Theorem decmac 9233

Description: Perform a multiply-add of two numerals M and N against a fixed multiplicand P (with carry). (Contributed by Mario Carneiro, 18-Feb-2014.) (Revised by AV, 6-Sep-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
decma.a	|- A e. NN0
decma.b	|- B e. NN0
decma.c	|- C e. NN0
decma.d	|- D e. NN0
decma.m	|- M = ; A B
decma.n	|- N = ; C D
decmac.p	|- P e. NN0
decmac.f	|- F e. NN0
decmac.g	|- G e. NN0
decmac.e	|- ( ( A x. P ) + ( C + G ) ) = E
decmac.2	|- ( ( B x. P ) + D ) = ; G F

Assertion

Ref	Expression
decmac	|- ( ( M x. P ) + N ) = ; E F

Proof of Theorem decmac

Step	Hyp	Ref	Expression
1		10nn0 9199	. . 3 |- ; 1 0 e. NN0
2		decma.a	. . 3 |- A e. NN0
3		decma.b	. . 3 |- B e. NN0
4		decma.c	. . 3 |- C e. NN0
5		decma.d	. . 3 |- D e. NN0
6		decma.m	. . . 4 |- M = ; A B
7		dfdec10 9185	. . . 4 |- ; A B = ( (; 1 0 x. A ) + B )
8	6, 7	eqtri 2160	. . 3 |- M = ( (; 1 0 x. A ) + B )
9		decma.n	. . . 4 |- N = ; C D
10		dfdec10 9185	. . . 4 |- ; C D = ( (; 1 0 x. C ) + D )
11	9, 10	eqtri 2160	. . 3 |- N = ( (; 1 0 x. C ) + D )
12		decmac.p	. . 3 |- P e. NN0
13		decmac.f	. . 3 |- F e. NN0
14		decmac.g	. . 3 |- G e. NN0
15		decmac.e	. . 3 |- ( ( A x. P ) + ( C + G ) ) = E
16		decmac.2	. . . 4 |- ( ( B x. P ) + D ) = ; G F
17		dfdec10 9185	. . . 4 |- ; G F = ( (; 1 0 x. G ) + F )
18	16, 17	eqtri 2160	. . 3 |- ( ( B x. P ) + D ) = ( (; 1 0 x. G ) + F )
19	1, 2, 3, 4, 5, 8, 11, 12, 13, 14, 15, 18	nummac 9226	. 2 |- ( ( M x. P ) + N ) = ( (; 1 0 x. E ) + F )
20		dfdec10 9185	. 2 |- ; E F = ( (; 1 0 x. E ) + F )
21	19, 20	eqtr4i 2163	1 |- ( ( M x. P ) + N ) = ; E F

Syntax hints:   = wceq 1331   e. wcel 1480  (class class class)co 5774   0cc0 7620   1c1 7621   + caddc 7623   x. cmul 7625   NN0cn0 8977  ;cdc 9182

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2121  ax-sep 4046  ax-pow 4098  ax-pr 4131  ax-setind 4452  ax-cnex 7711  ax-resscn 7712  ax-1cn 7713  ax-1re 7714  ax-icn 7715  ax-addcl 7716  ax-addrcl 7717  ax-mulcl 7718  ax-addcom 7720  ax-mulcom 7721  ax-addass 7722  ax-mulass 7723  ax-distr 7724  ax-i2m1 7725  ax-1rid 7727  ax-0id 7728  ax-rnegex 7729  ax-cnre 7731

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 964  df-tru 1334  df-fal 1337  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2002  df-mo 2003  df-clab 2126  df-cleq 2132  df-clel 2135  df-nfc 2270  df-ne 2309  df-ral 2421  df-rex 2422  df-reu 2423  df-rab 2425  df-v 2688  df-sbc 2910  df-dif 3073  df-un 3075  df-in 3077  df-ss 3084  df-pw 3512  df-sn 3533  df-pr 3534  df-op 3536  df-uni 3737  df-int 3772  df-br 3930  df-opab 3990  df-id 4215  df-xp 4545  df-rel 4546  df-cnv 4547  df-co 4548  df-dm 4549  df-iota 5088  df-fun 5125  df-fv 5131  df-riota 5730  df-ov 5777  df-oprab 5778  df-mpo 5779  df-sub 7935  df-inn 8721  df-2 8779  df-3 8780  df-4 8781  df-5 8782  df-6 8783  df-7 8784  df-8 8785  df-9 8786  df-n0 8978  df-dec 9183

This theorem is referenced by:  decrmac  9239