ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  decma Unicode version

Theorem decma 9410
Description: Perform a multiply-add of two numerals  M and  N against a fixed multiplicand  P (no carry). (Contributed by Mario Carneiro, 18-Feb-2014.) (Revised by AV, 6-Sep-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
decma.a  |-  A  e. 
NN0
decma.b  |-  B  e. 
NN0
decma.c  |-  C  e. 
NN0
decma.d  |-  D  e. 
NN0
decma.m  |-  M  = ; A B
decma.n  |-  N  = ; C D
decma.p  |-  P  e. 
NN0
decma.e  |-  ( ( A  x.  P )  +  C )  =  E
decma.f  |-  ( ( B  x.  P )  +  D )  =  F
Assertion
Ref Expression
decma  |-  ( ( M  x.  P )  +  N )  = ; E F

Proof of Theorem decma
StepHypRef Expression
1 10nn0 9377 . . 3  |- ; 1 0  e.  NN0
2 decma.a . . 3  |-  A  e. 
NN0
3 decma.b . . 3  |-  B  e. 
NN0
4 decma.c . . 3  |-  C  e. 
NN0
5 decma.d . . 3  |-  D  e. 
NN0
6 decma.m . . . 4  |-  M  = ; A B
7 dfdec10 9363 . . . 4  |- ; A B  =  ( (; 1 0  x.  A
)  +  B )
86, 7eqtri 2198 . . 3  |-  M  =  ( (; 1 0  x.  A
)  +  B )
9 decma.n . . . 4  |-  N  = ; C D
10 dfdec10 9363 . . . 4  |- ; C D  =  ( (; 1 0  x.  C
)  +  D )
119, 10eqtri 2198 . . 3  |-  N  =  ( (; 1 0  x.  C
)  +  D )
12 decma.p . . 3  |-  P  e. 
NN0
13 decma.e . . 3  |-  ( ( A  x.  P )  +  C )  =  E
14 decma.f . . 3  |-  ( ( B  x.  P )  +  D )  =  F
151, 2, 3, 4, 5, 8, 11, 12, 13, 14numma 9403 . 2  |-  ( ( M  x.  P )  +  N )  =  ( (; 1 0  x.  E
)  +  F )
16 dfdec10 9363 . 2  |- ; E F  =  ( (; 1 0  x.  E
)  +  F )
1715, 16eqtr4i 2201 1  |-  ( ( M  x.  P )  +  N )  = ; E F
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    = wceq 1353    e. wcel 2148  (class class class)co 5868   0cc0 7789   1c1 7790    + caddc 7792    x. cmul 7794   NN0cn0 9152  ;cdc 9360
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-sep 4118  ax-pow 4171  ax-pr 4205  ax-setind 4532  ax-cnex 7880  ax-resscn 7881  ax-1cn 7882  ax-1re 7883  ax-icn 7884  ax-addcl 7885  ax-addrcl 7886  ax-mulcl 7887  ax-addcom 7889  ax-mulcom 7890  ax-addass 7891  ax-mulass 7892  ax-distr 7893  ax-i2m1 7894  ax-1rid 7896  ax-0id 7897  ax-rnegex 7898  ax-cnre 7900
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rab 2464  df-v 2739  df-sbc 2963  df-dif 3131  df-un 3133  df-in 3135  df-ss 3142  df-pw 3576  df-sn 3597  df-pr 3598  df-op 3600  df-uni 3808  df-int 3843  df-br 4001  df-opab 4062  df-id 4289  df-xp 4628  df-rel 4629  df-cnv 4630  df-co 4631  df-dm 4632  df-iota 5173  df-fun 5213  df-fv 5219  df-riota 5824  df-ov 5871  df-oprab 5872  df-mpo 5873  df-sub 8107  df-inn 8896  df-2 8954  df-3 8955  df-4 8956  df-5 8957  df-6 8958  df-7 8959  df-8 8960  df-9 8961  df-n0 9153  df-dec 9361
This theorem is referenced by:  decrmanc  9416
  Copyright terms: Public domain W3C validator