Theorem decrmac 9766

Description: Perform a multiply-add of two numerals 𝑀 and 𝑁 against a fixed multiplicand 𝑃 (with carry). (Contributed by AV, 16-Sep-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
decrmanc.a	⊢ 𝐴 ∈ ℕ0
decrmanc.b	⊢ 𝐵 ∈ ℕ0
decrmanc.n	⊢ 𝑁 ∈ ℕ0
decrmanc.m	⊢ 𝑀 = ;𝐴𝐵
decrmanc.p	⊢ 𝑃 ∈ ℕ0
decrmac.f	⊢ 𝐹 ∈ ℕ0
decrmac.g	⊢ 𝐺 ∈ ℕ0
decrmac.e	⊢ ((𝐴 · 𝑃) + 𝐺) = 𝐸
decrmac.2	⊢ ((𝐵 · 𝑃) + 𝑁) = ;𝐺𝐹

Assertion

Ref	Expression
decrmac	⊢ ((𝑀 · 𝑃) + 𝑁) = ;𝐸𝐹

Proof of Theorem decrmac

Step	Hyp	Ref	Expression
1		decrmanc.a	. 2 ⊢ 𝐴 ∈ ℕ0
2		decrmanc.b	. 2 ⊢ 𝐵 ∈ ℕ0
3		0nn0 9511	. 2 ⊢ 0 ∈ ℕ0
4		decrmanc.n	. 2 ⊢ 𝑁 ∈ ℕ0
5		decrmanc.m	. 2 ⊢ 𝑀 = ;𝐴𝐵
6	4	dec0h 9730	. 2 ⊢ 𝑁 = ;0𝑁
7		decrmanc.p	. 2 ⊢ 𝑃 ∈ ℕ0
8		decrmac.f	. 2 ⊢ 𝐹 ∈ ℕ0
9		decrmac.g	. 2 ⊢ 𝐺 ∈ ℕ0
10	9	nn0cni 9508	. . . . 5 ⊢ 𝐺 ∈ ℂ
11	10	addlidi 8416	. . . 4 ⊢ (0 + 𝐺) = 𝐺
12	11	oveq2i 6061	. . 3 ⊢ ((𝐴 · 𝑃) + (0 + 𝐺)) = ((𝐴 · 𝑃) + 𝐺)
13		decrmac.e	. . 3 ⊢ ((𝐴 · 𝑃) + 𝐺) = 𝐸
14	12, 13	eqtri 2253	. 2 ⊢ ((𝐴 · 𝑃) + (0 + 𝐺)) = 𝐸
15		decrmac.2	. 2 ⊢ ((𝐵 · 𝑃) + 𝑁) = ;𝐺𝐹
16	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 14, 15	decmac 9760	1 ⊢ ((𝑀 · 𝑃) + 𝑁) = ;𝐸𝐹

Syntax hints:   = wceq 1398   ∈ wcel 2203  (class class class)co 6050  0cc0 8127   + caddc 8130   · cmul 8132  ℕ₀cn0 9496  ;cdc 9709

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-14 2206  ax-ext 2214  ax-sep 4228  ax-pow 4287  ax-pr 4322  ax-setind 4659  ax-cnex 8218  ax-resscn 8219  ax-1cn 8220  ax-1re 8221  ax-icn 8222  ax-addcl 8223  ax-addrcl 8224  ax-mulcl 8225  ax-addcom 8227  ax-mulcom 8228  ax-addass 8229  ax-mulass 8230  ax-distr 8231  ax-i2m1 8232  ax-1rid 8234  ax-0id 8235  ax-rnegex 8236  ax-cnre 8238

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2083  df-mo 2084  df-clab 2219  df-cleq 2225  df-clel 2228  df-nfc 2373  df-ne 2413  df-ral 2525  df-rex 2526  df-reu 2527  df-rab 2529  df-v 2815  df-sbc 3043  df-dif 3213  df-un 3215  df-in 3217  df-ss 3224  df-pw 3671  df-sn 3695  df-pr 3696  df-op 3698  df-uni 3915  df-int 3950  df-br 4110  df-opab 4172  df-id 4414  df-xp 4755  df-rel 4756  df-cnv 4757  df-co 4758  df-dm 4759  df-iota 5312  df-fun 5354  df-fv 5360  df-riota 6003  df-ov 6053  df-oprab 6054  df-mpo 6055  df-sub 8446  df-inn 9238  df-2 9296  df-3 9297  df-4 9298  df-5 9299  df-6 9300  df-7 9301  df-8 9302  df-9 9303  df-n0 9497  df-dec 9710

This theorem is referenced by:  2exp16  13135