Theorem decma 9393

Description: Perform a multiply-add of two numerals 𝑀 and 𝑁 against a fixed multiplicand 𝑃 (no carry). (Contributed by Mario Carneiro, 18-Feb-2014.) (Revised by AV, 6-Sep-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
decma.a	⊢ 𝐴 ∈ ℕ0
decma.b	⊢ 𝐵 ∈ ℕ0
decma.c	⊢ 𝐶 ∈ ℕ0
decma.d	⊢ 𝐷 ∈ ℕ0
decma.m	⊢ 𝑀 = ;𝐴𝐵
decma.n	⊢ 𝑁 = ;𝐶𝐷
decma.p	⊢ 𝑃 ∈ ℕ0
decma.e	⊢ ((𝐴 · 𝑃) + 𝐶) = 𝐸
decma.f	⊢ ((𝐵 · 𝑃) + 𝐷) = 𝐹

Assertion

Ref	Expression
decma	⊢ ((𝑀 · 𝑃) + 𝑁) = ;𝐸𝐹

Proof of Theorem decma

Step	Hyp	Ref	Expression
1		10nn0 9360	. . 3 ⊢ ;10 ∈ ℕ0
2		decma.a	. . 3 ⊢ 𝐴 ∈ ℕ0
3		decma.b	. . 3 ⊢ 𝐵 ∈ ℕ0
4		decma.c	. . 3 ⊢ 𝐶 ∈ ℕ0
5		decma.d	. . 3 ⊢ 𝐷 ∈ ℕ0
6		decma.m	. . . 4 ⊢ 𝑀 = ;𝐴𝐵
7		dfdec10 9346	. . . 4 ⊢ ;𝐴𝐵 = ((;10 · 𝐴) + 𝐵)
8	6, 7	eqtri 2191	. . 3 ⊢ 𝑀 = ((;10 · 𝐴) + 𝐵)
9		decma.n	. . . 4 ⊢ 𝑁 = ;𝐶𝐷
10		dfdec10 9346	. . . 4 ⊢ ;𝐶𝐷 = ((;10 · 𝐶) + 𝐷)
11	9, 10	eqtri 2191	. . 3 ⊢ 𝑁 = ((;10 · 𝐶) + 𝐷)
12		decma.p	. . 3 ⊢ 𝑃 ∈ ℕ0
13		decma.e	. . 3 ⊢ ((𝐴 · 𝑃) + 𝐶) = 𝐸
14		decma.f	. . 3 ⊢ ((𝐵 · 𝑃) + 𝐷) = 𝐹
15	1, 2, 3, 4, 5, 8, 11, 12, 13, 14	numma 9386	. 2 ⊢ ((𝑀 · 𝑃) + 𝑁) = ((;10 · 𝐸) + 𝐹)
16		dfdec10 9346	. 2 ⊢ ;𝐸𝐹 = ((;10 · 𝐸) + 𝐹)
17	15, 16	eqtr4i 2194	1 ⊢ ((𝑀 · 𝑃) + 𝑁) = ;𝐸𝐹

Syntax hints:   = wceq 1348   ∈ wcel 2141  (class class class)co 5853  0cc0 7774  1c1 7775   + caddc 7777   · cmul 7779  ℕ₀cn0 9135  ;cdc 9343

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 609  ax-in2 610  ax-io 704  ax-5 1440  ax-7 1441  ax-gen 1442  ax-ie1 1486  ax-ie2 1487  ax-8 1497  ax-10 1498  ax-11 1499  ax-i12 1500  ax-bndl 1502  ax-4 1503  ax-17 1519  ax-i9 1523  ax-ial 1527  ax-i5r 1528  ax-14 2144  ax-ext 2152  ax-sep 4107  ax-pow 4160  ax-pr 4194  ax-setind 4521  ax-cnex 7865  ax-resscn 7866  ax-1cn 7867  ax-1re 7868  ax-icn 7869  ax-addcl 7870  ax-addrcl 7871  ax-mulcl 7872  ax-addcom 7874  ax-mulcom 7875  ax-addass 7876  ax-mulass 7877  ax-distr 7878  ax-i2m1 7879  ax-1rid 7881  ax-0id 7882  ax-rnegex 7883  ax-cnre 7885

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 975  df-tru 1351  df-fal 1354  df-nf 1454  df-sb 1756  df-eu 2022  df-mo 2023  df-clab 2157  df-cleq 2163  df-clel 2166  df-nfc 2301  df-ne 2341  df-ral 2453  df-rex 2454  df-reu 2455  df-rab 2457  df-v 2732  df-sbc 2956  df-dif 3123  df-un 3125  df-in 3127  df-ss 3134  df-pw 3568  df-sn 3589  df-pr 3590  df-op 3592  df-uni 3797  df-int 3832  df-br 3990  df-opab 4051  df-id 4278  df-xp 4617  df-rel 4618  df-cnv 4619  df-co 4620  df-dm 4621  df-iota 5160  df-fun 5200  df-fv 5206  df-riota 5809  df-ov 5856  df-oprab 5857  df-mpo 5858  df-sub 8092  df-inn 8879  df-2 8937  df-3 8938  df-4 8939  df-5 8940  df-6 8941  df-7 8942  df-8 8943  df-9 8944  df-n0 9136  df-dec 9344

This theorem is referenced by:  decrmanc  9399