Theorem decmac 9759

Description: Perform a multiply-add of two numerals 𝑀 and 𝑁 against a fixed multiplicand 𝑃 (with carry). (Contributed by Mario Carneiro, 18-Feb-2014.) (Revised by AV, 6-Sep-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
decma.a	⊢ 𝐴 ∈ ℕ0
decma.b	⊢ 𝐵 ∈ ℕ0
decma.c	⊢ 𝐶 ∈ ℕ0
decma.d	⊢ 𝐷 ∈ ℕ0
decma.m	⊢ 𝑀 = ;𝐴𝐵
decma.n	⊢ 𝑁 = ;𝐶𝐷
decmac.p	⊢ 𝑃 ∈ ℕ0
decmac.f	⊢ 𝐹 ∈ ℕ0
decmac.g	⊢ 𝐺 ∈ ℕ0
decmac.e	⊢ ((𝐴 · 𝑃) + (𝐶 + 𝐺)) = 𝐸
decmac.2	⊢ ((𝐵 · 𝑃) + 𝐷) = ;𝐺𝐹

Assertion

Ref	Expression
decmac	⊢ ((𝑀 · 𝑃) + 𝑁) = ;𝐸𝐹

Proof of Theorem decmac

Step	Hyp	Ref	Expression
1		10nn0 9725	. . 3 ⊢ ;10 ∈ ℕ0
2		decma.a	. . 3 ⊢ 𝐴 ∈ ℕ0
3		decma.b	. . 3 ⊢ 𝐵 ∈ ℕ0
4		decma.c	. . 3 ⊢ 𝐶 ∈ ℕ0
5		decma.d	. . 3 ⊢ 𝐷 ∈ ℕ0
6		decma.m	. . . 4 ⊢ 𝑀 = ;𝐴𝐵
7		dfdec10 9711	. . . 4 ⊢ ;𝐴𝐵 = ((;10 · 𝐴) + 𝐵)
8	6, 7	eqtri 2253	. . 3 ⊢ 𝑀 = ((;10 · 𝐴) + 𝐵)
9		decma.n	. . . 4 ⊢ 𝑁 = ;𝐶𝐷
10		dfdec10 9711	. . . 4 ⊢ ;𝐶𝐷 = ((;10 · 𝐶) + 𝐷)
11	9, 10	eqtri 2253	. . 3 ⊢ 𝑁 = ((;10 · 𝐶) + 𝐷)
12		decmac.p	. . 3 ⊢ 𝑃 ∈ ℕ0
13		decmac.f	. . 3 ⊢ 𝐹 ∈ ℕ0
14		decmac.g	. . 3 ⊢ 𝐺 ∈ ℕ0
15		decmac.e	. . 3 ⊢ ((𝐴 · 𝑃) + (𝐶 + 𝐺)) = 𝐸
16		decmac.2	. . . 4 ⊢ ((𝐵 · 𝑃) + 𝐷) = ;𝐺𝐹
17		dfdec10 9711	. . . 4 ⊢ ;𝐺𝐹 = ((;10 · 𝐺) + 𝐹)
18	16, 17	eqtri 2253	. . 3 ⊢ ((𝐵 · 𝑃) + 𝐷) = ((;10 · 𝐺) + 𝐹)
19	1, 2, 3, 4, 5, 8, 11, 12, 13, 14, 15, 18	nummac 9752	. 2 ⊢ ((𝑀 · 𝑃) + 𝑁) = ((;10 · 𝐸) + 𝐹)
20		dfdec10 9711	. 2 ⊢ ;𝐸𝐹 = ((;10 · 𝐸) + 𝐹)
21	19, 20	eqtr4i 2256	1 ⊢ ((𝑀 · 𝑃) + 𝑁) = ;𝐸𝐹

Syntax hints:   = wceq 1398   ∈ wcel 2203  (class class class)co 6049  0cc0 8126  1c1 8127   + caddc 8129   · cmul 8131  ℕ₀cn0 9495  ;cdc 9708

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-14 2206  ax-ext 2214  ax-sep 4227  ax-pow 4286  ax-pr 4321  ax-setind 4658  ax-cnex 8217  ax-resscn 8218  ax-1cn 8219  ax-1re 8220  ax-icn 8221  ax-addcl 8222  ax-addrcl 8223  ax-mulcl 8224  ax-addcom 8226  ax-mulcom 8227  ax-addass 8228  ax-mulass 8229  ax-distr 8230  ax-i2m1 8231  ax-1rid 8233  ax-0id 8234  ax-rnegex 8235  ax-cnre 8237

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2083  df-mo 2084  df-clab 2219  df-cleq 2225  df-clel 2228  df-nfc 2373  df-ne 2413  df-ral 2525  df-rex 2526  df-reu 2527  df-rab 2529  df-v 2814  df-sbc 3042  df-dif 3212  df-un 3214  df-in 3216  df-ss 3223  df-pw 3670  df-sn 3694  df-pr 3695  df-op 3697  df-uni 3914  df-int 3949  df-br 4109  df-opab 4171  df-id 4413  df-xp 4754  df-rel 4755  df-cnv 4756  df-co 4757  df-dm 4758  df-iota 5311  df-fun 5353  df-fv 5359  df-riota 6002  df-ov 6052  df-oprab 6053  df-mpo 6054  df-sub 8445  df-inn 9237  df-2 9295  df-3 9296  df-4 9297  df-5 9298  df-6 9299  df-7 9300  df-8 9301  df-9 9302  df-n0 9496  df-dec 9709

This theorem is referenced by:  decrmac  9765  2exp16  13131