-fun 5184  df-fv 5190  df-riota 5792  df-ov 5839  df-oprab 5840  df-mpo 5841  df-sub 8062  df-inn 8849  df-2 8907  df-3 8908  df-4 8909  df-5 8910  df-6 8911  df-7 8912  df-8 8913  df-9 8914  df-n0 9106  df-dec 9314

This theorem is referenced by:  decrmanc  9369