Theorem decmac 9408

Description: Perform a multiply-add of two numerals M and N against a fixed multiplicand P (with carry). (Contributed by Mario Carneiro, 18-Feb-2014.) (Revised by AV, 6-Sep-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
decma.a	|- A e. NN0
decma.b	|- B e. NN0
decma.c	|- C e. NN0
decma.d	|- D e. NN0
decma.m	|- M = ; A B
decma.n	|- N = ; C D
decmac.p	|- P e. NN0
decmac.f	|- F e. NN0
decmac.g	|- G e. NN0
decmac.e	|- ( ( A x. P ) + ( C + G ) ) = E
decmac.2	|- ( ( B x. P ) + D ) = ; G F

Assertion

Ref	Expression
decmac	|- ( ( M x. P ) + N ) = ; E F

Proof of Theorem decmac

Step	Hyp	Ref	Expression
1		10nn0 9374	. . 3 |- ; 1 0 e. NN0
2		decma.a	. . 3 |- A e. NN0
3		decma.b	. . 3 |- B e. NN0
4		decma.c	. . 3 |- C e. NN0
5		decma.d	. . 3 |- D e. NN0
6		decma.m	. . . 4 |- M = ; A B
7		dfdec10 9360	. . . 4 |- ; A B = ( (; 1 0 x. A ) + B )
8	6, 7	eqtri 2196	. . 3 |- M = ( (; 1 0 x. A ) + B )
9		decma.n	. . . 4 |- N = ; C D
10		dfdec10 9360	. . . 4 |- ; C D = ( (; 1 0 x. C ) + D )
11	9, 10	eqtri 2196	. . 3 |- N = ( (; 1 0 x. C ) + D )
12		decmac.p	. . 3 |- P e. NN0
13		decmac.f	. . 3 |- F e. NN0
14		decmac.g	. . 3 |- G e. NN0
15		decmac.e	. . 3 |- ( ( A x. P ) + ( C + G ) ) = E
16		decmac.2	. . . 4 |- ( ( B x. P ) + D ) = ; G F
17		dfdec10 9360	. . . 4 |- ; G F = ( (; 1 0 x. G ) + F )
18	16, 17	eqtri 2196	. . 3 |- ( ( B x. P ) + D ) = ( (; 1 0 x. G ) + F )
19	1, 2, 3, 4, 5, 8, 11, 12, 13, 14, 15, 18	nummac 9401	. 2 |- ( ( M x. P ) + N ) = ( (; 1 0 x. E ) + F )
20		dfdec10 9360	. 2 |- ; E F = ( (; 1 0 x. E ) + F )
21	19, 20	eqtr4i 2199	1 |- ( ( M x. P ) + N ) = ; E F

Syntax hints:   = wceq 1353   e. wcel 2146  (class class class)co 5865   0cc0 7786   1c1 7787   + caddc 7789   x. cmul 7791   NN0cn0 9149  ;cdc 9357

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1445  ax-7 1446  ax-gen 1447  ax-ie1 1491  ax-ie2 1492  ax-8 1502  ax-10 1503  ax-11 1504  ax-i12 1505  ax-bndl 1507  ax-4 1508  ax-17 1524  ax-i9 1528  ax-ial 1532  ax-i5r 1533  ax-14 2149  ax-ext 2157  ax-sep 4116  ax-pow 4169  ax-pr 4203  ax-setind 4530  ax-cnex 7877  ax-resscn 7878  ax-1cn 7879  ax-1re 7880  ax-icn 7881  ax-addcl 7882  ax-addrcl 7883  ax-mulcl 7884  ax-addcom 7886  ax-mulcom 7887  ax-addass 7888  ax-mulass 7889  ax-distr 7890  ax-i2m1 7891  ax-1rid 7893  ax-0id 7894  ax-rnegex 7895  ax-cnre 7897

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1459  df-sb 1761  df-eu 2027  df-mo 2028  df-clab 2162  df-cleq 2168  df-clel 2171  df-nfc 2306  df-ne 2346  df-ral 2458  df-rex 2459  df-reu 2460  df-rab 2462  df-v 2737  df-sbc 2961  df-dif 3129  df-un 3131  df-in 3133  df-ss 3140  df-pw 3574  df-sn 3595  df-pr 3596  df-op 3598  df-uni 3806  df-int 3841  df-br 3999  df-opab 4060  df-id 4287  df-xp 4626  df-rel 4627  df-cnv 4628  df-co 4629  df-dm 4630  df-iota 5170  df-fun 5210  df-fv 5216  df-riota 5821  df-ov 5868  df-oprab 5869  df-mpo 5870  df-sub 8104  df-inn 8893  df-2 8951  df-3 8952  df-4 8953  df-5 8954  df-6 8955  df-7 8956  df-8 8957  df-9 8958  df-n0 9150  df-dec 9358

This theorem is referenced by:  decrmac  9414