ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  decrmac Unicode version

Theorem decrmac 9389
Description: Perform a multiply-add of two numerals  M and  N against a fixed multiplicand  P (with carry). (Contributed by AV, 16-Sep-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
decrmanc.a  |-  A  e. 
NN0
decrmanc.b  |-  B  e. 
NN0
decrmanc.n  |-  N  e. 
NN0
decrmanc.m  |-  M  = ; A B
decrmanc.p  |-  P  e. 
NN0
decrmac.f  |-  F  e. 
NN0
decrmac.g  |-  G  e. 
NN0
decrmac.e  |-  ( ( A  x.  P )  +  G )  =  E
decrmac.2  |-  ( ( B  x.  P )  +  N )  = ; G F
Assertion
Ref Expression
decrmac  |-  ( ( M  x.  P )  +  N )  = ; E F

Proof of Theorem decrmac
StepHypRef Expression
1 decrmanc.a . 2  |-  A  e. 
NN0
2 decrmanc.b . 2  |-  B  e. 
NN0
3 0nn0 9139 . 2  |-  0  e.  NN0
4 decrmanc.n . 2  |-  N  e. 
NN0
5 decrmanc.m . 2  |-  M  = ; A B
64dec0h 9353 . 2  |-  N  = ; 0 N
7 decrmanc.p . 2  |-  P  e. 
NN0
8 decrmac.f . 2  |-  F  e. 
NN0
9 decrmac.g . 2  |-  G  e. 
NN0
109nn0cni 9136 . . . . 5  |-  G  e.  CC
1110addid2i 8051 . . . 4  |-  ( 0  +  G )  =  G
1211oveq2i 5862 . . 3  |-  ( ( A  x.  P )  +  ( 0  +  G ) )  =  ( ( A  x.  P )  +  G
)
13 decrmac.e . . 3  |-  ( ( A  x.  P )  +  G )  =  E
1412, 13eqtri 2191 . 2  |-  ( ( A  x.  P )  +  ( 0  +  G ) )  =  E
15 decrmac.2 . 2  |-  ( ( B  x.  P )  +  N )  = ; G F
161, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 14, 15decmac 9383 1  |-  ( ( M  x.  P )  +  N )  = ; E F
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    = wceq 1348    e. wcel 2141  (class class class)co 5851   0cc0 7763    + caddc 7766    x. cmul 7768   NN0cn0 9124  ;cdc 9332
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 609  ax-in2 610  ax-io 704  ax-5 1440  ax-7 1441  ax-gen 1442  ax-ie1 1486  ax-ie2 1487  ax-8 1497  ax-10 1498  ax-11 1499  ax-i12 1500  ax-bndl 1502  ax-4 1503  ax-17 1519  ax-i9 1523  ax-ial 1527  ax-i5r 1528  ax-14 2144  ax-ext 2152  ax-sep 4105  ax-pow 4158  ax-pr 4192  ax-setind 4519  ax-cnex 7854  ax-resscn 7855  ax-1cn 7856  ax-1re 7857  ax-icn 7858  ax-addcl 7859  ax-addrcl 7860  ax-mulcl 7861  ax-addcom 7863  ax-mulcom 7864  ax-addass 7865  ax-mulass 7866  ax-distr 7867  ax-i2m1 7868  ax-1rid 7870  ax-0id 7871  ax-rnegex 7872  ax-cnre 7874
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 975  df-tru 1351  df-fal 1354  df-nf 1454  df-sb 1756  df-eu 2022  df-mo 2023  df-clab 2157  df-cleq 2163  df-clel 2166  df-nfc 2301  df-ne 2341  df-ral 2453  df-rex 2454  df-reu 2455  df-rab 2457  df-v 2732  df-sbc 2956  df-dif 3123  df-un 3125  df-in 3127  df-ss 3134  df-pw 3566  df-sn 3587  df-pr 3588  df-op 3590  df-uni 3795  df-int 3830  df-br 3988  df-opab 4049  df-id 4276  df-xp 4615  df-rel 4616  df-cnv 4617  df-co 4618  df-dm 4619  df-iota 5158  df-fun 5198  df-fv 5204  df-riota 5807  df-ov 5854  df-oprab 5855  df-mpo 5856  df-sub 8081  df-inn 8868  df-2 8926  df-3 8927  df-4 8928  df-5 8929  df-6 8930  df-7 8931  df-8 8932  df-9 8933  df-n0 9125  df-dec 9333
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator