ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  decma GIF version

Theorem decma 9451
Description: Perform a multiply-add of two numerals 𝑀 and 𝑁 against a fixed multiplicand 𝑃 (no carry). (Contributed by Mario Carneiro, 18-Feb-2014.) (Revised by AV, 6-Sep-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
decma.a 𝐴 ∈ ℕ0
decma.b 𝐵 ∈ ℕ0
decma.c 𝐶 ∈ ℕ0
decma.d 𝐷 ∈ ℕ0
decma.m 𝑀 = 𝐴𝐵
decma.n 𝑁 = 𝐶𝐷
decma.p 𝑃 ∈ ℕ0
decma.e ((𝐴 · 𝑃) + 𝐶) = 𝐸
decma.f ((𝐵 · 𝑃) + 𝐷) = 𝐹
Assertion
Ref Expression
decma ((𝑀 · 𝑃) + 𝑁) = 𝐸𝐹

Proof of Theorem decma
StepHypRef Expression
1 10nn0 9418 . . 3 10 ∈ ℕ0
2 decma.a . . 3 𝐴 ∈ ℕ0
3 decma.b . . 3 𝐵 ∈ ℕ0
4 decma.c . . 3 𝐶 ∈ ℕ0
5 decma.d . . 3 𝐷 ∈ ℕ0
6 decma.m . . . 4 𝑀 = 𝐴𝐵
7 dfdec10 9404 . . . 4 𝐴𝐵 = ((10 · 𝐴) + 𝐵)
86, 7eqtri 2209 . . 3 𝑀 = ((10 · 𝐴) + 𝐵)
9 decma.n . . . 4 𝑁 = 𝐶𝐷
10 dfdec10 9404 . . . 4 𝐶𝐷 = ((10 · 𝐶) + 𝐷)
119, 10eqtri 2209 . . 3 𝑁 = ((10 · 𝐶) + 𝐷)
12 decma.p . . 3 𝑃 ∈ ℕ0
13 decma.e . . 3 ((𝐴 · 𝑃) + 𝐶) = 𝐸
14 decma.f . . 3 ((𝐵 · 𝑃) + 𝐷) = 𝐹
151, 2, 3, 4, 5, 8, 11, 12, 13, 14numma 9444 . 2 ((𝑀 · 𝑃) + 𝑁) = ((10 · 𝐸) + 𝐹)
16 dfdec10 9404 . 2 𝐸𝐹 = ((10 · 𝐸) + 𝐹)
1715, 16eqtr4i 2212 1 ((𝑀 · 𝑃) + 𝑁) = 𝐸𝐹
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   = wceq 1363  wcel 2159  (class class class)co 5890  0cc0 7828  1c1 7829   + caddc 7831   · cmul 7833  0cn0 9193  cdc 9401
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1457  ax-7 1458  ax-gen 1459  ax-ie1 1503  ax-ie2 1504  ax-8 1514  ax-10 1515  ax-11 1516  ax-i12 1517  ax-bndl 1519  ax-4 1520  ax-17 1536  ax-i9 1540  ax-ial 1544  ax-i5r 1545  ax-14 2162  ax-ext 2170  ax-sep 4135  ax-pow 4188  ax-pr 4223  ax-setind 4550  ax-cnex 7919  ax-resscn 7920  ax-1cn 7921  ax-1re 7922  ax-icn 7923  ax-addcl 7924  ax-addrcl 7925  ax-mulcl 7926  ax-addcom 7928  ax-mulcom 7929  ax-addass 7930  ax-mulass 7931  ax-distr 7932  ax-i2m1 7933  ax-1rid 7935  ax-0id 7936  ax-rnegex 7937  ax-cnre 7939
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 981  df-tru 1366  df-fal 1369  df-nf 1471  df-sb 1773  df-eu 2040  df-mo 2041  df-clab 2175  df-cleq 2181  df-clel 2184  df-nfc 2320  df-ne 2360  df-ral 2472  df-rex 2473  df-reu 2474  df-rab 2476  df-v 2753  df-sbc 2977  df-dif 3145  df-un 3147  df-in 3149  df-ss 3156  df-pw 3591  df-sn 3612  df-pr 3613  df-op 3615  df-uni 3824  df-int 3859  df-br 4018  df-opab 4079  df-id 4307  df-xp 4646  df-rel 4647  df-cnv 4648  df-co 4649  df-dm 4650  df-iota 5192  df-fun 5232  df-fv 5238  df-riota 5846  df-ov 5893  df-oprab 5894  df-mpo 5895  df-sub 8147  df-inn 8937  df-2 8995  df-3 8996  df-4 8997  df-5 8998  df-6 8999  df-7 9000  df-8 9001  df-9 9002  df-n0 9194  df-dec 9402
This theorem is referenced by:  decrmanc  9457
  Copyright terms: Public domain W3C validator