Theorem decrmac 9443

Description: Perform a multiply-add of two numerals M and N against a fixed multiplicand P (with carry). (Contributed by AV, 16-Sep-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
decrmanc.a	|- A e. NN0
decrmanc.b	|- B e. NN0
decrmanc.n	|- N e. NN0
decrmanc.m	|- M = ; A B
decrmanc.p	|- P e. NN0
decrmac.f	|- F e. NN0
decrmac.g	|- G e. NN0
decrmac.e	|- ( ( A x. P ) + G ) = E
decrmac.2	|- ( ( B x. P ) + N ) = ; G F

Assertion

Ref	Expression
decrmac	|- ( ( M x. P ) + N ) = ; E F

Proof of Theorem decrmac

Step	Hyp	Ref	Expression
1		decrmanc.a	. 2 |- A e. NN0
2		decrmanc.b	. 2 |- B e. NN0
3		0nn0 9193	. 2 |- 0 e. NN0
4		decrmanc.n	. 2 |- N e. NN0
5		decrmanc.m	. 2 |- M = ; A B
6	4	dec0h 9407	. 2 |- N = ; 0 N
7		decrmanc.p	. 2 |- P e. NN0
8		decrmac.f	. 2 |- F e. NN0
9		decrmac.g	. 2 |- G e. NN0
10	9	nn0cni 9190	. . . . 5 |- G e. CC
11	10	addid2i 8102	. . . 4 |- ( 0 + G ) = G
12	11	oveq2i 5888	. . 3 |- ( ( A x. P ) + ( 0 + G ) ) = ( ( A x. P ) + G )
13		decrmac.e	. . 3 |- ( ( A x. P ) + G ) = E
14	12, 13	eqtri 2198	. 2 |- ( ( A x. P ) + ( 0 + G ) ) = E
15		decrmac.2	. 2 |- ( ( B x. P ) + N ) = ; G F
16	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 14, 15	decmac 9437	1 |- ( ( M x. P ) + N ) = ; E F

Syntax hints:   = wceq 1353   e. wcel 2148  (class class class)co 5877   0cc0 7813   + caddc 7816   x. cmul 7818   NN0cn0 9178  ;cdc 9386

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-sep 4123  ax-pow 4176  ax-pr 4211  ax-setind 4538  ax-cnex 7904  ax-resscn 7905  ax-1cn 7906  ax-1re 7907  ax-icn 7908  ax-addcl 7909  ax-addrcl 7910  ax-mulcl 7911  ax-addcom 7913  ax-mulcom 7914  ax-addass 7915  ax-mulass 7916  ax-distr 7917  ax-i2m1 7918  ax-1rid 7920  ax-0id 7921  ax-rnegex 7922  ax-cnre 7924

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rab 2464  df-v 2741  df-sbc 2965  df-dif 3133  df-un 3135  df-in 3137  df-ss 3144  df-pw 3579  df-sn 3600  df-pr 3601  df-op 3603  df-uni 3812  df-int 3847  df-br 4006  df-opab 4067  df-id 4295  df-xp 4634  df-rel 4635  df-cnv 4636  df-co 4637  df-dm 4638  df-iota 5180  df-fun 5220  df-fv 5226  df-riota 5833  df-ov 5880  df-oprab 5881  df-mpo 5882  df-sub 8132  df-inn 8922  df-2 8980  df-3 8981  df-4 8982  df-5 8983  df-6 8984  df-7 8985  df-8 8986  df-9 8987  df-n0 9179  df-dec 9387

This theorem is referenced by: (None)