ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  decrmac Unicode version

Theorem decrmac 9251
Description: Perform a multiply-add of two numerals  M and  N against a fixed multiplicand  P (with carry). (Contributed by AV, 16-Sep-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
decrmanc.a  |-  A  e. 
NN0
decrmanc.b  |-  B  e. 
NN0
decrmanc.n  |-  N  e. 
NN0
decrmanc.m  |-  M  = ; A B
decrmanc.p  |-  P  e. 
NN0
decrmac.f  |-  F  e. 
NN0
decrmac.g  |-  G  e. 
NN0
decrmac.e  |-  ( ( A  x.  P )  +  G )  =  E
decrmac.2  |-  ( ( B  x.  P )  +  N )  = ; G F
Assertion
Ref Expression
decrmac  |-  ( ( M  x.  P )  +  N )  = ; E F

Proof of Theorem decrmac
StepHypRef Expression
1 decrmanc.a . 2  |-  A  e. 
NN0
2 decrmanc.b . 2  |-  B  e. 
NN0
3 0nn0 9004 . 2  |-  0  e.  NN0
4 decrmanc.n . 2  |-  N  e. 
NN0
5 decrmanc.m . 2  |-  M  = ; A B
64dec0h 9215 . 2  |-  N  = ; 0 N
7 decrmanc.p . 2  |-  P  e. 
NN0
8 decrmac.f . 2  |-  F  e. 
NN0
9 decrmac.g . 2  |-  G  e. 
NN0
109nn0cni 9001 . . . . 5  |-  G  e.  CC
1110addid2i 7917 . . . 4  |-  ( 0  +  G )  =  G
1211oveq2i 5785 . . 3  |-  ( ( A  x.  P )  +  ( 0  +  G ) )  =  ( ( A  x.  P )  +  G
)
13 decrmac.e . . 3  |-  ( ( A  x.  P )  +  G )  =  E
1412, 13eqtri 2160 . 2  |-  ( ( A  x.  P )  +  ( 0  +  G ) )  =  E
15 decrmac.2 . 2  |-  ( ( B  x.  P )  +  N )  = ; G F
161, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 14, 15decmac 9245 1  |-  ( ( M  x.  P )  +  N )  = ; E F
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    = wceq 1331    e. wcel 1480  (class class class)co 5774   0cc0 7632    + caddc 7635    x. cmul 7637   NN0cn0 8989  ;cdc 9194
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2121  ax-sep 4046  ax-pow 4098  ax-pr 4131  ax-setind 4452  ax-cnex 7723  ax-resscn 7724  ax-1cn 7725  ax-1re 7726  ax-icn 7727  ax-addcl 7728  ax-addrcl 7729  ax-mulcl 7730  ax-addcom 7732  ax-mulcom 7733  ax-addass 7734  ax-mulass 7735  ax-distr 7736  ax-i2m1 7737  ax-1rid 7739  ax-0id 7740  ax-rnegex 7741  ax-cnre 7743
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 964  df-tru 1334  df-fal 1337  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2002  df-mo 2003  df-clab 2126  df-cleq 2132  df-clel 2135  df-nfc 2270  df-ne 2309  df-ral 2421  df-rex 2422  df-reu 2423  df-rab 2425  df-v 2688  df-sbc 2910  df-dif 3073  df-un 3075  df-in 3077  df-ss 3084  df-pw 3512  df-sn 3533  df-pr 3534  df-op 3536  df-uni 3737  df-int 3772  df-br 3930  df-opab 3990  df-id 4215  df-xp 4545  df-rel 4546  df-cnv 4547  df-co 4548  df-dm 4549  df-iota 5088  df-fun 5125  df-fv 5131  df-riota 5730  df-ov 5777  df-oprab 5778  df-mpo 5779  df-sub 7947  df-inn 8733  df-2 8791  df-3 8792  df-4 8793  df-5 8794  df-6 8795  df-7 8796  df-8 8797  df-9 8798  df-n0 8990  df-dec 9195
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator