Theorem decmac 9434

Description: Perform a multiply-add of two numerals 𝑀 and 𝑁 against a fixed multiplicand 𝑃 (with carry). (Contributed by Mario Carneiro, 18-Feb-2014.) (Revised by AV, 6-Sep-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
decma.a	⊢ 𝐴 ∈ ℕ0
decma.b	⊢ 𝐵 ∈ ℕ0
decma.c	⊢ 𝐶 ∈ ℕ0
decma.d	⊢ 𝐷 ∈ ℕ0
decma.m	⊢ 𝑀 = ;𝐴𝐵
decma.n	⊢ 𝑁 = ;𝐶𝐷
decmac.p	⊢ 𝑃 ∈ ℕ0
decmac.f	⊢ 𝐹 ∈ ℕ0
decmac.g	⊢ 𝐺 ∈ ℕ0
decmac.e	⊢ ((𝐴 · 𝑃) + (𝐶 + 𝐺)) = 𝐸
decmac.2	⊢ ((𝐵 · 𝑃) + 𝐷) = ;𝐺𝐹

Assertion

Ref	Expression
decmac	⊢ ((𝑀 · 𝑃) + 𝑁) = ;𝐸𝐹

Proof of Theorem decmac

Step	Hyp	Ref	Expression
1		10nn0 9400	. . 3 ⊢ ;10 ∈ ℕ0
2		decma.a	. . 3 ⊢ 𝐴 ∈ ℕ0
3		decma.b	. . 3 ⊢ 𝐵 ∈ ℕ0
4		decma.c	. . 3 ⊢ 𝐶 ∈ ℕ0
5		decma.d	. . 3 ⊢ 𝐷 ∈ ℕ0
6		decma.m	. . . 4 ⊢ 𝑀 = ;𝐴𝐵
7		dfdec10 9386	. . . 4 ⊢ ;𝐴𝐵 = ((;10 · 𝐴) + 𝐵)
8	6, 7	eqtri 2198	. . 3 ⊢ 𝑀 = ((;10 · 𝐴) + 𝐵)
9		decma.n	. . . 4 ⊢ 𝑁 = ;𝐶𝐷
10		dfdec10 9386	. . . 4 ⊢ ;𝐶𝐷 = ((;10 · 𝐶) + 𝐷)
11	9, 10	eqtri 2198	. . 3 ⊢ 𝑁 = ((;10 · 𝐶) + 𝐷)
12		decmac.p	. . 3 ⊢ 𝑃 ∈ ℕ0
13		decmac.f	. . 3 ⊢ 𝐹 ∈ ℕ0
14		decmac.g	. . 3 ⊢ 𝐺 ∈ ℕ0
15		decmac.e	. . 3 ⊢ ((𝐴 · 𝑃) + (𝐶 + 𝐺)) = 𝐸
16		decmac.2	. . . 4 ⊢ ((𝐵 · 𝑃) + 𝐷) = ;𝐺𝐹
17		dfdec10 9386	. . . 4 ⊢ ;𝐺𝐹 = ((;10 · 𝐺) + 𝐹)
18	16, 17	eqtri 2198	. . 3 ⊢ ((𝐵 · 𝑃) + 𝐷) = ((;10 · 𝐺) + 𝐹)
19	1, 2, 3, 4, 5, 8, 11, 12, 13, 14, 15, 18	nummac 9427	. 2 ⊢ ((𝑀 · 𝑃) + 𝑁) = ((;10 · 𝐸) + 𝐹)
20		dfdec10 9386	. 2 ⊢ ;𝐸𝐹 = ((;10 · 𝐸) + 𝐹)
21	19, 20	eqtr4i 2201	1 ⊢ ((𝑀 · 𝑃) + 𝑁) = ;𝐸𝐹

Syntax hints:   = wceq 1353   ∈ wcel 2148  (class class class)co 5874  0cc0 7810  1c1 7811   + caddc 7813   · cmul 7815  ℕ₀cn0 9175  ;cdc 9383

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-sep 4121  ax-pow 4174  ax-pr 4209  ax-setind 4536  ax-cnex 7901  ax-resscn 7902  ax-1cn 7903  ax-1re 7904  ax-icn 7905  ax-addcl 7906  ax-addrcl 7907  ax-mulcl 7908  ax-addcom 7910  ax-mulcom 7911  ax-addass 7912  ax-mulass 7913  ax-distr 7914  ax-i2m1 7915  ax-1rid 7917  ax-0id 7918  ax-rnegex 7919  ax-cnre 7921

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rab 2464  df-v 2739  df-sbc 2963  df-dif 3131  df-un 3133  df-in 3135  df-ss 3142  df-pw 3577  df-sn 3598  df-pr 3599  df-op 3601  df-uni 3810  df-int 3845  df-br 4004  df-opab 4065  df-id 4293  df-xp 4632  df-rel 4633  df-cnv 4634  df-co 4635  df-dm 4636  df-iota 5178  df-fun 5218  df-fv 5224  df-riota 5830  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpo 5879  df-sub 8129  df-inn 8919  df-2 8977  df-3 8978  df-4 8979  df-5 8980  df-6 8981  df-7 8982  df-8 8983  df-9 8984  df-n0 9176  df-dec 9384

This theorem is referenced by:  decrmac  9440