ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  decmac Unicode version

Theorem decmac 9253
Description: Perform a multiply-add of two numerals  M and  N against a fixed multiplicand  P (with carry). (Contributed by Mario Carneiro, 18-Feb-2014.) (Revised by AV, 6-Sep-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
decma.a  |-  A  e. 
NN0
decma.b  |-  B  e. 
NN0
decma.c  |-  C  e. 
NN0
decma.d  |-  D  e. 
NN0
decma.m  |-  M  = ; A B
decma.n  |-  N  = ; C D
decmac.p  |-  P  e. 
NN0
decmac.f  |-  F  e. 
NN0
decmac.g  |-  G  e. 
NN0
decmac.e  |-  ( ( A  x.  P )  +  ( C  +  G ) )  =  E
decmac.2  |-  ( ( B  x.  P )  +  D )  = ; G F
Assertion
Ref Expression
decmac  |-  ( ( M  x.  P )  +  N )  = ; E F

Proof of Theorem decmac
StepHypRef Expression
1 10nn0 9219 . . 3  |- ; 1 0  e.  NN0
2 decma.a . . 3  |-  A  e. 
NN0
3 decma.b . . 3  |-  B  e. 
NN0
4 decma.c . . 3  |-  C  e. 
NN0
5 decma.d . . 3  |-  D  e. 
NN0
6 decma.m . . . 4  |-  M  = ; A B
7 dfdec10 9205 . . . 4  |- ; A B  =  ( (; 1 0  x.  A
)  +  B )
86, 7eqtri 2161 . . 3  |-  M  =  ( (; 1 0  x.  A
)  +  B )
9 decma.n . . . 4  |-  N  = ; C D
10 dfdec10 9205 . . . 4  |- ; C D  =  ( (; 1 0  x.  C
)  +  D )
119, 10eqtri 2161 . . 3  |-  N  =  ( (; 1 0  x.  C
)  +  D )
12 decmac.p . . 3  |-  P  e. 
NN0
13 decmac.f . . 3  |-  F  e. 
NN0
14 decmac.g . . 3  |-  G  e. 
NN0
15 decmac.e . . 3  |-  ( ( A  x.  P )  +  ( C  +  G ) )  =  E
16 decmac.2 . . . 4  |-  ( ( B  x.  P )  +  D )  = ; G F
17 dfdec10 9205 . . . 4  |- ; G F  =  ( (; 1 0  x.  G
)  +  F )
1816, 17eqtri 2161 . . 3  |-  ( ( B  x.  P )  +  D )  =  ( (; 1 0  x.  G
)  +  F )
191, 2, 3, 4, 5, 8, 11, 12, 13, 14, 15, 18nummac 9246 . 2  |-  ( ( M  x.  P )  +  N )  =  ( (; 1 0  x.  E
)  +  F )
20 dfdec10 9205 . 2  |- ; E F  =  ( (; 1 0  x.  E
)  +  F )
2119, 20eqtr4i 2164 1  |-  ( ( M  x.  P )  +  N )  = ; E F
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    = wceq 1332    e. wcel 1481  (class class class)co 5778   0cc0 7640   1c1 7641    + caddc 7643    x. cmul 7645   NN0cn0 8997  ;cdc 9202
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1424  ax-7 1425  ax-gen 1426  ax-ie1 1470  ax-ie2 1471  ax-8 1483  ax-10 1484  ax-11 1485  ax-i12 1486  ax-bndl 1487  ax-4 1488  ax-14 1493  ax-17 1507  ax-i9 1511  ax-ial 1515  ax-i5r 1516  ax-ext 2122  ax-sep 4050  ax-pow 4102  ax-pr 4135  ax-setind 4456  ax-cnex 7731  ax-resscn 7732  ax-1cn 7733  ax-1re 7734  ax-icn 7735  ax-addcl 7736  ax-addrcl 7737  ax-mulcl 7738  ax-addcom 7740  ax-mulcom 7741  ax-addass 7742  ax-mulass 7743  ax-distr 7744  ax-i2m1 7745  ax-1rid 7747  ax-0id 7748  ax-rnegex 7749  ax-cnre 7751
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 965  df-tru 1335  df-fal 1338  df-nf 1438  df-sb 1737  df-eu 2003  df-mo 2004  df-clab 2127  df-cleq 2133  df-clel 2136  df-nfc 2271  df-ne 2310  df-ral 2422  df-rex 2423  df-reu 2424  df-rab 2426  df-v 2689  df-sbc 2911  df-dif 3074  df-un 3076  df-in 3078  df-ss 3085  df-pw 3513  df-sn 3534  df-pr 3535  df-op 3537  df-uni 3741  df-int 3776  df-br 3934  df-opab 3994  df-id 4219  df-xp 4549  df-rel 4550  df-cnv 4551  df-co 4552  df-dm 4553  df-iota 5092  df-fun 5129  df-fv 5135  df-riota 5734  df-ov 5781  df-oprab 5782  df-mpo 5783  df-sub 7955  df-inn 8741  df-2 8799  df-3 8800  df-4 8801  df-5 8802  df-6 8803  df-7 8804  df-8 8805  df-9 8806  df-n0 8998  df-dec 9203
This theorem is referenced by:  decrmac  9259
  Copyright terms: Public domain W3C validator